数学第九讲
部编版数学四年级上册第9讲.超常体系
第9讲第7级下超常体系教师版四年级秋季定义新运算初步四年级秋季多位数计算四年级秋季小数的计算四年级寒假第五种运算四年级寒假小数巧算了解小数的意义，会用小数表示日常生活中的一些事物，能够正确读写小数，并能进行比较，能够熟练进行小数加减乘除的运算，能够运用一些定律进行一些简单的巧算.漫画释义知识站牌第7级下超常体系教师版在我们日常生活中，大家有没有发现除自然数以外的数呢？例如：在超市中物品的单价，苹果4.56元，香蕉2.50元.体检时；某同学身高1.48米，体重34.5千克，视力5.0等等.它们每个数中都有“.”.这个点叫做小数点.这类数叫做小数.小数是我国最早提出和使用的.早在一千七百多年前，我国古代数学家刘徽（他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产）在解决一个数学难题时就提出了把所有个位以下无法标出名称的部分称为微数.最初，人们表示小数只是用文字.到了公元十三世纪，我国数字家朱世杰提出了小数的名称，同时出现了低一格表示小数的记法.在西方，小数出现很晚.直到十六世纪，法国数学家克拉维斯用小圆点“.”表示小数点，才确定了现在表示小数的形式；不过还有一部分国家是用逗号“，”表示小数点的.例如:“64.12”会表示为“64,12”.小数的出现使得我们计算的结果更加精确.1、结合具体情境，进一步体会小数的意义，会用小数表示日常生活中的一些事物.2、体会十进制分数与小数的关系，并能进行互化.3、能正确读写小数，并能对小数大小进行比较.4、能进行小数的加减乘除的计算及四则混合运算.5、能够运用一些运算定律进行简单的速算.1、小数的意义：表示的是分母是10、100、1000……的分数.一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几……例如0.4表示十分之四.2、小数的计数单位和数位顺序表：小数可以分为整数部分和小数部分.整数部分小数点小数部分数位…千位百位十位个位.十分位百分位千分位万分位…计数单位…10001001010.10.010.0010.0001…小数中每相邻两个计数单位之间的进率为10.3、小数的读法和写法：课堂引入经典精讲教学目标第9讲第7级下超常体系教师版读小数时，小数的整数部分按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按照顺序读出每一个数位上的数字.写小数时，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字.4、小数大小的比较方法：比较大小时要先看整数部分，整数部分大的数大.整数部分相同的就看小数十分位，十分位大的数大.十分位相同就看百分位，百分位大的数大……，从左往右逐位比较..5、小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变.6、小数点数位移动引起小数大小的变化.小数点向左移动一位、两位、三位……，原来的数就缩小10倍、100倍、1000倍……；小数点向右移动一位、两位、三位……，原来的数就扩大10倍、100倍、1000倍…….如果要把一个数扩大或缩小10倍、100倍……只需要移动小数点，数位不够时用0补足.7、小数的分类：按整数部分是否为0来分：纯小数（整数部分为0）和带小数（整数部分不为0）8、小数的加减乘除计算法则（1）小数加、减法的计算法则把各数的小数点对齐，按照整数的加、减法的法则计算，得数的小数点与加数的小数点对齐.（2）小数乘、除法的计算法则按照整数乘法（或除法）的法则计算出积（或商），对于乘法，要看乘数和另一个乘数里共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点，不够时补零.小数除法需要把除数转化成整数，按照整数除法的计算法则进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在被除数后面添上0再继续除.9、运算律小数的四则运算法则和整数的四则运算法则相同：它们的运算顺序是先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内，后算括号外，同一级运算顺序是从左到右.与整数四则运算相同，小数的四则运算也满足整数运算的运算律.如下：()1加法交换律：a b b a+=+()2加（减）法结合律：()()a b c a b c ++=++()a b c a b c --=-+()a b c a b c -+=--()3乘法交换律：a b b a ⨯=⨯()4乘（除）法结合律：()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯()a b c a b c ÷÷=÷⨯()a b c a b c ÷⨯=÷÷()5乘法分配律：()m a b c ma mb mc ++=++注意事项：（1）减法和除法的结合律要记得变号；（2）除法没有分配律，只有一个类似的运算性质，当除数相同时：()a m b m c m a b c m ÷+÷+÷=++÷但如果被除数相同时，是没有这个性质的()m a m b m c m a b c ÷+÷+÷≠÷++第7级下超常体系教师版1、竖式计算.15+275=1357-389=4850+782=5897-925=77×38=458×45=825÷15=1125÷125=【分析】15+275=2901357-389=9684850+782=56325897-925=497277×38=2926458×45=20610825÷15=551125÷125=92、脱式计算.2100-21×53+2255（103-336÷21）×15800-（2000-9600÷8）605×（500-494）-1898【分析】3242；1305；0；1732.模块一：小数的认识（例1、例2）模块二：小数的加减法（例3、例4、例5）模块三：小数的四则混合运算（例6、例7、例8）1、小数部分的计数单位“十分之一”可以用小数______表示；“百分之一”可以用小数_____表示.分数710用小数表示______.分数171000用小数表示___________.2、1里面有_____个0.1，有_____个0.01，有____个0.001.3、20.523小数点左边第二位是______位，表示_____个______;小数点右边第二位是_______位，表示________个________.4、5.02是由5个______和2个_____组成.0.46里面有_______个百分之一.28个百分之一组成的数是______.7个十分之一，2个千分之一组成的数是_______.一个数的十位是3，十分位是3，其他数位是0，这个数是______.5、根据小数的性质，下列各题哪些0可以去掉，哪些0不可以去掉？0.50=_______400=________4.00=_________0.030=________6、把0.32分别扩大到它的10倍、100倍、1000倍是_________、_________、___________.7、把432.6的小数点先向左移动3位，再向右移动2位，得到的数是_________.（学案对应：超常学案1、123学案1）例题思路知识点回顾第9讲第7级下超常体系教师版【分析】1、0.1；0.01；0.7；0.017.2、10；100；1000.3、十位；2个10；百分位；2个0.01；4、1；0.01；46；0.28；0.702；30.3.5、0.5；400；4；0.03.6、3.2；32；320.7、43.26.1、在（）里填上适当的小数.600千克=()吨35厘米=（）分米=（）米3元6角=（）元4.05元=（）元（）角（）分2、比较大小;(1)1.75□1.7451.5□1.500.46□0.46415.08□16(2)按从小到大的顺序排列下面的数.0.50.5060.6050.0560.0650.56(3)青青不小心抄丢了小数点，请在适当的位置写上小数点，使这个式子成立.651＜732＜465＜213【分析】1、0.6;3.5,0.35;3.6;4,0,5.2、（1）＞；=；＜；＜.