线性代数 居余马 第6章 二次型
线性代数 第六章二次型
第六章 二次型1、二次型基本概念1º二次型：n 个变量n x x ,,1 的二次齐次多项式n n n x x a x x a x a x x f 11211221111),,(+++=n n x x a x x a 222112++++…+211n nn n n x a x x a ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ∴A A Axx x f T T ==且)( 例如：3221232221453x x x x x x x f -+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=52102132022A 结论：二次型与对称矩阵一一对应，称对称矩阵的秩为对应二次型的秩. 2º标准二次型：22111),(n n n y d y d y y f ++=3º规范二次型：2212211)(q P P p q p z z z z z z f +++-+=++4º秩与惯性指数惯性指数：在标准型或规范型中，正平方项的个数称为正惯性；负平方项的个数称为负惯性指数，且正负惯性指数之和为二次型的秩，正负惯性指数之差称为符号差。
化标准形式规范型：①配方；②合同变换二次型的矩阵的秩，正负惯性指数等相关题目思路：1）Ax x x x x f T n =),,(21 将，则秩f =秩A2）将),,(21n x x x f 用合同变换式配方法化为标准型221121),,(n n n y d y d x x x f ++= 负项的个数＝负惯性指数，秩f ＝平方项个数或化为规范型2221v p z z z f --++= 将 秩v f =正惯性指数为P ，负惯性指数为P v -例1. 1）二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 ，二次型的秩为 3 .2）实二次型2322213213),,(x x x x x x f +-=的秩为 ，正、负惯性指数分别为 例2.设)1()()()()(),,(212222121>++-+++=n x x nx nx nx x x x f n n n则f 的正负惯性指数之和为解：n n n x x x x x n x n f 1212221222)1()1(-----++-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=11111111111111122222222n n n n n n n n n n n A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→22220000111111111111n n n n2、将二次型化为标准形式已知标准形来求参数标准化方法1º配方法原理：配完全平方情形1：有平方项21⨯n a步骤：对所有含1x 的项配方，使得配方后余下的项不含1x ，如此继续，直至每一项均包含在平方项中。
线性代数第六章二次型试题及答案
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii iij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。
居于马线性代数第六章答案
第六章 二次型将下列1-3题的二次型表示成矩阵形式。
1.22(,)467f x y x xy y =-- 解：()2243(,)46737x f x y x xy y xy y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2.222(,,)346f x y z x xy y yz z =+--+解：()222320(,,)346213031x f x y z x xy y yz z xyz y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+--+=-- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭3.22212341341214232434(,,,)242264f x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++--+解：()12123412343412012013(,,,)01121322x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭4.设n 元二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为n 阶三对角对称矩阵1111111111A -⎛⎫⎪-- ⎪⎪=- ⎪- ⎪⎪-⎝⎭， 试写出二次型（二次齐次多项式）的表示式。
解：22221211222311(,,,)222n n n n n f x x x x x x x x x x x x x --=-+-++-+。
5.若二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =对一切12(,,,)T n x x x x =恒有12(,,,)0n f x x x =，证明A 为n 阶零矩阵。
证明：取(0,,1,,0)T i x =(其中第i 个分量为1，其余分量全为零)，则有11()0,1,2,,nnTi i i ij i j ii i j f x x Ax a x x a i n =======∑∑。
再取(0,,1,,1,,0)T ij x =(其中第i 和第j 个分量为1，其余分量全为零)，则有()20,,1,2,,T ij ij ij ij f x x Ax a i j n ====。
6考研基础复习(线性代数)二次型
一、二次型的基本内容
3、用正交变换法化二次型为标准形
二 次 型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax 经 过 正 交 变换 x Py （ P 为正交阵）化为：
r
f xT Ax yT (P T AP ) y
di
y
2 i
，
i 1
称为化二次型为标准形的正交变换法.
3、用正交变换法化二次型为标准形
对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
f ( x1 ,, xn ) xT Ax 0 ( 0) ，
则称该二次型为正（负）定二次型，正（负） 定二次型的矩阵 A 称为正（负）定矩阵.
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
如果实二次型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax ， 对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
i 的单位正交特征向量；
3、用正交变换法化二次型为标准形
（4）以 1 , 2 , , t 的单位正交特 征向量为列向量，可构造出正交矩阵 P ，
， P ( p11 , p12 , , pt1 , , ptnt )
P 就是所求的正交变换矩阵，使：
P 1 AP PT AP
为对角阵，其中： diag{1 , , 2 , , , t }.
