2016年1月海淀区高三年级第一学期期末练习文科word

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2016.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数(1i)(1i)+-=A.2B.1C. 1-D.2-2. 已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且满足4320a a a -=，则4a 的值为 A.2 B.4C.8D.163. 如图, 正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为 A.12B. 12- C. 1 D.1- 4 . 如图，在边长为3的正方形内有区域A （阴影部分所示），张明同学用随 机模拟的方法求区域A 的面积. 若每次在正方形内每次随机产生10000个点, 并记录落在区域A 内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在区域A 内点的个 数平均值为6600个，则区域A 的面积约为 A.5B.6C. 7 D.85. 某程序框图如图所示，执行该程序，如输入的a 值为1，则输出的a 值为 A.1 B.2C.3D.56. 若点不在．．不等式组0,20,10x y x y ax y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩表示的平面区域内，则实数的取值 范围是A.(,0)-∞B. (1,)-+∞C. (0,)+∞D.(,1)-∞-(2,3)-a EABCD输出输入开始结束7. 已知函数, 1,()πsin , 1,2x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩则下列结论正确的是 A ．000,()()x f x f x ∃∈-≠-R B ．,()()x f x f x ∀∈-≠R C ．函数()f x 在ππ[,]22-上单调递增 D ．函数()f x 的值域是[1,1]- 8.已知点(5,0)A ，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的 垂直平分线上，则PA 的长度为A.2B. C. 3 D.4 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 若lg lg 1a b +=，则___.ab = 10. 已知双曲线2221(0)yx b b-=>的一条渐近线通过点(1,2),则___,b = 其离心率为__.11. 某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为___.12. 直线l 经过点(,0)A t ，且与曲线2y x =相切，若直线l 的倾斜角为45 ，则___.t =13. 已知圆22()4x a y -+=截直线4y x =-所得的弦的长度为__.a =14.已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形. (i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）①90,60,30A B C === ；②75,60,45A B C === ； ③75,75,30A B C === .(ii) 若ABC ∆存在“友好”三角形，且70A = ，则另外两个角的度数分别为___.三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （本小题满分13分）等差数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且3547a a a +=+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；俯视图左视图主视图（Ⅱ）求满足不等式32n n S a <-的n 的值. 16.（本小题满分13分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[, ]612--上的最大值与最小值的和.17.（本小题满分13分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t 满足：27c 30c t ≤≤ ）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验. 现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：c ）的记录如下：(Ⅰ)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期.(Ⅱ)设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为12,D D ，估计12,D D 的大小？（直接写出结论即可）.(Ⅲ)从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都．在 [27，30]之间的概率.温度18.（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，PD BE ，22AD PD BE ===, 60DAB ∠= ，点F 为PA 的中点.（Ⅰ）求证：EF 平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面PAE ⊥平面PAD ； （Ⅲ）求三棱锥P ADE -的体积.19.（本小题满分13分）已知函数1()ln ,0.f x k x k x=+≠ （Ⅰ）当1k =时，求函数()f x 单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程()f x k =有解，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分14分）如图，椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）直线AP 与椭圆W 的另一个交点为P ，与圆O 的另一个交点为Q .（i）当||AP =时，求直线AP 的斜率； （ii ）是否存在直线AP ，使得||3||PQ AP =? 