(2)0.056＜0.065＜0.5＜0.506＜0.56＜0.605（3）6.51＜7.32＜46.5＜213(1)小试牛刀：0.78+2.2=5-0.08=3.25+0.75=10-0.1=8.65-6.31=10-7.64=13.6+8.46=0.99+1.1=失之毫厘，谬以千里1967年8月23日，苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故——减速降落伞无法打开.苏联中央领导研究后决定：向全国实况转播这次事故.当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船在两小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们都沉浸在巨大的悲痛之中.在电视上，观众们看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象.他面带微笑叮嘱女儿说：“你学习时，要认真对待每一个小数点.联盟一号今天发生的一切，就是因为地面检查时忽略了一个小数点……”即使是一个小数点的错误，也会导致永远无法弥补的悲痛告别.古罗马的恺撒大帝有句名言：“在战争中，重大事件常常就是小事所造成的后果.”换成我们中国的警句大概就是“失之毫厘，谬以千里”吧.第7级下超常体系教师版(2)崭露头角：3.45+8.7+16.55+1.317.83-9.5-7.83-0.527.38-5.34+2.62-4.6621.63-（8.5+9.63）(3)计算达人：9.699.6999.69999.699999.6++++（学案对应：超常学案2、123学案2）【分析】（1） 2.98 4.9249.9 2.34 2.3622.06 2.09（2）30020 3.5（3）原式=(100.4-)+(1000.4-)+(10000.4-)+(100000.4-)+(1000000.4-)1111102111108=-=（1）已知0.24510 2.45⨯=，那么计算2.4510⨯=______0.245100⨯=______0.2451000⨯=______.（2）已知：374148⨯=，那么算式3.74⨯=_________0.374⨯=_________0.370.4⨯=__________.（3）计算：2.5×0.88= 1.5×4.9=10.1×9.9=36×0.08=（4）计算：3.1×2.4×5.2 1.125640.75⨯⨯0.46×7.5+0.46×2.5（学案对应：超常学案3、123学案3）【分析】（1）24.524.5245（2）14.81.480.148（3）2.27.3599.99 2.88（4）38.68854（可用巧算）4.6（可用巧算）(1)已知95109.5÷=，那么计算9.510÷=_________95100÷=_______951000÷=________.(2)已知：1561213÷=，那么算式15.612÷=______156 1.2÷=______ 1.560.12÷=______(3)计算：27÷25=7.79÷95=2432÷0.64=5.13÷0.27=2.688÷0.56=(4)计算：7.25÷1.25÷8 3.6 1.250.9⨯÷27 1.1 1.9 3.87.7⨯⨯⨯÷÷【分析】（1）0.950.950.095（2）1.313013（3）1.080.082380019 4.8（4）0.7255原式[][](2 1.9) 3.8(7 1.1)7.7=⨯÷⨯⨯÷1=第9讲第7级下超常体系教师版计算：()0.7830.750.550.1519+⨯-÷⎡⎤⎣⎦（学案对应：超常学案4）【分析】0.057（0.987654321+0.876543219+0.765432198+…+0.198765432）÷5【分析】原式=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×0.111111111÷5=45÷5×0.1111111111=0.999999999105.5[(40 2.3)0.5 1.53](53.626.80.125)187.5++÷⨯-÷÷⨯= ，则=．（学案对应：123学案4）【分析】105.5[(40 2.3)0.5 1.53]0.25187.5[(40 2.3)0.5 1.53]0.2582(40 2.3)0.5 1.5320.540 2.344.062.3 4.069.338++÷⨯-÷=+÷⨯-÷=+÷⨯-=+÷=÷== 换不开顾客要求：“请帮我把1美元的纸币换成硬币．”营业员回答：“很抱歉，我换不开．”“那只把50美分换成小额硬币呢？”“非常抱歉，还是换不开．”营业员很小心地继续说：“就连25美分、10美分甚至5美分也都换不开．”“难道你根本没有硬币吗？”顾客很生气．“不，”营业员说：“我一共有1.15美元硬币．”那么你知道营业员的1.15美元硬币是怎么组成的吗？注：硬币面值有50美分，25美分，10美分，5美分和1美分．【答案】1.15=0.5+0.25+0.1×4第7级下超常体系教师版1.小数加减运算是各数小数点对齐，按整数加减法则运算；2.小数乘除运算按照整数乘法（或除法）的法则计算出结果，再把结果缩小相应倍数.3.小数点移动规律：小数点向左移动一位、两位、三位……，原来的数就缩小10倍、100倍、1000倍……；小数点向右移动一位、两位、三位……，原来的数就扩大10倍、100倍、1000倍…….4.小数的四则运算法则和整数的四则运算法则相同.运算顺序和运算定律也相同.1、化简下面的小数：0.500=_________18.00=________40.050=_________70.00=_________1.8040=_______5.360=__________【分析】0.51840.05701.8045.362、6.32 3.16 2.847.68+++30.3610.987.02 5.36---【分析】2073、1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999++++【分析】原式(20.1)(20.01)(20.001)(20.0001)(20.00001)25(0.10.010.0010.00010.00001)100.111119.88889=-+-+-+-+-=⨯-++++=-=4、4.3×50×0.2 2.1257.532⨯⨯【分析】435105、4.8×（15÷2.4）1.2×（9.6÷2.4）÷4.8【分析】3016、计算：10.37×3.4+1.7×19.26【分析】原式()10.37 3.4 3.49.6310.379.63 3.420 3.468=⨯+⨯=+⨯=⨯=7、()100.216.70.070.01-+⨯⨯⎡⎤⎣⎦【分析】0.08631家庭作业知识点总结第9讲第7级下超常体系教师版8、3.9 5.5 3.635 1.1 1.2⨯⨯÷÷÷÷【分析】原式 3.9 5.5 3.6[(3 1.2)(5 1.1)] 3.9=⨯⨯÷⨯⨯⨯=【超常班学案1】不改变数的大小，把下面的数改写成三位小数:0.94.250010.51358.40.80【分析】0.900 4.25010.50013.00058.4000.800【超常班学案2】325.24425.24625.24925.24525.24++++【分析】325.24425.24625.24925.24525.240.245325425625925525++++=⨯+++++1.2254300400600900525 1.2=+⨯+++++=+(100900+)+(400600+)300525++2826.2=【超常班学案3】6.4×3.28+4.6×3.28-3.281÷0.25×（1.28÷3.2）【分析】32.81.6【超常班学案4】8.5 1.5210.4+⨯+÷()100.2 6.370.70.05-+÷⨯⎡⎤⎣⎦【分析】140.035【123班学案1】用0、0、3、8这四个数字和小数点按要求组成小数.（1）组成最小的小数（）.（2）组成最大的小数（）.（3）组成最小的两位小数（）.（4）组成只读一个0的两位小数（）.（5）组成一个0都不读的小数（）.【分析】0.038;830.0;30.08;30.08/30.80/80.30/80.03;300.8/800.3.【123班学案2】2.2 4.4 6.68.810.1012.1214.1416.16+++++++【分析】原式=(2.28.8+)+(4.4 6.6+)+(10.1016.16+)+(12.1214.14+)111126.2626.2637.26274.52=+++=⨯=【123班学案3】 6.250.162640.0625 5.2 6.250.62520⨯+⨯+⨯+⨯1640.250.050.125÷÷÷÷【分析】原式 6.250.16 2.64 6.25 5.2 6.25 6.252 6.25(0.16 2.64 5.22)62.5=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+++=原式1(640.250.050.125)1(40.2520.0580.125)=÷⨯⨯⨯=÷⨯⨯⨯⨯⨯1(10.11)10=÷⨯⨯=123班学案超常班学案第7级下超常体系教师版【123班学案4】计算：已知1.08 1.2 2.310.8÷÷=÷□，其中□表示的数是.【分析】 1.08 1.2 2.310.8÷÷=÷□1.08(1.22.3)10.8÷⨯=÷□1.082.7610.8÷=÷□27.6=□。
