尼科尔森微观经济理论_基本原理与扩展(第9版)课后习题详解(第3章 偏好与效用)
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》章节题库(偏好与效用)【圣才出品】
第3章偏好与效用1．A（15，15），B（14，20），C（13，23），D（14，14）四个市场篮子，每个篮子的第一个坐标值表示食品的数量，第二个坐标值表示衣服的数量。
消费者对A、B、C三个篮子同样喜欢，当A、D两个篮子可供选择时，消费者更加喜欢D；当C、D进行选择时，消费者更加喜欢C；B、D进行选择时，消费者无从选择。
请分析该消费者的偏好违反了偏好的哪些基本假定？说明你的依据。
答：（1）偏好的基本假设①完备性：即消费者可以对所有可能的篮子进行比较和排序。
对于任何两个市场篮子A 和B，消费者要么偏好其中的A，要么偏好其中的B，要么觉得两者无差异。
其中，无差异是指消费者从两个篮子中获得相同的满足程度。
②可传递性：偏好是可以传递的。
这意味着，如果消费者在市场篮子A和B中更偏好A，在B和C中更偏好B，那么消费者在A和C中更偏好A。
这一假定保证了消费者的种种偏好是一致的，因而也是理性的。
③反身性：任何一个消费束至少和它本身一样好。
这可以理解为对正常品而言，消费者总是偏好更多的商品。
（2）该消费者的偏好违背了以下基本假定：①违背了完备性假定。
因为消费者在B和D之间无法进行选择。
②违背了可传递性假定。
消费者对于A、C两个篮子同样喜欢，则有A＝C；在A、D 两个篮子中，消费者更偏好D，即D＞A，根据偏好的可传递性有：D＞C。
但在C、D两个篮子中，消费者更偏好于C，即C＞D，二者矛盾，故违背了可传递性原则。
③违背了反身性假定。
对于消费者而言，应当有A（15，15）＞D（14，14），但消费者在A和D之间选择了D，故违背了反身性假定。
2．画出下述两种商品个人偏好的无差异曲线：汉堡包和软饮料。
指出个人满足（或效用）增加的方向：（1）乔的无差异曲线为凸的，汉堡包和软饮料都不喜欢。
（2）简喜欢汉堡包，但不喜欢软饮料。
如果服务员给她一杯软饮料，她会不喝倒掉。
（3）鲍勃喜欢汉堡包，但不喜欢软饮料。
但是如果服务员给他一杯软饮料，为了礼貌起见他会喝掉。
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第7章--生产函数)
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第7章--生产函数)尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）第3篇生产与供给第7章生产函数课后习题详解跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．动力山羊草坪公司使用两种类型的除草机割草。
小型除草机具有24英寸刀片并适用于具有较多树木与障碍物的草坪。
大型除草机恰为小型除草机的两倍大，并适用于操作时不太困难的空旷场地。
动力山羊公司可行的两种生产函数为：（1）对于第一种生产函数，图示40000q =平方英尺的等产量线。
如果这些要素没有浪费地结合起来，则需要多少k 和l ？（2）对于第二种生产函数回答（1）中的问题。
（3）如果40000平方英尺中的一半由第一种生产函数完成，一半由第二种生产函数完成，则k 与l 应该如何无浪费地配合？如果3/4的草坪由第一种生产函数完成，而1/4的草坪由第二种生产函数完成，则k 与l 应该如何配合？（4）在你考虑（3）中的问题的基础上，画出40000q =的联合生产函数的等产量曲线。
解：对于每一种除草机，由于它们需要的资本投入和劳动投入的比例是固定的，所以生产函数是固定比例型的生产函数，即：1118000min ,2k F l ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ {}2225000min ,F k l =（1）对于第一种生产函数，40000q =平方英尺的等产量线如图7-1所示。
将140000q F ==代入大型除草机的生产函数，得：115min ,2k l ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 由此可知最优投入为110k =，15l =。
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第4章 效用最大化与选择)
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）第4章 效用最大化与选择课后习题详解跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．三年级学生保罗每天在校用餐，它只喜欢Twinkie （t ）和苏打水（s ），他从中得到的效用为：(),U t s ts =。
（1）如果每份Twinkie 为0.1美元，苏打水每瓶为0.25美元，为了使效用最大化，保罗应该如何将妈妈给他的1美元伙食费分配在这两种食物上？（2）学校为了减少Twinkie 的消费，将其价格提高到每份0.4美元，那么为了让保罗得到与（1）中相同的效用，妈妈现在要给他多少伙食费？解：（1）对效用函数(),U t s ts =进行单调变换，令()()2,,V t s U t s ts ==⎡⎤⎣⎦，这并不改变偏好次序。
