2018年高考数学(理)二轮复习教师用书：第3部分 考前增分策略 专题1 8.推理证明、复数、算法 Word版含答案
2018年高考数学理二轮复习教师用书：第3部分 考前增分策略 专题1 2-函数与导数 含答案 精品
2.函数与导数■要点重温…………………………………………………………………………· 1．几种常规函数：(1)一次函数：f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．当b ＝0时，f (x )为奇函数．[应用1] 若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为1，则f (x )的解析式为________．[答案] f (x )＝23x ＋53，或f (x )＝－23x ＋73.(2)二次函数：①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)；④区间最值：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．[应用2] 若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是[2,2b ]，则b ＝________.【导学号：07804160】[答案] 2[应用3] 设函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋1在区间(－∞，4)上是减函数，则a 的取值范围是________． [答案] a ≤－3(3)三次函数的解析式的两种形式： ①一般式：f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)； ②零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(x －x 3)(a ≠0)．[应用4] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图2，则b 的取值范围是________．图2[答案] b ＜0[应用5] 若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为________． [答案] a >2或a <－1(4)反比例函数：y ＝cx(x ≠0)平移⇒y ＝a ＋cx －b(x ≠0)(中心为(b ，a ))．(5)分段函数：分段处理，有时结合函数图象来研究问题．[应用6] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a＝________. [解析] 当a ＜0时，－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，a ＝－34；当a ＞0时，－(1＋a )－2a ＝2(1－a )＋a ，a ＝－32(舍)；综上可知a ＝－34.[答案] －34[应用7] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2， 若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________.【导学号：07804161】[答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)[应用8] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x －2a ＋2，x <1log a x ，x ≥1 是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是_______．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，32(6)指数函数、对数函数 ①指数与对数的关系：a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，a ≠1，N >0) ，换底公式log a b ＝log c blog c a； ②对数的运算法则：log a M ＋log a N ＝log a MN ；log a M －log a N ＝log a M N；③解对数函数问题时，注意到真数与底数的限制条件(真数大于0，底数大于0且不等于1)；④字母底数范围不明确时需分类讨论．[应用9] 2log 32－log 3329＋log 38－5log 53＝________.[答案] －1[应用10] 已知函数f (x ) ＝log a (x ＋1)的定义域和值域都是[0,1]，则实数a 的值是________． [答案] 2[应用11] 设a ＞0，a ≠1，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，则不等式log a (x －1)＞0的解集为________．[解析] 因为x 2＋x ＋1有最小值，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，所以0＜a ＜1，所以log a (x －1)＞0＝log a 1⇔0＜x －1＜1，解得1＜x ＜2. [答案] (1,2)(7)对勾函数： f (x )＝x ＋a x①函数f (x )是奇函数；②单调性： a ＜0时，区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为增函数； a ＞0时，在(0，a ]，[－a ，0)递减，在(－∞，－a ]，[a ，＋∞)递增；③在[c ，d ]上的最值：当等号能取到时，利用基本不等式求解；当等号不能取到时，利用单调性．[应用12] 已知a ＞0，求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a的最小值．[答案] 0＜a ≤1时，y min ＝2；a ＞1时，y min ＝a ＋1a2．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)． (3)对称变换：①函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；②函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0 (y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称． [应用13] 已知函数f (x )＝e|ln x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )[解析] ∵f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，1x，x ≥1，又y ＝f (x ＋1)的图象可由y ＝f (x )向左平移1个单位得到， 所以结合选项可知A 正确． [答案] A 3．函数的常用性质研究函数的性质时，树立定义域优先的原则． (1)函数的单调性与最值①判断函数单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法、复合函数法；②求函数最值(值域) 的常用方法：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、有界函数法．[应用14] 已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是x 的减函数，则a 的范围为________． [答案] (1,2)[应用15] 函数f (x )＝e x－x ＋1(e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是________． [答案] e (2)函数的对称性①轴对称：若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则图象关于x ＝a ＋b2对称. 特别地，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．②中心对称：若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，则图象关于(a,0)成中心对称. 特别地，若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． [应用16]f (x )＝(1＋x ) 1－x1＋x是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)． [答案] 非奇非偶[应用17] 函数f (x )＝12－x 的图象与函数g (x )＝2sin π2x (0≤x ≤4)的图象的所有交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (x 1＋x 2＋…＋x n )＝________.【导学号：07804162】[解析] 如图，画出函数f (x )和g (x )的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.[答案] 12(3)函数的周期性①f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ； ②f (x ＋a )＝1f x(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a ；③f (a ＋x )＝f (x ＋b )，则周期T ＝|a －b |.[应用18] 设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.[答案] －1 (4)函数的零点函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，求f (x )＝g (x )根的个数时，可在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理．[应用19] 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )＋1，且x ∈[0,1]时，f (x )＝4x，x ∈(1,2)时，f (x )＝fx，令g (x )＝2f (x )－x －4，x ∈[－6,2]，则函数g (x )的零点个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9[解析] ∵x ∈[0,1]时，f (x )＝4x，∴f (1)＝4， ∴x ∈(1,2)时，f (x )＝f x＝4x，∵g (x )＝2f (x )－x －4，x ∈[－6,2]， 令g (x )＝2f (x )－x －4＝0，即f (x )＝12x ＋2.∵函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )＋1，即自变量x 每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，分别画出函数y ＝f (x )在x ∈[－6,2]，y ＝12x ＋2的图象，∴y ＝f (x )在x ∈[－6,2]，y ＝12x ＋2有8个交点，故函数g (x )的零点个数为8个．故选C. [答案] C[应用20] 已知定义在R 上的函数f (x )满足：(1)f (x )＋f (2－x )＝0，(2)f (x －2)＝f (－x )，(3)在[－1,1]上表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2x ∈[－1，0]cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x x ，1]，则函数f (x )与函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤01－x x >0的图象在区间[－3,3]上的交点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 由(1)f (x )＋f (2－x )＝0可得f (x )关于(1,0)对称，(2)f (x －2)＝f (－x )可得f (x )关于直线x ＝－1对称，作出示意图， 知函数f (x )与函数g (x )有6个交点．][答案] B4．导数在研究函数性质中的应用(1)导数几何意义：k ＝f ′(x 0)表示曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率．注意过某点的切线(即使点在曲线上)不一定只有一条．[应用21] 过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程为________． [解析] 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0 ＝3x 20－2. ∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)． 又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)， 整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1，或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)(x ＋12)，即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0. [答案] x －y －2＝0 或5x ＋4y －1＝0 (2)求函数单调性的步骤：明确函数y ＝f (x )的定义域⇒求导数⇒解不等式f ′(x )>0得增区间(解不等式f ′(x )<0得减区间)．[应用22] 函数f (x )＝1x ln x(x >0且x ≠1)在________上是减函数，在________上是增函数.【导学号：07804163】[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e[应用23] 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a的取值范围为________．[解析] 由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， 所以2a ≥83，即a ≥43.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ (3)求函数极值、最值的步骤：①求导；②变形；③求解；④列表；⑤作答． 特别提醒：①导数为零的点并不一定是极值点， f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要不充分条件； ②给出函数极大(小)值的条件，既要考虑f ′(x 0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(或“左负右正”)．[应用24] 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧ f＝3＋2a ＋b ＝0， ①f ＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时， f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时， f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7. [答案] －7(4)利用导数解决不等式问题的思想①证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，再证明h (x )max <0. ②不等式恒成立问题可利用分离参数法或直接求含参数的函数的最值．[应用25] 设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x －2 017)2f (x －2 017)－4f (2)>0的解集为( ) A ．(2 014，＋∞) B ．(0,2 014) C ．(0,2 019)D ．(2 019，＋∞)[解析] 由2f (x )＋xf ′(x )>x 2且x >0， 得2xf (x )＋x 2f ′(x )>x 3>0.令g (x )＝x 2f (x )(x >0)，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增．因为g (2)＝4f (2)，g (x －2 017)＝(x －2 017)2f (x －2 017)，所以不等式(x －2 017)2f (x －2 017)－4f (2)>0等价于g (x －2 017)>g (2)，所以x －2 017>2，解得x >2 019，故选D.] [答案] D■查缺补漏…………………………………………………………………………· 1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( )【导学号：07804164】A ．f (x )＝－xB ．f (x )＝1x2C ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝－cos xB [对于A ，偶函数与单调递减均不满足；对于B ，符合题意；对于C ，不满足单调递减；对于D ，不满足单调递减，故选B.]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，f x ，0<x <1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1232的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．12D ．－12C [∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1232<1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＝f (2-12)， 又2－12<1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＝f (2-12) ＝f (212)＝log 2212＝12.]3．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A.329B ．2－ln 3C ．4＋ln 3D ．4－ln 3D [由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形如下图中的阴影部分所示：其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，B (1,1)，C (3,3)，所以阴影部分的面积S ＝⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1y d y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 2－ln y ⎪⎪⎪31＝4－ln 3，故选D.]4．函数y ＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x－1的图象大致为( )A B C DD [y ＝f (x )＝2xsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x－1＝2xcos 6x4x－1，f (－x )＝2－x－6x4－x－1＝2xcos6x 1－4x ＝－f (x )是奇函数，排除A ，又在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π12上，f (x )>0，排除B ，当x →＋∞时，f (x )→0，排除C ，故选D.]5．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )【导学号：07804165】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)B [当0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，在0<x ≤12内它的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫log a 12，＋∞，而y ＝4x的值域为(1,2]，所以此时有2<log a 12⇔log a a 2<log a 12，∴a 2>12，解得22<a <1；当a >1时，y ＝log a x 是增函数，在0<x ≤12内它的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，log a 12，而y ＝4x的值域为(1,2]，所以此时有log a 12<log a 1＝0，显然不符合题意，综上22<a <1.]6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12恒成立，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈(－2,0)时，f (x )＝( ) A ．2＋|x ＋1| B ．3－|x ＋1| C ．|x －2|D ．x ＋4B [∵∀x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， ∴f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是最小正周期为2的函数．令0≤x ≤1，则2≤x ＋2≤3，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ， ∴f (x ＋2)＝x ＋2， ∴f (x )＝x ＋2，x ∈[0,1]， ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (x )＝－x ＋2，x ∈[－1,0]， 令－2≤x ≤－1， 则0≤x ＋2≤1，∵f (x )＝x ＋2，x ∈[0,1]， ∴f (x ＋2)＝x ＋4，∴f (x )＝x ＋4，x ∈[－2，－1]，当－2<x <0时，函数的解析式为：f (x )＝3－|x ＋1|.]7．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图3所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：图3①对于任意一个圆O ，其“优美函数“有无数个”；②函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y ＝f (x )是“优美函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形. 其中正确的命题是：( ) A ．①③ B ．①③④ C ．②③D ．①④A [对于①，过圆心的任一直线都可以满足要求，所以正确； 对于②，可以做出其图象，故不能是某圆的优美函数；对于③，只需将圆的圆心放在正弦函数的图象的对称中心上即可，所以正弦函数是无数个圆的优美函数；对于④，函数是中心对称图形时，函数是优美函数，但是优美函数不一定是中心对称，如图所示：故选A.]8．已知y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，当x ≠0时，f ′(x )＋f xx>0，则关于x 的函数g (x )＝f (x )＋1x的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．0或2C [因为函数g (x )＝f (x )＋1x，可得x ≠0，所以g (x )的零点跟xg (x )的非零零点是完全一样的， 故我们考虑xg (x )＝xf (x )＋1的零点， 由于当x ≠0时，f ′(x )＋f xx>0， ①当x >0时，(xg (x ))′＝(xf (x ))′＝xf ′(x )＋f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋f x x >0，∴在(0，＋∞)上，函数xg (x )单调递增．又f (x )在R 上可导，∴当x ∈(0，＋∞)时，函数xg (x )＝xf (x )＋1>1恒成立，因此，在(0，＋∞)上，函数xg (x )＝xf (x )＋1没有零点． ②当x <0时，因为(xg (x ))′＝(xf (x ))′＝xf ′(x )＋f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋f x x <0，故函数xg (x )在(－∞，0)上是递减函数，函数xg (x )＝xf (x )＋1>1恒成立，故函数xg (x )在(－∞，0)上无零点．综上得，函数g (x )＝f (x )＋1x在R 上的零点个数为0.]9．若函数f (x )＝ln(x 2＋ax ＋1)是偶函数，则实数a 的值为________.【导学号：07804166】0 [由题意知，f (x )＝ln(x 2＋ax ＋1)为偶函数，即ln(x 2－ax ＋1)＝ln(x 2＋ax ＋1)，即x 2－ax ＋1＝x 2＋ax ＋1，显然a ＝0.] 10．若偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.3 [因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3.]11．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________． (－2,2) [因为f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．因为f (x )<0，f (2)＝0.所以f (|x |)<f (2)． 又因为f (x )在(－∞，0]上是减函数， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以|x |<2，所以－2<x <2.]12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≥0，x 2－ax ，x <0.若f (x )的最小值是a ，则a ＝________.－4 [若a ≥0，函数的值域为(0，＋∞)，不符合题意；若a <0，则函数的最小值为1＋a 或－a 24.所以1＋a ＝a 或－a 24＝a ，解得a ＝－4.]13．已知函数f (x )＝x 3＋x ，函数g (x )满足g (x )＋g (2－x )＝0，若函数h (x )＝g (x )－f (x －1)有10个零点，则所有零点之和为________．10 [易知函数f (x )为奇函数，其对称中心为(0,0)，所以函数y ＝f (x －1)的对称中心为(1,0)．由函数g (x )满足g (x )＋g (2－x )＝0，知函数g (x )的对称中心为(1,0)，函数h (x )＝g (x )－f (x －1)有10个零点， 即函数y ＝g (x )与y ＝f (x －1)有10个交点，并且(1,0)对称，所以函数h (x )＝g (x )－f (x －1)有10个零点，则所有零点之和为10.]14．已知函数f (x )＝a x ＋x a －⎝⎛⎭⎪⎫a －1a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)证明：当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )没有零点(提示：ln 2≈0.69) [解] (1)因为f (x )＝a x ＋x a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ln x ＝1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋a 2x －a 2－x ，所以f ′(x )＝x ＋x －a 2ax 2.因为x >0，所以当x ∈(0，a 2)时，f ′(x )<0，当x ∈(a 2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以，函数f (x )的单调递增区间为(a 2，＋∞)，单调递减区间为(0，a 2). 当x ＝a 2时，f (x )取得极小值f (a 2)＝1a[a 2＋1－(a 2－1)ln a 2]．(2)证明：由(1)可知：当x ＝a 2时，f (x )取得极小值，亦即最小值．f (a 2)＝1a[a 2＋1－(a 2－1)ln a 2]，又因为12≤a ≤2，所以14≤a 2≤4.设g (x )＝x ＋1－(x －1)ln x ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤x ≤4，则g ′(x )＝1x －ln x ，因为g ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4上单调递减，且g ′(1)>0，g ′(2)<0，所以g ′(x )有唯一的零点m ∈(1,2)，使得g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，m 上单调递增，在(m,4]上单调递减， 又由于g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝5－6ln24>0，g (4)＝5－6ln 2>0,所以g (x )>0恒成立．从而f (a 2)＝1a[a 2＋1－(a 2－1)ln a 2]>0恒成立，则f (x )>0恒成立．所以当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )没有零点. 15．设函数f (x )＝4ln x －12ax 2＋(4－a )x (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若函数f (x )存在极值，对于任意的0<x 1<x 2，存在正实数x 0，使得f (x 1)－f (x 2)＝f ′(x 0)·(x 1－x 2)，试判断x 1＋x 2与2x 0的大小关系并给出证明.【导学号：07804167】[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x－ax ＋(4－a )＝－x ＋ax －x.当a ≤0时，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，则由f ′(x )＝0得，x ＝4a，x ＝－1(舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，4a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ，＋∞上单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，4a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a >0时，f (x )存在极值．f (x 1)－f (x 2)＝4(ln x 1－ln x 2)－12a (x 21－x 22)＋(4－a )(x 1－x 2)＝4(ln x 1－ln x 2)－12a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(4－a )(x 1－x 2)．由题设得f ′(x 0)＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝x 1－ln x 2x 1－x 2－12a (x 1＋x 2)＋(4－a )．又f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝8x 1＋x 2－a ·x 1＋x 22＋4－a ，所以f ′(x 0)－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝x 1－ln x 2x 1－x 2－8x 1＋x 2＝4x 2－x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－ln x 1－x 2－x 1x 2＋x 1＝4x 2－x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln x 2x1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1. 设t ＝x 2x 1，则t >1， 则ln x 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1＝ln t －t －t ＋1(t >1)．令g (t )＝ln t －t －t ＋1(t >1)，则g ′(t )＝t －2t t ＋2>0，所以g (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (t )>g (1)＝0，故ln x 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1>0.又因为x 2－x 1>0，因此f ′(x 0)－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0，即f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f ′(x 0)．又由f ′(x )＝4x －ax ＋(4－a )知f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，所以x 1＋x 22>x 0，即x 1＋x 2>2x 0.。
2018届高三数学理二轮复习第二部分 考前30天教师用书
2017年《考试大纲》修订内容中增加了数学文化的要求，其主要目的是注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性发展，从而实现考试的社会意义和现实目的．其实，近几年高考数学试卷早已出现以数学文化为背景的新颖命题，将数学知识、方法、文化融为一体，有效考查学生在新情境下对知识的理解及迁移运用能力．只不过前几年考纲未做明确要求，未引起广大师生的重视.2017年考纲作出明确要求后，相信以后的高考关于数学文化的命题会加大，应引起师生们的重点关注．高考将会从以下几个角度实现数学知识与数学文化的有效“嫁接”．[典例1](2008·湖北高考)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2＞a1c2；④c1a1＜c2 a2.其中正确式子的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④[解析]①由题图知2a1＞2a2，2c1＞2c2；即a1＞a2，c1＞c2，∴a1＋c1＞a2＋c2，∴①不正确．②∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，∴②正确．③∵a1＞a2＞0，c1＞c2＞0.∴a21＞a22，c21＞c22，又∵a1－c1＝a2－c2.即a1＋c2＝a2＋c1，即a21＋c22＋2a1c2＝a22＋c21＋2a2c1.∴a21－c21＋c22－a22＋2a1c2＝2a2c1，即(a1－c1)(a1＋c1)－(a2－c2)(a2＋c2)＋2a1c2＝2a2c1，整理得(a1－c1)(a1－a2＋c1－c2)＋2a1c2＝2a2c1.∵a1＞c1，a1＞a2，c1＞c2，∴2a1c2＜2a2c1.即c 1a 2＞a 1c 2，∴③正确．④∵c 1a 2＞a 1c 2，a 1＞0，a 2＞0，∴c 1a 2a 1a 2＞a 1c 2a 1a 2. 即c 1a 1＞c 2a 2，∴④不正确． [答案] B[精彩赏析]本例以“嫦娥一号”卫星为背景，抽象出一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆间的几何性质，并采用数形结合的方式构筑成题，题中所给的有关椭圆基本量的四个式子，形式上采用加、减、乘、除四则运算，并结合相等与不等关系组合而成，搭配对称和谐，富有数学美感，该题对于引导中学数学教育，理论联系实际，关注科普知识、重视数学文化有着非常重要的导向作用．[类题尝试]1.(2007·北京高考)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ.那么cos 2θ的值等于________．解析：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25.∴每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，12ab ＝6， ∴两条直角边的长分别为3，4，又∵直角三角形中较小的锐角为θ，∴cos θ＝45，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝725.答案：725[典例2] (1)(2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为()A．9B．18C．20 D．35(2)(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛(3)(2014·湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.227 B.258C.15750 D.355113(4)(2013·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)[解析](1)由程序框图知，初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，第一次循环：v＝4，i＝1；第二次循环：v＝9，i＝0；第三次循环：v＝18，i＝－1.结束循环，输出当前v的值18.故选B.(2)设米堆的底面半径为r尺，则π2r＝8，所以r＝16π，所以米堆的体积为V＝14×13π×r2×5＝π12×⎝⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B.(3)由题意知275L2h≈13πr2h⇒275L2≈13πr2，而L≈2πr，代入得π≈258.(4)以我国数学名著《数书九章》为题材，考查台体的体积．圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V＝13πh(r2中＋r2下＋r中r下)＝π3×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为V142π＝588π196π＝3(寸)．[答案](1)B(2)B(3)B(4)3[精彩赏析]本例(1)～(4)是以《九章算术》、《数书九章》和《算数书》为背景，相应考查算法、圆锥的体积公式和圆台的体积公式等数学知识．《九章算术》大约成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数学著作，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系；《数书九章》成书于1247年9月，是对《九章算术》的继承和发展，它概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰；《算数书》成书于公元前186年以前，是目前已知最早的中国数学著作，它不仅系统地总结了秦和先秦的数学成就，为中国古代数学的发展奠定了基础，同时对后世的《九章算术》的产生也有一定的影响，而且开创了我国古代数学重应用的特色，标志着我国古代数学理论体系开始初步形成．以上高考试题，介绍了三部数学名著，让学生更加了解《九章算术》《数书九章》和《算数书》等数学名著，从这个意义上讲，这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身．[类题尝试]2．(2016·全国丙卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝()A．7 B．12C．17 D．34解析：选C第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，结束循环，s＝17.3．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝()A．0 B．2C．4 D．14解析：选B a＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2<4，b ＝4－2＝2；第六次循环：a ＝b ＝2，跳出循环，输出a ＝2，故选B.[典例3] (2012·湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________．(用k 表示)[解析] 由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k （5k ＋1）2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝（5k －1）（5k －1＋1）2＝5k （5k －1）2， 故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．[答案] (1)5 030 (2)5k （5k －1）2[精彩赏析]此题是以形为载体，考查数列的通项公式等基础知识，考查特殊与一般的数学思想方法，考查归纳与猜想、推理与计算的能力，试题既合理引用了经典史料，又不刻意增加难度，同时对学生的数感进行了有效地考查，让学生在数学史的背景中，体验数学的理性精神．在数学史上，古希腊数学家毕达哥拉斯最早把正整数和几何图形联系在一起，把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，把正整数与正三角形、正方形等图形联系起来，得数分为三角形数、正方形数，这样一来，抽象的正整数就有了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了．毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在《算术引论》中将多边形数推广到多面体数，公元前6世纪，还没有纸，用小石子研究数的性质，既方便又直观，这真是古希腊人的一种创造，也是认识数的一种有趣方法，英语中的“calculation ”一词来源于拉丁文“calculus ”，就是小石子的意思．[类题尝试]4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2，五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝__________．解析：由N (n ，4)＝n 2，N (n ，6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n ，故N (10，24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000[即时体会领悟][致同学] 数学文化只是一种命题载体，没必要引起广大师生的紧张和恐慌．只要平时多积累和了解一些这方面的常识，解题中注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过表象看本质，问题便可迎刃而解．一、选择题1．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1 534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约( )A ．134石B ．169石C ．268石D ．338石解析：选B 设这批米内夹谷约为x 石，根据随机抽样事件的概率得x 1 534＝28254，得x ≈169.故选B.2．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈ 3169V B ．d ≈32V C ．d ≈ 3300157V D ．d ≈ 32111V解析：选D 由球体积公式得d ＝36πV ≈31.909 860 93V . 因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 828 03，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D. 3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n .第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( )A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：选C a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1（n －1）n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n ＝n (n －1)． 4．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )⎝ ⎛⎭⎪⎫注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513 A ．600立方寸 B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸解析：选D 连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513. ∴∠AOD ≈22.5°，即∠AOB ≈45°.故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △OAB＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.二、填空题5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：67666．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 的值为________．解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x )×3×1＋π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＝12.6. 解得x ＝1.6.答案：1.67．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝________．解析：由题意，可令1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52. 答案：1＋52三、解答题8.中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸”是一道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐，问水深葭长各几何”意为：今有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为1尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为ABCD ，芦苇根部O 为AB 的中点，顶端为P (注芦苇与水面垂直)，在牵引顶端P 向水岸边点D 的过程中，当芦苇经过DF 的中点E 时，问芦苇的顶端离水面的距离为多少？(注：1丈＝10尺，601≈24.5)解：设水深为x 尺，则x 2＋52＝(x ＋1)2，解得，x ＝12.∴水深为12尺，芦苇长为13尺，以AB 所在的直线为x 轴，芦苇所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，在牵引过程中，P 的轨迹是以O 为圆心，半径为13的圆，其方程为x 2＋y 2＝169(－5≤x ≤5，12≤y ≤13)，①E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，12. ∴OE 所在的直线方程为y ＝－245x ，②由①②联立解得y ＝ 169×576601≈13×2424.5＝62449.则此时芦苇的顶端离水面的距离为62449－12＝3649尺．9．(2015·湖北高考)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P -ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC 的值．解：(1)证明：如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ(λ＞0)，则D (0，0，0)，P (0，0，1)，B (λ，1，0)，C (0，1，0)，＝(λ，1，－1)，因为点E 是棱PC 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， 于是＝0，所以PB ⊥DE .又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF . 因为＝(0，1，－1)，所以＝0，所以DE ⊥PC ，而PB ∩PC ＝P ，所以DE ⊥平面PBC .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .(2)由PD ⊥平面ABCD ， 所以＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量．由(1)知，PB ⊥平面DEF ， 所以＝(－λ，－1，1)是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，结合λ＞0，解得λ＝2，所以DCBC＝1λ＝22.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3时，DCBC＝22.。
【通用版】2018年高考理科数学二轮复习：教学案全集(含答案)
