小结_平面向量的坐标运算-优质公开课-人教A版必修4精品
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高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
人教A版高中数学必修四平面向量的坐标运算课件
复习回顾
1、平面向量的正交分解
把一个向量分解成两个互相垂直的向量
2、平 面向 量的坐标表示
a xi yj (x, y)
（i , j分别是与 x轴、y轴方向相同的两个单位 向量）
3、起点在原点的向量的坐标表示
若A (x, y)，则OA (x, y)
创设问题情境，引入课题
我们知道向量的加法、减法以及实数与向量的积这几 种运算的结果仍是向量，而向量是可以用坐标来表示的， 因此，这些运算的结果也能用坐标来表示，那么如果是坐 标的话，我们该如何来表示呢？
向量的坐标就是其终点坐标，那么，对于起点不 在原点的向量，又该如何来确定其坐标？若已知 其起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
求出图中的向量的坐标，并观察其坐标与其起点坐标、 终点坐标之间有何关系？
y
B1
B(4,5)
AB的坐标等于终点B的坐标
a AB (2，3)
减去起点A的坐标.
1
A (2,2) A1
j
O i1
x
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
例2：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求
顶点D的坐标.
1、平面向量的正交分解
把一个向量分解成两个互相垂直的向量
2、平 面向 量的坐标表示
a xi yj (x, y)
（i , j分别是与 x轴、y轴方向相同的两个单位 向量）
3、起点在原点的向量的坐标表示
若A (x, y)，则OA (x, y)
创设问题情境，引入课题
我们知道向量的加法、减法以及实数与向量的积这几 种运算的结果仍是向量，而向量是可以用坐标来表示的， 因此，这些运算的结果也能用坐标来表示，那么如果是坐 标的话，我们该如何来表示呢？
向量的坐标就是其终点坐标，那么，对于起点不 在原点的向量，又该如何来确定其坐标？若已知 其起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
求出图中的向量的坐标，并观察其坐标与其起点坐标、 终点坐标之间有何关系？
y
B1
B(4,5)
AB的坐标等于终点B的坐标
a AB (2，3)
减去起点A的坐标.
1
A (2,2) A1
j
O i1
x
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
例2：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求
顶点D的坐标.
高中数学人教A版必修4课件：2.3.3 平面向量的坐标运算
解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1). (3) ������ − ������ = (−1,2) − (2,1) = - ,1 −
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 2 1 , 3 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点
忽略平行四边形顶点的不同排列顺序致错
【例 4】 设平行四边形三个顶点坐标为 A(0,0),B(0,b),C(a,c),求 第四个顶点 D 的坐标. 错解 :设第四个顶点的坐标为 D(x,y),如图 ,则 ������������ = (������ , ������), ������������ = (������ , ������ − ������), 由 ������������ = ������������ , 得(a,c)=(x,y-b). ������ = ������, ������ = ������, ∴ ������ = ������-������. ∴ ������ = ������ + ������, 即点 D 的坐标为(a,b+c)
= - ,
7 2 6 3
.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
用已知向量表示其他向量
【例 2】 若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),试用 a,b 表示 c. ������ + ������ = -1, 解:设 c=xa+yb,则(-1,2)=(x,x)+(y,-y)=(x+y,x-y),∴ ������-������ = 2. 解得 ������ = , ������ = - .
高中数学必修四(人教新A版)教案19平面向量的坐标运算
例4．已知a=(2,1), b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标。
分析：掌握求向量的加、减、实数与向量的积的坐标
解：
例5．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
分析：若向量相等，则它们的坐标相等
解：
（四）变式训练、巩固提高
③体会向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来的数形结合的数学思想。
课后
反思
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2)
3．数乘向量的坐标运算
已知a=(x,y)和实数λ，则λa=（λx,λy）
4．能否证明？
教师提出问题，学生动手解题。
教师完善。
通过学生动手实践、观察、比较得出向量的线性运算法则，发展学生的理性思维能力。
高中数学必修四课时教案
1．P100，T1，2，3
2．已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AD=（2，5），AB=（-2，3），则CD坐标为_______DO坐标为_______CO坐标为_______.