保罗效用最大化问题为：max .. 0.10.251tss t t s +=设拉格朗日函数为：()(),,10.10.25L s t ts t s λλ=+--一阶条件为：0.100.25010.10.250Ls t Lt s Lt s λλλ∂=-=∂∂=-=∂∂=--=∂ 解得：2s =，5t =。
因此，他所获得的效用：10U =（2）消费品Twinkie 价格提高了，但效用水平却保持不变，则保罗面临如下的支出最小化问题：min 0.40.25..10t s s tts +=设拉格朗日函数为：()(),,0.40.2510L s t t s ts λλ=++-一阶条件为：0.40Ls tλ∂=-=∂ （1） 0.25Lt sλ∂=-=0∂ （2） 100Lts λ∂=-=∂ （3） 由上述三式解得 2.5t =，4s =，则最小支出为：10.4 2.50.2542m =⨯+⨯=，所以妈妈现在要给他2美元伙食费使他的效用水平保持不变。
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》(第9版)模拟试题及详解(二)【圣才出品】
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临的问题是选择一个
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使得剩余
达到最大。
而对代理人来说，努力的成本记为 （比如时间、精力），它与 成正比。代理人的
问题是选择一个努力程度 以最大化自己的收入
，所以劳动的边际成
本等于工资；而当劳动市场为买方垄断时，劳动的供给随着工资的提高而增加，
，
所以劳动的边际成本高于工资。
根据劳动雇佣的最优条件，劳动的边际产值应该等于边际成本。所以，当劳动市场为买
方垄断时，劳动需求由下式决定：
当劳动市场为完全竞争时，劳动需求由下式决定：
因为劳动的边际产值曲线向下倾斜，所以买方垄断劳动市场上的厂商的劳动需求小于完 全竞争劳动市场的劳动需求。
仍可能下降，即 比 先达到最低点），而 在下降说明使用的可变要素的平均产量
还在上升阶段，即生产三阶段中的第一阶段。而生产要素的投入量应当在生产的第二阶段内
选择。所以，当 下降时，该厂商肯定未达到利润极大。
然而，厂商是否应该扩大生产，则需视情况而定。如果这一短期均衡是在价格低于
曲线的最低点水平上达到的，由于
图 1-1
（2）该观点前半部分正确，后半部分错误。在完全竞争市场中，因为长期均衡时，
，每个厂商的长期利润为零，即厂商只能获得正常利润而得不到超额利润。当产品
价格下降时，会引起部分厂商退出该行业，从而使得该行业的供给曲线向左上方移动，所以
价格会恢复到使留存厂商获得正常利润的水平。
，厂商应停止生产，而不应增加可变要素投入，
如图 7-1 中价格为 和产量为 时，
。但如果这一均衡是在价格高于平均可变成本最低点水平上达到的，厂商应
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)笔记(第3章--偏好与效用)
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）第2篇 选择与需求第3章 偏好与效用复习笔记跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．理性选择定理偏好是指消费者按照自己的意愿对可供选择的商品组合进行的排列。
偏好是微观经济学价值理论中的一个基础概念。
偏好是主观的，也是相对的概念。
为了便于经济分析，经济学家通常假定人们的偏好关系满足以下三个基本假设：（1）完全性（completeness ）：偏好是完备的，也就是说，消费者可以在所有可能的消费组合中进行比较和排序。
例如，对于任何两个消费组合A 和B ，消费者要么偏好其中的A ，要么偏好其中的B ，要么觉得两者无差异。
其中，无差异是指消费者从两个消费选择中获得相同的满足程度。
（2）传递性（transitivity ）：偏好是可以传递的，这意味着，如果消费者在消费组合A 和B 中更偏好A ，在B 和C 中更偏好B ，那么消费者在A 和C 中更偏好A 。
这一假定保证了消费者的种种偏好是一致的，因而也是理性的。
（3）连续性（continuity ）：如果消费者认为消费组合A 优于B ，那么接近 A 的消费组合也一定优于接近B 的消费组合。
2．效用及其表示方法（1）效用的含义效用是指消费者消费或拥有一定数量的某种商品时所获得的满足程度。
一种商品给消费者所带来的效用不同于该商品的使用价值，它是消费者对所消费商品给予的主观评价，不同的消费者在相同的时间、地点消费相同数量的商品组合可以分别获得不同的效用，即使同一消费者在不同的时期、不同的地点消费同样数量的商品组合也可获得不同的满足程度。
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》(第9版)笔记和课后习题详解-商品间的需求关系(圣才出品)
此时，组合商品 y 的价格变为 t 。
6.2 课后习题详解
1．Heidi 从羊奶（ m ）和果馅卷（ s ）两种商品中获得效用，其效用函数为：
U (m, s) = m s
（1）证明：羊奶的价格上升不会改变 Heidi 对果馅卷的购买量，即证明：s / pm = 0 。 （2）证明： m / ps = 0 。 （3）利用斯勒茨基方程和净替代的对称性证明：（1）、（2）两问中涉及的收入效应影响
（3）因为：
s pm=0=s pm Nhomakorabea|U
−m s I
m ps
=0=
m ps
|U
−s m I
又因为
s pm
|U
=
m ps
|U
，所以有：m s I