小学数学六年级第九讲 假设法与倒推法
第九讲：假设法与倒推法解题一、知识点：1、假设是数学中思考问题的一常见的方法，有些应用题乍看很难求出答案，但是如果我们合理地进行假设，往往会使问题得到解决。
所谓假设法就是依照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，作适当的调整，从而找到正确答案。
我国古代趣题“鸡兔同笼”就是运用假设法解决问题的一个范例。
2、已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆运算问题。
解决这类问题通常运用倒推法。
3、遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。
二、解决问题。
例1、鸡、兔共30只，共有脚84只。
鸡、兔各有多少只？例2、六一班54人去划船，每条大船限坐6人，每天小船限坐4人，共租了10条船，刚好坐满。
请问大、小船各租了几条？例3、某学校举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分。
共有12道题，王刚得了84分。
王刚做错了几题？1，例4、小军和小明共有压岁钱2700元，九寨沟地震后，小军捐出自己压岁钱的41，他们共捐了600元，请问小明和小军原来各有多少压小明捐出自己压岁钱的5岁钱？例5、小刚的奶奶今年年龄减去7后除以9，再加上2，之后乘10，恰好是100。
小刚的奶奶今年多少岁？例6、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。
这个商场原来有洗衣机多少台？例7、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。
如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。
这三个人原来各有故事书多少本？例8、修一条路，第一天修了全长的21多2千米，第二天修了余下的21多1千米，还剩下3千米没修，这条路全长多少千米？课后练习1、50位学生去划船，每条大船限坐6人，每天小船限坐4人，共租了9条船，刚好坐满。
请问大、小船各租了几条？2、一辆汽车装运玻璃仪器360个，每个运费5元，若损坏一个仪器不但不会给运费还要赔偿50元，结果司机最后只收到1250元。
人教版小学四年级数学第9讲：追及问题(学生版)
第九讲追及问题1. 追及问题的公式：追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及时间。
2. 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
一：追及问题运动过程的理解，公式的掌握。
二：做题中车长的掌握。
例1.甲乙两车从相距104千米的两地出发去货场取货（乙车在前）．甲车每小时行64千米，乙车每小时行48千米．途中甲车出故障停车修理半小时，甲乙两车相遇时各行了多少千米？例2.学校离游泳馆1200米，小强和小华由学校到游泳馆，小强每分钟行100米，小华每分钟行80米，当小华走2分钟后，小强才出发，当小强追上小华时，距离游泳馆有多远？例3.甲乙两地相距900千米，一列客车和一辆货车同时由甲地开往乙地，客车早到5小时，客车到达乙地时货车行了600千米．问客车的速度是每小时多少千米？例4.甲车以每小时60千米的速度前进，乙车以每小时100千米的速度追赶，则在乙车追上甲车前9秒钟，两车相距米．例5.甲、乙两车同时从A、B两地沿相同的方向行驶．甲车如果每小时行驶60千米，则5小时可追上前方的乙车；如果每小时行驶70千米，则3小时可追上前方的乙车．由上可知，乙车每小时行驶千米（假设乙车的行驶速度保持不变）．A档1．在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以每小时90千米的速度行驶，后面一辆汽车以每小时108千米的速度行驶．后面的汽车突然失控，向前冲去（车速不变）．在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距多少米？2．两艘渡船从南岸开往北岸，第一艘船以每小时30千米的速度先开，第二艘船晚开12分钟，速度为每小时40千米，结果两船同时到达，求南北岸相距多远？3．龟兔赛跑，同时出发，全程7000米，龟以每分30米速度爬行，兔每分跑330米，兔跑了10分钟就停下来睡了200分钟，醒来后立即以原速往前跑，当兔追上龟时，离终点的距离是多少米？4．一辆货车以每小时65千米的速度前进，一辆客车在它后面1500米以每小时80千米的速度向前行驶，假如客车保持车速不变，也不去超越货车，那么肯定与货车相撞，问在相撞前1分钟，客、货车相距多远？B 档1．一列火车每小时行70千米，一天上午8：00从A地开往B地，行了2小时后遇铁路故障需要停车半小时，上午10：00一列特快客车也从A站出发，行同一路线，每小时行100千米，为了安全行车，两列火车间距不应少于10千米，那么先开出的火车最多再行多少千米后就应停车以便让特快客车通过？2．上午7时有一列货车以每小时55千米的速度从甲城开往乙城；上午9时又有一列客车以每小时80千米的速度从甲城开往乙城，为了行驶安全，列车间的距离不应少于10千米．问：货车最晚应在什么时刻停车让客车通过？3．一辆汽车以每小时30千米的速度从甲地开往乙地，开出4小时后，一列火车也从甲地开往乙地，这列火车的速度是汽车的3倍，在甲地到乙地距离二分之一的地方追上了汽车．甲乙两地相距多少千米？C档1．上海路小学有一个300米的环形跑道，扬扬和宁宁同时从起跑线起跑，扬扭每秒跑6米，宁宁每秒跑4米，问：（1）扬扬第一次追上宁宁时两人各跑了多少米？（2）扬扬第二次追上宁宁时在起跑线前面多少米？（3）第二次追上时两人各跑了几圈？2．甲乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行四小时后它们相距多少千米？这时甲机提高速度，用两小时追上乙机，甲机每小时飞行多少千米？3．根据（乙机的速度﹣甲机的速度）×4，列式可求飞行四小时后它们相距的路程；先根据路程差÷时间，列式可求出甲机提高的速度，用两小时追上乙机的速度差，再加上乙机的速度即为所求．1．一辆卡车以每小时64千米的速度开出1小时25分钟后，一辆吉普车以每小时82千米的速度追赶卡车．问：在吉普车赶上卡车之前2分钟，两车相距多远？2．上午8时有一列货车以每小时48千米的速度从甲城开往乙城；上午10时又有一列客车以每小时70千米的速度从甲城开往乙城，为了行驶安全，列车间的距离不应少于8千米．问：货车最晚应在什么时刻在叉道上停车让客车通过？3．甲乙两车从相距104千米的两地出发去货场取货（乙车在前）．甲车每小时行64千米，乙车每小时行48千米．途中甲车出故障停车修理半小时，甲乙两车相遇时各行了多少千米？1．甲乙两地相距900千米，一列客车和一辆货车同时由甲地开往乙地，客车早到5小时，客车到达乙地时货车行了600千米．问客车的速度是每小时多少千米？2．两艘渡船从南岸开往北岸，第一艘船以每小时30千米的速度先开，第二艘船晚开12分钟，速度为每小时40千米，结果两船同时到达，求南北岸相距多远？。
第九讲导数与函数的单调性原卷版2023届高考数学二轮复习讲义