相似于对角阵 ，即：
PT AP P 1 AP diag{1 , 2 , , n } ， 其中： i 0(i 1,2,n) .
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
③ A 负定； 特征值全负；
一切奇数阶主子式全 0 ， 且一切偶数阶主子式全 0；
一切奇数阶顺序主子式全 0 ， 且一切偶数阶顺序主子式全 0；
z
柱面方程 2 4 2 4 ，求 a, b 的值和正 交矩阵 P .
线性代数第 六章二次型试题及答案
特征值相同的实对称矩阵A和B一定相似，因为实对称矩阵 都能相 似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵，根 据相似的传递性，A和B一定相似。
特征值相同的普通矩阵A和B可能相似，也可能不相似。 若A和B都能相似对角化，一定相似。 若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。 若都不能对角化，可能相似，也可能相似。 例题：已知矩阵A和B，判断能否相似，
Abj=0, j=1,2,…,s b1,b2,…,bs均为Ax=0的解(r(A)+r(B)≤n) 若bj≠0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值λj=0的特征向量 A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。
AB=CA(b1, b2,…, br)=(C1, C2,…, Cr)
Abj=Cj,j=1,2,…,r bj为Ax=Cj的解. C1, C2,…, Cr可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示.
因为（2，1，2）T是A的特征向量，所以，
，
二、化二次型为标准型
1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数， 然后写出其规范形。
（1）Leabharlann 解：先集中含有x1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x2的项，凑 成完全平方
=
设，， 标准型：，正惯性指数：，负惯性指数： 规范性：
(2) f(x1,x2,x3)= x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3. 解：f(x1,x2,x3)= （x12+2x1x2-2x1x3）+2x22+2x2x3= 设 ，，标准型： 正惯性指数：，负惯性指数：，规范性： (3) f(x1,x2,x3)= -2x1x2+2x1x3+2x2x3. 解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换： ，，， 设： ， 标准型：，规范性： 2.设二次型f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b>0)，其中A的特征 值之和 为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型。 解：二次型的矩阵：，因为， （2）
线性代数课件--第6章.二次型
2 1/ 2 1 0
A 1 / 2
0
0
2
1 0 1 0
0
2
0
5
一个二次型xTAx也可看成n维向量α的一个函数,即
f (α) xTAx
其中x=(x1, x2, … , xn)T是α在Rn的一组基下的坐标向量。
6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵
二次型的矩阵表示
所以二次型xTAx是向量α的n个坐标的二次齐次函数。 因此二次型作为n维向量α的函数，它的矩阵是与一组
6.2 化二次型为标准形
正交变换法 我们在5.3节讲过，对于任一个n阶实对称阵A，一定存 在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=Λ。由于Q-1=QT，所以有
QTAQ=diag(λ1, λ2, …, λn) 因此，对于任一个二次型f(x1, x2, … , xn)=xTAx，有下面 的重要定理。
6.2 化二次型为标准形
正定二次型和正定矩阵 定理：若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价： 1）xTAx是正定二次型（或A是正定矩阵） 2）A的正惯性指数为n，即A合同与I 3）存在可逆矩阵P，使得A=PTP 4）A的n个特征值λ1, λ2, …, λn全大于零
6.4 正定二次型和正定矩阵
正定二次型和正定矩阵 定理：若二次型xTAx正定，则 1）A的主对角元aij>0 (i=1,2,…,n) 2）A的行列式|A|>0
f(x1, x2, … , xn)=xTAx=xTBx 则必有A=B。因此，二次型和它的矩阵是相互唯一确定 的。 所以，研究二次型的性质转化为研究A所具有的性质。
6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵
二次型的矩阵表示
例1：设f(x1, x2, x3, x4)=2x12+x1x2+2x1x3+4x2x4+x32+5x42， 则它的矩阵为
线性代数第六章二次型试题及答案-二次型f
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …12 …n 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。
线性代数第6章二次型
3 2 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 4 1 25
> > A:=matrix([[1,-1,1],[-1,-3,-3],[1,3,4]]);C:=matrix([[1,1/2,-3/2],[0,1/2,1/2],[0,0,1]]);CTAC:=multiply(transpose(C),A, C);
1 1 2 3 2 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 0 1 3 3 0 2 2 1 3 4 1 0 0 0 2
1 2 1 2 0
3 2 1 2 1
1 0 0 0 0 1 0 0 B. 3
20
§2 化二次型为标准形
一 、用配方法化任意二次型为标准形 二、用正交替换化实系数二次型为标准形
21
一 、用配方法化任意二次型为标准形 2 2 p p 配方法 2 x px q x q . 2 4
2 1 2 2 2 3
则得 f y y 4 y . 反解
x3 y3 , x2 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 , x1 y1 x2 x3 y1 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 y3 y1 (1/ 2) y2 (3 / 2) y3 .