[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．2．(2018届高三·安徽名校阶段测试)设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1≤x <32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32<x ≤3 解析：选B A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1<x <32，结合Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <32. 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.4．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2,3,5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117解析：选B 由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，与y ＝3，y ＝5时，没有相同的元素，当y ＝3，x ＝5,15,25，…，95时，与y ＝5，x ＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140.5．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0，m ∈R}，若A ∩B ＝B ，则所有符合条件的实数m 组成的集合是( )A ．{－1,0,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1 C ．{－1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12解析：选A 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .若B 为∅，则m ＝0；若B ≠∅，则－m －1＝0或12m －1＝0，解得m ＝－1或2.综上，m ∈{－1,0,2}． [准解·快解·悟通][题点·考法·全练] 1．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2，故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．2．(2017·惠州三调)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，故选C.3．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.4．已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选A 由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2. 5．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题解析：选B 对于选项A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4＞1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”为假命题，故其逆否命题为假命题，综上可知，选B.2．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：选C 因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．3．(2017·山东高考)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q解析：选B 当x >0时，x ＋1>1，因此ln(x ＋1)>0，即p 为真命题；取a ＝1，b ＝－2，这时满足a >b ，显然a 2>b 2不成立，因此q 为假命题．由复合命题的真假性，知B 为真命题．[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝() A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．2．(2017·成都一诊)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．3．(2017·广西三市第一次联考)设集合A＝{x|8＋2x－x2>0}，集合B＝{x|x＝2n－1，n ∈N*}，则A∩B等于()A．{－1,1} B．{－1,3}C．{1,3} D．{3,1，－1}解析：选C∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{1,3,5，…}，∴A ∩B ＝{1,3}．4．(2017·郑州第二次质量预测)已知集合A ＝{x |log 2x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x>1，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[1,2]D ．(2，＋∞)解析：选C 因为A ＝{x |0<x ≤2}，B ＝{x |0<x <1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |0<x ≤2}∩{x |x ≤0或x ≥1}＝{x |1≤x ≤2}．5．(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线． 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．6．(2018届高三·湘中名校联考)已知集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( )A ．{2}B ．{2,8}C ．{4,10}D ．{2,4,8,10}解析：选B 因为集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}＝{x |－1＜x ＜12}，集合B 为被6整除余数为2的数．又集合A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A ∩B ＝{2,8}．7．(2017·石家庄调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝U C ．∁U B ⊆AD ．∁U A ⊆B解析：选A 由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1，所以B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝∅，A ∪B ＝{x |x >－2}，∁U B ＝{x |x ≥1或x ≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x |x <1}，B ⊆∁U A ，故选A.8．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．28D ．25解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15. 9．(2017·郑州第一次质量预测)已知命题p ：1a >14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 命题p 等价于0<a <4.命题q ，对∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，必有a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，则0≤a <4，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件． 10．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )>0 解析：选C 因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．而p 的否定为∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0，故选C. 11．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(1,2]D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)解析：选C 由题意可得，对命题p ，令f (0)·f (1)<0，即－1·(2a －2)<0，得a >1；对命题q ，令2－a <0，即a >2，则綈q 对应的a 的范围是(－∞，2]．因为p 且綈q 为真命题，所以实数a 的取值范围是(1,2]．12．在下列结论中，正确的个数是( )①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定形式为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→，则O 是△ABC 的垂心；③“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N”的充分不必要条件；④命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确． ∵OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→，∴OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝0，即OB ―→·CA ―→＝0， ∴OB ―→⊥CA ―→.同理可知OA ―→⊥BC ―→，OC ―→⊥BA ―→，故点O 是△ABC 的垂心，∴②正确． ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x是减函数，∴当M >N 时，⎝⎛⎭⎫23M <⎝⎛⎭⎫23N ，当⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N 时，M <N . ∴“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的既不充分也不必要条件，∴③错误． 由逆否命题的写法可知，④正确． ∴正确的结论有3个． 二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则綈p ：________________________.解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x－a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}， 所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}． 则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}． 答案：{(2,3)}15．已知命题p ：不等式xx －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是________．解析：解不等式知，命题p是真命题，在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件，所以命题q是假命题，所以①③正确．答案：①③16．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c不是年龄最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄由小到大依次是________．解析：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．由命题A可知，当b不是最大时，则a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真，即b>a>c.同理，由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.故由A与B均为真可知b>a>c，所以a，b，c三人的年龄大小顺序是：b最大，a次之，c最小．答案：c，a，b送分专题(二)函数的图象与性质[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x >0，则f (f (－3))＝( ) A.43B ．23C ．－43D ．3解析：选D 因为f (－3)＝2－2＝14，所以f (f (－3))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－log 214＝3. 2．函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 要使函数y ＝1－x 22x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以该函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1. 3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式为________．解析：由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a 2＝2.所以f (x )＝－2x 2＋2.答案：f (x )＝－2x 2＋25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，y ＝(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.答案：⎣⎡⎭⎫0，12 [准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．(2018届高三·安徽名校阶段性测试)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )解析：选D 易知函数y ＝x 2ln|x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D正确，故选D.2．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选B 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象，因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A 、C 、D ，选B.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，由于函数g (x )是二次函数，值域不会是选项A 、B ，易知，当g (x )的值域是[0，＋∞)时，f (g (x ))的值域是[0，＋∞)．[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是()A．f(x)＝1x－x B．f(x)＝x3C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x解析：选A“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”等价于f(x)在(0，＋∞)上为减函数，易判断f(x)＝1x－x满足条件．2．(2017·广西三市第一次联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a满足f(2log3a)>f(－2)，则a的取值范围是()A．(－∞，3) B．(0，3)C．(3，＋∞) D．(1，3)解析：选B∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f(－2)＝f(2)，∴f(2log3a)>f(2)．∵2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a < 3.3．(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)． 又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：64．(2017·福建普通高中质量检测)已知函数f (x )＝x 2(2x －2－x )，则不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0的解集是________．解析：因为f (－x )＝(－x )2(2－x －2x )＝－x 2(2x －2－x )＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0等价于f (2x ＋1)≥f (－1)．易知，当x >0时，函数f (x )为增函数，所以函数f (x )在R 上为增函数，所以f (2x ＋1)≥f (－1)等价于2x ＋1≥－1，解得x ≥－1.答案：{x |x ≥－1}[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题 1．函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( ) A ．[0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1)解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，∴f (x )的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：选B A 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f (x )＝2×4x －a2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D ．14解析：选B 由题意得f (0)＝0，∴a ＝2. ∵g (1)＝g (－1)，∴ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝⎛⎭⎫1e ＋1＋b ， ∴b ＝12，∴log 212＝－1.4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1， 故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.5．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，若f (x ＋2 017)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg (－x )，x <0，则f ⎝⎛⎭⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝( ) A ．2 016 B.14C ．4 D.12 016解析：选C 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫2 017＋π4＝2sin π4＝1， f (－7 983)＝f (2 017－10 000)＝lg 10 000＝4， ∴f ⎝⎛⎭⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝4. 6．函数y ＝sin xx ，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是( )解析：选A 函数y ＝sin xx ，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B 、C ，又当x 趋近于π时，y ＝sin xx 趋近于0，故选A.7．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 由题意知，当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝fx －12，则f (x ＋1)＝f (x )． 又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.8．如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B 设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D.故选B.9．(2017·贵阳模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 10．函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 解析：选C ∵f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象与x 轴，y 轴分别交于N ，M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴x ＝－b a >0，y ＝bc 2>0，故a <0，b >0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c >0，c <0，故选C.11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，若f (2)＝2，则不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)解析：选C (转化法)由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2.12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题13．函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是________．解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1. 所以0＜1|x |＋1≤1.所以ln 1|x |＋1≤0， 即f (x )＝ln1|x |＋1的值域为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]14．(2018届高三·安徽名校阶段性测试)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝________.解析：因为log 49＝log 23>0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－2－log 23＝－2log 213＝－13.答案：－1315．若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象始终在函数y ＝log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2和y ＝log a x 的图象，由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象恒在函数y ＝log a x 的图象的下方，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2≥1，解得1<a ≤2.答案：(1,2]16．(2017·惠州三调)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为____________．解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数f ⎝⎛⎭⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝⎛⎭⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ， 又f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＋32＝－f (x )， 所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数在R 上不可能是单调函数，④错误． 故真命题的序号为①②③. 答案：①②③送分专题(三) 平面向量[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1．(2017·贵州适应性考试)已知向量e 1与e 2不共线，且向量AB ―→＝e 1＋me 2，AC ―→＝ne 1＋e 2，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．mn ＝1B ．mn ＝－1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1解析：选A 法一：因为A ，B ，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB―→＝λAC ―→，所以有e 1＋me 2＝nλe 1＋λe 2，由此可得⎩⎪⎨⎪⎧1＝nλ，m ＝λ，所以mn ＝1.法二：因为A ，B ，C 三点共线，所以必有1n ＝m1，所以mn ＝1.2.如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误．故正确命题的结论为①③.3．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→＝0，则|AB ―→||BC ―→|＝________.解析：由已知得OA ―→－OB ―→＝2(OB ―→－OC ―→)，即BA ―→＝2CB ―→， ∴|BA ―→|＝2|CB ―→|，∴|AB ―→||BC ―→|＝2.答案：24．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于________．解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得m n ＝－2.答案：－2[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．已知向量m ＝(t ＋1,1)，n ＝(t ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则t ＝( ) A ．0 B ．－3 C ．3D ．－1解析：选B 法一：由(m ＋n )⊥(m －n )可得(m ＋n )·(m －n )＝0，即m 2＝n 2，故(t ＋1)2＋1＝(t ＋2)2＋4，解得t ＝－3.法二：m ＋n ＝(2t ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴－(2t ＋3)－3＝0，解得t ＝－3.2．(2017·洛阳统考)已知向量a ＝(1,0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为( )A.55B ．－55C ．1D ．－1解析：选D 依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1，c ·d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d|d |＝－1. 3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，12 B.⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－2，＋∞)D ．[－2，＋∞)解析：选B 当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b >0且a ，b 不共线．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，又k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，选B. 4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析：法一：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC ―→|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.答案：2 35．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2，故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.答案：33[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，点D 在边AC 上，且2AD ―→＝DC ―→，则BA ―→·BD ―→的值是( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 法一：由题意得，BA ―→·BC ―→＝0，BA ―→·CA ―→＝BA ―→·(BA ―→－BC ―→)＝|BA ―→|2＝36，∴BA ―→·BD ―→＝BA ―→·(BC ―→＋CD ―→)＝BA ―→·⎝⎛⎭⎫BC ―→＋23 CA ―→ ＝0＋23×36＝24. 法二：(特例法)若△ABC 为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (6,0)，C (0,6)．由2AD ―→＝DC ―→，得D (4,2)．∴BA ―→·BD ―→＝(6,0)·(4,2)＝24.2.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→，则x ＋2y 的最小值为( )A ．2 B.13 C.3＋223D.34解析：选C 由已知可得AG ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13x AM ―→＋13y AN ―→，又M ，G ，N 三点共线，故13x ＋13y＝1，∴1x ＋1y ＝3，则x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·13＝13⎝⎛⎭⎫3＋2y x ＋x y ≥3＋223(当且仅当x ＝2y 时取等号)．3．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：选B 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.4．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足CP ―→＝λCB ―→，当PA ―→·PC ―→取到最小值时，λ的值为( )A.14 B.15 C.16D.18解析：选D 如图所示，建立平面直角坐标系．不妨设BC ＝4，P (x,0)(0≤x ≤4)，则A (3，3)，C (4,0)，∴PA ―→·PC ―→＝(3－x ，3)·(4－x,0)＝(3－x )(4－x )＝x 2－7x ＋12＝⎝⎛⎭⎫x －722－14.当x ＝72时，PA ―→·PC ―→取得最小值－14.∵CP ―→＝λCB ―→，∴⎝⎛⎭⎫－12，0＝λ(－4,0)， ∴－4λ＝－12，解得λ＝18.故选D.5.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP ―→＝3PD ―→，AP ―→·BP ―→＝2，则AB ―→·AD ―→的值是________．解析：因为AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋14AB ―→，BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－34AB ―→，所以AP ―→·BP ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋14AB ―→·⎝⎛⎭⎫AD ―→－34AB ―→＝ |AD ―→|2－316|AB ―→|2－12AD ―→·AB ―→＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB ―→·AD ―→＝22. 答案：22[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题1．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C.53D ．32解析：选A 因为c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.2．(2017·贵州适应性考试)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2,3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A.25 B ．－25C.35D ．－35解析：选B 法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2,3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，4＋λ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝65，λ＝－25.法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2,3)，由a ＋λb 与c 共线可知2－λ2＝4＋λ3，解得λ＝－25. 3．(2018届高三·云南11校跨区调研)已知平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A ．13＋6 2B ．2 5 C.30D ．34解析：选D 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34.4．在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→ C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→＝34AB ―→＋12AD ―→.5．(2017·成都二诊)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6 C.π4D.3π4解析：选A 法一：因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝3，又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b|a ＋2b ||b |＝343×12＝32， 所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.法二：(特例法)设a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12cos π3，12sin π3＝⎝⎛⎭⎫14，34，则(a ＋2b )·b ＝⎝⎛⎭⎫32，32·⎝⎛⎭⎫14，34＝34，|a ＋2b |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b |a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6. 6．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为( ) A.322B ．3152C ．－322D ．－3152解析：选A 由题意知AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，则AB ―→在CD ―→方向上的投影为|AB ―→|·cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝AB ―→·CD ―→|CD ―→|＝322.7．(2017·安徽二校联考)在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD ―→·AE ―→等于( )A.16B.29C.1318D.13解析：选C 法一：因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝13，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos 60° ＝⎝⎛⎭⎫132＋12－2×13×1×12＝79， 即AD ＝73，同理可得AE ＝73， 在△ADE 中，由余弦定理得 cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE＝79＋79－⎝⎛⎭⎫1322×73×73＝1314，所以AD ―→·AE ―→＝|AD ―→|·|AE ―→|cos ∠DAE ＝73×73×1314＝1318. 法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A ⎝⎛⎭⎫0，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫16，－32，所以AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，－32·⎝⎛⎭⎫16，－32＝－136＋34＝1318.8．(2017·东北四市模拟)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→(m >0，n >0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→|的最小值为( )A.52B.102C. 5D.10解析：选C 由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m >0，n >0)，所以n ＝1－m 且0<m <1，所以OC ―→＝(1＋2m,4m －3)， 则|OC ―→|＝(1＋2m )2＋(4m －3)2＝20m 2－20m ＋10 ＝20⎝⎛⎭⎫m －122＋5(0<m <1)，所以当m ＝12时，|OC ―→|min ＝ 5.9．已知向量m ，n 的模分别为2，2，且m ，n 的夹角为45°.在△ABC 中，AB ―→＝2m ＋2n ，AC ―→＝2m －6n ，BC ―→＝2BD ―→，则|AD ―→|＝( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8解析：选B 因为BC ―→＝2BD ―→，所以点D 为边BC 的中点，所以AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝2m －2n ，所以|AD ―→|＝2|m －n |＝2(m －n )2＝22＋4－2×2×2×22＝2 2. 10．(2018届高三·湘中名校联考)若点P 是△ABC 的外心，且PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，C ＝120°，则实数λ的值为( )A.12 B ．－12C ．－1D ．1解析：选C 设AB 中点为D ，则PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→PD ―→. 因为PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，所以2PD ―→＋λPC ―→＝0，所以向量PD ―→，PC ―→共线． 又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ， 所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB .因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°， 所以四边形APBC 是菱形， 从而PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝PC ―→，所以2PD ―→＋λPC ―→＝PC ―→＋λPC ―→＝0，所以λ＝－1.11．已知Rt △AOB 的面积为1，O 为直角顶点，设向量a ＝OA ―→|OA ―→|，b ＝OB ―→|OB ―→|，OP ―→＝a ＋2b ，则PA ―→·PB ―→的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 如图，设A (m,0)，B (0，n )，∴mn ＝2，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，OP ―→＝a ＋2b ＝(1,2)，PA ―→＝(m －1，－2)，PB ―→＝(－1，n －2)，PA ―→·PB ―→＝5－(m ＋2n )≤5－22nm ＝1，当且仅当m ＝2n ，即m ＝2，n ＝1时，等号成立．12．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )A ．－58B.18 C.14D.118解析：选B 如图所示， AF ―→＝AD ―→＋DF ―→.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→，DF ―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，则AF ―→·BC ―→＝⎝⎛⎭⎫12AB ―→＋34AC ―→·(AC ―→－AB ―→)＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→·AB ―→ ＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→. 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18.二、填空题13．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且||BO ―→＝3||CO―→，当AO ―→＝x AB ―→＋y AC ―→时，则x －y ＝________.解析：∵AO ―→＝AB ―→＋BO ―→＝AB ―→＋32BC ―→＝AB ―→＋32(AC ―→－AB ―→)＝－12AB ―→＋32AC ―→，∴x －y ＝－2.答案：－214．已知a ，b 是非零向量，f (x )＝(ax ＋b )·(bx －a )的图象是一条直线，|a ＋b |＝2，|a |＝1，则f (x )＝________.解析：由f (x )＝a ·bx 2－(a 2－b 2)x －a ·b 的图象是一条直线，可得a ·b ＝0.因为|a ＋b |＝2，所以a 2＋b 2＝4.因为|a |＝1，所以a 2＝1，b 2＝3，所以f (x )＝2x . 答案：2x15．(2017·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD ―→＝2DC ―→，AE ―→＝λAC ―→－AB ―→ (λ∈R)，且AD ―→·AE ―→＝－4，则λ的值为________．解析：法一：AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋23AC ―→.又AB ―→·AC ―→＝3×2×12＝3，所以AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫13AB ―→＋23AC ―→·(－AB ―→＋λAC ―→) ＝－13AB ―→2＋⎝⎛⎭⎫13λ－23AB ―→·AC ―→＋23λAC ―→2 ＝－3＋3⎝⎛⎭⎫13λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4， 解得λ＝311.法二：以点A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，不妨假设点C 在第一象限，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)． 由BD ―→＝2DC ―→，得D ⎝⎛⎭⎫53，233， 由AE ―→＝λAC ―→－AB ―→，得E (λ－3，3λ)，则AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫53，233·(λ－3，3λ)＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案：31116．定义平面向量的一种运算a ⊙b ＝|a ＋b |·|a －b |·sin 〈a ，b 〉，其中〈a ，b 〉是a 与b 的夹角，给出下列命题：①若〈a ，b 〉＝90°，则a ⊙b ＝a 2＋b 2；②若|a |＝|b |，则(a ＋b )⊙(a －b )＝4a ·b ；③若|a |＝|b |，则a ⊙b ≤2|a |2；④若a ＝(1,2)，b ＝(－2,2)，则(a ＋b )⊙b ＝10.其中真命题的序号是________．解析：①中，因为〈a ，b 〉＝90°，则a ⊙b ＝|a ＋b |·|a －b |＝a 2＋b 2，所以①成立；②中，因为|a |＝|b |，所以〈(a ＋b )，(a －b )〉＝90°，所以(a ＋b )⊙(a －b )＝|2a |·|2b |＝4|a ||b |，所以②不成立；③中，因为|a |＝|b |，所以a ⊙b ＝|a ＋b |·|a －b |·sin 〈a ，b 〉≤|a ＋b |·|a －b |≤|a ＋b |2＋|a －b |22＝2|a |2，所以③成立；④中，因为a ＝(1,2)，b ＝(－2,2)，所以a ＋b ＝(－1,4)，sin 〈(a ＋b )，b 〉＝33434，所以(a ＋b )⊙b ＝35×5×33434＝453434，所以④不成立．故①③正确．答案：①③送分专题(四) 不等式[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12解析：选B 根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2. 2．若x >y >0，m >n ，则下列不等式正确的是( ) A ．xm >ymB ．x －m ≥y －nC.x n >y mD ．x >xy解析：选D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为0或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为m ，n 的正负不确定．故选D.3．(2017·云南第一次统一检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≥1，21－x －2，x <1，则不等式f (x －1)≤0的解集为( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ≤3}解析：选D 由题意，得f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－2，x ≥2，22－x －2，x <2.当x ≥2时，由2x －2－2≤0，解得2≤x ≤3；当x <2时，由22－x －2≤0，解得1≤x <2.综上所述，不等式f (x －1)≤0的解集为{x |1≤x ≤3}．4．已知x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x >0恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，14 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，14 C.⎝⎛⎭⎫－12，32 D ．(－∞，6]解析：选C 根据题意，由于1＋2x ＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x ＝t (0<t ≤2)，则可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋t t 2，故只要求解h (t )＝－1＋tt2(0＜t ≤2)的最大值即可，h (t )＝－1t 2－1t ＝－⎝⎛⎭⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，32. [准解·快解·悟通]。
2018届高三数学理高考二轮复习书讲解课件第三部分 专题五 增分有招考前必会的12种快速求解选择、填
方法2
方法1 方法7
方法2 方法8
方法3 方法9
方法4 方法5 方法6
方法 10
方法 11
方法 12
应用特例排除法的关键在于确定选项的差异性，利用差异 性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排除干 扰选项.
方法2
试题 解析
方法1 方法7
方法2 方法8
方法3 方法9
方法4 方法5 方法6
方法 10
A.56
B.23
C.25
D.45
方法1
试题 解析
方法1 方法7
方法2 方法8
方法3 方法9
方法4 方法5 方法6
方法 1 的方程可得|F1F2|＝2 16＋9＝10， 由双曲线的定义可得|F1A|－|F2A|＝2 16＝8， 由已知可得|F1A|＝|F1F2|＝10， 所以|F2A|＝|F1A|－8＝2. 设椭圆的长轴长为 2a，则由椭圆的定义可得 2a＝|F1A|＋|F2A| ＝10＋2＝12. 所以椭圆 C2 的离心率 e＝22ac＝1102＝56.故选 A.
方法 10
方法 11
方法 12
试题 解析
由于题中直线 PQ 的条件是过点 E，所以该直线是一条 “动”直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用 特殊直线确定所求值．
方法2
试题 解析
方法1 方法7
方法2 方法8
方法3 方法9
方法4 方法5 方法6
方法 10
方法 11
方法 12
解法一 如图 1，PQ∥BC，则A→P＝23A→B，A→Q＝23A→C，此时 m＝n＝23，故m1 ＋n1＝3.故选 A. 解法二 如图 2，取直线 BE 作为直线 PQ，显然，此时A→P ＝A→B，A→Q＝12A→C，故 m＝1，n＝12，所以m1 ＋n1＝3.故选 A.
