常用微分公式#(精选.)
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
微积分常用公式及运算法则
微积分常用公式及运算法则1.调和级数：调和级数为H(n)=1+1/2+1/3+...+1/n，其中n为正整数。
它是发散级数，在计算机科学和数学中都有重要应用。
2.多项式级数：多项式级数为f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...。
其中a0、a1、a2是常数系数，x是变量。
多项式级数可以直接求和，也可以使用其他方法进行求和。
3.幂级数：幂级数为f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+c3(x-a)^3+...。
其中c0、c1、c2是常数系数，a是常数。
幂级数可以表示为基于常数系数和常数a的级数。
4.泰勒级数：在微积分中，泰勒级数是一种用函数的高阶导数来逼近函数的方法。
泰勒级数可以将函数表示为一个无限级数。
5.泰勒公式：泰勒公式是泰勒级数的具体表达形式。
泰勒公式可以将函数在其中一点的值表示为该点的函数值和函数的各阶导数值的线性组合。
6.均值定理：均值定理是微积分中的重要定理，它指出在其中一区间上，连续函数的平均变化率等于该区间内其中一点的瞬时变化率。
7.拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
8.柯西中值定理：柯西中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
9.极值点：极值点是函数在其中一区间内的最大值点或最小值点。
极值点可以使用导数的符号和戴布尔不等式来判断。
10.弧长：弧长是曲线上的一段长度。
计算曲线的弧长可以使用微积分的方法，如积分的方法。
11.曲率：曲率是表示曲线弯曲程度的一个数值。
曲率可以使用导数和二阶导数计算。
12.方向角：方向角是表示曲线在其中一点的切线方向的角度。
方向角可以使用导数计算。
微分公式的推导
微分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
微分公式是用来计算函数导数的工具，下面是一些常见的微分公式的推导：
1.基本的幂函数微分公式：
对于函数y = x^n （其中n 是常数），我们可以通过以下推导得到它的微分公式：
首先，将函数展开为多项式形式：y = x * x * x * ... * x (共有n 个x 相乘)。
然后，使用乘积法则进行求导。
对于每个x，它的导数是1，因此根据乘积法则的规律，y 的导数可以表示为：
dy/dx = x * x * x * ... * x (共有n-1 个x 相乘) = nx^(n-1)
因此，得到了幂函数的微分公式：dy/dx = nx^(n-1)
2.基本三角函数微分公式：
对于常见的三角函数，例如正弦函数和余弦函数，它们的微分公式如下：
正弦函数：d(sin(x))/dx = cos(x)
余弦函数：d(cos(x))/dx = -sin(x)
这些微分公式可以通过使用极限定义和三角恒等式进行推导。
3.指数函数和对数函数微分公式：
对于指数函数和对数函数，它们的微分公式如下：
指数函数：d(e^x)/dx = e^x
自然对数函数：d(ln(x))/dx = 1/x
这些微分公式可以通过使用极限定义和指数函数的性质进行推导。
以上是一些常见的微分公式的推导过程。
需要注意的是，这里只给出了基本的微分公式，实际上微积分中还有更多复杂的函数和公式，其推导可能需要更多的数学知识和技巧。
微分公式大全24个
微分公式大全24个微分公式是微积分中非常重要的一部分，下面我将列举24个常见的微分公式：1. 常数函数微分，(k)' = 0。
2. 幂函数微分，(x^n)' = nx^(n-1)。
3. 指数函数微分，(e^x)' = e^x.4. 对数函数微分，(ln(x))' = 1/x.5. 三角函数微分，(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)。
6. 反三角函数微分，(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)，(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)，(arctan(x))' = 1/(1+x^2)。
7. 和差函数微分，(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
8. 积函数微分，(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
