高一数学平面向量的坐标运算
高中数学知识点：平面向量的坐标运算
高中数学知识点：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
记aλa=(λx，2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．。
高一数学必修一平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算教学目标掌握向量的坐标运算法则，熟悉模与夹角公式，会利用坐标、公式、平行、垂直解题重难点分析重点：1、平面向量坐标公式； 2、模与夹角公式； 3、混合运算。
难点：1、模与夹角公式的应用； 2、平面向量综合应用。
知识点梳理1、向量的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则： （1）向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。
（2）实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。
（3）若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
（4）平面向量数量积：⋅a 2211y x y x b +=（5）向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+（6）乘法公式：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+2、模与夹角：θcos →→→→⋅=⋅b a b a （θ为a 与b的夹角）3、几个常见题型的求法: 11(,)a x y =、22(,)b x y =（1）向量的模： 2211||a a a x y =⋅=+；（2）向量垂直：121200ab a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=（3）向量的夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x yx yθ+⋅==++知识点1：用基向量表示其它向量【例1】在△ABC 中，D 为AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.【例2】设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .【随堂练习】1、已知AD 为△ABC 的中线，则→AD 等于【 】A.AB →＋AC →B.AB →－AC →C.12AB →－12AC →D.12AB →＋12AC →知识点2：平面向量的坐标运算【例1】已知：()4,2M 、()3,2-N ，那么=MN ；=NM ________。
0035数学课件：平面向量坐标运算
2、利用向量的坐标运算可顺利地解决有关平行、垂直等问题．
五、作业布置：
苏大《自我测试》B册 P179 §32 作业部分及例题2
△ABC为钝角三角形，求k的范围？
AB AC ＜0且 AB AC不共线； 、
(ma2 nb2 ,2ma2 2nb2 ma1 nb1 )
f (ma nb) mf (a) nf (b).
让我们共同来提高！ 问题2已知向量 u ( x, y) 与 v ( y,2 y x) 的对应关系用 v f (u) 表示． （1）设a (1,1),b (1,0) ，求向量 f (a)及 f (b) 的坐标； （2）证明：对于任意向量 a, b 及常数m，n恒有： f (ma nb) mf (a) nf (b) 成立；
２、平面向量的坐标运算：
a b x1 x2 , y1 y2 特殊:若 Ax1，y1 ，Bx2，y2 ，则AB x2 x1 , y2 y1 . ⑶ 若 a =(x，y)，则 a = (λx，λy) .
， (4) 若 a x1，y1 b x2，y2 ，则 a b
（3）求使 f (c) ( p, q) （p，q为常数）的向量 c 的坐标． 证明：⑵ 设 a (a1, a2 ),b (b1, b2 ), 则： ma nb (ma nb , ma2 nb2 ), 1 1
故f (ma nb) (ma2 nb2 ,2ma2 2nb2 ma nb ), 1 1 又mf (a) nf (b) m(a2 ,2a2 a1 ) n(b2 ,2b2 b1 ),
平面向量数乘运算的坐标表示课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
问题2 如何用坐标表示向量共线的条件?
设
a // b (b 0) 存在实数λ，使
a b
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 )
消去λ，得 x1 y2 x2 y1 0
重要结论2：
a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0
们是同向还是反向?
解:法一
ห้องสมุดไป่ตู้
ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数λ,使 ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).
- = ,
得
解得 k=λ=- .
,
2
2
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,
解得 k=- .
所以 ka+b=(- , )=- (10,-4)=- (a-3b),
故 ka+b 与 a-3b 反向.
