2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练专题提升训练训练17
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练 专题提升训练阶段检测卷5
阶段检测卷(五)一、填空题(每小题5分，共70分)1．(2013·山东卷改编)复数z ＝(2－i )2i (i 为虚数单位)，则|z |＝________.解析 z ＝3－4ii ＝－4－3i ，∴|z |＝(－4)2＋(－3)2＝5. 答案 52．(2011·江苏卷)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.解析 由题意得该组数据的平均数为x ＝15(10＋6＋8＋5＋6)＝7，所以方差为s 2＝15[32＋(－1)2＋12＋(－2)2＋(－1)2]＝3.2. 答案 3.23．(2011·江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析 从中取出两个数共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6种情况．其中一个数是另一个数的两倍的情况共有{1,2}，{2,4}2种，∴p ＝26＝13. 答案 134．(2010·江苏卷)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色相同的概率是________．解析 四个球取出两球有6种等可能基本事件：(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，白3)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)．两只球颜色相同有3种：(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)．所以所求概率为P ＝36＝12. 答案 125．(2013·安徽卷改编)设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝________.解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得： (a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i.则⎩⎨⎧ 2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，因此z ＝1＋i. 答案 1＋i6.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是________． 解析 当x ≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x <4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋907＝91，∴x ＝1.答案 17．(2012·辽宁卷改编)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为________． 解析 设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12－x )cm ，那么矩形的面积为x (12－x )cm 2，由x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10.又0＜x ＜12，所以该矩形面积大于20 cm 2的概率为23.答案 238．(2013·辽宁卷改编)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．解析 由频率分布直方图，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.所以该班学生人数150.3＝50. 答案 509．(2013·北京卷改编)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________．解析 执行一次循环后S ＝23，i ＝1；执行第二次循环后，S ＝1321，i ＝2≥2，退出循环体，输出S 的值为1321. 答案 132110．(2012·淮阴、海门、天一中学联考)在圆x 2＋y 2＝4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则|x |＋|y |≤2的概率为________．解析 |x |＋|y |≤2表示的图形是正方形及其内部，用正方形的面积除以圆x 2＋y 2＝4的面积易得概率为2π.答案 2π11.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析 ∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，又∵E 是AD 的中点，∴F 是CD 的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝12AC ＝12×22＝ 2.答案212．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．解析 ①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8；个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个．②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个，个位数为0的概率是545＝19. 答案 1913．(2013·湖北卷改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝________.解析 第一次循环：a ＝5，i ＝2；第二次循环：a ＝16，i ＝3；第三次循环a ＝8，i ＝4；第四次循环：a ＝4，i ＝5，循环终止，输出i ＝5. 答案 514．(2013·安徽卷改编)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93①这种抽样方法是一种分层抽样；②这种抽样方法是一种系统抽样；③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；④该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是________．解析 若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，所以①错；由题目看不出是系统抽样，所以②错；这五名男生成绩的平均数，x 男＝15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，这五名女生成绩的平均数x 女＝15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，故这五名男生成绩的方差为s 2甲＝15(42＋42＋22＋22＋02)＝8，这五名女生成绩的方差为s 2乙＝15(32＋22＋22＋32＋22)＝6.显然③正确，④错． 答案 ③ 二、解答题(共90分)15.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ， ∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为P A 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ； (2)求证：DE ⊥平面P AB .证明 (1)设PB 的中点为F ，连接EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，且EF ＝DC ＝12AB .故四边形CDEF 为平行四边形，可得ED ∥CF . 又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，故DE∥平面PBC.(2)因为PD⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PD.又因为AB⊥AD，PD∩AD＝D，AD⊂平面P AD，PD⊂平面P AD，所以AB⊥平面P AD.ED⊂平面P AD，故ED⊥AB.又PD＝AD，E为P A的中点，故ED⊥P A；P A∩AB＝A，P A⊂平面P AB，AB⊂平面P AB，所以ED⊥平面P AB.16.(本小题满分14分)(2013·南京、盐城模拟)如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB＝2AE.(1)求证：AB∥平面CDE；(2)求证：平面ABCD⊥平面ADE.证明(1)正方形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE.(2)因为AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD，又正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD＝A，AE、AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE.17．(本小题满分14分)(2013·苏州质检)如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，已知∠B与AB1的交点，N为棱B1C1ACB＝90°，M为A的中点，(1)求证：MN∥平面AA1C1C；(2)若AC＝AA1，求证：MN⊥平面A1BC.证明(1)连接AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点，又N为棱B1C1的中点．所以MN∥AC1，又因为AC1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.(2)因为AC ＝AA 1，所以四边形AA 1C 1C 是正方形，所以AC 1⊥A 1C ，又AC 1∥MN ，所以A 1C ⊥MN . 又因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC .又因为∠ACB ＝90°，所以AC ⊥BC ，因为CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 1⊂平面AA 1C 1C ， 所以BC ⊥AC 1，因为MN ∥AC 1，所以MN ⊥BC ，又MN ⊥A 1C ， 又BC ∩A 1C ＝C ，所以MN ⊥平面A 1BC .18．(本小题满分16分)如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E 、F 分别在边CD 、CB 上，点E 与点C 、D 不重合，EF ⊥AC ，EF ∩AC ＝O ，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED .(1)求证：BD ⊥平面POA ；(2)记三棱锥P -ABD 体积为V 1，四棱锥P -BDEF 体积为V 2，且V 1V 2＝43，求此时线段PO 的长．(1)证明 在菱形ABCD 中，∵BD ⊥AC ， ∴BD ⊥AO .∵EF ⊥AC ，∴PO ⊥EF ，∵平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF ∩平面ABFED ＝EF ，且PO ⊂平面PEF . ∴PO ⊥平面ABFED ， ∵BD ⊂平面ABFED ， ∴PO ⊥BD .∵AO ∩PO ＝O ，AO ，PO ⊂平面POA .∴BD ⊥平面POA . (2)解 设AO ∩BD ＝H由(1)知，PO ⊥平面ABFED ，PO ＝CO .∴PO 是三棱锥P -ABD 的高及四棱锥P -BDEF 的高 ∴V 1＝13S △ABD ·PO ，V 2＝13S 梯形BFED ·PO ∵V 1V 2＝43∴S 梯形BFED ＝34S △ABD ＝34S △BCD∴S △CEF ＝14S △BCD∵BD ⊥AC ，EF ⊥AC ，∴EF ∥BD ，∴△CEF ∽△CDB ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫CO CH 2＝S △CEF S △BCD ＝14∴CO ＝12CH ＝12AH ＝12×23＝ 3 ∴线段PO 的长为 3.19.(本小题满分16分)(2013·扬州调研)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC是等边三角形，D 为AB 中点． (1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若四边形BCC 1B 1是矩形，且CD ⊥DA 1，求证：三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱．证明 (1)连接AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点O ，连接DO ，则O 为AC 1中点， ∵D 为AB 的中点，∴DO ∥BC 1∵BC 1⊄平面A 1CD ，DO ⊂平面A 1CD ∴BC 1∥平面A 1CD ；(2)∵等边△ABC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ∵CD ⊥DA 1，DA 1∩AB ＝D ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1 ∵BB 1⊂平面ABB 1A 1，∴BB 1⊥CD ， ∵四边形BCC 1B 1是矩形，∴BB 1⊥BC ∵BC ∩CD ＝C ，∴BB 1⊥平面ABC ∵底面△ABC 是等边三角形 ∴三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱．20．(本小题满分16分)(2012·苏锡常镇调研)如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．图1图2(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B -DEG的体积．(1)证明如图(1)∵CE＝4，∠DCE＝30°，过点D作AC的垂线交于点M，则DM＝3，EM＝1，∴DE＝2，CD＝2 3.则CD2＋DE2＝EC2，∴∠CDE＝90°，DE⊥DC.在图(2)中，又∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，∴DE⊥平面BCD.图(1)图(2)(2)解在图(2)中，∵EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，∴AE＝EG＝CG＝2.作BH⊥CD交于H.∵平面BCD⊥平面ACD，∴BH⊥平面ACD.由条件得BH＝3 2.S△DEG＝13S△ACD＝13×12AC·CD·sin 30°＝ 3.三棱锥B -DEG的体积V＝13S△DEG·BH＝13×3×32＝32.。
2014版高考数学(文科)(全国通用版)二轮复习 (审题+解题+回扣+专练 ) 圆锥曲线
圆锥曲线(推荐时间:70分钟）1．如图，F1,F2分别是椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b〉0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2＝60°。
(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为40错误!，求a,b的值．解（1）设椭圆的半焦距为c。
由题意可知，△AF1F2为等边三角形，所以b＝错误!c，b2＝3c2,a2＝4c2，a＝2c，所以e＝错误!.(2）方法一因为a2＝4c2,b2＝3c2，所以直线AB的方程可设为y＝－错误!(x－c）．将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B错误!。
所以｜AB|＝错误!·错误!＝错误!c。
由S△AF1B＝12｜AF1｜·|AB|sin∠F1AB＝错误!a·错误!c·错误!＝错误!a2＝40错误!，解得a＝10，b＝5错误!。
方法二设｜AB｜＝t。
因为｜AF2｜＝a，所以｜BF2|＝t－a。
由椭圆定义|BF1|＋|BF2｜＝2a可知，｜BF1｜＝3a－t。
再由余弦定理（3a－t）2＝a2＋t2－2at cos 60°可得，t＝错误!a。
由S△AF1B＝错误!a·错误!a·错误!＝错误!a2＝40错误!知,a＝10，b＝5错误!.2．已知△ABC中,点A，B的坐标分别为(－错误!,0)，（错误!，0），点C 在x轴上方．(1)若点C坐标为(2，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程;(2)过点P(m,0）作倾斜角为错误!π的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q（1，0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．解（1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，c＝错误!，2a＝|AC|＋｜BC|＝4,b＝错误!,椭圆方程为错误!＋错误!＝1。
（2）直线l的方程为y＝－（x－m)，令M（x1，y1),N（x2，y2),由方程组错误!得3x2－4mx＋2m2－4＝0，即错误!若Q恰在以MN为直径的圆上，则错误!·错误!＝－1，则m2＋1－(m＋1）(x1＋x2）＋2x1x2＝0，3m2－4m－5＝0，解得m＝错误!.将m值代入Δ＝－8m2＋48〉0。
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练 专题提升训练阶段检测卷2
阶段检测卷(二)一、填空题(每小题5分，共70分)1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，tan 2α等于________．解析 由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，则sin α＝－1－cos 2α＝－255，那么tan α＝sin αcos α＝2，则tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－43. 答案 －432．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于________．解析 由于|a |＝5，而|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，则有b 2＝25，解得|b |＝5. 答案 53．(2013·苏锡常镇调研)已知钝角α满足cos α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4的值为________．解析 因为α是钝角，所以α2是锐角， cos α＝2cos 2α2－1＝－35，所以cos α2＝55，sin α2＝255，tan α2＝2， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4＝2＋11－2＝－3.答案 －34．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，则a 与b 的夹角为________．解析 因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，所以(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ＝a 2－52b 2－32a·b ＝0.又因为|a |＝2，|b |＝1，所以4－52－32a·b ＝0.所以a·b ＝1.又a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角的取值范围是[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3. 答案 π35．(2013·南京模拟)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，则f (0)＝________.解析 由图知，A ＝2.函数的周期(用区间长度表示)为8π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝4π，∴2πω＝4π，ω＝12.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，0在函数的图象上，∴2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＋φ＝0， 得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＋φ＝0，即φ＝2π3. ∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2π3，∴f (0)＝ 3. 答案36．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 为________三角形．解析 由(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，可知CB →·(AB →＋AC →)＝0，设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2A D →，故CB →·AD →＝0，所以CB →⊥AD →.又D 为BC 中点，故△ABC 为等腰三角形． 答案 等腰7．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝4，则角A ，B ，C 中最大角的余弦值为________． 解析 根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A 最大，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋22－422×3×2＝－14.答案 －148．(2012·南京、盐城模拟)已知正△ABC 的边长为1，CP →＝7CA →＋3CB →，则CP →·AB →＝________.解析 CP →·AB →＝(7CA →＋3CB →)·AB →＝7CA →·AB →＋3CB →·AB→＝－72＋32＝－2. 答案 －29．(2013·盐城调研)△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量m ＝ (2sin B,2－cos 2B )，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2，－1，m ⊥n ，∠B ＝________.解析 由m ⊥n ，得m ·n ＝0，所以4sin B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2＋cos 2B －2＝0，所以2sin B ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B ＋cos 2B －2＝0，即2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， 也即sin B ＝12，又因为0<B <π，所以B ＝π6或56π. 