福建省泉州市2015届高三单科质检数学理试题(扫描版含答案)

2015届泉州市普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．A 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．B 9．D 10．B 部分试题考查意图解析：题2 用代数方法运算量偏多，用几何直观判断比较简单. 向量首先属几何范畴，思考向量问题的解决方法，应首先考虑从几何直观入手；引入坐标表示向量后，才使向量进入代数范畴，体现坐标法思想这一课程本质.本题的位置排序，意在检测解题的数形结合意识，检查对课程价值的认识和对课程本质的把握是否到位.题5 本题交汇了线线位置关系和充要条件这两个几乎每卷必考的重要知识点.这种题型在一般情况下，对应线线平行（或垂直），参数m 有两解，受思维定势影响，很可能选择错误选项A.题目的设置意在对思维严谨性的考查.题8 C 到渐近线0bx ay -=的距离为圆的半径r ，C 到渐近线0bx ay +=的距离d ，由劣弧AB 所对的圆心角为120 ，得2r d =，即32|3|a b a b +=-，再分两种情况分别求出离心率.本题综合性强，考查了双曲线的渐近线、,,,a b c e 关系性质，点线距离公式，绝对值含义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合意识、函数与方程思想、分类与整合思想等，对考生心理素质的要求比较高.题9 该题比较有创意，多思少算的典型试题. 本题貌似四个解三角形问题，其实并不一定要求对各选项都尝试具体求解出BD ，如选项,B C ，易判断可以确定梯形，自然也就能确定BD 长度.题10 该题关键在于破解“Q P ⊆”的含义：“Q P ⊆”⇔“数对(,)a b 满足||||2a b +≤”.再其次就是认识圆心可行域{(,)|||||2}a b a b +≤.该题综合考查集合，直线与直线、直线与圆的位置关系，绝对值的含义，线性规划等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想、等价与转化思想，考查创新意识与应用意识.二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11． 1i -； 12． 2425-； 13．16+ 14．121n --； 15． 112k k ≥≤或. 部分试题考查意图解析：题13 该题以三视图为背景，通过由三视图想象实际几何体及其主要特征，重点考查空间想象能力与推理论证能力.题14 该题通过探求123(),(),()f x f x f x ，发现规律，猜想()n f x 的表达式，考查合情推理中的归纳推理，同时通过对“已知数列前几项，写出数列的一个通项公式”问题的考查，体现对数列概念的考查.题15 ()10()|1|||f x x k x f x x x k ----≤⇔--≤-.首先从方法的决策上体现对数形结合解题意识的考查；其次从对分段函数2231,1()|1|1,1x x x f x x x x x ⎧-+-≤⎪--=⎨->⎪⎩以及,,||,x k x k y x k k x x k-≥⎧=-=⎨-<⎩的探求体现对分类与整合思想及函数的概念、绝对值的含义的考查；再其次通过当12k =和1k =时，折线与曲线位置关系的判断，体现对函数的导数、导数的几何意义的考查，也体现了对数学知识的应用意识的考查.解题的分析与探究过程，体现对推理论证能力和运算求解能力，以及函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等的考查.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等. 满分13分.解：（Ⅰ）因为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项和公差都为1的等差数列， 所以1(1)1n S n n n=+-⨯=，2n S n =. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ①当1n =时，111a S ==；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分②当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 由①②得，21(*)n a n n =-∈N . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21n a n =-，所以212212n an n n b a n -=+=-+，所以352112...(12)(32)(52)(212)n n n T b b b n -=+++=++++++-+3521[135(21)](2222)n n -=++++-+++++ ．．．．．．．8分 22(14)14n n -=+-. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 2122233n n +=+-. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分17．本小题主要考查三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识，考查推理论证能力及运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等.满分13分.解：（Ⅰ）11()sin sin sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭， ．．．2分 所以函数()f x 的最小正周期2T =π. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 当232x πππ-≤+≤，即5[,]66x π∈-π时，函数()f x 单调递增. ．．．．．．．