第九讲：导数与函数的单调性【考点梳理】【典型题型讲解】考点一：求函数的单调区间（不含参）【典例例题】例1.函数()ln f x x x =的单调递减区间是（ ）．A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭函数单调区间的求法：解不等式法，列表格法【变式训练】2.函数ln 2f x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．(),3-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()1,23.已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．(-∞,0) B ．(1,+∞) C ．(-∞,1)D ．(0,+∞) 4．函数()()3e x f x x =-的单调增区间是( )A ．()2-∞，B ．()03，C ．()14，D ．()2+∞，5．函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________． 【典型题型讲解】考点二：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围【典例例题】例1.如果函数()22ln f x x a x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≤（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.【变式训练】1．若函数()2()e x f x x ax a =-+在区间(1,0)-内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．(,1]-∞2.已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．[]1,1-C ．[]1,3D ．[]1,3-2．已知函数()()41x f x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3.已知函数()2()()x f x e x bx b R =-∈在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是（ ） A ．8(,)3-∞ B ．5(,)6-∞ C ．35(,)26- D ．8(,)3+∞ 4.已知函数()ln 3f x ax x =++在区间()1,2上不单调，则实数a 的取值范围为（ ）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．21,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．函数321()53f x x x ax =-+-在区间[1,2]-上不单调，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，-3]B ．(-3，1)C ．[1，+∞)D ．(-∞，-3]∪[1，+∞)考点三：含参问题讨论单调性【典例例题】例3.已知函数[]21()2ln ln(1),02=-+-≠f x k x x kx k .讨论()f x 的单调性；例4.已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()'f x ．讨论函数()f x 的单调性；【方法技巧与总结】1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3．利用草稿图像辅助说明．【变式训练】1.已知函数()axf x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；2．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在R 上的函数()()1e -=-∈ax f x x a R ．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)对于()0,x ∀∈+∞，若不等式()()21ln f x x x ax ≥--恒成立，求a 的取值范围．3.已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；4．已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++讨论f （x ）的单调性；5.已知函数()()()211ln 2f x x ax ax x a R =+-+∈，记()f x 的导函数为()g x 讨论()g x 的单调性；6.（2022·广东深圳·一模）已知函数()()22ln 121f x x a x ax =-+-+（a R ∈）．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点1x ，2x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求证：12x x +>【巩固练习】一、单选题1．已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-2．已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f x f x ->-的解集为（ ） A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞ 3．“函数sin y ax x =-在R 上是增函数”是“0a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()()1e x f x x mx =--在区间[]2,4上存在单调减区间，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()22e ,+∞B ．(),e -∞C ．()20,2e D ．()0,e 二、多选题5．已知()ln x f x x=，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =+B ．()f x 的单调递减区间为(),e +∞C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()1f x =-有两个不同的解6．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，对于任意,()0x ∈+∞，都有()ln ()0x xf x f x '+>，则使不等式1()ln 1f x x x +>成立的x 的值可以为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3三、填空题 7．写出一个具有性质①①①的函数()f x =____________. ①()f x 的定义域为()0,+∞；①()()()1212f x x f x f x =+；①当()0,x ∈+∞时，()0f x '>.四、解答题8．已知函数()ln R k f x x k k x=--∈， (1)讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性；(2)若函数()f x 在区间(1,e) 内无零点，求k 的取值范围．9.已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．10．已知函数2()(1)=--x f x k x e x ，其中k ①R.当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；11．已知函数()e x f x ax -=+.讨论()f x 的单调性；12．已知函数()ln e xx a f x +=.当1a =时，判断()f x 的单调性；。
数学：第9讲《牛吃草》
10天吃完需要牛的头数是：150 10 10 5(头).