2018届高考数学(理)二轮复习教师用书：第一部分 层级三 30分的拉分题因人而定 酌情自选
[全国卷3年考情分析][典例] (2016·四川高考)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′yx 2＋y 2，－x x 2＋y2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．[解析] 对于①，特殊值法．取A (1,1)，则A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，A ′的“伴随点”为点(－1，－1)．故①为假命题．对于②，单位圆的方程为x 2＋y 2＝1，设其上任意一点(x ，y )的“伴随点”为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝yx 2＋y 2＝y ，y ′＝－xx 2＋y 2＝－x ，∴y 2＋(－x )2＝y 2＋x 2＝1.故②为真命题．③设A (x ，y )，B (x ，－y )，则它们的伴随点分别为A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′与B ′关于y 轴对称，故③为真命题． ④设共线的三点A (－1,0)，B (0,1)，C (1,2)，则它们的伴随点分别为A ′(0,1)，B ′(1,0)，C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15，此三点不共线，故④为假命题．故真命题为②③. [答案] ②③[针对训练]1．(2018届高三·湘中高三联考)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围为________．解析：由H n ＝2n ＋1，得n ·2n ＋1＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ，①则当n ≥2时，(n －1)·2n＝a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1，②①－②，得2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ，所以a n ＝2n ＋2，令b n ＝a n －kn ＝(2－k )n ＋2，又S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 5≥0，b 6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋2≥0，62－k＋2≤0，解得73≤k ≤125.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125[典例] (2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.[解析] 求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)， 则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. [答案] 1－ln 2[针对训练]2．(2017·郑州质检)设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y22x －1≥a 恒成立，则a 的最大值为( )A ．2 2B ．4 2C ．8D ．16解析：选 C 法一：依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y22x －1＝x －＋1]2y －1＋y －＋1]22x －1≥x －y －1＋y －2x －1≥4×22x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y22x －1≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1，y －1＝1，2x －1y －1＝y －12x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y22x －1的最小值是8，即a ≤8，故a 的最大值是8.法二：令m ＝2x －1，n ＝y －1，则m >0，n >0，x ＝m ＋12，y ＝n ＋1，4x 2y －1＋y22x －1＝4⎝⎛⎭⎪⎫m ＋122n＋n ＋2m＝m ＋2n＋n ＋2m≥4m n ＋4n m ≥24mn×4nm＝8，当且仅当m ＝1且n ＝1，即x ＝1，y ＝2时取等号， 即4x 2y －1＋y 22x －1≥8， 故a ≤8，所以a 的最大值是8.[典例] (2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋2，x ＜1，x ＋2x，x ≥1.设a ∈R ，若关于x的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－23，2]C ．[－2,2 3 ]D ．[－23，2 3 ][解析] 选A 法一：作出f (x )的图象如图所示．当y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 的图象经过点(0,2)时，可知a ＝±2.当y ＝x 2＋a 的图象与y ＝x ＋2x 的图象相切时，由x 2＋a ＝x ＋2x，得x 2－2ax ＋4＝0，由Δ＝0， 并结合图象可得a ＝2.要使f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 恒成立，当a ≤0时，需满足－a ≤2，即－2≤a ≤0， 当a ＞0时，需满足a ≤2，即0＜a ≤2， 综上可知，－2≤a ≤2.法二：∵f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，∴－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立．①令g (x )＝－f (x )－x2.当0≤x＜1时，f(x)＝x＋2，g(x)＝－x－2－x2＝－32x－2≤－2，即g(x)max＝－2.当x＜0时，f(x)＝－x＋2，g(x)＝x－2－x2＝x2－2，即g(x)＜－2. 当x≥1时，f(x)＝x＋2x，g(x)＝－x－2x－x2＝－32x－2x≤－23，即g(x)max＝－2 3. ∴a≥－2.②令h(x)＝f(x)－x 2 .当0≤x＜1时，f(x)＝x＋2，h(x)＝x＋2－x2＝x2＋2≥2，即h(x)min＝2. 当x＜0时，f(x)＝－x＋2，h(x)＝－x＋2－x2＝－32x＋2＞2，即h(x)＞2. 当x≥1时，f(x)＝x＋2x，h(x)＝x＋2x－x2＝x2＋2x≥2，即h(x)min＝2. ∴a≤2.综上可知，－2≤a ≤2.法三：若a ＝23，则当x ＝0时，f (0)＝2，而⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a ＝23，不等式不成立，故排除选项C ，D. 若a ＝－23，则当x ＝0时，f (0)＝2，而⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a ＝23，不等式不成立，故排除选项B.故选A.[针对训练]3．(2017·东北四市高考模拟)已知函数f (x )＝cos x ＋mcos x ＋2，若对∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )都为某个三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫75，5D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，5 解析：选C f (x )＝cos x ＋m cos x ＋2＝1＋m －2cos x ＋2，令t ＝cos x ＋2，由于－1≤cos x ≤1，因此1≤t ≤3，设g (t )＝1＋m －2t(1≤t ≤3)． 法一：若对∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )都为某个三角形的三边长，不妨设a <c ，b <c ，则只需满足f (a )＋f (b )>f (c )恒成立，故只需2f (x )min >f (x )max 即可，即2g (t )min >g (t )max .当m ＝2时，f (a )＝f (b )＝f (c )＝1，成立，故m ＝2符合题意；当m <2时，g (t )＝1＋m －2t在[1,3]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧m －＋m －23，m <2，解得75<m <2；当m >2时，g (t )＝1＋m －2t在[1,3]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧2⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23>m －1，m >2，解得2<m <5.综上，75<m <5.法二：令m ＝5，则g (t )＝1＋3t(1≤t ≤3)，∴2≤g (t )≤4.取f (a )＝f (b )＝2，f (c )＝4.不合题意，排除A 、B ；取m ＝1310，则g (t )＝1－710t (1≤t ≤3)，∴310≤g (t )≤2330，取f (a )＝310，f (b )＝310，f (c )＝2330，不合题意，排除D ，故选C.[典例] (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m (x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2mD ．4m[解析] 法一：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i＋y i )＝m .法二：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝ 2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．可设y ＝f (x )＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝x ＋1x ，得交点(－1,0)，(1,2)，则x 1＋y 1＋x 2＋y 2＝2，结合选项，应选B.[答案] B[针对训练]4．(2017·沈阳质检)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA ―→·PB ―→的值是( )A ．－38B.316C ．－38D.38解析：选A 法一：令点P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|PA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA ―→·PB ―→＝|PA ―→|·|PB ―→|·cos∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－38.法二：如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ， ∴∠AOB ＝60°， ∴∠APB ＝120°， ∴PA ―→·PB ―→<0.取P 点为双曲线右顶点． 则|PA |＝|PB |＝12|OP |＝32，∴PA ―→·PB ―→＝－38.[专题过关检测] 一、选择题1．设a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，a 3，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选A (特殊数列)取大家最熟悉的等比数列a n ＝2n，代入q 命题(不妨取n ＝3)满足，再取a n ＝3n代入q 命题(不妨取n ＝3)也满足，反之取a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ＝0时，满足q 命题，但不满足p 命题，故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C ．12D ．1解析：选C 法一：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e1－x＋ex －1)＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.3．已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50解析：选B 因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝a 1＋a 1002＝50(a 50＋a 51)＝－100.4．(2017·贵州适应性考试)已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA |＝m |PF |，当m 取最大值时，|PA |的值为( )A ．1B ． 5 C. 6D ．2 2解析：选D 设P (x ，y )，由抛物线的定义知|PF |＝y ＋1，|PA |＝x 2＋y ＋2，所以m ＝x 2＋y ＋2y ＋1，平方得m 2＝x 2＋y ＋2y ＋2，又x 2＝4y ，当y ＝0时，m ＝1，当y ≠0时，m 2＝4y ＋y ＋2y ＋2＝4y y ＋2＋1＝1＋4y ＋1y＋2，由基本不等式可知y ＋1y ≥2，当且仅当y ＝1时取等号，此时m 取得最大值2，故|PA |＝4＋＋2＝2 2.5．对任意实数a ，b ，c ，d ，定义⎝⎛⎭⎪⎫a b c d ＝⎩⎪⎨⎪⎧ad －bc ，ad ≥bc ，12bc －ad ，ad <bc ，已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x41x ，直线l ：kx －y ＋3－2k ＝0，若直线l 与函数f (x )的图象有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，1724 C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，1724∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D ．(－1,1)解析：选A 由题意知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 41 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x ≤－2或x ≥2，124－x 2，－2<x <2，直线l ：y ＝k (x －2)＋3过定点A (2，3)，画出函数f (x )的图象，如图所示，其中f (x )＝x 2－4(x ≤－2或x ≥2)的图象为双曲线的上半部分，f (x )＝12 4－x 2(－2<x <2)的图象为椭圆的上半部分，B (－2,0)，设直线AD 与椭圆相切，D 为切点．由图可知，当k AB <k <1或－1<k <k AD 时，直线l 与f (x )的图象有两个交点．k AB ＝3－02－－＝34，将y ＝k AD (x －2)＋3与y ＝124－x 2(－2<x <2)联立消去y ，得(1＋4k 2AD )x 2＋8k AD (3－2k AD )x ＋16k 2AD －48k AD ＋32＝0，令Δ＝0，解得k AD ＝23.综上所述，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1. 6．(2016·浙江高考)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 解析：选D 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＞100，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 综上知，A 、B 、C 均不成立，所以选D.7．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝sin x2＋cos x .若当x >0时，函数f (x )的图象恒在直线y ＝kx 的下方，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，33 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，32 解析：选B 由题意，当x >0时，f (x )＝sin x2＋cos x<kx 恒成立．由f (π)<k π，知k >0.又f ′(x )＝1＋2cos x2＋cos x2，由切线的几何意义知，要使f (x )<kx 恒成立，必有k ≥f ′(0)＝13.要证k ≥13时不等式恒成立，只需证g (x )＝sin x 2＋cos x －13x <0，∵g ′(x )＝2cos x ＋12＋cos x 2－13＝－x －2＋cos x2≤0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴g (x )<g (0)＝0，∴不等式成立．综上，k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. 8．设D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，且BE ―→·CD ―→＝0，记α为AB ―→与AC ―→的夹角，则下述判断正确的是( )A ．cos α的最小值为22B ．cos α的最小值为13C ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2的最小值为825D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α的最小值为725解析：选D 依题意得CD ―→＝12(CA ―→＋CB ―→)＝12[－AC ―→＋(AB ―→－AC ―→)]＝12(AB ―→－2AC ―→)，BE ―→＝12(BA ―→＋BC ―→)＝12[－AB ―→＋(AC ―→－AB ―→)]＝12(AC ―→－2AB ―→)．由CD ―→·BE ―→＝0，得14(AB ―→－2AC ―→)·(AC ―→－2AB ―→)＝0，即－2AB ―→2－2AC ―→2＋5AB ―→·AC ―→＝0，整理得，|AB ―→|2＋|AC ―→|2＝52|AB ―→|·|AC ―→|cos α≥2|AB ―→|·|AC ―→|，所以cos α≥45，sin π2－2α＝cos2α＝2cos 2α－1≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，所以sin π2－2α的最小值是725.9．(2017·石家庄质检)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：选A 如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC＝x3＝PQ1，即PQ ＝x3， 又QR 1＝BQ BC ＝AP AC＝3－x 3，所以QR ＝3－x3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝36 2x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋34，结合图象知选A.10．过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA ，OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC ―→＝a OA ―→＋b OB ―→(a ，b ∈R)，则以下说法正确的是( )A ．点P (a ，b )一定在单位圆内B ．点P (a ，b )一定在单位圆上C ．点P (a ，b )一定在单位圆外D ．当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上解析：选B 使用特殊值法求解．设A (1,0)，B (0，－1)，则OC ―→＝a OA ―→＋b OB ―→＝(a ，－b )．∵C 在圆上，∴a 2＋b 2＝1，∴点P (a ，b )在单位圆上，故选B. 二、填空题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，当1<a <2时，关于x 的方程f [f (x )]＝a 实数解的个数为________．解析：当1<a <2时，作出f (x )的图象如图所示，令u ＝f (x )，则f (u )＝a ，由f (x )的图象可知，若u 满足u <0，此时f (x )＝u 无解，若u >0，解得1e 2<u <1e<1或2<e<u <e 2，显然，当x <0时，不可能使得f (x )＝u 有解，当x >0，1e 2<u <1e<1时，f (x )＝u 有2个解，当x >0,2<e<u <e 2时，f (x )＝u 也有2个解．因此f [f (x )]＝a 有4个实数解．答案：42．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．解析：(特殊图形)如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A与D 重合于E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B ＝∠C ＝75°，∠E ＝30°，BC ＝2，由正弦定理可得BCsin ∠E＝BEsin ∠C，即2sin 30°＝BEsin 75°，解得BE ＝6＋2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B ＝∠BFC ＝75°，∠FCB ＝30°，由正弦定理知，BFsin ∠FCB＝BCsin ∠BFC，即BFsin 30°＝2sin 75°，解得BF ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．答案：(6－2，6＋2)3．设0<m <12，若1m ＋11－2m ≥k 恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：由题可知，k 的最大值即为1m＋11－2m 的最小值．因为1m ＋11－2m＝[2m ＋(1－2m )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋11－2m ＝3＋1－2m m ＋2m 1－2m ≥3＋22，取等号的条件是当且仅当1－2m ＝2m ，即m ＝1－22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时成立，所以k 的最大值为3＋2 2.故所求实数k 的取值范围是(－∞，3＋2 2 ]．答案：(－∞，3＋2 2 ]4．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________.解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ， ∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋φ. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 答案：23 π125．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a ·b ＝3，若(c －2a )·(2b －3c )＝0, 则|b －c |的最大值是________．解析：设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝22，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A (1,1)，B (3,0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )， ∵(c －2a )·(2b －3c )＝0，∴(x －2)(6－3x )＋(y －2)(－3y )＝0. 即(x －2)2＋(y －1)2＝1. 又知b －c ＝(3－x ，－y )， ∴|b －c |＝x －2＋y 2≤－2＋－2＋1＝2＋1，即|b －c |的最大值为2＋1. 答案：2＋16．等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD ＝3，则△ABC 的面积的最大值为________．解析：设AD ＝x ，则AB ＝AC ＝2x ，因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以AB ＋AD >BD ，即2x ＋x >3，x >1，AB －AD <BD ，即2x －x <3，x <3，所以x ∈(1,3)． 在△ABD 中，由余弦定理得9＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x cos A ，即cos A ＝5x 2－94x2，S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12×2x ×x ×sin A＝2x21－⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2－94x 22＝32－x 4－10x 2＋，令t ＝x 2，则t ∈(1,9)，S △ABC ＝32 －t －2＋16，当t ＝5，即x ＝5时，S △ABC 有最大值6.答案：67．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R|f (x )＝0}，μ∈{x ∈R|g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝ex －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数f (x )为增函数，且f (2)＝e2－2＋2－3＝0，所以函数f (x )＝ex －2＋x －3只有一个零点x ＝2，则取λ＝2，由|2－μ|≤1，知1≤μ≤3.由f (x )与g (x )互为“零点密切函数”知函数g (x )＝x 2－ax －x ＋4在区间[1,3]内有零点，即方程x 2－ax －x ＋4＝0在[1,3]内有解，所以a ＝x ＋4x －1，而函数y ＝x ＋4x－1在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，所以当x ＝2时，a 取最小值3，且当x ＝1时，a ＝4，当x ＝3时，a ＝103，所以a max ＝4，所以实数a 的取值范围是[3,4]．答案：[3,4]8．对于数列{a n }，定义{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．对正整数k ，规定{Δk a n }为数列{a n }的k 阶差分数列，其中Δk a n ＝Δk －1a n ＋1－Δk －1a n ＝Δ(Δk－1a n )．若数列{Δ2a n }的各项均为2，且满足a 11＝a 2 015＝0，则a 1的值为________．解析：因为数列{Δ2a n }的各项均为2，即Δa n ＋1－Δa n ＝2，所以Δa n ＝Δa 1＋2n －2，即a n ＋1－a n ＝Δa 1＋2n －2，所以a n －a 1＝(n －1)Δa 1＋(0＋2＋4＋…＋2n －4) ＝(n －1)Δa 1＋(n －1)(n －2)(n ≥2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 11－a 1＝10Δa 1＋10×9，a 2 015－a 1＝2 014Δa 1＋2 014×2 013，即⎩⎪⎨⎪⎧0－a 1＝10Δa 1＋10×9，0－a 1＝2 014Δa 1＋2 014×2 013，解得a 1＝20 140. 答案：20 1409．已知圆O ：x 2＋y 2＝1 和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2) 和常数 λ满足：对圆 O 上任意一点 M ，都有|MB |＝λ|MA |，则b ＝________ ；λ＝________ .解析：法一：(三角换元)在圆O 上任意取一点M (cos θ，sin θ)，则由|MB |＝λ|MA |可得(cos θ－b )2＋sin 2θ＝λ2[(cos θ＋2)2＋sin 2θ]，整理得1＋b 2－5λ2－(2b ＋4λ2)·cos θ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋b 2－5λ2＝0，2b ＋4λ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，λ＝12.法二：(特殊点)既然对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，使得λ与b 为常数，那么取M (1,0)与M (0,1)代入|MB |＝λ|MA |，得⎩⎪⎨⎪⎧b －2＝9λ2，b 2＋1＝5λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，λ＝12.答案：－12 1210．(2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质．若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质，因此10n m ＝q p，则10n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 的部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有一个交点，因此方程f (x )－lg x ＝0的解的个数为8.答案：8压轴专题(二) 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分策略[全国卷3年考情分析][常考题点逐一突破][典例] (2016·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1，过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．[解] (1)由题意得，a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4. 又A (2,0)，B (0,1)，所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1.所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值．[针对训练]1．(2017·沈阳质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为(－6，0)，e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．解：(1)由题意得，c ＝6，e ＝22，解得a ＝23，b ＝6， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(2)证明：由已知，直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，且与圆R 相切， ∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2，化简得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0， 同理，可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，∴k 1，k 2是方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0的两个不相等的实数根，∴x 20－4≠0，Δ>0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4.∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上， ∴x 2012＋y 206＝1，即y 20＝6－12x 20， ∴k 1k 2＝2－12x 2x 20－4＝－12.故k 1k 2为定值．(3)|OP |2＋|OQ |2是定值． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 212＋y 26＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝121＋2k 21，y 21＝12k211＋2k 21，∴x 21＋y 21＝＋k 211＋2k 21，同理，可得x 22＋y 22＝＋k 221＋2k 22.由k 1k 2＝－12，得|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝＋k 211＋2k 21＋＋k 221＋2k 22＝＋k 211＋2k 21＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 121＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 12＝18＋36k 211＋2k 21＝18. 综上，|OP |2＋|OQ |2为定值，且为18.[典例] (2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值． [解] (1)设直线AP 的斜率为k ， k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)设直线AP 的斜率为k ，则直线BQ 的斜率为－1k.则直线AP 的方程为y －14＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即kx －y ＋12k ＋14＝0，直线BQ 的方程为y －94＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即x ＋ky －94k －32＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标x Q ＝－k 2＋4k ＋3k 2＋.因为|PA |＝ 1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －k ＋2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.[针对训练]2．(2017·沈阳质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝22，短轴长为2. (1)求椭圆的方程；(2)点A 为椭圆上的一动点(非长轴端点)，AF 2的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，2b ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1，故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22，C ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22， 故S △ABC ＝12×2×2＝ 2.②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 22＋y 2＝1，消去y ，化简得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，|AB |＝＋k2·[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 错误!＝22·k 2＋12k 2＋1，点O 到直线kx －y －k ＝0的距离d ＝|－k |k 2＋1＝|k |k 2＋1， ∵O 是线段AC 的中点，∴点C 到直线AB 的距离为2d ＝2|k |k 2＋1，∴S △ABC ＝12|AB |·2d ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫22·k 2＋12k 2＋1·2|k |k 2＋1＝2 2k 2k 2＋2k 2＋2＝2 214－1k 2＋2< 2.综上，△ABC 面积的最大值为 2.[典例] (2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t －tk 23＋tk2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t 1＋k23＋tk2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t 1＋k23k 2＋t.由2|AM |＝|AN |，得23＋tk 2＝k3k 2＋t ， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k 2k －k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝k －k 2＋k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 因此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.故k 的取值范围是(32，2)．解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． [题后悟通][针对训练]3．已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于32，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若AP ―→＝3PB ―→，求m 2的取值范围．解：(1)根据已知设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由已知得c a ＝32，∴c ＝32a ，b 2＝a 2－c 2＝a 24.∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45， ∴4a 2＋b 2＝25a ＝45， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)根据已知得P (0，m )，设A (x 1，kx 1＋m )，B (x 2，kx 2＋m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2＋y 2－4＝0消去y ，得(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0.由已知得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4)>0， 即k 2－m 2＋4>0，且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4.由AP ―→＝3PB ―→，得x 1＝－3x 2. ∴3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝12x 22－12x 22＝0. ∴12k 2m 2k 2＋2＋m 2－k 2＋4＝0，即m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0.当m 2＝1时，m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0不成立， ∴k 2＝4－m 2m 2－1.∵k 2－m 2＋4>0， ∴4－m 2m 2－1－m 2＋4>0，即－m 2m2m 2－1>0.解得1<m 2<4.∴m 2的取值范围为(1,4).[典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：a 2＋b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l过定点(2，－1)．[题后悟通]直线过定点问题的解题模型[针对训练]4．(2017·郑州模拟)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．解：(1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则C (－x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx －2消去y ，得x 2－4kx ＋8＝0，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)．即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1－x 24x 1＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2，即直线AC 恒过定点(0,2).[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM ―→＝NQ ―→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上， 所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22， 因此a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：假设存在斜率为2的直线，满足条件，则设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t 9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0， 故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3<t <3. 由PM ―→＝NQ ―→，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)， 所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.也可由PM ―→＝NQ ―→，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t9，⎭⎪⎫可得y 4＝2t －159又－3<t <3，所以－73<y 4<－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾． 因此不存在满足条件的直线．[针对训练]5．(2017·郑州质检)已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m >0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．解：(1)将方程化成椭圆的标准方程x 2m ＋y 2m2＝1(m >0)，则a ＝m ，c ＝m －m 2＝m2，故e ＝c a ＝22. (2)由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入x 2＋2y 2＝m (m >0)，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(2k －1)2－m ＝0(m >0)．所以x 1＋x 2＝4k 2k －1＋2k2＝4，即k ＝－1，此时，由Δ>0，得m >6.则直线AB 的方程为x ＋y －3＝0，直线CD 的方程为x －y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋2y 2＝m 得3y 2＋2y ＋1－m ＝0，y 3＋y 4＝－23，故CD 的中点N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.由弦长公式，可得|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝2·m －3.|CD |＝2|y 3－y 4|＝2·12m －83>|AB |，若存在圆，则圆心在CD 上， 因为CD 的中点N 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－13－32＝423.|NA |2＝|NB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4232＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝6m －49， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫|CD |22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12m －832＝6m －49，故存在这样的m (m >6)，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上．[高考大题通法点拨] 圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线[思维流程]。
2018版高考数学二轮复习 第3部分 考前增分策略 专题1 考前教材重温 4 数列与不等式教学案
4. 数列与不等式■要点重温…………………………………………………………………………· 1．等差数列及其性质(1){a n }等差数列⇔a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1 (n ≥2) ⇔2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)⇔a n ＝an ＋b ⇔S n ＝An 2＋Bn .(2)等差数列的性质 ①a n ＝a m ＋(n －m )d ；②当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ③S n ＝na 1＋n n －2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[应用1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30[答案] A 2．等比数列及其性质(1){a n }等比数列⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2n ＝a n －1·a n ＋1n ≥2，n ∈Na n ≠0 ⇔a na n －1＝q (q 为常数，q ≠0)(a 1≠0)⇔a n ＝a 1·q n －1.[应用2] x ＝ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )【导学号：07804176】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[解析] 若x ＝a ＝0，x ＝ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a 、x 、b 成等比数列，则x 2＝ab ⇔x ＝±ab ，所以x ＝ab 不一定成立，必要性不成立．所以选D. [答案] D (2)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p . [应用3] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________.(2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.[答案] (1)512 (2)10(3)求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解． [应用4] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________．[解析] ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立． ②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9得a 1－q31－q＋a 1－q 61－q＝a 1－q 91－q∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. [答案] 1或－13．求数列通项的常见类型及方法(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．[应用5] 如图10(1)，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图10(2)，如此继续下去，得图10(3)……，试探求第n 个图形的边长a n 和周长C n .图10(1) 图10(2) 图10(3)[答案] a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，C n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1×(3×4n －1)(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式． (3)叠加法(迭加法)：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1；叠乘法(迭乘法)：a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3……a 3a 2·a 2a 1. [应用6] 已知a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，求a n .[答案] a n ＝2n n －12(4)已知S n 与a n 的关系，利用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，求a n .[应用7] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n＋1，则a n ＝________. [解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1)＝2n －2n －1＝2n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝2n －1n .[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝2n －1n(5)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．[应用8] 已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n)(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. [解析] 令x ＝2，y ＝2n －1，则f (xy )＝f (2n )＝2f (2n －1)＋2n －1f (2)，即a n ＝2a n －1＋2n ，a n 2n ＝a n －12n －1＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得a n2n ＝1＋(n －1)×1＝n ， 即a n ＝n ·2n. [答案] n ·2n 4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法． 如：1nn ＋＝1n －1n ＋1；1nn ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k . [应用9] 求和：S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nxn －1.[答案] S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2，x ＝11， x ＝01－x n－x 2－nxn1－x ，x ≠1，x ≠0.(6)并项法数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[应用10] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________.【导学号：07804177】[答案] 925．研究数列{a n }的单调性的方法：(1)a n ＋1－a n ⎩⎪⎨⎪⎧ >0＝0<0 ，如a n ＝2n－4n －5；(2)a n ＋1a n⎩⎪⎨⎪⎧>1＝1<1，a n ＝9nn ＋10n；(3)a n ＝f (n )增减性，转化为研究函数f (x )的增减性，如a n ＝nn 2＋156.[应用11] 若a n ＝n 22n ，求数列{a n }中的最大项．[答案] a 3＝986．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，同时要注意“同号可倒”，即a >b >0⇒1a <1b ；a <b <0⇒1a >1b.[应用12] 若实数a ，b ∈R 且a >b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．a b>1 C ．2a>2bD ．lg(a －b )>0[解析] 根据函数的图象(图略)与不等式可知：当a >b 时，2a>2b，故选C. [答案] C 7．用基本不等式“a ＋b2≥ab (a ，b >0)”求最值(或值域)时，要注意到条件“一正、二定、三相等”；在解答题，遇到利用基本不等式求最值的问题，要交待清楚取等号的条件．常用技巧：(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑． (2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元．(3)当题中等号条件不成立，可考虑从函数的单调性入手求最值． [应用13] (1)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3[解析] 由题意得⎩⎨⎧ab >03a ＋4b >0所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b＝7＋4b a ＋3a b≥7＋24b a ·3ab＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号．[答案] D(2)已知0＜x ＜1＜y ，则log x y ＋log y x 的值域是________.【导学号：07804178】[答案] (－∞，－2](3)函数f (x )＝x 2＋3x 2＋2的值域是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，＋∞ 8．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点与点(－2,2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点到点(1,1)的距离的平方等．同时解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负．[应用14] 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0y ≤3ax －y －a ≤0，且x 2＋y 2的最大值等于34，则正实数a 的值等于( ) A ．12 B ．34 C ．43D ．3[解析] 做出可行域，如图所示，x 2＋y 2表示点(x ，y )与(0,0)距离的平方，由图知，可行域中的点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a a ，3离(0,0)最远，故x 2＋y 2的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a a 2＋32＝34⇒a ＝34，故选B.[答案] B9．解答不等式恒成立问题的常用方法(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x 的取值为全体实数时，一般应用此法．(2)从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零． (3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来． (4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．[应用15] 如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是________.【导学号：07804179】A ．－1≤k ≤0B ．－1≤k <0C ．－1<k ≤0D ．－1<k <0[解析] 当k ＝0时，原不等式等价于－2<0，显然恒成立，所以k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧k <0k 2－4k ·[－k ＋，解得－1<k <0.所以－1<k ≤0. [答案] C10．不等式有解问题：a ≥f (x )有解⇔ a ≥[f (x )]min ；a ≤f (x )有解⇔ a ≤[f (x )]max .[应用16] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋k－a 2，x ≥0x 2＋a 2－4a x ＋－a2，x <0，其中a ∈R ，若对任意非零实数x 1，存在唯一实数x 2(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数k 的最小值为( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8[解析] 由数形结合讨论知f (x )在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0－a 2－4a 2≥0k －a 2＝－a2⇔⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤4k ＝－a 21－a 2>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <1k ＝－a 21－a 2 ，令g (a )＝－a 21－a 2，则g (a )＝10－6a1－a2－1(0≤a <1)且g ′(a )＝－a －a －－a22(0≤a <1)，∴g (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1上递增，即k min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝8. [答案] D■查缺补漏…………………………………………………………………………· 1．已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3D [因为0<a <1，a x <a y，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立．B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立．C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立．D 中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，故选D]2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D ．12n －1 B [由题可知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，于是有a n ＋1a n ＝32，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2n ，故S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.]3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤3ay ≥x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则实数a 的值是( )【导学号：07804180】A ．4B ．12 C ．1D ．2D [做出可行域及直线2x ＋y ＝0，如图所示．平移直线2x ＋y ＝0，当其经过点A 时，z ＝2x ＋y 取得最小值；解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1ay ＝x －3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2a ；因为z ＝2x ＋y 的最小值为1，所以z min ＝2×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＝1，a ＝2，故选D.]4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [因为{a n }是正项等比数列， 所以a m ＋1·a m －1＝2a m ＝a 2m ，a m ＝2， 又T 2m －1＝a 1a 2…a 2m －1＝a 2m －1m ，所以22m －1＝512＝29，m ＝5.]5．在等差数列{a n }中，a 5<0，a 6>0且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列说法正确的是( )A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6…均大于0B ．S 1，S 2，…S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11…均大于0D ．S 1，S 2，…S 11均小于0，S 12，S 13…均大于0C [由题意可知a 6＋a 5>0，故S 10＝a 1＋a 102＝a 5＋a 62>0，而S 9＝a 1＋a 92＝2a 5×92＝9a 5<0，故选C.]6．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )【导学号：07804181】A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830D [当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1； 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3. 所以a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， 所以a 2k －1＝a 2k ＋3，所以a 1＝a 5＝…＝a 61. 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1) ＝30×3＋1192＝30×61＝1 830.]7．已知a ，b 都是负实数，则aa ＋2b ＋ba ＋b的最小值是( ) A ．56 B ．2(2－1) C ．22－1D ．2(2＋1)B [aa ＋2b ＋ba ＋b ＝a 2＋2ab ＋2b 2a 2＋3ab ＋2b 2＝1－aba 2＋3ab ＋2b 2＝1－1a b ＋2b a＋3≥1－122＋3＝2(2－1)．]8．已知定义域为R 的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意x ∈[0，＋∞)，均满足：xf ′(x )>－2f (x )．若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (2x )<g (1－x )的解集是( )A ．(－∞，－1)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞C [x ∈[0，＋∞)时g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x (2f (x )＋xf ′(x ))>0，而g (x )＝x 2f (x )也为偶函数，所以g (2x )<g (1－x )⇔g (|2x |)<g (|1－x |)⇔|2x |<|1－x |⇔3x 2＋2x －1<0⇔－1<x <13.]9．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． (－∞，0] [∵4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x－2x ＋1＝(2x )2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x≤4. 由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 有最小值0. ∴a 的取值范围为(－∞，0]．]10．已知函数f (x )为定义在[2－a,3]上的偶函数，在[0,3]上单调递减，并且f ⎝⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5>f (－m 2＋2m －2)，则m 的取值范围是________．1－2≤m <12 [由题设可得2－a ＋3＝0，即a ＝5，故f (－m 2－1)>f (－m 2＋2m －2)可化为f (m 2＋1)>f (m 2－2m ＋2)，又1≤m 2＋1≤3,1≤m 2－2m ＋2≤3，故m 2＋1<m 2－2m ＋2⇒m <12，且m ≥1－ 2.]11．已知当－1≤a ≤1时，x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是________．(－∞，1)∪(3，＋∞) [设f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )>0对∀a ∈[－1,1]成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧f－f ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0x 2－3x ＋2>0 ，解之得x <1或x >3，即实数x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．]12．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为________.【导学号：07804182】(2－2，2＋2) [由指数函数图象可得f (a )＞－1，所以g (b )＞－1，即－b 2＋4b －3＞－1，解得2－2＜b ＜2＋ 2.] 13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则1a ＋2b的最小值为________．8＋433 [根据题意，画出可行域(图略)．将z ＝ax ＋by 变形为：y ＝－a b x ＋zb(a >0，b >0)进行平移，当⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝03x －y －6＝0 ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝6 时，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取最大值6，所以4a ＋6b ＝6(a >0，b >0)，所以1a ＋2b ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (4a ＋6b )＝16⎝⎛⎭⎪⎫16＋6b a ＋8a b ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋26b a ×8a b ＝16＋836＝8＋433(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝33－34b ＝3－32时取“＝”)，所以最小值为8＋433.]14．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 3＝4，{a n }的前3项和为7.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －3)2n＋3，设数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≤2－1n.[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，由已知得q >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1＋a 1q ＋4＝7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)证明：当n ＝1时，a 1b 1＝1，且a 1＝1，解得b 1＝1. 当n ≥2时，a n b n ＝(2n －3)2n＋3－(2n －2－3)2n －1－3＝(2n －1)·2n －1.∵a n ＝2n －1，∴当n ≥2时，b n ＝2n －1.∵b 1＝1＝2×1－1满足b n ＝2n －1， ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)． ∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴S n ＝n 2.∴当n ＝1时，1S 1＝1＝2－11.当n ≥2时，1S n ＝1n 2<1nn －＝1n －1－1n. ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≤2－11＋11－12＋…＋1n －1－1n＝2－1n.15．已知数列{a n }满足：a 1＝14，a 2＝34，2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足：b 1<0,3b n－b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n . (1)求证：数列{b n －a n }为等比数列； (2)求证：数列{b n }为递增数列；(3)若当且仅当n ＝3时，S n 取得最小值，求b 1的取值范围.【导学号：07804183】[解] (1)证明：∵2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)． ∴{a n }是等差数列． 又∵a 1＝14，a 2＝34，∴a n ＝14＋(n －1)·12＝2n －14，∵b n ＝13b n －1＋n 3(n ≥2，n ∈N *)∴b n ＋1－a n ＋1＝13b n ＋n ＋13－2n ＋14＝13b n －2n －112＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －2n －14＝13(b n －a n )． 又∵b 1－a 1＝b 1－14≠0，∴{b n －a n }是b 1－14为首项，以13为公比的等比数列．(2)证明：∵b n －a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，a n ＝2n －14.∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋2n －14.当n ≥2时，b n －b n －1＝12－23⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2.又b 1<0，∴b n －b n －1>0. ∴{b n }是单调递增数列．(3)∵当且仅当n ＝3时，S n 取最小值．∴⎩⎪⎨⎪⎧b 3<0b 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧54＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫132<074＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫132>0，∴b 1∈(－47，－11)．。
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第
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4.(2016·江 苏 ) 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 ， 若 sin A ＝ 2sin Bsin C ， 则tan Atan Btan C的最小值是____8____.
