高中数学高考总复习平面向量基本定理及坐标表示习题及详解

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高中数学必修二 6 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)(含答案)

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)【题组一向量基底的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C ．平面上向量的基底不唯一D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，故选：B2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,1),(1,2)e e =-=C ．12(1,2),(1,2)e e =--=D ．12(1,1),(1,2)e e ==【答案】AC【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.故选：AC3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，D ．因为312342⎛⎫⨯≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底，故选：BD.4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →，不能作为基底；对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.故选：AC.5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，若a 与b 共线，则a b μ=，即()12122a e e e e μλ=+=+，所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为a 与b 是一组基底，所以若a 与b 不共线，所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题组二向量的基本定理】1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 【答案】A【解析】由3BD DC =，可得3()AD AB AC AD -=-，整理可得43AD AB AC =+，所以1344AD AB AC =+，故选：A2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 【答案】B【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =，所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ 93164BC BF BA =-+，解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+，故选：B3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，B ．322λμ==，C ．423λμ==， D ．3423λμ==，【答案】C 【解析】如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，所以90OCD =∠，在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==，由OC OA OB OD DC λμ=+=+，可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，所以42λ=，322μ=，所以42,3λμ==. 故选：C.4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )A ．1x =，4y =B ．2x =，1y =-C ．4x =，1y =D ．1x =-，2y =【答案】C 【解析】由题意，12(3,1)a e e =-=，又a b =13411x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩故选：C5．(2021·江苏南京·高一期末)在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则( )A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ= 【答案】B【解析】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ， m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ， ∴2λμ=，即20λμ-= 故选：B6．(2021·山西临汾·高一期末)在ABC 中，已知AB AC ⊥，2AB =，3AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=，若(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ=( ) A ．32B ．23C ．34D ．43 【答案】A 【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,3C ，由于45DAB ∠=，可设(),D m m ，因为AD AB AC λμ=+，所以()()(),2,00,3m m λμ=+，所以23m λμ==，因此，32λμ=. 故选：A.7．(2021·安徽宣城·高一期中)如图，在长方形ABCD 中，2AB AD =，点M 在线段BD 上运动，若AM x AB y AC =+，则2x y +=( )A ．1B ．32C ．2D ．43【答案】A 【解析】解：由题可得，设22AB AD ==，因为ABCD 是长方形，所以以点A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,1D ，则()()2,0,2,1AB AC ==，()2,1BD =-，因为AM x AB y AC =+，所以()22,AM x y y =+，所以()()()222,222,,0y B A x y y x y M B AM =+==-+++-，因为点M 在BD 上运动，所以有//BM BD ，所以()12222x y y ⨯+-=-，整理得21x y +=，故选：A.8(2021·上海·高一课时练习)已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________．【答案】3 【解析】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+，又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.9．(2021·黑龙江·大庆中学高一月考)如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB →→→→==，,m n R ∈，则11n m+的值为________．【答案】3【解析】设,OA a OB b →→→→==，由题意知211()()323OG OA OB a b →→→→→=⨯+=+， 11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP m a b →→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪⎝⎭，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ PG λ→→=，即1133n b m a m a b λλ→→→→⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，从而1,31,3m m n λλ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩消去λ，得113n m +=．故答案为：310．(2021·河北大名·高一期中)已知平面内三个向量()7,5a =，()3,4b =-，()1,2c =．(1)求23a b c -+； (2)求满足a mb nc =-的实数m ，n ；(3)若()()//ka c b c -+，求实数k ．【答案】(2)943,1010m n =-=-；(3)526k =. 【解析】(1)∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，∴22316a b c -+=+=(2)由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,1043.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(3)()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=-．∵()()//ka c b c -+，∴()()6712520k k -+-=，解得526k =． 11．(2021·福建·莆田第七中学高一期中)已知两向量()2,0a =，()3,2b =.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)()()()2,03,223,2ka b k k -=-=--，()()()22,06,48,4a b +=+=.当ka b -与2a b +共线时，()()423280k ---⨯=，解得12k =-. (2)由已知可得()()()234,09,613,6AB a b =+=+=，()()()2,03,232,2BC a mb m m m m =+=+=+. 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，所以()266320m m -+=.解得32m =. 12．(2021·安徽宿州·高一期中)已知(1,0)a =-，(2,1)b =--.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12k =-. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，所以23m λλ=⎧⎨=⎩，解得32m =.【题组三线性运算的坐标表示】1．(2021·天津红桥·高一学业考试)若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则a b +的坐标为( )A ．(2，3)B ．(0，3)C ．(0，1)D ．(3，5)【答案】B【解析】解：因为(1,2),(1,1)a b ==-，所以()()()1,21,10,3a b +=+-=故选：B2．(2021·山东邹城·高一期中)已知向量()1,0a =，()2,4b =，则a b +=( )A B ．5 C ．7 D ．25【答案】B【解析】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =，则()3,4a b +=，故9165a b +=+.故选：B ．3．(2021·全国·高一专题练习)已知向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．-1B ．2C ．1或-2D ．-1或2【答案】D【解析】因为向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，且a ，b 共线，所以22x x =+，解得1x =-或2x =，故选：D4．(2021·全国·高一单元测试)已知(2,1cos )a θ=--，11cos ,4b θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°【答案】A【解析】因为//a b ，所以()()()121cos 1cos 04θθ⎛⎫-⨯---+= ⎪⎝⎭，得211cos 02θ-+=，即21cos 2θ=，因为θ为锐角，所以cos θ=45θ=.故选：A5．(2021·云南省永善县第一中学高一月考)已知点()2,2,1A ，()1,4,3B ，()4,,C x y 三点共线，则x y -=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=，因为(1,2,2)AB =-，()2,2,1AC x y =--，所以()()122221x y λλλ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1223x y λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，所以1x y -=.故选：B.6．(2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知()1,3a =，()2,1b =-，下列计算正确的是( )A ．()1,4a b +=-B ．()3,2a b -=C ．()1,2b a -=D ．()1,2a b --=【答案】AB【解析】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()1,4a b +=-，故A 正确； ()3,2a b -=，故B 正确；()3,2b a -=--，故C 错误；()1,4a b --=-，故D 错误.故选：AB.7．(2021·湖南·永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量()1,2a =-，()1,b m =-，则( )A ．若a 与b 垂直，则1m =-B ．若//a b ，则2m =C ．若1m =，则13a b -=D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒ 【答案】BC【解析】A ：a 与b 垂直，则120m --=，可得12m =-，故错误； B ：//a b ，则20m -=，可得2m =，故正确；C ：1m =有()1,1b =-，则(2,3)a b -=-，可得13a b -=，故正确；D ：2m =-时，有()1,2b =--，所以33cos ,5||||5a b a b a b ⋅<>===⨯，即a 与b 的夹角不为60︒，故错误. 故选：BC8．(2021·全国·高一课时练习)(多选)已知(4,2),(,2)AB AC k ==-，若ABC 为直角三角形，则k 可取的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】AD【解析】因为()()4,2,,2AB AC k ==-，所以()4,4BC k =--，当A ∠为直角时，0AB AC ⋅=，所以440k -=，所以1k =，当B 为直角时，0AB BC ⋅=，所以4240k -=，所以6k =，当C ∠为直角时，0AC BC ⋅=，所以2480k k -+=，此时无解，故选：AD.9．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-，则( )A ．()a b a +⊥B ．|2|6a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影向量是62(,)55-D ．是向量a 的单位向量【答案】AD【解析】对于A ，()1,2a b +=-，则()220a b a +⋅=-+=，所以()a b a +⊥，故A 正确；对于B ，()24,3a b +=-，则|2|5a b +=，故B 错误；对于C ，向量a 在向量b 上的投影向量为531cos ,,1022b a b b b a a b b b b ⋅-⎛⎫⋅⋅=⋅==- ⎪⎝⎭，故C 错误；对于D ，因为向量的模等于1，120-=，所以向量与向量a 共线，故是向量a 的单位向量，故D 正确. 故选：AD. 10．(2021·全国·高一课时练习)已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.【答案】(14，7)【解析】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ，所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2).故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案为：(14，7)11．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(2，﹣1)，若向量//a b ，则实数m 为____．【答案】6-【解析】∵//a b ，∴﹣m ﹣6＝0，∴6m =-．故答案为：6-.12．(2021·全国·高一课时练习)已知(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，若A ，B ，C 三点共线，则y =___________. 【答案】234- 【解析】解：(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，则()4,7AB =-，()5,3BC y =-，若A ，B ，C 三点共线，则向量AB 与向量BC 共线，则有()4335y --=，解得：234y =-. 故答案为：234-. 13．(2021·全国·高一课时练习)已知向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，若2a b +与a kb -+平行，则k =___________. 【答案】-2【解析】因为向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，所以()202a b +=-，，()2,43a kb k k -+=+--，又因为2a b +与a kb -+平行，所以()220k -+=，解得2k =-，故答案为：-2【题组四数量积的坐标表示】1．(2021·全国·高一单元测试)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE ＝2EA ，F 为BC 的中点，则AF DE ⋅＝( )A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8【答案】B【解析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系，则()0,0B ，()0,3A ，()4,3D ，()0,2E ，()2,0F ， ()2,3AF =-，()4,1DE =--，则()()()24315AF DE ⋅=⨯-+-⨯-=-．故选：B ．2．(2021·吉林·延边二中高一期中)在ABC 中， AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝( )A ．109 B ．4 C ．409D ．569 【答案】C【解析】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +， ∴AB ⋅AC =0，∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A (0，0)，B (0，4)，C (2，0)，E (23，83)，F (43，43)， ∴AE =(23，83)，AF =(43，43)， ∴AE 2433AF ⋅=⨯+3398440⨯=．故选：C3．(2021·福建省宁化第一中学高一月考)在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=( )A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以1(),(0,1),2A M D C -所以1),(,1)2AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故1511),429,.5N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴= 故选：D4．(2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 (2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是( )A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得a b a b +=+D ．a b ⋅【答案】BCD【解析】对A ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅+==，则tan θ=A 错误；对B ，若b 在a 上的投影向量为，3a =，且||1b =， ,co 3s 6a b a b a a ∴>⋅=-⋅<，则1cos 2a b 〈〉=-，，2π,3a b ∴〈〉=，故B 正确；对C ，若2()2a b a b a b =+⋅22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b ⋅⋅〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故0a,b <>=︒，|||||a b a b =+|+，故C 正确；对D ，2cos sin a b θθ⋅+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ⋅故D 正确.故选：BCD.5．(2021·上海·高一课时练习)已知点A (-1，1)､B (1，2)､C (-2，-1)､D (3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为___________.【解析】()()2,1,5,5AB CD ==，所以向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CDCD ⋅==.6(2021·上海·高一课时练习)设a =(2，x )，b =(-4，5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.【答案】85x <且【解析】∵θ为钝角，∴0a b ⋅<且两向量不共线，即850a b x ⋅=-+<，解得85x <，当//a b 时，1040x +=，解得52x =-，又因,a b 不共线，所以52x ≠-，所以x 的取值范围是85x <且52x ≠-.故答案为：85x <且52x ≠-.7．(2021·北京·大峪中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.【答案】2【解析】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，2,2E ⎛ ⎝⎭，(F x ；∴(2,0)AB =，(,AF x =，AE ⎛= ⎝⎭； ∴1212AB AF x x ⋅==⇒=， ∴21112AE AF x ⋅=+=+=.故答案为：2.8．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，1AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上一动点，则PA PC ⋅的最小值是______.【答案】116- 【解析】在ABC 中，由余弦定理得AB =ABC 是直角三角形，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P 坐标为(,)a b ，B ，(0,1)C ，(,)PA a b =--，(,1)PC a b =--，直线BC 对应一次函数为1y =，所以1b =，)a b =-，222222(1))]473PA PC a b b a b b b b b b b ⋅=--=-+=--+=-+，[0,1]b ∈，对称轴7[0,1]8b =∈，当78b =时， PA PC ⋅取得最小值116-. 故答案为：116- 9．(2021·山西·平遥县第二中学校高一月考)向量()1,3a =-，()4,2b =-且a b λ+与a 垂直，则λ=___________.【答案】1-【解析】由题意，向量()1,3a =-，()4,2b =-，可得10,10a a b =⋅=，因为a b λ+与a 垂直，可得2()10100a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=⨯+=，解得1λ=-.故答案为：1-.10．(2021·上海·高一课时练习)已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．【答案】(1)λ＝－12；(2)1(,)2-∞-；(3)(,)122-∪(2，＋∞)．【解析】设a 与b 的夹角为θ，则a b ⋅＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos 0θ=，所以0a b ⋅=，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，所以0a b ⋅<且a 与b 不反向．由0a b ⋅<得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为1(,)2-∞-．(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos 0θ>，且cos 1θ≠，所以a b ⋅>0且a 与b 不同向．由a b ⋅>0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为(,)122-∪(2，＋∞)． 11．(2021·江西·九江一中高一期中)在ABC 中，底边BC 上的中线2AD =，若动点P 满足()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈．(1)求()PB PC AP +⋅的最大值；(2)若=AB AC =PB PC ⋅的范围．【答案】(1)2；(2)[1,3]-．【解析】∵()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈，22sin cos 1θθ+= ∴A 、P 、D 三点共线又∵[]22sin ,cos 0,1θθ∈，∴P 在线段AD 上.∵D 为BC 中点，设PD x =，则2AP x =-，[]0,2x ∈，∴()PB PC AP +⋅=2PD AP ⋅=()22x x -=224x x -+=()2212x --+， ∴()PB PC AP +⋅的最大值为2(2)如图，以D 为原点，BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，∵=AB AC =，2AD =，∴()()1,0,1,0B C -，设()0,P y 02y ，则()()1,,1,PB y PC y =--=-∴PB PC ⋅=21y -+，∵02y ≤≤，∴[]1,3PB PC ⋅∈-12．(2021·江苏省丹阳高级中学高一月考)已知()1,1a =--，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++；②()()ta b a tb +⊥+；③ta b a tb +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.(1)若________，求实数t 的值；(2)若向量(),c x y =，且()1c ya x b =-+-，求c .【答案】(1)选①：1t =±，选②：t =1t =±；【解析】因为()()1,1,0,1a b =--=，所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=--，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，选①：(1)因为()()//ta b a tb ++，所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选②：(1)因为()()ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；即2310t t -+=，解得：t = (2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选③：(1)因为ta b a tb +=+，=即21t =，解得：1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+=13．(2021·河南·高一期末)已知向量()2,1a =.(1)若向量()11b =-,，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值； (2)若向量()2,c λ=-，且c 与a 的夹角为钝角，求2c a -的取值范围.【答案】(1)57-；(2)(3)5,⎡⎣+∞.【解析】(1)因为()21,1ma b m m -=+-，()24,1a b -=-，结合ma b -与2a b -垂直，得到()()42110m m +--=，解得57m =-，所以实数m 的值为57-. (2)因为c 与a 的夹角为钝角，所以()2240a c λλ⋅=⨯-+=-<，4λ<. 又当1λ=-时，//c a ，所以4λ<且1λ≠-. 因为()26,2c a λ-=--，所以()226c a -=-由于当4λ<且1λ≠-时，[)223636,45()(45,)λ-+∈+∞.所以2c a -的取值范围为(3)5,⎡⎣+∞.【题组五向量与三角函数的综合运用】1．(2021·全国·高三专题练习)已知向量ππ2sin ,sin 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，πsin ,sin 4b x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若0m =，试研究函数()π3π,84f x a b x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭在区间上的单调性；(2)若tan 2x =，且//a b ，试求m 的值．【答案】(1)π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；(2) 2m =.【解析】(1)当0m =时，()()2πsin sin sin cos sin sin cos 4f x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2π122242x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，由π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．(2)由//a b πππsin sin sin sin 444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由tan 2x =，可得πsin 04x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭(若πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =-(k Z ∈)，此时tan 1x =-，与条件矛盾)．πsin sin 4x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()sin cos sin m x x x -=，两边同除以cos x ，可得()tan 1tan 2m x x -==，∴2m =．2．(2021·江苏·金陵中学高一期中)设向量(3cos ,sin ),(sin ,3cos ),(cos ,3sin )a b c ααββββ===-． (1)若a 与b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c -的最小值．【答案】(1)tan()1αβ+=；.【解析】(1)因为a 与b c -垂直，所以()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=，所以()()3cos sin cos sin 3cos cos sin sin 0αββααββα+--=，所以()()3sin 3cos 0βααβ+-+=，所以tan()1αβ+=； (2)因为()sin cos ,3cos 3sin b c ββββ-=-+ ()()()2222||sin cos 3cos 3sin b c b cββββ-=-=-++1016sin cos 108sin 2βββ=+=+，所以当222k k Z πβπ=-+∈，，即4k k Z πβπ=-+∈，时2||b c -取最小值2，所以||b c -.3．(2021·江苏铜山·高一期中)已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=，函数()f a b θ=⋅， (1)当0m =时，求函数π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.求实数m 的范围.【答案】(1)1+；(2)(,-∞ 【解析】(1)因为向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=， ()()()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b m m θθθθθθθθ=⋅=+-+=+-+，当0m =时， ()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b θθθθθθθθ=⋅=++=++，ππππ1sin 2sin cos 2163662f ⎛⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即()()4sin 22sin cos 230sin cos m m θθθθθ+-++-+>+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得21sin 2t θ=+，所以2sin 21t θ=-，因为π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()πsin 14,θ⎤+∈⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以()2412230t m t m t -+-+-+>对于t ⎡∈⎣恒成立，即()24222t t m t t+++>+对于t ⎡∈⎣恒成立，因为20t +>，所以24222t t t m t +++<+对于t ⎡∈⎣恒成立，令()24222t t t g t t +++=+，t ⎡∈⎣，只需()min m g t <，因为()()2422222222t t t t t t t t t t t ++++++==+≥++当且仅当2t t=即t ()g t取得最小值所以m <所以实数m的范围为(,-∞.4．(2021·江苏宜兴·高一期中)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，且()a b a ⋅-＝2． (1)求向量a 与b 的夹角；(2)若33ta b -=，求实数t 的值．【答案】(1)3π；(2)32．【解析】(1)由a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，得24cos 2a =，36cos 6b ==，又()2a b a ⋅-=，∴22a b a ⋅-=，则2226a b ⋅=+=，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝61262a b a b⋅==⨯，又θ∈[0，π]，∴3πθ=；(2)由33ta b -=，得2()27ta b -=，即222227t a ta b b -⋅+=， ∴4t 2﹣12t +36＝27， ∴4t 2﹣12t +9＝0，解得t ＝32． 5．(2021·河北安平中学高一期末)在①255a b -=，②8()5+⋅=a b b ，③a b ⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，，若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α．【答案】答案见解析.【解析】因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以||||1a b ==，选择方案①：因为255a b -=，所以24()5-=a b ，即22425+-⋅=b a b a ，所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=，因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<.所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案②：因为8()5+⋅=a b b ，所以285⋅+=a b b ，所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=，因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案③：因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且a b ⊥，所以cos cos sin sin 0αβαβ⋅=+=a b ，即cos()0αβ-=，因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以2παβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以12sin sin cos 213παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．6．(2021·重庆复旦中学高一期中)在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=. (1)求角A ；(2)若()0,1m =-，()2cos ,2cos 2Cn B =，试求m n +的取值范围.【答案】(1)3π；(2)54⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】(1)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=，即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=，()sin 2sin sin cos sin A BC B A B +∴=，1cos 2A ∴=.0πA <<，3A π∴=. (2)()2cos ,2cos1cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 2222221cos cos cos cos 1sin 2326m n B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3A π=，23π∴+=B C ， 20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，从而72666B πππ-<-<，∴当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，m n +取得最小值，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，时，m n +取得最大值54，故2524m n ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.。