例 12 学校有一片均匀生长的草地，可以供 18 头牛吃 40 天，或 者供 12 头牛与 36 只羊吃 25 天，如果 1 头牛每天的吃草 量相当于 3 只羊每天的吃草量。请问：这片草地让 17 头 牛与多少只羊一起吃，刚好 16 天吃完？ 【解析】 48 只羊 将羊转化为牛，题目转化为可以供 18 头牛吃 40 天，或者
原有草量为15 8 5 8 80，起初这 15 头牛吃了 2 天后， 又来了 5 头牛，再过[80 (15 5) 2] (15 5 5) 4天可 以把草吃完
例8 进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀 地减少。现在开始在这片牧场上放羊，如果有 38 只羊， 把草吃完需要 25 天；如果有 30 只羊，把草吃完需要 30 天。如果有 20 只羊，这片牧场可以吃多少天？ 【解析】 40 设1头羊1天吃1份草，则草的减少速度为 (38 25 30 30) (30 25) 10， 原有草量为38 25 10 25 1200，如果放养 20 头羊最多 吃1200 (20 10) 40（天）
例4 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。 如果 10 人淘水，3 小时淘完；如果 5 人淘水，8 小时淘完。
如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？ 【解析】 14 人 设 1 人 1 小时淘出的水量是“1”，进水速度是 (58 10 3) (8 3) 2，原有水量(10 2) 3 24，要求 2 小时淘完，要安排24 2 2 14人淘水.
部编版数学四年级第9讲.年龄问题进阶
例2
小虎的爸爸比妈妈大 4 岁，今年小虎的父母年龄之和是小虎的 7 倍，3 年后小虎的父母年龄之和是 小虎的 6 倍，那么小虎的妈妈今年多少岁？
【分析】今年小虎的父母年龄之和是小虎的 7 倍，3 年后小虎的父母年龄之和刚好是小虎的 6 倍， 则小虎今年的年龄与父母增加的年龄的和刚好是小虎增加年龄的 6 倍．即“小虎今年的年 龄 ” 3 2 3 6 ， 小 虎 今 年 的 年 龄 ： 18 6 12 ( 岁 ) ． 小 虎 父 母 今 年 的 年 龄 和： 12 7 84 ( 岁 ) ． 小 虎 的 爸 爸 比 妈 妈 大 4 岁 ， 所 以 小 虎 的 妈 妈 今 年 的 年 龄 ： (84 4) 2 40 (岁)．
第９讲
第九讲 年龄问题进阶
知识站牌
五年级寒假 四年级秋季 比例应用题 四年级暑假 列方程解应用题 三年级春季 年龄问题进阶 年龄问题
六年级暑假 应用题综合
掌握复杂的年龄问题，并会运用所学知识解决一些实际问 题．
漫画释义
第 ７ 级上 超常体系 教师版 １
教学目标
1、能够熟练运用画线段图的方法解决年龄问题。 2、进一步学习复杂的年龄问题 3、能够运用所学知识解决一些实际问题
【分析】第一种情况，是一年后，母亲 26 岁，女儿 2 岁，母亲是女儿的 13 倍 第二种情况，是两年后，母亲 27 岁，女儿 3 岁，母亲是女儿的 9 倍 第三种情况，是三年后，母亲 28 岁，女儿 4 岁，母亲是女儿的 7 倍 第四种情况，是五年后，母亲 30 岁，女儿 6 岁，母亲是女儿的 5 倍 第五种情况，是七年后，母亲 32 岁，女儿 8 岁，母亲是女儿的 4 倍 第六种情况，是十一年后，母亲 36 岁，女儿 12 岁，母亲是女儿的 3 倍 第七种情况，是二十三年后，母亲 48 岁，女儿 24 岁，母亲是女儿的 2 倍
人教版五年级数学上册【详解】5年级第09讲_流水行船问题
第九讲 流水行船问题例题1. 答案：21千米/时；5千米/时详解：顺水速度为208826÷=千米/时，逆水速度为2081316÷=千米/时，船的静水速度为2616221+÷=（）千米/时，水流速度为261625-÷=（）千米/时．例题2. 答案：6小时详解：船在甲河中顺水航行的速度是133719÷=千米/时．而甲河水速是3千米/时，所以船速是19316-=千米/时．乙河水速是2千米/时，因此船在乙河中逆水航行的速度是16214-=千米/时，所以航行84千米还需要84146÷=小时．例题3. 答案：24天详解：假设从A 城到B 城的距离是24千米，那么轮船顺水航行的速度是2438÷=千米/天，而逆水航行的速度是2446÷=千米/天，由和差关系可知，水速为()8621-÷=千米/天，也就是木筏漂流的速度．因此木筏从A 城漂流到B 城需要24124÷=天．例题4. 答案：72千米；90千米详解：如图所示：（1）甲船的逆水速度是15312-=千米/时，乙船的逆水速度是1239-=千米/时．两船的路程差即为乙船先出发2小时逆水行驶的距离，也就是9218⨯=千米，所以甲船追上乙船需要()181296÷-=小时．这6小时内，甲船行驶了12672⨯=千米．因此甲船追上乙船时已经离开A 港72千米．（2）甲船追上乙船的地点与B 港相距18072108-=千米，那么它行驶到B 港还需要108129÷=小时．此时乙船又航行了9981⨯=千米，距离B 港1088127-=千米．甲船返回后，与乙船相向而行．此时甲船顺水行驶，速度是每小时15318+=千米．因此两船还需要()271891÷+=小时相遇．从图中可以看出，甲、乙相遇地点与追及地点的距离正好是乙行驶的路程，为()99190⨯+=千米．水流方向 A例题5.