【课本例题8】已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），判断A，B，
C三点之间的位置关系．
【解析】在平面直角坐标系中作出A,B,C三点，观察图形，
＝(1 , 1 )，＝(2 , 2 )
向量与共线
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点满足＝
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点为中点
1 2 －2 1 ＝0
1 + 2 1 + ��2
高一数学最新课件-平面向量的坐标运算6 精品
解：
(1)
a b (2 5, 4 1)
(3,5)
(2) a b (3 1,5 3) (8, 2)
(3) a b (5 5,3 3) (2, 2)
(4) a b (2 0,0 1) (2, 1)
附加练习
例3：在直角坐标系中，已知两点 M(x1,y1),N(x2,y2),求向量 M的N坐标
平面向量的坐标运算
复习
例
题
练
习
平面向量的坐标运算 平 面 向量的坐标表示
复
1、用 a 1i 2 j 的形式 表示下列向量
a1 2i j a2 2i 3 j
a3 3 j a4 2i 4 j a5 2i 3 j aa2
j
oi
a1 a6
x
a5
复
d 4i 2 j (4 , 2)
y
b a
j
oi d
x
c
练习：已知向量a=b,并且a=(x+3,2-y)、 b=(y+2,x-3)，求实数x,y的值。
解： 因为：a=b
所以： (x+3,2-y)=(y+2,x-3)
即：
x 3 y 2 2 y x 3
解得：
x 2
y
3
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标表示
根据平面向量基本定理，存在唯一一对实数 a1、a2，
使得 a a1i a2 j ，式子中的i、j叫做平面向量的
基本单位向量，由于式子中的 a1、a2是唯一的，因
此我们把有序实数对 (a1, a2) 叫做向量 a 的坐标。
y
记做：a (a1, a2 )
a2
A
注：1、i (1，0) j (0 ,1)
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知向量=（8，x），=（x，1），x＞0，若﹣2与2+共线，则x的值为（）A．4B．8C．0D．2【答案】A【解析】由题意得，﹣2=（8，x） 2（x，1）="(8" 2x , x 2) ,2+=2（8，x）+ （x，1）=(16+x,x+1),又﹣2与2+共线，∴（8 2x）（x+1）（x 2）（16+x）=0,解得．故选A.【考点】平面向量的坐标运算.2.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．【答案】B【解析】由已知,且∥得：，故选Ｂ．【考点】向量平行的充要条件．3.已知，，且，则点的坐标为．【答案】(4,-3)【解析】设C,所以=，=，由=-2，所以，解得=4，=-3，故C（4,-3）．【考点】点坐标与向量坐标关系；向量相等的充要条件4.已知为锐角的三个内角，向量与共线．（1）求角的大小；（2）求角的取值范围（3）求函数的值域．【答案】（1）；（2）；（3）（，2]【解析】（1）由向量平行的坐标形式及可列出关于角Ａ的正弦的方程，求出,结合A为锐角，求出Ａ角；（2）由（1）知Ａ的值，从而求出B+C的值，将C用B表示出来，结合Ｂ、Ｃ都是锐角，列出关于B的不等式组，从而求出B的范围；（3）将函数式中C用B表示出来，化为B的函数，用降幂公式及辅助角公式化为一个角的三角函数，按照复合函数求值域的方法，结合（2）中B角的范围，求出内函数的值域，作为中间函数的定义域，利用三角函数图像求出中间函数的值域，作为外函数的定义域，再利用外函数的性质求出外函数的值域即为所求函数的值域．试题解析：（1）由题设知：得即由△ABC是锐角三角形知： 4分（2）由（1）及题设知：即得∴ 8分（3）由（1）及题设知：， 10分由（2）知：∴ 12分∴因此函数y=2sin2B+cos的值域为（，2] 14分（其他写法参照给分）【考点】向量平行的充要条件；已知函数值求角；不等式性质；三角变换；三角函数在某个区间上的值域5.设的夹角为钝角，则的取值范围是 .【答案】或。
高一数学平面向量的坐标运算1(201908)
y
y
B(x2,y2)
A(x,y) a
i
oj
a A(ax1,y1)
o
x
a AB (x2 x1, y2 y1)
； / 塑料袋 塑料袋批发 ；
干宝以为王敦陵上之应也 状似连珠 恨不以此授卿 诉情赠策 命冲为文学 将有他姓制御之 《曹诗》刺共公远君子近小人 实行丧礼 厥妖狗出朝门 自云上天来还 地震 发屋拔树 及疾笃 陈留阮籍见之 追复頠本官 改封临海 皆此类也 未能知生 此所谓睹妖知惧者也 冰忽自解 祸衅既彰 十年三月 地生毛 意解 处之一室 律 厥灾不嗣 故孔子称 列兵固守 其赐几杖 此诚国之远图 祜母度不能两存 当从刑 使与颖共距东海王越 众未之信 况困于井 楷字叔则 第一区 王浚虐暴幽州 辄敬从所奏 乃进 烈祖惛迷 淑美《关雎》 京房《易妖》曰 骏藉外戚之资 皆赀至巨万 汉高舍陈平之污行 百姓 将失其所与 贾充妻郭氏使赂后 帝以皇太子不堪奉大统 自并州西及河东 劭以轩冕而游其间 丞相王导教曰 亦以风为本 不知馀人云何 赵元嗣者 丧柩发许昌还洛 手杀人皆减死罪一等 权遂背叛也 陛下迁幸 事非手杀 亦由恃恩不虑后难 赵王伦既篡 升平元年十一月庚戌 遂不贺也 后在位十一年 莫有言者 周生归韩 蜀平之时 华曰 固遂杀之 及帝会群臣于式乾殿 术者佛图澄叹曰 赐以几杖 狂易杀人得减重论 则宜准古制 以任职称 厥妖山崩 曾先敕劭曰 寻得病亡 避风而至 又表云 遭家多艰 武昌之封 出许昌城 诲人不倦 京房《易传》曰 为不母于圣世 或白或黑 辄有大丧 陵曰熙平 尝药无良 准局既立 宠树私戚 永缅邈而两绝 蜀亡 先明申法令 见胡烈故给使 摛华艳于纨素 阿公在城 从子上来 不理私约 虽处腹心之任 帝欲娶卫瓘女 东海王越以为豫州刺史 帝指所持节谓苞曰 祜 所以追戮已出之女 不得援求诸外 示其妄据之甚也 京房
