复变函数第六章6.1
复变函数-第6章
光滑曲线 Γ : w = f ( z (t )) (t0 ≤ t ≤ t1 ) 切向量 w′(t ) = f ′( z0 ) z ′(t0 ) ≠ 0 切向量辐角ψ = arg w′(t0 )
= arg f ′( z0 ) + arg z ′(t0 ) = arg f ′( z0 ) + ϕ
7
假设 | f ′( z0 ) |= r , arg f ′( z0 ) = α , 即 f ′( z0 ) = reiα , 则
| f ′( z0 ) | . | f ′( z ) − f ′( z0 ) |≤ 2 如果 z1 , z 2 ∈ D, 并且 Γ 是连接 z1 和 z 2 的线段, 则有
| f ( z1 ) − f ( z 2 ) |=
∫
Γ
f ′( z )dz =
∫
Γ
f ′( z0 )dz − ∫ ( f ′( z0 ) − f ′( z ))dz
f ′( z ) ≠ 0
单叶(单射)解析
局部单叶(单射)
解析且 f ′( z0 ) ≠ 0
定理 6.1.1 若 f (z )在 z0 解析, 且 f ′( z0 ) ≠ 0, 故存在以 z0为心 的圆盘 D 使得 f (z ) 在 D 上的单射(单叶).
3
定理 6.1.2 (保域定理) 若 w = f (z ) 为在区域 D 内解析的非常 数函数, 则它的值域 (像) G = f ( D) = {w | w = f ( z ), z ∈ D} 也是一个区域. 证明: 区域是连通的开集. (1) 证明 G 是一个开集, 即 G 内的每一点都是内点.
∀w0 ∈ G,
∃z0 ∈ D, s.t. w0 = f ( z0 ).
(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。
8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。
复变函数第6章
第六章 共形映射1. 共形映射的概念（1）夹角：如图6.1所示，过z 0点的两条曲线C 1,C 2，它们在交点z 0处的切线分别为T 1，T 2，我们把从T 1到T 2按逆时针方向旋转所得的夹角定义为这两条曲线在交点z 0处 从C 1到C 2的夹角.对于两条曲线的夹角不仅要指出角度的大小，还要指出角的旋转方向.因此在z 0处从C 2到C 1的夹角不等于从C 1到C 2的夹角.图6.1（1）保角映射：若在映射w =f (z )的作用下，过点z 0的任意两条光滑曲线的夹角的大小与旋转方向都是保持不变的，则称这种映射在z 0处是保角的.（2）伸缩率的不变性：若极限00limz z w w z z →--000limz z w w z z →--存在且不等于零，则这个极限称为映射w =f (z )在z 0处的伸缩率.并称w =f (z )在z 0具有伸缩率的不变性.（3）共形映射：定义6.1 设函数w =f (z )在z 0的邻域内是一一的，在z 0具有保角性和伸缩率的不变性，那么称映射w =f (z )在z 0是共形的，或称w =f (z )在z 0是共形映射.如果映射w =f (z )在区域D 内的每一点都是共形的，那么称w =f (z )是区域D 内的共形映射. 2.解析函数与共形映射定理6.1 如果函数w =f (z )在z 0解析，且f '(z 0)≠0，那么映射w =f (z )在z 0是共形的，而且Arg f '(z 0)表示这个映射在z 0的转动角，|f '(z 0)|表示伸缩率.如果解析函数w =f (z )在区域D 内处处有f '(z )≠0,那么 映射w =f (z )是D 内的共形映射.3.分式线性变换（1）定义：形如 , (0).az bw ad bc cz d+=-≠+ (6.3) 的映射称为分式线性变换，其中a ,b ,c ,d 为复常数. （2）逆变换：d , (()()0),w bz a d cb cw a-+=---≠- (6.5)（3）复合：两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换.