答案：33千米/时；27千米/时详解：甲、乙两船的速度和为300560÷=千米/时，甲、乙两船的速度差为+÷=千米/时，乙船的静水÷=千米/时，则甲船的静水速度为(606)233300506速度为603327-=千米/时．例题6.答案：50米/分详解：根据分析，游泳者发现丢水壶之前，与水壶相背而行，游泳者的速度是静水速度与水速的差，水壶的速度就是水速，所以他们的速度和是游泳者的静水速度，也就是60米/分．所以20分钟后，人⨯=米．他返回追水壶时，游泳者的速度是静水速度与水速的和，而水壶的速与水壶相距60201200÷=分钟．水壶一共度还是水速，二者的速度差仍然是15米/分，所以他追上水壶还需要12006020+=分钟，漂流的路程是2千米，而水速就是水壶的漂流速度，因此水速就是漂流了202040÷=米/分．20004050练习1.答案：8小时简答：顺风速度为9006150÷=千米/时，飞÷=千米/时，逆风速度为6006100艇在无风的速度为1501002125+÷=（）千米/时，飞艇行驶1000公里要用÷=小时．10001258练习2.答案：12.5简答：甲船的顺水速度是24千米/时，逆水速度是16千米/时．那么往返一次所用的时间是120241201612.5÷+÷=小时．练习3.答案：15小时简答：假设从A地到B地的距离是60千米，那么这艘船的漂流速度为÷=千米/时，顺水速度为÷=千米/时，逆水航行的速度是6030260601+⨯=千米/时，因此这艘船从A地开到B地需要604152124÷=小时．练习4.答案：5简答：货船的顺水速度和客车的逆水速度都是12千米/小时，因此他们会在两个码头的中点相遇，相遇时离A码头90千米；货船还需要走()÷-=909315小时，客船还需要走()÷-=小时，时间差是5小时．9012310作业1.答案：8小时简答：顺流速度为每小时90615-⨯=千米．它÷=千米，所以逆流速度为每小时15525逆流航行要4058÷=小时．作业2.答案：5小时简答：由题目条件可求出从乙地到甲地的逆水速度为160820÷=千米/时，则水速为-=千米/时．返回时水速变为8千米/时，顺水速度为32千米/时，需用160325÷= 24204小时．作业3.答案：12.5秒简答：由题目条件可求出顺风速度为9米/秒，逆风速度为7米/秒，由此可知无风的速度为8米/秒．因此跑100米要用12.5秒．作业4.答案：40天简答：可设甲乙两地之间路程为60千米，可求出顺流速度为每天5千米，逆流速度为每天3千米，船速为每天4千米，水速为每天1千米．梅雨季节时，水速变为每天2千米，顺流速度为每天6千米，逆流速度为每天2千米．往返需要40天．作业5.答案：18千米/时简答：由题目条件可求出两船的静水速度和为30千米/时，静水速度差为6千米/时，由此可求出甲船的速度为18千米/时．。
九年级数学中考专题(空间与图形)-第九讲《四边形(一)》课件(北师大版)
参考答案
三、解答题： 1、提示：由∠B＝∠ADC＝60°，BE＝2，AE⊥BC 可得AB＝4，再证DF＝DC－CF＝3，∴AD＝6，EC ＝BC－BE＝4＝DC，又∠BCD＝120 ° ，∴∠EDC ＝30 ° ，求得∠APE＝∠EAP＝60 ° ，△AEP为等 边三角形，EP＝AE＝ 2 3 . 2、①和②；③和④；⑤和⑥；①和⑤；①和⑥；③ 和⑤；③和⑥；②和④；①和③ 3、（1）提示：证EC∥DF，ED∥CF；（2）DE＝5
二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长 为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直 线上，则下列关系中正确的是（ ） C A、DE＞BF B、DE＝BF D C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF E F B
E
能力训练
一、填空题： 1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5 和7，则它的一条边长的取值范围是 . 2、□ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O， △OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB ＝ . 3、已知□ABCD中，AB＝2AD，对角线BD⊥AD， 则∠BCD的度数是 .
能力训练
知识要点
3. 四边形是平行四边形的条件： （1）一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形. （2）两组对边分别相等的四边形是平 行四边形. （3）对角线互相平分的四边形是平行 四边形.
典型例题
例1 已知如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC， 点E、F分别在BC和AD边上，AF＝CE，EF和对角线BD 相交于点O，求证：点O是BD的中点. 分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明 BO＝DO 略证：连结BF、DE 在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC A ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AD＝BC 又∵AF＝CE ∴FD∥BE，FD＝BE B ∴四边形BEDF是平行四边形 ∴BO＝DO，即点O是BD的中点.