平面向量基本定理及其坐标表示习题(含答案)

平面向量基本定理和坐标表示【知识清单】1．两个向量的夹角（1）已知两个____向量a,b ，在平面内任取一点O ,作OA ＝a ，OB ＝b，则AOB θ∠=()0θπ≤≤叫做向量a 与b 的夹角（2）向量夹角θ的范围是__________，当θ=________时，两向量共线，当θ=____________时，两向量垂直，记作a ⊥b2．平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数1λ，2λ使a ＝______________．其中，不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组________．（2）平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．（3）平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使x y a =i +j ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，把有序数对________叫做向量a 的坐标，记作a ＝__________，其中______叫做a 在x 轴上的坐标，______叫做a 在y 轴上的坐标．②OA x y =+i j ，则向量OA 的坐标(),x y 就是________的坐标，即若(),OA x y =，则A 点坐标为__________，反之亦成立（O 是坐标原点）． 3．平面向量的坐标运算向量加法和减法若()()1222,,,,x x x y ==a b 则_____________,+=a b_____________,-=a b实数与向量的乘积若(),,,x y R λ=∈a 则________λ=a 向量的坐标若起点()11,,A x y 终点()22,,B x y则 ___________,________AB AB ==4．平面向量共线的坐标表示设()()1122,,,x y x y ==a b ，其中≠0b ，a //b ⇔__________________________．1.已知平面向量，且，则（）ABC ．D ．2.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（） A.B.C.D.3.已知，则与平行的单位向量为( ).A. B.C. D.4.连续抛掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量，向量，则的概率是（）A． B． C． D．5.平面向量=（2，-1），=（1，1），=（-5，1），若∥，则实数k的值为（）A2 B. C. D.6.已知A（－3，0）、B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设，则的值为（）A、 B、C、 D、7.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）A. B .C. D.8.已知直角坐标平面内的两个向量，，使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围．9.,若，则 ;若,则10.向量，若向量与向量共线，则.11.P是△ABC内一点，且满足条件，设Q为延长线与AB的交点，令，用表示.12.△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.13.已知，且，求M、N及的坐标.14.i、j是两个不共线的向量,已知=3i+2j，=i+λj, =-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值15.已知向量，向量.（1）若向量与向量垂直，求实数的值；（2）当为何值时，向量与向量平行？并说明它们是同向还是反向.16.在中，分别是内角的对边，且，,若.（1）求的大小；（2）设为的面积，求的最大值及此时的值.平面向量基本定理及坐标表示答案BBBABCB8.9..，10.211又因为A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线而，为不共线向量故：12.设又…①又而………………②比较①②，由平面向量基本定理得：解得：或（舍），把代入得：. 13.：设，则同理可求，因此14，∵=-=(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-∵A、B 、D 三点共线, ∴向量与共线,因此存在实数μ,使得=μ,即3i+2j=μ［-3i+(1-λ)j ］=-3μi+μ(1-λ∵i 与j 是两不共线向量,由基本定理得故当A 、B 、D 三点共线时,λ15.解：，.（1）由向量与向量垂直，得，解得.（2），得，解得.此时，所以方向相反.略16。