事实上，(0),(0).z w z αξβαβαδγβξαδβγγξδγδ''++''''=-≠=-≠''++把后式代入前式得az b w cz d+=+ 其中()()0.ad bc αδγβαδβγ''''-=--≠（4）分解：根据这个事实，我们可以把一个一般形式的分式线性变换分解成一些简单映射的复合.不妨设c ≠0，于是.()az b a bc adw cz d c c cz d +-==+++令,a bc adA B c c-==则上式变为 .Bw A cz d=++ 它由下列三个变换复合而成;1;,z cz d z z w A Bz '=+''='''=+ (6.5) 其中(6.5)中的第一和第三式为整线性变换. 4.分式线性变换性质1° 共形性定理6.2 分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的，且是共形的. 2°保圆性定理6.3 分式线性变换将扩充z 平面上的圆映射成扩充w 平面上的圆，即具有保圆性. 在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周.推论6.1 在分式线性变换下，圆C 映射成圆C '.如果在C 内任取一点z 0，而点z 0的象在C '的内部，那么C 的内部就是映射到C '的内部；如果z 0的象在C '的外部，那么C 的内部就映射成C '的外部.3° 保对称性先引进对称点的概念.定义6.2 设C 为以z 0点为中心，R 为半径的圆周.如果点z ,z *在从z 0出发的射线上，且满足|z -z 0|·|z *-z 0|=R 2, (6.6)则称z ,z *关于圆周C 是对称的.如果C 是直线，则当以z 和z *为端点的线段被C 平分时，称z ,z *关于直线C 为对称的.我们规定： 无穷远点关于圆周的对称点是圆心.定理6.4 设点z ,z *是关于圆周C 的一对对称点，那么在分式线性变换下，它们的象点w 及w *也是关于C 的像曲线C '的一对对称点.5. 确定分式线性变换的条件定理6.5 在z 平面上任意给定三个不同点z 1,z 2,z 3，在w 平面上也任意给定三个不同点w 1,w 2,w 3，那么就存在分式线性变换，将z k 依次映射成w k (k =1,2,3)，且这种变换是唯一的.推论6.2 z 1,z 2,z 3所在的圆C 的象C ′是w 1,w 2,w 3所在的圆.且如果C 依z 1→z 2→z 3 的绕向与C ′依w 1→w 2→w 3的绕向相同时，则C 的内部就映射成C ′的内部（相反时，C 的内部就映射成C ′的外部）图6.8例6.1 求将上半平面映射为单位圆，且将上半平面的定点z 0映射为圆心w =0的分式线性变换.所求映射的一般形式为00, Im 0.i z z w e z z z θ-=>- (6.8) 例6.2 求将单位圆|z |<1映射为单位圆|w |<1的分式线性变换. 所求映射的一般形式为00 (1)1i z z w e z z zθ-=<-. 6. 几个初等函数所构成的映射（1） 幂函数：w =zn(n ≥2)作用： 1° 圆|z |=r 映射成|w |=r n ，即在以原点为中心的圆有保圆性.2°射线0θθ=映射成射线0n ϕθ=，特别地，正实轴θ=0映成正实轴ϕ=0； 3°将角形域02π0()nθθ<<<映射成角形域00n ϕθ<<.(a) 公式图6.10（2）指数函数：w =e z作用： 1° 平面上的直线x =常数，被映射成w 平面上的圆周ρ=常数；而y =常数，被映射成射线ϕ=常数.2° 把水平带形域0Im (2π)z a a <<≤映射成角形域0arg w a <<.（如图6.12(a)） 3° 带形域0Im 2πz <<映射成沿正实轴剪开的w 平面：0arg 2πw <<(如图6.12(b)).3.求2w z =在z =i 处的伸缩率和旋转角，问：2w z =将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面 上哪一个方向？并作图.例6.5 求将|z |<1,Im z >0映为|w |>1的一个共形映射.。
6-1几个初等函数的映射
y 1 w 1 z x
w
复 变 函 数 与 积 分 变 换
1 Argw1 Argz , w1 , z 这表明单位圆 z 1外(内)部的有限点z被映射
为内(外)部的非零点w1。
w w1是把点w1沿着实轴的反射变换.