5分 所以函数()f x 的单调递增区间为：()52,266Z k k k π⎡⎤π-ππ+∈⎢⎥⎣⎦. ．．．．．．．．．6分（Ⅱ）已知()sin 3f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 又因为0A <<π，4333A πππ<+<， 所以233A π+=π，即3A π=. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分因为a =，所以由正弦定理，可得sin sin 2A aB b ==，sin 1B =， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 又因为0B <<π，所以2B π=. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 说明：求单调区间的表达方式，体现《考试说明》对三角函数性质以及周期性的考查要求；涉及求角的问题，一定要关注角的范围的限制这一采分点的体现.18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系，空间向量的应用等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）∵ 1CC ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC ，∴1BC CC ⊥. ．．．．．．．．．1分在ABC ∆中，2AB =，1AC =，60BAC ∠= ，∴222||||||2||||cos 3BC AB AC AB AC BAC =+-∠=，则222||||||AB BC AC =+，∴090BCA ∠=，BC AC ⊥. ．．．．．．．．．2分 又∵AC ⊆平面11AAC C ，1CC ⊆平面11AAC C ，1AC CC C = ，∴BC ⊥平面11AAC C . ．．．．．．．．．3分 方法一：（Ⅱ）由（Ⅰ）知11,CC CA CC CB ⊥⊥，AC CB ⊥.如图，以C 以原点，分别以1,,CA CC CB 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. ．．．．．．．．．4分则有(1,0,0)A,B ，1(1,1,0)A，1(0,1B ,1(0,1,0)C ，1(,0,0)2D .∴111((,1,0)22DB DA =-= . ．．．．．．．．．5分 设(,,0)F x y ,则(1,,0)AF x y =- ，1(,1,0)FC x y =-- . ∵12AF FC =，∴12,2(1),x x y y -=-⎧⎨=-⎩解得1,32,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12(,,0)33F,111(,33FB =- . ．．．．．．．．．6分 若令1FB = 1mDB nDA + ，可解得11,3m n ==， ∴存在11,3m n ==，使得1FB = 1mDB nDA + ， ∴向量1FB 与1,DB DA 共面. ．．．．．．．．．8分 又∵1B F ⊄平面1A BD ,∴1B F 平面1A BD . ．．．．．．．．．9分（Ⅲ）111((,1,0)22DB DA =-=，CB = . 设平面1A BD 的一个法向量(,,)x y z =n ，直线BC 与平面1A BD 所成的角为θ. 由100DB DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得102102x x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得12z x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令x =1A BD的一个法向量=n ， …………11分所以1sin 4CB CB θ⋅===⋅n n . 故直线BC 与平面1A BD 所成的角的正弦值为14. …………13分 方法二：（Ⅱ）连结1AB ，交1A B 于点G ，连结EG .则有1AG GB =. ………4分由题意，可知11AD AC ，∴1111,ADE C A E DAE AC E ∠=∠∠=∠， ∴11ADE C A E ∆∆ ， ∴11112AE AD EC C A ==， 又12AF FC =， ∴1AE EF FC ==， ∴1B FEG ， ………………6分又∵1B F ⊄平面1A BD ,EG ⊂平面1A BD , ∴1B F平面1A BD . ……………7分（Ⅲ）由（Ⅰ）知11,CC CA CC CB ⊥⊥，AC CB ⊥.如图，以C 以原点，分别以1,,CA CC CB 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. ．．．．．．．．．8分则有B ，1(1,1,0)A ，1(,0,0)2D ，111((,1,0)22DB DA =-=，CB = …………9分设平面1A BD 的一个法向量(,,)x y z =n ，直线BC 与平面1A BD 所成的角为θ. 由100DB DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得102102x x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得12z x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令x =1A BD的一个法向量=n ， …………11分所以1sin 4CBCBθ⋅===⋅n n.故直线BC 与平面1A BD 所成的角的正弦值为14. …………13分(Ⅱ)的证法三：取11AC 的中点H ，连结1,,FH B H DH .