答案 π6或56π10．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________． 解析 设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c3， 在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c 22c2＝13，sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理得csin C ＝4c 3223，解得sin C ＝66. 答案 6611．在△ABC 所在的平面上有一点P 满足P A→＋PB→＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC的面积之比是________．解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →，所以P A →＋PB →＋PC →＋BA →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上的靠近A 点的一个三等分点，故S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23. 答案 2312．在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3|A B →＋A C →|＝|B C →|，则BA →·BC →|BC →|＝______.解析 如图， AB →＋AC →＝AD →，依题意，得|AD →|＝|BC →|，所以四边形ABDC 是矩形，∠BAC ＝90°. 因为AB ＝1，AC ＝3，所以BC ＝2.cos ∠ABC ＝AB BC ＝12，BA →·BC→|BC →|＝|BA →|| BC →|cos ∠ABC| BC →|＝|BA→|cos ∠ABC ＝12.答案 1213．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图象与f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，则在区间[0,2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的范围是________．解析 设(x ，y )为g (x )的图象上任意一点，则其关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，－y ，由题意知该点在f (x )的图象上，所以－y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ， 即g (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，由sin x ≤－cos x ，得sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤0，又因为x ∈[0,2π]，从而解得3π4≤x ≤7π4. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，7π414．(2013·泰州模拟)如图，在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC (包括边界)内任一点，则AN →·MP →的取值范围为________．解析 以点C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，建立如图所示直角坐标系，设P (x ，y )，则由题可知B (1,0)，A (0，3)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，所以AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3，MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －32，所以AN →·MP →＝x 2－14－3y ＋32＝x 2－3y ＋54，直线AB 的方程为3x ＋y －3＝0.由题可知⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y －3≤0，由线性规划知识可知，当直线x 2－3y ＋54－z ＝0过点A 时有最小值－74，过点B 时有最大值74. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－74，74二、解答题(共90分)15．(本小题满分14分)已知a ＝(sin α，1), b ＝(cos α，2)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.(1)若a ∥b ，求tan α的值； (2)若a ·b ＝125，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值． 解 (1)因为a ∥b ，所以2sin α＝cos α，所以tan α＝12. (2)因为a ·b ＝125，所以sin αcos α＋2＝125即sin 2α＝45. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos 2α＝1－sin 22α＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.(1)求f (x ) 的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值．解 (1)令f (x )＝0得sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0， 所以sin x ＝0，或tan x ＝－33. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，得x ＝π；由tan x ＝－33，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，得x ＝5π6.综上，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的零点为5π6或π.(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π3.当2x －π3＝2π3，即x ＝π2时，f (x )的最大值为3； 当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2的取值范围．解 (1)由图象知M ＝1，f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，即π3＋φ＝2k π＋π2，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ， 又|φ|<π2∴φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)由(2a －c )cos B ＝b cos C ，得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A . ∵sin A ≠0，∴cos B ＝12， ∴B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6， 又∵0<A <2π3，∴A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 18．(本小题满分16分)(2013·湖北卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3，(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·ca sin A ＝ bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.19．(本小题满分16分)(2013·江西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 即3cos B ＝sin B . 所以tan B ＝3， 又因为0<B <π， 所以B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14，∴b ≥12. 又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.20．(本小题满分16分)(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513， sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝ 1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内． 备课札记：。
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常考问题13 圆锥曲线的基本问题(建议用时：50分钟)1．(2013·陕西卷)双曲线x 216－y 2m ＝1(m >0)的离心率为54，则m 等于________．解析 由题意得c ＝16＋m ，所以16＋m 4＝54，解得m ＝9. 答案 92．已知双曲线C ∶x 2a 2－y 2b21(a ＞0，b ＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C的焦点坐标是________．解析 ∵2a ＝2，∴a ＝1，又ca ＝2，∴c ＝2，∴双曲线C 的焦点坐标是(±2,0)．答案 (±2,0)3．(2013·徐州质检)已知双曲线C ：x 2a 2y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点，右焦点分别为A ，F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为________．解析 ∵A 是B ，F 的中点，∴2a ＝－a 2c ＋c .∴e 2－2e －1＝0，∵e ＞1，∴e ＝2＋1. 答案2＋14．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．解析 直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b21 ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以k ＝－b 2a 2×2－2，所以b 2a 2＝12，③ 又a 2－b 2＝c 2＝9，④由③④得a 2＝18，b 2＝9.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案 x 218＋y 29＝15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为________．解析 由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，即c ＝1，又e ＝c a ＝5，可得a ＝55，结合条件有a 2＋b 2＝c 2＝1，可得b 2＝45，又焦点在x 轴上，则所求的双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1.答案 5x 2－54y 2＝16．(2013·福建卷)椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆T 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2，在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c＝3－1. 答案3－17．已知双曲线C 与椭圆x 216＋y 212＝1有共同的焦点F 1，F 2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P 到右焦点F 2的距离为4，则PF 2的中点M 到坐标原点O 的距离等于________．解析 由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c ＝16－12＝2，故椭圆的离心率e 1＝24＝12，则双曲线的离心率e 2＝1e 1＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c ＝2.设双曲线C 的方程为x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)，则有a ＝c e 2＝22＝1，b 2＝c 2－a 2＝22－12＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.因为点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 2|＝4，所以|PF 1|＝6.因为坐标原点O 为F 1F 2的中点，M 为PF 2的中点． 所以|MO |＝12|PF 1|＝3.答案 38．(2012·南京、盐城模拟)设椭圆C ∶x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)恒过定点A (1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．解析 由题设知1a 2＋4b 2＝1，∴b 2＝4a 2a 2－1，∴椭圆的中心到准线的距离d ＝a 2c ，由d 2＝a 4c 2＝a 4a 2－b 2＝a 4a 2－4a 2a 2－1＝a 2(a 2－1)a 2－5，令a 2－5＝t (t ＞0)得d 2＝(t ＋5)(t ＋4)t ＝t ＋20t ＋9≥9＋45(当且仅当t ＝25时取等号)∴d ≥2＋5即椭圆的中心到准线的距离的最小值2＋ 5. 答案 2＋ 59．在平面直角坐标系xOy 中，已知对于任意实数k ，直线(3k ＋1)x ＋(k －3)y －(3k ＋3)＝0恒过定点F .设椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F ，且椭圆C 上的点到F 的最大距离为2＋ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设(m ，n )是椭圆C 上的任意一点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与椭圆C 有4个相异公共点，试分别判断圆O 与直线l 1：mx ＋ny ＝1和l 2：mx ＋ny ＝4的位置关系．解 (1)由(3k ＋1)x ＋(k －3)y －(3k ＋3)＝0整理 得(3x ＋y －3)k ＋(x －3y －3)＝0，解方程组⎩⎨⎧3x ＋y －3＝0，x －3y －3＝0得F (3，0)．设椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c ，则由题设知⎩⎨⎧c ＝3，a ＋c ＝2＋ 3.于是a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与椭圆C 有4个相异公共点，所以b ＜r ＜a ，即1＜r ＜2.因为点(m ，n )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，所以m 24＋n 2＝1，且－2≤m ≤2. 所以m 2＋n 2＝34m 2＋1∈[1,2]． 于是圆心O 到直线l 1的距离d 1＝1m 2＋n2≤1＜r ，圆心O 到直线l 2的距离d 2＝4m 2＋n2≥2＞r .故直线l 1与圆O 相交，直线l 2与圆O 相离．10．已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OPOM ＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c ，由已知得⎩⎨⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝3.又∵b 2＝a 2－c 2，∴b ＝7， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]，由已知OP 2OM 2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋11216(x 2＋y 2)＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]．①当λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)．轨迹是两条平行于x 轴的线段．②当λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]．当0<λ<34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分；当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆．11．(2013·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，－1)椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1→·FB 2→＝2b 2.(1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R .过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P .若AQ ·AR ＝3OP 2，求直线l 的方程． 解 (1)因为F (－c,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，所以FB 1→＝(c ，－b )，FB 2→＝(c ，b )．因为FB 1→·FB 2→＝2b 2， 所以c 2－b 2＝2b 2.① 因为椭圆C 过A (－2，－1)，代入得，4a 2＋1b 2＝1.②由①②解得a 2＝8，b 2＝2. 所以a ＝22，b ＝ 2.(2)由题意，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x ＋2)，x 28＋y 221得(x ＋2)[(4k 2＋1)(x ＋2)－(8k ＋4)]＝0.因为x ＋2≠0，所以x ＋2＝8k ＋44k 2＋1，即x Q ＋2＝8k ＋44k 2＋1.由题意，直线OP 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 221，得(1＋4k 2)x 2＝8.则x 2P ＝81＋4k 2， 因为AQ ·AR ＝3OP 2.所以|x Q －(－2)|×|0－(－2)|＝3x 2P . 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪8k ＋44k 2＋1×2＝3×81＋4k 2.解得k ＝1，或k ＝－2.当k ＝1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0， 当k ＝－2时，直线l 的方程为2x ＋y ＋5＝0. 备课札记：。
2014高考数学二轮专题复习Word版 专题提升训练10
常考问题10 不等式及线性规划问题对应学生用书P99(建议用时：50分钟)1．不等式x ＜2x －1的解集是________．解析 x ＜2x －1⇔x 2＋x －2x ＜0⇔⎩⎨⎧x ＞0，x 2＋x －2＜0或⎩⎨⎧x ＜0，x 2＋x －2＞0，解得{x |x ＜－2或0＜x ＜1}． 答案 {x |x ＜－2或0＜x ＜1}2．(2012·无锡市高三期末)不等式4x －2x ＋2＞0的解集为________．解析 根据指数运算法则求解．由4x －2x ＋2＞0得2x (2x －4)＞0，又因为2x ＞0，所以2x ＞4，解得x ＞2，故原不等式的解集为(2，＋∞)． 答案 (2，＋∞)3．(2012·南通调研)存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b ＜0成立，则b 的取值范围是________．解析 由题意可得Δ＝(－4b )2－4×3b ＞0，即为4b 2－3b ＞0，解得b ＜0或b ＞34.答案 b ＜0或b ＞344．(2013·四川卷)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}． 答案 {x |－7<x <3}5．(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于______．解析 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1 ，则2－2a ＝1，解得a ＝12. 答案 126．(2013·苏北四市模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{x |(x －2a )[x －(a 2＋1)]≤0}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析 因为集合A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}＝{x |－3≤x ≤1}，B ＝{x |(x －2a )[x －(a 2＋1)]≤0}＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，且“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以集合A 是B 的真子集，即⎩⎨⎧2a ≤－3a 2＋1≥1，且两个等号不能同时取到，解得a ≤－32，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 7．函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1， x ＜0，x －1， x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)·f (x ＋1)≤1的解集是________．解析 若x ＜－1，则f (x ＋1)＝－x ，于是由x －x (x ＋1)≤1，得x 2≥－1，所以x ＜－1.若x ≥－1，则f (x ＋1)＝x ，于是由x ＋x (x ＋1)≤1，得x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，所以－1≤x ≤2－1.综上得x ≤2－1. 答案 (－∞，2－1]8．已知变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是________．解析 画出x 、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a ＜－12，∴a ＞12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞9．若不等式ax 2＋5x －2＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集．解 (1)由题意知a ＜0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)－2x 2－5x ＋3＞0即为2x 2＋5x －3＜0，解得－3＜x ＜12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12.10．已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.且M (2,1)，P (x ，y )，求：(1)y ＋7x ＋4的取值范围； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值； (3)OM →·OP →的最大值； (4)|OP→|cos ∠MOP 的最小值． 解 画出不等式组表示的平面区域如图所示．其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)． (1)y ＋7x ＋4表示区域内点P (x ，y )与点D (－4，－7)连线的斜率， 所以k DB ≤y ＋7x ＋4≤k CD ，即13≤y ＋7x ＋4≤9. (2)x 2＋y 2表示区域内点P (x ，y )到原点距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0.(3)设OM →·OP →＝(2,1)·(x ，y )＝2x ＋y ＝t ，则当直线 2x ＋y ＝t 经过点A (4,1)时，t max ＝2×4＋1＝9.(4)设|OP →|cos ∠MOP ＝|OM →|·|OP →|cos ∠MOP |OM →|＝OM →·OP →5＝2x ＋y5＝z ，则当直线2x ＋y ＝5z 经过点B (－1，－6)时， z min ＝15[2×(－1)－6]＝－855. 11．(2013·苏中三市模拟)函数f (x )＝x 2＋ax ＋3. (1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解 (1)x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.所以a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分以下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图(2)，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73.此不等式组无解．③如图(3)，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x ＝－a2>2，g (2)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2>2，4＋2a ＋3－a ≥0⇒⎩⎨⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7⇒－7≤a ≤－6.综合①②③得a ∈[－7,2]．。