=
s
m I
，即与（1）、（2）中的偏导数有关的收入效
应是相等的。
（4）由（1）中 m 和 s 的马歇尔需求函数可知：
m
s I
=
m
0.5
ps
=
m
0.5 pmm /
U =常数
0 ，则
xi
与 xj
称为净替代品；如果
xi x j
U =常数
0
，则
xi
与
xj
称为净互补
品。净替代品与净互补品有对称性。
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3．多种商品情形下的替代关系 大多数商品是具有替代关系的，这一结论被称为“希克斯第二需求定律”。该结论证明 如下：
尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解
尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》（第9版）课后习题详解第1篇引言第1章经济模型本章没有课后习题。
本章是全书的一个导言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。
第2章最优化的数学表达1．假设。
（1）计算偏导数，。
（2）求出上述偏导数在，处的值。
（3）写出的全微分。
（4）计算时的值——这意味着当保持不变时，与的替代关系是什么？（5）验证：当，时，。
（6）当保持时，且偏离，时，和的变化率是多少？（7）更一般的，当时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？解：（1）对于函数，其关于和的偏导数分别为：，（2）当，时，（1）中的偏微分值分别为：，（3）的全微分为：（4）当时，由（3）可知：，从而可以解得：。
（5）将，代入的表达式，可得：。
（6）由（4）可得，在，处，当保持不变，即时，有：（7）当时，该函数变为：，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。
由（4）可知，该等高线在（，）处的斜率为：。
2．假定公司的总收益取决于产量（），即总收益函数为：；总成本也取决于产量（）：。
（1）为了使利润（）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？（2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。
（3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。
解：（1）由已知可得该公司的利润函数为：利润最大化的一阶条件为：从而可以解得利润最大化的产量为：；相应的最大化的利润为：。
（2）在处，利润最大化的二阶条件为：，因而满足利润最大化的二阶条件。
（3）在处，边际收益为：；边际成本为：；因而有，即“边际收益等于边际成本”准则满足。
3．假设。
如果与的和是1，求此约束下的最大值。
利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。
解：（1）代入消元法由可得：，将其代入可得：。
从而有：，可以解得：。
从而，。
（2）拉格朗日乘数法的最大值问题为：构造拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以解得：，因而有：。
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》(第9版)笔记和课后习题详解-收入效应和替代效应(圣才出品
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③劣等品的替代效应和收入效应 如图 5-2 中的横轴 OX1 和纵轴 OX2 分别表示商品 1 和商品 2 的数量，其中，商品 1 是 劣等品。商品 1 的价格 P1 下降前后的消费者的效用最大化的均衡点分别为 a 、b 点，因此，价格下降所引起的商品 1 的需求量的增加量为 X1'X1'' ，这是总效应。作与预算线 AB' 平行且与无差异曲线U1 相切的 补偿预算线 FG ，将总效应分解成替代效应和收入效应。P1 下降引起的商品相对价格的变化， 使消费者由均衡点 a 运动到均衡点 c ，相应的需求增加量为 X1'X1''' ，这就是替代效应，它是一个正值。而 P1 下降引起的消费者的实际收入水平的变动， 使消费者由均衡点 c 运动到均衡点 b ，需求量由 X1''' 减少到 X1'' ，这就是收入效应，它是一 个负值。
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第 5 章 收入效应和替代效应
5.1 复习笔记 1．需求函数及其性质 （1）需求函数 一般地，普通需求函数又称马歇尔需求函数，它反映了在给定的（各种商品的）价格与 收入下，能使消费者实现效用最大化的各种商品的需求量，因而是价格与收入的（向量）函 数。 （2）需求函数的性质 一般而言，需求函数关于价格 P 和收入 I 是零次齐次的，即对任何商品 xi ，在 t 0 时 有：
化。根据收入变化时消费变化的方向，可以将商品分为正常品和劣等品。所谓正常品是指随
着收入的增加其需求也增加的商品，即
xi 0 ；所谓劣等品是指随着收入的增加其需求减少的商品，即 xi 0 。正常品还可分为必
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》(第9版)笔记和课后习题详解-经济模型(圣才出品)