例1 复反演映射把圆映射成圆直线
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或把直线映射成圆或直线
复 变 函 数 与 积 分 变 换
1 例6.2 求直线x a, (a 0), 在映射w 下的像 z 哈
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1 a y 解 : 设z a iy ( y R), w 2 i 2 2 z a y a y2 a y 1 2 2 1 2 整理 2 u, 2 v, 得(u ) v ( ) 2 2 a y a y 2a 2a
2 2
具体地，
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a , d 0 不过原点的圆周C 不过原点的圆周
a 0, d 0 过原点的圆周C 不过原点的直线 a 0, d 0 不过原点的直线C 过原点的圆周 a 0, d 0 过原点的直线C 过原点的直线
规定：直线可以看成半径为∞的圆 结论：在扩充复平面上复反演映射把圆 映射成圆
复 变 函 数 与 积 分 变 换
1 解：令z x iy 代入 w u iv , z u v x 2 y 2 2 u v u v2
因此，圆的一般方程C : a( x y ) bx cy d 0 1 w z 2 2 : d ( u v ) bu cv a 0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
2. w az
z re i， a e i w r e i ( )
大学数学教程复变函数与积分变换 第六章 拉普拉斯变换
满足
0, δ(t) ,
0且 t δ(t)d t1 0 t
如一根无限杆 长， x的 在 0处 均有 匀一 细单位
在 x0处质0量 则 , 为 细杆的线密度为
(t) 0,,
0x且 m
ρ(t)d t1
x0
δ函数的— 筛 — 选 δ (t)f性 (t)d 质 tf(0),
δ(t-0)tf(t)d tf(t0), (t)f(t-0)td tf(t0)
(t)cos
te -st dt
u (t ) sin
te -st dt
0
0
(t )cos
te -st dt
sin
te -st dt
0
cos
te -st
t0
e -st s 2 1 ( sin
t cos
t)
0
1
1 s2 1
s2 s2 1
(2)
L [f
(t)]
1
1 e 2πs
2π f (t )e std t
0
T
kT
k0
(k 1)T kT
f
(t
)e-st
dt
但 (k1T)f(t)esd t tt k T uTf(uk)T es(ukT )du
kT
0
eskT Tf(u)esu d ueskT Tf(t)esd t t
0
0
L[f (t)] eskT T f (t)estdt 0 k 0
f (tT)f(t) (t0)
且f (t )在一个周期上是连续或分段连续的,证明:
L[f(t)] 1
1esT
T f(t)estdt
0
R(es)0
复变函数答案 钟玉泉 第六章习题全解
Re s
z
(6) Re s
z 1
ez ez e ( z 1) 2 | z 1 2 z 1 z 1 2
Re s
z 1
ez ez e 1 ez ez e ( z 1 ) | Re s ( z 1 ) | z 1 z 1 2 2 2 2 z 1 z 1 2 z 1 z 1 z 1 2 ez e 1 e ( Re s f ( z ) Re s f ( z )) z 1 z 1 z 2 1 2
第六章 留数理论及其应用
（一）
1.解：(1)z=1 是一级极点，故由推论 6.3 知
Re s f ( z ) ( z 1)
z 1
1 1 | 2 z 1 ( z 1)( z 1) 4
Z=-1 是二级极点，同前由推论 6.4 知
Re s f ( z ) [( z 1) 2
Re s f ( z ) C1
z 0
4 3
z z 0
又由 z=0 是唯一有限奇点，故 Re s f ( z ) Re s f ( z ) (4)由 e z 1 1
1
4 3
1 1 所以 Re s f ( z ) 1 z 1 z 1 2!z 12
由儒歇定理，f(z)与
而 f(z)=-z 在 C 内只有一个零点，所以
f ( z) g ( z) ( z) z
只有一个零点，记为 z ，使得 ( z ) z C 或 ( z ) z 0 0 0 0 0
Re s f ( z )
z n
1 的 sin z
