《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2综合法与分析法(一)
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版选修2-2精要课件数学归纳法应用举例
时 栏
k12<1－1k，
目 开
则当 n＝k＋1 时，
212＋312＋412＋…＋k12＋k＋112<1－1k＋k＋112
＝1－kk＋k＋121－2k＝1－kk2＋k＋k＋112 <1－kkkk＋＋112＝1－k＋1 1，
所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
综上所述，对任意 n≥2 的正整数，不等式都成立．
下
面
用
数
学
归
纳
法
证
明
不
等
式
b1＋1 b1
·b2b＋2 1
·…·bnb＋n 1
＝
32·54·76·…·2n2＋n 1> n＋1成立．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.2
(1)当 n＝1 时，左边＝32，右边＝ 2，因为32> 2，所以不等
式成立．
(2)假设当 n＝k(k≥1 且 k∈N*)时不等式成立，
品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一
步培养思维的严密性．通过相互交流和讨论，增强团队
合作意识，提高语言交流能力.
试一试·双基题目、基础更牢固
2.3.2
1．某个命题与正整数 n 有关，若 n＝k (k∈N*)时命题成
立，那么可推得当 n＝k＋1 时该命题也成立，现已知
本
课
n＝5 时，该命题不成立，那么可以推得
本
解析 当 n＝k 时，左边是共有 2k＋1 个连续自然数相加，
课 时
即 1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当 n＝k＋1 时，左边共有
栏 目
2k＋3 个连续自然数相加，即 1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k
开
＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2第一章精要课件 导数及其应用 习题课
若
1 1 f(x)在－2，2上为单调减函数，
则 f′(x)≤0
本 课 时 栏 目 开 关
2
1 1 在－2，2上恒成立， 1 1 在－2，2上恒成立，
即 12x －a≤0 ∴a≥12x
2
1 1 在－2，2上恒成立，
∴a≥(12x2)max＝3.
研一研· 题型解法、解题更高效
习题课
本 课 时 栏 目 开 关
而 g(0)＝0，从而对任意 x∈(0，＋∞)，都有 g(x)>0.
即 ex－x2＋2ax－1>0，故 ex>x2－2ax＋1.
研一研· 题型解法、解题更高效
习题课
题型三
导数的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝x3－ax－1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增，求 a 的取值范围；
本 课 时 栏 目 开 关
解 (1)f′(x)＝12x2－a，
1 1 ∵f(x)的单调递减区间为－2，2，
1 ∴x＝± 为 f′(x)＝0 的两个根， 2 ∴a＝3.
研一研· 题型解法、解题更高效
习题课
(2)若
1 1 f(x)在－2，2上为单调增函数，
1 1 在－2，2上恒成立， 1 1 在－2，2上恒成立，
( A ) B．f(x)<0 D．不能确定
C．f(x)＝0
解析 因为 f(x)在(a， b)上为增函数， 所以 f(x)>f(a)≥0.
试一试· 双基题目、基础更牢固
习题课
3．设函数 g(x)＝x(x2－1)，则 g(x)在区间[0,1]上的最小 ( 2 3 3 A．－1 B．0 C．－ D. 9 3 解析 g(x)＝x3－x，由 g′(x)＝3x2－1＝0，
[整理]《步步高 学案导学设计》-2014学年 高中数学人教b版选修2-2导数的几何意义.