第1篇引言第1章经济模型1.1 复习笔记1．经济模型（1）经济模型的含义经济模型是一种分析方法，它极其简单地描述现实世界的情况。
现实世界的情况是由各种主要变量和次要变量构成的，错综复杂，因而除非把次要的因素排除在外，否则就不可能进行严格的分析，或使分析复杂得无法进行。
通过作出某些假设，可以排除许多次要因素，从而建立起模型，便于进行分析。
（2）经济模型的一般特征①“其他条件不变”的假设；②经济决策者寻求某项最优化的假设；③准确地区分“实证性”和“规范性”问题。
（3）检验经济模型的方法用于验证经济模型的一般方法有两种:①直接法，即检验作为模型基础的基本假设是否成立；②间接法，即看所抽象出的模型对现实预测的有效性。
2．“水与钻石悖论”亚当·斯密在《国富论》指出“具有极大使用价值的东西往往只有很少的或没有交换价值，相反，那些具有极大交换价值的东西往往很少或没有使用价值。
再没有比水更有用的东西了，但水却不能购买任何东西，没有东西和水交换。
相反，钻石几乎没有使用价值，却十分昂贵。
”由此引出了水与钻石悖论。
英国经济学家马歇尔从需求和供给两方面来共同解释了该悖论：从需求一方看，价格取决于商品的边际效用，而不是总效用。
对于水，水源充足，人们对水的消费量大，因而其边际效用很小，价格也就很便宜。
同理，人们对钻石的边际效用很大，其价格也就相应地昂贵。
从供给一方看，由于水源充足，生产人类用水的成本很低，因而其价格也低。
钻石则很稀缺，生产钻石的成本也很大，因而钻石很昂贵。
综合需求和供给两方面，则水便宜，钻石昂贵。
即虽然水的使用价值极大，却没有交换价值；而钻石几乎没有使用价值，却可以交换大量的其他商品。
3．经济均衡（1）局部均衡模型局部均衡模型是一种经济分析方法，指在其他情况不变的情况下，仅考察经济生活在一定时间的某个变数对有关经济变量的影响的分析方法。
其特点是以单个的生产者和消费者为分析的对象，而不考虑它同其他生产者或消费者之间的相互影响。
人大802考研 尼科尔森《微观经济理论》重点章节及重点课后习题(精细版修订版)
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》（第9版）重点章节及重点课后习题I尼科尔森《微观经济理论》重点章节或知识点一、引言1、经济模型（第1章）主要需要知道经济人假设（尼书上没有）、水与钻石价值悖论。
2、数理基础（第2章）重点掌握：一元函数最大值问题的一阶条件和二阶条件（求解利润最大化问题常用）、弹性的通用含义、包络定理（重点记住结论）、条件极值（拉格朗日乘数法，求解最值问题常用方法，建议求解最值问题优先使用本法）、拟凹性判定。
至于互补松弛定理、位似函数理解主要意思就行，不用深究。
（13年真题）二、消费者行为理论（第三、四、五、六章）重点章节在四、五、六。
其中，最最重要的章节在第5章，且该章也是难点。
1、偏好与效用（第3章）重点掌握：特定偏好的效用函数（柯布—道格拉斯效用函数、完全互补效用函数、拟线性效用函数[14年真题后面知识扩展中有补充]）（14年真题、15年真题）说明：CES效用函数比较复杂，不适合考试出题，但其基本形式、性质与其他效用函数关系，还是需要了解下的，不做重点掌握。
2、效用最大化与选择（第4章）（1）效用最大化的一阶条件和二阶条件，一阶条件结论必熟，重点理解二阶条件。
（2）角点解和角点解的数学表达。
（10年真题）（3）间接效用函数。
尤其注意其含义（由效用最大化推导出的）和表达式。
（13年真题、15年真题）（4）一次总付原则。
重点理解图形和含义（其实这里涉及到补偿预算线，替代效应和收入效应的铺垫）（5）支出函数。
重点理解支出函数含义和求解，与间接效用函数的关系（互为反函数）。
（13年真题、15年真题）3、收入效应和替代效应（第5章）（1）替代效应和收入效应的含义。
尤其要掌握正常商品、低档商品和吉芬物品各自的替代效应和收入效应，以及这三种商品的需求曲线形状。
（最好结合高鸿业《西方经济学（微观部分）》相关内容一起复习）（09、10、11年真题）（2）补偿性需求曲线。
重点掌握：①定义及推导；②马歇尔需求曲线（非补偿性需求曲线，普通的需求曲线）和希克斯需求曲线（补偿性需求曲线）的区别和联系，将间接效用函数代入马歇尔需求函数可得希克斯需求函数。
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尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》课后习题第3章偏好与效用1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率MRS 是否随着x 的增加而递减）。
（1）(),3U x y x y=+（2）(),U x y x y=⋅（3）(),U x y x y=（4）()22,U x y x y =-（5）(),xyU x y x y=+答：（1）无差异曲线如图3-1所示，为一组直线。
边际替代率为：/3/13x y MRS f f ===，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。
图3-1完全替代型的无差异曲线（2）无差异曲线如图3-2所示，为性状良好的无差异曲线。
边际替代率为：()()0.50.50.5///0.5/x y y x MRS f f y x y x -===，随着x 的递增，MRS 将递减，因而有凸的无差异曲线。
图3-2凸状的无差异曲线（3）无差异曲线如图3-3所示。
边际替代率为：0.5/0.5x y MRS f f x -==，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。