解析
答案
考情考向分析
正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1.边和角的计算； 2.三角形形状的判断； 3.面积的计算； 4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行 命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.
解析
答案
(则2)若θ＝f_(x_－)_＝_π3__3_s_in. (x＋θ)－cos(x＋θ)(－π2≤θ≤π2)是定义在 R 上的偶函数， 解析 f(x)＝2sin(x＋θ－π6)， 由题意得 θ－π6＝π2＋kπ(k∈Z)， 因为－π2≤θ≤π2，所以 k＝－1，θ＝－π3.
解析答案
热点二 正弦定理、余弦定理
专题三 三角函数、解三角形与平面向量
第2讲 三角变换与解三角形
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高考真题体验
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64 1.(2016·课标全国丙改编)若 tan α＝34，则 cos2α＋2sin 2α＝___2_5____.
解析 tan α＝34， 则 cos2α＋2sin 2α＝cocos2sα2α＋＋2ssiinn22αα＝11＋＋4tatann2αα＝6245.
解析答案
(2)求sin A＋sin C的取值范围. 解 由(1)知，C＝π－(A＋B) ＝π－(2A＋π2)＝π2－2A>0，∴A∈(0，π4)， 于是 sin A＋sin C＝sin A＋sin(π2－2A) ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－2(sin A－14)2＋98， ∵0<A<π4，∴0<sin A< 22， 因此 22<－2(sin A－14)2＋98≤98，
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习教学案：第一部分 层级二 75分的重点保分题精析精研重点攻关
保分专题(一) 基本初等函数、函数与方程[全国卷3年考情分析][师生共研·悟通]指数与对数式的8个运算公式(1)a m ·a n ＝a m ＋n ；(2)(a m )n ＝a mn ；(3)(ab )m ＝a m b m ；(4)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(5)log a MN ＝log a M －log a N ；(6)log a M n＝n log a M；(7)a log a N＝N；(8)log a N＝log b N log b a.[注意](1)(2)(3)中，a>0，b>0；(4)(5)(6)(7)(8)中，a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.[典例](1)(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z[解析]选D由2x＝3y＝5z，可设(2)2x＝(33)3y＝(55)5z＝t，因为x，y，z为正数，所以t>1，因为2＝623＝68，33＝632＝69，所以2<33；因为2＝1025＝1032，55＝1025，所以2>55，所以55<2<33.分别作出y＝(2)x，y＝(33)x，y＝(55)x的图象，如图．则3y<2x<5z，故选D.(2)已知f(x)＝a x－2，g(x)＝log a|x|(a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是()[解析]选B∵f(x)＝a x－2>0恒成立，又f(4)·g(－4)<0，∴g(－4)＝log a|－4|＝log a4<0＝log a1，∴0<a<1.故函数y＝f(x)在R上单调递减，且过点(2,1)，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B正确．[即学即用·练通]1．已知函数f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[1,81]B ．[1,3]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (x )的图象过点(2,1)可知b ＝2， ∴f (x )＝3x －2，其在区间[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝30＝1，f (x )max ＝f (4)＝32＝9. 故f (x )的值域为[1,9]．2．若函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析：选C 法一：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，则g (x )＝|log a (x ＋1)|＝|log 2(x ＋1)|，将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x 轴下方的图象翻折上去，即可得g (x )的图象，故选C.法二：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，即g (x )＝|log 2(x ＋1)|，由g (x )的定义域为{x |x >－1}，排除B 、D ；由x ＝0时，g (x )＝0，排除A.故选C.3．(2016·浙江高考)已知a ＞b ＞1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析：∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a ＞b ＞1，∴log a b ＜log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，即b 2b ＝bb 2，∴2b ＝b 2， ∴b ＝2，a ＝4. 答案：4 2[师生共研·悟通]1．函数的零点及其与方程根的关系对于函数f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．2．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[典例] (1)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2 018x ＋log 2018x ，则函数f (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 选C 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2 018x 和y ＝－log 2 018x 的图象如图所示，可知函数f (x )＝2 018x ＋log 2 018x 在x ∈(0，＋∞)上存在一个零点，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )在x ∈(－∞，0)上只有一个零点，又f (0)＝0，∴函数f (x )的零点个数是3.(2)(2017·山东高考)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞)[解析] 选B 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝⎛⎭⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：①当0<m ≤1时，1m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；②当m >1时，0<1m <1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．[类题通法]1．判断函数零点个数的3种方法2．利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法[即学即用·练通]1．函数f (x )＝log 3x －x ＋2必有一个零点的区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫19，13 B.⎝⎛⎭⎫13，59 C.⎝⎛⎭⎫59，79 D.⎝⎛⎭⎫79，1 解析：选A 因为f (x )＝log 3x －x ＋2，所以f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319－19＋2＝－2－19＋2＝－19<0，f ⎝⎛⎭⎫13＝log 313－13＋2＝－1－13＋2＝23>0， 即f ⎝⎛⎭⎫19·f ⎝⎛⎭⎫13<0， 所以函数f (x )＝log 3x －x ＋2在⎝⎛⎭⎫19，13上必有一个零点．2．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 因为f (x )在(1,2)内单调递增，依题意有f (1)·f (2)<0，所以(－a )·(3－a )<0，所以0<a <3.3．设f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝－x 2＋6x －5，函数g (x )是这样定义的：当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1(x )，当f 1(x )<f 2(x )时，g (x )＝f 2(x )，若方程g (x )＝a 有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(0,4)C ．(0,3)D ．(3,4)解析：选D 作出f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝－x 2＋6x －5的图象如图，函数g (x )的图象为两函数中位置在上的部分(即图中实线部分)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤1，－x 2＋6x －5，1<x ≤4，x －1，x >4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝－x 2＋6x －5， 得A (4,3)，f 2(x )＝－x 2＋6x －5的顶点坐标为B (3,4)，要使方程g (x )＝a 有四个不同的实数解，即函数g (x )的图象与函数y ＝a 的图象有四个不同交点，数形结合可得3<a <4，故选D.函数的实际应用[师生共研·悟通][典例] (2017·湖北七市(州)联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．[解析] 前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t ＝5时，P ＝0.9P 0，代入，得(e －k )5＝0.9，∴e －k ＝0.915，∴P ＝P 0e －kt ＝P 0⎝⎛⎭⎫0.915t .当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P ＝0.81P 0，代入得0.81＝⎝⎛⎭⎫0.915t ，解得t ＝10，即需要花费10小时． [答案] 10 [类题通法]应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇨建模数学语言⇨求解数学应用⇨反馈检验作答(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[即学即用·练通]1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 设甲地调运x 台电脑至B 地，则剩下(6－x )台电脑调运至A 地；乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地12－(8－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N)．则总运费y ＝30x ＋40(6－x )＋50(8－x )＋80(x ＋4)＝20x ＋960，∴y ＝20x ＋960(x ∈N,0≤x ≤6)．若y ≤1 000，则20x ＋960≤1 000，得x ≤2.又0≤x ≤6，x ∈N ，∴x ＝0,1,2，即有3种调运方案．2．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q (x )(百台)进行统计，得数据如下：x (月份) 1 2 3 4 5 Q (x )(百台)691086x (月份)变化关系的模拟函数是( )A ．Q (x )＝ax ＋b (a ≠0)B ．Q (x )＝a |x －4|＋b (a ≠0)C ．Q (x )＝a (x －3)2＋b (a ≠0)D ．Q (x )＝a ·b x (a ≠0，b >0且b ≠1)解析：选C 观察数据可知，当x 增大时，Q (x )的值先增大后减小，且大约是关于Q (3)对称，故月销售量Q (x )(百台)与时间x (月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x ＝3对称的，显然只有选项C 满足题意，故选C.[专题过关检测]A 级——常考点落实练1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D 设幂函数f (x )＝x a ，则f (3)＝3a ＝3，解得a ＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．3．已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2解析：选A ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0，又f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1.4．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量/件 400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10解析：选C 由题意可设定价为x 元/件，利润为y 元，则y ＝(x －3)[400－40(x －4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值．5．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：选C 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．6．若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝2x ，∴g (x )＝log 2x ，∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.7．(2017·云南第一次统一检测)设a ＝60.7，b ＝log 70.6，c ＝log 0.60.7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 因为a ＝60.7>1，b ＝log 70.6<0,0<c ＝log 0.60.7<1，所以a >c >b .8．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选A 若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，故log a |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y ＝log a |x |的图象大致为A.9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选C 令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2； 令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10.故不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)．10．已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB ―→＝2BC ―→，则( )A ．b ＝a 2B ．a ＝b 2C ．b ＝a 3D ．a ＝b 3解析：选C 由于AB ―→＝2BC ―→，则AC ―→＝3BC ―→，则点A 的坐标为(m,3g (m ))，又点A 在函数f (x )＝log a x 的图象上，故log a m ＝3log b m ，即log a m ＝log b m 3，由对数运算可知b ＝a 3.B 级——易错点清零练1．已知函数f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－12，2 解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≠1，2x ＋1>0，解得x >－12且x ≠0.2．已知a ＞1，f (x )＝a x 2＋2x ，则使f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是( )A ．－1＜x ＜0B ．－2＜x ＜1C ．－2＜x ＜0D ．0＜x ＜1解析：选A ∵a ＞1，∴y ＝a x 在R 上为增函数，故f (x )<1⇔a x 2＋2x <1⇔a x 2＋2x <a 0⇔x 2＋2x <0⇔－2<x <0，结合选项可知，使f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是－1＜x ＜0.3．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.4．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是________．解析：∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x －2，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；若m ＝0，则f (x )＝x 2，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，满足条件， 故f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，g (x )∈[2－k,4－k )， 即A ＝[1,4)，B ＝[2－k,4－k )， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，解得0≤k ≤1. 答案：[0,1]C 级——“12＋4”高考练1．函数y ＝a x ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0,0)B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：选C 令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－2,0)．2．“1a >1”是“函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由1a >1得0<a <1，若函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增，则3－2a >1，解得a <1.故“1a >1”是“函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增”的充分不必要条件．3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．1093解析：选D 因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173，所以M ≈10173，则M N ≈101731080＝1093.4．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 函数f (x )＝|log2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数．令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，画出函数的图象，如图．由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的解的个数为2.5．函数f (x )＝x 2lg x －2x ＋2的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于y 轴对称解析：选B 因为f (x )＝x 2lg x －2x ＋2，所以其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以f (－x )＝x 2lgx ＋2x －2＝－x 2lg x －2x ＋2＝－f (x )，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．6．(2018届高三·济南质检)已知a ＝2－13，b ＝(2log 23)－12，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a解析：选C 依题意得，a ＝2－13，b ＝3－12，c ＝－14cos x π0＝12，所以a 6＝2－2＝14，b 6＝3－3＝127，c 6＝⎝⎛⎭⎫126＝164，则a>b>c.7．(2017·沈阳模拟)若函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )A B C D解析：选B 由函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)的图象可知，a ＝3，所以y ＝3－x ，y ＝(－x)3＝－x 3及y ＝log 3(－x)均为减函数，只有y ＝x 3是增函数，选B .8．(2017·保定二模)李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L 甲＝－5x 2＋900x －16 000，L 乙＝300x －2 000(其中x 为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( )A ．11 000元B ．22 000元C ．33 000元D ．40 000元解析：选C 设甲连锁店销售x 辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，∴当x ＝60时，有最大利润33 000元．9．(2018届高三·西安八校联考)已知在(0，＋∞)上函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0＜x ＜1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 144x －1)·f(log 3x ＋1)≤5的解集为( )A .⎝⎛⎭⎫13，1B ．[1,4]C .⎝⎛⎦⎤13，4D ．[1，＋∞)解析：选C 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧0＜log 3x ＋1＜1，log 2x ＋2⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5， 解得1≤x ≤4或13＜x ＜1，所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤13，4.10．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，eD ．(e ，＋∞)解析：选C ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )， ∴⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴－1<ln x <1，解得1e<x <e.11．(2017·南昌一模)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以x ∈(0,1)时f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减．因此，当x ＞0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象如图所示，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．12．已知定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18.若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，33B.⎝⎛⎭⎫0，22C.⎝⎛⎭⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎫0，66解析：选A ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，f (x )是偶函数，∴f (1)＝0，∴f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的周期函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，作出函数y ＝f (x )与g (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示，∵两个函数图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，∴g (2)＝log a 3>f (2)＝－2，且0<a <1，解得0<a <33. 13．计算：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝________.解析：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝2×12log 210－log 25＋(23)23－1＝log 2105＋22－1＝1＋4－1＝4.答案：414．有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0,1)内单调递减的函数的序号是________．解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．答案：②④15．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，由f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根得，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有唯一公共点．在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝－x 与函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，平移直线y ＝－x ，当平移到该直线在y 轴上的截距大于1时，相应直线与函数y ＝f (x )的图象有唯一公共点，即此时关于x 的方程有且只有一个实数根，因此a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)16．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃ 时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是________．解析：∵某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k ＋6＝16，即4k ＋6＝4，解得k ＝－12，∴t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2－12x ＋6，x >0.①当x ＝6时，t ＝8，故①正确；②当x ∈[－6,0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈(0,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t ＝2－12×11＋6＝2≈1.414(小时)，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确． 所以正确结论的序号为①④. 答案：①④保分专题(二) 导数的简单应用[全国卷3年考情分析][师生共研·悟通]1．导数的几何意义函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．2．四个易误导数公式 (1)(sin x )′＝cos x ； (2)(cos x )′＝－sin x ； (3)(a x )′＝a x ln a (a >0)； (4)(log a x )′＝1x ln a(a >0，且a ≠1)． [典例] (1)已知M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x 2，1≤x ≤2，y ≥0表示的平面区域，直线l ：y ＝2x＋a ，当a从－2连续变化到0时，区域M 被直线l 扫过的面积为( )A.73 B ．2 C.32D ．43[解析] 选D 作出图形可得区域M 被直线l 扫过的面积为 S 2＝⎠⎛12x 2d x －S 1＝13x 321－12×1×2 ＝13×(8－1)－1 ＝43.(2)(2017·昆明质检)若函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－3x ＋1，则ω＝___________________________________________________________.[解析] 由题意，得f ′(x )＝－2ωsin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，所以f ′(0)＝－2ωsin π4＝－ω＝－3，所以ω＝3.[答案] 3(3)(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．[解析] 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝e x －1＋x .∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. [答案] 2x －y ＝0[即学即用·练通]1．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选A ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.2．(2017·沈阳质检)设函数f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得g ′(1)＝－9，g (1)＝－8， 又f ′(x )＝12g ′⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ，∴f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4，∴所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0. 答案：x ＋2y ＋6＝03.⎠⎛1－1(x 2＋1－x 2)d x ＝________.解析：⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 31－1＝23，而根据定积分的定义可知⎠⎛1－11－x 2d x 表示圆心在原点的单位圆的上半部分的面积，即半圆的面积，∴⎠⎛1－1(x 2＋1－x 2)d x ＝23＋π2.答案：23＋π2利用导数研究函数的单调性[师生共研·悟通] 导数与函数单调性的关系(1)f ′(x )＞0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.(2)f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常数，函数不具有单调性．[典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ❶.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0❷，求a 的取值范围．[解答示范](一)搭桥——找突破口第(1)问：欲讨论f (x )的单调性，应先求f (x )的定义域及导数f ′(x )，再讨论f ′(x )的符号；第(2)问：欲求a 的取值范围，应想到找出有关a 的不等关系．由f (x )≥0，则应求f (x )的最小值，借助(1)的结论可得．(二)建桥——寻关键点[解] (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a ＜0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )＞0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． (2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )≥0.②若a ＞0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a . 从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即0＜a ≤1时，f (x )≥0.③若a ＜0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2.从而当且仅当a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0， 即－2e 34≤a ＜0时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2e 34，1.[即学即用·练通]1．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2 6 ] B ．⎝⎛⎦⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1，g (1)≥0⇔－26≤a ≤26或a ≥－4⇔a ≥－2 6.2．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( ) A ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ， 所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ， 由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <－2时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)． 3．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 即3a ×169＋2×⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ， 故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)上为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)上为增函数.利用导数研究函数的极值(最值)问题[师生共研·悟通]函数f (x )在点x 0附近有定义，若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x ❶.(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程❷；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值❸. [解答示范](一)搭桥——找突破口第(1)问：欲求函数在某点处的切线方程，应知切线的斜率，即求f (x )在此点处的导函数值；第(2)问：欲求函数在某区间上的最值，应知f (x )在此区间的单调性，即判断f ′(x )在此区间上的正负．(二)建桥——寻关键点[解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x)＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.[即学即用·练通]1．(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1， 所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1， 令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1. 2．已知函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( )A.3－1B.34 C.43D.3＋1解析：选A 由f (x )＝xx 2＋a 得f ′(x )＝a －x 2(x 2＋a )2，当a ＞1时，若x ＞a ，则f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 若1＜x ＜a ，则f ′(x )>0，f (x )单调递增，故当x ＝a 时，函数f (x )有最大值12a ＝33，得a ＝34＜1，不合题意；当a ＝1时，函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f (1)＝12，不合题意；当0＜a ＜1时，函数f (x )在 [1，＋∞)上单调递减，此时最大值为f (1)＝1a ＋1＝33，得a ＝3－1，符合题意．故a 的值为3－1.3．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x .(1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2＝a ＋2x x . 当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x .所以当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减； 当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．所以f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2. 所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2. (2)因为f ′(x )＝a ＋2xx ，所以当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值； 当a <0时，由f ′(x )>0得，x >－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞上单调递增； 由f ′(x )<0得，x <－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a2上单调递减． 所以当a <0时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a2－a . 根据题意得f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a2－a ≥－a ， 即a [ln(－a )－ln 2]≥0.因为a <0，所以ln(－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2， 所以实数a 的取值范围是[－2,0)．[专题过关检测]一、选择题1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12B ．1C ．0D ．不存在解析：选A ∵f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.2．函数f (x )＝x ＋1x 的极值情况是( ) A ．当x ＝1时，取极小值2，但无极大值 B ．当x ＝－1时，取极大值－2，但无极小值C ．当x ＝－1时，取极小值－2；当x ＝1时，取极大值2D ．当x ＝－1时，取极大值－2；当x ＝1时，取极小值2 解析：选D f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减， 所以当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2.3．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a 的值为( ) A ．e －12B ．2e －12C ．e 12D ．2e 12解析：选B 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝2e －12.4．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．0D ． 2解析：选B ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－bx2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，令当1－bx 2＝0，得b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)． ∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．6．已知f (x )＝ln x －x 4＋34x ，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫54，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－18，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－18，54 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－54 解析：选A 因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－x 2＋4x －34x 2＝－(x －1)(x －3)4x 2， 易知，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增， 故f (x )min ＝f (1)＝12.对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下， 所以其在区间[1,2]上的最小值在端点处取得， 即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}．要使对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ， 即12≥g (1)且12≥g (2)， 所以12≥－1－2a ＋4且12≥－4－4a ＋4，解得a ≥54.二、填空题7．(2017·长春质检)⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝________. 解析：⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x e 1＝e 22＋1－12＝e 2＋12. 答案：e 2＋128．已知函数f(x)＝12x 2＋2ax －ln x ，若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知f ′(x)＝x ＋2a －1x ≥0在区间⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x在区间⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立．又∵y ＝－x ＋1x 在区间⎣⎡⎦⎤13，2上单调递减， ∴⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞9．已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ln x 2＋12的图象分别与直线y ＝m 交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为________．解析：显然m ＞0，由e x ＝m 得x ＝ln m ，由ln x 2＋12＝m 得x ＝2e m －12，则|AB|＝2e m－12－ln m ．令h(m)＝2e m －12－ln m ，由h ′(m)＝2e m －12－1m ＝0，求得m ＝12.当0＜m ＜12时，h ′(m)＜0，函数h(m)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减；当m ＞12时，h ′(m)＞0，函数h(m)在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增．所以h(m)min ＝h ⎝⎛⎭⎫12＝2＋ln 2，因此|AB|的最小值为2＋ln 2.答案：2＋ln 2 三、解答题 10．已知函数f(x)＝xln x＋ax ，x>1. (1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f(x)的极小值． 解：(1)f ′(x)＝ln x －1ln 2x＋a ， 由题意可得f ′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1ln 2x －1ln x ＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14. ∵x ∈(1，＋∞)， ∴ln x ∈(0，＋∞)， ∴当1ln x －12＝0时，函数t ＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14的最小值为－14，∴a ≤－14，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14. (2)当a ＝2时，f(x)＝xln x＋2x(x>1)， f ′(x)＝ln x －1＋2ln 2xln 2x，令f ′(x)＝0得2ln 2x ＋ln x －1＝0， 解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍去)，即x ＝e 12.当1<x<e 12时，f ′(x)<0，当x>e 12时，f ′(x)>0，∴f(x)的极小值为f(e 12)＝e 1212＋2e 12＝4e 12.11．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)当a ＜0时，证明f (x )≤－34a－2. 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x .若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a.所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x －1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x ＞0时，g (x )≤0.从而当a ＜0时，ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0， 即f (x )≤－34a－2.12．(2017·福州质检)已知函数f (x )＝aln x ＋x 2－ax (a ∈R)． (1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间； (2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]上的最小值h (a )． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋a x ，因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a3＝0，解得a ＝9，所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝(2x －3)(x －3)x ， 所以当0＜x ＜32或x ＞3时，f ′(x )＞0；当32＜x ＜3时，f ′(x )＜0. 所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，32，(3，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫32，3. (2)g (x )＝a ln x ＋x 2－ax －2x ，则g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝(2x －a )(x －1)x . 令g ′(x )＝0，得x ＝a2或x ＝1.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上为减函数，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上为增函数， h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2＜a ＜2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.保分专题(三) 三角函数的图象与性质[全国卷3年考情分析]三角函数的定义、诱导公式及基本关系[师生共研·悟通]1．三角函数的定义若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (其中r ＝x 2＋y 2)． 2．利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(注意“奇变偶不变，符号看象限”)3．基本关系sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin xcos x. [典例] (1)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan(π－α)＝( ) A.43 B ．23C ．－23D ．－43[解析] 选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝1－cos 2α＝45， 所以tan(π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－45－35＝43.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．[解析] 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，故原式＝－34.[答案] －34[即学即用·练通]1．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：法一：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综上可得sin β＝13.法二：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝13.法三：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z)．。