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练专题提升训练训练3
常考问题3 导数的简单应用(建议用时：50分钟)1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1x ≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．答案 (0,1]2．(2013·扬州质量检测)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是________．解析 根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f (x )在x ＝a 处取到极大值，所以x ＝a 为f ′(x )的一个零点，且在x ＝a 的左边f ′(x )＞0，右边f ′(x )＜0，所以导函数f ′(x )的开口向下，且a ＞－1，即a 的取值范围是(－1,0)．答案 (－1,0)3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为________．解析 xf ′(x )<0⇒⎩⎨⎧ x >0，f ′(x )<0或⎩⎨⎧x <0，f ′(x )>0. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2时，f (x )单调递减，此时f ′(x )<0. 当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递增，此时f ′(x )>0.答案 ()－∞，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，24．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是______．解析 由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得 又a >0，解得3<a <2.答案 (3，2)5．(2013·苏锡常镇调研)已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．解析 因为函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，所以函数g (x )＝ax 3＋bx 在[0,1]上的最大值为2，而g (x )是奇函数，所以g (x )在[－1,0]上的最小值为－2，故f (x )在[－1,0]上的最小值为－2＋2－1＝－32.答案 －326．设P 为曲线C ：f (x )＝x 2－x ＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线斜率的取值范围是[－1,3]，则点P 的纵坐标的取值范围是________．解析 设P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝2x －1.∴－1≤2x 0－1≤3，即0≤x 0≤2.∵y 0＝f (x 0)＝x 20－x 0＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋34， ∵x 0∈[0,2]，∴34≤y 0≤3，故点P 的纵坐标的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 7．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝a ln x ＋x .∴f ′(x )＝a x ＋1.又∵f (x )在[2,3]上单调递增，∴a x ＋1≥0在x ∈[2,3]上恒成立，∴a ≥(－x )max ＝－2，∴a ∈[－2，＋∞)．答案 [－2，＋∞)8．(2013·盐城调研)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________．解析 依题意知f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.又a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值为9.答案 99．已知f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝e x －ax －1(x ∈R )，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )≥0，得e x ≥a .当a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a ．综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)．(2)由(1)知f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x 在R 上恒成立．∵x ∈R 时，e x >0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]．10．(2013·西安五校二次联考)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x ，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间．解 f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x (x >0)．(1)由题意得f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23.(2)f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x(x >0)．①当a ≤0时，x >0，ax －1<0.在区间(0,2)上，f ′(x )>0；在区间(2，＋∞)上，f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．②当0<a <12时，1a >2.在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上，f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a . ③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x ≥0，故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)．④当a >12时，0<1a <2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. 11．(2013·重庆卷)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x .令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x. 令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3. 备课札记：。
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常考问题2 函数与方程及函数的应用(建议用时：50分钟)1．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析 由题意知即为方程x 2＋2x ＋a ＝0无实数解，即4－4a ＜0，解得a ＞1. 答案 (1，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________． 解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2 x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.答案 03．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________． 解析 在同一坐标系内作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 及y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f (x )在[0,2π]上有两个零点．答案 24．(2013·苏州模拟)函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．解析 函数图象关于直线x ＝12对称，方程f (x )＝0有三个实根时，一定有一个是12，另外两个关于直线x ＝12对称，其和为1，故方程f (x )＝0的三个实根之和为32.答案 325．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm 、60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm 2.解析 设直角边为40 cm 和60 cm 上的矩形边长分别为x cm 、y cm ，则40－x 40＝y 60，解得y ＝60－32x .矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫60－32x ＝－32(x －20)2 ＋600，当x ＝20时矩形的面积最大，此时S ＝600.答案 6006．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，(1)g [f (1)]＝________；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0的实数根的个数有4个，则a 的取值范围是________． 解析 (1)利用解析式直接求解得g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2；(2)令f (x )＝t ，则g (t )＝a ，要使原方程有4解，则方程f (x )＝t 在t ＜1时有2个不同解，即函数y ＝g (t )，t ＜1与y ＝a 有两个不同的交点，作出函数y ＝g (t )，t＜1的图象，由图象可知1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )，t ＜1与y ＝a 有两个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. 答案 (1)－2 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54 7．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x 的零点，则[x 0]＝________.解析 ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x 2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e >0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.答案 28．(2013·南师附中模拟)如图，线段EF 的长度为1，端点E 、F 在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则l －S 的最大值为________．解析 设正方形的边长为a (a ≥1)，当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点G 的轨迹如图，是由半径均为12的四段圆弧、长度均为a －1四条线段围成的封闭图形，周长l ＝π＋4(a －1)，面积S ＝a 2－14π，所以l －S ＝－a 2＋4a ＋54π－4，a ≥1，由二次函数知识得当a ＝2时，l －S 取得最大值5π4.答案 5π49．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根．∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1.因此实数a 的取值范围是(0,1)．10．(2012·苏北四市调研)如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇．已知OC ＝(2＋6)km ，∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过C 城．设OA ＝x km ，OB ＝y km.(1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域；(2)试确定点A ，B 的位置，使△OAB 的面积最小．解 (1)因为△AOC 的面积与△BOC 的面积之和等于△AOB 的面积，所以 12x (2＋6)sin 45°＋12y (2＋6)·sin 30°＝12xy sin 75 °， 即22x (2＋6)＋12y (2＋6)＝6＋24xy ，所以y ＝22x x －2(x ＞2)． (2)△AOB 的面积S ＝12xy sin 75°＝6＋28xy ＝3＋12×x 2x －2＝3＋12(x －2＋4x －2＋4)≥3＋12×8＝4(3＋1)． 当且仅当x ＝4时取等号，此时y ＝4 2. 故OA ＝4 km ，OB ＝4 2 km 时，△OAB 面积的最小值为4(3＋1) km 2.11．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值Q (a )．解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为L ＝(x －3－a )·(12－x )2，x ∈[9,11]．(2)L ′(x )＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x )＝(12－x )·(18＋2a －3x )．令L ′＝0，得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧，L ′的值由正变负．所以①当8≤6＋23a <9，即3≤a <92时， L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )；②当9≤6＋23a ≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a －3－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13a 3， 所以Q (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9(6－a )，3≤a <92，4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13a 3，92≤a ≤5.故若3≤a <92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92≤a ≤5，则当每件售价为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13a 3(万元)．。
2014高考数学二轮专题复习Word版 专题提升训练12
常考问题12 直线与圆(建议用时：50分钟)1．(2013·镇江期中)若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．解析 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，所以，点(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，所以，a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142．(2013·南师附中模拟)已知直线x －y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且向量OA →、OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为______．解析 ∵|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴OA →⊥OB →，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴点O 到直线AB 的距离为22，即|0－0＋a |2＝22，∴a ＝±1.答案 ±13．(2013·青岛质检)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为________．解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0.又根据|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1＝r ，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 答案 (x －1)2＋y 2＝14．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是________．解析 配方可得(x －3)2＋(y －4)2＝25，其圆心为C (3,4)，半径为r ＝5，则过点(3,5)的最长弦AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝2r 2－12＝46，且有AC ⊥BD ，则四边形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝20 6.答案 20 65．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析 x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a >0)可知圆心为(－a,0)，半径为6＋a 2，两圆公共弦所在方程为(x 2＋y 2＋2ax －6)－(x 2＋y 2)＝－4，即x ＝1a ，所以有()6＋a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a 2＝()32解得a ＝1或－1(舍去)． 答案 16．(2012·南师附中模拟)在平面直角坐标系中，设直线l ：kx －y ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________.解析 如图所示，OM →＝OA →＋OB →，则四边形OAMB 是锐角为60°的菱形，此时，点O 到AB 距离为1.由21＋k 2＝1，解出k ＝±1. 答案 k ＝±17．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．解析 由题意知，ab ＝12，x 半径r ＝a 2＋b 2≥2ab ＝1，故面积的最小值为π. 答案 π8．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离的最小值为________．解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又|OA |＝|OB |＝1，根据勾股定理得|AB |＝2，∴|OC |＝12|AB |＝22. ∴圆心到直线的距离为12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离d ＝(a －0)2＋(b －1)2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数为对称轴为x ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数．