2 n 2 n1
2an1n xn1 xn
5
把二次型写成矩阵形式
a1n x1 a11 a12 a a a x 21 22 2 n 2 f ( x1 , , xn ) ( x1 , , xn ) . ann xn a n1 a n 2 an x1 a11 a12 x a a a 2 21 2 2n X ,A , ann xn a n1 a 2 T f ( X ) X AX . A称为二次型的矩阵.二次型和其矩阵一一对应 6 矩阵A的秩称为二次型的秩.
线性代数教学课件第六章二次型第一节二次型及其矩阵
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则上述二次型可以用矩阵形式表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
8
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
x2
,(Cy,)xT nA)(
xT Ax
Cy ) yT
，得 ( C T AC
)y
yT By
,
其中 B C T AC . 由于 A 是实对称阵，则 B CT AC 也是实对称阵，
于是 yT By 是一个以 y1 , y2 ,, yn 为变量的实二次型.
由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等,从而两个
(1)求二次型的矩阵A以及A秩;
(2)设二次型 g( x1, x2 ) f ( x1, x2 ,0,0), 求二次型 g的矩阵B.
解 (1)
1 2 1 0
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 3 .
2
0
0 0
10
1 2 1 0 1 2 1 0
2
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 2 0
B
1 2
2 0
.
问：矩阵B 与矩阵A 有什么关系？
12
二、 关系式
（线性替
换）定 义
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2c21y1 c22 y2 c2n yn
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn xn
(完整版)线性代数第六章实二次型(自考经管类原创)
正定 半正定 负定 半负定 不定
二、正定矩阵
n元实二次型f xT Ax,及对称矩阵A一一对 应，能够判定A为正定矩阵，则f 必为正定二 次型.正定矩阵有哪些性质，怎样判定？
正定矩阵的性质 定理 对角矩阵为正定矩阵当且仅当中所 有对角元全大于零. 例 E为正定矩阵.
定理(必要条件) 对称矩阵A为正定矩阵，则A 中所有对角元必全部大于零. 反之，若存着对角元aii 0, 则A必然不正定. 例2 f 4x12 6x22 +15x32 x1x2 2x2 x3是否正定？ 定理 正定矩阵的合同矩阵必为正定矩阵. 定理 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵.
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
为二次型.
取 aij = aji , 则
2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
nn
于是 二次型可写成 f (x1, x2,..., xn )
aij xi x j .
i1 j1
a11 a12 a1n
令
y1 y2
x1 x2
2x2 x3
y3 x3
即作可逆变换
x1 x2
y1+2 y2 y2 +y3
+2y3
x3 = y3
x1 1 2 2 y1
即经可逆变换
x2
=
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
将二次型化为标准形y12 6 y22 4 y32
O
定义 规范形中k称为二次型的正惯性指数，k r称 为负惯性指数，正负惯性指数的差2k r称为二次 型的符号差.
定理 对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的 秩和相同的正惯性指数.
线性代数第6章二次型及其标准形
~y
x x~
定义 含有n个变量 x1, x2 ,, xn 的二次齐次函数
f x1, x2,, xn a11x12 2a12x1x2 2a1n x1xn
a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn
ann xn2
称为n维(或n元)的二次型.
关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1,2 ,,n是 f 的矩阵A (aij )的特征值.
P 的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交 的单位特征向量。
例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。
解（1）写出二次型 f 的矩阵 (2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
即
⑵ 只含交叉项
的情形。
例3 用配方法化二次型
为标准形,并求出所作的可逆线性变换.
解令
令
即
则二次型的标准形为
所用的可逆线性变换为
以上说明：
二次型 f X T AX 经过可逆线性变换X CY， 化为标准形的过程 寻找一个与对称矩阵A 合同的对角矩阵B CT AC, 且二次型 f 的秩不变.
r( f ) r( A) 2
问： 在二次型 f xT Ax 中,如不限制 A对称, A唯一吗?