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1.1.3 导数的几何意义一、基础过关1．下列说法正确的是 ( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在2. 已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是 ( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是 ( ) A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14) 4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1 5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－x )x ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．－26．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为 ( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2二、能力提升 7．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 8．若曲线y ＝2x 2－4x ＋p 与直线y ＝1相切，则p ＝________.9．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．10．求过点P(－1,2)且与曲线f(x)＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．三、探究与拓展13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s关于时间t的函数图象的大致形状：(1)小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(2)小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速；(3)小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了．答案1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．A7．38．39.⎣⎡⎦⎤－1，－12 10．解 曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝f ′(1)＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0(Δx )2＋2x ·Δx Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴当x ＝－2时，y ′＝－4，当x ＝3时，y ′＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取得最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.13．解相应图象如下图所示．。
步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版选修2-2精要课件数学归纳法应用举例
除了传统的数学领域，还可以将数学归纳法的思想应用于计算机科学、经济学、物理学等领域的问题 解决中。
04 数学归纳法的注意事项
注意初始步骤的正确性
初始步骤是数学归纳法的基础，必须 确保其正确性。如果初始步骤错误， 整个归纳过程将无法正确进行。
在应用数学归纳法时，应仔细检查初 始步骤是否符合题目的条件和已知事 实，确保其正确无误。
掌握数学归纳法的应用范围
数学归纳法不仅适用于证明等差数列、等比数列等与自然数 有关的命题，还可应用于证明组合数学、图论等领域的相关 问题。
学会举一反三
在掌握数学归纳法的基础上，应学会灵活运用，通过类比和 推广，解决其他类似问题。
结合实际，拓展应用
结合实际问题理解数学归纳法
通过解决实际问题的实例，如求解极值问题、优化问题等，深入理解数学归纳法的应用价值。
数学归纳法的应用范围
数学归纳法广泛应用于数列、组合数学、图论等领域，用于证明与自然数有关的命 题。
它尤其适用于证明具有无限性质的数学问题，通过将问题转化为有限个步骤，最终 得出整体结论。
需要注意的是，并非所有数学问题都可以使用数学归纳法解决，它只适用于具有自 然数背景的问题。
02 数学归纳法的应用举例
归纳步骤：假设当$n=k$时结论成立 ，证明当$n=k+1$时结论也成立。
基础步骤：证明当$n=1$时，结论成 立。
数学归纳法的原理
01
数学归纳法基于自然数的传递性 和归纳性，通过将问题从$n=k$ 转化为$n=k+1$，实现了从有限 到无限的跨越。
02
数学归纳法的原理是递归和归纳 思想的结合，它能够证明无穷序 列中的所有项都满足某一性质， 从而得出整体结论。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2合情推理(二)《步步高 学
2.1.1 合情推理(二)一、基础过关 1．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin (x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把a (b ＋c )与a x ＋y 类比，则有a x ＋y ＝a x ＋a yD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 2．下面几种推理是合情推理的是 ( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④3．在等差数列{a n }中，若a n <0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7 B ．b 5＋b 7>b 4＋b 8 C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8 D ．b 4＋b 5>b 7＋b 84．已知扇形的弧长为l ，半径为的r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝________.5．类比平面直角坐标系中△ABC 的重心G (x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3))，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z3)为顶点的四面体A—BCD的重心G(x，y，z)的公式为________．6．公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有_____________________________________．二、能力提升7．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________．①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交； ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直； ③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行； ④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为(p k 2＋p ，pk)，请你写出弦MN 的中点坐标：________.10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．11．如图(1)，在平面内有面积关系S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′P A ·PB ′PB ，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．12. 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．三、探究与拓展13．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及给出理由．答案1．D 2．C3．A 4.12lr5.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 446.T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 1007．② 8．①②③ 9．(pk 2＋p ，－pk ) 10.a 3811．解 类比S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′P A ·PB ′PB ，有V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝P A ′P A ·PB ′PB ·PC ′PC和高端精良的研发平台化学教案妻子苦口相劝化学教案义无反顾地应聘回国试卷试题证明：如图(2)：设C ′，C 到平面P AB 的距离分别为h ′，h .则h ′h ＝PC ′PC，故V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝13·S △P A ′B ′·h ′13S P AB ·h ③传承着同一种文化＝P A ′·PB ′·h ′P A ·PB ·h＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC.教案某温度、压强下化学教案将一定量的反应物通入密闭容器中进行以上的反应12．解如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△P AB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面P AB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.13．解类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.猜想正确．如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第4章 1.2