体会数形结合思想
学生完成
教师讲评
教
学
小
结
①理解平面向量的坐标的表示a=xi+yj=(x,y).
②掌握平面向量的坐标运算：a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2)；a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2)；a=(x,y)和实数λ，则λa=（λx,λy）。
情感态度价值观
激发学生善于发现、勇于探索的精神；树立事物
在一定条件下互相转化的辨证唯物主义的观点。
分析：掌握求向量的加、减、实数与向量的积的坐标
解：
例5．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
分析：若向量相等，则它们的坐标相等
解：
（四）变式训练、巩固提高
③体会向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来的数形结合的数学思想。
课后
反思
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2)
3．数乘向量的坐标运算
已知a=(x,y)和实数λ，则λa=（λx,λy）
4．能否证明？
教师提出问题，学生动手解题。
教师完善。
通过学生动手实践、观察、比较得出向量的线性运算法则，发展学生的理性思维能力。
高中数学必修四课时教案
1．P100，T1，2，3
2．已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AD=（2，5），AB=（-2，3），则CD坐标为_______DO坐标为_______CO坐标为_______.
体会数形结合思想
学生完成
教师讲评
教
学
小
结
①理解平面向量的坐标的表示a=xi+yj=(x,y).
②掌握平面向量的坐标运算：a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2)；a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2)；a=(x,y)和实数λ，则λa=（λx,λy）。
情感态度价值观
激发学生善于发现、勇于探索的精神；树立事物
在一定条件下互相转化的辨证唯物主义的观点。
高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第3课时 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
❖ [答案] 2
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
人教A版高中数学必修四课件2.3《平面向量的坐标运算》.pptx
什么叫平面的一组基底?
不共线的两向量e1,e2叫做这一平面内所有 向量的一组基底.
平面的基底有多少组? 无数组
（一）平面向量坐标的概念
在直角坐标系内，我们分别
y
(1)取基底:与x轴方向,y轴方向相同
的两个单位向量i、j作为基底.
a
(2)任得作到一实个数向对量: a，
由平面向量基本定理，有且只
有一对实数x、y，使得a=xi+yj. j
O
x
1 3 x x 2
2 4 y
y
2
顶点D的坐标是（2，2）
变式：已知平面上三点的坐标分别为
A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四
点构成平行四边形四个顶点。 y
D2
解：当平行四边形为ADCB时，B
C
由得ABD1D=C(2,2)
A
D1
D3
O
x
当平行四边形为ACDB时，
uuur
Q AB 1, 2 x, y 2,1,
即12xy21
x3
y
1
即B 3,-1.
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C
的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
求顶点D的坐标。
y
4
B(-1,3))
C(3,4)
3
2
A(-2,1) 1
-6
-4
-2
O
-1
D(x,y)
2
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
r
r
(1)a (1, 2) (2)b (1, 2)
. 解：
y A(1, 2)
r
a
o
x
y
不共线的两向量e1,e2叫做这一平面内所有 向量的一组基底.
平面的基底有多少组? 无数组
（一）平面向量坐标的概念
在直角坐标系内，我们分别
y
(1)取基底:与x轴方向,y轴方向相同
的两个单位向量i、j作为基底.
a
(2)任得作到一实个数向对量: a，
由平面向量基本定理，有且只
有一对实数x、y，使得a=xi+yj. j
O
x
1 3 x x 2
2 4 y
y
2
顶点D的坐标是（2，2）
变式：已知平面上三点的坐标分别为
A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四
点构成平行四边形四个顶点。 y
D2
解：当平行四边形为ADCB时，B
C
由得ABD1D=C(2,2)
A
D1
D3
O
x
当平行四边形为ACDB时，
uuur
Q AB 1, 2 x, y 2,1,
即12xy21
x3
y
1
即B 3,-1.