定义 只含平方项的二次型 f k1 x12 k2 x22 kn xn2
k1
x1
[ x1,, xn ]
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在 1,1,0 中取值的标准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
《线性代数》第六章二次型(1)
9
( 3) f ( x1 ,, xn ) x1 x2 x2 x3 xn1 xn
解：A 0 1 2 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型；
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3
为二次型的标准形。
4
取 aij a ji
则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
1 2 3 2
0 3 2 0
2 2 (2) f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x12 2 x2 7 x4 2 x1 x2 2 x2 x3 4 x3 x4
解：
1 1 A 0 0
1 2 1 0
0 1 0 2
0 0 2 7
则线性变换（2）可记作：
X CY
12
则称线性变换（2）是非退化线性变换 若C 是可逆矩阵，
若C 是正交矩阵， 则称线性变换（2）是正交线性变换
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换 使二次型只含平方项. 即二次型
f X T AX
i , j 1
a
n
ij
xi x j
经过可逆线性变换 X CY 使得
2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn
这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型
13
3. 矩阵的合同
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
线性代数 居余马 第6章 二次型
第二章 矩阵 13
将(2)式x =Cy 代入，得 x T A x = yT (C T AC)y
2 22 22 22 y1 5 3 2 ( y1 , y2 ) 2 2 22 22 3 5 2 y2 2 2 0 y1 2 2 ( y1 , y2 ) 2 y1 8 y 2 4 y 0 8 2 在{1, 2}坐标系下，方程(1)化为标准方程
2013-5-18
第二章 矩阵
18
6.2.1 正交变换法
定理6.1（主轴定理） 对于任一个n元二次型 f(x1,x2,,xn)= xTAx ，都存在正交变换 x =Qy (Q为正交 阵)，使得QTAQ= diag( 1, 2, , n) (定理5.12), 从而
x TA x = y T(QTAQ) y =1y12++nyn2 其中1,,n 是实对称矩阵A的n个特征值，Q的n个列 向量是A属于1,,n 的n个标准正交的特征向量。
7
解
设 X = (x1 , x2 , x3)T ，则
f (x1 , x2 , x3) = XTAX
5 1 1 x1 ( x1 , x2 , x3 ) 1 1 3 x2 1 3 2 x 3
2 2 2 5 x1 2 x1 x2 2 x1 x3 x2 6 x2 x3 2 x3
1 2
y 2y 1
2 1 2 2
这是一个椭圆
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第二章 矩阵
14
一般二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) x Ax y C ACy
T T T
x Cy
线性代数第六章
2
0
0
x2
1 0 0 x3
因此，f 的矩阵为
1 2 1
A
2
0
0
1 0 0
由于矩阵A的秩为2，从而二次型 f 的秩为2。
定义2 设变量x1,x2,...,xn能用变量y1,y2,...,yn线性地表
示,即存在常数cij (i,j=1,2,…,n),使
x1 c11 y1 c12 y2
定理1 (惯性定理) 对于秩为r 的n元二次型
f X AX
不论用什么可逆线性变换，把f 化为标准形，其中正
平方项的个数p和负平方项的个数q都是唯一确定的， 且p+q=r .