1 | z (1) n (sin z )
1 e2 z 1 (2 z ) 2 (2 z ) 3 2 2 4 (3)由 4 4 2z 3 2 所以 z z 2! 3! z z 3z
复变函数第四版(第六章)
(2)工程技术中所遇到的函数大部分是存在拉氏变 换的。
(3)如果f (t)为指数级函数，则其增长指数不唯一。
}
三、 拉氏逆变换
定理 若函数f (t)满足拉氏变换存在定理中的条件。
L f (t ) F (s)
β0为收敛坐标，则L
-1[F(s)]由下式给出
1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2j
}
2、积分变换的作用
}
§2 拉普拉斯变换简介
一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义
设函数f(t)当ｔ 0时有定义，而且积分 0 （s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此 积分决定的函数可写为 F (s) 0 f (t )est dt, (1) 称F ( s)为f (t ) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或 象函数，记为 L f (t ) ，即 F(s) L f (t ) 又称 f (t ) 为 F ( s) 的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏 逆变换）或象原函数，记 L-1F (s) 即 f (t ) L-1F (s)
T T , 2 2
上满足狄利克雷条件，即满足以下条件：
⑴ 连续或者只有有限个第一类间断点；
⑵ 只有有限个极值点。
那么在
T T , 2 2
上fT(t)可以展成付氏级数。
}
在fT(t)的连续点处，付氏级数的三角形成为
a0 fT (t ) (an cosnt bn sin nt ) 2 n1 (1)
则积分F () f ( )e j d存在,并且在f (t)的连续点处
1 jt f (t ) F ( ) e d 而在f (t)的间断点t0处，应以 2 1 f (t0 0) f (t0 0) 代替该式左端的f (t)。 2
复变函数与积分变换第6章共形映射
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复变函数与积分变换
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应用定理6.7我们可以求已给区域D在映射w=f(z)下的像域G=f(D).首先，将 已知区域D的边界C的表达式代入w=f(z)，可得到像曲线Γ ；其次，在C上按 一定绕向取三点a→b→c，它们的像在Γ 上依次为a′→b′→c′，如果区域 D位于a→b→c绕向的左侧（或右侧），则由Γ 所围成的象区域G应落在 a′→b′→c′绕向的左侧（或右侧），如图6.3所示，这样我们就确定了像 域G=f(D).通常把这种确定映射区域的方法称为绕向确定法.
即在区域
内时图形放大.
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6.1.2共形映射的概念 定义6.1设w=f(z)在Nδ (z0)内是一一对应的，且在z0具有保角性 和伸缩率不变性，则称映射w=f(z)在z0点是共形的，或称w=f(z) 在z0点是共形映射.如果映射w=f(z)在区域D内的每一点都是共形 的，则称w=f(z)是区域D内的共形映射.
定理，在C上依次取z1→z2→z3，比如，
z2=0,z3=1，则
它们的像在Γ 上依次为：
w2=0,w3=1.由于区域D落在
z1→z2→z3绕向的左侧，因而像区域应落在w1→w2→w3绕向的左侧，故所求像
区域为G：
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图6.4
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由定理6.1及复合函数的求导公式立即可得： 定理6.4（保复合性）两个共形映射的复合仍然是一个共形映射. 定理6.4说明，如果ξ =g(z)把z平面上的区域D共形映射成ξ 平面上的区域E ，而w=f(ξ )把区域E共形映射成w平面上的区域G，则复合函数w=f ［g(z)］ 是一个把D映射为G的共形映射.这一事实在求具体的共形映射时将经常用到. 解析函数所确定的映射还具有保域性，即下面的定理（证明从略）.
