2015暑期六升七数学预习 七上 1.3《探索三角形全等的条件》

练一练： 1、 图中的两个三角形全等吗? 请说明理由.
全等.因为两角和其中一角的对 边对应相等的两个三角形全等.
解：在ABC和DBC中
ABC DBC (已知)
A
110°
B
A D
(已知)
35° 35° 110°
D
C
BC BC (公共边)
\ ABC DBC ( AAS)
2、 图中的两个三角形有几对相等的角？ 这两个三角形全等吗? 请说明理由.
小结：方法1： 如果给出一个三角形的三条边的长 度，那么由些可以得到的三角形是全等的。 A
∵AB=DE，AC=DF，BC=EF
B D C
∴Δ ABC≌Δ DEF（SSS）
E
F
三、展望未来：
问题1：如果已知一个三角形的两角及一边，那 么有几种可能的情况呢？
答：角边角（ASA） 角角边（AAS） 问题2: 做一做：按要求画出三角形，并与同伴 交流 。已知：∠A=60°、∠B=80°、AB=2cm
∴∠1= ∠2(全等三角形对应角相等）
∵ ∠1+∠2=180º
1 ∴∠1= ∠BDC＝90º 2
∴AD ⊥BC（垂直定义）
问：除可证得AD ⊥ BC外， 还可得到哪些结论？
课堂小结：
1、“SSS”公理，三角形的稳定性及其应用。
2、证角（或线段）相等转化为证角 （或线段）所在的三角形全等; 3、四边形问题转化为三角形问题来解决。
一个条件
三个条件
(1) 三角形的三个角对应相等。 (2) 三角形的三条边对应相等。 (3) 三角形的两条边和一个角对应相等。
(4) 三角形的一条边和两个角对应相等。
给出三个 条件时， 三 个内角对应 相等的两个 三角形也不 一定全等。
三角形的6个元素中任意选 3个，能有多少种选法？
两边一角
两角一边 三边 三角
探索三角形全等的条件
1. 怎样的两个三角形是全等三角形？ 完全重合的两个三角形全等 2.两个全等三角形具有怎样的性质？
A E
B
C
F
G
全等三角形的对应边相等，对应角相等
3. 两个三角形需满足几个条件才能说明它们全等？
能否只取一部分条件来判断两个三角形全等？
1.3.1 三角形全等的条件(一)
如果两个三角形全等那么它们的三组边 对应相等，三组角也对应相等，就可得 到6组元素对应相等，若反之，这6组元 素对应相等，那么这两个三角形是否全 等呢？——这节课我们就来探究三角形 全等的条件！
A
60°
75° B
6cm
C
A
D
E C 方法2：∵∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F B ∴Δ ABC≌DEF（ASA） 方法3：∵ ∠B=∠E ，∠C=∠F，AC=DF ∴Δ ABC≌DEF （AAS） D A
F
B
C
E
F
不能把“AAS”、“ASA”简述为“两角
和一边对应相等的两个三角形全等”？ 在△ADE和△ABC中
C
剪下来，与同伴进行比较，它们 能否互相重合？ 小结：方法2：两角和它们的夹边 对应相等的两个三角形全等，简写 成“角边角”或“ASA”
A
600
2cm
800
B
问题3：做一做：按要求画三角形，并与同 伴交流
已知：∠A=600、∠C=750、BC=6cm 剪下来，与同伴进行比较， 它们能否互相重合？ 小结：方法3：两角和其中 一角的对边对应相等的两个 三角形全等，简写成角角边 或AAS
2 1
五、课堂小结： 这堂课我们有哪些收获？
如果有两个角及它们的夹边对应相 等,那么这两个三角形全等 (简 记为ASA)
如果有两个角及其中一个角的 对边对应相等,那么这两个三角 形全等(简记为AAS)
知识要点：
(1) 两角夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”. (2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
A A ADE B AD BC
C E A D B
但△ABC和△ADE不全等
结论：说明两个三角形全等时,特别 注意边和角“位置上对应相等” 。
例2: 如图,O是AB的中点，∠A= ∠B， △AOC与△BOD全等吗?为什么？
C
两角和夹边 对应相等 小明AOB D解：在 AOC 和BOD
C
66° 25°
F D
A
6
B
E
3、如图，D是线段BE的中点，∠C=∠A， ∠B=∠E，请在图中找出一对全等三角形。 E 并说明理由。
C D
A B
问题解决：小明不小心将一块三角形模 具打碎了，他是否可以只带其中的一块 碎片到商店去，就能配一块与原来一样 的三角形模具呢？如果可以，带哪块去 合适？为什么？
3.过点A，D做射线AD
∴射线AD就是所求的角平分线