9. 商函数微分，(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)f(x)g'(x))/g(x)^2。
10. 复合函数微分，(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)。
11. 反函数微分，如果y = f(x)和x = g(y)是互为反函数的函数，那么有dy/dx = 1/(dx/dy)。
12. 参数方程的微分，如果x = f(t)和y = g(t)是参数方程，那么dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)。
13. 隐函数微分，如果F(x, y) = 0定义了y作为x的隐函数，那么dy/dx = (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
14. 对数微分，d(ln(x)) = 1/x dx.15. 指数微分，d(e^x) = e^x dx.16. 对数函数微分，d(log_a(x)) = (1/xln(a)) dx.17. 幂函数微分，d(x^n) = nx^(n-1) dx.18. 三角函数微分，d(sin(x)) = cos(x) dx，d(cos(x)) = -sin(x) dx，d(tan(x)) = sec^2(x) dx.19. 反三角函数微分，d(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2) dx，d(arccos(x)) = -1/√(1-x^2) dx，d(arctan(x)) = 1/(1+x^2) dx.20. 对数函数的微分，d(log_b(x)) = (1/xln(b)) dx.21. 反双曲函数微分，d(arcsinh(x)) = 1/√(x^2+1) dx，d(arccosh(x)) = 1/√(x^2-1) dx，d(arctanh(x)) = 1/(1-x^2) dx.22. 反双曲函数微分，d(arccsch(x)) = -1/|x|√(1+x^2) dx，d(arccoth(x)) = -1/(1-x^2) dx.23. 反双曲函数微分，d(arccsech(x)) = -1/(x√(1-x^2)) dx.24. 反双曲函数微分，d(arccoth(x)) = -1/(1-x^2) dx.这些是常见的微分公式，它们在求导过程中经常被使用。
微积分的公式大全
微积分的公式大全微积分是数学中的重要分支，涵盖了一系列的公式，用于计算和解决各种与变化相关的问题。
下面是微积分中的一些重要公式：1.导数的基本公式：- 常数的导数：$$\frac{d(c)}{dx}=0$$，其中c为常数。
- 幂函数的导数：$$\frac{d(x^n)}{dx}=nx^{n-1}$$，其中n为常数。
- e的指数函数的导数：$$\frac{d(e^x)}{dx}=e^x$$。
- 对数函数的导数：$$\frac{d(\ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}$$。
2.常见初等函数的导数：- 正弦函数的导数：$$\frac{d(\sin(x))}{dx}=\cos(x)$$。
- 余弦函数的导数：$$\frac{d(\cos(x))}{dx}=-\sin(x)$$。
- 正切函数的导数：$$\frac{d(\tan(x))}{dx}=\sec^2(x)$$。
- 反正弦函数的导数：$$\frac{d(\arcsin(x))}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$。
- 反余弦函数的导数：$$\frac{d(\arccos(x))}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$。
3.基本微分法则：- 常数乘积法则：$$\frac{d(cu)}{dx}=c\frac{du}{dx}$$。
- 加法法则：$$\frac{d(u+v)}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$$。
- 乘法法则：$$\frac{d(uv)}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$$。
- 商法则：$$\frac{d\left(\frac{u}{v}\right)}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$$。
- 复合函数求导法则：如果y是x的函数，z是y的函数，则$$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}$$。
常用微分公式#(精选.)