2018年高考数学(理)二轮复习教师用书：第3部分考前增分策略专题13.三角函数与平面向量(含答案)
3.三角函数与平面向量■要点重温…………………………………………………………………………· 1．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)． 特别地，当r ＝1时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.[应用1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． [答案] －152．弧长公式：l ＝|α|R ，扇形面积公式：S ＝12lR ＝12|α|R 2,1弧度(1 rad)＝180°π≈57.3°.[应用2] 已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2 rad ，求该扇形的面积． [解] 设扇形的半径为r, 弧长为l ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8l ＝2r，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2l ＝4.故扇形的面积为S ＝12rl ＝4 cm 2.3．关于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，( A ，ω>0)①五点法作图；[应用3] 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |, x ∈(0,2π)的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (1,3)．(要作出y ＝f (x )的图象，运用数形结合的思想求解. )② 周期T ＝2π|ω|.一般来说，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．如y ＝sin 2x, y ＝|cosx |，但y ＝|tan x |的周期是π，y ＝|sin x |＋|cos x |的周期是π2；函数y ＝sin(x 2), y＝sin|x |都不是周期函数．[应用4] 函数y ＝|sin x |cos x －1的最小正周期与最大值分别为________.[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin2x －1，k π≤x ≤2k π＋π－12sin2x －1，k π－π≤x ≤2k π 作出其图象(图略)知原函数的最小正周期为2π，最大值为－12.[答案] 2π；－12③ 单调性和对称性：y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )；单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )；对称中心为(k π，0)(k ∈Z )．y ＝cos x 的单调递增区间为[2k π－π， 2k π](k ∈Z )；单调递减区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；对称轴为x ＝k π(k ∈Z )；对称中心为(k π＋π2，0)(k ∈Z )．y ＝tan x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )；对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )．[应用5] 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ，x ∈[－π，0]的单调递减区间为________． [解析] ∵x ∈[－π，0]，∴x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π4，令z ＝x －π4，则z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π4，∵正弦函数y ＝sin z 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π4上单调递增，∴由－π2≤x －π4≤－π4得：－π4≤x ≤0.∴函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在x ∈[－π，0]的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0.∴函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在x ∈[－π，0]的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0 [应用6] 求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 [0，π]上的单调递增区间．[解] ∵函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x －cos 2x )(sin 2x ＋cos 2x )＋3sin2x＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)． 故该函数的最小正周期是π.当2x －π6＝2k π－π2时，即x ＝k π－π6时，y 有最小值．由于函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴y min ＝－2，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z .解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .令k ＝0时，－ π6≤x ≤π3.又∵0≤x ≤π，∴0≤x ≤π3， k ＝1时， 56π≤x ≤43π又∵0≤x ≤π.∴56π≤x ≤π.故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.④ 变换：y ＝sin x ――→？y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3――→？y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 y ＝sin x ――→？y ＝sin(2x )――→？y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 你知道上述两种变换过程的区别吗？[应用7] 要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象上所有的点( )A ．横坐标缩短到原来的12 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度[解析] 将函数y ＝2sin(2x ＋π4)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y ＝2sin(x ＋π4)的图象；再向左平行移动π4个单位长度后便得y ＝2sin(x＋π4＋π4)＝2cos x 的图象．故选C. [答案] C[应用8] 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为________. A ．π4B ．3π4C ．0D ．－π4[解析] y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8x →x ＋π8y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由于所得函数为偶函数，则 f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝±1，φ＋π4＝k π＋π2⇒φ＝k π＋π4，k ∈Z ，取k ＝0得φ＝π4，故选A.[答案] A⑤用待定系数法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式．由图中的最大值或最小值确定A ，再由周期确定ω，由图象上“特殊点”的坐标来确定φ. 特别提醒：将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx 0＋φ＝0＋2k π(k ∈Z )，其他依次类推即可． [应用9] 已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如图4所示，则φ＝________.图4[解析] 由图象可得T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－34π＝52π＝2πω，解之得ω＝45.将⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，－1代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋φ，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫35π＋φ＝－1，则35π＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝9π10＋2k π，k ∈Z .又∵φ∈[－π，π)，∴φ＝910π.[答案]910π. 4．三角恒等变换的切入点(1)角的变换：可利用和、差、倍、半角公式； (2)名的互换：诱导公式、正切化正余弦公式；(3)次的变换：利用升、降幂公式； (4)形的变换：统一函数形式． 值得注意的是：①在三角恒等变换中，要特别注意角的各种变换．如：β＝(α＋β)－α，α＝(α－β)＋β， α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β； [应用10] 已知sin(π7－α)＝13，则sin(1714π＋2α)＝________.[解] －79.(提示：设π7－α＝β)②注意sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三者间的关系．[应用11] 已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝55，求cos2θ－sin2θ－11－tan θ的值．[解] cos2θ－sin2θ－11－tan θ＝2sin 2θ＋sin2θtan θ－1＝2sin 2θcos θ＋sin2θcos θsin θ－cos θ＝2sin θcos θθ＋cos θsin θ－cos θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝55，所以sin θcos θ＝25，sin θ＋cos θ＝35，所以原式＝125.③在三角函数的求值问题中，要特别关注角的范围，通常需要结合已知的三角函数值进一步缩小角的范围，以确定所求值的符号，这是此类问题中的难点． [应用12] 设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________.[解析] ∵sin3αsin α＝α＋2αsin α＝sin αcos2α＋cos αsin2αsin α＝cos2α＋2cos 2α＝2cos2α＋1＝135∴cos2α＝45.又∵α为第四象限角，即2k π＋3π2＜α＜2k π＋2π，k ∈Z ，∴4k π＋3π＜2α＜4k π＋4π，k ∈Z ，即2α为第三、四象限角． ∴sin2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.∴tan2α＝sin2αcos2α＝－3545＝－34.[答案] －34④注意二倍角公式的变形，如： sin 2α＝1－cos2α2，cos 2α＝1＋cos2α2.辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a. [应用13] 已知函数f (x )＝sin x 3cos x3＋3cos 2x3.(1) 将f (x )写成A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式．并求其图象对称中心的横坐标；(2) 如果△ABC 的三边，a ，b ，c 成等比数列，且边b 所对的角为x ，试求x 的取值范围及此时函数f (x )的值域．[解] (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3＋32， 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3＝0，即23x ＋π3＝k π(k ∈Z )．得x ＝3k －12π，k ∈Z .即对称中心的横坐标为3k －12π，k ∈Z .(2)由已知b 2＝ac ，cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac2ac＝a 2＋c 22ac －12≥12，又x ＝B ∈(0，π)， ∴0＜x ≤π3，∴23x ＋π3∈(π3，5π9]． ∴sin π3＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3≤1.∴3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3＋32≤1＋32， 即f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤3，1＋32. 5．解三角形(1)正弦定理：2R ＝a sin A ＝b sin B ＝csin C； (2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；(3)内切圆半径：r ＝2S △ABCa ＋b ＋c；面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B ；注意：你要会证明正弦定理和余弦定理．[应用14] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝3，cos A sin B ＋(c －sin A )cos(A ＋C )＝0. (1)求角B 的大小； (2)若△ABC 的面积为32，求sin A ＋sin C 的值． [解] (1)由cos A sin B ＋(c －sin A )cos(A ＋C )＝0， 得cos A sin B －(c －sin A )cos B ＝0，即sin(A ＋B )＝c cos B ，sin C ＝c cos B ，sin Cc＝cos B ，因为sin C c ＝sin B b ，所以sin B 3＝cos B ，即tan B ＝3，B ＝π3.(2)由S ＝12ac sin B ＝32，得ac ＝2，由b ＝3及余弦定理得(3)2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ，所以a ＋c ＝3，所以sin A ＋sin C ＝sin B b (a ＋c )＝32. (4)解三角形时，可能会出现多解的情况，一定要注意检验．比如，在已知两边a ，b 及一边的对角A 的情况下，如果A 为锐角，那么可能出现以下情况(如图5).图5a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥b无解 一解 两解 一解[应用15] 在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解D ．一解或两解[解析] 由正弦定理知sin C ＝c ·sin B b ＝56，又由c >b >c sin B 知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC (图略)，由图知有两解．故选C. [答案] C6．向量共线基本定理：a ∥b ⇔存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0[应用16] 若a ＝(2，－2)，则与a 平行的单位向量的坐标为________． [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22， 227．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.特别地，OP →＝λ1OA →＋λ2OB →，则λ1＋λ2＝1是三点P ，A ，B 共线的充要条件．[应用17] 如图6，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.图6[解析] 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →.又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH→＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12. [答案] 128．夹角与数量积的关系(1)当θ为锐角时，a ·b ＞0，且a 、b 不同向，a ·b >0是θ为锐角的必要不充分条件； (2)当θ为直角时，a ·b ＝0，但由a·b ＝0，不能得到a ⊥b ，还可能a ＝0或b ＝0. (3)当θ为钝角时，a ·b ＜0，且a 、b 不反向，a ·b <0是θ为钝角的必要不充分条件． [应用18] 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________．[解析] 由θ为锐角，得a ·b ＞0，且a 、b 不同向．∴0<2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是{λ|λ>－12且λ≠2}．[答案] {λ|λ>－12且λ≠2}9．解决向量问题有两条途径：数的角度：①利用平面向量基本定理，用两个基向量表示所求向量； ②建系，利用坐标运算．形的角度：利用向量运算的几何意义．[应用19] 如图7在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝1，AC ＝2，D 为BC 边上一点，DC →＝2BD →，则AD →·BC →＝________.图7[答案] 1310．向量中常用的结论：(1)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A 、B 、C 共线； (2)在△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)；(3)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内．若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 为△ABC 的外心；若NA →＋NB →＋NC →＝0，则N 为△ABC 的重心；若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 为△ABC 的垂心． [应用20] 已知O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝________. [解析] 取边长为1的等边△ABC 的边AB 的中点为D ，边AC 的中点为E ， 则OA →＋OB →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →，而由等边三角形的性质可得，OA ＝2OD ，OD ⊥AB ， 所以∠AOD ＝π3，同理可得∠AOE ＝π3，再根据OD ＝OE ＝13·32＝36，可得(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝2OD →·2OE →＝4OD →·OE →＝4×36×36cos 2π3＝－16.[答案] －16■查缺补漏…………………………………………………………………………· 1．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [因为sin2 018°＝sin(11×180°＋38°)＝－sin 38°<0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°)＝－cos 38°<0，所以点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限，选C.]2．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4 B ．π3C.π2D ．3π4A [(a －b )⊥(3a ＋2b )⇒(a －b )·(3a ＋2b )＝0⇒3a 2－2b 2－a ·b ＝0⇒a ·b ＝23b 2.∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝23b 2223b 2＝22⇒〈a ，b 〉＝π4.选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( ) A.74 B ．34 C.73D ．13A [因为b sinB －a sin A ＝12a sinC ，所以b 2－a 2＝12ac ，∵c ＝2a ，∴a 2＋c 2－b 2＝4a 2－12ac ＝3a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3a 22a ·2a ＝34，由于0<B <π，解得：sin B ＝1－cos 2B ＝1－916＝74，故选A.] 4．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32B ．12C ．－12D ．－32D [f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，故选D.]5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A ．32B ．22C ．12D ．－12C [∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2.∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.]6．如图8，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB→等于( )图8A ．－32B ．32C ．－1D ．1D [DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，又DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝(DA →＋13AB →)·(DA →＋AB →)＝DA →2＋13AB →2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD →|·|AB →|cos 60° ＝73－43×1×2×12＝1.] 7．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)的部分图象如图9所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，则f (x )的单调递增区间是( )图9A ．[6k －1,6k ＋2](k ∈Z )B ．[6k －4,6k －1](k ∈Z )C ．[3k －1,3k ＋2](k ∈Z )D ．[3k －4,3k －1](k ∈Z )B [∵|AB |＝5，|y A －y B |＝4，∴|x A －x B |＝3，即T 2＝3，∴T ＝2πω＝6，∴ω＝π3.∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ过点(2，－2)，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝－2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝－1， 又∵0≤φ≤π，∴2π3＋φ＝3π2，解得φ＝5π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6，由2k π－π2≤π3x ＋5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k －4≤x ≤6k－1(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为[6k －4,6k －1](k ∈Z )．故选B.]8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，O 为△ABC 的外心，D 为BC 边上的中点，c ＝4，AO →·AD →＝5，sin C ＋sin A －4sin B ＝0，则cos A ＝( ) A.32B ．12 C.14D ．22C [由题意O 为△ABC 的外心，D 为BC 边上的中点， 可得：AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →·AD →＝5，可得AO →·12(AB →＋AC →)＝12(AO →·AB →)＋12(AO →·AC →)＝5，∴AO →＝12AB →，同理AO →＝12AC →，∴AB →24＋AC→24＝5，即c 24＋b 24＝5；∵c ＝4，∴b ＝2， 又∵sin C ＋sin A －4sin B ＝0，∴4b －c ＝a ，∴a ＝4，由余弦定理可得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝14，故选C.]9．已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，则cos β＝________.12 [∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝12，∴π3<α<π2. 又0<β<π2，∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32，∴2π3<α＋β<π.∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1114，sin α＝1－cos 2α＝437.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.]10．当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2xsin2x的最小值为________．[解析] ∵f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝1tan x ＋4tan x ≥4，当且仅当tan x ＝12时取等号，所以最小值为4. [答案] 411．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：(1)求函数f (x )(2)若π2<α<π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π12＝175，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值. [解] (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ω·π12＋φ＝π2ω·7π12＋φ＝3π2，即⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2φ＝π3.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4－A ＋B ＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴函数f (x )的解析式为：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π12＝175可得3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π12＋π3＋1＝175，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋π3＋1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π＋π3＋1 ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋1＝－6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋1. 又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，7π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－35， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋1＝－6×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋1＝9725.12．(2017·青岛模拟)已知向量，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k sin x3，cos 2x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，－k ，实数k 为大于零的常数，函数f (x )＝a ·b ，x ∈R ，且函数f (x )的最大值为2－12. (1)求k 的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若π2<A <π，f (A )＝0，且a ＝210，求AB →·AC →的最小值．[解] (1)由已知f (x )＝a ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k sin x3，cos 2x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，－k＝k sin x 3cos x 3－k cos 2x 3＝12k sin 2x 3－k ·1＋cos2x 32＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x3－cos 2x 3－k 2＝2k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x 3－22cos 2x 3－k 2 ＝2k 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4－k 2. 因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为2－k2＝2－12， 则k ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4－12， 所以f (A )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A 3－π4－12＝0 化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A 3－π4＝22. 因为π2<A <π，所以π12<2A 3－π4<5π12.则2A 3－π4＝π4，解得A ＝3π4.因为cos A ＝－22＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－402bc ，所以b 2＋c 2＋2bc ＝40，则b 2＋c 2＋2bc ＝40≥2bc ＋2bc ， 所以bc ≤402＋2＝20(2－2)．则AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 3π4＝－22bc ≥20(1－2)．所以AB →·AC →的最小值为20(1－2)．。
2018年高考数学(理)二轮复习教师用书第3部分 考前增分策略 专题1 1.集合与常用逻辑用语 Word版含答案
专题一考前教材重温(对应学生用书第页).集合与常用逻辑用语■要点重温…………………………………………………………………………·．考查集合问题，一定要弄清楚集合所研究的对象，把握集合的实质．如： {＝＋，∈}——函数的定义域；{＝＋，∈}——函数的值域；{(，)＝＋}——函数图象上的点集．特别注意括号中的附加条件，如∈、∈等．[应用] 已知＝{＝，∈ }，＝{＝(＋)，∈}，＝{(，)＝，∈}，则∩＝；∩＝.[答案][] ∅．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[应用] 已知集合＝{＋，(＋)，＋＋}，若∈，则实数＝.[答案]．在解决集合间的关系时，不能忽略空集的情况．[应用] 设集合＝{－}，集合＝{＝，∈}，则使得∩＝的的所有取值构成的集合是( )【导学号：】．{} ．{ ，－}．{，－} ．{－}[解析]因为∩＝，所以⊆，所以＝∅，{－}，{}，因此＝，－，选.[答案]．进行集合运算时，注重数形结合在集合示例中的应用，列举法常借助图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[应用] 设全集＝，集合＝{－－<}，＝{－≥}，则图中阴影部分所表示的集合为( )图．{≤－或≥} ．{<或≥}．{≤}．{≤－}[解析]由图象可知阴影部分对应的集合为∁(∪)，由－－<得－<<，即＝(－)，∵＝{≥}，∴∪＝(－，＋∞)，则∁(∪)＝(－∞，－]，故选.[答案]．命题“若，则”的否命题是“若﹁，则﹁”，而此命题的否定(非命题)是“若，则﹁”.[应用] 下列有关命题的说法正确的是( )．命题“若＝，则＝”的否命题为：“若＝，则≠”．命题“∃∈，使得－>”的否定是：“∀∈，均有－<”．“若＋＝，则，互为相反数”的逆命题为真命题．命题“若＝，则＝”的逆否命题为真命题[解析]中的否命题是“若≠，则≠”；中的否定是“∀∈，均有－≤”；正确；中当＝，＝π时，其逆否命题是假命题．[答案]．理解充分必要条件：如“的充分不必要条件是”是指⇒，且；而“是的充分不必要条件”则是指⇒，且.[应用] 已知，∈，下列四个条件中，使>成立的必要而不充分的条件是( )【导学号：】．>－．>＋．> ．>[解析]由>可得>－，但由>－不能得出>，∴>－是>成立的必要而不充分条件；由>＋可得>，但由>不能得出>＋，∴>＋是>成立的充分而不必要条件；易知>是>的既不充分也不必要条件；>是>成立的充分必要条件．[答案]．否定含有一个量词的命题时注意量词的改变(如命题“或”的否定是“﹁且﹁”，“且”的否定是“﹁或﹁” )；全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．[应用] 已知()＝－π，命题：∀∈，()<，则( )．是假命题，﹁：∀∈，()≥．是假命题，﹁：∃∈，()≥。
2018版高考数学二轮复习 第3部分 考前增分策略 专题2 考前应试技巧 考时“两指导”教学案 理
考时“两指导”1．5分钟内做什么①清查试卷完整状况，清晰地填好个人信息．②用眼用手不用笔，看填空题要填的形式，如是易错做好记号，为后面防错作准备．对大题作粗略分出A、B两类，为后面解题先易后难作准备．③稳定情绪，一是遇到浅卷的心理准备，比审题，比步骤，比细心；二是遇到深卷的心理准备，比审题，比情绪，比意志．2．120分钟内怎样做(1)做到颗粒归仓，把会做的题都做对是你的胜利，把不会做的题抢几分是你的功劳．①审题宁愿慢一点，确认条件无漏再做下去．解题方法好一点，确认路子对了再做下去．②计算步骤规范一点，错误常常出在“算错了”，计算的时候我们的草稿也要写好步骤，确认了再往下走．③考虑问题全面一点，提防陷阱，注意疏漏，多从概念、公式、法则、图形中去考察，尤其是考察是否有特例，考虑结论是否符合题意，分类要明，讨论要全．(2)盯住目标，适度考虑时间分配，保证总分．①高考试题设置：12道选择题、4道填空题、5道大题和1道二选一题．应该坚持由易到难的做题顺序．盯住前10道选择题、前3道填空题确保正确．盯住大题前3题及选考题(二选一题)，确保基础题不失分. 关注选择题后2题及填空题最后1题严防会而放弃，适度关注大题后两题，能抢多少是多少．②选择、填空题(用时40分钟左右)；解答题(用时在80分钟左右)：17—18题防止犯运算和表述错误，平均用时10分钟左右.19题防止犯审题和建模错误，平均用时在15分钟左右.20—21题防止犯第一问会而不做和耗时过多的错误，平均用时在17分钟左右．选考题不会难，是概念和简单运算，要细心又要快，用时在10分钟左右．③要养成一个一次就作对一步到位的习惯，不要给自己回过头来检查的习惯．高考的时候设置一个15分钟的倒数哨声，这就是提醒部分考生把会做的题要写好．同学们，高考迫近，紧张是免不了的，关键是自我调整，学会考试，以平和的心态参加考试，以审慎的态度对待试题，以细心的态度对待运算，以灵动的方法对待新颖试题，只有心神合一，才能思维顺畅，才能在临场考试中发挥出色，并有突破.祝同学们高考数学取得高分！。
2018届高考数学(理)二轮复习教师用书：第二部分 板块(一) 系统思想方法——融会贯通
(一)小题小做 巧妙选择高考数学选择题历来都是兵家必争之地，因其涵盖的知识面较宽，既有基础性，又有综合性，解题方法灵活多变，分值又高，既考查了同学们掌握基础知识的熟练程度，又考查了一定的数学能力和数学思想，试题区分度极佳．这就要求同学们掌握迅速、准确地解答选择题的方法与技巧，为全卷得到高分打下坚实的基础．一般来说，对于运算量较小的简单选择题，都是采用直接法来解题，即从题干条件出发，利用基本定义、性质、公式等进行简单分析、推理、运算，直接得到结果，与选项对比得出正确答案；对于运算量较大的较复杂的选择题，往往采用间接法来解题，即根据选项的特点、求解的要求，灵活选用数形结合、验证法、排除法、割补法、极端值法、估值法等不同方法技巧，通过快速判断、简单运算即可求解．下面就解选择题的常见方法分别举例说明．一、直接法直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[典例] (2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．233[技法演示] 由圆截得渐近线的弦长求出圆心到渐近线的距离，利用点到直线的距离公式得出a 2，b 2的关系求解．依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx－ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b |b 2＋a2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2. [答案] A[应用体验]1．(2016·全国卷Ⅲ)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)解析：选D 由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．故选D.2．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选B 运行程序框图，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7，K ≤6不成立，输出S ＝3.二、数形结合法根据题目条件作出所研究问题的有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断．[典例] (2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0][技法演示]作出函数图象，数形结合求解．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.[答案] D[应用体验]3．(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2解析：选A 作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A ．4．(2014·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤03x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.三、验证法将选项或特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题目条件，然后选择符合题目条件的选项的一种方法．在运用验证法解题时，若能根据题意确定代入顺序，则能提高解题速度．[典例] (2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c[技法演示] 法一：(特殊值验证法)根据a ，b ，c 满足的条件，取特殊值求解． ∵a >b >1,0<c <1，∴不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12，对于A,412＝2,212＝2，2>2，∴选项A 不正确．对于B,4×212＝42，2×412＝4,42>4，∴选项B不正确．对于C,4×log212＝－4,2×log412＝－1，－4<－1，∴选项C正确．对于D，log412＝－12，log212＝－1，－12>－1，∴选项D不正确．故选C．法二：(直接法)根据待比较式的特征构造函数，直接利用函数单调性及不等式的性质进行比较．∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数，∴当a>b>1,0<c<1时，a c>b c，选项A不正确．∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，∴当a>b>1,0<c<1，即－1<c－1<0时，a c－1<b c－1，即ab c>ba c，选项B不正确．∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，∴a lg a>b lg b>0，∴alg b>blg a.又∵0<c<1，∴lg c<0.∴a lg clg b<b lg clg a，∴a log b c<b log a c，选项C正确．同理可证log a c>log b c，选项D不正确．[答案] C[应用体验]5．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－13sin 2x＋a sin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析：选C 法一：(特殊值验证法)取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C ．法二：(直接法)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以错误!解得－错误!≤a ≤错误!.故选C ．四、排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具体的做法是从条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论．[典例] (2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )[技法演示] 根据函数的性质研究函数图象，利用排除法求解．令函数f (x )＝sin 2x1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝－2x 1－－x ＝－sin 2x1－cos x＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f(1)＝sin 21－cos 1＞0，f(π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A、D，选C．[答案] C[应用体验]6．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )解析：选D ∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－e x，则g′(x)＝4x－e x.又g′(0)<0，g′(2)>0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C．故选D.7．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB 的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )解析：选B 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2.∵22<1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B.五、割补法“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间．[典例] (2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[技法演示] 由三视图还原为直观图后计算求解．由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR2＝17π.故选A ．[答案] A[应用体验]8．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A ．18 B ．17C ．16D ．15解析：选D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.六、极端值法选择运动变化中的极端值，往往是动静转换的关键点，可以起到降低解题难度的作用，因此是一种较高层次的思维方法．从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，运用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低难度，优化解题过程．[典例] (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3[技法演示] 根据直三棱柱的性质找出最大球的半径，再求球的体积．由题意得，要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2，∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.故选B.[答案] B[应用体验]9.如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．3∶1解析：选B 将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC AA 1B ＝VA 1ABC ＝VABC A 1B 1C 13.故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1(或1∶2)．七、估值法由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”．[典例] (2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π[技法演示] 由题意，知12V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π， ∴45π＜V 几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B. [答案] B[应用体验]10．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54C ．43D ．53解析：选D 因为双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，所以b a ＝43.因为e ＝c a >b a ，所以e >43.故选D.(二)快稳细活 填空稳夺绝大多数的填空题都是依据公式推理计算型和依据定义、定理等进行分析判断型，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推理和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊值法、数形结合法、等价转化法、构造法、分析法等．解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求更高、更严格．解答时应遵循“快”“细”“稳”“活”“全”5个原则．填空题解答“五字诀” 快——运算要快，力戒小题大做 细——审题要细，不能粗心大意 稳——变形要稳，不可操之过急 活——解题要活，不要生搬硬套 全——答案要全，避免残缺不齐 一、直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等得出正确的结论．[典例] (2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________. [技法演示] 先求出sin A ，sin C 的值，进而求出sin B 的值，再利用正弦定理求b 的值．因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113. [答案]2113[应用体验]1．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.答案：12．(2014·全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x ＋y )8中，T r ＋1＝C r 8x 8－r y r，令r ＝7，再令r ＝6，得x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.答案：－20 二、特殊值法当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替即可得到结论．[典例] (2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[技法演示] 法一：(特殊值法)利用双曲线的性质，设特殊值求解． 如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c ，又2|AB |＝3|BC |，∴设|AB |＝6，|BC |＝4，则|AF 1|＝3，|F 1F 2|＝4，∴|AF 2|＝5.由双曲线的定义可知，a ＝1，c ＝2，∴e ＝c a＝2.故填2. 法二：(直接法)利用双曲线的性质，建立关于a ，b ，c 的等式求解． 如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2C ．又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． [答案] 2[应用体验]3．