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C
的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
求顶点D的坐标。
y
4
B(-1,3))
C(3,4)
3
2
A(-2,1) 1
-6
-4
-2
O
-1
D(x,y)
2
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
r
r
(1)a (1, 2) (2)b (1, 2)
. 解：
y A(1, 2)
r
a
o
x
y
人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)
解：设c→=x→a+→yb，即 （4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标。 （2）位置不同的向量其坐标可能相同。 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。 （4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出： 向已 量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2， 吗？y2)，你能
r rrr rr 解 ： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已 知 R ， 向 量 a (x ， y )， 那 么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j
人教A版高中数学必修四教案平面向量的坐标运算
2．3．3平面向量的坐标运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标运算思考1：已知：),(11y x a =，),(22y x b =，你能得出b a +、b a -、a λ的坐标吗？设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
思考2：已知),(11y x A ，),(22y x B ，怎样求B A 的坐标？ （3） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=AB =OB -OA =( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考3：你能标出坐标为(x2- x1， y2- y1)的P 点吗？ 向量AB 的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是相同的。
2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修4
a与b 7 __同__向______ a与b 8 __垂__直______，记作 9 _a_⊥__b______
a与b 10 ___反__向_____
‖小试身手‖
3．若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
答案：B 4．在等腰
Rt△ABC
题型二 向量的夹角
【例 2】 已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，设 a＋b 与 a 的夹角为 α，a－b 与 a 的夹角是 β，求 α＋β.
[解] 如图，作O→A＝a，O→B＝b，且∠AOB＝60°，
以O→A，O→B为邻边作▱OACB， 则O→C＝a＋b，B→A＝O→A－O→B＝a－b， B→C＝O→A＝a.
解：解法一：∵A→B＝e2，DABC＝k， ∴D→C＝kA→B＝ke2. ∵A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0， ∴B→C＝－A→B－C→D－D→A ＝－A→B＋D→C＋A→D＝e1＋(k－1)e2. 又M→N＋N→B＋B→A＋A→M＝0，
且N→B＝－12B→C，A→M＝12A→D， ∴M→N＝－A→M－B→A－N→B ＝－12A→D＋A→B＋12B→C＝k＋2 1e2. 解法二：同解法一得，D→C＝ke2， B→C＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC， 由M→N＝12(M→B＋M→C)得，M→N＝12(M→A＋A→B＋M→D＋D→C)＝12(A→B ＋D→C)＝k＋2 1e2.
A．a－12b
B．12a－b
C．a＋12b
D．12a＋b
解析：选 D 连接 CD，OD，如图所示．∵ 点 C，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点，∴ AC＝CD，∠CAD＝∠DAO＝30°.∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAO＝30°，∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥DO.由 AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，∴∠CDA＝∠ DAO，∴CD∥AO，∴四边形 ACDO 为平行四边形， ∴A→D＝A→O ＋A→C＝12A→B＋A→C＝12a＋b.故选 D.
2016-2017年数学·人教A版必修4课件：2.3.3平面向量的坐标运算
第二章 平面向量
第一页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
第二页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
[学习目标] 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示，理解平面向量与坐标之间的对应关系(重点、难 点)． 2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的 加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的 运算(重点)．
第三页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
[知识提炼·梳理] 1．平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量． 2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底．
第四页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
(2)坐标：对于平面内的一个向量 a，有且仅有一对实 数 x，y，使得 a＝xi＋yi，则有序实数对(x，y)叫做向量 a 的坐标．
第二十页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
[变式训练] 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限， |O→A|＝4 3，∠xOA＝60°，则向量O→A的坐标为________．
解析：设点 A(x，y)， 则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3cos 60°＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3sin 60°＝6， 即 A(2 3，6)，所以O→A＝(2 3，6)． 答案：(2 3，6)
已知 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1)
温馨提示 向量既有几何表示下图形的几何运算，又 有坐标表示下的代数运算，说明向量是数形结合的载体．