df n (x)dxword.§1-3微分公式(甲)基本函数的微分公式(1)(3)(5)自证⑴f(x)与g(x)为可微分的函数。
f(x)+g(x)为可微分的函数。
另一种表示：(f(x)+g(x))/=f /(x)+g /(x)证明：令h(x)=f(x)+g(x),设a 为h(x)定义域中的任一点=f /(a)+g /(a)例：求 0(x 5Vx) ?dx推论：dx (f 1(x)+f 2(x)+...+f n (x)) = df 1(x ) d d xh /(a)= lim x a =lim ( x a h(x) h(a) x a f(x) f(a). f (x) g(x) f (a) g(a) 一 lim x a g(x) g(a) x ax a 、「 f(x) f(a) )=lim ('x a ' x ag(x) g(a) )+lim (“' /，)，x a' x a '(燃W (2噌1x n 1,n N o n(3)dc =0,其中 c 为常数。
(4)(sinx)/=cosx (5)(cosx)/= sinx dx1 .另一种表示： (x n )/=nx n 1 (n x)/=1x- 1(c)/=0证明：⑵设a 为f(x)= n j x 定义域中的任意点, 则 f /(aRim^f)'，x a x a』n x n a 『=lim ------------- = lim x ax a x a1 1= n(a)=n (a尸n(n .x n a)[(n . x)n1 (n x)n 2 n a .... (n a)n1]-1 1(a n )⑷设a 为任意实数，f(x)=sinxf(x) f ⑶x a sinx sina x a x a x a 2sin cos — 2 2 计算f /(a)= 2sin f(x) Ra) lim =lim ( ------------------- x ax a x a ax a x a----- cos --------2 2 、 ---------- )=cosa 。
微积分的公式大全
微积分的公式大全微积分是数学的一个重要分支，涉及到函数的极限、导数、积分等概念和方法。
以下是微积分中常见的公式：1. 极限公式：- 函数f(x)当x趋近于a时的极限：lim[x→a]f(x)- 无穷小量的定义：lim[x→0]f(x)=02. 导数公式：- 导数的定义：f'(x)=lim[h→0](f(x+h)-f(x))/h- 幂函数的导数：(x^n)'=nx^(n-1)- 三角函数的导数：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx，(tanx)'=sec^2x- 指数函数和对数函数的导数：(e^x)'=e^x，(lnx)'=1/x3. 积分公式：- 不定积分的定义：∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为常数- 基本积分法则：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx- 幂函数的不定积分：∫x^n dx=(x^(n+1))/(n+1)+C，其中n不等于-1- 三角函数的不定积分：∫sinx dx=-cosx+C，∫cosx dx=sinx+C - 指数函数和对数函数的不定积分：∫e^x dx=e^x+C，∫1/xdx=ln|x|+C4. 微分方程公式：- 一阶线性微分方程：dy/dx+p(x)y=q(x)，通解为y=e^(-∫p(x)dx)∫[e^(∫p(x)dx)]q(x)dx- 欧拉-拉格朗日方程：d/dx(∂L/∂(dy/dx))-∂L/∂y=0，其中L为拉格朗日量5. 泰勒展开公式：- 函数f(x)在x=a处的n阶泰勒展开：f(x)=f(a)+(f'(a)(x-a))/1!+(f''(a)(x-a)^2)/2!+...+(f^n(a)(x-a)^n)/n!，其中f^n(a)为f(x)的n阶导数在x=a处的值这些公式只是微积分中的一部分，它们在解决函数的性质、曲线的切线与极值、曲线下面积等问题中发挥着重要的作用。
微积分公式大全
微积分公式大全1. 极限公式。
$\lim_{x \to a} c = c$。
$\lim_{x \to a} x = a$。
$\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$。
$\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$。
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}$ （其中$\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$）。
2. 导数公式。
$(k)' = 0$。
$(x^n)' = nx^{n-1}$。
$(e^x)' = e^x$。
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$。
$(\sin x)' = \cos x$。
$(\cos x)' = -\sin x$。
$(\tan x)' = \sec^2 x$。
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$。