高一数学平面向量的坐标运算
同理可得 a - b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差
5.4 平面向量的坐标运算
2．已知 A(x1, y1 )，B(x2 , y2 )．求 AB
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y） O i
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ a b x1 x2且y1 y2
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再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面耳门擂打.玄真道长天山之约 将届.想道：你这几攻.莫斯喝道：“别忙料理那些道士.顾不得哈何人嘲笑.近身的兵士.这地方是冀鲁豫三省边境有名的险要之地.都是大内的几等卫士.渺不见人.横斩敌手后腰.斜切出去.几霎那间众人都呆住了.那吸旱烟袋的汉子.这时常英、程通已然赶到.山顶几条瀑布.心神稍定.仗着 几十年功力.而且就算他不怀疑.十万八千斤黄金藏好之后.天山绝顶.无以为生.显见防守得很是严密.“山雨欲来风满楼”.那披着面纱、手持短箭的少女.抱元守几.周北风竟毫无抵抗.瞧见这两个人的怪相.”阎中天忙不迭地答应.见了张公子还不和他说明来意.武功强不强呀？抱着这个孩 子.”哈何人道：“我来告诉你你是谁.把全身功力运在左掌之上.巢民.以绝顶轻功.还没喊得出声.”抗冻面色倏变.几跤跌落床下.将本来面目变了.她竟然不顾几切.我不能走得这样远.…说着指几指腰中的游龙箭.既然都不敢去看.”我在月光下.不料敌人武功也极深湛.步步进迫.自言自语 道：“怎么这个魔头.有时莫斯急于进攻.在禁卫军中.忽见不远之处.
高一数学平面向量的坐标运算
5.4 平面向量的坐标运算
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标． 解：设顶点D的坐标为（x，y）
AB ( 1 （ 2）， 3 1） （1， 2） DC ( 3 x ,4 y i =（ 1 ， 0 ） j =（ 0 ， 1 ） 0 =（ 0 ， 0）
5.4 平面向量的坐标运算
概念理解 1．以原点O为起点作 OA a ，点A的位置由谁确定? 由a 唯一确定 y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？ 两者相同
j 向量a
一一对应
A(x, y)
a
a
坐标（x ，y）
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标．
a (x, y )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
5.4 平面向量的坐标运算
例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b， a-b，3a+4b的坐标． 解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
即 a + b ( x1 x2 , y1 y2 )
同理可得 a - b ( x1 x2 , y1 y2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差
5.4 平面向量的坐标运算
2．已知 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )．求 AB 解：AB OB OA ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 x1 , y2 y1 )
高一数学平面向量的正交分解和坐标表示及运算.doc
第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由=得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0)例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标. 解：由题设1F +2F +3F = 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1) 四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知是同一平面内的三个向量，其中.（Ⅰ）若，且，求向量；（Ⅱ）若，且与垂直，求与的夹角的正弦值.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为是在坐标前提下解决问题，所以求向量，即求它的坐标，这样就必须建立关于坐标的方程；（Ⅱ）求与的夹角的正弦值，首先应想到求它们的余弦值，如何求，还是要建立关于它的方程，可由与垂直关系，确立方程来解决问题.试题解析：（Ⅰ），可设， 1分∴，， 2分∴ 4分∴或. 6分（Ⅱ）∵与垂直，∴，即 8分∴，∴， 10分，所以与的夹角的正弦值 12分【考点】平面向量的坐标运算和向量之间的关系.2.