∵f (2)＝3－22，∴d 的最小值为3－22＝(2－1)2＝2－1. 答案2－19．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.10．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点． (1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．(1)证明 由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)解 ∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2.∴圆心为C (2,1)或(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(3)解 点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |，又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝2 5.所以|PB |＋|PQ |的最小值为25，直线B ′C 的方程为y ＝12x ，则直线B ′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－23.11．(2012·南师附中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1.(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P (2,3)，求椭圆方程．(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；(3)设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．解 (1)∵双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝4，4a 2＋9b 2＝1.∴a 2＝16，b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)由已知，A (－4,0)，B (4,0)，F (2,0)，直线l 的方程为x ＝8. 设N (8，t )(t ＞0)． ∵AM ＝MN ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t 2.由点M 在椭圆上，得t ＝6. 故所求的点M 的坐标为M (2,3)．所以MA →＝(－6，－3)，MB →＝(2，－3)，MA →·MB →＝－12＋9＝－3. cos ∠AMB ＝MA →·MB →|MA →|·|MB→|＝－336＋9·4＋9＝－6565.(3)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A 、F 、N 三点坐标代入，得⎩⎨⎧16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－t －72t ，F ＝－8.圆的方程为x 2＋y 2＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0，令x ＝0，得y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0.设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，则y 1,2＝t ＋72t ±⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t 2＋322.由线段PQ 的中点为(0,9)，得y 1＋y 2＝18，t ＋72t ＝18， 此时，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.。
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练 专题提升训练训练18
常考问题18 算法与复数(备用)(建议用时：35分钟)1．复数z 满足(z －i)(2－i)＝5，则z ＝________.解析 由题意知z ＝52－i ＋i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋i ＝2＋2i. 答案 2＋2i2. 如图，当x ＝3时，右面算法输出的结果是________．解析 输出量y 与输入量x 满足的关系式是y ＝⎩⎨⎧2x ，x ＜10x 2，x ≥10，当x ＝3时输出的结果是6.答案 63．已知复数z ＝3＋4i(i 为虚数单位)，则复数z ＋5i 等于________．解析 z ＋5i ＝3－4i ＋5i ＝3＋i.答案 3＋i4．阅读以下程序：Input xIf x ＞0 Theny ＝3x ＋1Else y ＝－2x ＋3End IfPrint yEnd若输入x ＝5，求输出的y ________.解析 根据题意，该伪代码表示分段函数：y ＝⎩⎨⎧3x ＋1，x ＞0，－2x ＋3，x ≤0.因为x ＝5＞0，所以应将其代入y ＝3x ＋1进行求解， 故y ＝3×5＋1＝16.即输出值y ＝16.答案 165．已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________.解析 因为z ＝(3＋i)2＝8＋6i ，所以|z |＝10.答案 106．如图是一个算法的流程图，则输出s 的值是________．解析 s ＝3＋9＋15＋…＋297＝7 500.答案 7 5007．如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x ＝________. Read xIf x ≥0 Thenf (x )←x 2－3x －1Else f (x )←log 2(x ＋5)End IfPrint f (x )解析 输出量y 与输入量x 满足的关系式是：y ＝⎩⎨⎧log 2(x ＋5)，x ＜0，x 2－3x －1，x ≥0，当y ＝3时，x 2－3x －1＝3得x ＝4，x ＝－1(舍)．答案 x ＝48．已知(1－2i)i ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝________.解析 由(1－2i)i ＝i －2i 2＝2＋i ＝a ＋b i ，根据复数相等的条件可得a ＝2，b ＝1，∴ab ＝2.答案 29．在如图所示的算法流程图中，若输入m ＝4，n ＝3，则输出的a ＝________.解析 i ＝1时，a ＝4不能被3整除；i ＝2时，a ＝8不能被3整除；i ＝3时，a ＝12能被3整除，所以应输出的a ＝12.答案 1210．设i 是虚数单位，若z ＝11＋i ＋a i 是实数，则实数a ＝______. 解析 z ＝11＋i ＋a i ＝1－i 2＋a i ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12i ∈R ，所以a －12＝0，a ＝12. 答案 1211．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为________．解析 逐步运行程序框图即可．开始时n ＝8，i ＝2，k ＝1，s ＝1.因i ＝2＜8，故s ＝1×1×2＝2，i ＝2＋2＝4，k ＝1＋1＝2；因i ＝4＜8，故s ＝12×2×4＝4，i ＝4＋2＝6，k ＝2＋1＝3；因i ＝6＜8，故s ＝13×4×6＝8，i ＝6＋2＝8，k ＝3＋1＝4，退出循环，故输出的s 的值为8.答案 812．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝________. 解析 z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝(3a －8)＋(4a ＋6)i 25为纯虚数，故得a ＝83. 答案 8313．执行下面的程序框图，输出的T ＝________.解析 按照程序框图依次执行为s ＝5，n ＝2，T ＝2；s ＝10，n ＝4，T ＝2＋4＝6；s ＝15，n ＝6，T ＝6＋6＝12；s ＝20，n ＝8，T ＝12＋8＝20；s ＝25，n ＝10，T ＝20＋10＝30＞s ， 输出T ＝30.答案 3014．给出下列四个命题：①若z ∈C ，|z |2＝z 2，则z ∈R ；②若z ∈C ，z ＝－z ，则z 是纯虚数；③若z ∈C ，|z |2＝z i ，则z ＝0或z ＝i ；④若z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0.其中真命题的个数为________．解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若|z |2＝a 2＋b 2＝z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，则⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝a 2－b 2，2ab ＝0.所以b ＝0，所以z ∈R ，①正确；若z ＝0，则z 不是纯虚数，②错；若a 2＋b 2＝－b ＋a i ，则a ＝0，b ＝0或b ＝－1，所以z ＝0或z ＝－i ，③错；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )．则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝(a －c )2＋(b －d )2，整理得：ac ＋bd ＝0，所以z 1z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac －bd ＋(ad ＋bc )i ≠0，④错．答案 1。
苏教版(文科)高中数学高考总复习巩固练习函数(提高)
【巩固练习】1.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ）A.y =11y x =- C.32y x =- D.221y x x =-++ 2．关于x 的方程9(4)340x xa ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（-∞，-8]∪[0，+∞）B 、（-∞，-4） C.[-8，4） D 、（-∞，-8] 3．已知不等式222(cos 5)4sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.04m ≤≤ B. 14m ≤≤C ．4m ≤或0m ≤ D. 1m ≤或0m ≤ 4．设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c5．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，2()f x x =。
若对任意的x ∈[t ，t+2]，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．[2，+∞）C ．（0，2]D ．[1][2,3]- 6．函数22xy x =-的图象大致是7.已知()f x 是奇函数，当(0,1)x ∈时1()lg 1f x x=+，那么当(1,0)x ∈-时()f x 的表达式是_____．8.实数,x y 满足xx y y=-,则x 的取值范围是__________. 9.设不等式221(1)x m x ->-对满足22m -≤≤的一切实数m 的值都成立，则实数x 的取值范围 。
10.已知()(1).1xf x x x =≠-+ （1）求()f x 的单调区间；（2）若10,()a b c a b b >>=-，求证：3()()4f a f c +>.11．对于函数2()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠，若存在实数x 0，使00()f x x =成立，则称x 0为()f x 的不动点。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：阶段检测卷4
阶段检测卷(四)一、填空题(每小题5分，共70分)1．已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值为________．解析依题意得k AB＝8－aa＋1＝2，解得a＝2.答案 22．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．解析由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1<17<5，所以两圆的位置关系为相交．答案相交3．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为________．解析∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为|3×(－1)－4－3|5＝2，∴d min＝2－1＝1.答案 14．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．解析在方程x2＋y2－4x－9＝0中，令x＝0，得y＝±3，不妨设A(0，－3)，B(0,3)．设题中双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．∵点A在双曲线上，∴9a2＝1.∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴双曲线的焦点为(0，－9)，(0,9)．a2＋b2＝81.∴a2＝9，b2＝72.∴此双曲线的标准方程为y29－x272＝1.答案y29－x272＝15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则它的离心率为________．解析 由题意，得e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋3＝2.答案 26．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析 过F 1作倾斜角为45°的直线y ＝x ＋c ，由MF 2垂直于x 轴得M 的横坐标c ，所以纵坐标2c ，代入椭圆方程得c 2a 2＋4c 2b 2＝1，∴e 2＋4c 2a 2－c 2＝1，∴(1－e 2)2＝4e 2，∴e ＝2－1. 答案2－17．设圆C 的圆心与双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >0)的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线l ：x －3y ＝0被圆C 截得的弦长等于2，则a 的值为________．解析 由题知圆心C (a 2＋2，0)，双曲线的渐近线方程为2x ±ay ＝0，圆心C 到渐近线的距离d ＝2·a 2＋22＋a 2＝2，即圆C 的半径为 2.由直线l 被圆C截得的弦长为2及圆C 的半径为2可知，圆心C 到直线 l 的距离为1，即a 2＋21＋3＝1，解得a ＝ 2. 答案28．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________．解析 设切线方程为x a ＋y b ＝1，则|ab |a 2＋b2＝1，于是有a 2＋b 2＝a 2b 2≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，得a 2＋b 2≥4，从而线段AB 长度为a 2＋b 2≥2，其最小值为2.答案 29．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．解析 由题意知本题等价于求过圆M ：(x －1)2＋(y －3)2＝1的圆心M (1,3)与圆O ：x 2＋y 2＝2相切的切线的斜率k .设切线l ：y －3＝k (x －1)，l ：kx －y ＋3－k ＝0，由题意知2＝|3－k |1＋k 2，k ＝－7或k ＝1. 答案 －7或110．(2012·南通期末调研)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A 、B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与F A →同向，则双曲线离心率e 的大小为________．解析 设OA ＝m －d ，AB ＝m ，OB ＝m ＋d ，由勾股定理，得(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2.解得m ＝4d .设∠AOF ＝α，则cos 2α＝OA OB ＝35.cos α＝1＋cos 2α2＝25，所以，离心率e ＝1cos α＝52. 答案 5211．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为________．解析 圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k2＝5，解得k ＝±2，又k >0，所以k ＝2. 答案 212．双曲线C ：x 2－y 2＝1，若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C的两条渐近线交于P ，Q 两点，且P A →＝2AQ →，则直线l 的斜率为________． 解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0.可以求得A (1,0)，设直线l 的斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，分别与渐近线方程联立方程组，可以求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1，－k k ＋1或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫kk ＋1，－k k ＋1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，利用条件P A →＝2AQ →，可以求得k ＝±3. 答案 ±313．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最小值时，切线l 的方程为________．解析 设点A ，B 的坐标分别为A (a,0)，B (0，b )(a ，b >0)，则直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，因为直线AB 和圆相切，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a 2＋b2＝2，整理得2(a 2＋b 2)＝ab ，即2(a 2＋b 2)＝(ab )2≥4ab ，所以ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，又|AB |＝a 2＋b 2＝ab2≥22，所以|AB |的最小值为22，此时a ＝b ，即a ＝b ＝2，切线l 的方程为x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0.答案 x ＋y －2＝014．设双曲线x 24－y 2＝1的右焦点为F ，点P 1、P 2、…、P n 是其右上方一段(2≤x ≤25，y ≥0)上的点，线段|P k F |的长度为a k (k ＝1,2,3，…，n )．若数列{a n }成等差数列且公差d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，55，则n 的最大取值为________．解析 数列{a n }递增，当a 1最小，a n 最大，且公差d 充分小时，数列项数较大．所以取a 1＝5－2，a n ＝3，算得d ＝5－5n －1(n ＞1)，又d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，55，所以55－4＜n ＜26－55，又n ∈N *，故n 的最大取值为14. 答案 14 二、解答题(共90分)15．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，由题知直线l 的斜率与直线OA 的斜率相等，故可设直线l 的方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．16．(本小题满分14分)(2013·苏北四市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，一条准线l ：x ＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点． ①若PQ ＝6，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．解(1)由题设：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22a 2c ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1. (2)①由(1)知：F (1,0)，设M (2，t )， 则圆D 的方程：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝1＋t 24，直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0， ∵PQ ＝6，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24－⎝⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t 22－24＋t 22＝6， ∴t 2＝4，∴t ＝±2.∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ②设P (x 0，y 0)，由①知：⎩⎪⎨⎪⎧(x 0－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－t 22＝1＋t 242x 0＋ty 0－2＝0，即：⎩⎨⎧x 20＋y 20－2x 0－ty 0＝02x 0＋ty 0－2＝0，消去t 得：x 20＋y 20＝2，∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求圆Q 的面积； (2)求k 的取值范围；(3)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)圆的方程可化为(x －6)2＋y 2＝4，可得圆心为Q (6，0)，半径为2，故圆的面积为4π.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝4交于两个不同的点A ，B 等价于|6k ＋2|k 2＋1＜2，化简得(－8k 2－6k )＞0，解得－34＜k ＜0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，(x －6)2＋y 2＝4 得(k 2＋1)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0，解此方程得x 1,2＝－4(k －3)±16(k －3)2－144(k 2＋1)22(k 2＋1).