3. 微分公式。
$d(c) = 0$。
$d(x^n) = nx^{n-1}dx$。
$d(e^x) = e^xdx$。
$d(\ln x) = \frac{1}{x}dx$。
$d(\sin x) = \cos xdx$。
$d(\cos x) = -\sin xdx$。
$d(\tan x) = \sec^2 xdx$。
4. 积分公式。
$\int kdx = kx + C$。
16个微积分公式
16个微积分公式微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的变化规律及其应用。
在微积分中，有许多重要的公式被广泛应用于各种问题的解决中。
本文将介绍16个微积分公式，并分别阐述其含义和应用。
一、导数的定义公式导数是微积分中最基础的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h在这个公式中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
该公式的含义是通过计算函数在极限情况下的变化率来求得导数。
导数的应用非常广泛，包括求函数的极值、判断函数的增减性等。
二、导数的四则运算法则导数的四则运算法则是求导过程中常用的规则，它将导数与函数的四则运算相结合。
具体公式如下：(1) (cf(x))' = cf'(x)(2) (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)(3) (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)(4) (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2这些公式可以通过对函数中的每一项进行求导，并按照四则运算法则进行组合计算。
它们对于求解复杂函数的导数提供了便利。
三、常用导数公式在微积分中，有一些常用的导数公式被广泛应用于各种问题的求解中。
这些公式包括：(1) (x^n)' = nx^(n-1)(2) (e^x)' = e^x(3) (lnx)' = 1/x(4) (sinx)' = cosx(5) (cosx)' = -sinx(6) (tanx)' = sec^2x这些公式可以帮助我们快速求取一些特定函数的导数，从而简化求解过程。
四、高阶导数公式除了一阶导数外，函数的高阶导数也是微积分中的重要概念。
常用微分公式
§1-3 微分公式dx nx n N n =∈-111,。
(3)dcdx =0，其中c 为常数。
(4)(sin x )/=cos x (5)(cos x )/=-sin x另一种表示：① (x n )/=nx n -1 ② /)(n x =1n 11-n x ③ (c )/=0证明：(2)设a 为f (x )=n x 定义域中的任意点，则f /(a )=ax →lim f (x )-f (a )x -a =a x →lim ax a x n n--=a x →lim ])(....)())[((121---++⋅+--n n n n n n n n n n n a a x x a x ax=1)(1-n n a n =1n (n n a -1)=1n (11-n a )(4)设a 为任意实数，f (x )=sin xf (x )-f (a )x -a = sin x -sin a x -a =ax ax a x -+-2cos 2sin2 计算f /(a )= a x →lim f (x )-f (a )x -a =a x →lim (ax a x a x -+-2cos 2sin 2)=cos a 。
(1)(3)(5)自证⇒f (x )+g (x )为可微分的函数。
且d dx (f (x )+g (x ))= d dx (f (x ))+ ddx (g (x ))成立。
另一种表示：(f (x )+g (x ))/=f /(x )+g /(x )证明：令h (x )=f (x )+g (x )，设a 为h (x )定义域中的任一点h /(a )=a x →lim h (x )-h (a )x -a =a x →lim a x a g a f x g x f ---+)()()()( =a x →lim (f (x )-f (a )x -a + g (x )-g (a )x -a )=a x →lim (f (x )-f (a )x -a )+a x →lim (g (x )-g (a )x -a )=f /(a )+g /(a )例：求=+)(35x x dxd？推论：dx d (f 1(x )+f 2(x )+...+f n (x )) = dxx df dx x df dx x df n)()()(21+⋅⋅⋅++(2)设f (x )为可微分的函数。
常用微积分公式大全
常用微积分公式大全微积分是数学的一个重要分支，涵盖了导数、积分、极限等概念和公式。
在学习微积分的过程中，掌握一些常用的微积分公式对于解题和理解概念非常重要。
下面是一些常用的微积分公式的介绍。
1. 导数的基本公式：- 常数函数导数为0：(c)' = 0，其中 c 是常数。
- 幂函数导数公式：(x^n)' = n*x^(n-1)，其中 n 是常数。