定义1 在二次型f (x1,x2,..., xn)=X'AX的标准形中， 正平方项的个数p称为二次型 f 的正惯性指数，负平 方项的个数q=r-p称为二次型 f 的负惯性指数，它们 的差p-q称为二次型 f 的符号差。
h(0, 0,1) 0
根据定义1，可得以下两个结论：
(结论1) 标准形实二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) k1 x12 k2 x22
kn xn2
正定的充要条件是 ki 0 (i 1, 2, , n)
(结论2) 实二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) X AX
定义1 实二次型f (x1, x2 ,... , xn)=X'AX，如果对任意
的非零向量X = (x1, x2, ... , xn) ' , 都有 f (x1, x2, ... , xn)>0 (或 f (x1, x2, ... , xn)<0), 则称
二次型 f 为正定（或负定）二次型，其对应的矩 阵A称为正定（或负定）矩阵，记为 A>0（或
线性代数 第六章 二次型 3
三.正定二次型
称A为正定矩阵 . 注：正定矩阵都是对称 矩阵 2 2 2 例：x1 2x2 nxn 是正定二次型
2 1 2 2 2 3
例：f ( X) x x x 不是正定二次型 0 对 于X 0 1 f ( X0 ) 1 0 0
例：
k阶顺序主子式：
取A的前k行及前 k列构成的子式
n阶矩阵共有几个顺序主 子式？
| Ai | 0 充要条件 6 :A正定 A的所有顺序主子式
证：" " 设A正定， 先证Ai也正定， T Xi (x1 , x2 ,, xi ) ,
Xi 则X (x1 , x2 ,, xi， 0， ， 0) T A正定, X AX 0, Ai Xi T T 设A ( Xi , )A 0
二次型化成标准型的方 法一：正交替换法 二次型化成标准型的方 法二：配方法 二次型化成标准型的方 法三：初等变换法
定 理2： 任 一 二 次 型 都 可 经 退 非化 线 性 替 换 化 成 规型 范， 且规范型唯一
正惯性指标、负惯性指 标、符号差
c1 c 2 T X0 1.定义： 对于f ( X) X AX，若 任 意 T T c 恒有X0 AX0 0, 则称X AX为正定的 , n
是实数， A是n阶实对称阵，
2 0
A是正定的
(三重特征值 )
k阶 主 子 式 ： 取A的k行及标号相同的 k列,
1 6 A 2 0 3 2 7 3 2 4 3 8 5 1 2 4 9 7 3 3 5 0 1 1 0
位于这些行列交叉点处 的元素构成的 k阶子式
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f() = x TA x = yT(C TA C)y ,
B = C TA C
故 f() 在基B1和B2下对应的矩阵分别是A和 B = C TA C
yT(CTA C)y 是 y1,y2,,yn 的一个二次型。
2018/10/17
第二章 矩阵
11
例2 设向量在自然基{1, 2} 下的坐标 x=(x1, x2)T 满足 2 2
T
第二章 矩阵 12
将(2)式x =Cy 代入，得
x T A x = yT (C T AC)y
2 2 2 22 y1 5 3 2 2 2 ( y1 , y2 ) y 2 2 2 2 2 2 3 5 2 2 2 2 0 y1 2 2 ( y1 , y2 ) 2 y 8 y y 1 2 4 0 8 2 在{1, 2}坐标系下，方程(1)化为标准方程
2018/10/17
第二章 矩阵
17
6.2.1 正交变换法
定理6.1（主轴定理） 对于任一个n元二次型 f(x1,x2,,xn)= xTAx ，都存在正交变换 x =Qy (Q为正交 阵)，使得QTAQ= diag( 1, 2, , n) (定理5.12), 从而
x TA x = y T(QTAQ) y =1y12++nyn2 其中1,,n 是实对称矩阵A的n个特征值，Q的n个列 向量是A属于1,,n 的n个标准正交的特征向量。
化为标准方程（只含平方项和常数项）。
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第二章 矩阵
21
解 将(1)式中二次项部分
xT Ax x2 2 y2 10z 2 28xy 8 yz 20xz
(2)
用类似例1的正交变换法化为平方和。 取正交矩阵
13 2 T 3 2 3
2 1 2
配方得
1 2 1 2 4 2 ( x 3 ) 2( y 3 ) 2( z 3 ) 1
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第二章 矩阵
23
再令
x ( x 1 3) 1 y ( y 3) z ( z 4 ) 3
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第二章 矩阵
15
6.2 化二次型为标准形
2018/10/17
第二章 矩阵
16
T T 2 2 a x x d y d y x Ax y C ACy ij i j 1 1 2 2 T
n
n
x Cy C 0
i 1 j 1
2 dn yn
二次型化为不含混合项只含平方项的二次型，这 种二次型称其为标准形。 化二次型为标准形共有三种方法：正交变换法， 配方法和初等变换法。
若 A, B都 是实对称矩阵, 且对应的二次型 相同，即
xT Ax aij xi x j bij xi x j xT Bx
i 1 j 1
n
n
n
n
i 1 j 1
则 A=B。
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第二章 矩阵
8
证明：
先取x为单位向量 ei = (0, ,1, ,0)T (第i个分
5 x1 5 x2 6 x1 x2 4