(2014·安徽高考)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.解析：法一：(特殊值法)由题意知a 1，a 3，a 5成等差数列，a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5成等比数列，所以观察可设a 1＝5，a 3＝3，a 5＝1，所以q ＝1.故填1.法二：(直接法)因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1.答案：1 三、数形结合法根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以快速简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想．[典例] (2016· 全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.[技法演示] 根据直线与圆的位置关系先求出m 的值，再结合图象求|CD |.由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33. 又直线l 的斜率为－m ＝33， 所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6＝23×23＝4. [答案] 4[应用体验]4．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域(如图所示)． ∵z ＝3x ＋y ， ∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1,1)，∴z max ＝3×1＋1＝4. 答案：45．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)上单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3.答案：(－1,3) 四、等价转化法通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而得到正确的结果．[典例] (2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．[技法演示] 利用等比数列通项公式求出首项a 1与公比q ，再将a 1a 2…a n 的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题．设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n2＝23n －n 22＋n2＝2－n 22＋72n .记t ＝－n 22＋7n2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋498，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. [答案] 64[应用体验]6．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 7．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示，∵yx表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴y x的最大值为3.答案：3 五、构造法根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识和解决问题．[典例] (2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.[技法演示] 先构造等比数列，再进一步利用通项公式求解． ∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. [答案] 1 121[应用体验]8．(2016·浙江高考)已知向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b|a ＋b |，则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪aa ＋b |a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋b |a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b |a ＋b |＋b a ＋b |a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b ·a ＋b |a ＋b |＝|a ＋b |. ∵|a ·e |＋|b ·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a ·b ≤6， ∴a ·b ≤12，∴a ·b 的最大值为12.答案：12六、分析法根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论．[典例] (2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．[技法演示] 先确定丙的卡片上的数字，再确定乙的卡片上的数字，进而确定甲的卡片上的数字．因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.[答案] 1和3[应用体验]9．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A[考前热身训练] “12＋4”小题提速练共3套“12＋4”小题提速练(一) (限时：40分钟 满分：80分)一、选择题1．集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |x 2－4x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．(1,3) B ．{1,3} C ．(5,7)D ．{5,7}解析：选B 因为集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |x 2－4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∩B ＝{1,3}．2．已知z ＝1－3i3＋i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1 解析：选D ∵z ＝1－3i3＋i ＝－－3＋i3－i＝－10i 10＝－i ，∴z 的共轭复数z －＝i ，其虚部为1.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，|x |≤1，－10|x |＋3，|x |>1，若f (0)＝2，则a ＋f (－2)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，|x |≤1，－10|x |＋3，|x |>1，由f (0)＝2，可得log 2(0＋a )＝2，∴a ＝4.∴a ＋f (－2)＝4－105＝2.4．如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π3，若向扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为( )A ．100B ．200C ．400D ．450解析：选C 如图所示，作CD ⊥OA 于点D ，连接OC 并延长交扇形于点E ，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ，∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴落入圆内的点的个数估计值为600·πr216πr2＝400.5．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －3)2＋(y －1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为( )A ．2B ． 5C ． 3D ． 2解析：选A 由题可知双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，与圆相切，∴圆心(3，1)到渐近线的距离为|3b －a |a 2＋b 2＝1或|3b ＋a |a 2＋b2＝1，又a >0，b ＞0，解得3a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，即c ＝2a ，∴e ＝ca＝2.6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是( )A ．－3B ．－12C ．13D ．2解析：选A 模拟程序框图的运算结果如下： 开始S ＝2，i ＝1.第一次循环，S ＝－3，i ＝2；第二次循环，S ＝－12，i ＝3；第三次循环，S ＝13，i ＝4；第四次循环，S ＝2，i ＝5；第五次循环，S ＝－3，i ＝6；……，可知S 的取值呈周期性出现，且周期为4，∵跳出循环的i 值2 018＝504×4＋2，∴输出的S ＝－3.7．在△ABC 中，|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，则CB ―→·CA ―→的值为( )A ．3B ．－3C ．－92D ．92解析：选 D 由|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，两边平方可得|AB ―→|2＋|AC ―→|2＋2AB ―→·AC ―→＝3|AB ―→|2＋3|AC ―→|2－6AB ―→·AC ―→，又|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，∴AB ―→·AC ―→＝92，∴CB ―→·CA ―→＝(CA ―→＋AB ―→)·CA ―→＝CA ―→2＋AB ―→·CA ―→＝CA ―→2－AB ―→·AC ―→＝9－92＝92.8．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则{a n }的前10项和S 10＝( ) A ．－10 B ．－5 C ．0D ．5解析：选C 由a 24＋a 25＝a 26＋a 27，可得(a 26－a 24)＋(a 27－a 25)＝0，即2d (a 6＋a 4)＋2d (a 7＋a 5)＝0，∵d ≠0，∴a 6＋a 4＋a 7＋a 5＝0，∵a 5＋a 6＝a 4＋a 7，∴a 5＋a 6＝0，∴S 10＝a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝0.9．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：选B ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x －1cos x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除A ，C ；又由当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )<0，函数图象位于第四象限，可排除D ，故选B. 10．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若AF ―→＝3FB ―→，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．12C ．32D ． 3解析：选D 作出抛物线的准线l ：x ＝－1， 设A ，B 在l 上的投影分别是C ，D ，连接AC ，BD ，过B 作BE ⊥AC 于E ，如图所示．∵AF ―→＝3FB ―→，∴设|AF |＝3m ， |BF |＝m ，则|AB |＝4m ，由点A ，B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|AC |＝|AF |＝3m ，|BD |＝|BF |＝m ，则|AE |＝2m .因此在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝2m 4m ＝12，得∠BAE ＝60°.所以直线AB 的倾斜角∠AFx ＝60°，故直线AB 的斜率为k ＝tan 60°＝ 3. 11．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为( )A ．4πB ．28π3C ．44π3D ．20π解析：选B 由三视图知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，则三棱柱的两个底面的中心连线的中点到三棱柱的顶点的距离就是其外接球的半径r ，所以r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32＋12＝73，则球面的表面积为4πr 2＝4π×73＝28π3. 12．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C ．94D ．3解析：选B ∵x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2，又x ，y ，z 均为正实数，∴xy z＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤12x y ×4y x－3＝1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫xy z max ＝1，此时x ＝2y ，则z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3×2y ×y ＋4y 2＝2y 2， ∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，满足题意． ∴2x ＋1y －2z的最大值为1.二、填空题13．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则a 6＝________.解析：∵a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，a 1q ＋a 1q 3＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝2，∴a 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝116.答案：11614．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6 ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫332＝13. 答案：1315．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________．解析：由z ＝ax ＋by (a >0，b >0)得y ＝－ab x ＋z b ，∵a ＞0，b ＞0，∴直线y ＝－ab x ＋z b的斜率为负．作出不等式组表示的可行域如图，平移直线y ＝－ab x ＋z b ，由图象可知当y ＝－a b x ＋z b经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，即A (4,6)．此时z ＝4a ＋6b ＝10，即2a ＋3b －5＝0，即点(a ，b )在直线2x ＋3y －5＝0上，因为a 2＋b 2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，又原点到直线的距离d ＝|－5|22＋32＝513，故a 2＋b 2的最小值为d 2＝2513.答案：251316．已知函数f (x )＝|x e x|－m (m ∈R)有三个零点，则m 的取值范围为________． 解析：函数f (x )＝|x e x|－m (m ∈R)有三个零点，即y ＝|x e x|与y ＝m 的图象有三个交点．令g (x )＝x e x，则g ′(x )＝(1＋x )e x，当x ＜－1时，g ′(x )＜0，当x ＞－1时，g ′(x )＞0，故g (x )＝x e x在(－∞，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，g (－1)＝－1e ，又由x ＜0时，g (x )＜0，当x ＞0时，g (x )＞0，故函数y ＝|x e x|的图象如图所示：由图象可知y ＝m 与函数y ＝|x e x|的图象有三个交点时，m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e “12＋4”小题提速练(二) (限时：40分钟 满分：80分)一、选择题1．(2017·西安模拟)已知集合A ＝{x |log 2x ≥1}，B ＝{x |x 2－x －6＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．{x |2＜x ＜3} C ．{x |2≤x ＜3}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：选C 化简集合得A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．2．(2017·福州模拟)已知复数z ＝2＋i ，则zz＝( )A ．35－45iB ．－35＋45iC ．53－43i D ．－53＋43i解析：选A 因为z ＝2＋i ，所以zz ＝2－i2＋i＝－25＝35－45i. 3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选C 因为a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，又c ＝5－12＝15，5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，故c ＜a ＜b .4．(2018届高三·兰州一中月考)在电视台举办的一次智力答题中，规定闯关者从图中任选一题开始，必须连续答对能连成一条线的3道题目，闯关才能成功，则闯关成功的答题方法有( )A ．3种B ．8种C ．30种D ．48种解析：选D 能连成横着的一条线的有123,456,789，共3种，能连成竖着的一条线的有147,258,369，共3种，能连成对角线的有159,357，共2种，故共有8种．又因为每种选择的答题顺序是任意的，故每种选择都有6种答题方法：如答题为1,2,3时，答题方法有：1→2→3,1→3→2,2→1→3,2→3→1,3→1→2,3→2→1.所以共有8×6＝48(种)答题方法．5．(2017·合肥模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x＋2y 的最大值为( )A ．5B ．6C ．132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的可区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝x ＋2y ＝132.6．(2018届高三·宝鸡调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585解析：选B 依题意，执行题中的程序框图，当输入x 的值为1时，进行第一次循环，S ＝1＜50，x ＝2；进行第二次循环，S ＝1＋23＝9＜50，x ＝4；进行第三次循环，S ＝9＋43＝73＞50，此时结束循环，输出S 的值为73.7．(2017·衡阳三模)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：选C 因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n .8．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝AC ＝3，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为( )A ．16916π B ．8πC ．28916π D ．2516π 解析：选C 如图所示，当点D 位于球的正顶部时四面体的体积最大，设球的半径为R ，则四面体的高为h ＝R ＋R 2－1，四面体的体积为V ＝13×12×(3)2×sin 60°×(R ＋R 2－1)＝34×(R ＋R 2－1)＝3，解得R ＝178， 所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫1782＝289π16，故选C ． 9．(2018届高三·湖北七校联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设条件p ：0＜r ＜3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12＋－32＝2.当0＜r ＜1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1； 当1＜r ＜2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当2＜r ＜3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上，当0＜r ＜3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C ．10．(2017·合肥模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .P 是椭圆上一点，满足PF 2⊥F 1F 2，点Q 在线段PF 1上，且F 1Q ―→＝2 QP ―→.若F 1P ―→·F 2Q ―→＝0，则e 2＝( )A ．2－1B ．2－ 2C ．2－ 3D ．5－2解析：选C 由题意可知，在Rt △PF 1F 2中，F 2Q ⊥PF 1，所以|F 1Q |·|F 1P |＝|F 1F 2|2，又|F 1Q |＝23|F 1P |，所以有23|F 1P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2，即|F 1P |＝6c ，进而得出|PF 2|＝2C ．又由椭圆定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝6c ＋2c ＝2a ，解得e ＝c a＝26＋2＝6－22，所以e 2＝2－ 3.11．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增解析：选D f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，因为0＜φ＜π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D.12．(2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域A 包含(0，＋∞)，因此对方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)．二、填空题13．(2017·兰州模拟)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝π3，则BD ―→·CD ―→＝________. 解析：由菱形的性质知|BD ―→|＝3a ，|CD ―→|＝a ，且〈BD ―→，CD ―→〉＝π6，∴BD ―→·CD―→＝3a ×a ×cos π6＝32a 2.答案：32a 214．(2017·石家庄模拟)若⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的展开式的二项式系数之和为64，则含x 3项的系数为________．解析：由题意，得2n＝64，所以n ＝6，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 12－3r . 令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中含x 3项的系数为C 36＝20. 答案：2015．某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出三箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，则ξ的数学期望E (ξ)＝________.解析：由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3， P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 23C 25＝950，P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 23C 25＋C 24C 25·C 13C 12C 25＝1225，P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 13C 12C 25＋C 24C 25·C 22C 25＝310，P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 22C 25＝125，所以ξ的数学期望为E (ξ)＝0×950＋1×1225＋2×310＋3×125＝65.答案：6516．(2018届高三·云南调研)已知三棱锥P ABC 的所有顶点都在表面积为289π16的球面上，底面ABC 是边长为3的等边三角形，则三棱锥P ABC 体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R ，则有4πR 2＝289π16，R ＝178，△ABC 的外接圆半径为r＝32sin 60°＝1，球心到截 面ABC 的距离h ＝R 2－r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1782－12＝158，因此点P 到截面ABC 的距离的最大值等于h ＋R ＝178＋158＝4，因此三棱锥P ABC 体积的最大值为13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3432×4＝ 3. 答案： 3“12＋4”小题提速练(三)(限时：40分钟 满分：80分)一、选择题1．已知集合M ＝{x |16－x 2≥0}，集合N ＝{y |y ＝|x |＋1}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |－2≤x ≤4} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1≤x ≤4}D ．{x |x ≥－2}解析：选C 由M 中16－x 2≥0，即(x －4)(x ＋4)≤0，解得－4≤x ≤4，所以M ＝{x |－4≤x ≤4}，集合N ＝{y |y ＝|x |＋1}＝[1，＋∞)，则M ∩N ＝{x |1≤x ≤4}．2．若复数z 满足z (4－i)＝5＋3i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．1－i B ．－1＋i C ．1＋iD ．－1－i解析：选A 由z (4－i)＝5＋3i ，得z ＝5＋3i4－i＝＋＋4－i4＋i＝17＋17i 17＝1＋i ，则复数z 的共轭复数为 1－i. 3．由变量x 与y 的一组数据：得到的线性回归方程为y ＝2x ＋45，则y ＝( ) A ．135 B ．90 C ．67D ．63解析：选D 根据表中数据得x －＝15×(1＋5＋7＋13＋19)＝9，线性回归方程y ^＝2x ＋45过点(x －，y －)，则y －＝2×9＋45＝63.4．如图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是( )A ．输出a ，b ，c 三个数中的最大数B ．输出a ，b ，c 三个数中的最小数C ．将a ，b ，c 按从小到大排列D ．将a ，b ，c 按从大到小排列解析：选B 由程序框图知：第一个判断框是比较a ，b 大小，a 的值是a ，b 之间的较小数；第二个判断框是比较a ，c 大小，输出的a 是a ，c 之间的较小数．∴该程序框图的功能是输出a ，b ，c 三个数中的最小数．故选B.5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象经过下列平移，可以得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6图象的是( )A ．向右平移π6个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位解析：选B 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位，可得y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象． 6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴若f (x )为[0,1]上的增函数，则f (x )在[－1,0]上是减函数，又∵f (x )是定义在R 上的以2为周期的函数，且[3,4]与[－1,0]相差两个周期， ∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f (x )为[3,4]上的减函数，故充分性成立． 若f (x )为[3,4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f (x )在[－1,0]上是减函数， 再由函数是偶函数可得出f (x )为[0,1]上的增函数，故必要性成立．综上，“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的充要条件． 7．某三棱锥的三视图如图所示，其三个视图都是直角三角形，则该三棱锥的体积为( )A ．13B ．23C ．1D ．6解析：选A 由已知中的三视图可得，该三棱锥的底面面积S ＝12×2×1＝1，高h ＝1，故体积V ＝13Sh ＝13.8．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝4，|b |＝1，且b ⊥(a －xb )，则实数x 为( ) A ．4B ．2C ．1D ．12。
2018年高三数学(理科)二轮复习完整版
专题限时集训 (一)A
基础演练
[ 第 1 讲 集合与常用逻辑用语 ] (时间： 5 分钟＋ 30 分钟 )
1．设 U＝ {1 ， 2， 3， 4， 5} ， A＝ {1 ， 5} ， B＝{2 ， 4} ，则 B∩ (?UA)＝ ( )
A ． {2 ， 3， 4}
B ． { 2}
C． {2 ， 4}
专题限时集训 (一 )B
[ 第 1 讲 集合与常用逻辑用语 ] (时间： 5 分钟＋ 30 分钟 )
基础演练
1．已知全集 U＝ R ，A＝ { x|x≤ 0} ，B＝ { x|x≥ 1} ，则集合 ?U(A∪ B) ＝( )
A ． { x|x≥ 0}
B ． { x|x≤ 1}
C． { x|0≤ x≤ 1}
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知集合 M ＝ { x|－ 2≤ x<2} ，N＝{ x|y＝ log 2(x－ 1)} ，则 M ∩ N＝ ( )
A ． { x|－ 2≤ x<0}
B ． { x|－ 1< x<0}
C． { x|1<x<2}
形成系统化、条理化的知识框架．四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度 适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法． 二、时间安排：
1．第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段， 月 30 日。
时间为 3 月 10—— 4
2．第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为
7.试卷讲评随意，对答案式的讲评。对答案式的讲评是影响讲评课效益的大敌。评讲的较好 做法应该为，讲评前认真阅卷，讲评时将归类、纠错、变式、辩论等方式相结合，抓错误点、 失分点、模糊点，剖析根源，彻底矫正。 四、在第二轮复习过程中，我们安排如下： 1. 继续抓好集体备课。 每周一次的集体备课必须抓落实， 发挥集体智慧的力量研究数学高考 的动向，学习与研究《考试大纲》 ，注意哪些内容降低要求，哪些内容成为新的高考热点，每 周一次研究课。 2．安排好复习内容。 3．精选试题，命题审核。 4．测试评讲，滚动训练。 5．精讲精练：以中等题为主。
2018年高考数学理科山东专版二轮专题复习与策略教师用
突破点19集合与常用逻辑用语(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)空集是任何集合的子集．(4)含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(5)重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.设集合A＝{x|(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q).(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定綈：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．专题限时集训(十九) 集合与常用逻辑用语[A 组 高考题、模拟题重组练]一、集合1．(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 D [∵x 2－4x ＋3＜0，∴1＜x ＜3，∴A ＝{x |1＜x ＜3}．∵2x －3＞0，∴x ＞32，∴B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞32. ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞32＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32＜x ＜3.故选D.]2．(2016·全国甲卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}C [B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z}＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z}＝{0,1}，又A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．]3．(2016·山东高考)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)C [由已知得A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}，则A ∪B ＝{x |x >－1}．故选C.]4．(2016·浙江高考)已知集合P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B [∵Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2<4}＝{x|－2<x<2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}＝(－2,3]．]5．(2012·全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则() A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅B[∵A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，∴B A.]6．(2016·威海二模)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝()A．(－1,2) B．[2,3)C．(2,3) D．(－1,2]B[A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，由题意知A－B＝{x|2≤x＜3}，故选B.]二、命题及其关系、充分条件与必要条件7．(2016·泰安一模)以下说法错误的是()【导学号：67722074】A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x ＋2≠0”B．“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若命题p：存在x0∈R，使得x20－x0＋1＜0，则綈p：对任意x∈R，都有x2－x＋1≥0D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D[“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，A项正确；由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，因此“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，B项正确；命题p：存在x0∈R，使得x20－x0＋1＜0，则綈p：对任意x∈R，都有x2－x ＋1≥0，C项正确；由p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，因此D 项不正确．故选D.]8．(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件C [当x ＝1，y ＝－2时，x ＞y ，但x ＞|y |不成立；若x ＞|y |，因为|y |≥y ，所以x ＞y .所以x ＞y 是x ＞|y |的必要而不充分条件．]9．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧ y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．故选A.]10．(2016·山东高考)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.]11．(2016·黄冈二模)设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是()A．－1＜x≤1 B．x≤1C．x＞－1 D．－1＜x＜1D[由x∈A且x∉B知x∈A∩(∁R B)，又∁R B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝{x|－1＜x＜1}．]三、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词12．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2nC[因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]13．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∧綈q D．綈p∧綈qB[当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x＜3x，∴p：∀x∈R,2x＜3x是假命题．如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，∴q：∃x∈R，x3＝1－x2是真命题．∴p∧q为假命题，排除A.∴綈p为真命题，∴綈p∧q是真命题，选B.]14．(2016·潍坊二模)下列命题中假命题的是()A．∃x0∈R，ln x0＜0B．∀x∈(－∞，0)，e x＞x＋1C．∀x＞0,5x＞3xD．∃x0∈(0，＋∞)，x0＜sin x0D[对于A，比如x0＝1e时，ln1e＝－1，是真命题；对于B，令f(x)＝ex－x－1，f ′(x )＝e x －1＜0，f (x )递减，所以f (x )＞f (0)＝0，是真命题；对于C ，函数y ＝a x 当a ＞1时是增函数，是真命题，对于D ，令g (x )＝x －sin x ，g ′(x )＝1－cos x ≥0，g (x )递增，所以g (x )＞g (0)＝0，是假命题．故选D.]15．(2016·青岛一模)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2或m ＞－1C ．m ≤－2或m ≥2D ．－1＜m ≤2B [由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立，可得－2＜m ＜2，若命题p ，q 均为真命题，则此时－2＜m ≤－1.因为p ∧q 为假命题，所以命题p ，q 中至少有一个为假命题，所以m ≤－2或m ＞－1.]16．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题： p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2；p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2；p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3；p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3 C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4， 得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0.y ＝－x 2＋u 2，u 2表示纵截距结合题意知p 1，p 2正确．][B 组 “10＋5”模拟题提速练]一、选择题1．(2016·济南模拟)已知集合M＝{x|x2－2x－8≤0}，集合N＝{x|lg x≥0}，则M∩N＝()A．{x|－2≤x≤4} B．{x|x≥1}C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2}C[M＝{x|－2≤x≤4}，N＝{x|x≥1}，则M∩N＝{x|1≤x≤4}．]2．(2016·菏泽一模)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x∈Z||x|≤1}，则A∩(∁Z B)＝()A．∅B．4C．{3,4} D．{2,3,4}D[因为集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x∈Z||x|≤1}＝{－1,0,1}，所以A∩(∁Z B)＝{2,3,4}．]3．(2016·江南十校一模)已知集合P＝{x|－1＜x＜b，b∈N}，Q＝{x|x2－3x ＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则b的最小值等于()A．0 B．1C．2 D．3C[集合P＝{x|－1＜x＜b，b∈N}，Q＝{x|x2－3x＜0，x∈Z}＝{1,2}，P∩Q ≠∅，可得b的最小值为2.]4．(2016·武汉一模)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，集合B＝{x|x2－cx＜0，c ＞0}，若A⊆B，则c的取值范围为()A．(0,1] B．(0,1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)C[由题意将两个集合化简得：A＝(0,1)，B＝(0，c)，因为A⊆B，所以c≥1.]5．(2016·贵州七校联考)以下四个命题中，真命题的个数是()①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC中，A<B是sin A<sin B的充分不必要条件．A ．0B ．1C ．2D ．3C [对于①，原命题的逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，而a ＝2，b ＝－2满足a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a ＝b ＝2时，lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A <B ⇔a <b (a ，b 为角A ，B 所对的边)⇔2R sin A <2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A <sin B ，故A <B 是sin A <sin B 的充要条件，故④是假命题．选C.]6．(2016·郑州一模)已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的( )【导学号：67722075】A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [命题甲能推出命题乙，是充分条件，命题乙：直线EF 和GH 不相交，可能平行，命题乙推不出命题甲，不是必要条件．]7．(2016·临沂一模)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥－1，B ＝{y |y ＝e x ＋1，x ≤0}，则下列结论正确的是( )A ．A ＝BB ．A ∪B ＝RC ．A ∩(∁R B )＝∅D ．B ∩(∁R A )＝∅D [A ＝{y |0＜y ≤2}，B ＝{y |1＜y ≤2}，则∁R A ＝{y |y ≤0或y ＞2}，从而B ∩(∁R A )＝∅.]8．(2016·青岛一模)已知a ∈R ，则“a ＜1”是“|x －2|＋|x |＞a 恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[因为|x－2|＋|x|≥|(x－2)－x|＝2，所以a＜1时，|x－2|＋|x|＞a恒成立，反之若|x－2|＋|x|＞a恒成立，则a＜1不一定成立，故选A.]9．(2016·威海二模)命题p：若2x≥2y，则lg x≥lg y；命题q：若随机变量N(3，σ2)，P(ξ≤6)＝0.72，则P(ξ≤0)＝0.28.下列命题为真命题的是() A．p∧q B．綈p∧qC．p∨綈q D．綈p∧綈qB[对于命题p，当x＜0，y＜0时，lg x，lg y没有意义，故命题p是假命题，对于命题q：由P(ξ≤3)＝12，P(0＜ξ≤3)＝P(3＜ξ≤6)＝0.72－0.5＝0.22，得P(ξ≤0)＝0.5－0.22＝0.28，故命题q是真命题．综上知綈p∧q为真命题，故选B.]10．(2016·商丘二模)命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为()A．p∧q B．p∨qC．p∧(綈q) D．綈qB[令t＝x2－2x，则函数y＝log2(x2－2x)化为y＝log2t，由x2－2x＞0，得x＜0或x＞2，所以函数y＝log2(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．函数t＝x2－2x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x＝1，所以函数t＝x2－2x在定义域内的增区间为(2，＋∞)．又因为函数y＝log2t是增函数，所以复合函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是(2，＋∞)．所以命题p为假命题；由3x＞0，得3x＋1＞1，所以0＜13x＋1＜1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题，故选B.]二、填空题11．(2016·厦门二模)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．4 [A ＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R}＝{1,2}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}＝{1,2,3,4}．因为A ⊆C ⊆B ，所以C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．]12．(2016·泉州二模)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为________.【导学号：67722076】至少有一个实数的平方不是正数 [因为“全称命题”的否定一定是“特称命题”，所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．]13．(2016·郴州二模)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8，B ＝{x ∈R|－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．(2，＋∞) [A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8＝{x |－1＜x ＜3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A ⊆B ，所以m ＋1＞3，即m ＞2.]14．(2016·菏泽一模)已知命题p ：∀x ∈R ，|1－x |－|x －5|＜a ，若綈p 为假命题，则a 的取值范围是________．(4，＋∞) [由题意知，命题p 为真命题，由|1－x |－|x －5|≤|(1－x )＋(x －5)|＝4，得a ＞4.]15．(2016·哈尔滨一模)设p ：(x －a )2＞9，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若綈p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ [綈p ：(x －a )2≤9，所以a －3≤x ≤a ＋3， q ：x ≤－1或x ≥12.因为綈p 是q 的充分不必要条件，所以a ＋3≤－1或a －3≥12，即a ≤－4或a ≥72.]。
2018届高三数学理二轮复习第二部分 考前30天教师用书
