线性代数 居余马 第6章 二次型

第二章 矩阵
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定义6.2
对矩阵A和B, 如果存在可逆矩阵C ，使得
B= CTA C， 就称矩阵A 相合(或合同)于B ,
（记作A ≃ B)。
矩阵的相合关系是一种等价关系，具有以下性质： (1) 自反性， A Mn(F), A ≃ A； (2) 对称性， A, B Mn(F), 若A ≃ B, 则 B ≃ A； (3) 传递性， A, B, C Mn(F), 若A ≃ B, B ≃ C，则 A≃C。
2 5 4 5 5
15 15
3
2 3 2 3
1 3
则T1AT = diag(1, 1, 10) x TA x = yT(CTAC)y = y12+ y22 +10y32
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第二章 矩阵
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例2
将一般二次曲面方程
x2 2 y2 10z 2 28 xy 8 yz 20 xz 26 x 32 y 28z 38 0 (1)
(3)
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第二章 矩阵
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则 则
T1AT = diag (9, 18, 18) x TA x = yT(TTAT)y=9 x'2+18 y'2 18z' 2
将(3)式代入(1)式的一次项部分，曲面方程化为
38 4 16 x2 2 y2 2z2 2 x y z 3 3 3 9 0
T
第二章 矩阵 12
将(2)式x =Cy 代入，得
x T A x = yT (C T AC)y
2 2 2 22 y1 5 3 2 2 2 ( y1 , y2 ) y 2 2 2 2 2 2 3 5 2 2 2 2 0 y1 2 2 ( y1 , y2 ) 2 y 8 y y 1 2 4 0 8 2 在{1, 2}坐标系下，方程(1)化为标准方程
量为1, 其余为 0)，代入上式得
aii=bii (i=1, 2, , n) 再取 x 为向量 eij = (0, ,1, ,1, ,0)T(第 i, j个分 量为1, 其余为0)，代入上式得 aij=bij (ij)
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例1 设
2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 2 x12 x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x4 x3 5 x42
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1 2 3 3 4 2 4 1 0 2 0 4
第二章 矩阵 5
例
已知矩阵
5 1 1 A 1 1 3 1 3 2
求 A 对应的二次型 f (x1 , x2 , x3) .
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第二章 矩阵
第二章 矩阵
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6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵
定义6.1 n元变量x1,x2,,xn的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 , , xn ) a x 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
2 11 1
2a1n x1 xn
a x 2a23 x2 x3
2 22 2
3 3 3
2 3 1 3
2 3
令x = T y, 其中 x=(x, y, z)T, y=(x', y ', z ', )T
2 2 x y x 1 3 3 3 z 1 2 x Ty , 即 y 2 x y 3 3 3 z z 2 x 2 y 1 z 3 3 3
f() = x TA x = yT(C TA C)y ,
B = C TA C
故 f() 在基B1和B2下对应的矩阵分别是A和 B = C TA C
yT(CTA C)y 是 y1,y2,,yn 的一个二次型。
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例2 设向量在自然基{1, 2} 下的坐标 x=(x1, x2)T 满足 2 2
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6.2 化二次型为标准形
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T T 2 2 a x x d y d y x Ax y C ACy ij i j 1 1 2 2 T
n
n
x Cy C 0
i 1 j 1
2 dn yn
二次型化为不含混合项只含平方项的二次型，这 种二次型称其为标准形。 化二次型为标准形共有三种方法：正交变换法， 配方法和初等变换法。
a1n x1 xn a2 n x2 x n
2 ann xn
a21 x2 x1 a22 x
2 2
an1 xn x1 an 2 xn x2 xi (ai 1 x1 ai 2 x2
i 1 n n n n n
ain xn )
xi aij x j aij xi x j
1 2
2018/10/17 第二章 矩阵 19
用Schmidt正交化方法(正交化，单位化) 得
1
5 5
2,
1, 0 , 2
T
1 3
5 15
2,
T
4, 5
T
2=10 时，得 3 1, 2, 2
取正交矩阵
2 5 5 5 T 1 , 2 , 3 5 0
在解析几何中, 为了便于研究二次曲线 ax2 + bxy + cy2 = d
的几何性质, 我们可以选择适当的坐标旋转变换
x x cos y sin , y x sin y cos .
把方程化为标准形
2 2 mx ny d .