第八页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
第一页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
第二页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
[学习目标] 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示，理解平面向量与坐标之间的对应关系(重点、难 点)． 2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的 加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的 运算(重点)．
第三页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
[知识提炼·梳理] 1．平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量． 2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底．
第四页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
(2)坐标：对于平面内的一个向量 a，有且仅有一对实 数 x，y，使得 a＝xi＋yi，则有序实数对(x，y)叫做向量 a 的坐标．
第二十页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
[变式训练] 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限， |O→A|＝4 3，∠xOA＝60°，则向量O→A的坐标为________．
解析：设点 A(x，y)， 则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3cos 60°＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3sin 60°＝6， 即 A(2 3，6)，所以O→A＝(2 3，6)． 答案：(2 3，6)
已知 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1)
温馨提示 向量既有几何表示下图形的几何运算，又 有坐标表示下的代数运算，说明向量是数形结合的载体．
第八页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
人教A版数学必修4 课件 平面向量
始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图
形是( B )
A．一条线段
B．一条直线
C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为 1 的圆
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
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3.判断下列各命题的真假：
（1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
（2）向量 a 与向量b 平行，则 a 与 b 的方向相同或 相反；
A
D
F
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B
C E
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A
D
F
B
C E
解：(1) D E E F F C A F D A D B
FDCEEB
( 2 ) D E F C A F F D C E E B
(3)DE∥FC∥AF∥AC FD∥CE∥EB∥CB
A（起点）
(1)几何表示法：有向线段（起点、方向、长度 ）
(2)字母表示法： a , b , AB
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
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【即时训练】
下列说法正确的是（ D） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以 比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小.
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
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【易错点拨】 两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且 方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向 量之间只有相等关系，没有大小之分，对于向
说课稿数学必修四人教A版2.3.3平面向量的坐标运算
2.3.3《平面向量的坐标运算》说课稿一、说教材1、教学目的和作用本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础。
此外，对立体几何的学习也有着深远的意义。
2、教学目标⑴知识与能力：会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；⑵过程与方法：体会向量是处理几何问题的工具. 培养细心、耐心的学习习惯，提高分析问题的能力。
⑶情感态度、价值观：通过引导激发学生的学习兴趣并引发学生思考，充分调动学生的学习积极性。
3、教学重点、难点及依据重点：平面向量的坐标运算。
难点：对平面向量坐标表示的理解。
4、课时安排和教具准备我打算用一个课时的时间来讲授这一节内容，使用的教具是直尺、多媒体。
二、说学情在教学过程中注重因材施教，只有了解了学生的现实状况才能够进行针对性的教学，这样才能取得相应的教学效果。
培养学生的抽象思维能力，所以在教学过程中应该循序渐进，加深他们对基础知识的理解，并加强课堂巩固训练。
三、说教法和依据教学时我打算采用老师引导式方法，使用导学案教学，充分发挥以学生为学习的主体，他们对课程的兴趣和积极性对于他们的学习过程有着极为重要的作用， 课堂上可以采用小组讨论的和学生发言的方式，调动学生参与的积极性，因为学生是学习的主体，所以要注重学生主体性的发挥。
四、说教学过程一、自主学习（一）知识链接：知识回顾：(1)向量→→j ,i 是同一平面内两个相互垂直的单位向量，且方向分别与x 轴y 轴方向相同，a 为这个平面内任一向量，则向量a 可用→→j ,i 表示为 。
也可用坐标表示为 。
如：j 4i 5a += = 。
j i b 32-=→= 。
=-→→b a →a 3=（二）自主探究：（预习教材P96—P98）探究：平面向量的坐标运算问题1：已知()11,a x y =，()22,b x y =，λ为一实数，你能用单位向量→→j ,i 来表示a b +，a b -，a λ吗？+a b =___________; -a b =_____________; λa =_____________ 问题2：已知()11,a x y =，()22,b x y =，你能用坐标来表示a b +，a b -，a λ的坐标吗？+a b =_________________ _。
人教A版数学必修四第二章2.3.3《平面向量的坐标运算》教学课件(共24张PPT)
a(x1i y1 j)x1i y1 j a(x1, y1)
实 数 与 向 量 的 积 等 的 于 坐 用 标 这 个 实 数 乘 原来向量的相应坐标
【例1】 已知 ar =（2, 1），br =（-3,4），
求 a r b r， a r b r， 3 a r 4 b r的坐标.