图3-3拟线性型的无差异曲线（4）无差异曲线如图3-4所示。
边际替代率为：()0.522220.5/0.52/0.5()2/x y MRS f f x y x x y y x y --==-⋅-⋅=，因而边际替代率递增，无差异曲线不是凸状的。
图3-4凹状的无差异曲线（5）无差异曲线如图3-5所示。
边际替代率为：()()()()2222///x y x y y xy x y x xy MRS f f y x x y x y +-+-===++，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的。
图3-5凸状的无差异曲线2．在第3章的脚注7中，我们已经证明：为例使得一个关于两个商品的效用函数有严格递减的MRS （即该函数严格拟凹），则如下的条件必须成立：22211121212220f f f f f f f -+<利用该条件检验第1题中的每个效用函数相应的无差异曲线的凸性。
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（2）边际实物产量
①边际实物产量的含义
一种投入的边际实物产量是在保持其他投入不变时，增加一单位该投入所带来的产出增
加量。用数学表示为： ②边际生产力递减
资本的边际实物产量 =
MPk
=
q k
=
fk
劳动的边际实物产量 =
MPl
=
q l
=
fl
在生产过程中，存在着边际生产力递减。在数学上，边际生产力递减表现为生产函数的
二阶偏导数为负，即
MPk k
=
fkk
0 ， MPl l
=
fll
0。
③平均实物生产力
在通常的运用中，劳动生产力这一术语常用来指平均生产力，劳动的平均产量 APl 定义
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为：
注意， APl 也取决于资本的投入水平。 2．等产量图和技术替代率 （1）等产量线 等产量线（isoquant）表示生产既定产出水平（如 q0 ）时 k 和 l 的所有组合。数学上， 等产量线表示满足：
几种常见生产函数的替代弹性：柯布-道格拉斯生产函数的替代弹性恒为常数 1；里昂
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惕夫生产函数的替代弹性为 0，这表示两种生产要素完全不能替代，必须按照某个固定比例 使用；线性生产函数的替代弹性为 ，这说明两种生产要素完全可以相互替代。
图 7-2 规模报酬不变的生产函数的等产量线图 如果生产函数不是规模报酬不变的，也仍然是位似的。 ③ n 种投入品的情况 规模报酬的定义可以容易地推广至有 n 种投入要素的生产函数。如果生产函数是：
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w(24 − h) 。
maxU = U (c,h) s.t. c大化
建立拉格朗日函数为：
= U (c, h) + (24w − c − wh)
其中， 为拉格朗日乘子。
最大化的一阶条件为：
从而可得：
从上式可知效用最大化的劳动供给原则为：在给定的实际工资率 w 下，为了使效用最大 化，个人所选择的最优工作时间将满足闲暇对消费的边际替代率等于 w 。
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第 6 篇 要素市场定价
第 16 章 劳动市场
16.1 复习笔记
1．时间地配置
（1）简单的两商品模型
在简单的时间配置模型中，每天（24 小时）工人将合理地安排消费（ c ）和闲暇（ h ），
从而实现其效用最大化，但是他同时必须面临一定的约束，他的全部收入来自工资
c = wl + n
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式中，n 是实际的非劳动收入，它可能包括红利、利息收入与政府转移支付等项目，或 者仅仅是其他人送的礼物。n 也可用来代表个人支付的一次总付性的税收，这时它的值就是 负的。
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》(第9版)笔记和课后习题详解 第2篇 选择与需求【圣才出品
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的消费者在相同的时间、地点消费相同数量的商品组合可以分别获得不同的效用，即使同一
消费者在不同的时期、不同的地点消费同样数量的商品组合也可获得不同的满足程度。效用
有总效用和边际效用之分。边际效用量的大小在消费者的消费决策中具有重要作用。
（2）效用的函数表示——效用函数
①效用函数的含义
经济学家常用效用函数来说明个人偏好的次序，来表示消费者的效用。效用函数的一般
形式为：
U X1, X2 ,, Xn；其他事物
其中， X1 、 X 2 、…、 X n 分别代表了某一个时期消费的每一种商品的数量。其他事物 表示消费者的福利还来自其他许多方面，假定不变。
能够准确排序即可，其取值的绝对大小没有价值。
（3）效用的图形表示——无差异曲线
①无差异曲线的含义
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无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的不同数量的各种组合的一簇曲线。 或者说，它是表示能给消费者带来同等效用水平或满足程度的两种商品的不同数量的各种组 合。与无差异曲线相对应的效用函数为