复变函数 第六章
例2 求单位脉冲函数 (t ) 的拉氏变换。
t 函数定义——
t 0 0, δ(t ) 且 δ(t )dt 1 , t 0
解： L[ (t )] (t )e st dt
0
- (t )e dt (t )e dt
则f(t)的拉氏变换 F (s) f (t ) e st dt 0 在半平面 Re s > C上一定存在,此时右端的积分在
Re(s) c1 c 上绝对收敛。并且在半平面 Re s >C 内， s 为解析函数。 F
说明：
1. 存在定理中的条件(1)是容易满足的，对于条件 (2)，大多数物理和工程技术中常见的函数也是容 易满足的。 2. 存在定理中的条件是充分的，但并非必要的。
b a
e st dt就是一台将f (t )加工成F(s)的变换器。
F( ) 1 2
f (t )e jt dt 傅里叶变换,且 称为傅氏逆变换器,并有
e jt d
1 F ( )e jt d f (t ) 2 若实际中t 0无意义, 则考虑f (t )u (t )e t 得
kt
(3) f (t ) sin kt
解：(1) u(t)
L[u(t )] u(t )e dt
st 0
0
1 st e dt e 0 s
st
令s α βi, e st et- βti et ( cos βt i sin βt)
解：(1) f (t ) δ(t ) cos t u(t ) sin t
L[f (t )]
复变函数6.1
i (t +i )
当|t|<1时
例3：
e
i ( z +i )
因此当|t|<1时，
1 1 1 1 =− = − (1 + it + ...), 2 (2i + t ) 4 (1 − it ) 2 4 2
1 −i = = −i (1 + it + ...), i + t 1 − it
Res( f , z0 ) = α k −1
0
否则要采用其他方法求留数。 ( k −1) 显然， ϕ (z )
( z) = lim α k −1 = , (k − 1)! z → z0 (k − 1)!
ϕ
( k −1)
高阶极点留数的计算：
因此，我们也可根据下列公式计算 Res( f , z0 )
1 d Res( f , z0 ) = lim (k − 1)! z → z0
其中 ϕ (z ) 在这个圆盘内包括z=z0解析，其泰勒 级数展式是： +∞
ϕ ( z ) = ∑ α n ( z − z0 ) ,
n n =1
高阶极点留数的计算：
由此可见，
Res( f , z0 ) = α k −1 ,
因此问题转化为求 ϕ (z ) 泰勒级数展式的系数。 如果容易求出它的泰勒级数展式，那么由此可 得
f ( z) =
n = −∞
∑α
n
( z − z0 )
而且这一展式在C上一致收敛。逐项积分，我们 有 +∞
∫
C
f ( z )dz =
n = −∞
北京邮电大学复变函数第六章解读
立．
综上所述, 有 定理一
设函数w f (z)在区域 D内解析, z0 为 D内一点, 且 f (z) 0, 那末映射w f (z)在 z0 具有两个性 质: (1)伸缩率不变性； (2)保角性．
二、共形映射的概念
定义 设映射w f (z)在区域D内任意一点 具有保角性和伸缩率不变性，那末称 w f (z) 是第一类保角映射．
曲线在w0处的切线倾角为0 ，则0 0称为
曲线C经函数ω=f (z)映射后在z0处的旋转角．
y (z)
w f (z) y (w)
. 0
C
z0
. 0
w0
0
x0
x
2．伸缩率不变性
设 w f (z)在区域 D内解析, z0 D,且 f (z0 ) 0.
因为
f
(z0 )
lim
z z0
f (z) f (z0 ) lim w ,
z z0
z0 z
令 z z ei , w w ei .
y (z)
w f (z) y (w)
. z0
zC z
0
x
.
w
. w0
w
0
x
w z
w ei z ei
w w0 z z0
ei( ) ,
所以
f (z0 )
lim
z0
w z
lim z z0
w w0 z z0
为曲线C 在 z0 的伸缩率
z 平面
平面
f (z)
D
| | 1
g(w)
w g1( )
w 平面
G
w g 1( f (z))
6.1函数与复变函数
因为w e e e
z x
iy
所以 即
在0 Im z 2 内是一对一的
在 0 Im z 2 是保形的。
19
四、小结与思考
熟悉解析函数导数的几何意义, 了解共形
映射的概念及其重要性质.