跟踪练习：
1.已知向量
其中x叫做
r a
在x轴上的
ya
坐标，y叫做 ar 在y轴上
的坐标, 上式叫做向量 j
x
的坐标表示.
Oi
x
【课前练习】 如图，分别用基
底 i , j表示向量 a，b， c，d，并求出它们的 坐标 .
二、新知探究
思考： 已知 a(x1, y1),b(x2, y2),你能得出
ab, ab, a的坐标吗？
ab(x1 x2, y1 y2)
ab(x1 x2, y1 y2) 两 个 向 量(差 和)的 坐 标 分 别 等 于 这 向 两 量 个 相 应 坐 标 的 (差和 ).
ab(x1 x2, y1 y2) ab(x1 x2, y1 y2) 两 个 向 量(差 和)的 坐 标 分 别 等 于 这 向 两 量 个 相 应 坐 标 的 (差和 ).
uuur A B = （x2 - x1 , y2 - y1）
(5)
ar
r //b
rr (b0) 的 等 价 条 件 是 ：
x1y2x2y10
四、课堂作业：
课本101页习题2.3A组1、2、3题
谢谢
【 例 2 】 如 图 ， 已 知 A (x1,y1),B (x2,y2),求
u u u r
A B 的 坐 标 .
y
A(x1, y1)
实 数 与 向 量 的 积 等 的 于 坐 用 标 这 个 实 数 乘 原来向量的相应坐标
【例1】 已知 ar =（2, 1），br =（-3,4），
求 a r b r， a r b r， 3 a r 4 b r的坐标.
跟踪练习：
1.已知向量
其中x叫做
r a
在x轴上的
ya
坐标，y叫做 ar 在y轴上
的坐标, 上式叫做向量 j
x
的坐标表示.
Oi
x
【课前练习】 如图，分别用基
底 i , j表示向量 a，b， c，d，并求出它们的 坐标 .
二、新知探究
思考： 已知 a(x1, y1),b(x2, y2),你能得出
ab, ab, a的坐标吗？
ab(x1 x2, y1 y2)
ab(x1 x2, y1 y2) 两 个 向 量(差 和)的 坐 标 分 别 等 于 这 向 两 量 个 相 应 坐 标 的 (差和 ).
ab(x1 x2, y1 y2) ab(x1 x2, y1 y2) 两 个 向 量(差 和)的 坐 标 分 别 等 于 这 向 两 量 个 相 应 坐 标 的 (差和 ).
uuur A B = （x2 - x1 , y2 - y1）
(5)
ar
r //b
rr (b0) 的 等 价 条 件 是 ：
x1y2x2y10
四、课堂作业：
课本101页习题2.3A组1、2、3题
谢谢
【 例 2 】 如 图 ， 已 知 A (x1,y1),B (x2,y2),求
u u u r
A B 的 坐 标 .
y
A(x1, y1)
平面向量的综合小结课件 新人教a版必修4
平面向量的方法和技巧
知识结构
线性运算
基本定理
实际背景 向量 坐标表示
向 量 的 实 际 应 用
数量积
知识梳理
一.向量的有关概念 （1）向量： 既有大小，又有方向的量. （2）向量的模（或长度）： 表示向量的有向线段的长度. （3）零向量：模为零的向量.
（4）单位向量： 模为1的向量.
（5）相等向量： 长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. （7）平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量.
uuu r uuu r 已知向量OA = (3， 1) ， OB = r uuu r uuu
例10 已知向量a＝(2，3)，b＝(－4， 3)，求向量a在b方向上的投影.
1 5
例11 已知点A(0，1)，B(0，－1)， C(1 ， 0) ， O 为坐标原点，动点 P 满足： uuu r uuu r uuu r 2 uuu r uuu r A P ?BP 2(PC ) ,求向量OP 与OC 的夹 角θ 的取值范围.