(1)
若做基变换，把{1, 2}逆时针旋转45 变成{1, 2,} 即 cos 45 sin 45 (1 , 2 ) (1 , 2 )
sin 45 cos 45
则在 {1, 2,}下的坐标 y=(y1, y2)T 满足
1 2
2018/10/17 第二章 矩阵 19
用Schmidt正交化方法(正交化，单位化) 得
1
5 5
2,
1, 0 , 2
T
1 3
5 15
2,
T
4, 5
T
2=10 时，得 3 1, 2, 2
取正交矩阵
2 5 5 5 T 1 , 2 , 3 5 0
6
解
设 X = (x1 , x2 , x3)T ，则
f (x1 , x2 , x3) = XTAX
5 1 1 x1 ( x1 , x2 , x3 ) 1 1 3 x2 1 x 3 2 3
2 2 2 5 x1 2 x1 x2 2 x1 x3 x2 6 x2 x3 2 x3
第二章 矩阵
14
定义6.2
对矩阵Aห้องสมุดไป่ตู้B, 如果存在可逆矩阵C ，使得
B= CTA C， 就称矩阵A 相合(或合同)于B ,
（记作A ≃ B)。
矩阵的相合关系是一种等价关系，具有以下性质： (1) 自反性， A Mn(F), A ≃ A； (2) 对称性， A, B Mn(F), 若A ≃ B, 则 B ≃ A； (3) 传递性， A, B, C Mn(F), 若A ≃ B, B ≃ C，则 A≃C。
1 2
y 2y 1
2 1 2 2
这是一个椭圆
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第二章 矩阵
13
一般二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) x Ax y C ACy
T T T
x Cy
d y d y d y
2 1 1 2 2 2
2 n n
即找矩阵C，使B =CTA C 为对角阵。
2018/10/17
3 3 3
2 3 1 3
2 3
令x = T y, 其中 x=(x, y, z)T, y=(x', y ', z ', )T
2 2 x y x 1 3 3 3 z 1 2 x Ty , 即 y 2 x y 3 3 3 z z 2 x 2 y 1 z 3 3 3
第二章 矩阵
1
6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵
定义6.1 n元变量x1,x2,,xn的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 , , xn ) a x 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
2 11 1
2a1n x1 xn
a x 2a23 x2 x3
2 22 2
量为1, 其余为 0)，代入上式得
aii=bii (i=1, 2, , n) 再取 x 为向量 eij = (0, ,1, ,1, ,0)T(第 i, j个分 量为1, 其余为0)，代入上式得 aij=bij (ij)
2018/10/17
第二章 矩阵
9
例1 设
2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 2 x12 x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x4 x3 5 x42
x1 cos 45 x x2 sin 45 sin 45 y1 Cy cos 45 y2
(2)
(1)式用矩阵表示为
2018/10/17
5 3 x1 x Ax ( x1 , x2 ) 4 3 5 x2
(3)
2018/10/17
第二章 矩阵
22
则 则
T1AT = diag (9, 18, 18) x TA x = yT(TTAT)y=9 x'2+18 y'2 18z' 2
将(3)式代入(1)式的一次项部分，曲面方程化为
38 4 16 x2 2 y2 2z2 2 x y z 3 3 3 9 0
i 1 j 1 i 1 j 1
f xi aij x j
i 1 j 1
n
n
[ x1 , x2 ,
a11 x1 a12 x2 a x a x , xn ] 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a11 a12 a a22 21 , xn ] an1 an 2
2 5 4 5 5
15 15
3
2 3 2 3
1 3
则T1AT = diag(1, 1, 10) x TA x = yT(CTAC)y = y12+ y22 +10y32
2018/10/17
第二章 矩阵
20
例2
将一般二次曲面方程
x2 2 y2 10z 2 28 xy 8 yz 20 xz 26 x 32 y 28z 38 0 (1)
2018/10/17
1 2 3 3 4 2 4 1 0 2 0 4
第二章 矩阵 5
例
已知矩阵
5 1 1 A 1 1 3 1 3 2
求 A 对应的二次型 f (x1 , x2 , x3) .
2018/10/17
第二章 矩阵
例１ 用正交变换化二次型 2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 4x1x3 5x2 8x2 x3 5x3 为标准型。 解
2 2 2 A 2 5 4 2 4 5
2 2 2 I A 2 5 4 ( 1)2 ( 10) 0 2 4 5 1 1(二重) 所以 ，1=1时，有线性无关的特征 得 2 10 T T 向量x =(2, 1, 0) , x =(2, 0, 1) 。
2a2 n x2 xn
a x
2 nn n
其中系数是数域F 中的数，叫做数域F上的n 元二次型 （简称二次型）。实数域上的二次型简称实二次型。
2018/10/17
第二章 矩阵
2
如果令aji = aij (1i<jn) ，则上式可以表示为