例3、如图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连结 点 A和BC中点的支架，试说明：AD⊥BC
证明：∵D是BC的中点 ∴BD=CD 在△ABD和△ACD中， AB＝AC（已知） A
1
B D
2
C
AD＝AD（公共边）
DB＝DC ∴ △ ABD≌ △ACD（SSS）
中
(已知)
A B
AO BO (中点的定义) AOC BOD (对顶角相等) \ △AOC △ BOD ( ASA)
变式: 如图,O是AB的中点，∠C= ∠D， △AOC与△BOD全等吗?为什么？
C
小明 两角和其中 一角的对边 对应相等
A
O
B D
解：在
AOC 和BOD
中
∠C= ∠D (已知) AOC BOD (对顶角相等) (中点的定义) AO BO △ \△ AOC BOD (AAS)
3、点E、F在线段BF上，BE=CF，AB∥DE， ∠ACB=∠F。求证：△ABC≌△DEF
A
D
B
E C
F
注意：
（1）BE边是不是△ABC的一条边？
（2）在两个三角形中，对应相等的有哪些条件？
三边对应相等的两个三角形全等 （简写成“边边边”或“SSS”）
A
A′
B
C
B′
C′
在△ABC和△ A＇B＇C＇中 AB＝A＇B＇（已知） BC＝B＇C＇（已知） AC＝A‘C’ （已知） ∴ △ ABC≌ △ A＇B＇C＇（SSS）
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，
AD是中线。△ABD与△ACD全等吗？
O B D C
自主 合作 探究 互动
1.3.2 三角形全等的条件(二)
一、提出问题：小明不小心将一块三角形模 具打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片 到商店去，就能配一块与原来一样的三角形 模具呢？如果可以，带哪块去合适？
2 1
二、回首往事：
判断三角形全等至少要有几个条件？ 答：至少要有三个条件
B D
那么AD平分∠BAC吗? 你能否得出不用量角 器画角的平分线的方 法?
A
C
已知一个角∠ BAC，请按以下画法用没有刻 度的直尺和圆规画它的角平分线:
画法：1.以A为圆心，适当长为半径画圆弧，与角的两边分 别交于E、F两点
2.分别以E、F为圆心，大于1/2EF长为半径画圆弧， 两条 圆弧交于∠BAC内一点D
A B
C
∴ ∠A＝∠C（全等三角形对应角相等）
做一做 有一些长度适当的木条，用钉子把它们分别钉
成三角形和四边形，并拉动它们。 三角形的大小和形状是固定不变的，而四边 形的形状会改变。 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状和大小完 全被确定，这个性质叫三角形的稳定性。
挑战自我
如图，已知AB=AC，BD=CD， 那么ΔABD≌ΔACD吗？为什么？ ∠BAD=∠CAD吗？为什么？
A F B E D
1 2
A
C
D B
E
C
2、如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
如图，已知BE＝CD，∠D＝∠E。
求证：AB＝AC 分离法 D 证明：在△ABE和△ACD中
A E A D C C
D＝E（已证） A＝A（公共角） CD＝BE（已知）
B
A E
∴△ABE≌△ACD（AAS） ∴AB＝AC（全等三角形 对应边相等） B
4. 角平分线的尺规作图法.
目标检测
1.如图，已知AB=AC，BD=CD，则图中对应相等的角有（ A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 A D ）
2.如图，课本P22第3题
B
E
C
3、如图，小明在做数学作业时，遇到这样一个问题： AB=CD，BC=AD，请说明∠A=∠C的道理。小明 动手测量了一下，发现∠A确实与∠C相等，但他 不能说明其中的道理，你能帮助他吗？ A
BC＝DF（已证）
B
C D E
F
AC＝DE（已知） ∴△ABC≌△EFD（SSS）
例2、如图，已知AB＝CD，AD＝CB，
新知运用
D
试说明∠B＝∠D的理由
解：连结AC
在△ABC和△ CDA中 AB＝CD（已知） CB＝AD（已知） AC＝CA（公共边） ∴ △ ABC≌ △ CDA（SSS）
A B
A
D
B
C
BC = CB （公共边 ）
∴
△ABC
≌
△DCB （
SSS
）
随堂练习：如图，B、D、C、F在同一条直线上， AB＝EF，AC＝ED，BD＝FC。△ABC与△EFD是 否全等？为什么？
∵BD＝CF（已知） 解： ∴ BD+DC=CF+DC A
即 BC＝DF 在△ABC和△EFD中 AB＝EF（已知）