16计算题专练

1．（19分）如图所示，在竖直平面内，由倾斜轨道AB 、水平轨道BC 和半圆形轨道CD 连接而成的光滑轨道，AB 与BC 的连接处是半径很小的圆弧，BC 与CD 相切，圆形轨道CD 的半径为R 。

质量为m 的小物块从倾斜轨道上距水平面高为h =2.5R 处由静止开始下滑。

求：（1）小物块通过B 点时速度v B 的大小；（2）小物块通过圆形轨道最低点C 时圆形轨道对物块的支持力F 的大小；（3）试通过计算说明，小物块能否通过圆形轨道的最高点D 。

2．电子（不计重力）自静止开始经M 、N 板间（两板间电压为u ）的电场加速后从A 点垂直于磁场边界射入宽度为3L 的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P 偏离入射方向的距离为L ，如图所示..（已知电子的质量为m ，电量为e ）求： （1）电子在加速电场中加速后获得的速度(2)匀强磁场的磁感应强度 (3)电子在磁场中的运动时间2. 解析：(1)电子在M 、N 间加速后获得的速度为v ，由动能定理得：21mv 2-0=eu 解得v =(2)电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为r ， 则：evB=mv 2/r②电子在磁场中的轨迹如图，由几何关系得： (r-L)2+ (3L)2=r 2 ③ 由①②③解得B=(3) 电子在磁场的周期为T=2/r v π，由几何关系得O60AOP ∠=3．（19分）如图所示是放置在竖直平面内的游戏滑轨，有一质量m=2kg 的小球穿在轨道上。

滑轨由四部分粗细均匀的滑杆组成：水平直轨道AB ；倾斜直轨道CD ，长L=6m ，与水平面间的夹角θ=370；半径R 1=1m 的圆弧轨道APC ；半径R 2=3m 的圆弧轨道BQED 。

直轨道与圆弧轨道相切，切点分别为A 、B 、D 、C ，E 为最低点。

倾斜直轨道CD 与小球间的动摩擦因数为μ=5/32，其余部分均为光滑轨道，取g=10m/s 2,sin370=0.6,cos370=0.8。

现让小球从AB 的正中央以初速度V 0=10m/s 开始向左运动，问：（1）第一次经过E 处时，轨道对小球的作用力为多大？ （2）小球第一次经过C 点时的速度为多大？解：（18分）（1）设球第一次过E 点时，速度大小为E v ，由机械能守恒定律，有：222021221E mvR mg mv =+ ………………○1 （3分）在E 点，根据牛顿第二定律，有22R v mmg F E =- ……………○2 （3分）联立○1○2式，可解得：轨道对小球的支持力为N R v m mg F 3500522=+= （3分）（2）从E 到C 的过程中，重力做功：)37cos 37sin (22︒-+︒-=R R L mg W G ……………○3 （2分） 从D 到C 的过程中，滑动摩擦力做功L mg W f ∙︒-=37cos μ …………○4（2分） 设第一次到达C 点的速度大小为C v ，小球从E 到C 的过程中，由动能定理，有f G EC W W mvmv +=-222121 ………………○5（3分）由○1○3○4○5式，可解得 s m v C /11= （3分）4. （9分）如图所示，水平粗糙轨道AB 与半圆形光滑的竖直圆轨道BC 相连，B 点与C 点的连线沿竖直方向，AB 段长为L ，圆轨道的半径为R ．一个小滑块以初速度v 0从A 点开始沿轨道滑动，已知它运动到C 点时对轨道的压力大小恰好等于其重力．求滑块与水平轨道间的动摩擦因素μ。

解：由牛顿第三定律可得，物块在C 点时受到轨道的弹力大小也等于重力大小 在C 点，由牛顿第二定律得 Rv m mg mg C 2=+由B 到C 过程中，由机械能守恒定律得2B 2c 21221mv R mg mv =⨯+由A 到B 过程中，由动能定理得22B 2121mv mv mgL -=-μ解得 gLgR v 2620-=μ5、（19分）如右图所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为+Q和—Q，A、B相距为2d，MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球p．质量为m、电荷量为+q（可视为点电荷，不影响电场的分布），现将小球p从与点电荷A 等高的C处由静止开始释放，小球p向下运动到距C点距离为d的0点时，速度为v0已知MN与AB之间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g，求：（1）C、O间的电势差U CO；（2）0点处的电场强度E的大小；（3）小球p经过0点时的加速度；（4）小球p经过与点电荷B等高的D点时的速度6．（19分）如图下图所示，坐标空间中有场强为E 的匀强电场和磁感应强度为B 的匀强 磁场，y 轴为两种场的分界面，图中虚线为磁场区的右边界。

现有一质量为m.电量为-q 的 带电粒子，从电场中的P 点以初速度V 0沿x 轴正方向开始运动，已知P点的坐标为 （－L ，0）且qEmV L 2，试求：（1）带电粒子运动到Y 轴上时的速度（2）要使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回到电场中，磁场的宽度最大为多少（不计带电粒子的重力）（2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动RVmqVB 2= ………………………3分qBmV qBmV R 02==………………………3分与右边界相切时，由几何关系得Rsin450+R=d,解得qBmV d 0)12(+=，………4分故磁场的宽度最大为qBmV d 0)12(+=………………………2分7.（19分）如图（a ）所示，倾斜放置的光滑平行导轨，长度足够长，宽度L ＝0.4m ，自身电阻不计，上端接有R ＝0.3Ω的定值电阻。

在导轨间MN 虚线以下的区域存在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度B ＝0.5T 的匀强磁场。