高考数学专题《平面向量的基本定理及坐标表示》习题含答案解析

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示1．（2021·全国高一课时练习）已知向量()1,2a =- ，()3,1b =- ，(),2c m = ，(2)c a b ⊥- ，则m 的值为（）ABC ．2D ．10【答案】C 【解析】先求出2a b -的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因()1,2a =- ，()3,1b =- ，则()25,5a b -=- ，而(),2c m = ，(2)c a b ⊥-，于是得(2)0c a b ⋅-=，即5520m -+⋅=，解得2m =，所以m 的值为2.故选：C2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知()24,4,3a b a b ==-=- ，，记a 与b 夹角为θ，则cos θ的值为（）A ．1320B ．516-C ．34D ．57-【答案】B 【解析】利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.【详解】因为()4,3a b -=- ，所以5a b -=，因为a b -== 所以25416=+-16cos θ，所以5cos 16θ=-．故选:B .练基础3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，F 是线段AE 上的点，则AF CF ⋅的最小值为（）A ．95B ．95-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，()0,0A ，()2,1E ，()2,2C ，由F 是线段AE 上的点，设,2x F x ⎛⎫⎪⎝⎭，且02x ≤≤，因此,2x AF x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2,22x CF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()25223224x x xAF x x x CF ⋅⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，因02x ≤≤，所以当65x =时，AF CF ⋅ 取最小值95-.故选：B.4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 在线段BE 上，且3BF FE =，记a BA = ，b BC = ，则CF =（）A ．2133a b+ B ．2133a b-C ．1348a b-+D ．3548a b-【答案】D 【解析】取a BA = ，b BC = 作为基底，把BE 、BF用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出CF .【详解】取a BA = ，b BC =作为基底，则12BE a b =+ .因为3BF FE =，所以3313344248BF BE a b a b ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，所以33354848CF BF BC a b b a b =-=+-=-.故选：D.5.（2021·全国高一专题练习）已知A B P ，，三点共线，O 为直线外任意一点，若OP xOA y OB →→→=+，则x y += ________.【答案】1【解析】由共线可设AB BP λ→→=，进而得OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-，化简对应的,x y 即可得解.【详解】∵,,A B P 三点共线，∴存在非零实数λ，使得AB BP λ→→=，∴OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-∴11OP OB OAλλλ→→→+=-∵OP xOA y OB →→→=+，∴111x y λλλ+⎛⎫+=-= ⎪⎭+⎝.故答案为：16．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D 点的坐标为___________.【答案】【解析】平行四边形中，，∴，即点坐标为，故答案为.7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量()1,1a =，向量()3,2b =- .（1）求向量2a b -的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -垂直.【答案】（1）()7,3-；（2）274k =.【解析】（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出2(7,3)a b -=-；（2）可求出(3,2)ka b k k +=-+ ，然后根据ka b + 与2a b - 垂直即可得出7(3)3(2)0k k --+=，解出k 即可．【详解】（1）∵()1,1a =，()3,2b =- ，∴()27,3a b -=-r r.（2）∵()3,2ka b k k +=-+r r ，且ka b + 与2a b - 垂直，∴()()73320k k --+=，解得274k =.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知||4a =，(b =-xoy ABCD //AB DC //AD BC ()20A -，()68B ，()8,6C ()0,2-ABCD OB OD OA OC +=+()()()()2,08,66,80,2OD OA OC OB =+=+----=D ()0,2-()0,2-（1）若//a b ，求a的坐标；（2）若a 与b的夹角为120°，求a b -r r .【答案】（1）(2,-或(2,-；（2）.【解析】（1）先求与向量b 共线的单位向量，结合//a b ，即可得出a的坐标；（2）先根据夹角求出a b ⋅，根据模的运算律22a a = ，即可得到a b -r r .【详解】解：（1）(b =- Q ，||2b ∴=∴与b共线的单位向量为12b c b ⎛=±=±- ⎝.||4a = Q ，//a b，(||2,a a c ∴==-或(2,-.（2）||4a = Q ，||2b =，,120a b <>=︒ ，||||cos ,4a b a b a b ∴⋅==-，222()228a b a a b b ∴-=-⋅+=，||a b ∴-=9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，12CD AE DA EB ==，记BC a →= ，CA b →= .试用向量a →，b →表示DE .【答案】1()3DE b a →→=- 【解析】根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解.【详解】因为111()()333AE AB CB CA a b →→==-=-- ，2233AD AC b →==- ，所以121()()()333DE AE AD a b b b a →→→→→=-=----=- .即1()3DE b a →→=- 10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量(1,3),(1,)a b t →→=-=，若(2)a b a →→→+⊥，（1）求向量a →与b →的夹角；（2）求3a b →→-的值．【答案】（1）34π；（2）．【解析】（1）根据(2)a b a →→→+⊥得到2t =，再求出=5a b →→⋅-，a →=，b →=，即得解；（2）直接利用向量的模的坐标公式求解.【详解】（1）Q (1,-3),(1,)a b t →→==，()23,32a b t →→∴+=-+，Q (2)a b a →→→+⊥，()(2)=3132-30a b a t →→→+⋅⨯+-+⨯=∴（），解得2t =，11-325a b →→∴⋅=⨯+⨯=-（），a →=，b →=，cos ,a ba b a b→→→→→→⋅∴<>===⋅，所以向量a →与b →的夹角为34π.（2）Q 2223969106-55125a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=⨯-⨯+=（），3a b →→∴-=．练提升1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和m ，n ，定义：m n m n n n⋅⊗=⋅，若平面向量,a b满足||2||0a b ≥> ，a 与b 的夹角πθ0,3æöç÷Îç÷èø，且a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合4n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b ⊗ 的值可能为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】CD 【解析】由已知得集合{|}4nn Z ∈的元素特征，再分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围，再由定义计算后，可得答案.【详解】首先观察集合311113{|},1,,,,0,,,,1,4424424n n Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围如下：因为(0,3πθ∈，∴1cos 12θ<<，而cos b b a b a a a a θ⋅⊗==⋅，且||2||0a b ≥> ，可得10cos 2b a θ<< ，又∵b a ⊗∈ {|}4n n Z ∈中，∴1cos 4b a θ= ，从而14cos b a θ= ，∴2cos 4cos a a b a b b b b θθ===⋅⋅⊗ ，又21cos 14θ<<，所以214cos 4a b θ⊗<=< ．且a b ⊗ 也在集合{|}4n n Z ∈中，故有2a b ⊗= 或3．故选：CD.2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是___________.【答案】(1,0)-【解析】如图所示，由A ，B ，D 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，OD tOC = ，1t<-，(1)tOC OA OB λλ=+- ，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，即可得出．【详解】解：如图所示，A Q ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，又OD tOC =，1t <-，(1)tOC OA OB λλ∴=+-，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，可得m tλ=，1n tλ-=，则1(1,0)m n t+=∈-．m n ∴+的取值范围是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知A (1，1)，B (0，1)，C (1，0)，M 为线段BC 上一点，且CM CB λ= ，若MA BC MB MC ⋅>⋅，则实数λ的取值范围是___________.【答案】1⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据CM CB λ=可得1x y λλ=-⎧⎨=⎩，再表示出MA MB MC BC ，，，坐标，由条件可得2220x y y +-≤，再将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入可得关于λ的不等式，从而可得答案.【详解】解析：设点(),M x y ，由CM CB λ=，得()()1,1,1x y λ-=-，所以1x y λλ=-⎧⎨=⎩.因为MA BC MB MC ⋅>⋅，所以()()()()1,11,1,11,x y x y x y --⋅-≥----，即2211x y x x y y --+≥-+-+，化简得2220x y y +-≤将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入2220x y y +-≤，得()22120λλλ-+-≤，即22410λλ-+≤，解得11λ≤≤+因为M 为线段BC 上一点，且CM CB λ=，所以01λ≤≤.综上，可知11λ≤≤.故实数λ的取值范围是1⎡⎤⎢⎥⎣⎦.4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为与OC 的夹角为α，且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45∘，若OC =mOA +nOB (m,n ∈R )，则m +n =_________．【答案】3【解析】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则A (1,0)，由OC 的模为2与OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7知，cos α=210,sinα=210 ，可得B (cos(α+45∘),sin (α+45∘))，∴B ―35,，由OC =mOA +nOB可得=m ―35n,45n=m ―35n75=45nm =54,n =74，∴m +n =3，故答案为3.5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m =，()sin ,cos n x x = ，()0,x π∈．若//m n u r r，则x =______；若存在两个不同的x 值，使得n m t n += 恒成立，则实数t 的取值范围为______．【答案】34π)2．【解析】根据向量平行的坐标表示可求34x π=；用坐标表示出n m t n += ，结合三角函数的图象可得实数t 的取值范围.【详解】x x =，则tan 1x =-，又()0,x π∈，则34x π=；计算得sin ,cos m n x x +=+ ，则m n +== ，又存在两个不同的x 值，使得n m t n +=恒成立，则t =()0,π上有两个不同的解，令()22sin ,0,4y x x ππ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，由()0,x π∈，得3,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，2t <<．故答案为：34π；)2．6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形ABCD ，0AB BC ⋅= ，AD BC λ=u u u r u u u r，1AB AD ==，且||||CB CD CB CD ⋅= ，（i ）λ=___________；（ii ）若2DE EC = ，动点F 在线段BE 上，则DF FC ⋅ 的最大值为___________.【答案】12 613 【解析】利用向量的数量积可得4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，进而可得2BC AD =，求出λ；以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，首先求出点E 坐标，设(),F x y ，利用向量共线求出5x y =，再由向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由||||CB CD CB CD ⋅= 1212cos e e e e BCD ⋅=∠= 因为[]0,BCD π∠∈，所以4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，因为1AB AD ==，所以2BC AD =，由AD BC λ=u u u r u u u r ，所以12λ=.以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，如图：则()1,1D ，()2,0C ，设(),E m n由2DE EC =，即()()1,122,0m n m n --=--，解得51,33m n ==，即51,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),F x y ，503x ≤≤，103y ≤≤，则51,33BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),BF x y = ，因为,,B F E 三点共线，所以5133y x =，即5x y =，()1,1DF x y =-- ，()2,FC x y =-- ，所以()()()()()21215125DF FC x x y y y y y y⋅=--+-=--+- 224626162261313y y y ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，当413y =时，DF FC ⋅ 取得最大值为613.故答案为：12；6137．（2021·全国高一专题练习）已知A (-2，4)，B (3，-1)，C (-3，-4).设,,AB a BC b CA c === ，且3,2CM c CN b ==- .（1）求33a b c +-；（2）求满足a mb nc =+ 的实数m ，n ；（3）求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标.【答案】（1）(6，-42)；（2）11m n =-⎧⎨=-⎩；（3）M (0，20)，N (9，2)，(9,18)MN =- .【解析】（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.【详解】由已知得a =(5，-5)，b =(-6，-3)，c=(1，8).（1）33a b c +-=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).（2）∵mb nc + =(-6m +n ，-3m +8n )，∴65385m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩.（3）设O 为坐标原点，∵3CM OM OC c =-=，∴3OM c OC =+ =(3，24)+(-3，-4)=(0，20).∴M (0，20).又∵2CN ON OC b =-=- ，∴2ON b OC =-+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，∴N (9，2)，∴MN =(9，-18).8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC 的面积为S 23S ≤≤，且AB ·BC ＝3，AB 与BC 的夹角为θ.求AB 与BC 夹角的取值范围．【答案】,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】可设AB 与BC 夹角为θ，则据题意得出θ为锐角，且3||||cos AB BC θ= ，从而根据ABC V 的面积32S ∈tan 1θ…，这样根据正切函数在(0,2π的单调性即可求出θ的范围．【详解】解：Q 3AB BC ⋅= ，∴,AB BC 的夹角为锐角，设,AB BC 的夹角为θ，则：||||cos 3AB BC θ= ，∴3||||cos AB BC θ=，又3]2S ∈；∴()13||||sin 22AB BC πθ- …，∴13||||sin 22AB BC θ …，∴33tan 22θ…，∴tan 1θ…，∴64ππθ……，∴AB 与BC 夹角的取值范围为[,]64ππ．9．（2021·全国高一专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线；（2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由1m n +=原式可代换为()1OP mOA m OB =+- ，再由()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，两式联立变形即可求证；（2）由A ，P ，B 三点共线，可得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，整理成OP 关于,OA OB 的表达式，再结合OP mOA nOB =+ ，由对应关系即可求证【详解】（1）证明：若m +n =1，则()1OP mOA m OB =+- ，()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，故()()11mOP m OP mOA m OB +-=+- ，即()()()1m OP OA m OB OP -=-- ，()1mAP m PB =- ，即,AP BP 共线，又,AP BP 有公共点，则A ，P ，B 三点共线；（2）证明：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，即()1OP OB OA λλ+=+ ，111OB OA OB OA OP λλλλλ+==++++ ，又OP mOA nOB =+ ，1111λλλ+=++，故1m n +=10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC 中.∠BAC =120°，AB =AC =1（1）求AB BC ⋅ 的值；（2）如图所示，在直角坐标系中，点A 与原点重合，边AB 在x 轴上，设动点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动.求⋅ BP CP 的最小值.【答案】（1）32-；（2）12-.【解析】（1）由()10B ,，12C ⎛- ⎝，利用坐标公式求得数量积即可.（2）设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，求得⋅ BP CP 1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的最值求得数量积的最值.【详解】解：（1）()10B ,，12C ⎛- ⎝，AB BC ⋅ ()331,022⎛=⋅-=- ⎝.（2）点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动，设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，又()10B ,，12C ⎛- ⎝，⋅ BP CP ()1cos 1,sin cos ,sin 2θθθθ⎛=-⋅+ ⎝2211cos cos cos sin 22θθθθθ=-+-+1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又203πθ≤≤，则5666πππθ≤+≤1sin 126πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，⋅ BP CP 有最小值12-.1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=（）A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C ．2.（2021·全国高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥ ，则k =________．【答案】103-.【解析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+ Q ,(),33110a c a c k ⊥∴=++⨯=Q n ，解得103k =-,故答案为：103-.3．（2021·全国高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥ ，则λ=__________．【答案】35AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=- 1BC == 3t =(1,0)BC = (2,3)(1,0)21302AB BC ⋅=⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r 练真题【解析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=-- ，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．4.（2021·全国高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r ，则λ=_________．【答案】85【解析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m ）,若a ⊥(ma ―b )，则m =_________.【答案】-1.【解析】∵a =(1,0),b =(―1,m )，∴ma ―b =(m ,0)―(―1,m )=(m +1,―m )，由a ⊥(ma ―b )得：a ⋅(ma ―b )=0，∴a ⋅(ma ―b )=m +1=0，即m =―1.6．（2020·北京高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅= _________．1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =- ，因此，PD == ，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .1-.。