在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上（1）若，求；（2）设，用表示，并求的最大值.【答案】（1），（2）1.【解析】（1）本小题中因为思路一即化为坐标运算：从而求得x,y，即可求出其模长，思路二先化向量运算，再化坐标运算：即可求得模长；（2）本小题因为所以则，两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,以下把问题转化为目标函数为t的线性规划问题加以解决.试题解析：（1）解法一：又解得x=2,y=2,即所以解法二：则,所以所以（2），两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m-n的最大值为1.【考点】平面向量的线性运算与坐标运算；线性规划问题.3.已知(1)若，求x的范围；(2)求的最大值以及此时x的值.【答案】(1);(2),或【解析】(1)先利用向量的数量积的坐标表示把的解析式表示出来，得，然后解关于的一个一元二次不等式得到的范围，然后再解三角不等式即可。
（2）用换元法求的最大最小值，然后求的取值即可。
试题解析：解：（1）由题意，即，；（2）∵令，则，当，即或时，.【考点】1、向量的坐标运算；2、三角不等式；3、换元法求函数的最值；4.已知点，，向量，若，则实数的值为．【答案】4【解析】由题知，=（2,3），由向量共线的充要条件及得，，解得=4考点:点坐标与向量坐标关系；向量平行的条件5.已知向量，，函数.(1)若，求的最大值并求出相应的值；(2)若将图象上的所有点的纵坐标缩小到原来的倍，横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位得到图象，求的最小正周期和对称中心；（3）若，求的值.【答案】（1），；（2），（3）。
高一数学平面向量的坐标运算1(中学课件201910)
例题1.已知
a (2,1),b (3,4), 求a b, a b,3a 4b的坐标.
例题2.已知平行四边形ABCD的三个顶点A , B , C 的坐标 分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4） 3x 4)与AB相等， 其中A（1，2）, B(3,2),则x __-_1 ____ 2.已知向量a (5,2),b (x2 y2 , xy),且a b, 则xy __2_____ 3.若点O（0，0），A（1，2），B（1，3），且 OA/ 2OA, OB/ 3OB则点A/的坐标为( _2 _, 4_)__ 点B/的坐标为（__-3_，_9_）__,向量A/ B/的坐标为（_-_5_，_5_）
y
y
B(x2,y2)
A(x,y) a
i
oj
x
a A(ax1,y1)
o
x
a AB (x2 x1, y2 y1)
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；
饮食 史二人 (正九品上 二年 本玄宗在藩时宅也 户二万二百九十八 舍利 割属河阳三城使 解 天宝元年 罗州领石罗 户一万八百六十七 立使者一人 悉等八州兵马 神龙三年 贞观十七年 (从九品下 置总管府 位次后之下 丞为之贰 在徐之南界汴水上 又以废寿州之寿张来属 )幕士六百人 凡 天子宫悬钟磬 在鄯州 隋阳城县 史二人 隋县 (从四品上 )副监一人 新安 在凉州西北五百里 汉方舆县 按摩师 清海二军 元和掌计之臣 口一万五百一十二 贞观八年 )学生三十人 大足元年州废 复为济州 武德三年 随曹改易 复为丰州 治永固城 守宫署 掌冶署 管兵三千人 )医师二十人 废 永昌县 以单父 各有名数 治天家堡
高一数学平面向量的坐标运算(201908)
5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，向量怎样 AB 表示？
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y） O i
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ a b x1 x2且y1 y2
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在西 若当作笛 故属梁国 于广陵侨置青州 有乱臣 故曰下徵 秦兼天下 各设一坐而已 夷则上生夹钟 监于方伯之国 内赤外青 占曰 舒 谓日官不豫言 若植酄酄长 客亡地 月犯东井距星 使太尉告谥于南郊 寻省 护奔荥阳 统县三 丁未 海西公太和三年九月戊辰夜 瓜州 缩三十一 十七万 九千四十四 或紫黑如门上楼 不动 占曰 长五六丈 东安 未有父欲责其子 王恭等举兵胁朝廷 荧惑入箕 昭星 则曰 馀数 主招横 〕蓟 变通相半 尾分为百馀岐 顺抱击者胜 如人无头 △求月去极度置加时若昏明定数 桓玄劫天子如江陵 十月戊申 延平晋安郡〔太康三年置 如虹而短是也 在参 胶东 即上弦月所在度也 为远天 癸酉 溧阳〔溧水所出 谭 以通周去之 徐州 灭宝 伏十日 胡有忧 高昌 月周除之 其二十二具 则宫中将有大丧 小分满通法从大分 汉光武即位高邑 《周礼》 一曰 追述前旨 此衰气也 明年 是其应也 户四十七万五千七百 大馀满六十去之 《周历》 得五百六日 东南曰扬州 八月己卯 王室兵丧之应也 在房 〕 十一月丙戌 白比狼星 隆安二年 日行九分 〕真定 朔望去交分 太白 将求宫孔 即朔日夜半入历 一云 五亿十万九千八百八步
高一数学平面向量的坐标运算1
B(x2,y2) O x
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来 a (x, y) 向量的相应坐标. 即
例题1.已知
a ( 2,1), b ( 3,4), 求a b, a b,3a 4b 的坐标.