高中数学题分客观题与主观题两大类，而客观题分为选择题与填空题，选择题属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选项两方面的条件所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．而填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．解答此类题目的方法一般有直接法、特例法、数形结合法、构造法、排除法等．直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．[典例] (1)(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i[解析] ∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z |z |＝4－3i 5＝45－35i. [答案] D(2)(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d .所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.[答案] 20 [技法领悟]直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解客观题的关键．[应用体验]1．(2016·海口调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |7－6x ≤0}，集合B ＝{x |y ＝lg(x ＋2)}，则(∁U A )∩B 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，76B.⎝ ⎛⎭⎪⎫76，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，76D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－76 解析：选A 依题意得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥76，∁U A ＝{x |x <76}；B ＝{x |x ＋2>0}＝{x |x >－2}，因此(∁U A )∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <76，选A.2．(2016·合肥质检)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10解析：选C 因为a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a (1＋4a b )＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号，选项C 正确．3．(2016·福建质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，则cos 2α的值等于( )A.79 B ．－79 C.89 D ．－89解析：选A 法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，所以sin α＝－13，所以cos α＝±223，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫±2232－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝79，故选A.法二：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×19＝79，故选A.4．(2016·武汉调研)已知直线y ＝233x 和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于不同的两点M ，N ，若点M ，N 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e ＝( )A.22B.32C.33D.23解析：选C 由题意知，直线与椭圆的两交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，则有－b 2a －b 2a－c －c ＝233，整理得3b 2＝23ac ，即3(a 2－c 2)＝23ac ，亦即3e 2＋23e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍)，故选C.从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．[典例] (1)如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )A ．a 1a 8>a 4a 5B ．a 1a 8<a 4a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5[解析] 取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，显然只有1×8<4×5成立． [答案] B(2)(2015·四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M ，N 满足，，则＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] 法一：(特例法)若四边形ABCD 为矩形，建系如图．由，，知M (6，3)，N (4，4)∴＝(6，3)，＝(2，－1)＝6×2＋3×(－1)＝9.法二：如图所示，由题设知：＝13×36－316×16＝9. [答案] C [技法领悟]特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．[应用体验]1．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[x ]C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[2x ]解析：选D 当x ＝12时，可排除A 、B 、C.2.如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1 D.3∶1解析：A 1，Q →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC AA 1B ＝VA 1ABC ＝VABC A 1B 1C 13.故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1(或1∶2)．3．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1，2，3，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：选C 因为a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，所以令n ＝3，代入得a 5·a 1＝26，再令数列为常数列，得每一项为8，则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝9＝32.4．设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的长轴的两端点分别是M ，N ，P 是C 上异于M ，N 的任意一点，则PM 与PN 的斜率之积等于________．解析：取特殊点，设P 为椭圆的短轴的一个端点(0，3)，又M (－2，0)，N (2，0)，所以k PM ·k PN ＝32·3－2＝－34.答案：－34数形结合法是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思考，促使抽象思维和形象思维有机结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决的方法．[典例] (1)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}[解析] 令g (x )＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图． 由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． [答案] C(2)(2016·北京高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． [解析] 当x ≤a 时，由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象．①若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. ②当a ≥－1时，f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >(x 3－3x )max ，所以a <－1. [答案] ①2 ②(－∞，－1) [技法领悟]平面几何图形、Venn 图、三角函数线、函数的图象等，都是常用的图形．利用函数图象或某些数学知识的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，再辅以简单计算，确定正确答案，从而有效地降低这类客观题的错误率．[应用体验]1．(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A ．4B ．9C ．10D ．12解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内点到原点距离的平方，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.2．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：选B 如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°.3．(2016·四川高考)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足||＝1，的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋2334解析：选B 设BC 的中点为O ，以点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)．又||＝1，∴点P 的轨迹方程为x 2＋(y－3)2＝1.由知点M 为PC 的中点，设M 点的坐标为(x ，y )，相应点P 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，∴(2x －3)2＋(2y －3)2＝1， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，∴点M 的轨迹是以H ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，r ＝12为半径的圆，∴|BH |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3， ∴||的最大值为3＋r ＝3＋12＝72， ∴||2的最大值为494.4．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析：由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0＜b ＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．答案：(0，2)用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到解决．它需要对基础知识和基本方法进行积累，从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化．[典例] 如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．[解析] 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.[答案]6π[技法领悟]构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．[应用体验]1．(2016·全国丙卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b 解析：选A a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝523.∵y ＝x 23在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .2．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，且直线m ，n 不重合，由下列三个条件：①m ∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③m ⊂γ，n ∥β.能推得m ∥n 的条件是________(填序号)． 解析：构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD ′A ′，平面β为平面ABCD ，则直线m 为直线AD .因m ∥γ，故可取平面γ为平面A ′B ′C ′D ′，因为n ⊂γ且n ∥β，故可取直线n 为直线A ′B ′.则直线AD 与直线A ′B ′为异面直线，故m 与n 不平行；对于①：α，β取②中平面，取平面γ为平面BCC ′B ′，可取直线n 为直线BC ，故可推得m ∥n ；对于③：α，β取②中平面，取γ为平面AB ′C ′D ，取直线n 为直线B ′C ′故可推得结论．答案：①③排除法也叫筛选法、淘汰法．它是解选择题的一种常用方法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰选项逐一排除，从而获得正确结论．[典例] (1)(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )[解析] ∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而π2＜π2，且y ＝sin π24＜1，故D 项正确．[答案] D(2)(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y >0 B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0 [解析] 因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(xy )＝ln 1＝0，排除D ，故选C.[答案] C[技法领悟](1)排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．(2)排除法有时会与特例法相结合，通过取一些特殊值，排除错误选项，得到正确答案．[应用体验]1．(2016·福建质检)已知a ＞0，b ＞0，则“ab ＞1”是“a ＋b ＞2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为a ＞0，b ＞0，若ab ＞1，则a ＋b ≥2ab ＞2，所以ab ＞1可以推出a ＋b ＞2；反之，若a ＋b ＞2，取a ＝3，b ＝0.2，满足a ＋b ＞2，但不能推出ab ＞1，所以“ab ＞1”是“a ＋b ＞2”的充分不必要条件，故选A.2．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )A ．0＜a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0解析：选C 当a ＝0时，x ＝－12，故排除A 、D.当a ＝1时，x ＝－1，排除B.3．函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，0 B.[]－1，0 C.[]－2，－1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 解析：选B 令sin x ＝0，cos x ＝1，则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A 、D ； 令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，log 1x ，x ＞1，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是( )解析：选D 当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当x ＝－13时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝log 1343＜0，即y ＝f (1－x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，log 1343，排除C.。
2018年高考数学理二轮复习教师用书：第3部分 考前增分策略 专题1 6-直线、圆、圆锥曲线 含答案 精品
6.直线、圆、圆锥曲线■要点重温…………………………………………………………………………· 1．直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为[0，π)．(2)经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的倾斜角为α(α≠90°)，则斜率为k ＝tan α＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)； (3)解决直线的倾斜角与斜率的问题，可借助k ＝tan α的图象(如图22)．图22[应用1] 已知直线l 过P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.【导学号：07804189】[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 2．直线方程的几种形式：点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1；截距式：x a ＋yb＝1(a ≠0，b ≠0)；一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．要注意由于“截距为零”或“斜率不存在”等特殊情况造成丢解．[应用2] 若直线在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，且过点(1,2)，则此直线方程为________．[答案] x ＋2y －5＝0或y ＝2x 3．两直线的平行与垂直(1)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.特别提醒： A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，A 1A 2≠B 1B 2，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件．[应用3] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． [答案] －1 12 m ≠3且m ≠－1 34．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [应用4] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． [答案] 1513265．圆的方程：(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)；(3)以线段P 1P 2为直径的圆方程：(x －x 1)(x －x 2)＋ (y －y 1)(y －y 2)＝0.(4)求圆的方程的方法：待定系数法，即根据题意列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组，求得a ，b ，r 或D ，E ，F 的对应值，代入圆的标准方程或一般方程便可．解题时注意圆的几何性质的应用．[应用5] (1) 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________.(2)求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程． [答案] (1)－1(2)x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0或 x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0 6．直线与圆的位置关系(1)若直线与圆相交，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则l ＝2r 2－d 2. (2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦． (3)讨论直线与圆的位置关系时，一般不用Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，d >r ，分别确定相交、相切、相离的位置关系． [应用6] 过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[解析] 点(3,1)与圆心(1,0)的连线的斜率为12，所以直线AB 的斜率为－2，显然(1,1)为其中一个切点，所以直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，化简得2x ＋y －3＝0.故选A.[答案] A7．(1) 圆锥曲线的定义和性质[应用7] (1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( ) A.19 B ．125 C.15D ．13(2)若x 2m ＋y 2n＝1表示椭圆，则m ，n 应满足的关系是________.【导学号：07804190】(3)已知椭圆的离心率为12，且过点(2,3)，求椭圆的标准方程．[解析] (1)由抛物线定义可得M 点到准线的距离为5，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ，∴M (1,4)，点A (－a ，0)，由AM 的斜率等于渐近线的斜率得41＋a ＝1a ，解得a ＝19，故选A.[答案] (1)A (2)m ＞0，n ＞0，m ≠n (3)x 216＋ y 212＝1和 x 2434＋ y 2433＝18．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[应用8] 已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( ) A ．1∶ 2 B ．1∶ 3 C ．1∶2D ．1∶3[解析] 由题意可知直线l 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，－22p ，所以|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，|FM |＝p ＋p 2＝32p ，所以|NF |∶|FM |＝1∶2. [答案] C[应用9] 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点A (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解] 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为y ＝k (x －1)＋1. 代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得，(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 由Δ＝4k 2(k －1)2－4(2－k 2)(2k －3－k 2)>0， 解得k <32.设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2kk －k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k k －k 2－2＝1，解得k ＝2>32，故不存在被点A (1,1)平分的弦．■查缺补漏…………………………………………………………………………·1．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1C [因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0，又直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，得r ＝|3＋2|5＝1，所以该圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.]2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( )【导学号：07804191】A.x 29－y 216＝1 B ．x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1B [由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (－2,1)，则直线l 的斜率为( ) A ．13 B ．32 C ．12D ．1C [由题意得c a ＝32，2ab ＝12⇒a 2＝12，b 2＝3，利用点差法得直线l 的斜率为－b 2x 中a 2y 中＝－－12×1＝12，选C.] 4．若抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A ．34B ．32C ．1D ．2D [设抛物线的焦点为F (0,1)，AB 的中点为M ，准线方程为y ＝－1，则点M 到准线的距离d ＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝3，即点M 到准线的距离的最小值为d min ＝3，所以点M 到x轴的最短距离d ′min ＝d min －1＝2，选D.]5．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的点，点M 为圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1上的动点，点N 为圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1上 的动点，则|PM |＋|PN |的最大值为( ) A ．8 B ．12 C ．16D ． 20B [由题可知，(|PM |＋|PN |)max ＝|PC 1|＋|PC 2|＋2＝12，故选B.]6．过曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p >0)于点N ，其中C 1、C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5B ．5－1C.5＋1 D ．5＋12D [如图所示，OM ⊥F 1N ，且M 为线段F 1N 的中点，所以AN ＝F 2N ＝2a ，F 2N ⊥F 1N ，所以在Rt△F 1F 2N 中，cos∠NF 1F 2＝2b 2c ＝b c ，在Rt△F 1AN 中，cos∠F 1NA ＝2a 2b ＝a b ，又因为∠NF 1F 2＝∠F 1NA ，所以b c ＝a b ，即c 2－a 2＝b 2＝ac ，解之得e ＝1＋52，故选D.]7．已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( ) A ．32 B ．16 C ．8D ．4B [因为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1与双曲线C 1：x 24－y 2＝1的离心率相同，所以e ＝c a ＝52，解得b a ＝12，即双曲线C 2的一条渐近线方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0，又因为OM ⊥MF 2，△OMF 2的面积为16，所以12|OM |·|MF 2|＝|MF 2|2＝16，解得|MF 2|＝4，即右焦点F 2(c,0)到渐近线x －2y ＝0的距离为4，所以c5＝4，解得c ＝45，a ＝4552＝8,2a ＝16，即双曲线C 2的实轴长为16.故选B.]8．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝152xB [依题意，设M (x ，y )，|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p2，y ＝3p ，又△MFO的面积为43，所以12×p 2×3p ＝43，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，选B.]9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝2x －4，圆C 的半径为1，圆心在直线l 上，若圆C 上存在点M ，且M 在圆D ：x 2＋(y ＋1)2＝4上，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－25 5，2＋25 5D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－25 5∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋25 5，4B [点M 既在圆C 上，又在圆D 上，所以圆C 和圆D 有公共点，圆C 的圆心为(a,2a －4) ，半径为1，圆D 的圆心为(0，－1) ，半径为2，则圆心距a 2＋a －4＋2＝5a 2－12a ＋9 ，满足⎩⎨⎧5a 2－12a ＋9≤35a 2－12a ＋9≥1，解得：0≤a ≤125，故选B.]10．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB,A 、B 为切点，则直线AB 经过定点A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49 C ．(2,0)D ．(9,0)A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0), 则PA ：x 1x ＋y 1y ＝4；PB ：x 2x ＋y 2y ＝4; 即x 1x 0＋y 1y 0＝4；x 2x 0＋y 2y 0＝4；因此A 、B 在直线x 0x ＋y 0y ＝4上，直线AB 方程为x 0x ＋y 0y ＝4，又x 0＋2y 0－9＝0，所以(9－2y 0)x ＋y 0y ＝4⇒y 0(y －2x )＋9x －4＝0即y －2x ＝0,9x －4＝0⇒y ＝89，x ＝49，直线AB 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89，选A.] 11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别是B 1，B 2，点C 是B 1F 2的中点，若B 1F 1→·B 1F 2→＝2，且CF 1⊥B 1F 2，则椭圆的方程为________．x 24＋y 23＝1 [由题意可得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，b 2，B 1F 1→·B 1F 2→＝(－c ，－b )·(c ，－b )＝－c 2＋b 2＝2①，CF 1→⊥B 1F 2→，可得CF 1→·B 1F 2→＝0，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫－3c 2，－b 2·(c ，－b )＝－32c 2＋b 22＝0②，解得c ＝1，b ＝3，a ＝b 2＋c 2＝2，可得椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 43[圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.]13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使OA →·OB →＝0，则双曲线离心率的取值范围是________.【导学号：07804192】⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，3 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋c (0≤m <a b )，联立双曲线方程，消去x ，得(b 2m 2－a 2)y 2＋2b 2mcy ＋b 4＝0，所以y 1＋y 2＝－2b 2mc b 2m 2－a 2①，y 1y 2＝b4b 2m 2－a 2②.因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，即m 2y 1y 2＋mc (y 1＋y 2)＋c 2＋y 1y 2＝0，代入①②整理，得b 4m2－2b 2m 2c 2＋c 2b 2m 2－a 2c 2＋b 4＝0,0≤m 2＝b 4－a 2c 2b 2c 2－b 4<a 2b2.由b 4－a 2b 2≥0，得(c 2－a 2)2－a 2c 2≥0，即c 4－3a 2c 2＋a 4≥0，e 4－3e 2＋1≥0，解得e ≥1＋52；由b 4－a 2c 2b 2c 2－b 4<a 2b2，得b 4－a 4－a 2c 2<0，即(c 2－a 2)2－a 4－a 2c 2<0，c 4－3a 2c 2<0，所以c a< 3.综上所述，e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，3.]14．已知直线l ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，当m 变化时， λ1＋λ2的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由．[解] (1)易知椭圆右焦点F (1,0)，∴c ＝1，抛物线x 2＝43y 的焦点坐标(0，3)，∴b ＝3， ∴a 2＝b 2＋c 2＝4. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1 .(2)易知m ≠0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1m ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y23＝1 ⇒(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，∴Δ＝(6m )2＋36(3m 2＋4)＝144(m 2＋1)>0. ∴y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1·y 2＝－93m 2＋4. 又由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →得：λ1＝－1－1my 1，λ2＝－1－1my 2.∴λ1＋λ2＝－2－1m ·y 1＋y 2y 1·y 2＝－83.15．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝43y 的焦点．(1)若A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，设点P (－4,0)，连接PA 交椭圆C 于另一点E ，求证：直线BE 与x 轴相交于定点M ；(2)设O 为坐标原点，在(2)的条件下，过点M 的直线交椭圆C 于S ，T 两点，求OS →·OT →的取值范围．[解] (1)证明：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，抛物线x 2＝43y 的焦点为(0，3)．由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝12，b ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 3.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. 由题意可知直线PA 存在斜率，设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋4)，代入椭圆方程可得(4k 2＋3)x 2＋32k 2x ＋64k 2－12＝0.由Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0，有－12<k <12.设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则B (x 1，－y 1)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋3①，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3②直线BE 的方程为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)， 令y ＝0，可得x M ＝x 2y 1－x 1y 1y 1＋y 2＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2，将y 1＝k (x 1＋4)，y 2＝k (x 2＋4)代入上式，整理可得x M ＝2x 1x 2＋4x 1＋x 2x 1＋x 2＋8③ 将①，②代入③整理可得x M ＝k 2－－128k 2－32k 2＋k 2＋＝－1 ∴直线BE 与x 轴相交于定点M (－1,0)．(2)当过点M 的直线ST 的斜率为0时，S (－2,0)，T (2,0)，此时OS →·OT →＝－4.当过点M 的直线ST 的斜率不为0时，设直线ST 的方程为x ＝my －1，且设点S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －1x 24＋y 23＝1，消去x 整理，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 由根与系数的关系得：y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. 从而OS →·OT →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1－1)(my 2－1)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝－m 2＋3m 2＋4－6m 23m 2＋4＋1＝－12m 2－53m 2＋4 ＝－4＋113m 2＋4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－4，－54综上所述，OS →·OT →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－54.。
2018届高考数学(理)二轮复习教师用书：3个大题(17、18、19)保分练(一)——(三)
3个大题（17、18、19）保分练（一）(限时：35分钟 满分：36分)17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝1－2S n . (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)设函数f (x )＝log 13x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，求T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n .解：(1)证明：∵数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝1－2S n .∴a 1＝1－2a 1，解得a 1＝13.n ≥2时，a n －1＝1－2S n －1，可得a n －a n －1＝－2a n .∴a n ＝13a n －1.∴数列{a n }是首项和公比均为13的等比数列．(2)由(1)可知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，则f (a n )＝log 13a n ＝n .∴b n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋2.∴1b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 18.(2017·沈阳模拟)在长方体ABCD A1B 1C 1D 1中，AD ＝AB ＝2，AA 1＝1，E 为D 1C 1的中点，如图所示．(1)在所给图中画出平面ABD 1与平面B 1EC 的交线(不必说明理由)；(2)证明：BD 1∥平面B 1EC ；(3)求平面ABD 1与平面B 1EC 所成锐二面角的余弦值．解：(1)连接BC 1交B 1C 于M ，连接ME ，则直线ME 即为平面ABD 1与平面B 1EC 的交线，如图所示．(2)证明：在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，DA ，DC ，DD 1两两垂直，于是以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．因为AD ＝AB ＝2，AA 1＝1，所以D (0,0,0)，A (2,0,0)，D 1(0,0,1)，B (2,2,0)，B 1(2,2,1)，C (0,2,0)，E (0,1,1)．所以BD 1―→＝(－2，－2,1)，CB 1―→＝(2,0,1)，CE ―→＝(0，－1,1)， 设平面B 1EC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧CB 1―→·m ＝0，CE ―→·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝0，y ＝z ，不妨令x ＝－1，得到平面B 1EC 的一个法向量为m ＝(－1,2,2)， 而BD 1―→·m ＝2－4＋2＝0，所以BD 1―→⊥m . 又因为BD 1⊄平面B 1EC ，所以BD 1―→∥平面B 1E C ．所以BD 1∥平面B 1E C ．(3)由(2)知BA ―→＝(0，－2,0)，BD 1―→＝(－2，－2,1)， 设平面ABD 1的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧BA ―→·n ＝0，BD 1―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y 1＝0，－2x 1－2y 1＋z 1＝0，不妨令x 1＝1，得到平面ABD 1的一个法向量为n ＝(1,0,2)，因为cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝－1＋49×5＝55，所以平面ABD 1与平面B 1EC 所成锐二面角的余弦值为55. 19．某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：(2)从该单位中任选2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；(3)已知员工年薪收入与工作年限呈正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中系数计算公式分别为：b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本均值．解：(1)所求年薪的平均值为110(4＋4.5＋6＋5＋6.5＋7.5＋8＋8.5＋9＋51)＝11万元，中位数为6.5＋7.52＝7万元．(2)10名员工中年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人，ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 25C 210＝29，P (ξ＝1)＝C 15C 15C 210＝59，P (ξ＝2)＝C 25C 210＝29，所以ξ的分布列为数学期望为E (ξ)＝0×29＋1×9＋2×9＝1.(3)设x i ，y i (i ＝1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，则x ＝2.5，y ＝6，∑i ＝14(x i－x )2＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，∑i ＝14(x i －x)(y i －y )＝－(1.5)×(－2)＋(－0.5)×(－0.5)＋0.5×0＋1.5×2.5＝7，b ^＝∑i ＝14x i －xy i －y∑i ＝14x i －x2＝75＝1.4， a ^＝y －b ^x ＝6－1.4×2.5＝2.5，则线性回归方程为y ＝1.4x ＋2.5.当x ＝5时，y ＝1.4×5＋2.5＝9.5， 即预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元．3个大题(17、18、19)保分练(二) (限时：35分钟 满分：36分)17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a＝4cos C ，b ＝1.(1)若A ＝90°，求△ABC 的面积；(2)若△ABC 的面积为32，求a ，c ． 解：(1)∵b ＝1，∴a ＋1a ＝4cos C ＝4×a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋1－c 2a，∴2c 2＝a 2＋1.又A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2＝c 2＋1， ∴2c 2＝a 2＋1＝c 2＋2，∴c ＝2，a ＝3， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ＝12×1×2＝22.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝32，∴sin C ＝3a ，∵a ＋1a ＝4cos C ，sin C ＝3a，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＝1，化简得(a 2－7)2＝0， ∴a ＝7，又∵a ＋1a ＝4cos C ，∴cos C ＝277.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝7＋1－2×7×1×277＝4，从而c ＝2.18．(2018届高三·湘中名校联考)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求η的分布列及数学期望E (η)．解：(1)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”， 可得A 表示事件“购买该商品的3位顾客中，无人采用1期付款”．又P (A )＝(1－0.4)3＝0.216，故P (A )＝1－P (A )＝1－0.216＝0.784. (2)η的可能取值为200,250,300.P (η＝200)＝P (ξ＝1)＝0.4，P (η＝250)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P (η＝300)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝0.2.所以η的分布列为E (η)19.(本小题满分12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC 的值．解：(1)证明：如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ(λ＞0)，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，B (λ，1,0)，C (0,1,0)，PB ―→＝(λ，1，－1)，因为点E 是棱PC 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，于是PB ―→·DE ―→＝0，所以PB ⊥DE .又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF . 因为PC ―→＝(0,1，－1)，所以DE ―→·PC ―→＝0，所以DE ⊥PC ， 而PB ∩PC ＝P ，所以DE ⊥平面PB C ． 由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB . (2)由PD ⊥平面ABCD ，所以DP ―→＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量． 由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以BP ―→＝(－λ，－1,1)是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则cos π3＝|BP ―→·DP ―→||BP ―→||DP ―→|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1λ2＋2＝12， 结合λ＞0，解得λ＝2，所以DC BC ＝1λ＝22. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22.3个大题(17、18、19)保分练(三) (限时：35分钟 满分：36分)17．已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64，且a 4，a 5的等差中项为3a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64，a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或q ＝－舍，所以a n ＝2n.(2)因为b n ＝na 2n －1＝n22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1， 所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3×22n ＋1，故T n ＝89－4＋3n 9×22n －1.18．(2018届高三·湘中名校联考)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AC 与BD 相交于点E ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)求二面角A PC D 的余弦值．解：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥P A ．又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝ 3.∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°， ∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥A C ． 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PA C ．(2)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0，2,0)，P (0,0,4)，CD ―→＝(－23，－4,0)，PD ―→＝(0,2，－4)，BD ―→＝(－23，2,0)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y,1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ―→＝0，n ·PD ―→＝0，即⎩⎨⎧－23x －4y ＝0，2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－433，y ＝2，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，2，1.由(1)知平面PAC 的一个法向量为m ＝BD ―→＝(－23，2,0)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝39331，由图知，二面角A PC D 为锐角， ∴二面角A PC D 的余弦值为39331.19．(2017·安徽二校联考)近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2017年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(1)请完成关于商品和服务评价的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？关于商品和服务评价的2×2列联表：(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X.①求对商品和服务全为好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：K 2＝－2150×50×120×80≈11.111＞10.828，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．(2)①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为25，且X 取值可以是0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125； P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫25⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125； P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝36125； P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125. 所以X 的分布列为②由于X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则E (X )＝3×25＝65，D (X )＝3×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