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设所求的椭圆方程为：由题意：所求椭圆方程为：．（2）若过点的斜率不存在，则．若过点的直线斜率为，即：时，直线的方程为由因为和椭圆交于不同两点所以，所以①设由已知，则②③将③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．综上可得，实数的取值范围为：．2.（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．3.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则设 .又向量所以，∴，∴，∴．由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.4.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，则的取值范围是．【答案】【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，则因为，所以所以，, 所以，故答案应填.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的坐标表示；3、向量的数量积；4、一元二次函数的最值.5. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若＝x ，＝y ，求的值．【答案】4 【解析】设＝a ，＝b ，则＝x a ，＝y b ，＝＝ (＋)＝ (a ＋b )．∴＝－＝ (a ＋b )－x a ＝a ＋b ，＝－＝y b －x a ＝－x a ＋y b . ∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴a ＋b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线，∴消去λ，得＝4.6. 已知点O (0,0)，A 0(0,1)，A n (6,7)，点A 1，A 2，…，A n －1(n ∈N ，n ≥2)是线段A 0A n 的n 等分点，则| ＋＋…＋OA n －1＋|等于( ) A ．5n B ．10n C ．5(n ＋1) D ．10(n ＋1)【答案】C【解析】取n ＝2，，则＋＋＝(0,1)＋(3,4)＋(6,7)＝(9,12)，所以| ＋＋|＝＝15，把n ＝2代入选项中，只有5(n ＋1)＝15，故排除A 、B 、D ，选C.7. 已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(,-1),则|2a-b|的最大值为( ) A ．4 B ．4 C ．16D ．8【答案】B【解析】∵2a-b=(2cosθ-,2sinθ+1), ∴|2a-b|===故最大值为4.8. 已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a ∥b,那么2a-b=( )A．(4,0)B．(0,4)C．(4,-8)D．(-4,8)【答案】C【解析】由a∥b,得4=-2m,∴m=-2,∴b=(-2,4),∴2a-b=2(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).9.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1)且a∥b,则tan(α-)等于()A．3B．-3C．D．-【答案】B【解析】选B.∵a=(cosα,-2), b=(sinα,1)且a∥b,∴=(经分析知cosα≠0),∴tanα=-.∴tan(α-)===-3,故选B.【方法技巧】解决向量与三角函数的综合题的方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.10.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.11.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.12.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.13.已知向量，若,则的最小值为．【答案】4【解析】,所以.【考点】1、向量的平行关系；2、向量的模；3、重要不等式14.已知向量，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】，，即得．【考点】向量的坐标运算.15.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．【答案】C【解析】因为点，，所以，，与共线的单位向量为.【考点】向量共线.16.已知向量，，若，则实数等于．【答案】.【解析】，两边平方得，则有，化简得，即，解得.【考点】平面向量的模、平面向量的坐标运算17.在中,已知,且,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，故选A。

高考数学复习、高中数学平面向量基本定理及坐标表示附答案解析

第2节平面向量基本定理及坐标表示基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、单项选择题1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，则|2a －b |＝( ) A.2 B ．2 C.10 D ．102. 已知向量m ＝(1,7)与向量n ＝(k ，k ＋18)平行，则k 的值为( )A ．－6B ．3C ．4D ．63．已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为（）A ．B ．C ．D ．4. 已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB ∥a ，则点B 的坐标为（）A. (－3，6)B. (3，－6)C. (3，6)D. (－3，－6)6. 已知在Rt∥ABC 中，∥BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是∥ABC 内一点，且∥DAB ＝60°，设()R ∈+=μλμλ,，则μλ＝( ) A.233B.33C.3D.23 二、多项选择题7. 在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是（）A ．12(0,0),(1,2)==e e B ．12(1,2),(5,2)=-=-e e C ．12(2,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e8. 已知向量＝(3,4)，＝(6，－3)，＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，角形，则实数m 的值可能为（）A. 21B. 53C.107D.107-三、填空题9.已知平行四边形ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.10.已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(2，5)，c ＝(m ，3)，且(a ＋c )∥(a －b )，则m ＝________.11.平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C (－1，c )(c>0)，且＝2，若μλ+=，则实数λ＋μ的值为__________．12. 在∥ABC 中，41=，若P 是直线BN 上的一点，且满足m 52+=，则实数m 的值为 .能力提升题组（建议用时：20分钟）13．已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量3OP 与向量a ＝(1，－1)共线，若213)1(OP OP OP λλ-+=，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－114. 如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若μλ+=，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2 15. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若y x +=，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为 .16. 在∥ABC 中，点D 满足=，当点E 在线段AD 上移动时，若μλ+=，则22)1(μλ+-=t 的最小值是 .第2节平面向量基本定理及坐标表示1. C.2. B ．3. A ．4. A.5. D ．6. A.7. BC ．8. ABC【解析】因为-=＝(3，－7)，-=＝(2－m ，－7－m )，点A ，B ，C 能构成三角形，所以点A ，B ，C 不共线，即AB 与AC 不共线，所以3×(－7－m )－(－7)×(2－m )≠0，解得m ≠－710，故实数m 应满足m ≠－710. 9. (1，5)10. 3±172 11.3－1＝2＝1＋c 2＝4，因为c >0，所以c ＝ 3. 因为μλ+=，所以(－1，3)＝λ(1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝3－1.`12. -1【解析】根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-51＝(1－n )AB →＋n 5AC →. 又m 52+=，∥⎪⎩⎪⎨⎧==-,525,1n m n 解得⎩⎨⎧-==.1,2m n 12.D【解析】设3OP ＝(x ，y )，则由3OP ∥a 知x ＋y ＝0，于是3OP ＝(x ，－x )．若213)1(OP λλ-+=，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎨⎧-=-=,23,1-4x x λλ所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D. 13. B【解析】以点A 为坐标原点，分别以，的方向为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以＝(2,2)，AM ＝(2,1)，BD ＝(－2,2)，所以λAM ＋μBD ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为＝λAM ＋μ，所以⎩⎨⎧=+=，，2222-2μλμλ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==，，3134μλ所以λ＋μ＝53. 15. 2【解析】以O 点坐标原点，OA 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2321-，.设∥AOC ＝α（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈320πα，），则C (cos α，sin α)，由y x +=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,23sin ,21cos y y x αα所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈320πα，，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2. 16.21【解析】因为=，所以2121+=，又μλ+=，点E 在线段AD 上移动，所以AD AE //，则μλ2121=，即⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=210λμλ. 所以2121-212-2)1(2222+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+-=λλλμλt ，当21=λ时，t 的最小值是21.。

平面向量的基本定理及坐标表示Word版含答案

平面向量的基本定理及坐标表示【课前回顾】1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.【课前快练】1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D 因为a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，所以12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝⎛⎭⎫12，12－⎝⎛⎭⎫32，－32＝(－1,2)． 2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．0解析：选B 因为a 与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得x ＝±2.又m <0，所以x ＝m ＝－2.3．已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D.⎝⎛⎭⎫－12，－5 解析：选D ∵AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴OC ―→＝12AC ―→＝⎝⎛⎭⎫12，5，∴CO ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 4．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________. 解析：a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.答案：－65．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：因为AN ―→＝3NC ―→，所以AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，又因为AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN―→－AM ―→＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b考点一平面向量基本定理及其应用1．用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．【典型例题】1.如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AO ―→＝( )A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 解析：选D ∵在△ABC 中，BE 是边AC 上的中线， ∴AE ―→＝12AC ―→.∵O 是边BE 的中点，∴AO ―→＝12(AB ―→＋AE ―→)＝12AB ―→＋14AC ―→＝12a ＋14b .2．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝________.解析：由平面向量基本定理可知⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，故2x －y ＝9.答案：93.如图，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.4．如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.解：∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .考点二平面向量的坐标运算平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．【典型例题】1．若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( )A.12a ＋b B ．－12a －bC.32a ＋12b D.32a －12b 解析：选A 设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b .2．(2018·江西九校联考)已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.答案：723．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点， ∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．考点三平面向量共线的坐标表示1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2．共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【典型例题】已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.【针对训练】1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选B 因为a ＋λb ＝(1＋λ，2)，(a ＋λb )∥c ，所以1＋λ3＝24，所以λ＝12.2．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证：A ，B ，C 三点共线．证明：由题意得AB ―→＝(1,3)－(－1，－1)＝(1＋1,3＋1)＝(2,4)，AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(2＋1,5＋1)＝(3,6)．因为2×6－4×3＝0，所以AB ―→∥AC ―→，又直线AB 和直线AC 有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线．【课后演练】1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝12(－6,8)＝(－3,4)．2．若向量AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BC ―→＝( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7)D ．(－3，－7)解析：选B 由向量的三角形法则，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 3．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(c os A ，sin B )平行，则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 因为m ∥n ，所以a sin B －3bc os A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B c os A ＝0，又sin B ≠0，从而t a n A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3.6．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知PQ ―→＝PB ―→＋BQ ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 7．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－38．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －139．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.答案：1210．已知梯形ABCD ，其中AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥DC ， ∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．答案：(2,4)11．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( )A.12AC ―→＋13AB ―→B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→D.16AC ―→＋32AB ―→ 解析：选C 如图，因为EC ―→＝2AE ―→，所以EC ―→＝23AC ―→，所以EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.13．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ―→＝2PC ―→，点Q 是AC 的中点，若PA ―→＝(4,3)，PQ ―→＝(1,5)，则 BC ―→＝________.解析：AQ ―→＝PQ ―→－PA ―→＝(－3,2)，因为Q 是AC 的中点，所以AC ―→＝2AQ ―→＝(－6,4)，PC ―→＝PA ―→＋AC ―→＝(－2,7)，因为BP ―→＝2PC ―→，所以BC ―→＝3PC ―→＝(－6,21)．答案：(－6,21)14．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC ―→＝λOA ―→＋OB ―→，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA ―→＝(－3,0)，OB ―→＝(0，3)，则OC ―→＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，所以t a n 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，所以λ＝1. 答案：115．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值．解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧ m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613. 16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→.解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ， DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . 17.若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→. (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO ―→＝xBM ―→＋y BN ―→，求x ，y 的值．解：(1)由AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→，可知M ，B ，C 三点共线．如图，设BM ―→＝λBC ―→，则AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→，所以λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即△ABM 与△ABC 的面积之比为1∶4. (2)由BO ―→＝xBM ―→＋y BN ―→，得BO ―→＝xBM ―→＋y 2BA ―→， BO ―→＝x 4BC ―→＋y BN ―→，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线 ⇒⎩⎨⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧ x ＝47，y ＝67.。