若存在，求出直线AP 的斜率；若不存在， 说明理由.FEBAPDCyxO B A海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数 学 （文科） 2016.1 阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.说明： 第1３题少写一个减３分，错的则不得分第14题第一空3分，第二空2分，第二问少或错写的都不得分 三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d . …………………………….1分 因为3547a a a +=+，所以112637a d a d +=++. …………………………….3分 因为11a =，所以36d =，即2d =,…………………………….5分所以1(1)21n a a n d n =+-=-.…………………………….7分（Ⅱ）因为11a =，21n a n =-，所以212nn a a S n n +==, …………………………….9分 所以23(21)2n n <--，所以2650n n -+<, …………………………….11分解得15n <<，所以n 的值为2,3,4. …………………………….13分 16.解：（Ⅰ）因为()2cos (sin cos )1f x x x x =+-sin 2cos2x x =+…………………………….4分π)4x =+…………………………….6分所以函数()f x 的最小正周期2ππ||T ω==. …………………………….8分 （Ⅱ）因为ππ[,]612x ∈--， 所以ππ2[,]36x ∈--，所以πππ(2)[]41212x +∈-，, …………………………….9分根据函数()sin f x x =的性质，当ππ2412x +=-时，函数()f xπ)12-， …………………………….10分当ππ2412x +=时，函数()f xπ12. …………………………….11分ππ))01212-=，所以函数()f x 在区间ππ[,]612x ∈--上的最大值与最小值的和为0. …………………………….13分17．解：（Ⅰ）农学家观察试验的起始日期为7日或8日. …………………………….3分 （少写一个扣1分）（Ⅱ）最高温度的方差大. …………………………….6分 （Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A ， …………………………….7分 则基本事件空间可以设为{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),...,(29,20,31)}Ω=，共计29个基本事件….9分 由图表可以看出，事件A 中包含10个基本事件， …………………………….11分所以10()29P A =， …………………………….13分 所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为1029. 18．解：（Ⅰ）取AD 中点G ，连接,FG BG 因为点F 为PA 的中点，所以FG PD 且12FG PD = …………………………….1分又BE PD ，且12BE PD = ， 所以,,BE FG BE FG =所以四边形BGFE 为平行四边形. …………………………….2分 所以,EF BG 又EF ⊄平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD , ………………….3分 所以EF 平面ABCD . …………………………….4分 （Ⅱ）连接BD .因为四边形ABCD 为菱形，=60DAB ∠ ，所以ABD ∆为等边三角形.GFEB APDC因为G 为AD 中点，所以BG AD ⊥， …………………………….6分 又因为PD ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，所以PD BG ⊥， …………………………….7分 又PD AD D = ，,PD AD ⊂平面PAD ， …………………………….8分 所以BG ⊥平面PAD . …………………………….9分 又,EF BG 所以EF ⊥平面PAD ，又EF ⊂平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面PAD . …………………………….10分 法二：因为四边形ABCD 为菱形，=60DAB ∠ ，所以ABD ∆为等边三角形.因为G 为AD 中点，所以BG AD ⊥， …………………………….6分 又因为PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ， …………………………….7分 又平面PAD ABCD AD = 平面，BG ⊂平面ABCD , …………………………….8分 所以BG ⊥平面PAD . …………………………….9分 又,EF BG 所以EF ⊥平面PAD ，又EF ⊂平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面PAD . …………………………….10分（Ⅲ）因为122PAD S PD AD ∆=⋅=， …………………………….12分EF BG ==所以13P ADE PAD V S EF -∆=⋅=. …………………………….14分 19．解：（Ⅰ）函数1()ln f x k x x=+的定义域为(0)+∞，. …………………………….1分 21'()kf x x x=-+. …………………………….3分当1k =时，22111'()x f x x x x-=-+=,令'()0f x =，得1x =， …………………………….4分所以'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：…………………………….6分所以()f x 在1x =处取得极小值(1)1f =, 无极大值. …………………………….7分()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞. …………………………….8分（Ⅱ）因为关于x 的方程()f x k =有解,令()()g x f x k =-，则问题等价于函数()g x 存在零点, …………………………….9分所以2211'()k kx g x x x x-=-+=. …………………………….10分 令'()0g x =，得1x k=.