2018年高考数学(文)二轮复习教师用书：第3部分 考前增分策略 专题1 考前教材重温
专题一 考前教材重温 1.三角函数与平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[应用1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． [答案] －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式．(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限．角－απ－απ＋α2π－απ2－α 正弦 －sin α sin α －sin α －sin α cos α余弦cos α －cos α －cos α cos αsin α[应用2] cos 4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6＋sin 21π的值为________． [答案]22－333．正弦、余弦和正切函数的常用性质．函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ≠π2 ⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎫ ＋k π，k ∈Z 值域 {y |－1≤y ≤1} {y |－1≤y ≤1} R函数y ＝sin xy ＝cos x y ＝tan x单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z 上递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z 上递减 在[(2k －1)π，2k π]，k∈Z 上递增；在[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 上递减在⎣⎢⎡－π2＋k π，⎦⎥⎤π2＋k π，k ∈Z 上递增最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1无最值奇偶性 奇偶奇 对称性对称中心：(k π，0)，k∈Z对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z对称轴：x ＝k π＋π2，k∈Z对称轴：x ＝k π，k ∈Z无周期性 2π 2ππ[应用3] 函数y ＝sin ⎝⎭⎪⎫－2x ＋3的递减区间是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 4．三角函数化简与求值的常用技巧．解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切割化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4.[应用4] 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. [答案] －56655．解三角形．(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(i)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中，A >B ⇔sinA ＞sin B.(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[应用5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. [答案] 45°6．求三角函数最值的常见类型、方法．(1)y ＝a sin x ＋b (或a cos x ＋b )型，利用三角函数的值域，须注意对字母a 的讨论． (2)y ＝a sin x ＋b sin x 型，借助辅助角公式化成y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的形式，再利用三角函数有界性解决．(3)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x |≤1的约束． (4)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d型，反解出sin x ，化归为|sin x |≤1解决．(5)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d型，化归为A sin x ＋B cos x ＝C 型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解．(6)y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x ·cos x ＋c 型，常令t ＝sin x ＋cos x ，换元后求解(|t |≤2)．[应用6] 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 7．向量的平行与平面向量的数量积．(1)向量平行(共线)的充要条件：a∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔(a·b )2＝(|a||b |)2⇔x 1y 2－y 1x 2＝0.(2)a·b ＝|a||b |cos θ，变形：|a |2＝a 2＝a·a ，cos θ＝a·b|a||b |，a 在b 上的投影(正射影的数量)＝a·b|b |.注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a ，b 不同向； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b ＜0且a ，b 不反向．[应用7] 已知圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．[答案] 38．向量中常用的结论．(1)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A ，B ，C 共线； (2)在△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)；(3)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内．若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 为△ABC 的外心；若NA →＋NB →＋NC →＝0，则N 为△ABC 的重心；若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 为△ABC 的垂心． [应用8] 在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 [答案] C2.数列、不等式1.等差数列及其性质．(1)等差数列的判定：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． (2)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[应用1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C.25 D ．30[答案] A 2．等比数列及其性质．(1)等比数列的判定：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0)或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)． (2)等比数列的性质：当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p . [应用2] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.[答案] (1)512 (2)10 3．求数列通项的常见类型及方法．(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．(3)若已知数列的递推公式为a n ＋1＝a n ＋f (n )，可采用累加法． (4)数列的递推公式为a n ＋1＝a n ·f (n )，则采用累乘法．(5)已知S n 与a n 的关系，利用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，求a n .(6)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．[应用3] 已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. [答案] n ·2n4．数列求和的方法．(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法； 如：1nn ＋1＝1n －1n ＋1；1nn ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k . (6)并项法；数列求和时要明确项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[应用4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________． [答案] 925．如何解含参数的一元二次不等式．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况．在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合． [应用5] 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a >0)．________________________________________________________________________________________________________________________________________ [解] 原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0. ∴当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1＜x ＜1a ； 当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜1；当a ＝1时，不等式的解集为∅. 6．处理二次不等式恒成立的常用方法．(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x 的取值为全体实数时，一般应用此法． (2)从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零． (3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来． (4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．[应用6] 如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1＜k ≤0 D ．－1<k <0[答案] C7．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”.常用技巧：(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑． (2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元．(3)当题中等号条件不成立时，可考虑从函数的单调性入手求最值． [应用7] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 [答案] D8．解决线性规划问题有三步．(1)画：画出可行域(有图象)．(2)变：将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离． (3)代：将合适的点代到原来目标函数中求最值． 利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题： (1)截距型：如求z ＝y －x 的取值范围． (2)条件含参数型：①已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且z ＝y －x 的最小值是－4，则实数k ＝－2，②已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且存在无数组(x ，y )使得z ＝y ＋ax 取得最小值，则实数a ＝12.(3)斜率型：如求y ＋bx ＋a的取值范围． (4)距离型(圆半径平方型R 2)：如求(x －a )2＋(x －b )2的取值范围．[应用8] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( ) A ．3 B ．2 C.－2 D ．－3[答案] B3.概率与统计1．随机抽样方法．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[应用1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________． [答案] 242．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的缺失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了． [应用2] 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图1所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． [答案] 43．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标．[应用3] 某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了40个用户，根据用户满意度的评分制成频率分布直方图(如图2)，则该地区满意度评分的平均值为________．图2[答案] 77.5 4．变量间的相关关系．假设我们有如下一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，[应用4] 回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点________． [答案] (x ，y )5．互斥事件的概率公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．(1)公式适合范围：事件A 与B 互斥． (2)P (A )＝1－P (A )．[应用5] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．[答案] 236．古典概型．P (A )＝mn(其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)．[应用6] 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．1[答案] B7．几何概型．一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等． 即P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.[应用7] 在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ( ) A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6[答案] B4.立体几何1．几何体的三视图排列规则：俯视图放在正视图下面，侧视图放在正视图右面，“长对正，高平齐，宽相等．”由几何体的三视图确定几何体时，要注意以下几点：(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体． (2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．(3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．[应用1] 如图3，若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．图3[答案] 432．空间几何体表面积和体积的求法：几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法．[应用2] 如图4所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为 ( )图4 A．4π B．3πC.2πD.3 2π[答案] D3．空间平行问题的转化关系．图5平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等．[应用3] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”号，错误的画“×”号.(1)如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面．( )(2)如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行．( )(3)如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b.( )(4)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√4．空间垂直问题的转化关系．线线垂直线面垂直的判定线面垂直的定义线面垂直面面垂直的判定面面垂直的性质面面垂直垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等．[应用4] 已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C.1 D ．0[答案] C5．多面体与球接、切问题的求解策略．(1)涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．[应用5] 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32π3，那么这个三棱柱的体积是( ) A ．96 3 B ．16 3 C.24 3 D ．48 3[答案] D5.平面解析几何1．直线的倾斜角与斜率．(1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率．①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tanα(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC .[应用1] 直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π2．直线方程的五种形式．(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋y b＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[应用2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． [答案] 5x －y ＝0或x ＋y －6＝0 3．两条直线的位置关系．(1)若已知直线的斜截式方程，l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： ①l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1； ③l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.(2)若已知直线的一般方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则： ①l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； ③l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；④l 1与l 2重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0.[应用3] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合．[答案] －1 12 m ≠3且m ≠－1 34．点到直线的距离及两平行直线间的距离．(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [应用4] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． [答案]1513265．圆的方程．(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[应用5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. [答案] －16．直线与圆的位置关系的判断．(1)几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系来判定．(2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据Δ的符号来判断． [应用6] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为 ( ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1[答案] C7．圆锥曲线的定义和性质．名称椭圆双曲线 抛物线定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a＞|F 1F 2|)||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)y 2＝2px (p ＞0)图形范围 |x |≤a ，|y |≤b |x |≥a x ≥0顶点 (±a,0)，(0，±b )(±a,0)(0,0) 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称关于x 轴对称焦点 (±c,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0轴 长轴长2a ，短轴长2b 实轴长2a ，虚轴长2b离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2 e ＝c a ＝1＋b 2a2 e ＝1(0＜e ＜1)(e ＞1)准线 x ＝－p 2通径 |AB |＝2b 2a|AB |＝2p渐近线y ＝±b ax[应用7] 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝152x[答案] B8．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题：斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y 22－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[应用8] 已知抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( ) A ．1∶ 2 B ．1∶ 3 C.1∶2 D ．1∶3[答案] C6.函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数，列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同． [应用1] 函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是________．[答案] (－1,1)∪(1，＋∞)2．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[应用2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12[答案] C3．求函数最值(值域)常用的方法．(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数． (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数． (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数． (4)导数法：适合于可导函数． (5)换元法(特别注意新元的范围)． (6)分离常数法：适合于一次分式．[应用3] 函数y ＝2x2x ＋1(x ≥0)的值域为________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[应用4] f (x )＝lg 1－x2|x 2－2|－2是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．[答案] 偶 5．函数奇偶性的性质．(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．(3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0.“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件．[应用5] 设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为 ( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数 [答案] D6．判断函数单调性的常用方法．(1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性判断问题.(3)对于解析式较复杂的，一般用导数． (4)对于抽象函数，一般用定义法．[应用6] 函数y ＝|log 2|x －1||的递增区间是________． [答案] [0,1)，[2，＋∞)7．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ；(2)f (x ＋a )＝1f x(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a .[应用7] 设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.[答案] －18．函数图象的几种常见变换．(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．[应用8] 函数y ＝3xx －1的对称中心是________． [答案] (1,3)9．如何求方程根的个数或范围．求f (x )＝g (x )根的个数时，可在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理． [应用9] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是 ( )A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2，e) D ．(3,4)[答案] B 10．二次函数问题．(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[应用10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的取值范围为________． [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1411．利用导数研究函数单调性的步骤．(1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解方程f ′(x )＝0在定义域内的所有实根．(4)将函数y ＝f (x )的间断点(即函数无定义点)的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间．(5)确定f ′(x )在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性． 特别提醒：(1)多个单调区间不能用“∪”连接；(2)f (x )为减函数时f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.[应用11] 函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x －1在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 12．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．[应用12] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________．[答案] x ＝113．利用导数解决不等式问题的思想．(1)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，再证明h (x )max ＜0. (2)不等式恒成立问题可利用分离参数法或直接求含参数的函数的最值．[应用13] 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞7.集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[应用1] 已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，则实数a ＝________. [答案] 02．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝f (x )}——函数的定义域；{y |y ＝f (x )}——函数的值域；{(x ，y )|y ＝f (x )}——函 数图象上的点集． [应用2] 已知集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．(0,1)，(1,2) B ．{(0,1)，(1,2)} C ．{y |y ＝1，或y ＝2} D ．{y |y ≥1} [答案] D3．在解决集合间的关系和集合的运算时，不能忽略空集的情况．[应用3] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是 ________. [答案] (－∞，4]4．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[应用4] 已知全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝1－x }，集合B ＝{x |0≤x ≤2}，则(∁I A )∪B 等于( ) A ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞) C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞)[答案] C5．命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，而此命题的否定(非命题)是“若p ，则綈q ”．[应用5] 已知实数a ，b ，若|a |＋|b |＝0，则a ＝b .该命题的否命题和命题的否定分别是____________________________________________________________. [答案] 否命题：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ；命题的否定：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b6．根据集合间的关系，判定充要条件，若A ⊆B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分条件；若A B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件． [应用6] 已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，－1][答案] B7．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；对命题进行否定时要正确对判断词进行否定，如“>”的否定是“≤”，“都”的否定是“不都”． [应用7] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0 [答案] D8．求参数范围时，要根据条件进行等价转化，注意范围的临界值能否取到，也可与补集思想联合使用．[应用8] 已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8.推理与证明、复数、算法1．归纳推理和类比推理．共同点：两种推理的结论都有待于证明．不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理． [应用1] (1)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，{d n }也是等比数列，则{d n }的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n(2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋12(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.[答案] (1)D (2)n ＋22n ＋22．证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因．反证法是常用的间接证明方法，利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设．[应用2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________________________________________________．[答案] 三角形三个内角都大于60°3．复数的概念．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数．[应用3] 若复数z ＝lg(m 2－m －2)＋i·lg(m 2＋3m ＋3)为实数，则实数m 的值为________．[答案] －24．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i ；(3)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i ；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0；(4)设ω＝－12±32i ，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0. [应用4] 已知复数z ＝1－3i 3＋i，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________. [答案] 15．(1)循环结构中几个常用变量：①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1.②累加变量：用来计算数据之和，如s ＝s ＋i .③累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .(2)处理循环结构的框图问题，关键是理解认清终止循环结构的条件及循环次数．[应用5] (2016·衡水中学七调改编)执行如图6的程序框图，输出S 的值为________．图6 [答案] 2。
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8.推理证明、复数、算法■要点重温…………………………………………………………………………²1．归纳推理和类比推理共同点：两种推理的结论都有待于证明．不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．[应用1] (1)某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛．该校高一年级有1,2,3,4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖．比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是( )A ．乙，丁B ．甲，丙C ．甲，丁D ．乙，丙 (2)图32(1)有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′²PB ′PA ²PB，则图32(2)有体积关系：________. 【导学号：07804197】图32(1) 图32(2)[解析] (1)根据题意，由于甲乙丙丁四人中有且只有两人的说法是正确的，假设乙的说法是正确的，则丁也是正确的，那么甲丙的说法都是错误的，如果丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”是错误的，那么1班、4班都获奖或1班、4班都没有获奖，与乙的说法矛盾，故乙的说法是错误，则丁同学说：“乙说得对”也是错误的；故说法正确的是甲、丙，故选B.(2)∵在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由面积的性质类比推理到体积性质．故由S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′²PB ′PA ²PB(面积的性质) 结合图(2)可类比推理出：体积关系：V P A ′B ′C ′V P ABC ＝PA ′²PB ′²PC ′PA ²PB ²PC. [答案] (1)B(2)V P A ′B ′C ′V P ABC ＝PA ′²PB ′²PC ′PA ²PB ²PC2．证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因．反证法是常用的间接证明方法，利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设．[应用2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________．[答案] 三角形三个内角都大于60°3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[应用3] 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N 且n >1)第一步要证的不等式是________．[解析] 当n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边＝2，故填1＋12＋13<2. [答案] 1＋12＋13<2 4．复数的概念对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数．[应用4] 当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i. (1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限？[答案] (1) m ＝－2；(2)m ≠－2且m ≠－3；(3)m ＝3；(4)m ＜－3或－2＜m ＜35．复数的运算复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i ；(3)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i ；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.[应用5] 已知复数z ＝1－3i 3＋i，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________. [答案] 16．(1)循环结构中几个常用变量：①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1.②累加变量：用来计算数据之和，如s ＝s ＋i.③累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ³i.(2)处理循环结构的框图问题，关键是理解认清终止循环结构的条件及循环次数．[应用6] 执行如图33的程序框图，输出S 的值为________.【导学号：07804198】图33[解析] 由算法知，记第k 次计算结果为S k ，则有S 1＝11－2＝－1，S 2＝11－ －1 ＝12，S 3＝11－12＝2，S 4＝11－2＝－1＝S 1， 因此{S k }是周期数列，周期为3，输出结果为S 2 017＝S 1＝－1.[答案] －1■查缺补漏…………………………………………………………………………²1．如果复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．z 的共轭复数为1＋iB ．z 的实部为1C ．|z |＝2D ．z 的虚部为－1D [z ＝2－1＋i＝－1－i ，因此z 的共轭复数为－1＋i ，实部为－1，虚部为－1，模为2，选D.]2．若复数z 满足(1＋i)z ＝2＋i ，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 A [z ＝2＋i 1＋i ＝ 2＋i 1－i 1＋i 1－i ＝3－i 2＝32－12i ，z ＝32＋12i ，共轭复数所对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，为第一象限点，故选A.]3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是( )A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2B[1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，由上述式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n－1项，且第一项为n，则最后一项为3n－2，等式右边均为2n－1的平方．]4．某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i>N”，设计程序框图如图34，则判断框中可填入( )图34A．x≤N?B．x<N?C．x>N?D．x≥N?C[因为到判断框回答否，才进入循环，所以A，B被排除，若是D.x≥N，那就是求最小的正整数i，使得7i＋1>N不符合题意，只有C.x>N，才满足条件，故选C.]5．考拉兹猜想又名3n＋1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图35所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i＝( )图35A．4 B．5C．6 D．7D[模拟算法：开始：a＝10，i＝1，a＝1不成立；a是奇数，不成立，a＝5，i＝2，a＝1不成立；a是奇数，成立，a＝16，i＝3，a＝1不成立；a是奇数，不成立，a＝8，i＝4，a＝1不成立；a是奇数，不成立，a＝4，i＝5，a＝1不成立；a是奇数，不成立，a＝2，i＝6，a＝1不成立；a是奇数，不成立，a＝1，i＝7，a＝1成立；输出i＝7，结束算法．故选D.]6. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图36的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图(图中“aMODb”表示a除以b的余数)，若输入的a，b分别为675,125，则输出的a＝( )【导学号：07804199】图36A．0 B．25C．50 D．75C[输入a＝675，b＝125,675＝125³5＋50，c＝50；a＝125，b＝50,125＝50³2＋25，c＝25；a＝50，b＝25,50＝25³2，c＝0；输出a＝50.]7．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图37可知，孩子已经出生的天数是( )图37A．336 B．510 C．1 326 D．3 603B[由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1³73＋3³72＋2³7＋6＝510，故选B.]8．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语．乙是法国人，还会说日语．丙是英国人，还会说法语．丁是日本人，还会说汉语．戊是法国人，还会说德语．则这五位代表的座位顺序应为( )A ．甲丙丁戊乙B ．甲丁丙乙戊C ．甲乙丙丁戊D ．甲丙戊乙丁D [这道题实际上是一个逻辑游戏，首先要明确解题要点：甲乙丙丁戊5个人首尾相接，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流，而且4个备选答案都是从甲开始的，因此，我们从甲开始推理．思路一：正常的思路，根据题干来作答．甲会说中文和英语，那么甲的下一邻居一定是会说英语或者中文的，以此类推，得出答案．思路二：根据题干和答案综合考虑，运用排除法来解决，首先，观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，B ，C 不成立，乙不能和甲交流，A 错误，因此，D 正确．]9．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ³1³3³…³(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k到n ＝k ＋1”时，左边应增添的代数式为________．2(2k ＋1) [假设n ＝k 时，(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ³1³3…³(2k －1)成立；那么n ＝k ＋1时左边应为[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋k －1][(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，即从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应添乘的式子是[k ＋ k ＋1 ][ k ＋1 ＋ k ＋1 ]k ＋1＝ 2k ＋1 2k ＋2 k ＋1＝2(2k ＋1)．] 10．所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)．如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和．如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为________．26＋27＋…＋212 [因为8 128＝26³127，又由1－2n1－2＝127， 解得n ＝7.所以8 128＝26³(1＋2＋…＋26)＝26＋27＋…＋212.]11．如图38是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，则第20行从左至右的第4个数字应是________.【导学号：07804200】图38194 [由题意可知，前19行共有1＋192³19＝190，所以第20行从左到右的数字依次为191,192,193,194，…，所以第4个数为194.]12．在复平面上，已知直线l 上的点所对应的复数z 满足|z ＋i|＝|z －3－i|，则直线l 的斜率为________．－32[设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， ∵|z ＋i|＝|z －3－i|，∴|x ＋(y ＋1)i|＝|(x －3)＋(y －1)i|，∴x 2＋(y ＋1)2＝(x －3)2＋(y －1)2，∴6x ＋4y －9＝0，则直线l 的斜率为－32.]。