专题26 平面向量基本定理及坐标表示-高考复习资料(解析版)

3 m，
2
λ 23 所以＝ .
μ3
―→ 7．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系 xOy 中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3 三点共线且向量 OP3 与
―→ ―→
―→
向量 a＝(1，－1)共线，若 OP3 ＝λ OP1 ＋(1－λ) OP2 ，则λ＝( )
A．－3
B．3
1A→C－A→B 5
＝(1－n)A→B
＋nA→C. 5
1－n＝m，
又A→P＝mA→B＋2A→C，∴ 5
n2 ＝， 55
n＝2，解得
m＝－1.
―→ ―→ ―→ 9.(2019·深圳模拟)如图，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若 AC ＝λ AM ＋μ BD ，则λ＋μ＝( )
4
5
A.
B.
23
3
A.
B.
C.3
3
3
D.2 3
【答案】A
【解析】如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B 点的坐
标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设 D 点的坐标为(m， 3m)(m≠0).
A→D＝(m，
3m)＝λA→B＋μA→C＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝
p∥q，则角 C＝________.
π 【答案】
3
【解析】因为 p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
所以 a2＋b2－c2＝ab，所以a2＋b2－c2＝1， 2ab 2
1
π
由余弦定理知，cos C＝，又因为 0<C<π，所以 C＝ .

高一数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析

高一数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.若向量与相等，其中，则=_________.【答案】-1【解析】由题意知，而向量与相等，∴，解得.【考点】相等向量的定义.2.设、是不共线的两个非零向量.(1)若，求证：三点共线；(2)若与共线，求实数的值.【答案】（1）证明详见解析；（2）当与共线时，.【解析】(1)利用向量证明三点共线，先建立平面向量的基底，求出、，找到使得，从而说明，再说明两个向量有一个公共点即可；（2）根据与共线，得到，然后根据向量相等的条件，建立、的方程组，求解即可得到的值.试题解析：(1)证明：∵而∴与共线，又有公共端点，∴三点共线(2)∵与共线，∴存在实数，使得∵与不共线∴或.【考点】1.向量共线定理；2.平面向量的基本定理；3.两向量相等的条件.3.已知向量a=（2,1）b=（3，﹣1）向量a与b的夹角为，则=（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】因为，向量a=（2,1）b=（3，﹣1）向量a与b的夹角为，所以，而，所以，=45°，选B。

【考点】平面向量的坐标运算，向量的夹角。

点评：简单题，注意应用夹角公式。

4.已知下列命题中：A.若，且，则或B.若，则或C.若不平行的两个非零向量，满足，则D.若与平行，则其中真命题的个数是A． B. C. D.【答案】C【解析】对于A.若，且，则或，成立。

对于B.若，则或，可能是非零的垂直向量，错误。

对于C.若不平行的两个非零向量，满足，则，由于数量积公式展开得到成立对于D.若与平行，则，，只有共线同向成立，反向不成立，错误，故选C【考点】向量的概念和数量积点评：主要是考查了向量的基本概念和数量积的运用，属于基础题。

5.在中，，.若点D满足,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】向量加减法点评：向量加减法遵循三角形法则：加法法则：将向量首位相接，由最初的起点指向最末的终点；减法法则：将两向量起点放在一起，连接终点，方向指向被减向量6.设，向量且，则 ( )A．B．C．2D．10【答案】B【解析】根据题意，由于同时结合，由于，那么可知，故选B.【考点】向量的数量积点评：主要是考查了向量数量积的坐标表示，以及共线和垂直的运用，属于基础题。

高二数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析

高二数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.已知向量，，若，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，解得，故选B．【考点】平面向量平行的充要条件．2.以下四组向量：①,；②,；③,；④,其中互相平行的是.A．②③B．①④C．①②④D．①②③④【答案】D【解析】因为若∥，则；①②③④都满足，所以都满足∥.【考点】向量的坐标表示、向量的运算.3.已知三点，，.(1)求与的夹角；(2)求在方向上的投影.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由点的坐标先计算出向量、的坐标，然后利用公式计算出向量夹角的余弦值，最后由余弦值即可确定向量、的夹角；（2）根据一个向量在另一个向量方向上的投影公式进行计算即可.试题解析：(1) ， 2分5分而 7分∴ 8分(2)在方向上的投影 12分.【考点】空间向量的基本运算问题.4.向量，若⊥，则实数 .【答案】【解析】由于⊥，则即得.【考点】向量垂直的坐标公式.5.在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【答案】B【解析】根据题意，由于四边形ABCD中，＝，则说明四边形是平行四边形，且·＝0，说明其对角线垂直，说明是菱形，故选B.【考点】向量的运用点评：本试题考查了向量的几何意义的运用，主要是对于向量的数量积为零的理解表示垂直关系，同时能结合向量相等得到模长相等，属于基础题。

6.已知, (为两两互相垂直的单位向量)，那么= .【答案】–65【解析】由,可以解得，，所以【考点】本小题主要考查向量的运算.点评：由已知条件可以求出向量的坐标，进而根据向量是数量积运算公式可以求解，难度较低，运算要仔细.7.已知向量，若，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】因为所以量与向量的夹角为.【考点】向量的数量积，向量的夹角，两角差的余弦公式,向量的模.点评：本小题用到了公式有：.8.已知向量，则等于（）A．B．C．25D．5【答案】D【解析】:因为根据向量的数量积公式，以及数量积的性质，要求解向量的模的长度，可以通过平方转化为向量的数量积来得到结论。

总复习《第27讲平面向量基本定理及坐标表示》

栏目导引
第四章
平面向量
→ → → → (2)∵CM＝ 3CA，CN ＝－ 2BC， → → → → → → → ∴MN＝ CN －CM＝－ 2BC－ 3CA＝－ 2BC＋ 3AC， → 由 A、 B、 C、 D 点坐标可得AC＝ (3,2)－ (1，－2)＝ (2,4)． → ∴MN＝－2(1,1)＋3(2,4)＝ (4,10)．设 M(xM， yM)， N(xN， yN)． → → 又CM＝ 3CA， → → → → ∴OM－ OC＝3(OA－OC)， ∴ (xM， yM)－ (3,2)＝ 3[(1，－2)－ (3,2)]＝ (－ 6，－ 12)． ∴ xM＝－3，yM＝－ 10，∴ M(－ 3，－ 10)． → → → → → 又CN ＝－2BC，即ON－OC＝－2BC， ∴ (xN， yN)－ (3,2)＝－ 2(1,1)， ∴ xN＝ 1， yN＝ 0，∴ N(1,0)．
(2)向量坐标的求法 → (x2－x1，y2－y1) 已知 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则AB＝ ______________，即一个终点的坐标减去起点的坐标．向量的坐标等于 __________________________
栏目导引
第四章
平面向量
(3)平面向量共线的坐标表示
第四章
平面向量
1．在△ ABC 中，P 是 BC 边的中点，角 A，B，C 的对边分别 → → → 是 a， b， c，若 cAC＋ aPA＋ bPB＝ 0，则△ ABC 的形状为 ( A ) A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形但不是等边三角形
→ → → → → → 解析：选 A.如图，由 cAC＋aPA＋bPB＝0 知， c(PC－PA)＋ aPA → → → → → －bPC＝(a－c)PA＋(c－b)PC＝ 0，而PA与 PC为不共线向量， ∴a－c＝c－b＝0，∴a＝b＝c.故选 A.