专题09第九讲141有理数的乘法【暑假辅导班】2021年新七年级数学暑假精品课程(人教版)(原卷版)
第九讲1.4.1有理数的乘法【学习目标】1.会正确进行有理数的乘法运算。
2.初步体会“分类”与“归纳”的数学思想。
【基础知识】一、有理数乘法运算法则从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式,可以归纳如下:正数乘正数,积为正数;正数乘负数,积是负数;负数乘正数,积也是负数.积的绝对值等于各乘数绝对值的积.负数乘负数,积为正数,乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积一般地,我们有有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘任何数与0相乘,都得0.注意：1.有理数乘法运算分两步走，第一步，定符号，第二步，定数值；2.两个数相乘，直接按照乘法法则。
3.多个数相乘，按从左到右的顺序依次相乘。
或者先确定整体的符号，再将这些数的绝对值相乘。
4.几个数相乘，如果其中有因数为0，那么结果一定为0.二、倒数乘积是1的两个数互为倒数.注意：1.注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；2.互为倒数的两个数的符号一定是相同的；3.倒数等于本身的数有：1、-1；4.0没有倒数.三、有理数乘法运算律一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等.乘法交换律: ab=ba一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.乘法结合律: (ab)c=a(bc)一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 分配律: a(b +c) =ab +ac注意：1.当用字母表示乘数时，“×"号可以写为“⋅”或省略.2.在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为相反数的因数，往往会起到事半功倍的效果;3.公式的正用与逆用.【考点剖析】考点一:两个有理数的乘法运算例1.下列计算正确的有（ ）①(-3)(-4)-12⨯=；②(-2)5-10⨯=；③(-41)(-1)41⨯=；④0(-5)-5⨯=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点二：多个有理数的乘法运算例2.在1-，2，3-，4-，这四个数中，任意三数之积的最大值是（ ）A ．6B ．12C ．8D ．24考点三：倒数例3.314的倒数是（ ） A ．43 B ．413 C ．74 D ．47考点四：有理数乘法运算律例4.下列运算过程中，有错误的是（ ）A ．（3﹣412）×2＝3﹣412×2 B ．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）C ．91819×16＝（10﹣119）×16＝160﹣1619D ．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]考点五：有理数乘法的实际应用例5.王叔叔将“绿色出行，从我做起”化为实际行动，坚持每天步行上下班，他以10000步为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，记录了一周上下班的步数情况如下表，若王叔叔平均每步0.75米，请你计算本周（星期一至星期五）王叔叔上下班共步行了多少米（ ） 星期 一 二 三 四 五 步数1200+ 800- 1600+ 500+ 0A ．2500B ．10500C ．52500D ．39375 【真题演练】1．下列叙述正确的是（ ）A ．互为相反数的两数的乘积为1B ．所有的有理数都能用数轴上的点表示C ．绝对值等于本身的数是0D ．n 个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负2.已知实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是（ ）A ．a <1B ．b -a >0C ．ab >0D ．1-b <03．一根电线长120米，截去13后，还剩（ ） A ．3593米 B ．40米 C ．60米 D ．80米 4．数123-与37-的关系是（ ） A ．互为相反数 B ．互为倒数 C ．绝对值相等 D ．互为负倒数5.算式（﹣48）×0.125+48×118可以化为（ ） A ．-48×（﹣18+118） B ．48×（18+118）C ．48×（﹣18+118）D ．48×（﹣18﹣118） 6.已在18x -=，3y =，x y x y +=+，则xy = __________．7.绝对值小于4.5的所有整数的积为_____．8.经调查，某班的45名学生上学所用的交通工具中，自行车占40%，则该班骑自行车上学的学生有______名．9.已知mn 、互为倒数，a b 、互为相反数，则-a mn b +的值是________________ ； 10.计算11112462⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭__________． 11.计算：(0.25)(25)(4)-⨯-⨯-12.学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：2449(5)25⨯-，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式＝12491249452492555-⨯=-=-； 小军：原式＝24244(49)(5)49(5)(5)24925255+⨯-=⨯-+⨯-=-； （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？（2）受上面解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；（3）用你认为最合适的方法计算：1599(8)16⨯-．【真题演练】1.0.2-的倒数是（ ）A ．15B ．15- C ．5 D ．5-2.若m ＜n ＜0，则()()m n m n +-（ ）0A ．＜B ．＞C ．=D ．≥3.四个各不相等的整数a b c d 、、、，满足9abcd =，则+++a b c d 的值为（ ）A ．0B ．4C ．10D ．无法确定4.如果a 、b 、c 为有理数，且1a b c a b c ++=-，则abc abc 的值为（ ） A ．-3 B ．1 C ．-1 D ．35.下列计算中错误的是（ ）A ．6(5)(3)(2)180-⨯-⨯-⨯-=B ．111(36)()641210693-⨯--=-++= C ．11(15)(4)()()652-⨯-⨯+⨯-= D ．3(5)3(1)(3)23(512)6-⨯+-⨯---⨯=-⨯--=-6.﹣3的相反数与﹣0.5的倒数的和是_____．7．用简便方法计算：()2499525⨯-=_____ 8．若a ，b 是整数，且24ab =，则+a b 的最小值为________．9.若整数a 、b 、c 、d 满足abcd ＝21，且a ＞b ＞c ＞d ，则|c ﹣a|+|b ﹣d|＝_．10.一家商店某件服装标价为200元，现“双十二”打折促销以8折出售，则这件服装现售___________. 11.25×(34)－(－25)×(12)+25×(14-)12．学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题目：计算：()571816⨯-，看谁算得又对又快.两名同学给出的解法如下： 小强：原式115192081857516162=-⨯=-=- 小莉：原式()()()15151718718857516162⎛⎫=+⨯-=⨯-+⨯-=- ⎪⎝⎭ （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法最好？理由是什么？对你有何启发？（2）此题还有其他解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来？。
第9讲 定点问题-2021届高三数学一轮复习解析几何专题复习训练
第九讲 定点问题题型分析，主要是考察直线过定点，圆过定点等 直线过定点问题解题方式一般分两种：①假设直线y kx b =+，通过求解出,k b 的关系求解定点②两动点坐标通过某参数表示，假设定点坐标00(,)x y ，利用斜率相等求出定点坐标简单引理1.已知直线方程(2)(12)430x y λλλ++-+-=.求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；2.求解过点22222220211k k k k A k k-++++（,）,B(,)的直线过哪个定点.直线过定点1.已知椭圆14:22=+y x C ，过点)0,1(T 的动直线l 交椭圆C 于B A ,两点，A 关于x 轴的对称点为A '，问直线B A '是否经过x 轴上的一个定点？若是，求出定点坐标；不是，说明理由.2.已知左焦点为F (－1，0)的椭圆过点E (1)．过点P (1，1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求k 1；（3）若k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．3.已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。
4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．5.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．6.已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．7.已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率25e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。
第九讲常微分方程知识点
第九讲常微分方程知识点常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是用来描述系统变化的数学模型，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
常微分方程的基本形式为：\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]其中，y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。
