人教课标版高中数学必修1第一章 集合与函数概念函数及其表示教案

人教课标版高中数学必修1第一章 集合与函数概念函数及其表示一、知识概括1、集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），通常用小写拉丁字母a,b,c ,…表示。

把一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集，通常用大写拉丁字母A,B,C ，…表示。

集合如同平面几何中点、线、平面等概念一样，是集合论中的原始概念，只进行描述说明，无法定义概念。

某些教材中对集合的描述是：指定的某些对象的全体称为集合。

其中，注意理解（1）指定即说明某些对象具有共同的特征或共同的属性，说明已具备判定对象是否成为该集合的元素的判定标准，而不是随意组合。

（2）对象在不同的集合中，应有不同的内涵。

在不同的集合中，元素还可能是人、物、质点或抽象事物等。

（3）全体说明集合是一个整体概念，针对全部对象而言，并且在这个整体中各元素间无先后排列要求，没有一定的顺序关系。

【注】（1）只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

（2）构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任何确定的对象。

2、集合元素的特性集合元素具有确定性、互异性、无序性三大特性。

（1）确定性集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，按照该集合的构成标准能够明确判定一个对象是否属于这个集合。

如“个子高的同学”这一组对象就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不够明确，而“身高超过170cm 的同学”这一组对象可以构成一个集合。

（2）互异性集合中的元素一定是不同的（或说是互异的）也就是说，相同的元素在一个集合中只能出现一次。

如方程0122=+-x x 的解构成的集合是{1}，而不能写成{1,1}（3）无序性集合中元素的排列次序无先后之分，如集合{1,2}和{2,1}是同一个集合。

3、集合与元素的关系元素与集合有属于（∈）和不属于（∉）两种关系。

如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A 。

注：符号“∈”和“∉”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系。

4、特定集合表示法特定集合是人们约定俗成的用固定字母、符号来表示的特殊集合，解题中作为已知使用。

主要有以下几种：非负整数集（自然数集），记作N ；正整数集，记作+N N 或*；整数集，记作Z ；有理数集。

记作Q ；实数集，记作R 。

5、集合的表示方法我们知道方程0232=+-x x 的解为x=1或x=2，不等式x-2>4的解集为x>6，如何利用数学语言表示由它们的结果构成的集合呢？集合的表示方法常见的有自然语言法、列举法和描述法，以后还会学到Venn 图法。

（1）自然语言法自然语言是用文字叙述的形式描述集合的方法，使用此方法要注意叙述清楚即可，如被3除余数是2的正整数的集合。

（2）列举法把集合的元素一一列举出来，并用“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法。

如由方程0232=+-x x 的解构成的集合可以表示成{1,2}【注】：使用列举法时要注意：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复（互异性）；③元素之间不用考虑先后顺序（无序性）；④有些集合的元素较多，元素又呈现一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如不大于100的正整数构成的集合，可表示成{1,2,3，…，100}；⑤可以表示有限集，也可以表示无限集。

（3）描述法①用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法②具体方法是：在括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

③描述法的一般形式是{x ∈I|p(x)}，其中x 是集合中元素的代表形式，I 是元素的取值（或变化）范围，p(x)是这个集合中元素所具有的共同特征，如不等式x-2>4的解集x>6可表示成{x ∈R|x>6}【注】：使用描述法时要注意：①写清该集合中元素的代表符号，如实数或实数对等，再如{x ∈R|x>1}不能写成{x>1}；②用简洁、准确的语言说明该集合中元素的性质，如方程、不等式、几何图形等；③不能出现未被说明的字母，如{x ∈Z|x=2m }中m 未被说明，故此几何元素是不明确的；④所有描述的内容都要写在集合括号内，如{x ∈Z|x=2m }，*N m ∈便不符合要求，应将*N m ∈写进“{ }”中，即{x ∈Z|x=2m ，*N m ∈}；⑤元素的取值（或变化）范围，从上下文来看，若是明确的可省略不写，如集合D={x ∈R|x<10}也可表示为D={x |x<10}；⑥多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x |x<10或x>10}等。

6、集合的不同表示方法的转换（1）列举法和描述法的优缺点列举法具有直观、明了的特点。

其缺点是不易看出元素所具有的属性，且有些集合是不能用列举法表示的，如x-1>0的解集描述法把集合中的元素所具有的特征性质描述出来，具有抽象性、概括性、普遍性的特点，其缺点是不易看出集合的具体元素。

（2）有限集、无限集根据集合中元素的个数还可以将集合分为有限集和无限集，当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集。

对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，一般不写成{2,1,4,3，…}7、数集与点集的区分方法集合的元素类型多少以数、点、图形或集合等形式出现的。

对于已知集合必须弄清楚几何元素的形成，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性（如表示数集、点集等）。

例如：集合{x|01-22=+x x }表示方程的解集，即{2-1-21-，+}；集合{y|y=1-22x x +}表示函数y=1-22x x +的所有函数值组成的集合，即{y|y ≥-2}；集合{x|y=12+x }表示函数y=12+x 的所有自变量的取值组成的集合，即{x|x ∈R }，它们都是数集，即均可在数轴上表示；集合{（x,y ）| y=12+x }表示函数y=12+x 的图像上所有点组成的集合。