高一平面向量基本定理及坐标表示知识点+例题+练习含答案

1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么下列说法正确的是________(填序号)． ①若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0；②空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)； ③对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内；④对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对．答案 ①2．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 答案 0解析因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝⎛⎭⎫－23＝0. 3．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．4．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2 θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2 θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案 (1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 (1)45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)(2)如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为________．答案 (1)－23e 1＋512e 2 (2)13解析 (1)如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.(2)易知AG →＝13AB →＋13AC →，MN →＝－xAB →＋yAC →，故MG →＝⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →.由于MG →与MN →共线，所以⎝⎛⎭⎫13－x y ＝－13x ，即xy ＝13(x ＋y )，因此xy x ＋y ＝13.题型二平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝________. (2)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为__________．答案 (1)⎝⎛⎭⎫－133，－43 (2)⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为__________．(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________.答案 (1)(5,14) (2)(－6,21)解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.(2)BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．题型三向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (1)(－4，－8) (2)(2,4)解析 (1)由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．命题点2 利用向量共线求参数例4 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－54.命题点3 求交点坐标例5 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案 (3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________．答案3＋222解析由题意得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)，又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思维点拨可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A ，B 的坐标，用三角函数表示出点C 的坐标，最后转化为三角函数求最值．规范解答解以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[11分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]温馨提醒本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．[方法与技巧]1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值． [失误与防范]1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1.如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________．答案 ①③解析 ①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.答案 (－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)． 3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________. 答案 12a －32b解析设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________. 答案 12解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.5．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________．答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn＝3. 6．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.答案 2解析设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.7．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．答案 (－2，－4)解析设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．答案 m ≠54解析由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54. 9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．B 组专项能力提升(时间：15分钟)11．在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案 34解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →， ∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →.∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC → (0<x <1)． ∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →. ∵CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →，且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →＝t ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →. ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34. 12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为________．答案－12解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12. 13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________．答案 16解析由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为OP ＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.14．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连结AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.15．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题1.若向量=（1,2），=（3,4），则=A．（4,6）B．(-4，-6)C．(-2，-2)D．(2,2)【答案】A【解析】因为=+=,所以选A.【考点】本题考查平面向量的坐标运算(加法),属基础题.2.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．3.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),若m·n=1+cos(A+B),则C=()(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】依题意得sinAcosB+cosAsinB=1+cos(A+B),sin(A+B)=1+cos(A+B),sinC+cosC=1,2sin(C+)=1,sin(C+)=.又<C+<,因此C+=,C=,选C.4.已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则=.【答案】-【解析】【思路点拨】根据条件求出向量的夹角,进而寻求向量坐标间的关系,化简求值即可. 解：设a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=-6,∴cosθ=-1,∴θ=180°.即a,b共线且反向.又∵|a|=2,|b|=3,∴a=-b,x1=-x2,y1=-y2,∴=-.5.已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,那么2a-b=()A．(4,0)B．(0,4)C．(4,-8)D．(-4,8)【答案】C【解析】由a∥b,得4=-2m,∴m=-2,∴b=(-2,4),∴2a-b=2(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).6.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.7.在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中点，则__________.【答案】1【解析】以A为原点，AB,AD分别为x,y轴的正版轴，建立平面直角坐标系，即,，所以【考点】平面向量数量积的运算8.已知向量，,若∥，则代数式的值是．【答案】5【解析】利用向量平行的充要条件，由∥得，即，代入求值式即得．【考点】向量平行．9.已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求：的坐标（2）若，且与垂直，求与的夹角.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设根据可得，而由得，联立即可解得；（2）根据向量垂直得，展开整理得，故，即可解得.试题解析：设由得所以，.（2）∵与垂直，∴即；∴∴，∵∴.【考点】1.向量共线的充要条件；2.向量的数量积；3.向量运算的坐标表示.10.是双曲线的两个焦点，过点作与轴垂直的直线和双曲线的交点为，满足，则的值为 .【答案】．【解析】由双曲线方程知,，，又由题意知点，由得，把代入上式解得．【考点】双曲线的性质及向量运算.11.如图所示，是圆上的三点，线段的延长线于线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】线段的延长线与线段的延长线的交点为，则，在圆外，，又、、共线，故存在，使得，且，又，.，.选D.【考点】圆的性质，平面向量基本定理.12.已知向量，若与垂直，则______.【答案】【解析】，，.【考点】1.向量的模；2.向量垂直.13.设 ,向量且 ,则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】,则，再利用向量模的计算公式得.【考点】平面向量垂直的充要条件，模的计算.14.已知向量，，若，则实数等于．【答案】.【解析】，两边平方得，则有，化简得，即，解得.【考点】平面向量的模、平面向量的坐标运算15.在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若＝－2＋λ，则λ＝( )A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由点分线段所成比例向量形式公式知，，所以.选C.【考点】1.向量的运算； 2.平面向量的基本定理.16.如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为(， )，向量的斜坐标为(， )．给出以下结论：①若，P(2,－1)，则；②若，，则；③若，，则；④若，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为．其中所有正确的结论的序号是．【答案】①②④【解析】①中是两临边常分别为2，1且一内角为的平行四边形较短的对角线，解三角形可知；结合向量的平行四边形加法法则可知②若，，则是正确的；，，所以③错误；④中设圆上任意一点为【考点】向量坐标的定义及运算点评：本题为新定义，正确理解题中给出的斜坐标并与已知的向量知识相联系是解决问题的关键17.若向量，且，则锐角的大小是【答案】【解析】因为，所以，所以，又为锐角，故.【考点】共线向量点评：本题考查共线向量的坐标运算，记住公式是解题的关键，属基础题.18.以下说法错误的是（）A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是D．空间两条直线所成角的取值范围是【答案】C【解析】∵两向量可以反向，∴两向量的夹角可以为，所以平面内两个非零向量的夹角的取值范围是，错误，选C【考点】本题考查了空间角的概念点评：掌握平面和空间中的角的概念是解决此类问题的关键，属基础题19.已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=( ) A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因为△ABC和点M满足，所以又，故m=3，选B。

高中平面向量的基本定理及向量坐标运算知识点+例题

辅导讲义――平面向量的基本定理及向量坐标运算教学内容1．平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．正交分解：一个平面向量用一组一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量a 的分解. 当e 1、e 2所在的直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解.[例1] 若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是（ C ）A ．b a 2-与b a 2+-B ．b a 53-与b a 106-C ．b a 2-与b a 75+D ．b a 32-与b a 4321- [巩固] 已知向量a ，b 非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（ A ）A ．b a +，b a -B ．b a -，a b -C ．b a 21+，b a +2 D ．b a 22-，b a - [例2] 在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 的中点，若AC n AB m BE +=，则n m +的值是__________.21-[巩固1] 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若DB AD 2=，CB CA CD μλ+=，则μλ的值为_________.21[巩固2] 设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AB AD 41=，BC BE 32=，若),(2121R AC AB DE ∈+=λλλλ，则21λλ+的值为_________.43[巩固3] 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OB y OA x OP +=，且PA BP 3=，则x=_______；y=______.43，41知识模块1平面向量的基本定理精典例题透析[巩固4] 非零向量a ，b ，m a =，n b =，若向量b a c 21λλ+=，则c 的最大值为___________.n m 21λλ+[例3] 如图，已知Rt △BCD 的一条直角边BC 与等腰Rt △ABC 的斜边BC 重合，若AB=2，∠CBD=︒30，AC n AB m AD +=，n m -=_______.-1[巩固] 已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为_________.答案 23解析过C 作CE ⊥x 轴于点E .由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝231．向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y 使得：a =x i +y j .（x ，y ）叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =（x ，y ） 2．平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)， |a |＝2121y x +.知识模块2平面向量的坐标表示[巩固] 已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =，若b a 2-与c 共线，则k 的值为________.1题型一：平面向量基本定理的应用[例]（1）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于_______. （2）如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 (1) 45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.[巩固]已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是________.答案 0解析 ∵DB →＝AB →－AD →，∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →. 又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，题型二：平面向量的坐标运算[例]已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，知识模块3经典题型且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝124．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于________.解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴M 为△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点． ∴AM →＝23AD →.又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3，5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则x ＝_______，y ＝________.解析由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案 12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案 k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.8．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．答案 1解析由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t 1＝μt ，∴λμ＝1. 12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，若将b 与c 作为基底，则AD →等于____________. 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b .13．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析利用平面向量的加、减法的运算法则将DE →用AB →，AC →表示出来，对照已知条件，求出λ1，λ2的值即可．由题意得DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.14．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为_________．答案3＋222解析由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)，又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋ 222.(当且仅当b ＝2a 时，等号成立) 15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)， B (－12，32)，设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，11。

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1. [2014·广东佛山三模]设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则＋的最小值是________．【答案】8【解析】kAB ＝，kAC＝，∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝，∴2a＋b＝1，∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，∴＋的最小值是8.2.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．3.已知向量，则向量的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,则根据向量加法的坐标运算可得,故选D.【考点】向量的坐标运算4.在三角形ABC中，的平分线交BC于D，AB="4," ,则AD的长为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为B,C,D三点共线，所以因为AD为角A的平分线，所以有因此【考点】平面向量坐标表示5.在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A．B．2C．5D．10【答案】C【解析】∵·＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴⊥，∴S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.6. 已知点O (0,0)，A 0(0,1)，A n (6,7)，点A 1，A 2，…，A n －1(n ∈N ，n ≥2)是线段A 0A n 的n 等分点，则| ＋＋…＋OA n －1＋|等于( ) A ．5n B ．10n C ．5(n ＋1) D ．10(n ＋1)【答案】C【解析】取n ＝2，，则＋＋＝(0,1)＋(3,4)＋(6,7)＝(9,12)，所以| ＋＋|＝＝15，把n ＝2代入选项中，只有5(n ＋1)＝15，故排除A 、B 、D ，选C.7. 已知向量与共线，则【答案】【解析】因为向量与共线，所以,向量共线与向量垂直的条件不同，不要张冠李戴. 【考点】向量共线坐标表示8. 过坐标原点O 作单位圆的两条互相垂直的半径，若在该圆上存在一点，使得（），则以下说法正确的是（） A ．点一定在单位圆内 B ．点一定在单位圆上 C ．点一定在单位圆外D ．当且仅当时，点在单位圆上【答案】B ．【解析】使用特殊值方法求解．设．在圆上，在单位圆上，故选B ．【考点】1．平面向量基本定理；2．点和圆的位置关系．9. 已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(,-1),则|2a-b|的最大值为( ) A ．4 B ．4 C ．16D ．8【答案】B【解析】∵2a-b=(2cosθ-,2sinθ+1), ∴|2a-b|===故最大值为4.10. 如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，e 1，e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe 1＋ye 2，则将有序实数对(x ，y )叫做向量在坐标系xOy 中的坐标．(1)若＝3e 1＋2e 2，则||＝________；(2)在坐标系xOy 中，以原点为圆心的单位圆的方程为________．【答案】(1) (2)x2－xy＋y2－1＝0【解析】由题意可得e1·e2＝cos 120°＝－.(1)||＝；(2)设圆O上任意一点Q(x，y)，则＝xe1＋ye2，||＝1，即x2＋2xy×＋y2＝1，故所求圆的方程为x2－xy＋y2－1＝0.11.已知向量＝(4,6)，＝(3,5)，且，，则向量＝()．A．B．C．D．【答案】D【解析】设＝(x，y)，则＝－＝(x，y)－(4,6)＝(x－4，y－6)，又⊥，，故解得12.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的劣弧上运动，若=+，其中，则的取值范围是 .【答案】【解析】依题意，，，，，，当且仅当时取等号.【考点】平面向量基本定理，不等式的性质.13.设，，且，则锐角为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由向量平行的充要条件知，化简得①，设，则，代入①式得，所以或，又是锐角，所以，那么，此时，.【考点】1、平面向量共线的坐标表示；2、三角函数的积化和差公式的应用.14.在平面直角坐标系中，已知，．若，，则实数的值为__________．【答案】2【解析】∵，，∴，设，可得…①，又∵，，∴且…②将①②联解，可得，，，故答案为：2.【考点】1.平面向量数量积的运算；2.平行向量与共线向量．15.已知向量，，若∥，则+=（）A．(-2，-1)B．(2，1)C．(3，-1)D．(-3，1)【答案】A【解析】因为∥，所以，所以.，.【考点】平面向量的线性运算与坐标表示16.在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若＝－2＋λ，则λ＝( )A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由点分线段所成比例向量形式公式知，，所以.选C.【考点】1.向量的运算； 2.平面向量的基本定理.17.已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是．【答案】﹣5【解析】不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，=﹣5，﹣4，或﹣3．则的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．【考点】平面向量数量积的运算点评：本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力18.在中,已知,且,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，故选A。