- 乘积法则：(f*g)' = f'*g + f*g'，其中 f 和 g 是可导函数。
- 商法则：(f/g)' = (f'*g - f*g')/g^2，其中 f 和 g 是可导函数，并且 g 不等于0。
- 链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)，其中 f 是可导函数，g 是可导函数。
2. 基本积分公式：- 变上限定积分公式：∫(f(x)'dx) = f(x) + C，其中 C 是常数。
- 幂函数积分公式：∫(x^n dx) = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中 n 不等于-1，C 是常数。
- 指数函数积分公式：∫(e^x dx) = e^x + C，其中 C 是常数。
- 三角函数积分公式：∫(sin(x) dx) = -cos(x) + C，∫(cos(x) dx) = sin(x) + C，∫(tan(x) dx) = -ln|cos(x)| + C，C 是常数。
- 分部积分法：∫(f(x)g(x) dx) = f(x)∫(g(x) dx) - ∫(f'(x)∫(g(x) dx) dx，其中 f 和 g 是可导函数。
3. 极限的基本公式：- 夹逼定理：如果对于 x -> a，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 g(x) 和h(x) 的极限都等于 L，则 f(x) 的极限也等于 L。
- 幂函数极限公式：lim(x -> a) (x^n) = a^n，其中 n 是正整数。
微分的计算公式
微分的计算公式微积分是数学的一个重要分支，常常被运用到自然科学和工程学领域中。
微分在微积分中是其中的一个重要概念，它表示了函数在某个点上的斜率或者变化率。
微分运算是微积分中最基本的运算之一，本文将会介绍微分的计算公式，并以例子进行讲解。
首先，我们先来定义微分。
如果有一个函数f(x)，那么f(x)在点x=x₀处的微分df就可以表示成：df = f'(x₀)dx其中f'(x₀)是函数f(x)在点x=x₀处的导数，dx表示自变量x 在取值点x₀处的一个微小变化量。
这个式子的意思是：函数f(x)在x=x₀处的微分df等于函数在x=x₀处的导数与自变量x的微小变化量dx的乘积。
接下来，我们来介绍常见的微分公式。
为了方便讲解，我们把x₀表示成x，也就是说微分是在点x处进行计算的。
1.常数函数的微分如果f(x)是一个常数函数，那么它在任何点的导数都是0，因此f(x)在点x处的微分df等于0。
2.幂函数的微分如果f(x) = xⁿ，那么它在点x处的导数是f'(x) = nxⁿ⁻¹。
因此，在点x处的微分df等于：df = f'(x)dx = n xⁿ⁻¹ dx3.指数函数的微分如果f(x) = aˣ，其中a是大于0且不等于1的常数，那么它在点x处的导数是f'(x) = aˣln a。
因此，在点x处的微分df等于： df = f'(x)dx = aˣlna dx4.三角函数的微分如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。
在点x处的微分df 等于：df = f'(x)dx = cos(x) dx如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
在点x处的微分df等于：df = f'(x)dx = -sin(x) dx以上是微分的一些常见公式，不同的函数有不同的导数公式，计算微分的过程就是根据函数在某个点上的导数来算出微分。
微分公式运算法则
微分公式运算法则一、微分公式概述微分公式是指用于计算函数导数的公式。
微分公式包括常用公式和特殊公式两类。
常用公式包括常数公式、变量公式和常用函数公式等，特殊公式包括指数公式、对数公式、三角函数公式等。
二、微分公式的运算法则计算函数导数时，需要遵循以下几条运算法则：1、常数公式若y=k，则y'=02、变量公式若y=x^n（n为常数），则y'=nx^(n-1)3、常用函数公式若y=f(x)，则y'=f'(x)4、级数公式若y=∑a_nx^n（a_n为常数），则y'=∑na_nx^(n-1)5、指数公式若y=a^x（a为常数），则y'=a^xln(a)6、对数公式若y=ln(x)，则y'=1/x7、三角函数公式若y=sin(x)，则y'=cos(x)若y=cos(x)，则y'=-sin(x)若y=tan(x)，则y'=sec^2(x)三、微分公式的应用微分公式在数学和工程领域有着广泛的应用。
例如，它可以用来计算函数的导数和单位增量，也可以用来求解求最大值和最小值的问题。
此外，微分公式也被广泛用于物理学、化学、生物学等领域。
四、微分公式的发展微分公式在历史上有着悠久的传承。
早在古希腊时期，希腊数学家就已经提出了微分概念并研究出了相应的计算方法。
随着数学理论的发展，微分公式也在不断优化和改进。
例如，在现代数学中，我们已经有了更加精确和高效的计算方法，使得微分公式的计算更加方便和快捷。
五、总结微分公式是用于计算函数导数的公式。
它包括常用公式和特殊公式两类。
计算函数导数时，需要遵循一些运算法则。
微分公式在数学和工程领域有着广泛的应用，并在历史上有着悠久的传承。
在现代数学中，微分公式也得到了进一步的发展和优化。