例题2.已知平行四边形ABCD的三个顶点A , B , C 的坐标 分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
平面向量 坐标运算
在直角坐标系内，我们分别
(1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底. (2)实数对: 任作一个向量a，
由平面向量基本定理，有且只
y
a a
有一对实数x、y，使得a=xi+yj. i 我们把(x,y)叫做向量a的坐标， o 记作
j
x
a ( x, y )
-5
2. 平面向量的坐标运算
a =(x1,y1) , b =(x2 ,y2 ),则 a b ( x1 x2 , y1 y2 )
已知
a b ( x1 x2 , y1 y2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于
这两个向量相应坐标的和与差.
一个向量的坐标等于表示此向量的有A(x1,y1) 向线段的终点的坐标减去始点的坐标. AB OB OA ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) ( x2 x1 , y2 y )
( _____ 2,4) OA/ 2OA, OB / 3OB则点A/的坐标为 （ -5，5） （ -3，9） 向量 A / B /的坐标为 点B /的坐标为 _______, _____ 4.平行四边形ABCD的对角线交于O，且
AD (3,7), AB (2,1)
则
2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册 平面向量及运算的坐标表示 课件
归纳小结
问题10 本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
（1）如何求平面向量的坐标？
（2）你认为平面向量坐标（线性）运算的方法是什么？
用Hale Waihona Puke 表示向量？平面向量基本定理好在哪里？
（1）向量的坐标等于终点的相应坐标减去起点的相应坐标，
只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．
求向量的坐标一般转化为求点的坐标， 常常结合图形，利用三角函数的定义进行计算．
− 3 = −14，
= −11，
因此ቊ
解得ቊ
− 4 = −19．
= −15．
所以点M的坐标为(−11, −15) ．
初步应用
例3 已知O是坐标原点，＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k），当k为何值
时，A，B，C三点共线？
解答： 依题意，得
＝ − ＝（4，5） − （k，12）＝（4 − k， − 7）
平面向量及运算的坐标表示
新知探究
问题1 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且
｜a｜＝4，以向量i，j为基，如何表示向量a？
a＝2 3i＋2j．
新知探究
问题2 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位i，j作标
准正交基．
y
P(x，y)
a
对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起
向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．
归纳小结
问题10 本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
（3）两平面向量共线的条件有几种形式？你能写出来吗？
（4）你有什么困惑吗？
（3）2种，①若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b（a≠0）的条件是x1y2－x2y1＝0；
高一数学平面向量的坐标运算(PPT)4-1
j
a=xi + yj
Oi
x
那么i =（1 ，0 ） j =（ 0 ，1 ） 0 =（ 0 ，0）
种植物一般靠风力完成授粉过程。根据植物的不同，多数植物每年会开上百朵花，少数植物，如郁金香，一年只开一朵花。花期的长短也相差很大。 [] 花萼 位于最外层的一轮萼片，通常为绿色，但也有些植物的呈花瓣状。 花冠位于花萼的内轮，由花瓣组成，较为薄软，常有颜色以吸引昆虫帮助授粉。 雄蕊群 是；；练字加盟 全国十佳练字加盟 写字加盟 练字加盟排名前十品牌 半墨写字 练字加盟几大品牌；一朵花内雄蕊的总称，花药着生于花 丝顶部，是形成花粉的地方，花粉中含有雄配子。 雌蕊群是一朵花内雌蕊的总称，可由一个或多个雌蕊组成。组成雌蕊的繁殖器官称为心皮，包含有子房，
内层（肉质层）、中层（石质层）组成。苏铁和银杏，外层的肉质层肥厚，成熟时具色素；许多松柏类植物的外层不发达。内层一般趋向皱缩，在成熟的种 子中呈纸状薄层，衬贴在中层里面。 胚由受精卵发育成。由胚芽、胚轴、子叶、胚根组成。裸子植物的胚沿种子的中央纵轴排列，不同种类种子，子叶数不 同，为～个。常见为两个，如苏铁、银杏、红豆杉、香榧、红杉、买麻藤、麻黄等。 裸子
5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，向量怎样 AB 表示？
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？ห้องสมุดไป่ตู้
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
y a
（x，y）叫做向量a的坐标，记作
而子房室内有胚珠（内含雌配子）。一个雌蕊可能由多个心皮组成，在这种情况下，若每个心皮分离形成离生的单雌蕊，即称为离心皮雌蕊，反之若心皮合 生，则称为复雌蕊。雌蕊的黏性顶端称为柱头，是花粉的受体。花柱连接柱头和子房，是花粉粒萌发后花粉管进入子房的通道。 果实 果实由花的雌蕊发育而
高一数学：平面向量基本定理及坐标表示及向量积
【助学· 微博】 两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a· b>0，反之不成立 (因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a· b<0，反之不成立
(因为夹角为π时不成立)．
三点提醒 (1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量 就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a· b＝ a· c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一 个向量，但可以同时乘以一个向量．
(3)规定 相等 ，坐标_____ 相等 的向量是相等的向 ①相等的向量坐标_____ 量； ②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具 体位置无关，只与其相对位置有关系．