则有1DH BB ， ∴四边形1DHB B 为平形四边形， ∴1B HBD ，又1B H ⊄平面1A BD ,BD ⊂平面1A BD , ∴1B H平面1A BD . …………4分由题意，可知11AD AC ，∴1111,ADE C A E DAE AC E ∠=∠∠=∠， ∴11ADE C A E ∆∆ ， ∴11112AE AD EC C A ==， 又12AF FC =，∴1AE EF FC ==. 又11A H HC =， ∴1FHEA ，又FH ⊄平面1A BD ,1EA ⊂平面1A BD,∴FH 平面1A BD ， …………5分 又∵1,FH B H ⊂平面1B FH ，1FH B H H ＝， ∴平面1B FH平面1A BD . ．．．．．．．．．6分 又1B F ⊂平面1B FH ， ∴1B F平面1A BD . ………………7分19．本小题主要考查椭圆的方程和性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分13分.解：（Ⅰ）由题意，得b =，所以223a c -=. …………① …………1分又12c e a ==，得2a c =. …………② …………2分 由①②，解得 2.a = …………3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. …………4分（Ⅱ）①当直线l 过原点时，由椭圆的对称性，可知AP BQ =，即1APBQ=. ……5分 ②当直线l 不过原点时，通过平移直线l ，可直观感知1APBQ=. ………6分 以下给出具体的证明:由（Ⅰ）得b a =l 的方程：2y x n =+. …………7分令0y=，得x =，故(,0)P ； 令0x =，得y n =， 故(0,)Q n .故PQ 中点的横坐标为. …………8分联立方程组222143y x n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，， …………9分 消去y，得223260xn ++-=. …………10分令221212(26)0n n ∆=-->，得n <<当n <<l 与椭圆C 相交于,A B ， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则123x x n +=-，1223x x n +=-， 所以线段AB的中点的横坐标为3n -. …………11分 又因为线段PQ的中点的横坐标为3n -，所以1APBQ =． …………12分 综合①②可知，APBQ恒为定值，且定值是1． …………13分20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想等．满分14分.解：（Ⅰ）因为()211()()h x f x g x x x =-=-，所以()2312h x x x '=-+. ……1分 因为0x >，所以：解()320xh x x -'=>，得02x <<；解()320xh x x-'=<，得2x >. ……2分所以()h x 的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞. ……3分（Ⅱ）因为0a b <<，所以11ln ln ln bb aaS dx x b a x===-⎰，221111bb a aS dx x x a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰， ……5分 1211ln ln S S b a b a-=-+-.（ⅰ）因为2a b +=，0a b <<，所以2b a =-，01a <<，且()1211ln 2ln 2S S a a a a-=--+--． ……6分 令()()11ln 2ln 2t a a a a a=--+--()01a <<． 则()()22111122t a a a a a '=-++--()()222412a a a -=-. ……7分 因为当01a <≤时，()'0t a ≥，所以()t a 在区间(0,1]上单调递增. ……8分 所以，当01a <<时，()()10t a t <=，从而12S S <． ……9分 （ⅱ）证明：令()11ln ln m x x b x b =--++1[,1]x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, ……10分 则()22111x m x x x x -+'=-+=，()11ln 1m b b =+-，112ln m b b b b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为当1[,1]x b∈时，()210x m x x-+'=≥， 所以()m x 在区间1[,1]b内单调递增. …① ……11分 令()()1ln 11p x x x x =+-≥，则()221110x p x x x x-'=-=≥， 所以()p x 在区间[1,)+∞单调递增， 所以，当1b >时，()11ln 1()(1)0m b p b p b=+-=>=. …② ……12分 令()()12ln 1q x x x x x =-+≥，则()()22212110x q x x x x -'=--=-≤， 所以()q x 在区间[1,)+∞单调递减，所以112ln ()(1)0m b b q b q b b⎛⎫=-+=<= ⎪⎝⎭． …③ ……13分 由①②③可知，所以函数()m x 在区间1,1b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，有且仅有一个零点,即存在唯一的1,1x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0m x =．综上可知，对于任意的()1,b ∈+∞，总存在唯一的1,1a b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得12S S =.