20
思考题
求映射 w z 2 z 在点 z0 1 2i 处的旋转角 .
Argw( t0 ) Argf ( z0 ) Argz( t0 )
或
Argf ( z0 ) Argw( t0 ) Argz( t0 )
在w0处切线的倾角
C在z0处切线的倾角
等于曲线C经w f ( z)映射后在z0的转动角
说明: 转动角的大小与方向跟曲线C的形状无关. 映射 w=f(z) 具有转动角的不变性.
0
那么表示z( t0 )的向量 与C相切于点 z z(t0 ).
0
p0 . z( t0 )
x
3
若规定z( t0 )的方向(起点为z0 )为C上点z0
处切线的正向, 则有
1. Argz( t0 )就是C上点z0处的切线的正向与
x 轴正向之间的夹角. y
z ( t 0 )
C
.
0
Argz(t0 )
10
2. f ( z0 )的几何意义
w f (z )
y (z )
z ( t 0 )
s
y (w )
p . z C
Q . w R
p0 . r z0
0
Q0.
w0
x
0
x
w w0 伸缩率：称 lim 为曲线C经函数映射后在 z z0 z z 0 z0处的伸缩率。
复变函数讲义第6章
f ( z ) c 0 c1 ( z z 0 ) c n ( z z 0 ) .
n
( 0 z z0 )
其和函数 F ( z ) 为在 z 0 解析的函数.
5
f (z) F (z) , m f ( z ) lim F ( z ) F ( z 0 ) c 0
z z0
性质 若 z 0 为 f ( z ) 的可去奇点，则 lim f ( z ) 存在
z z0
(2) 无论 f ( z ) 在 z 0 是否有定义,
f ( z0 ) c0 ,
补充定义
则函数 f ( z ) 在 z 0 解析.
从而 f ( z ) 在 z 0的泰勒展开式为
f ( z ) c0 ( z z0 )
m
c1 ( z z 0 )
m 1
c2 ( z z0 )
m2
展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数 公式知: f 并且
f
(n)
( z 0 ) 0 , ( n 0 ,1 , 2 , m 1 );
c 1 ( z z0 )
c 0 c1 ( z z 0 )
( m 1, c m 0 )
那末孤立奇点 z 0 称为函数 f ( z ) 的 m 级极点.
8
说明: 定义式可改写为：
f (z) 1 (z z0 )
m
g (z)
其中，
g ( z ) c m c m 1 ( z z0 ) c m 2 ( z z0 )
18
例5
求
f (z)
复变函数第6章
g ( z ) 由于 在点a的邻域内解析, g ( z)
f ( z ) f ( z ) 故a必为 的一阶极点,且 Re s n. z a f ( z) f ( z)
(2) 若b为f ( z)的m阶极点, 则在点b的邻域内有
h( z ) f ( z) , m ( z b)
其中h( z)在点b的邻域内解析, 且h(b) 0.于是
mh( z ) h( z ) f ( z ) m 1 ( z b) ( z b) m
m h( z ) h( z ) h( z ) m h( z ) f ( z) f ( z ), m m z b ( z b) h( z ) ( z b) z b h( z )
(1) f ( z)在C的内部是亚纯的,
(2) f ( z)在C上解析且不为零,
1 f ( z ) 则有 f ( z) dz N ( f , C ) P( f , C ). 2 i C
f ( z )在C内 f ( z )在C内 的零点个数 的极点个数
注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点.