如图 3-2 所示，点 A 和点 B 在同一条无差异曲线U1 上，说明U A U B ，又点 B 和 点 C 又在同一无差异曲线U2 上，说明U B U C ，根据偏好的传递性，应有U C U A 。
然而，由于 C 点代表的两种物品消费量都大于 A 点代表的两种物品消费量，根据偏好的非
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上式可以写为：
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这表明两种商品的边际替代率等于两种商品的边际效用之比。这一结论也可用如下方法 证明：
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》(第9版)笔记和课后习题详解-效用最大化与选择(圣才出品)
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图 4-3 相切条件并不能保证最大效用的无差异曲线 2． n 种商品的情形 （1） n 种商品最优选择的数学表述
maxU ( X1, X 2 , , X n )
s.t. I = P1 X1 + P2 X 2 + + Pn X n （2）拉格朗日方法求解及一阶条件 设拉格朗日函数为：
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第 4 章 效用最大化与选择
4.1 复习笔记 1．两种商品的情形：图形分析 （1）预算约束 假定某人有 I 美元可用来购买商品 x 与商品 y ，设 x 的价格为 px ，y 的价格为 px ，则消 费者的预算约束为： px x + py y I 。 预算约束如图 4-1 所示，消费者只能购买三角形区域内（包括边界）的商品组合，如果 I 美元全部用来购买 x ，那么能够购买到 I 单位的 x ；同理，如果 I 美元都用来购买 y ，那
图 4-4 效用最大化问题的角点解 ②角点解的数学方法 出现角点解时，如果拉格朗日函数一阶条件改为：
如果
则有：
xi = 0
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尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》(第9版)笔记和课后习题详解-最优化的数学表达(圣才出品)
数的很多性质是不能保持的。要注意的是，位似函数有个很好的性质，即函数各个自变量之
间的替代关系只取决于自变量之间的比例，而不取决于其绝对值。
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2.2 课后习题详解
1．已知U ( x, y) = 4x2 + 3y2 。
3．包络定理
在经济分析中，人们常常要考察经济中的某些参数的变化对目标函数（最大值）的影响，
如一商品价格的变化对消费者的效用的影响，一投入要素价格的变化（或要素禀赋的变动）
对厂商收入（或利润）的影响，此时，包络定理为这种分析提供了方便。
考察如下一个最优化问题：
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则称其为 k 次齐次函数。 （1）齐次函数的偏导数 一个 k 次齐次可微函数的各个偏导数是 k −1次齐次的。例如，对齐次函数表达式关于 x1 求偏导数，有：
Байду номын сангаас
可见 f1 是满足 k −1次齐次的定义的。 （2）欧拉定理
齐次函数的另一个重要性质是对因子 t 求偏导得到的。对齐次函数表达式的两边分别对
t 求偏导得：
( ktk−1 f1 x1 xn ) = x1 f1 (tx1 txn ) + + xn fn (tx1 txn )
令 t =1 ，有：
kf1 ( x1 xn ) = x1 f1 ( x1 xn ) + + xn fn ( x1 xn )
函数 f ( x1, x2 , , xn ) 取最大值（或者最小值）的必要条件是，对于任意 x 的微小变化的组
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)笔记(第3章--偏好与效用)
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）第2篇 选择与需求第3章 偏好与效用复习笔记跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．理性选择定理偏好是指消费者按照自己的意愿对可供选择的商品组合进行的排列。
偏好是微观经济学价值理论中的一个基础概念。
偏好是主观的，也是相对的概念。
为了便于经济分析，经济学家通常假定人们的偏好关系满足以下三个基本假设：（1）完全性（completeness ）：偏好是完备的，也就是说，消费者可以在所有可能的消费组合中进行比较和排序。
例如，对于任何两个消费组合A 和B ，消费者要么偏好其中的A ，要么偏好其中的B ，要么觉得两者无差异。
其中，无差异是指消费者从两个消费选择中获得相同的满足程度。
（2）传递性（transitivity ）：偏好是可以传递的，这意味着，如果消费者在消费组合A 和B 中更偏好A ，在B 和C 中更偏好B ，那么消费者在A 和C 中更偏好A 。
这一假定保证了消费者的种种偏好是一致的，因而也是理性的。