…14分21．（1）选修4—2:矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的运算等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想.满分7分 解：(Ⅰ) 因为矩阵10a b -⎛⎫=⎪⎝⎭A 的与特征值2λ=对应的一个特征向量为11a ⎛⎫= ⎪⎝⎭由题意，所以1112011a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……1分整理，得122a b -=⎧⎨=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩， 所以3120A -⎛⎫= ⎪⎝⎭. ……2分因为31det 220-==A ，所以1102312-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A ． ……3分 （Ⅱ）矩阵1-A 对应的变换为1,232x y y x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=-+⎪⎩， ……5分整理，得2,3y x x x y '=⎧⎨''=-⎩……（*）将（*）代入210x y -+=，得()23210x y x '''--+=，化简，得4210x y ''-+=. ……6分故所求的曲线方程为:4210x y -+=. ……7分21（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与参数方程的基础知识，考查运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.满分7分. 解：(Ⅰ)当0ρ≠时，由4cos ρ=θ得24cos ρ=ρθ，因为222cos ,x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩，代入24cos ρ=ρθ得224x y x +=. …1分 当0ρ=时，cos 0θ=有解，说明曲线4cos ρ=θ过极点， 因为224x y x +=表示的曲线过坐标原点，所经224x y x +=也适合0ρ=的情况. …2分综上可知，曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. ……3分（Ⅱ）将11,22x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入方程224x y x +=，得210240t t -+=. ……4分因为1004240∆=-⨯>，所以直线l 与曲线C 相交. ……5分 设直线l 与曲线C 的交点,A B 对应的参数值分别为12,t t ，则线段AB 的中点G 对应的参数值1252t t t +==. ……6分故有571,2222x y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩所以线段AB中点的坐标为7(,22-． …………7分 （Ⅱ）的解法二：方程11,22x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消参得直线ly--=. ……4分因为圆心(2,0)C到直线l的距离2d==<，所以直线l与曲线C相交. ……5分过圆心(2,0)C且与直线l垂直的直线'l为：20x-=. ……6分解方程组0,20,yx--=-=⎪⎩得线段AB中点的坐标7(,2. ……7分21（3）选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.满分7分.解：方法一：（Ⅰ）由柯西不等式，可得(()()2941213x x≤+-+-=，…2分当且仅当2213x=时，等号成立.所以M=…………3分（Ⅱ）①当3x≤-时，原不等式可化为2213x--≥，解得152x≤-；…4分②当31x-<<时，原不等式可化为1313413x x x x-++=-++=≥，此时不等式无解；…5分③当1x≥时，原不等式可化为2213x+≥，解得112x≥. …6分综合①②③，可得原不等式的解集为151122x x x⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或．…………7分方法二：（Ⅰ）函数()f x={|12}x x≤≤，所以011x≤-≤.令21cos(0)2xπαα-=≤≤，则221(1)sinx xα-=--=，…1分所以()3cos 2sin )f x αααα=+=+ …2分)αβ+（其中β为满足cos ββ==的锐角）. 因为02πβαββπ<≤+≤+<，所以，当且仅当2παβ+=时，2221sin 13x β=+=,函数()f x…3分 （Ⅱ）令()13g x x x =-++，则22,3,()4,31,22, 1.x x g x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩…5分令()13g x =解得152x =-或112x =. …6分 根据函数()y g x =与13y =的图象，易得原不等式的解集为151122x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． …7分方法三：（Ⅰ）函数()f x ={|12}x x ≤≤，令m =n =则()32f x m n =+，且221(0,0)m n m n +=≥≥. …1分看成关于,m n 的方程，则问题转化为：当直线32()0m n f x +-=与四分之一圆弧221(0,0)m n m n +=≥≥相切时，()f x 取到最大值. …2分此时，圆心(0,0)到直线32()0m n f x +-=的距离等于半径1，1=， 所以，函数()f x的最大值M =…3分 （Ⅱ）略.。