n g ( z ) n n ( z a) g ( z ) ( z a) g ( z ) za g ( z) f ( z ) n g ( z ) n g ( z ) ; f ( z) f ( z) ; za g ( z) f ( z) z a g ( z)
例2 设f ( z) ( z 1)( z 2)2 ( z 4)
试验证辐角原理. 解
C: z 3
f ( z)在z平面解析, 且在C内有
一阶零点z 1, 二阶零点z 2, N ( f , C ) 3,
当z沿C转一周时,有
复变函数第六章.ppt
6.2.1 函数的卷积
定义6.1 设函数 f1(t) 和 f2(t ) 都是(,)上的 绝对可积函数, 积分
f1( x) f2(t x)dx
称为函数 f1(t)和 f2(t ) 在区间(, )上的卷积. 记 为 ( f1 f2 )(t ) 或 f1(t ) f2(t )f1 f2 )(t) f1( x) f2(t x)dx.
设 de ( x)是当 x
0 时,
lim
e 0
d
e
(
x)
0,
在(, )
上可积的函数，并且对任何无穷可微的函数f (x), 有
lim
e 0
de ( x) f ( x)dx
f (0).
特别地，当 f ( x) 1 时，
lim
e 0
de ( x)dx 1.
满足这些条件的函数 de ( x)称为d 逼近函数. d 函
这是 [0,)上的卷积公式.
例6.1 求 f1(t) t 和 f2(t ) sin t 在 [0,)上的 卷积.
解 由 [0,)上的卷积公式
f1(t ) f2(t ) t sin t
t
0 x sin(t x)dx
x cos(t x) t
t
cos(t x)dx
0
0
t sin t.
卷积具有下面一些性质(这里假定所有的广义 积分均收敛, 并且允许积分交换次序):
(1) 交换律 f1(t ) f2(t ) f2(t ) f1(t ).
证明 由卷积的定义
f1(t ) f2(t ) f1( x) f2(t x)dx.
令 t x u, 则 dx du, 并且
f1(t ) f2(t ) f2(u) f1(t u)du
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，其中在点a解析，，则3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，则4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点则5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。
8.计算留数的另一公式：.§2.用留数定理计算实积分一.型积分→引入注：注意偶函数二.型积分1.（引理6.1 大弧引理）：上则2.（定理6.7）设为有理分式，其中为互质多项式，且符合条件：（1）n-m≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有注：可记为三.型积分3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周，充分大上连续，且在上一致成立。
则4.（定理6.8）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高；（2）Q无实数解；（3）m>0则有特别的，上式可拆分成：及四.计算积分路径上有奇点的积分5.（引理6.3 小弧引理）：于上一致成立，则有五.杂例六.应用多值函数的积分§3.辐角原理及其应用即为：求解析函数零点个数1.对数留数：2.（引理6.4）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且（2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且3.（定理6.9 对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件：（1）f(z)在C的内部是亚纯的；（2）f(z)在C上解析且不为零。
则有内零点个数极点个数注1：当条件更改为：（1）f在Int(C)+C上解析；（2）C上有f≠0，有，即注2：条件可减弱为：f(z)连续到边界C，且沿C有f(z)≠04.（辅角原理）：5.（定理6.10 鲁歇（Rouche）定理）：设C是一条周线，函数f(z)及(z)满足条件：（1）它们在C的内部均解析，且连续到C；（2）在C上，|f(z)|>|(z)|则函数f(z)与f(z)+(z)在C内部有同样多（几阶算几个）的零点，即N(,C)=N(f,C)6.(定理6.11)：若函数f(z)在区域D内但也解析，则在D内f’(z)≠0.。
复变函数6.1
1
n
f (z)
n 1
. (6.3)
证
Re s f (z)
za
2 i
1
(z)
(z a)
dz
( n 1)
(a )
( n 1) !
.
n 1, 2,
( n 1 )
这里符号(0)(a)=(a)
,且有
( a ) lim
z a
( n 1 )
n
f ( z ).