【易错点】：（1）书写上的错误，误把点集{（2,3）}写成{2,3}或{x=2,y=3}（2）理解上的错误，误认为{ y|y=62+x ,x ∈R}等价于{（x,y ）| y=62+x ,x ∈R }或{ x|y=62+x ,x ∈R}8、集合语言集合语言就是将数学中的许多概念和知识用集合知识来叙述。

9、集合中含参问题的处理方法分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，它适用于解答从整体上难以解决的数学问题。

运用分类讨论思想解决问题时，把所给的已知条件的集合进行科学的划分十分必要，必须遵循不重不漏和最简原则，其一般步骤是：（1）考察分类讨论思想；（2）明确分类讨论对象，确定对象的范围；（3）确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；（4）逐类讨论，获得阶段性结果；（5）归纳总结，得出结论。

二、典例归纳考点一：集合含义，常用数集及其记法（选择题）【例1】下列每组对象是否构成一个集合：（1） 数学必修1课本中所有的难题；（2） 不超过20的非负数（3） 方程016-2=x 在实数范围内的解；（4） 3的近似值的全体【例2】已知集合A={12,52,22a a a +-}，且-3∈A ，求a 的值。

【例3】集合A={Z b Z a b a x x ∈∈+=,,2|}，判断下列元素231,121.0--=x 与集合A 之间的关系。

【例4】由实数x ，－x ，||x ，2x ，33x -，所组成的集合最多含有元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【变式1】下列各项中，不可以组成集合的是（ ）A 所有的正数B 等于2的数C 接近于0的数D 不等于0的偶数★【变式2】下面命题正确的有（ ）（1） 很小的实数可以构成集合；（2） 集合}1|{2-=x y y 与集合}1|),{(2-=x y y x 是同一个集合；（3） 5.0|,21|,46,23,1-这些数组成的集合有5个元素； （4） 集合},,0|),{(R y x xy y x ∈≤是指第二和第四象限内的点集A 0个B 1个C 2个D 3个【变式3】下面四个命题中正确的个数是（ ）（1）集合N 中最小的数是1,；（2）若-a 不属于N ，则a 属于N ；（3）若a ∈N ，b ∈N ，则a+b 的最小值为2；（4）x x 212=+的解可以表示为{1,1}A 0个B 1个C 2个D 3个【变式4】若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形★【变式5】设非空集合S={x|m ≤x ≤l}满足：当x ∈S 时，有S x ∈2，给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m=21-，则141≤≤l ；③若21=l ，则022≤≤-m 其中正确的命题个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3★【变式6】由实数33222,)(,|,|,x x x x x x --所组成的集合中最多含有 个元素。

方法总结：（1）判断一组对象能否组成集合，关键看对象的标准是否明确．如果此组对象的限定范围满足确定性，就可组成集合；否则，不能组成集合（2）判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性。

（3）解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析、解决。

一方面，要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，解决问题的同时，应注意检验元素是否满足它的“三性”。

（4）由集合相等求参数，应从集合相等的概念入手，寻找元素之间的关系，若集合中的未知元素不止一个，需进行分类讨论．注意利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍 考点二：元素与集合的关系（选择题）【例1】已知集合M={（x,y ）|x+y=2},N={（x,y ）|x-y=4},若N a M a ∈∈且，那么a 为（ ）A {3，-1}B （3，-1）C {（3，-1）}D {x=3,y=-1}【例2】用“∈”或“∉”符号填空：（1）8 N ； （2）0 N ；（3）-3 Z ； （4【例3】（1）用适当的符号填空：已知A={x|x=3k+2,k ∈Z},B={x|x=6m-1,m ∈Z}，则有： 17 A ；-5 A ；17 B（2）已知集合M={x|x=3n,n ∈Z}，N={x|x=3n+1,n ∈Z}，P3={x|x=3n-1,n ∈Z}且a ∈M,b ∈N,c ∈P,设d=a-b+c ，则（ ）A d ∈MB d ∈NC d ∈PD 以上都不对【变式1】已知集合A={y|y=R x x x ∈-+,45-2},则有（ ）A 1∈A ，且4∈AB 1∈A ，但4∉AC 1∉A ，但4∈AD 1∉A ，且4∉A【变式2】下列说法正确的是（ ）A *0N ∈B Q ∈2C Q ∈πD Z ∈2-【变式3】用适当的符号填空（1≤2}, (1,2) {(x,y)|y=x+1}（2）2+≤32+}【变式4】已知321-=a ，},,3|{Z n m n m x x A ∈+==，则a 与A 之间是什么关系★【变式5】设b ax x y ++=2，A={x|y=x}={a}，M={（a,b ）}，求M★【变式6】集合A={x|x=3n+1,n ∈Z}，B={x|x=3n+2,n ∈Z}，M={x|x=6n+3,n ∈Z}（1）若m ∈M ，问：是否有a ∈A,b ∈B ，使m=a+b 成立？（2）对于任意a ∈A,b ∈B ，是否一定有a+b=m 且m ∈M ？证明你的结论。