（3）连续性（continuity ）：如果消费者认为消费组合A 优于B ，那么接近 A 的消费组合也一定优于接近B 的消费组合。
2．效用及其表示方法（1）效用的含义效用是指消费者消费或拥有一定数量的某种商品时所获得的满足程度。
一种商品给消费者所带来的效用不同于该商品的使用价值，它是消费者对所消费商品给予的主观评价，不同的消费者在相同的时间、地点消费相同数量的商品组合可以分别获得不同的效用，即使同一消费者在不同的时期、不同的地点消费同样数量的商品组合也可获得不同的满足程度。
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1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率MRS 是否随着x 的增加而递减）。
（1）(),3U x y x y =+ （2）(),U x y x y =⋅ （3）(),U x y x y =+ （4）()22,U x y x y =- （5）(),xyU x y x y=+ 答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。
边际替代率为：/3/13x y MRS f f ===，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。
图3-7 完全替代型的无差异曲线（2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。
边际替代率为：()()0.50.50.5///0.5/x y y x MRS f f y x y x -===，随着x 的递增，MRS 将递减，因而有凸的无差异曲线。
图3-8 凸状的无差异曲线（3）无差异曲线如图3-9所示。
边际替代率为：0.5/0.5x y MRS f f x -==，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。
图3-9 拟线性型的无差异曲线（4）无差异曲线如图3-10所示。
边际替代率为：()0.522220.5/0.52/0.5()2/x y MRS f f x y x x y y x y --==-⋅-⋅=，因而边际替代率递增，无差异曲线不是凸状的。
图3-10 凹状的无差异曲线（5）无差异曲线如图3-11所示。
边际替代率为：()()()()2222///x y x y y xy x y x xy MRS f f y x x y x y +-+-===++，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的。
图3-11 凸状的无差异曲线2．在第3章的脚注7中，我们已经证明：为例使得一个关于两个商品的效用函数有严格递减的MRS （即该函数严格拟凹），则如下的条件必须成立：22211121212220f f f f f f f -+<利用该条件检验第1题中的每个效用函数相应的无差异曲线的凸性。
描述此过程中你发现的任何捷径。
答：在第1题中，由于所有的一阶偏导数都是正的，所以仅需要检验二阶偏导数。
（1）因为112220f f f ===，所以该效用函数不是严格拟凹的。
（2）因为11f ，220f <，120f >，所以该效用函数是严格拟凹的。
（3）因为110f <，220f =，120f =，所以该效用函数是严格拟凹的。
（4）尽管仅考察x y ≥时的情形，但是二阶偏导数的符号是不确定的，所以效用函数不一定是严格拟凹的。
（5）因为11f ，220f <，120f >，所以效用函数是严格拟凹的。
3．对于如下效用函数： （1）(),U x y xy = （2）()22,U x y x y = （3）(),ln ln U x y x y =+证明：尽管这些效用函数具有递减的MRS ，但是它们分别显示出边际效用不变、递增、递减。
你能从中得出什么结论？证明：（1）x U y =，0xx U =，y U x =，0yy U =，/MRS y x =； （2）22x U xy =，22xx U y =，22y U x y =，22yy U x =，/MRS y x =； （3）1/x U x =，21/xx U x =-，1/y U y =，21/yy U y =-，/MRS y x =。
从以上分析可知，单调变化会影响递减的边际效用，但是不会影响边际替代率MRS 。
4．如图3-12所示，一种证明无差异曲线的凸性的方法是，对于特定无差异曲线U k=上的任何两点（1x ，1y ）和（2x ，2y ），两点的中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭相应的效用至少与k 一样大。
利用此方法来讨论如下效用函数的无差异曲线的凸性。
务必图示你的结论。
图3-12 利用图形判断凸性答：（1）如果两个商品组合的数量相等，则有：()()()()()111222121212,,/2,/2/2U x y x k U x y x U x x y y x x =====++=+⎡⎤⎣⎦如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：1122y x k y x >==<，因而有：()12/2x x k +> ()12/2y y k +>从而可知无差异曲线如图3-13所示，是凸状的。