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证 以原点为心作圆周Γ,使a1,a2,…,an皆含于Γ 的内部,则由残数定理得 an a 3 f ( z ) d z 2 i R e s f ( z ), a1 a2 两边除以2i ,并移项即得
n k 1 z ak
n
Re s f ( z )
f ( z )dz
c
k 1
n
k
Байду номын сангаас
f ( z )dz.
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由残数定义,有 代入上式,即得:
f ( z )dz
c
k
f ( z ) dz 2 i Re s f ( z ).
z ak
k 1
n
k
f ( z )dz.
2 i R e s f ( z ).
2i
Re 为f(z)在点a的留(残)数(residue),记为： z a s f ( z ). 将f(z)在点a去心邻域内展成洛朗级数，有：
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本章我们要从另外一个方面来讨论复 变函数（尤其是解析函数）的意义、性质， 并给出一些在应用方面的例子，具体地说 就是从几何的角度来讨论解析函数的性质 及应用问题.
第一节
曲线 C
复平面上的曲线及其简单性质
考虑在 z 平面 D 上区域内过 z 0 的一条简单光滑
z z(t ) x(t ) iy(t ), t
C1 的夹角相差一个符号.
前面我们已经知道曲线在某点的切线正方 向与实轴正方向的夹角为其导数在该点处的辐 角.所以我们易知曲线 C1 ：z z(t1 )( t ) 到
C2 ： z z(t2 )( t ) 在
) 处的 交点 z0 z1 (t0 ) z2 (t0
夹角为（如图 6-2） (t0 ) arg z1 (t0 ) arg z2
(t0 ) arg z1 (t0 ) arg z2 arg( 2t i ) |t 1 arg(1 i 2t ) |t 1 1 arctan arctan 2 2
由上面的例子，我们知道从一条曲线到 另一条曲线的夹角是可以取负值的.事实上在 同一交点处，从曲线 C1 到 C2 的夹角与从 C2 到
设 z (t0 ) z0 (t0 [ , ]). 作通过曲线 C 上两点 z0 z (t0 ) 及 z1 z (t1 ) 的 割线，易知割线的方向与复数
z1 z0 所表示 t1 t0
的向量的方向一致（表示的是割线从 z 0 指向 z1 的方向 . 所以
z1 z0 只要当 t1 沿曲线 C 趋近于 t 0 时，向量 与正 t1 t0 z1 z0 实轴的夹角 arg 连续变化切极限存在，割 t1 t0
线就有确定的极限位置，这就是曲线 C 在 z z0 处的切线.换句话说，此时曲线 C 在 z 0 处的切线
z1 z0 过 z 0 点，且沿方向 lim 的直线.应该注意 t1 t0 t t 1 0
图 6-2
z z1 (t ) t it 2 ( t )到 例 1 求曲线 C1 ：
曲线 C2 ： z z2 (t ) t 2 it ( t ) 在交点
z0 1 i 处的夹角.
解
易知 z0 1 i 是曲线 C1 和 C2 上 t t0 1所对 应的点，所以曲线 C1 到 C2 在 z 0 处的夹角为
这样我们又可以知道，当 z z (t ) 在 t t0 处的导 数存在且不为零时，曲线 C 在 z 0 处切线的正方 向为 z (t 0 ) ，与实轴正方向的夹角为 arg z (t0 ) .
定义：若复平面上两条曲线C1 ，C2 在 z 0 处相交，且在 z 0 处两曲线的切线都存在，则 称 C1 在 z 0 处切线的正方向到 C2 在 z 0 处切线 的正方向的夹角为曲线 C1 到 C2 在 z 0 处的夹 角.
这个切线方向表示的是当 t 增加时， 曲线 C 上点 的运动方向，所以以后称之为曲线 C 的切线的 正方向，当 z z (t ) 在 t t0 处的导数存在且不为 零时，有
z (t1 ) z (t0 ) z1 z0 z(t0 ) lim lim 0 t1 t0 t t 1 0 t t t1 t0 1 0