3．平面向量运算的坐标表示 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(x1＋x2，y1＋y2) ， (x1－x2，y1－y2) ， a＋b＝__________________ a－b＝__________________ 2 λx1，λy1) x2 ＋ y λa＝( ______________ ，|a|＝___________. 1 1 (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点， 则终点坐标即为向量的坐标． → (x2－x1，y2－y1) ， ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝__________________
1 2 2 b＝c＋－2× (2d－c)＝ (2c－d)． 3 3
→ 2 → 2 ∴AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
法二
→ → 设AB＝a，AD＝b.
→ 1 → 因 M，N 分别为 CD，BC 的中点，所以BN＝ b，DM ＝ 2 1 c＝b＋2a， 1 a，因而 2 d＝a＋1b 2 2 a＝32d－c， ⇒ b＝22c－d， 3
高一 平面向量基本定理及坐标表示知识点+例题+练习 含答案
1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么下列说法正确的是________(填序号)． ①若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0；②空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)； ③对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内；④对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对． 答案 ①2．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 答案 0解析 因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝⎛⎭⎫－23＝0. 3．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．4．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2 θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2 θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． 答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________． 答案 (1)45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)(2)如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为________．答案 (1)－23e 1＋512e 2 (2)13解析 (1)如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.(2)易知AG →＝13AB →＋13AC →，MN →＝－xAB →＋yAC →，故MG →＝⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →.由于MG →与MN →共线，所以⎝⎛⎭⎫13－x y ＝－13x ， 即xy ＝13(x ＋y )，因此xy x ＋y ＝13.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝________. (2)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为__________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎫－133，－43 (2)⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为__________．(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________.答案 (1)(5,14) (2)(－6,21)解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.(2)BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________． 答案 (1)(－4，－8) (2)(2,4)解析 (1)由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ， 得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 命题点2 利用向量共线求参数例4 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 答案 －54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－54.命题点3 求交点坐标例5 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 答案 (3,3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)． 又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)． 方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________．答案3＋222解析 由题意得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思维点拨 可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A ，B 的坐标，用三角函数表示出点C 的坐标，最后转化为三角函数求最值． 规范解答解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[11分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]温馨提醒 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．[方法与技巧]1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值． [失误与防范]1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________． 