则x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2，① 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.②而P (0,2)，Q (6,0)，PQ→＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将①②代入上式，解得k ＝－34.由(2)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k .18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以坐标原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T . 求证：点T 在椭圆C 上．(1)解 由题意知，椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝|2|2＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明 由题意可设点M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②设点T 的坐标为(x ，y )，联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为点M ，N 在椭圆C 上，故x 208＋y 22＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12(3y －42y －3)2＝1.整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．19．(本小题满分16分)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两条切线的斜率之积为定值．(1)解 设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2) 证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1.消去y ，得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0，∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理，得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20.∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5.∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1.20．(本小题满分16分)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a >2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2a 2－2与x 轴交于点A ，若OF 1→＝2F 1A →(其中O 为坐标原点)． (1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE →·PF→的最大值．解 (1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2，0，F 1()a 2－2，0， 由OF 1→＝2F 1A →，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2， 解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为M ：x 26＋y 22＝1. (2)设圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的圆心为N ，则PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF→－NP →)＝NP →2－NF →2＝NP →2－1.从而求PE →·PF →的最大值转化为求NP →2的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)，所以x 206＋y 22＝1，即x 20＝6－3y 20，因为点N (0,2)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12. 因为y 0∈[－2，2]，所以当y 0＝－1时，NP →2取得最大值12.所以PE →·PF →的最大值为11.。
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练专题提升训练训练4
常考问题4 导数的综合应用(建议用时：50分钟)1．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析 由条件y ′＝－4x 2＋b ，∴Δ＝0＋16b ＞0，得b ＞0.答案 (－2，－1)2．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析 f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )>0，得x >4或x <0.∴f (x )在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m ≥179.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫179，＋∞ 3．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R)的导函数y＝f ′(x )图象，则f (－1)等于________．解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上，则②，④排除．若图象不过原点，则f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若图象过原点，则f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a >0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13. 答案 －13或534．(2013·南通调研)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．解析 因为y ′＝12x －12(x ＋1)＋x ＝3x 2＋12x ≥234＝3，(当且仅当x ＝13时，“＝”成立)设点P (x ，y )(x ＞0)，则在点P 处的切线的斜率k ≥3，所以tanθ≥3，又θ∈[0，π)，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 5．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为______．解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.答案 (0，＋∞)6．(2013·温州模拟)关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以{ －a ＞0，－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0.答案 (－4,0)7．若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是______．解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－(x －1)(x －3)x .由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.答案 (0,1)∪(2,3)8．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是______．解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减(可利用导数判断)，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ 9．(2013·徐州质检)现有一张长为80 cm ，宽为60cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x (cm)，高为y (cm)，体积为V (cm 3)(1) 求出x 与 y 的关系式；(2) 求该铁皮盒体积V 的最大值．解 (1)由题意得x 2＋4xy ＝4 800，即y ＝4 800－x 24x，0＜x ＜60. (2)铁皮盒体积V (x )＝x 2y ＝x 2×4 800－x 24x ＝－14x 3＋1 200x ，V ′(x )＝－34x 2＋1200，令V ′(x )＝0，得x ＝40，因为x ∈(0,40)，V ′(x )＞0，V (x )是增函数；x∈(40,60)，V ′(x )＜0，V (x )是减函数，所以V (x )＝－14x 3＋1 200x ，在x ＝40时取得极大值，也是最大值，其值为32 000 cm 3.所以该铁皮盒体积V 的最大值是32 000 cm 3.10．(2013·东北三校联考)已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点．(1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围．解 f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(1)f ′(x )＝a 1＋x＋2x －10，又f ′(3)＝a 4＋6－10＝0，∴a＝16.经检验此时x＝3为f(x)的极值点，故a＝16.(2)由(1)知f′(x)＝2(x－1)(x－3)x＋1.当－1<x<1或x>3时，f′(x)>0；当1<x<3时，f′(x)<0.∴f(x)的单调增区间为(－1,1)，(3，＋∞)，单调减区间为(1,3)．(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0.所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln 2－9，极小值为f(3)＝32ln 2－21.因为f(16)>162－10×16>16ln 2－9＝f(1)，f(e－2－1)<－32＋11＝－21<f(3)，所以根据函数f(x)的大致图象可判断，在f(x)的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)内，直线y＝b与y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)．因此b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)>0.(1)解f′(x)＝e x－1x＋m，由x＝0是f(x)的极值点，得f′(0)＝0，所以m＝1，于是f(x)＝e x－ln(x＋1)，定义域为{x|x>－1}，f′(x)＝e x－1x＋1，函数f′(x)＝e x－1x＋1在(－1，＋∞)上单递增，且f′(0)＝0，因此当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)>0，当m＝2时，函数f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0，得e x0＝1x0＋2，即ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝1x0＋2＋x0＝(x0＋1)2x0＋2>0.综上，当m≤2时，f(x)>0. 备课札记：。
江苏省2014届高三高考模拟专家卷 数学(2) Word版含答案
23．已知Sn＝1＋＋＋…＋．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn＝，试比较 与Tn的大小，并给出证明．
参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．(0，1]2．33．84．72%5．
20．（本题满分16分）
已知数列 满足 （n∈N*），且a2=6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 （n∈N*，c为非零常数），若数列{bn}是等差数列，记cn＝，Sn＝c1＋c2＋…＋cn，求Sn．
数学附加题
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，PC＝AC＝1．求⊙O的半径．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(0, 2)，B(1，1)，C(1，3)．若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A1B1C1，其中B(1，1)在变换T作用下变为点B1(1，－1)．
化简，得a2＋c2－b2＝ac．
18．（本题满分16分）
已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（－3，0），过点F1作一条直线l交椭圆于A，B两点，点A关于坐标原点O的对称点为A1，两直线AB，A1B的斜率之积为－．
（1）求椭圆C的方程；高考资源网
（2）已知D（m，0）为F1右侧的一点，连AD，BD分别交椭圆左准线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好过点F1，求m的值．
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练专题提升训练训练9
常考问题9 数列的综合应用(建议用时：50分钟)1．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋ n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n 为________．解析 a n ＝1n ＋ n ＋1＝－( n －n ＋1)，前n 项和S n ＝－[(1－2)＋(2－3)]＋…＋(n －n ＋1)]＝ n ＋1－1＝24，故n ＝624.答案 6242．在等差数列{a n }中，a 1＝142，d ＝－2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{b n }，则此数列的前n 项和S n 取得最大值时n 的值是________． 解析 因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列{b n }，所以新数列的首项为b 1＝a 1＝142，公差为d ′＝－2×3＝－6，则b n ＝142＋(n －1)(－6)．令b n ≥0，解得n ≤2423，因为n ∈N *，所以数列{b n }的前24项都为正数项，从25项开始为负数项．因此新数列{b n }的前24项和取得最大值． 答案 243．(2013·盐城模拟)已知各项都为正的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．解析 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由 a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m ＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m ＋5≥16⎝⎛⎭⎪⎫24m n ·n m ＋5＝32，当且仅当4m n ＝n m ，即n ＝2m ＝4时取得最小值32. 答案 324．在正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项公式为________． 解析 在递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n 的两边同时除以5n ＋1，得a n ＋15n ＋1＝25×a n 5n ＋35，①令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35，即b n ＋1－1＝25(b n －1)，所以数列{b n －1}是等比数列，其首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为25.所以b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n－1，即b n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝a n5n ，故a n ＝5n －3×2n －1.答案 a n ＝5n －3×2n －15．(2013·聊城模拟)已知首项为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 006和a 1 007是方程x 2－2 012x －2 011＝0的两根，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是________．解析 由题意知，a 1 006＋a 1 007＝2 012>0，a 1 006·a 1 007＝－2 011<0，又因首项为正等差数列，所以a 1 006>0，a 1 007<0,2a 1 006＝a 1＋a 2 011>0,2a 1 007＝a 1＋a 2 013<0，即S 2 011>0，S 2 013<0，又因S n ＝n (a 1＋a n )2，n 的最大值为2 011.答案 2 0116．已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为________．解析 不妨设x 1<x 2，x 3<x 4.由题意，可得x 1，x 2的值分别为π2，3π2，代入检验． 若m ＝－12，则x 3，x 4的值分别为2π3，4π3，因为4π3－2π3≠3π2－π3，显然这四个数不能构成等差数列；若m ＝12，则x 3，x 4的值分别为π3，5π3，因为π2－π3≠3π2－π2，故这四个数不能构成等差数列；若m ＝32，则x 3，x 4的值分别为π6，11π6，因为11π6－3π2≠3π2－π2，显然这四个数不能构成等差数列；若m ＝－32，则x 3，x 4的值分别为5π6，7π6，显然这四个数能构成等差数列，公差为π3. 答案 －327．(2013·陕西卷)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．解析 左边为平方项的(－1)n ＋1倍的和，右边为(1＋2＋3＋…＋n )的(－1)n ＋1 倍． 答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)28．(2013·临沂模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________. 解析 由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n (c 1＋c n )2，前2n 项和为S 2n ＝2n (c 1＋c 2n )2，所以S 2n S n ＝2n (c 1＋c 2n )2n (c 1＋c n )2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－dnd.因为数列{c n }是“和等比数列”，即S 2nS n为非零常数，所以d ＝4. 答案 49．(2013·江西卷)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564.(1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．∴a n ＝2n . (2)证明 由a n ＝2n ，得 b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2 T n ＝116⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－152＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2－1(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564. 10．已知函数f (x )＝(x －1)2，g (x )＝4(x －1)，数列{a n }是各项均不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，点(a n ＋1，S 2n －1)在函数f (x )的图象上；数列{b n }满足b 1＝2，b n ≠1，且(b n －b n ＋1)·g (b n )＝f (b n )(n ∈N ＋)． (1)求a n 并证明数列{b n －1}是等比数列； (2)若数列{c n }满足c n ＝a n4n －1·(b n －1)，证明：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <3.(1)解 因为点(a n ＋1，S 2n －1)在函数f (x )的图象上，所以a 2n ＝S 2n －1.令n ＝1，n ＝2，得⎩⎨⎧ a 21＝S 1，a 22＝S 3，即⎩⎨⎧a 21＝a 1，(a 1＋d )2＝3a 1＋3d ，解得a 1＝1，d ＝2(d ＝－1舍去)，则a n ＝2n －1. 由(b n －b n ＋1)·g (b n )＝f (b n )， 得4(b n －b n ＋1)(b n －1)＝(b n －1)2.由题意b n ≠1，所以4(b n －b n ＋1)＝b n －1， 即3(b n －1)＝4(b n ＋1－1)，所以b n ＋1－1b n －1＝34.所以数列{b n －1}是以1为首项，公比为34的等比数列．(2)证明 由(1)，得b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1.c n ＝a n4n －1·(b n －1)＝2n －14n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＝2n －13n －1.令T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋532＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，②①－②得，23T n ＝130＋231＋232＋233＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n .所以T n ＝3－n ＋13n －1. 所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝3－n ＋13n －1<3.11．设函数f (x )＝2x ＋33x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)因为a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1＝2×1a n －1＋33×1a n －1＝a n －1＋23(n ∈N *，且n ≥2)， 所以a n －a n －1＝23.因为a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为23的等差数列． 所以a n ＝2n ＋13.(2)①当n ＝2m ，m ∈N *时，T n ＝T 2m ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2m (a 2m －1－a 2m ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝－43×a 2＋a 2m2×m ＝－19(8m 2＋12m )＝－19(2n 2＋6n )． ②当n ＝2m －1，m ∈N *时，T n ＝T 2m －1＝T 2m －(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1＝－19(8m 2＋12m )＋19(16m 2＋16m ＋3) ＝19(8m 2＋4m ＋3)＝19(2n 2＋6n ＋7)． 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－19(2n 2＋6n )，n 为正偶数，19(2n 2＋6n ＋7)，n 为正奇数，要使T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，只要使－19(2n 2＋6n )≥tn 2，(n 为正偶数)恒成立．只要使－19⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋6n ≥t ，对n ∈N *恒成立，故实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－59.。