在MN 虚线上方垂直导轨放有一根电阻r=0.1Ω的金属棒。

现将金属棒无初速度释放，其运动时的v -t 图象如图（b ）所示，重力加速度取g =10m/s 2。

求：（1）斜面的倾角θ和金属棒的质量m ；（2）在2～5s 时间内整个回路产生的热量Q 是多少（结果保留一位小数）。

21.（19分）（1）在0～2 s 时间内，金属棒受力如图所示，合力F 合＝mg sin θ根据牛顿第二定律F 合＝ma 得a=g sin θ(1分) 由图象知a=2012-=6(m/s 2)(1分) ks5u解得θ＝37º或θ＝arcsin0.6(2分)在t ＝5 s 之后金属棒做匀速运动，且v 2=6m/s;金属棒 受力平衡，沿轨道平面有F 安＝mg sin θ(1分) 感应电动势E=BLv 2(1分) 感应电流I ＝rR E +（1分）F 安＝BIL （1分） 解得m =0.1kg （1分）（2）2～5 s 内金属棒初速度v 1=12m/s ，末速度v 2=6m/s 。

对该过程应用动能定理，有mgs sin θ-W 安＝21222121mv mv -(4分)2～5 s 内金属棒位移为v-t 图象相对应的“面积”s =(15×6+22) ×1×0.2m=22.4m （3分） 功是能量转化的量度，在2～5 s 过程安培力对金属棒做功W 安＝Q （1分） 代入数据解得Q ＝18.84J （2分）21．（19分）如图所示，物块A 的质量为M ，物块B 、C 的质量都是m ，并都可看作质点，且m ＜M＜2m 。

三物块用细线通过滑轮连接，物块B 与物块C 的距离和物块C 到地面的距离都是L 。

现将物块A 下方的细线剪断，若物块A 距滑轮足够远且不计一切阻力，物块C 落地后不影响物块A 、B 的运动。

求：（1）物块A 上升时的最大速度；（2）若B 不能着地，求 m M 满足的条件； （3）若M ＝m ，求物块A 上升的最大高度。

21．解：（1）A 、B 、C 三物块系统机械能守恒。

B 、C 下降L ，A 上升L 时，A 的速度达最大。

（1分） 2)2(212v m M M g L m g L +=- （3分）M2m gL)M 2m (2v +-=（2分）（2）当C 着地后，若B 恰能着地，即B 物块下降L 时速度为零。

（1分）A 、B 两物体系统机械能守恒。

2)(21v m M mgL MgL +=- （3分），将v 代入，整理得：M=2m （2分）所以2mM>时，B 物块将不会着地。

（3分）（3）由于M ＝m ，C 物块着地后，A 以速度v 匀速上升直到B 物块落地，此后做竖直上抛运动，设上升的高度为h ，则h=3)M 2m (2L)M 2m (22gv2L g =+-=（3分）A 上升的最大高度 H=2L+h=7L/3 （3分）25．（18分）如图甲所示，两根质量均为m=0.1 kg 完全相同的导体棒a 、b ，用绝缘轻杆相连置于由金属导轨PQ 、MN 架设的斜面上。

已知斜面倾角θ=53º，a 、b 导体棒的间距是PQ 和MN 导轨间距的一半，导轨间分界线oo ’以下有方向垂直斜面向上的匀强磁场。

当a 、b 导体棒沿导轨下滑时，其速度v 与时间t 的关系如图乙所示。

若a 、b 导体棒接入电路的电阻均为R=1Ω，其它电阻不计。

（取g=10m/s 2，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)⑴依据v-t 图像，求b 导体棒匀速运动阶段的位移大小 ⑵求a 、b 导体棒与导轨间的动摩擦因数μ ⑶求匀强磁场的磁感应强度B 大小25、解：（1）由图乙可知导体棒b 刚进入磁场时a 、b 的连接体做匀速运动，当导体棒a 进入磁场后才再次加速运动，因而b 棒匀速运动的位移即为a 、b 棒的间距，依题意可得： s=vt=0.6m （3分）（2）设导体棒运动的加速度为a ，由图乙得：2m/s574003..tv v a t =-=-=（2分）由牛顿第二定律得：ma cos mg sin mg 222=⋅-θμθ（3分）解得：083.0=μ （2分）（3）当b 导体棒进入磁场时，连接体做匀速运动时2sin 2cos 0mg mg BId θμθ-⋅-=（2分）R BdvI 2=（2分）d=2s （2分）联立解得T B 83.0= （2分）21．（19分）如图所示，在倾角为θ的斜面上，一物块通过轻绳牵拉压紧弹簧。

现将轻绳烧断，物块被弹出，与弹簧分离后即进入足够长的N N / 粗糙斜面（此前摩擦不计），物块沿斜面上滑到最远点的位置离N 处距离为s ，之后物块又沿斜面下滑，第一次回到N 处，压缩弹簧后又被弹离，第二次上滑的最远点位置离N 处距离为2s 。

求：（1）物块与粗糙斜面间的动摩擦因素μ； （2）物块在粗糙斜面段所通过的总路程总s 。

21．（19分）（1）设物块第一次下滑回到N 时速度为v ，物块从最远处第一次下滑回到N 处的过程，根据动能定理，有221cos sin mv s mg s mg =⋅-⋅θμθ （3分）物块第二次上滑，进入粗糙斜面的初速度也为v ，物块从N 处第二次上滑至最远处的过程，根据动能定理，有 22102cos 2sin mv s mg s mg -=⋅-⋅-θμθ （3分）解得 θμtan 31=（2分）（或直接对物块从最远处第一次下滑到第二次上滑至最远处的过程运用动能定理：023cos 2sin =⋅-⋅s mg s mg θμθ，解得θμtan 31=。