当0k <时，'()0g x <对(0,)+∞成立，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减， 而(1)10g k =->，1111111111()(1)110e ee kk kg ek k k ---=+--=-<-<，所以函数()g x 存在零点. …………………………….11分 当0k >时，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：所以()lnln g k k k k k kk=-+=-为函数()g x 的最小值, 当1()0g k >时，即01k <<时，函数()g x 没有零点,当1()0g k ≤时，即1k ≥时，注意到1()0g k k =+->e e, 所以函数()g x 存在零点.综上，当0k <或1k ≥时，关于x 的方程()f x k =有解. …………………………….13分 法二：因为关于x 的方程()f x k =有解，所以问题等价于方程1(ln 1)0kx x +-=有解， …………………………….9分 令g()(ln 1)1x kx x =-+，所以'()ln g x k x =, …………………………….10分 令'()0g x =，得1x =当0k <时，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：所以函数g()x 在1x =处取得最大值，而g(1)(1)10k =-+>.1111111(e)1e(11)1e 0kkkg k k---=+--=-<，所以函数()g x 存在零点. …………………………….11分 当0k >时，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：所以函数g()x 在1x =处取得最小值，而g(1)(1)11k k =-+=-. 当g(1)(1)110k k =-+=->时，即01k <<时，函数()g x 不存在零点.当g(1)(1)110k k =-+=-≤，即1k ≥时， g (e )e (l n e 1)1k =-+=>所以函数()g x 存在零点. …………………………….13分 综上，当0k <或1k ≥时，关于x 的方程()f x k =有解. 法三：因为关于x 的方程()f x k =有解，所以问题等价于方程1(1ln )x x k=-有解， …………………………….9分 设函数()(1ln )g x x x =-，所以'()ln g x x =-. …………………………….10分令'()0g x =，得1x =，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：所以函数g()x 在1x =处取得最大值，而g(1)1=， …………………………….11分 又当1x >时，1ln 0x -<, 所以(1ln )1ln x x x -<-,所以函数g()x 的值域为(,1]-∞, …………………………….12分 所以当1(,1]k∈-∞时，关于x 的方程()f x k =有解，所以(,0)[1,)k ∈-∞+∞ . …………………………….13分20. 解：（Ⅰ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上，所以4a =. …………………………….1分，所以e c a ==，所以c = …………………………….2分 所以2224b a c =-=, …………………………….3分所以W 的方程为221164x y +=.…………………………….4分 （Ⅱ）（i ）法一：设点1122(,),(,)P x y Q x y ，显然直线AP 存在斜率，设直线AP 的方程为(4)y k x =+， …………………………….5分与椭圆方程联立得22(4)1164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简得到2222(14)3264160k x k x k +++-=，…………………………….6分因为4-为上面方程的一个根，所以21232(4)14k x k -+-=+，所以21241614k x k -=+ .…………………………….7分由1||(4)|AP x =--=…………………………….8分代入得到||AP ==，解得1k =±, …………………………….9分所以直线AP 的斜率为1,1-. （ii ）因为圆心到直线AP的距离为d =， …………………………….10分所以||AQ ===. …………………………….11分 因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， …………………………….12分 代入得到22222||1433113||111PQ k k AP k k k +=-=-==-+++. …………………………….13分显然23331k-≠+，所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =. …………………………….14分 法二：（i ）设点1122(,),(,)P x y Q x y ，显然直线AP 存在斜率且不为0，设直线AP 的方程为4x my =-， …………………………….5分与椭圆方程联立得2241164x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简得到22(4)80m y my +-=, …………………………….6分 显然4-上面方程的一个根，所以另一个根，即1284my m =+, …………………………….7分由1||0|AP y =-=， …………………………….8分代入得到||AP ==1m =±. …………………………….9分 所以直线AP 的斜率为1,1-（ii ）因为圆心到直线AP的距离为d =， …………………………….10分所以||AQ == …………………………….11分 因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， …………………………….12分 代入得到222||4311||11PQ m AP m m +==-=++. …………………………….13分 若2331m=+，则0m =，与直线AP 存在斜率矛盾， 所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =. …………………………….14分。