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常考问题12 直线与圆(建议用时：50分钟)1．(2013·镇江期中)若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．解析 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，所以，点(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，所以，a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142．(2013·南师附中模拟)已知直线x －y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且向量OA →、OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为______．解析 ∵|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴OA →⊥OB →，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴点O 到直线AB 的距离为22，即|0－0＋a |2＝22，∴a ＝±1.答案 ±13．(2013·青岛质检)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为________．解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0.又根据|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1＝r ，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 答案 (x －1)2＋y 2＝14．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是________．解析 配方可得(x －3)2＋(y －4)2＝25，其圆心为C (3,4)，半径为r ＝5，则过点(3,5)的最长弦AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝2r 2－12＝46，且有AC ⊥BD ，则四边形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝20 6.答案 20 65．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析 x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a >0)可知圆心为(－a,0)，半径为6＋a 2，两圆公共弦所在方程为(x 2＋y 2＋2ax －6)－(x 2＋y 2)＝－4，即x ＝1a ，所以有()6＋a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a 2＝()32解得a ＝1或－1(舍去)． 答案 16．(2012·南师附中模拟)在平面直角坐标系中，设直线l ：kx －y ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________.解析 如图所示，OM →＝OA →＋OB →，则四边形OAMB 是锐角为60°的菱形，此时，点O 到AB 距离为1.由21＋k2＝1，解出k ＝±1. 答案 k ＝±17．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．解析 由题意知，ab ＝12，x 半径r ＝a 2＋b 2≥2ab ＝1，故面积的最小值为π. 答案 π8．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离的最小值为________．解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又|OA |＝|OB |＝1，根据勾股定理得|AB |＝2， ∴|OC |＝12|AB |＝22. ∴圆心到直线的距离为12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离d ＝(a －0)2＋(b －1)2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数为对称轴为x ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数．∵f (2)＝3－22，∴d 的最小值为3－22＝(2－1)2＝2－1. 答案2－19．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.10．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点． (1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．(1)证明 由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)解 ∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2.∴圆心为C (2,1)或(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(3)解 点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |，又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝2 5.所以|PB |＋|PQ |的最小值为25，直线B ′C 的方程为y ＝12x ，则直线B ′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－23.11．(2012·南师附中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1.(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P (2,3)，求椭圆方程．(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；(3)设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．解 (1)∵双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝4，4a 2＋9b2＝1.∴a 2＝16，b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)由已知，A (－4,0)，B (4,0)，F (2,0)，直线l 的方程为x ＝8. 设N (8，t )(t ＞0)． ∵AM ＝MN ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t 2.由点M 在椭圆上，得t ＝6. 故所求的点M 的坐标为M (2,3)．所以MA →＝(－6，－3)，MB →＝(2，－3)，MA →·MB →＝－12＋9＝－3.cos ∠AMB ＝MA →·MB →|MA →|·|MB→|＝－336＋9·4＋9＝－6565.(3)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A 、F 、N 三点坐标代入，得⎩⎨⎧16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－t －72t ，F ＝－8.圆的方程为x 2＋y 2＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0，令x ＝0，得y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0. 设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，则y 1,2＝t ＋72t ±⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t 2＋322.由线段PQ 的中点为(0,9)，得y 1＋y 2＝18，t ＋72t ＝18， 此时，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.。
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常考问题5 三角函数的图象与性质(建议用时：50分钟)1．(2013·苏北四市模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝______.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.答案 －792．(2013·浙江卷改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的______条件．解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2. ∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件． 答案 必要不充分3．(2013·苏锡常镇模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453， ∴12cos α＋32sin α＝45， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.答案 －454．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为________．解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0知⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )图象的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称轴，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧ω>0，2πω≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12，解得ω≥2，即ω的最小值为2.答案 25．(2013·湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又m >0，∴m 的最小值为π6. 答案 π66．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 由题意知f (x )的一条对称轴为直线x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 327．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是______．解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，那么当 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，38．给出下列说法：①正切函数在定义域内是增函数；②函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－34π，k π＋π4(k ∈Z )；③函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π12＋k π，k ∈Z ； ④函数y ＝tan x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上的最大值为3＋1，最小值为0.其中正确说法的序号是________．解析 ①正切函数在定义域内不具有单调性，故错误；②由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－34π，k π＋π4(k ∈Z )，故正确； ③由2x ＋π3≠π2＋k π(k ∈Z )，解得x ≠π12＋k π2(k ∈Z )，故错误；④因为函数y ＝tan x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上单调递增，所以x ＝π3时取得最大值为3＋1，x ＝－π4时取得最小值为0，故正确，所以正确说法是②④. 答案 ②④9．(2013·西安五校二次模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω， ∴ω＝π4，得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.由π4×1＋φ＝2k π＋π2⇒φ＝2k π＋π4， 又|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4(x ＋2)＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝22cos π4x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23， ∴π4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π6，∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y 的最大值为6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y 的最小值为－2 2.10．(2013·苏北四市调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sin x cos x (x ∈R )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)在△ABC 中，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，求sinB ＋sinC 的最大值．解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sin x cos x ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1，因为0＜A ＜π，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3.因为0＜B ＜2π3，所以π3＜B ＋π3＜π，0＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3≤1，所以sin B ＋sin C 的最大值为 3.11．(2013·湖南卷)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335.求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合． 解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ， g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35， 又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15. (2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ， 即3sin x ＋cos x ≥1. 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }． 备课札记：。
2014高考数学二轮专题复习Word版 专题提升训练15
常考问题15 空间中的平行与垂直(建议用时：50分钟)1．(2013·无锡模拟)对于直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；②若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β.其中正确命题的序号是________．解析 n 有可能平行于α或在α内，所以①不正确；n 有可能在α内，所以②不正确；α可以与γ相交，所以③不正确．答案 ④2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：①若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m ；②若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α；③若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m ；④若l ∥α，m ∥α，则l ∥m .则其中正确命题的序号是________．解析 根据线面垂直的判定定理、性质定理可知①②正确．答案 ①②3．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B -B 1EF 的体积为________．解析 VB -B 1EF ＝VE -B 1FB ＝13S △B 1BF ·EB ＝13×12×2×1×1＝13.答案 134．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中所有能推得a ⊥b 的条件是________(填序号)．①a ⊂α，b ∥β，α⊥β；②a ⊥α，b ⊥β，α⊥β；③a ⊂α，b ⊥β，α∥β；④a ⊥α，b ∥β，α∥β.解析 由①a ⊂α，b ∥β，α⊥β可能得到两直线垂直，平行或异面，②③④均能得到两直线垂直，故填写②③④.答案 ②③④5．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF的长度等于________．解析 ∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，又∵E 是AD 的中点，∴F 是CD 的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝12AC ＝12×22＝2.答案 26．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号______(写出所有真命题的序号)．解析 ①②为课本上的结论，是真命题；③α和β不垂直时，α内也有一组平行直线垂直于l ；④l 与α内的两条直线垂直不能得出l 与α垂直，如α内的两条直线平行时，则不能推出l ⊥α.答案 ①②7．(2011·泰州模拟)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在AB 1，BC 1上(M ，N 不与B 1，C 1重合)，且AM ＝BN ，那么①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1异面，以上4个结论中，正确结论的序号是________．解析 过M 作MP ∥AB 交BB 1于P ，连接NP ，则平面MNP ∥平面A 1C 1，所以MN ∥平面A 1B 1C 1D 1，又AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥MN .当M 与B 1重合，N 与C 1重合时，则A 1C 1与MN 相交，所以①③正确．答案 ①③8．(2011·苏中四市调研)在正三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，下列结论：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE ，其中正确结论的序号是________．解析 如右图，设P 在面ABC 内射影为O ，则O 为正△ABC 的中心．①可证AC ⊥平面PBO ，所以AC ⊥PB ；②AC ∥DE ，可得AC ∥面PDE ；③AB 与DE 不垂直．答案 ①②9．(2013·苏州调研)如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC .(1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(2)点F 在BE 上．若DE ∥平面ACF ，求BF BE 的值．(1)证明 因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC .因为平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面BCE .因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥AB .因为CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，所以CE ⊥平面ABE .因为CE ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE .(2)解 连接BD 交AC 于点O ，连接OF .因为DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ，所以DE ∥OF .又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点，所以F 为BE 中点，即BF BE ＝12.10．(2012·泰州学情调研)如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，OA ⊥平面ABCD ，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，求证：(1)平面BDO ⊥平面ACO ；(2)EF ∥平面OCD .证明 (1)∵OA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OA⊥BD ，∵ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，又OA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面OAC ，又∵BD ⊂平面OBD ，∴平面BDO ⊥平面ACO .(2)取OD 中点M ，连接EM ，CM ，则ME ∥AD ，ME ＝12AD ，∵ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵F 为BC 的中点，∴CF ∥AD ，CF ＝12AD ， ∴ME ∥CF ，ME ＝CF .∴四边形EFCM 是平行四边行，∴EF ∥CM ，又∵EF ⊄平面OCD ，CM ⊂平面OCD .∴EF ∥平面OCD .11．(2013·盐城模拟)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝4，CB ＝2，AA 1＝2，∠ACB ＝60°，E 、F分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)证明：平面AEB ⊥平面BB 1C 1C ；(2)证明：C 1F ∥平面ABE ；(3)设P 是BE 的中点，求三棱锥P -B 1C 1F 的体积．(1)证明 在△ABC 中，∵AC ＝2BC ＝4，∠ACB ＝60°，由余弦定理得： ∴AB ＝23，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴AB ⊥BC ，由已知AB ⊥BB 1，又BB 1∩BC ＝B ，∴AB ⊥面BB 1C 1C ，又∵AB ⊂面ABE ，∴平面ABE ⊥平面BB 1C 1C .(2)证明 取AC 的中点M ，连接C 1M ，FM在△ABC ，FM ∥AB ，而FM ⊄平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，∴直线FM ∥平面ABE在矩形ACC 1A 1中，E ，M 都是中点，∴C 1E 綉AM ，四边形AMC 1B 是平面四边形，∴C 1M ∥AE而C 1M ⊄平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，∴直线C 1M ∥ABE又∵C 1M ∩FM ＝M ，∴平面ABE ∥平面FMC 1，而CF 1⊂平面FMC 1， 故C 1F ∥平面AEB .(3)解 取B 1C 1的中点H ，连接EH ，则EH ∥A 1B 1，所以EH ∥AB 且EH ＝12AB ＝3，由(1)得AB ⊥面BB 1C 1C ，∴EH ⊥面BB 1C 1C ，∵P 是BE 的中点，∴VP -B 1C 1F ＝12VE -B 1C 1F ＝12×13S △B 1C 1F ·EH ＝ 3. 备课札记：。
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练 专题提升训练阶段检测卷4
阶段检测卷(四)一、填空题(每小题5分，共70分)1．已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值为________．解析依题意得k AB＝8－aa＋1＝2，解得a＝2.答案 22．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．解析由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1<17<5，所以两圆的位置关系为相交．答案相交3．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为________．解析∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为|3×(－1)－4－3|5＝2，∴d min＝2－1＝1.答案 14．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．解析在方程x2＋y2－4x－9＝0中，令x＝0，得y＝±3，不妨设A(0，－3)，B(0,3)．设题中双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．∵点A在双曲线上，∴9a2＝1.∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴双曲线的焦点为(0，－9)，(0,9)．a2＋b2＝81.∴a2＝9，b2＝72.∴此双曲线的标准方程为y29－x272＝1.答案y29－x272＝15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则它的离心率为________．解析 由题意，得e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋3＝2.答案 26．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________． 解析 过F 1作倾斜角为45°的直线y ＝x ＋c ，由MF 2垂直于x 轴得M 的横坐标c ，所以纵坐标2c ，代入椭圆方程得c 2a 2＋4c 2b 2＝1，∴e 2＋4c 2a 2－c 2＝1，∴(1－e 2)2＝4e 2，∴e ＝2－1. 答案2－17．设圆C 的圆心与双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >0)的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线l ：x －3y ＝0被圆C 截得的弦长等于2，则a 的值为________． 解析 由题知圆心C (a 2＋2，0)，双曲线的渐近线方程为2x ±ay ＝0，圆心C 到渐近线的距离d ＝2·a 2＋22＋a 2＝2，即圆C 的半径为 2.由直线l 被圆C 截得的弦长为2及圆C 的半径为2可知，圆心C 到直线 l 的距离为1，即a 2＋21＋3＝1，解得a ＝ 2. 答案28．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________．解析 设切线方程为x a ＋y b ＝1，则|ab |a 2＋b2＝1，于是有a 2＋b 2＝a 2b 2≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，得a 2＋b 2≥4，从而线段AB 长度为a 2＋b 2≥2，其最小值为2. 答案 29．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．解析 由题意知本题等价于求过圆M ：(x －1)2＋(y －3)2＝1的圆心M (1,3)与圆O ：x 2＋y 2＝2相切的切线的斜率k .设切线l ：y －3＝k (x －1)，l ：kx －y ＋3－k ＝0，由题意知2＝|3－k |1＋k2，k ＝－7或k ＝1. 答案 －7或110．(2012·南通期末调研)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A 、B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与F A →同向，则双曲线离心率e 的大小为________． 解析 设OA ＝m －d ，AB ＝m ，OB ＝m ＋d ，由勾股定理，得(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2.解得m ＝4d .设∠AOF ＝α，则cos 2α＝OA OB ＝35.cos α＝1＋cos 2α2＝25，所以，离心率e ＝1cos α＝52. 答案 5211．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为________．解析 圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k 2＝5，解得k ＝±2，又k >0，所以k ＝2. 答案 212．双曲线C ：x 2－y 2＝1，若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且P A →＝2AQ →，则直线l 的斜率为________． 解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0.可以求得A (1,0)，设直线l 的斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，分别与渐近线方程联立方程组，可以求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1，－k k ＋1或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫kk ＋1，－k k ＋1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，利用条件P A →＝2AQ →，可以求得k ＝±3.答案 ±313．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最小值时，切线l 的方程为________．解析 设点A ，B 的坐标分别为A (a,0)，B (0，b )(a ，b >0)，则直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，因为直线AB 和圆相切，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a 2＋b 2＝2，整理得2(a 2＋b 2)＝ab ，即2(a 2＋b 2)＝(ab )2≥4ab ，所以ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，又|AB |＝a 2＋b 2＝ab2≥22，所以|AB |的最小值为22，此时a ＝b ，即a ＝b ＝2，切线l 的方程为x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0.答案 x ＋y －2＝014．设双曲线x 24－y 2＝1的右焦点为F ，点P 1、P 2、…、P n 是其右上方一段(2≤x ≤25，y ≥0)上的点，线段|P k F |的长度为a k (k ＝1,2,3，…，n )．若数列{a n }成等差数列且公差d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，55，则n 的最大取值为________．解析 数列{a n }递增，当a 1最小，a n 最大，且公差d 充分小时，数列项数较大．所以取a 1＝5－2，a n ＝3，算得d ＝5－5n －1(n ＞1)，又d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，55，所以55－4＜n ＜26－55，又n ∈N *，故n 的最大取值为14. 答案 14 二、解答题(共90分)15．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，由题知直线l 的斜率与直线OA 的斜率相等，故可设直线l 的方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．16．(本小题满分14分)(2013·苏北四市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，一条准线l ：x ＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点． ①若PQ ＝6，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．解(1)由题设：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22a 2c ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1. (2)①由(1)知：F (1,0)，设M (2，t )， 则圆D 的方程：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝1＋t 24，直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0， ∵PQ ＝6，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t 22－24＋t 22＝6， ∴t 2＝4，∴t ＝±2.∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ②设P (x 0，y 0)，由①知：⎩⎪⎨⎪⎧(x 0－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－t 22＝1＋t 242x 0＋ty 0－2＝0，即：⎩⎨⎧x 20＋y 20－2x 0－ty 0＝02x 0＋ty 0－2＝0，消去t 得：x 20＋y 20＝2，∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B . (1)求圆Q 的面积； (2)求k 的取值范围；(3)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)圆的方程可化为(x －6)2＋y 2＝4，可得圆心为Q (6，0)，半径为2，故圆的面积为4π.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝4交于两个不同的点A ，B 等价于|6k ＋2|k 2＋1＜2，化简得(－8k 2－6k )＞0，解得－34＜k ＜0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，(x －6)2＋y 2＝4 得(k 2＋1)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0，解此方程得x 1,2＝－4(k －3)±16(k －3)2－144(k 2＋1)22(k 2＋1).则x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2，① 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.②而P (0,2)，Q (6,0)，PQ→＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将①②代入上式，解得k ＝－34.由(2)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k .18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以坐标原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T . 求证：点T 在椭圆C 上．(1)解 由题意知，椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝|2|2＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明 由题意可设点M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②设点T 的坐标为(x ，y )，联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为点M ，N 在椭圆C 上，故x 208＋y 22＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12(3y －42y －3)2＝1.整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．19．(本小题满分16分)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两条切线的斜率之积为定值．(1)解 设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2) 证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立直线l 0与椭圆E 的方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1.消去y ，得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0，∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理，得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20.∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5.∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1.20．(本小题满分16分)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a >2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2a 2－2与x 轴交于点A ，若OF 1→＝2F 1A →(其中O 为坐标原点)． (1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE →·PF→的最大值． 解 (1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2，0，F 1()a 2－2，0， 由OF 1→＝2F 1A →，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2， 解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为M ：x 26＋y 22＝1. (2)设圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的圆心为N ，则PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝NP →2－NF →2＝NP →2－1. 从而求PE →·PF →的最大值转化为求NP →2的最大值． 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)，所以x 206＋y 22＝1，即x 20＝6－3y 20，因为点N (0,2)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12.因为y 0∈[－2，2]，所以当y 0＝－1时，NP →2取得最大值12.所以PE →·PF →的最大值为11.。
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练专题提升训练阶段检测卷3