1.2 定积分一、基础过关1．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0D ．若f (x ) 在[a ，b ]上连续且ʃb a f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 2． 定积分ʃ31(－3)d x 等于( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3 3． y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，则定积分ʃb a f (x )d x 的值( )A ．与区间[a ，b ]及被积函数有关B ．与区间[a ，b ]无关，与被积函数有关C ．与积分变量用何字母表示有关D ．与被积函数的形式无关 4． 定积分ʃ20x 2d x 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5． 计算ʃ4016－x 2d x 等于( )A ．8πB ．16πC ．4πD ．32π 6． 已知ʃb a [f (x )＋g (x )]d x ＝18，ʃb a g (x )d x ＝10，则ʃb a f (x )d x 等于( )A ．8B ．10C ．18D ．不确定二、能力提升7． 由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A ．ʃ40(x 2－4)d xB.||40(x 2－4)d xC ．ʃ40|x 2－4|d xD ．ʃ20(x 2－4)d x ＋ʃ42(x 2－4)d x8． 由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 9． 计算定积分ʃ1－14－4x 2d x ＝________. 10．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S 1＝________(如图1)；图1(2)S 2＝________(如图2)．图211．已知sin x d x ＝sin x d x ＝1，x 2d x ＝π324，求下列定积分：(1) sin x d x ；(2)(sin x ＋3x 2)d x .12．用定积分的意义求下列各式的值：(1)ʃ30(2x ＋1)d x ；(2) 1－x 2d x .三、探究与拓展13．利用定积分的几何意义求ʃ2－2f (x )d x ＋sin x ·cos x d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(x ≥0)3x －1(x <0).答案1．D 2．A 3．A 4．A 5．C 6．A 7.C 8．－ʃ0－πsin x d x 9．π10．(1)sin x d x (2)ʃ2－4x 22d x11．解 (1)ʃπ0sin x d x＝sin x d x ＋sin x d x ＝2；(2)(sin x ＋3x 2)d x ＝sin x d x ＋3x 2d x＝1＋π38.12．解 (1)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线，ʃ30(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3与x 轴围成的直角梯形OABC 的面积，如图(1) 所示，其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知ʃ30(2x ＋1)d x ＝12. (2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)图像如图(2)，由定积分的几何意义知1－x 2d x 等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34，S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32， ∴1－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34.13．解 ʃ2－2f (x )d x ＋sin x cos x d x＝ʃ0－2(3x －1)d x ＋ʃ20(2x －1)d x ＋sin x cos x d x ，∵y ＝sin x cos x 为奇函数，∴sin x cos x d x ＝0，利用定积分的几何意义，如图，∴ʃ0－2(3x －1)d x ＝－7＋12×2＝－8. ʃ20(2x －1)d x ＝3＋12×1＝2.∴ʃ2－2f (x )d x ＋sin x cos x d x＝2－8＋0＝－6.。
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§2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法(一)
一、基础过关
1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是
( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2
B ．若a c >b c
，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b
D ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b
2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的
( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
3．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.
其中正确命题的个数是 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 4．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有
( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22
B ．ab <1<a 2＋b 22
C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22
<ab <1 5．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a
≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0
B ．ab <0
C ．a >0，b <0
D ．a >0，b >0 二、能力提升
6．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x
中最大的一个是 ( ) A ．a B ．b
C ．c
D ．不能确定
7．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c
的值 ( ) A ．一定是正数
B ．一定是负数
C ．可能是0
D ．正、负不能确定
8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________．
9．已知p ＝a ＋1a －2
(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 、q 的大小关系为________． 10．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，求实数a ，b 的取值范围．
11．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.
12．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b
.
三、探究与拓展
13．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2
<log x a ＋log x b ＋log x c .
答案
1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C 7．B
8．a >c >b
9．p >q
10．解 a a ＋b b >a b ＋b a
⇔a a －a b >b a －b b
⇔a (a －b )>b (a －b )
⇔(a －b )(a －b )>0
⇔(a ＋b )(a －b )2>0，
只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 即a ≥0，b ≥0，且a ≠b .
11．证明 方法一3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )
＝(3a 2－2b 2)(a －b )．
因为a ≥b >0，
所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，
从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，
所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.
方法二 要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2， 只需证3a 2(a －b )－2b 2(a －b )≥0， 只需证(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，
∵a ≥b >0.∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0， ∴上式成立．
12．证明 由1b －1a
>1及a >0可知0<b <1， 要证1＋a >11－b
， 只需证1＋a ·1－b >1，
只需证1＋a －b －ab >1，
只需证a －b －ab >0即a －b ab >1，即1b －1a
>1， 这是已知条件，所以原不等式得证．
13．证明 要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2
<log x a ＋log x b ＋log x c ，
只需证log x (a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2
)<log x (abc )． 由已知0<x <1，
得只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2
>abc . 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0， a ＋c 2≥ac >0. 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴
a ＋
b 2·b ＋
c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2
>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2
<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．。