高一数学平面向量的基本定理及其坐标表示试题答案及解析

高一数学平面向量的基本定理及其坐标表示试题答案及解析1.如图，在，设，，的中点为，的中点为，的中点为，若，则（）A． 1B．C．D．【答案】D【解析】设，根据向量加法的平行四边形法则，有，所以【考点】本小题主要考查平面向量的加法运算和向量加法的平行四边形法则的应用，考查学生对图形的应用能力和运算求解能力.点评：解决本小题的关键是用已知向量表示未知向量.2.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 ()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直【答案】A【解析】＋＋＝＋＋＋＋－＝＋＋－－－＝ (－)＋＝＋＝－，故选A.3.在▱ABCD中，＝a，＝b，＝4，P为AD的中点，则＝()A．a＋b B．a＋bC．－a－b D．－a－b【答案】C【解析】如图，＝－＝－＝－ (＋)＝b－ (a＋b)＝－a－b.4.已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是() A．B．C．－3D．0【答案】D【解析】∵＝－，＝－.∴＝－－＝－－.∴＝－，∴＝－.又＝r＋s，∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0.5.设a、b是不共线的两个非零向量，已知＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A、B、D 三点共线，则p的值为()A．1B．2C．－2D．－1【答案】D【解析】＝＋＝2a－b，＝2a＋pb，由A、B、D三点共线知，存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb，∵a、b不共线，∴，∴p＝－1.6.△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若C＝a，C＝b，|a|＝1，|b|＝2，则C ＝()A．a＋b B．a＋bC．a＋b D．a＋b【答案】B【解析】如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，∴＝＝，∴＝＝ (－)＝b－a，∴＝＋＝a＋＝a＋b.7.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为()A．B．C．D．【答案】C【解析】设＝λ，∵E、D分别为AC、AB的中点，∴＝＋＝－a＋b，＝＋＝(b－a)＋λ(a－b)＝a＋(1－λ)b，∵与共线，∴＝，∴λ＝，∴＝＋＝b＋＝b＋＝a＋b，故x＝，y＝.8.如图，E是平行四边形ABCD的边AD上一点，且＝，F为BE与AC的交点．设＝a，＝b，若＝k，＝h，则k＝________，h＝________.【答案】【解析】∵＝＋＝a＋b，∴＝h＝ha＋hb，＝＋＝－a＋ha＋hb＝(h－1)a＋hb，又＝k＝k(＋)＝k(－a＋b)＝－ka＋b，显然a与b不共线，∴，解得.9.如图，已知△ABC中，M、N、P顺次是AB的四等分点，＝e1，＝e2，试用e1，e2表示、、.【答案】＝e1＋e2；＝e1＋e2；＝e1＋e2.【解析】＝e1＋e2；＝e1＋e2；＝e1＋e2.10.已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°.(1)求|a＋b|，|a－b|.(2)求a＋b与a的夹角及a－b与a的夹角．【答案】（1）|a＋b|＝||＝2||＝2××4＝4，|a－b|＝||＝4.（2）a＋b与a所成的角，即∠COA＝30°，a－b与a所成的角，即与所成的角，等于∠CBA＝60°【解析】如图，以、为邻边作平行四边形OACB，∵||＝||＝4，∠AOB＝60°，∴四边形OACB为菱形．(1)a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，∴|a＋b|＝||＝2||＝2××4＝4，|a－b|＝||＝4.(2)在△OAC中，∠OAC＝120°，∴∠COA＝∠OCA＝30°，a＋b与a所成的角，即∠COA＝30°，a－b与a所成的角，即与所成的角，等于∠CBA＝60°.11. (2010·烟台市诊断)已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是()A．6B．－6C．9D．12【答案】A【解析】∵a∥b，∴＝，∴x＝6.12. (2010·湖南长沙)已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．垂心C．内心D．重心【答案】D【解析】设＋＝，则可知四边形BACD是平行四边形，而＝λ表明A、P、D三点共线．又D在BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心．13.已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于()A．－6B．6C．2D．－2【答案】B【解析】a＋2b＝(5,5),3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，∴λ＝6.14. (09·北京文)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向【答案】D【解析】c＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)，d＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，c∥d⇒k×(－1)－1×1＝0，∴k＝－1.∴c＝(－1,1)与d反向，∴选D.15.若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则＋的值为________．【答案】－【解析】∵A、B、C共线，∴∥，∵＝(2，m＋2)，＝(n＋2,2)，∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，∴mn＋2m＋2n＝0，∵mn≠0，∴＋＝－.16.在平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(1，－2)，B(－1,4)，若点C满足＝α＋β，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________．【答案】3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)【解析】∵α＋β＝1，∴β＝1－α，又∵＝α＋β＝α＋(1－α) ，∴－＝α(－)，∴∥，又与有公共点B，∴A、B、C三点共线，∵0≤α≤1，∴C点在线段AB上运动，∴C点的轨迹方程为3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)．17.已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)．(1)求实数x，使两向量、共线．(2)当两向量与共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？【答案】（1）x＝±2.（2）当x＝－2时，A、B、C、D四点在同一条直线上．但x＝2时，A、B、C、D四点不共线．【解析】(1)＝(x,1)，＝(4，x)．∵∥，∴x2－4＝0，即x＝±2.∴当x＝±2时，∥.(2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，∴∥.此时A、B、C三点共线，从而，当x＝－2时，A、B、C、D四点在同一条直线上．但x＝2时，A、B、C、D四点不共线．18.已知A(1,3)、B(－2，0)、C(2,1)为三角形的三个顶点，L、M、N分别是线段BC、CA、AB 上的点，满足||||＝||||＝||||＝13，求L、M、N三点的坐标．【答案】L、M、N(0,2)【解析】∵A(1,3)，B(－2,0)，C(2,1)，∴＝(1,3)，＝(－2,0)，＝(2,1)．又∵||||＝||||＝||||＝13，∴＝＝，∴＝＋＝(－2,0)＋＝；同理可得＝，＝(0,2)，∴L、M、N(0,2)为所求．19.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝α＋β，其中α、β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．3x＋2y－11＝0C．2x－y＝0D．x＋2y－5＝0【答案】D【解析】解法1：设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1，3)．由＝α＋β得(x，y)＝(3α，α)＋(－β，3β)＝(3α－β，α＋3β)．于是由(3)得β＝1－α代入(1)(2)消去β得，.再消去α得x＋2y＝5，即x＋2y－5＝0.∴选D.解法2：由平面向量共线定理，当＝α＋β，α＋β＝1时，A、B、C三点共线．因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得＝，即x＋2y－5＝0.∴选D.20.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)【答案】D【解析】设c＝(x，y)，∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，∴4a＝(4，－12),3b－2a＝(－8,18)．又由表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则有4a＋(3b－2a)＋c＝0，即(4，－12)＋(－8,18)＋(x，y)＝(0,0)，∴x＝4，y＝－6，∴c＝(4，－6)．。

2022高三总复习数学平面向量基本定理及坐标表示(含解析)

平面向量基本定理及坐标表示A 级——基础达标1．已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→，点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°.设OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→ (m ，n ∈R )，则mn 等于( )A.13 B ．3 C.33D ． 3解析：选B 如图，由已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→，可得AB ＝2，A ＝60°，因为点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°，所以OC ⊥AB ，过点C 作CD ⊥OA ，垂足为点D ，则OD ＝34，CD ＝34，所以OD ―→＝34OA ―→，DC ―→＝14OB ―→，即OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，所以mn ＝3.2．(多选)设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A ．AD ―→与AB ―→B ．DA ―→与BC ―→ C ．CA ―→与DC ―→D ．OD ―→与OB ―→解析：选AC 如图，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，对于A ，AD ―→与AB ―→不共线，可作为基底；对于B ，DA ―→与BC ―→为共线向量，不可作为基底；对于C ，CA ―→与DC ―→是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD ―→与OB ―→在同一直线上，是共线向量，不可作为基底．3．(多选)已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是( )A ．－2B ．12C ．1D ．－1解析：选ABD 若A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形．因为AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A ，B ，C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.所以只要m ≠1，则A ，B ，C 三点即可构成三角形，故选A 、B 、D.4．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝ . 解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，所以λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．因为向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2. 答案：25．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP ―→＝12MN ―→，则P 点的坐标为．解析：设P (x ，y )，则MP ―→＝(x －3，y ＋2)，而12MN ―→＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，所以⎩⎨⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－32.所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32 6．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝ a ＋ b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －137.如图，在△ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，点O 是线段MN 上异于端点的一点，且满足λOA ―→＋3OB ―→＋4OC ―→＝0(λ≠0)，则λ＝ .解析：法一：由已知得OA ―→＝－3λ OB ―→－4λ OC ―→，① 由M ，O ，N 三点共线，知∃t ∈R ，使OM ―→＝t ON ―→，故2OM ―→＝2t ON ―→，故OA ―→＋OB ―→＝t (OA ―→＋OC ―→)，整理得OA ―→＝1t －1OB ―→＋t 1－t OC ―→，②对比①②两式的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝1t －1，－4λ＝t 1－t ，解得⎩⎨⎧t ＝－43，.λ＝7.法二：因为M 是AB 的中点，所以OM ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，于是OB ―→＝2OM ―→－OA ―→，同理OC ―→＝2ON ―→－OA ―→，将两式代入λOA ―→＋3OB ―→＋4OC ―→＝0，整理得(λ－7)OA ―→＋6OM ―→＋8ON ―→＝0，因M ，O ，N 三点共线，故∃p ∈R ，使得OM ―→＝p ON ―→，于是(λ－7)OA ―→＋(6p ＋8)ON ―→＝0，显然OA ―→，ON ―→不共线，故λ－7＝6p ＋8＝0，故λ＝7. 答案：78．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)AB ―→＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB ―→∥BC ―→.所以8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，所以m ＝32.9.如图，已知平面内有三个向量OA ―→，OB ―→，OC ―→，其中OA ―→与OB ―→的夹角为120°，OA ―→与OC ―→的夹角为30°，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝1，|OC ―→|＝2 3.若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．解：法一：如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC ―→＝OB ―→1＋OA ―→1，因为OA ―→与OB ―→的夹角为120°， OA ―→与OC ―→的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC ―→|＝23，所以|OB ―→1|＝2，|B 1C ―→|＝4，所以|OA ―→1|＝|B 1C ―→|＝4，所以OC ―→＝4OA ―→＋2OB ―→，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，C (3，3)．由OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，得⎩⎨⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.B 级——综合应用10．(2021·豫南九校联考)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA ―→＋2OB ―→；②12OA ―→＋13OB ―→；③34OA ―→＋13OB ―→；④34OA ―→＋15OB ―→；⑤34OA ―→－15OB ―→. 若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( ) A ．①② B ．②④ C ．①③D ．③⑤解析：选B 在ON 上取点C ，使得OC ＝2OB ，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OCDA (图略)，则OD ―→＝OA ―→＋2OB ―→，其终点不在阴影区域内，排除A 、C ；取线段OA 上一点E ，使AE ＝14OA ，作EF ∥OB ，交AB 于点F ，则EF ＝14OB ，由于EF ＜13OB ，所以34OA ―→＋13OB ―→的终点不在阴影区域内，排除选项D.故选B.11．(多选)已知向量e 1，e 2是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当OP ―→＝x e 1＋y e 2时，则称有序实数对(x ，y )为点P 的广义坐标．若点A ，B 的广义坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，关于下列命题正确的是( )A ．线段AB 的中点的广义坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 B ．A ，B 两点间的距离为(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 C ．向量OA ―→平行于向量OB ―→的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1 D ．向量OA ―→垂直于OB ―→的充要条件是x 1x 2＋y 1y 2＝0 解析：选AC 由中点的意义知A 正确；只有在e 1，e 2互相垂直时，两点间的距离公式B 才正确，B 错误；由向量平行的充要条件得C 正确；只有e 1，e 2互相垂直时，OA ―→与OB ―→垂直的充要条件为x 1x 2＋y 1y 2＝0，D 错误；故选A 、C.12．(2021·北京市人大附中高三考前热身试题)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，求|OP ―→|；(2)设OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n .解：(1)∵PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝(1－x ，1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得{x ＝2，y ＝2.即OP ―→＝(2,2)，故|OP ―→|＝2 2.(2)∵OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，AB ―→＝(1,2)，AC ―→＝(2,1)． ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .C 级——迁移创新13.如图，向量OA ―→与OB ―→的夹角为120°，|OA ―→|＝2，|OB ―→|＝1，P 是以O 为圆心，|OB ―→|为半径的BC 上的动点，若OP ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，求λμ的最大值．解：建立如图所示的平面直角坐标系，设P (cos θ，sin θ)，则OP ―→＝(cos θ，sin θ)，OA ―→＝(2,0)，OB ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，32.∵OP ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，∴cos θ＝2λ－12μ，sin θ＝32μ.∴⎩⎨⎧λ＝12cos θ＋123sin θ，μ＝23sin θ， ∴λμ＝123sin 2θ－16cos 2θ＋16＝13sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＋16≤12. 当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，取等号．∴λμ的最大值为12.。