阶段检测卷(三)一、填空题(每小题5分，共70分)1．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝________.解析 由a 3a 11＝16，得a 27＝16，故a 7＝4＝a 5×22⇒a 5＝1.答案 12．(2013·湖北卷改编)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于________．解析 A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}． ∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4，或x <2} ＝{x |0≤x <2，或x >4}． 答案 {x |0≤x <2，或x >4}3．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析 由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2， ①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q 3＋2， ②②－①得a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q (q 2－1)，即2q 2－q －3＝0.解得q ＝32或q ＝－1(舍)． 答案 324．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. 解 由题意S 9＝S 4，得a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，∴5a 7＝0，即a 7＝0，又a k ＋a 4＝0＝2a 7，a 10＋a 4＝2a 7，∴k ＝10. 答案 105．在等差数列{a n }中，a 8＝12a 11＋6，则数列{a n }前9项的和S 9等于________． 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋7d ＝12(a 1＋10d )＋6，即a 1＋4d ＝a 5＝12，∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝108.答案 1086．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是________．解析 a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取等号． 答案 47．若－9，a ，－1成等差数列，－9，m ，b ，n ，－1成等比数列，则ab ＝________. 解析 由已知得a ＝－9－12＝－5，b 2＝(－9)×(－1)＝9且b <0，∴b ＝－3，∴ab ＝(－5)×(－3)＝15. 答案 158．已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x ，当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于________．解析 由等比数列的性质，得ad ＝bc ， 又⎩⎪⎨⎪⎧f ′(b )＝1b ＋2－1＝0，f (b )＝ln (b ＋2)－b ＝c ，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝1，故ad ＝bc ＝－1.答案 －19．若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是________． 解析 因为4x ＋4y ＝(2x )2＋(2y )2＝t 2－2×2x ×2y ，所以t 2－2×2x ×2y ＝2t ，即2×2x×2y＝t 2－2t ，又0＜2×2x×2y≤2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2y22＝12t 2，所以0＜t 2－2t ≤12t 2，解不等式组得2＜t ≤4. 答案 2＜t ≤410．S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3…a n ，则使T n取最小值的n 值为________．解析 设等比数列的公比为q ，故由9S 3＝S 6，得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2，故T n T n －1＝a n ＝120×2n －1，易得当n ≤5时，T n T n －1<1，即T n <T n －1；当n ≥6时，T n >T n －1，据此数列单调性可得T 5为最小值．答案 511．(2013·广东卷)给定区域D ：⎩⎨⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 处取得最小值点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线． 答案 612．(2013·南京师大附中模拟)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝3，b 1＝1，a 2＝b 2,3a 5＝b 3，若存在常数u ，v 对任意正整数n 都有a n ＝3log u b n ＋v ，则u ＋v ＝________.解析 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则⎩⎨⎧3＋d ＝q ，3(3＋4d )＝q 2，解得d ＝6，q ＝9，所以a n ＝6n －3，b n ＝9n －1,6n －3＝3n log u 9＋v －3log u 9对任意正整数n 恒成立，所以⎩⎨⎧log u 9＝2，v －3log u 9＝－3，解得u ＝v ＝3，故u ＋v ＝6. 答案 613．(2012·宿迁联考)第30届奥运会在伦敦举行．设数列a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·a 3…a k 为整数的实数k 为奥运吉祥数，则在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为________．解析 因为a 1·a 2·a 3…a k ＝log 23×log 34×…×log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，当log 2(k ＋2)＝m (m ∈Z )时，k ＝2m －2∈[1,2 012](m ∈Z )，m ＝2,3,4，…，10，所以在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2) ＝(22＋23＋…＋210)－18＝211－22＝2 026. 答案 2 02614．(2013·盐城模拟)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________． 解析 由题意可知a n ＝4n －3，且(S 2n ＋3－S n ＋1)－(S 2n ＋1－S n )＝1a 2n ＋3＋1a 2n ＋2－1a n ＋1＝18n ＋9＋18n ＋5－14n ＋1＜0，所以{S 2n ＋1－S n }是递减数列，故(S 2n ＋1－S n )max ＝S 3－S 1＝1a 2＋1a 3＝1445≤m 15，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5. 答案 5二、解答题(共90分)15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 代入解得k ＝－25. (2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 3a 2n4，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n ·b n ＋2的前n 项和为T n ，证明：T n <316. (1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，解得a 1＝23.当n ≥2时，∵S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，∴S n －S n －1＝12(a n －1－a n )， 即a n ＝12(a n －1－a n )．∴a n ＝13a n －1.∴{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列，其通项公式为a n ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×3－n .(2)证明 ∵b n ＝log 3a 2n4＝2 log 33－n ＝－2n . ∴1b n ·b n ＋2＝1(－2n )×[－2(n ＋2)]＝14n (n ＋2)＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝181＋12－1n ＋1－1n ＋2＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2<316. 17．(本小题满分14分)(2013·金华十校模拟)已知函数f (x )＝13ax 3－14x 2＋cx ＋d (a ，c ，d ∈R )满足f (0)＝0，f ′(1)＝0，且f ′(x )≥0在R 上恒成立． (1)求a ，c ，d 的值； (2)若h (x )＝34x 2－bx ＋b 2－14， 解不等式f ′(x )＋h (x )<0.解 (1)∵f (0)＝0，∴d ＝0，∵f ′(x )＝ax 2－12x ＋c .又f ′(1)＝0，∴a ＋c ＝12.∵f ′(x )≥0在R 上恒成立，即ax 2－12x ＋c ≥0恒成立，∴ax 2－12x ＋12－a ≥0恒成立，显然当a ＝0时，上式不恒成立．∴a ≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－12a ＋116≤0，解得a ＝14，c ＝14.(2)由(1)知f ′(x )＝14x 2－12x ＋14.由f ′(x )＋h (x )<0，得14x 2－12x ＋14＋34x 2－bx ＋b 2－14<0，即x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12x ＋b 2<0，即(x －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，当b >12时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ，当b <12时，解集为⎝⎛⎭⎪⎫b ，12，当b ＝12时，解集为∅. 18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．(1)证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2；(2)若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式f (c )－f (b )≤M (c 2－b 2)恒成立，求M 的最小值．(1)证明 易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R ，2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1.于是c ≥1， 且c ≥2b 24×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0.故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0.即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.(2)解 由(1)知c ≥|b |.当c ＞|b |时，有M ≥f (c )－f (b )c 2－b 2＝c 2－b 2＋bc －b 2c 2－b 2＝c ＋2bb ＋c .令t ＝b c ，则－1＜t ＜1，c ＋2b b ＋c ＝2－11＋t .而函数g (t )＝2－11＋t(－1＜t ＜1)的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32.因此，当c ＞|b |时，M 的取值集合为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.当c ＝|b |时，由(1)知b ＝±2，c ＝2.此时f (c )－f (b )＝－8或0，c 2－b 2＝0，从而f (c )－f (b )≤32(c 2－b 2)恒成立． 综上所述，M 的最小值为32.19．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝n 2，数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式a n 和T n ；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，验证当n ＝1时，也成立；所以a n ＝2n －1.b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝1212n －1－12n ＋1，所以T n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1.(2)由(1)得λ<(2n ＋1)[n ＋(－1)n ]n ，当n 为奇数时，λ<(2n ＋1)(n －1)n ＝2n －1n －1恒成立，因为当n 为奇数时，2n －1n －1单调递增， 所以当n ＝1时，2n －1n －1取得最小值为0， 此时，λ<0. 当n 为偶数时，λ<(2n ＋1)(n ＋1)n ＝2n ＋1n ＋3恒成立，因为当n 为偶数时，2n ＋1n ＋3单调递增， 所以当n ＝2时，2n ＋1n ＋3取得最小值为152. 此时，λ<152.综上所述，对于任意的正整数n ，原不等式恒成立，λ的取值范围是(－∞，0)． 20．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0，a ∈N *)，a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0(p ≠0，p ≠－1，n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k .①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n＝0，两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p 的等比数列，又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap ， 从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (n ＝1)，a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p n －2(n ≥2).(2)①由(1)得a k ＋1＝a p ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1p k －1， a k ＋2＝a p ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ＋1， 若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13； 此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k ， 所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1，若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3， 即p ＋1p ＝1，此时无解；若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23， 此时a k ＋1＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋1，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1， 综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23， d k ＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1. ②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k －1)． 则由S k ＜30，得a ＜103(2k －1)，当k ≥3时，103(2k －1)＜1，所以必定有a ＜1，所以不存在这样的最大正整数． 当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ， 则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎢⎡1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ]，因为403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13.。
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常考问题17 集合与常用逻辑用语(备用)
(建议用时：35分钟)
1．若全集U ＝R ，集合A ＝{x ||2x ＋3|＜5}，B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}，则∁U (A ∩B )＝________.
解析 A ＝{x ||2x ＋3|＜5}＝{x |－4＜x ＜1}，
B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}＝{x |x ＋2＞0}＝{x |x ＞－2}，所以A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，所以∁U (A ∩B )＝{x |x ≥1或x ≤－2}．
答案 {x |x ≥1或x ≤－2}
2．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________.
解析 由A ∩B ＝{2}可得：log 2(a ＋3)＝2，∴a ＝1，∴b ＝2，∴A ∪B ＝{1,2,5}． 答案 {1,2,5}
3．已知集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a }，且B ⊆A ，则实数a 的值是________．
解析 a ≥0，则a ＝1，且a ＋2＝3，解得a ＝1.
答案 1
4．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝________.
解析 根据集合运算的性质求解．因为A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7,9}．
答案 {7,9}
5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x －1x ＋1＜0，B ＝{x ||x －1|＜a }，则“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的________(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个)．
解析 A ＝(－1,1)，B ＝(1－a,1＋a )，当a ＝1时，有A ∩B ≠∅满足，但当a ＝12时，也有A ∩B ≠∅满足．故答案为充分不必要条件．
答案 充分不必要条件
6．集合A ＝{0，log 123，－3,1,2}，集合B ＝{y ∈R |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝________.
解析 ∵B ＝{y ∈R |y ＝2x ，x ∈A }＝{1,2,4，18，13}，∴A ∩B ＝{1,2}．
答案 {1,2}
7．已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)＞0}．则A ∩B ＝________.
解析 集合A ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，＋∞，集合B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故A ∩B ＝(3，＋∞)．
答案 (3，＋∞)
8．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．
解析 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．
答案 10
9．已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，∃a ∈R ，使得集合A 中所有整数的元素和为28，则实数a 的取值范围是______．
解析 由x 2＋a ≤(a ＋1)x 得1≤x ≤a ，又1＋2＋…＋7＝28，所以a 的取值范围是[7,8)．
答案 [7,8)
10．下列命题中的真命题是________．
①∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32
②∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞x ＋1
③∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x
④∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos x
解析 ∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2，∀x ∈(－∞，0)，2x ＞3x ，sin π4＝cos π4，所
以①③④都是假命题．对于②，令f (x )＝e x －x －1⇒f ′(x )＝e x －1＞0，对于x ∈(0，＋∞)恒成立，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＞f (0)＝0⇒e x ＞x ＋1，②是真命题．
答案 ②
11．已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x ＜1，则p 是綈q 成立的________条件．
解析 因为q ：1x ＜1，所以綈q ：1x ≥1，即0＜x ≤1，所以p 是綈q 成立的必
要不充分条件．
答案 必要不充分条件
12．下列四种说法中，错误的个数是________．
①A ＝{0,1}的子集有3个；
②“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真；
③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件；
④命题“∀x ∈R ，均有x 2－3x －2≥0”的否定是：“∃x ∈R ，使得x 2－3x －2≤0”
解析 A ＝{0,1}的子集有4个，①错误；“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”在m ＝0时不成立，②错误；“命题p ∨q 为真”则“命题p ∧q 不一定为真”，“命题p ∧q 为真”则“命题p ∨q 为真”③正确；“∀x ∈R ，均有x 2－3x －2≥0”的否定是：“∃x ∈R ，使得x 2－3x －2＜0”④错误．四种说法中，错误的个数是3.
答案 3
13．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＋2ny ＋n 2－4＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2－6mx －4ny ＋9m 2＋4n 2－9＝0}，若A ∩B 为单元素集，则点P (m ，n )构成的集合为________． 解析 因为A ∩B 为单元素集，即圆x 2＋(y ＋n )2＝4与圆(x －3m )2＋(y －2n )2＝9相切，所以有(3m )2＋(2n ＋n )2＝3＋2或(3m )2＋(2n ＋n )2＝3－2，即m 2
＋n 2＝259或m 2＋n 2＝19.
答案 {(m ，n )|m 2＋n 2＝259或m 2＋n 2＝19
} 14．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m
＋10＝0无实根，则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是________． 解析 设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两个正根分别为x 1，x 2，则由
⎩⎨⎧
Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，解得m ＜－1，∴p ：m ＜－1.
由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0知－2＜m ＜3，
∴q ：－2＜m ＜3.
由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p 和q 一真一假，当p 真q 假时，得⎩
⎨⎧ m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2； 当p 假q 真时，得⎩⎨⎧ m ≥－1，－2＜m ＜3，
此时－1≤m ＜3， ∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．
答案 (－∞，－2]∪[－1,3)。