图3-13 利用图形来判断无差异曲线的性状 （2）由（1）可知，两个商品组合的数量相等，则有：()()()()()111222121212,,/2,/2/2U x y x k U x y x U x x y y x x =====++=+⎡⎤⎣⎦如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：1122y x k y x <==>，因而有：()12/2x x k +<，()12/2y y k +<从而可知无差异曲线如图3-13所示，不是凸状的，而是凹状的。
（3）在完全替代型的效用函数下，有：()()()()11221212,,/2,/2U x y k U x y U x x y y ===++⎡⎤⎣⎦因而无差异曲线既不是凹状的，也不是凸状的，而是线性的。
5．Phillie Phanatic 总是喜欢以一种特定的方式来吃BallparkFranks 牌的热狗：他将1英尺长的热狗，恰好配以半块小圆面包，1盎司芥末以及2盎司的咸菜调味品同时食用。
他的效用是以上四种物品的函数，并且额外一种物品的数量增加而其他成分不变是不会增加他的效用的。
（1）Phillie Phanatic 对于这四种物品的效用函数的形式是什么？（2）我们可以如何将Phillie Phanatic 的效用视为一种商品的函数来简化问题？这种商品是什么？（3）假设每英尺热狗的价格为1美元，小圆面包价格为0.5美元，每盎司芥末的价格为0.05美元，每盎司咸菜调味品的价格为0.15美元，则（2）问中定义的商品的价格是多少？（4）如果每英尺热狗的价格增加50%（即增至1.5美元），则该商品的价格增加的百分比是多少？（5）小圆面包的价格上涨50%将如何影响该商品的价格？你的答案与（4）问中有何不同？（6）如果政府对Phillie Phanatic 购买的每单位商品征税1美元，则税收将如何在这四种商品中分担，从而使Phillie Phanatic 的效用成本最小化？解：（1）如果h 代表热狗，b 代表小圆面包，m 代表芥末，r 代表调味品，则Phillie Phanatic 的效用函数可以表示为：()(),,,Min ,2,,0.5U h b m r h b m r =这是完全互补效用函数。
（2）可以将Phillie Phanatic 的效用视为一种商品的函数来简化问题，即将上述四种物品的组合视为是一种完全调配好的热狗。
（3）该种商品的价格是：10.50.50.0520.15 1.6+⨯++⨯=（美元）。
（4）如果热狗的价格增至1.5美元，则该商品的价格为：1.50.50.50.0520.152.1+⨯++⨯=（美元）因此，该种商品的价格上涨幅度为：()2.1 1.6 1.631%-÷≈。
（5）如果小圆面包的价格增至()0.510.50.75⨯+=（美元），则该种商品的价格为：10.50.750.0520.15 1.725+⨯++⨯=（美元）因此，该种商品的价格上涨幅度为：()1.725 1.6 1.67.8%-÷≈。
（6）提高价格以使完全调配好的热狗的价格增至2.6美元，从而在征税1美元的情况下，这将等价于购买力的总额减少。
为使Phillie Phanatic 的效用成本最小化，增收的1美元税收应该在各种商品之间按固定比例分担，即按1:2:1:0.5进行分担。
即对每英尺热狗征税0.22美元，每单位小圆面包征收0.44美元，每盎司芥末征收0.22美元，每盎司咸菜征收0.11美元，此时Phillie Phanatic 的效用成本最小。
6．许多广告语似乎表明了人们的某些偏好。
你将如何利用效用函数来描述下列广告语？（1）人造黄油与真黄油一样好。
（2）饮可口可乐，万事如意。
（3）你不能仅吃Pringle 牌的薯条。
（4）Krispy Kreme 牌的油炸饼圈就是比Dunkin 牌的好。
（5）Miller Brewing 建议我们“负责任地”喝（啤酒）。
（什么是“不负责任地”喝酒呢？）答：（1）如果用p 代表人造黄油消费量，b 代表真黄油消费量，则效用函数可以表示为：(),U p b p b =+这表示人造黄油和真黄油是完全替代品，它们之间的替代比率是1∶1。
（2）如果用x 代表其他商品的消费量，y 代表可口可乐的消费量，则效用函数可以表示为：(),U x y ，且满足：20Ux y∂>∂∂。
例如效用函数(),2U x y xy =就可以表示这种偏好。
（3）如果用p 代表Pringle 牌的薯条的消费量，x 代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为：()(),1,U p x U x ＞，对于所有的1p >以及x 成立。
（4）如果用k 代表Krispy Kreme 牌的油炸饼圈的消费量，d 代表Dunkin 牌的油炸饼圈的消费量，x 代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为：()(),,U k x U d x >，对于所有的k d =成立。
（5）如果用U '代表其他人的效用水平，x 代表其他商品的消费量，b 代表啤酒的消费量，则效用函数可以表示为：(),,U x b U '，且满足0UU ∂>'∂（这表示有利他偏好，说明他喝酒是负责任的），一个人喝酒会影响别人的效用水平。
7．假设某人起初拥有一定数量的两种商品，这两种商品都会给他（她）带来效用。
两种商品的初始数量分别为：x 和y 。
（1）在此人的无差异曲线图中画出初始的商品组合。
（2）如果此人可以用x 与其他人交换y （或用y 交换x ），则他（她）将自愿进行何种类型的交换？他（她）将不愿进行何种类型的交换？这些交换如何与此人在点（x ，y ）处的MRS 有关？（3）假设此人对其拥有的初始商品数量较为满意，并且仅考虑那些能使其效用增加k 的交换。