高二数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析

高二数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.如图，设向量=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且μ≥λ≥1，则用阴影表示C点的位置区域正确的是（）【答案】C【解析】特殊值法，取λ=1，μ=2，通过图象可知答案选C.【考点】向量的线性运算及几何意思2.设两个非零向量和不共线．(1) 如果=+，=，=，求证：、、三点共线；(2) 若=2，=3，与的夹角为，是否存在实数，使得与垂直？并说明理由．【答案】(1) 证明见解析; (2) 存在实数，使得与垂直．【解析】(1)证明三点共线，只需证明三点构成的向量中任意两向量共线即可，由向量的运算++，所以向量共线，那么三点共线；(2)假设存在实数，使与垂直，那么（）（）=，又=2，=3，与的夹角为，将等式展可代入可得关于m的方程，得．证明：（1）++=（+）+（）+（）=6（+）=6 , 且与有共同起点．、、三点共线（2）假设存在实数，使得与垂直，则（）（）==2，=3，与的夹角为，，故存在实数，使得与垂直．【考点】1．平面向量的基本定理；2．平面向量的数量积．3.设是四面体，是的重心，是上一点，且，若，则为 .【答案】【解析】由是上一点，且，可得又因为是的重心，所以而，所以，所以.【考点】1.空间向量的加减法；2.空间向量的基本定理.4.以下四组向量：①,；②,；③,；④,其中互相平行的是.A．②③B．①④C．①②④D．①②③④【答案】D【解析】因为若∥，则；①②③④都满足，所以都满足∥.【考点】向量的坐标表示、向量的运算.5.已知，，若，则 .【答案】1【解析】由可得即，解得.【考点】空间向量垂直的判定及空间向量的坐标运算.6.与向量＝(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为()A．(1,3,2)B．(-1，-3,2)C．(-1,3，-2)D．(1，-3，-2)【答案】C【解析】∵（-1,3，-2）=-∴由向量共线的充要条件可知答案C【考点】向量共线的充要条件.7.若，定义一种向量积：，已知，且点在函数的图象上运动，点在函数的图象上运动，且点和点满足：（其中O为坐标原点），则函数的最大值及最小正周期分别为A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知=（x，sinx），，根据新定义可知=（2x，）+(，0)=（2x+，）而点Q在y=f（x）的图象上运动∴f（2x+）=则f（x）=∴y=f（x）的最大值、周期分别为，故选D．【考点】本题主要考查平面向量的坐标运算，三角函数的图象和性质。

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高中数学高考总复习平面向量基本定理及坐标表示习题及详解一、选择题1．(2010·安徽)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b[答案] C[解析] |a |＝1，|b |＝22，故A 错；a·b ＝12，故B 错；(a －b )·b ＝(12，－12)·(12，12)＝14－14＝0，故C 正确；∵112≠012，故D 错．2．已知平面向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(3，－5)，则用a ，b 表示向量c 为( ) A ．2a －b B ．－a ＋2b C ．a －2bD ．a ＋2b[答案] C[解析] 设c ＝x a ＋y b ，∴(3，－5)＝(x －y ，－x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3－x ＋2y ＝－5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2， ∴c ＝a －2b ，故选C.3．(文)(2010·胶州三中)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与b 垂直，则λ等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.(理)(2010·北京延庆县模考)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12B ．2C ．－12D ．－2[答案] D[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)， a －2b ＝(4，－1)， ∵m a ＋4b 与a －2b 共线， ∴2m －44＝3m ＋8－1，∴m ＝－2. 4．(2010·河北省正定中学模拟)已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(0，－2)，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则向量a ，b 的夹角为( )A.3π2－θ B ．θ－π2C.π2＋θD ．θ[答案] A[解析] 解法一：由三角函数定义知a 的起点在原点时，终点落在圆x 2＋y 2＝4位于第二象限的部分上(∵π2<θ<π)，设其终点为P ，则∠xOP ＝θ， ∴a 与b 的夹角为3π2－θ.解法二：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－4sin θ2×2＝－sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ，∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴3π2－θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，又〈a ，b 〉∈(0，π)，∴〈a ，b 〉＝3π2－θ.5．(文)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D.22[答案] C[解析] 由(a －c )(b －c )＝0得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝0，即c 2＝(a ＋b )c ，故|c |·|c |≤|a ＋b |·|c |，即|c |≤|a ＋b |＝2，故选C.(理)已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a,0)、B (0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且有AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值为( )A ．aB ．2aC ．3aD ．a 2[答案] D[解析] ∵AP →＝tAB →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t (OB →－OA →) ＝(1－t )OA →＋tOB →＝(a －at ，at ) ∴OA →·OP →＝a 2(1－t )， ∵0≤t ≤1，∴OA →·OP →≤a 2.6．在平行四边形ABCD 中，AE →＝13AB →，AF →＝14AD →，CE 与BF 相交于G 点．若AB →＝a ，AD →＝b ，则AG →＝( )A.27a ＋17b B.27a ＋37b C.37a ＋17bD.47a ＋27b [答案] C[解析] ∵B 、G 、F 三点共线， ∴AG →＝λAF →＋(1－λ)AB →＝14λb ＋(1－λ)a .∵E 、G 、C 三点共线，∴AG →＝μAE →＋(1－μ)AC →＝13μa ＋(1－μ)(a ＋b )．由平面向量基本定理得，⎩⎨⎧λ4＝1－μ1－λ＝1－23μ，∴⎩⎨⎧λ＝47μ＝67，∴AG →＝37a ＋17b .7．(文)(2010·深圳模拟)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14[答案] A[解析] 由题可知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13，故选A. (理)已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1 C.45D.53[答案] A[解析] 设C (x 0，y 0)，则y 0＝12ax 0，∴AC →＝(x 0－7，12ax 0－1)，CB →＝(1－x 0,4－12ax 0)，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－7＝2(1－x 0)12ax 0－1＝2⎝⎛⎭⎫4－12ax 0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3a ＝2. 8．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2D.6或－ 6[答案] C[解析] 以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 为矩形，OA →⊥OB →.由图形易知直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2，所以选C.9．(2010·河南许昌调研)在平面直角坐标系中，O 为原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )[答案] A[解析] OC →＝λa ＋μb ＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，令OC →＝(x ，y )，则x －y ＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ) ＝2(λ－μ)≤0，∴点C 对应区域在直线y ＝x 的上方，故选A.10．(文)(2010·重庆诊断)称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a 、b 间的“距离”．若向量a 、b 满足；①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，b )≥d (a ，t b )，则( )A ．a ⊥bB ．a ⊥(a －b )C ．b ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )[答案] C[解析] 依题意得|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，亦即t 2－2t a·b ＋(2a·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有Δ＝(－2a·b )2－4(2a·b －1)≤0，即(a·b －1)2≤0，故a·b －1＝0，即a·b －b 2＝b·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )，选C.(理)(2010·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )．令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2[答案] B[解析] 若a ，b 共线，则mq ＝np ，即a ⊙b ＝0，∵a ⊙b ＝mq －np ，∴b ⊙a ＝pn －mq ，故B 错误；∵λa ＝(λm ，λn )，∴(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λmq －λnp ，∴C 正确；又(a ⊙b )2＋(a·b )2＝(mq －np )2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，∴D 正确，故选B.[点评] 本题是找错误选项，而B 是指运算⊙满足交换律，显然mq －np ≠pn －qm ，故选B ，其它选项可不必讨论．二、填空题11．(2010·北京市顺义一中月考)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的________条件．[答案] 充分不必要[解析] ∵x ＝2时，a ＝(1,1)，b ＝(3,3)，b ＝3a ，∴a ∥b ；而当a ∥b 时，1×3＝(x ＋1)(x －1)，∴x 2＝4，∴x ＝±2，即当x ＝－2时，也有a ∥b ，故x ＝2是a ∥b 的充分不必要条件．12．(文)已知e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝2e 1－5e 2，CD →＝λe 1－e 2，若三点A 、B 、D 共线，则λ＝________.[答案] 8[解析] ∵A 、B 、D 共线，∴AB →与BD →共线， ∴存在实数μ，使AB →＝μBD →， ∵BD →＝CD →－CB →＝(λ－2)e 1＋4e 2， ∴3e 1＋2e 2＝μ(λ－2)e 1＋4μe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ(λ－2)＝34μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ＝8，故填8.(理)已知A (－2,3)，B (3，－1)，点P 在线段AB 上，且|AP | |P B |＝1 2，则P 点坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－13，53 [解析] 设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －3)，PB →＝(3－x ，－1－y )， ∵P 在线段AB 上，且|AP | |P B |＝1 2， ∴AP →＝12PB →，∴(x ＋2，y －3)＝⎝⎛⎭⎫3－x 2，－1－y 2，∴⎩⎨⎧x ＋2＝3－x 2y －3＝－1－y2，∴⎩⎨⎧x ＝－13y ＝53，即P ⎝⎛⎭⎫－13，53. 13．(2010·湖北八校联考)如图，在△ABC 中，H 为BC 上异于B 、C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[答案] 12[解析] M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM ＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.14．已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos2α)，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________. [答案] －33[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos2α－3，∴2cos2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33. 三、解答题15．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.[解析] 因为A (7,8)，B (3,5)C (4,3) 所以AB →＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M 、N 分别为AB 、AC的中点，所以F 为AD 的中点，故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．[点评] 注意向量表示的中点公式，M 是A 、B 的中点，O 是任一点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．16．已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由． [解析] (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(t ＋2,3t －1)．若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)． ∵四边形OABP 为平行四边形，∴OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解． ∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OP AB 为平行四边形．综上知，当t ＝±1时，四点O 、A 、B 、P 能成为平行四边形的四个顶点．17．(文)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及定点A (1,1)，M 为圆C 上任意一点，点N 在线段MA 上，且MA →＝2AN →，求动点N 的轨迹方程．[解析] 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，则由MA →＝2AN →得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －21－y 0＝2y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x y 0＝3－2y ，代入(x －3)2＋(y －3)2＝4，得x 2＋y 2＝1.[点评] 平面向量与解析几何结合是新的命题方向，解答此类问题关键是利用向量共线或垂直的关系建立点的坐标之间的关系式，然后用解析几何的方法解答．请再练习下题：已知⊙C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝9及定点A (－1,1)，M 是⊙C 上任意一点，点N 在射线AM 上，且|AM |＝2|MN |，动点N 的轨迹为C ，求曲线C 的方程．解答如下：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵N 在射线AM 上，且|AM |＝2|MN |，∴AM →＝2MN →或AM →＝－2MN →， AM →＝(x 0＋1，y 0－1)，MN →＝(x －x 0，y －y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋1＝2(x －x 0)y 0－1＝2(y －y 0)或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋1＝－2(x －x 0)y 0－1＝－2(y －y 0)， ∴⎩⎨⎧x 0＝13(2x －1)y 0＝13(2y ＋1)或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋1y 0＝2y －1，代入圆方程中得(2x ＋5)2＋(2y －2)2＝81或(2x ＋3)2＋(2y －2)2＝9.(理)(2010·湖北黄冈)已知θ是△ABC 的最大的内角．设向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(sin2θ，1－cos2θ)，c ＝(0，－1)．定义f (θ)＝(a ＋b )·c ＋|b |，求f (θ)的最大值．[解析] ∵θ是△ABC 的最大内角∴π3≤θ<π，|b |＝sin 22θ＋(1－cos2θ)2＝4sin 2θ＝2sin θ， ∴f (θ)＝(a ＋b )·c ＋|b |＝(cos θ＋sin2θ，sin θ＋1－cos2θ)·(0，－1)＋2sin θ＝cos2θ－sin θ－1＋2sin θ＝－2sin 2θ＋sin θ＝－2(sin θ－14)2＋18∵π3≤θ<π，∴0<sin θ≤1，从而，当sin θ＝14时，f (x )取最大值18，(此时θ＝π－arcsin 14)。

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