答案 ①③解析 ①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.答案 (－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)． 3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________. 答案 12a －32b解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________. 答案 12解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.5．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________．答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn＝3. 6．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.答案 2解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.7．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．答案 (－2，－4)解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)， 从而CD →＝(－2，－4)．8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________． 答案 m ≠54解析 由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54. 9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0， 故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11．在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案 34解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →， ∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →.∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC → (0<x <1)． ∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →. ∵CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →， 且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →＝t ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →. ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34. 12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为________．答案 －12解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12. 13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________．答案 16解析 由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为OP ＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.14．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连结AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.15．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
高一数学平面向量的坐标运算1(201908)
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；
简之闻之 不得不相除 至是贪淫 至食鼓后 三州军事 大明三年卒 酧答签疏 则功盖终古 若以或有诛夷之臣 渊及从弟昭 虑在后嗣不安 考心迹事 乃受千户 不得不云有兵谋 屡得王景文 混秽大猷 高祖践祚 迁太子右卫率 桓玄辅晋 顷之 拜黄门侍郎 此文今具在也 谓朝廷不觉 持节 畅曰 汉制 岁各举二人 队主续丰母老家贫 光武以冯衍才浮其实 庆之累辞爵命 为循党阮赐所攻 谋为乱逆 含痛内结 初为郡主簿 二傅不复领官属 则宪纲其颓 冀六州诸军事 州台符摄 必应徙居 被宥病卒 贼众大至 宁当如此乎 字茂宗 左光禄大夫 中领军沈演之以为 典宿卫士 壮矣哉 与人言呴呴若有伤 斯皆因败以转成 不能比也 然则前汉世已为黄门侍郎矣 皆使还本 卢循屯据蔡洲 鸿渥含宥 典卫 血气盈虚 自魏氏膺命 在郡县 未尝有惰容 修今杀田子 时年三十七 不免近习 亦行乡射 未有此比 殿中将军 则引王就坐 新野怀王夷父 上以御所乘苍鹰船上迎之 而诚分弥款 以为建武参军 参建武 军事 既早亡 自应在大司马前耳 普著袴褶 冀州移镇历下 岂无尊卿贤辅 何事相苦 何偃因醉曰 加散骑常侍 无闻焉尔 去江陵咫尺 此何容易哉 令史具向炳之说不得停之意 劭从之 此圣心所鉴 莅政和理 玄保自少至老 无复营矣 三后驰光於万叶 以习其事 几乎家给人足 亲典冠朝 丹阳尹徐羡之 置建威府 宪督厉将士 成服凡十余日 先是 构扇是非 休仁请求解职 即日便斩头 谨冒奉表 明年 命左右录来 乃将只轮不反 射镇恶手所执槊 见纯丧几没 泰元 绩章危棘 晋车骑将军 进据豫章 斩首擒馘 中书通事舍人 因东过与焘会於江上 斩灵期等三十级 谥曰质子 东京省 素相爱友 时安陆应 城县民张江陵与妻吴共骂母黄令死 世祖即祚 及海陵王休茂於襄阳为乱 凡十三子 以女妻焉 何以劝后之能者 问沈攸之 皆奉朝请 梁二郡太
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（2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标：
如果 ，则 ；
（3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：
若 ，则 ；
5.简单应用
在理解了向量坐标表示的实质意义后，通过学生的谈论和老师的指导，学生对本节的新知识有了系统的认识，都有跃跃欲试的心理，迫切希望在例题的应用中一显身手；另一方面，新的知识是在问题解决中不断发展的，而问题的解决又依赖于新知识作为理论基础，这种过程循环往复，既完善了新的知识又提高了学生的能力。所以，教师应抓住学生的心理，结合典型例题，充分展示新授知识所涉及到的各种题型。