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配方得
1 2 1 2 4 2 ( x 3 ) 2( y 3 ) 2( z 3 ) 1
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再令
x ( x 1 3) 1 y ( y 3) z ( z 4 ) 3
2018/10/17 第二章 矩阵 4
例 已知二次型
f (x1 , x2 , x3 , x4 ) x 3 x x 4 x
2 1 2 2 2 3
2 4
2 x1 x2 4 x1 x3 6 x1 x4 8 x 2 x 3 4 x 2 x4 ,
则二次型的矩阵 A
1 1 A 2 3
1 2
y 2y 1
2 1 2 2
这是一个椭圆
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第二章 矩阵
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一般二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) x Ax y C ACy
T T T
x Cy
d y d y d y
2 1 1 2 2 2
2 n n
即找矩阵C，使B =CTA C 为对角阵。
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化为标准方程（只含平方项和常数项）。
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第二章 矩阵
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解 将(1)式中二次项部分
xT Ax x2 2 y2 10z 2 28xy 8 yz 20xz
(2)
用类似例1的正交变换法化为平方和。 取正交矩阵
13 2 T 3 2 3
2 1 2
5 x1 5 x2 6 x1 x2 4
(1)
若做基变换，把{1, 2}逆时针旋转45 变成{1, 2,} 即 cos 45 sin 45 (1 , 2 ) (1 , 2 )
sin 45 cos 45
则在 {1, 2,}下的坐标 y=(y1, y2)T 满足
a1n xn a2 n xn ann xn
a1n x 1 x a2 n 2 xT Ax ann xn
[ x1 , x2 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中 x=(x1,x2,,xn)TRn， A=(aij)nn 是实对称矩 阵,称为二次型 f 对应的矩阵。
i 1 j 1 i 1 j 1
f xi aij x j
i 1 j 1
n
n
[ x1 , x2 ,
a11 x1 a12 x2 a x a x , xn ] 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a11 a12 a a22 21 , xn ] an1 an 2
6
解
设 X = (x1 , x2 , x3)T ，则
f (x1 , x2 , x3) = XTAX
5 1 1 x1 ( x1 , x2 , x3 ) 1 1 3 x2 1 x 3 2 3
2 2 2 5 x1 2 x1 x2 2 x1 x3 x2 6 x2 x3 2 x3
1 2
2 1 则它对应的矩阵为 A 2 1 0
1 0 1 0
0 0 2
0 2 0 5
f(α)=xTAx可以看成向量α的坐标x1 , x2 , x3 , x4 的二次 齐次函数。
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如果n维向量在两组基 B1={1,2,,n}和 B2 ={1,2,,n}下的坐标向量分别 x=(x1, x2,, xn)T 和 y=(y1, y2,, yn)T 又 (1, 2,, n)=(1, 2,, n) C 则 x =C y
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6.2.1 正交变换法
定理6.1（主轴定理） 对于任一个n元二次型 f(x1,x2,,xn)= xTAx ，都存在正交变换 x =Qy (Q为正交 阵)，使得QTAQ= diag( 1, 2, , n) (定理5.12), 从而
x TA x = y T(QTAQ) y =1y12++nyn2 其中1,,n 是实对称矩阵A的n个特征值，Q的n个列 向量是A属于1,,n 的n个标准正交的特征向量。
若 A, B都 是实对称矩阵, 且对应的二次型 相同，即
xT Ax aij xi x j bij xi x j xT Bx
i 1 j 1
n
n
n
n
i 1 j 1
则 A=B。
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第二章 矩阵
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证明：
先取x为单位向量 ei = (0, ,1, ,0)T (第i个分
x1 cos 45 x x2 sin 45 sin 45 y1 Cy cos 45 y2
(2)
(1)式用矩阵表示为
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5 3 x1 x Ax ( x1 , x2 ) 4 3 5 x2
例１ 用正交变换化二次型 2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 4x1x3 5x2 8x2 x3 5x3 为标准型。 解
2 2 2 A 2 5 4 2 4 5
2 2 2 I A 2 5 4 ( 1)2 ( 10) 0 2 4 5 1 1(二重) 所以 ，1=1时，有线性无关的特征 得 2 10 T T 向量x =(2, 1, 0) , x =(2, 0, 1) 。
2a2 n x2 xn

a x
2 nn n
其中系数是数域F 中的数，叫做数域F上的n 元二次型 （简称二次型）。实数域上的二次型简称实二次型。
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第二章 矩阵
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如果令aji = aij (1i<jn) ，则上式可以表示为
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2