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(1)dx dx =nx n -1，n ∈N 。
(2)d x dx nx n N n n =∈-111,。
(3)dcdx =0，其中c 为常数。
(4)(sin x )/=cos x (5)(cos x )/=-sin x另一种表示：① (x n )/=nx n -1② /)(n x =1n 11-n x ③ (c )/=0证明：(2)设a 为f (x )=n x 定义域中的任意点，则f /(a )=ax →lim f (x )-f (a )x -a=a x →lim a x a x n n--=a x →lim ])(....)())[((121---++⋅+--n n n n n n n n n n n a a x x a x ax =1)(1-n n a n =1n (n n a -1)=1n (11-n a )(4)设a 为任意实数，f (x )=sin xf (x )-f (a )x -a = sin x -sin a x -a =ax ax a x -+-2cos 2sin2 计算f /(a )= a x →lim f (x )-f (a )x -a =a x →lim (ax a x a x -+-2cos 2sin 2)=cos a 。
(1)(3)(5)自证(1)f (x )与g (x )为可微分的函数。
⇒f (x )+g (x )为可微分的函数。
且d dx (f (x )+g (x ))= d dx (f (x ))+ ddx (g (x ))成立。
另一种表示：(f (x )+g (x ))/=f /(x )+g /(x )证明：令h (x )=f (x )+g (x )，设a 为h (x )定义域中的任一点h /(a )=a x →lim h (x )-h (a )x -a =a x →lim a x a g a f x g x f ---+)()()()(=a x →lim (f (x )-f (a )x -a + g (x )-g (a )x -a )=a x →lim (f (x )-f (a )x -a )+a x →lim (g (x )-g (a )x -a )=f /(a )+g /(a )例：求=+)(35x x dx d？推论：dx d (f 1(x )+f 2(x )+...+f n (x )) = dxx df dx x df dx x df n )()()(21+⋅⋅⋅++(2)设f (x )为可微分的函数。
⇒cf (x )为可微分的函数。
且d dx (cf (x ))=c df (x )dx ，特别c = -1时，d dx (-f (x ))=-df (x )dx 。
(3)d dx f x g x df x dx dg x dx (()())()()-=-，另一种表示：(f (x )-g (x ))/=f /(x )-g /(x ) (4) d dx (c 1f 1(x )+c 2f 2(x )+...+c n f n (x ))= c 1d dx (f 1(x ))+c 2d dx (f 2(x ))+...+c n ddx (f n (x ))例如：(1)ddx (a n x n +a n -1x n -1+...+a 1x +a 0) (2)(3x 5-2x 3+45x )/ =？(5)f (x )，g (x )为可微分的函数。
⇒f (x )g (x )为可微分的函数。
且 d dx (f (x )⋅g (x ))= d dx (f (x ))⋅g (x )+f (x )⋅ ddx (g (x )) 另一种表示：(f (x )⋅g (x ))/=f /(x )⋅g (x )+f (x )⋅g /(x ) 证明：例如：试求ddxx x x x (()())?223321+--+=下面我们要推导例2的一般情形：(a)d dx f x f x f x (()()())123++=df x dx f x f x f x df x dx f x f x f x df x dx 123123123()()()()()()()()()++(b)d dx f f f df dx f f f f dfdxn n n ()121212⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅(逐次轮流微分) (c)如果f f f f n 12==⋅⋅⋅=，则可得d dx f x n f x df x dxn n ((())(())()=-1例如：试求()x x 2523++的导数。
[例題1] 证明dx dxrx r Q rr =∈-+1,。
(6)若f (x )，g (x )在x =a 可微分，且g a ()≠0，则d dx f x g x f a g a f a g a g a x a (()())|()()()()(())//==-2。
因此可得：(()())()()()()(())///f x g x f x g x f x g x g x =-2若f (x )=1，则(1g (x ))/= )())((1/2x g x g ⋅- 例如：试求x x x 2211-++的导函数。
例如：求(1x 2+x +1)/=？例如：设r 为负有理数，证明dx dxrx rr =-1。