例8 已知向量a、b满足：|a|=4， |b|=3，(2a－3b)·(2a＋b)=61，当 t∈[0，1]时，求|a＋tb|的取值范围.
[2 3, 4]
例9 uuu r uuu r ( －1 ， 2) ，且 ， ，求 BC / / OA OC ^ OB uuu r 向量 A C 的坐标.
uuu r A C = (11，6)
150° 例 6 设向量 a 、 b 不共线，已知 uuu r uuu r uuu r A B = 2a＋kb， BC = a＋b， CD = a－2b， 且A、B、D三点共线，求实数k的值. k=－1
例7 设e为单位向量，且向量a≠e， 若对任意实数t，不等式|a－te|≥|a－ e|恒成立，求证：(a－e)⊥e.
知识结构
线性运算
基本定理
实际背景 向量 坐标表示
向 量 的 实 际 应 用
数量积
知识梳理
一.向量的有关概念 （1）向量： 既有大小，又有方向的量. （2）向量的模（或长度）： 表示向量的有向线段的长度. （3）零向量：模为零的向量.
（4）单位向量： 模为1的向量.
（5）相等向量： 长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. （7）平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量.
uuu r uuu r 已知向量OA = (3， 1) ， OB = r uuu r uuu
例10 已知向量a＝(2，3)，b＝(－4， 3)，求向量a在b方向上的投影.
1 5
例11 已知点A(0，1)，B(0，－1)， C(1 ， 0) ， O 为坐标原点，动点 P 满足： uuu r uuu r uuu r 2 uuu r uuu r A P ?BP 2(PC ) ,求向量OP 与OC 的夹 角θ 的取值范围.
例8 已知向量a、b满足：|a|=4， |b|=3，(2a－3b)·(2a＋b)=61，当 t∈[0，1]时，求|a＋tb|的取值范围.
[2 3, 4]
例9 uuu r uuu r ( －1 ， 2) ，且 ， ，求 BC / / OA OC ^ OB uuu r 向量 A C 的坐标.
uuu r A C = (11，6)
150° 例 6 设向量 a 、 b 不共线，已知 uuu r uuu r uuu r A B = 2a＋kb， BC = a＋b， CD = a－2b， 且A、B、D三点共线，求实数k的值. k=－1
例7 设e为单位向量，且向量a≠e， 若对任意实数t，不等式|a－te|≥|a－ e|恒成立，求证：(a－e)⊥e.
【优质文档】人教A版数学必修四教案：2.3.3-2.3.4平面向量的坐标运算及表示
即 x1 y1
x 2 , 消去 λ后得 x 1y2-x 2y 1=0. y2 .
这就是说 ,当且仅当 x1y2-x 2y1=0 时向量 a、b(b≠ 0共) 线 .
又 我 们 知 道 x 1y 2-x 2y1=0 与 x 1y 2=x 2y1 是 等 价 的 , 但 这 与 y1 x1
y2 是 不 等 价 的 . 因 为 当 x1=x 2=0 x2
入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化
,将数与形紧密结合起来 ,这就可以使很多几何问题的解答转化
为学生熟知的数量运算 .引进向量的坐标表示后 ,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现
,那么向量的平
行、垂直 ,是否也能通过坐标来研究呢？
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①我们研究了平面向量的坐标表示 ,现在已知 a=(x 1,y1),b=(x 2,y2),你能得出 a+b,a-b, λa 的坐标表示吗 ?
解 :∵ a∥ b,∴ 4y-2 ×6=0. ∴ y=3.
思路 2 例 2 设点 P 是线段 P1P2 上的一点 ,P1、 P2 的坐标分别是 (x 1,y1)、 (x 2,y2 ).
(1)当点 P 是线段 P1P2 的中点时 ,求点 P 的坐标 ; (2)当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时 ,求点 P 的坐标 .
3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19). 点评 :本例是平面向量坐标运算的常规题 ,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式 .
变式训练
1.(2007 海南高考 ,4) A.(-2,-1)
1
已知平面向量 a=(1,1), b=(1,-1), 则向量 a