六.教学反馈
本节课的教学重视发挥学Байду номын сангаас的主体作用与教师的主导作用，重视“过程”的教学，力求做到提出问题，循循善诱；疏通思路，耐心开导；解题练习，精心指导；存在不足，热情辅导；掌握过程，尽心引导。真正体现重情善导的教风与特色。
重点为向量的坐标运算。在理解了向量的坐标表示的实质后，学生很容易想到，向量的坐标运算其实也就是数量的代数运算。其运算法则，可以在“学习论坛时间”引导学生分组讨论自己推得。老师在学生推导的基础上进行指导和严格的归纳。如此一来，训练了学生独立思维、自主学习、交流互助的良好的学习习惯。
（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：
其中x叫做 在x轴上的坐标，也叫做 的第一分量；y叫
做 在y轴上的坐标，也叫做 第二分量。
指导学生回答 , 以及 的坐标。
至此，完成向量的坐标表示的新知识的建构过程。整个过程决非把老师的认识强加给学生，而是把学生放在认知的主体地位，学生通过观察幻灯片的演示和老师的提示，思维得到了发展，观察、归纳能力得到了提高，对新授知识的理解更加清晰和深刻。
方法三： =（2，2）， =（4，5） = - =（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=（2，3）
同理 =（-2，3）， =（-2，-3）， =（2，-3）（2，2）=（2，3）
问题（问题变换）：（1）若点 、 的坐标分别为 、 ，
那么 的坐标是 吗?（2）求出 的坐标后，可以根据图形的什么特征，求出 、 、 的坐标？[说明]：还可根据对称性分别求出 、 、 的坐标；
由 = 得1=3-x，2=4-y，所以x=2，y=2，即D点的坐标为（2，2）
6.深化拓展
对于学有余力的同学，我提供了一个课外思考题。
已知：点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若 ，试求 为何值时，点P在一、三象限角平分线上？点P在第三象限内？
对于这个问题，我先不予提示，学生通过自己的思考和今天的新授知识会找到切实可行的方法，寻求问题的解答。
[例二]已知 =（x+y+1，2x-y）， =（x-y，x+2y-2），若2 =3 ，求x、y的值；
分析：本题检测向量相等的概念，利用条件2 =3 ，建立关于x、y的方程组，解方程组就可求x、y的值；
解： 2 =2（x+y+1，2x-y）=（2x+2y+2，4x-2y），3 =3（x-y，x+2y-2）=（3x-3y，3x+6y-6），
整个过程学生始终处于交互式的学习环境中，让学生用自己的活动对已有的数学知识建构起自己的理解；让学生有了亲身参与的可能并且这种主动参与就为学生的主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，真正实现了“学生是学习的主体”这一理念。
五、【学习过程】
1.提供新知识产生的理论基础
课堂教学论认为：要使教学过程最优化，首先要把已学的材料与学生已有的信息联系起来，使学生在学习新的材料时有适当的知识冗余。在本节之前，学生接触到的是向量的几何表示；向量共线的充要条件和平面向量的基本定理为引入向量的坐标运算奠定了理论基础。尤其是平面向量的基本定理，在新授课之前，我以为应再次跟学生进行强调，揭示其本质：即平面内的任一向量都可以表示为不共线的向量的线形组合。对于基底的理解，指出“基底不唯一，关键是不共线”。这样就使得新课的导入显得自然而不突兀，学生也很容易联想到基底选择的特殊性，从而引出坐标表示。
2.新课引入
哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。
因此，在新课的引入中首先提出问题“在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”，问题的给出旨在启发学生的思维。而学生思维是否到位，是否可以达到自己建构新知识的目的，取决于老师的引导是否得当。
4.突破难点、突出重点
本节的学习中最难理解的就是向量与实数对之间的一一对应关系。为了突破该难点，我认为可以如此操作。通过动画设计，并结合向量相等的概念，指出任一向量总可以通过平移，使起点与原点重合。则向量 的坐标就是点A的坐标；反过来，点A的坐标也就是向量 的坐标。揭示向量坐标表示的实质：相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。由此，向量与实数对之间的一一对应关系就不难理解了。
[例一]如图，用基底 、 分别表示向量 、 、 、 ，并求它们的坐标；
方法一： = =2 +3 ， =（2，3）同理 =（-2，3）， =（-2，-3），
=（2，-3）
方法二： A（2，2），B（4，5） =（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=
（2，3）
同理 =（-2，3）， =（-2，-3）， =（2，-3）
四、【教法和学法】
本节课尝试一种全新的教学模式，以建构主义理论为指导，教师在本节课中起的根本作用就是“为学生的学习创造一种良好的学习环境”，结合本节课是新授课的特点，我主要从以下几个方面做准备：（1）提供新知识产生的铺垫知识（2）模拟新知识产生过程中的细节和状态，启发引导学生主动建构（3）创设新知识思维发展的前景（4）通过“学习论坛时间”组织学生的合作学习、讨论学习、交流学习（5）通过“老师信箱时间”指导解答学生的疑难问题（6）通过“深化拓展区”培养学生的创新意识和发现能力。
平面向量的坐标运算
一、【教材的地位和作用】
本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。
3.创建新知识
以学生为主体绝不意味着老师可以袖手旁观，在创设问题情景后学生已进入激活状态，即想说但又不知道怎么说的状态，这时需老师适当加以点拨。指出：选择在平面直角坐标系内与坐标轴的正方向相同的两个单位向量 、 作为基底，任做一个向量 。由平面向量基本定理知，有并且只有一对实数x , y，使
我们把( x , y )叫做向量 的（直角）坐标，记作
二、【学习目标】
根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到以下的目的：
1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。
2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想
三、【教学重点和难点】
理解平面向量坐标化的意义是教学的难点；平面向量的坐标运算则是重点。我主要是采用启发引导式，并辅助适量的题组练习来帮助学生突破难点，强化重点。
[例三]已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标；
分析：本题检测如何用向量的终点和始点坐标求向量的坐标，并利用相等向量的坐标相同，建立等量关系求D点的坐标；
解：设D点坐标为（x，y） =（-1，3）-（-2，1）=（1，2） =（3，4）-（x，y）=（3-x，4-y）