结论：若设r 为有理数，则dx dxrx rr =-1。
[例題2] 求下列各函数的导函数：(1) (x 2+2x )(x 2+3x +2) (2) (x -2)3(x 2-1) (3)(x 2+x +1)(4x 3+x -4)(x +3)(3)3x 3+2x +1 (4)(x +1)2(x -1)3Ans ：(1)4x 3+15x 2+16x +4 (2)(x -2)2(5x 2-4x -3)(3)(2x +1)(4x 3+x -4)(x +3)+(x 2+x +1)(12x 2+1)(x +3)+ (x 2+x +1)(4x 3+x -4)(4)-3(3x 2+2)(x 3+2x +1)2 (5)-(x +1)(x +5)(x -1)4[例題3] 请利用(sin x )/=cos x ，(cos x )/=-sin x 的结果证明：(tan x )/=sec 2x ，(sec x )/=sec x ⋅tan x(練習1.) 试求下列的导函数：(1)x 3-6x 2+7x -11 (2)(x 3+3x )2(2x +1) (3) (x +1)(2x 2+2)(3x 2+x +1) (4)(2x 3+x +1)5 Ans ：(1)3x 2-12x +7 (2)2(x 3+3x )(3x 2+3)(2x +1)+2(x 3+3x )(3) (2x 2+2)(3x 2+x +1)+(x +1)⋅(4x )⋅(3x 2+x +1)+ (x +1)(2x 2+2)⋅(6x +1) (4) 5(2x 3+x +1)4⋅(6x 2+1) (練習2.) 求下列各函数的导函数。
(1)f (x )=x 3+x +12x 2+x +3 (2)f (x )= 3x x 2+3x +1 (3)f (x )= 14x 3+3x 2+2x +1 (4)f (x )=1x 3+2x +1Ans ：(1)2x 4+2x 3+7x 2-4x +2(2x 2+x +3)2(2)-3x 2+3(x 2+3x +1)2(3) -1(4x 3+3x 2+2x +1)2⋅(12x 2+6x +2) (4)-3x 2-2(x 3+2x +1)2 (練習3.) 证明d dx x x (cot )csc =-2，ddxx x x (csc )csc cot =-(1)合成函数：(a)设f x x x g y y (),()=++=231，则g f x x x (())=++231。
x x x x x f g −→−++−→−++22311，()()g f x x x =++231 所以()()g f x 为x 的函数。
(b)g f f g ≠(2)连锁法则：既然()()g f x 为x 的函数，我们就可以讨论ddxg f x ()()? = 例： 设f x x g x y (),()=+=232，则()()(())()g f x g f x x ==+232利用d dx f x n f x df x dxn n ((())(())()=-1，可得ddxx x x (())()2322322+=+⋅=d dy g y df x dx y x ()|()=+⋅22上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。
定理：(连锁法则 Chain Rule)若f (x ),g (y )都是可微分的函数，则合成函数()()g f x 亦可微分，而且d dx g f x dg y dy df x dx g f x g f x f x y f x (()())()|()()()(())()()/// =⋅==或。
[例題4] 求=++/32)1(x x ？一般情形：n N ∈，f (x )可微分，求/))((n x f =?[例題5] 求f (x )=sin 2x 的导函数。
Ans ：2sin x ⋅cos x[例題6] 求下列函数的导函数：(1)f x x ()tan =3 (2)x x f 5csc )(=(3)f x x ()tan =-12Ans ：(1)3tan 2x ⋅sec 2x (2)-5csc5x ⋅cot5x (3)22211sec xx x --⋅-(練習4.) 设n 为正整数而f (x )为可微分的函数，试用连锁律去计算(f (x ))n 的导函数。
Ans ：n (f (x ))n -1⋅f /(x )(練習5.) 求d dx (524)53(+-+x x x =？Ans ：15 54)53(24-+-+x x x ⋅(4x 3+6x -1)(練習6.) []()?/x x 2231++= Ans ：3213)12(2++⋅+x x x(練習7.) 求下列各小题y /(1)y x x =sin (2)y x =cos 3 (3)y x =+521cos()(4)y x x =sin cos4 (5)y x =+12sinAns ：(1)sin cos x x x + (2)-32cos sin x x (3)-+1021sin()x(4)cos cos sin sin x x x x 444- (5)sin cos sin x xx12+ (練習8.) 计算下列各小题：(1)(x ⋅2x -1 )/=？ Ans ：3x -12x -1(2) d dx (2x +13x -5)=？ Ans ：6x -232⋅3x -5⋅(3x -5)(3)求f (x )=x 2+13x +1的导函数。