常微分方程可以分为一阶和二阶微分方程，下面将对一阶和二阶微分方程进行介绍。
一阶微分方程：一阶微分方程是指未知函数的导数仅包含一阶导数的微分方程。
一般形式如下：\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]其中f(x,y)为已知函数。
解一阶微分方程的方法有几种，如可分离变量法、齐次方程法、线性方程法等。
可分离变量法是最常见的解一阶微分方程的方法。
首先，将方程中的dy和dx分开，并移项得到：\[dy=f(x,y)dx\]然后，将dy与dx移到等号两侧，并将x和y分别提取到一侧得：\[\int\frac{{dy}}{{f(x,y)}}=\int dx+C\]其中C为常数。
然后，对两边分别求不定积分，并将等式两边的常数合并得到最终的解。
齐次方程法是解决形如\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]的方程的方法。
其基本思路是将方程转化为\[\frac{{dy}}{{dx}}=\phi(\frac{{y}}{{x}})\]的形式，其中\(\phi(u)=f(1,u)\)。
解这个齐次方程后，再通过变量替换将解转化为原方程的解。
线性方程法是解决形如\[\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)\]的方程的方法。
线性方程法的基本思路是将方程中的非线性部分转化为线性的部分，然后利用已知的线性微分方程的解的性质得到方程的解。
一般情况下，可以利用积分因子法将方程转化为线性方程。
二阶微分方程：二阶微分方程是指未知函数的导数包含了一阶和二阶导数的微分方程。
一般形式如下：\[\frac{{d^2 y}}{{dx^2}}=f(x,y,\frac{{dy}}{{dx}})\]其中f(x,y,y')为已知函数。
中考数学总复习资料：第9讲《四边形相关证明与计算和切线证明》总结
第九讲 四边形相关证明与计算和切线证明中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。
一、一般四边形:1、如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=5，AD=3．（1）求证：AD=DC；（2）求四边形ABCD的周长．2、如图，在四边形中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求AC的长.3、如图，在四边形中，，，，连接，的平分线交于点，且．（1）求的长；（2）若，求四边形的周长．4、如图，在四边形ABCD中，AB=，∠DAB=90°，∠B=60°，AC⊥BC．（1）求AC的长．（2）若AD=2，求CD的长．二、矩形（正方形）：1、已知：如图，四边形是正方形．是 上的一点，于， 于点．ADEFCGB第16题图（1）求证：△≌△；（2）求证：．三、平行四边形和菱形：1、如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若，，求菱形的面积．，2、如图，已知□ABCD，E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF.（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当AE垂直平分BC且四边形AECF为菱形时，直接写出AE∶AB的值.3、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD交于点F，AE＝AB.（1）若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形.（2）若AB＝10，BE＝2EC，求EF的长.4、如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交的延长线于F点，连接CF.（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；（2）若∠CAF=45°，BC=4，CF=，求△CAF的面积.5、如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，BA=2．以OB为边，向外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG求OG的长．图1图2OGABCF6、如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点.(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若∠A=60°，AB=6，AD=4，求BD的长.7、如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．8、在平行四边形ABCD中，AB=6， AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，求的周长.9、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC， E是CD的延长线上一点，且．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）若DB⊥CB，∠BCD＝60°，CD＝12，作AH⊥BD于H，求四边形AEDH的周长．10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC 的延长线交于点E，与DC交于点F,且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，求AE的长.切线证明与计算1．如图，是△ABC的外接圆，AB = AC ，过点A作AD∥BC交BO的延长线于点D．（1）求证：AD是的切线；（2）若的半径OB=5，BC=8，求线段AD的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cos B=，求⊙O的半径．3．已知：如图，△ABC内接于⊙O，于H，0，过A点的直线与OC 的延长线交于点D，，.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若E为⊙O上一动点，连接AE交直线OD于点P，问：是否存在点P,使得PA+PH的值最小，若存在求PA+PH的最小值，若不存在，说明理由..4. 如图，线段BC切⊙O于点C，以为直径，连接AB交⊙O于点D，点是中点，交于点，连结OB、DE交于点F．（1）求证：是⊙O的切线；（2）若，求的值．5．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA 的延长线于点F，且∠ABF＝∠ABC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AD＝4,cos∠ABF＝，求DE的长．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当BC＝4，AC＝3CE时，求⊙O的半径．7． 如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC ，连接CD. 过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=5,时，求BD的长.8．如图，在△中，，以为直径的⊙交于点， 是的中点．ABOPQC（1）求证：直线与⊙相切；（2）连结并延长交⊙于点、交的延长线于点，连结,若=，,求的长.9、已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C=30°，CD=10cm，求⊙O的直径.10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q.（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长.11．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AC的延长线相交于点 F，且AC=8，tan∠BDC=．（1）求⊙O的半径长；（2）求线段CF长12如图，点是以为直径的圆上一点，直线与过点的切线相交于点，点是的中点，直线交直线于点.（1）求证：是⊙O的切线；（2）若，，求⊙O的半径.。
小学数学六年级(上)第09讲 几何综合问题(含答案)
第九讲 几何综合问题这一讲我们学习几何综合题，题型是复杂而巧妙的．这种问题往往需要我们有点武侠小说中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是借巧劲．比如已知一个面积为2的正方形，求边长为其两倍的正方形的面积．把边长具体数值求出来，用边长的关系来计算面积的想法是不可行的．而且事实上也是没必要的，我们可以把面积为2的正方形边长设为a ，它的两倍为2a ，则22a =，以2a 为边长的正方形面积为2224428a a a ⨯=⨯=⨯=．我们再来看几个用类似想法解决的问题．本讲知识点汇总：一、巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积．1. 圆与直角三角形中利用勾股定理．2. 同底三角形利用“2⨯÷公共底高的和”求面积和，“2⨯÷公共底高的差”求面积差．3. 不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑其面积之间的和差关系．二、辅助线与几何变换．1. 通过割、补，将图形的变为规则图形，以便于分析．2. 通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解．三、图形运动．能够正确地画出简单几何图形（如圆等）在运动过程中所扫过区域的边界，并求解相关的长度和面积．例1．如图，阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（π取3.14）「分析」阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形，而圆环等于大圆减去小圆．那么阴影部分面积与圆环面积之间有什么联系呢？练习1、下图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积．（π取3.14）例2．如图，在长方形ABCD 中，30AB =厘米，40BC =厘米，P 为BC 上一点，PQ 垂直 OBDC AO于AC ，PR 垂直于BD ．求PQ 与PR 的长度之和．「分析」如果这道题只是要尝试出一个结果的话，我们只要让P 取特殊点，例如取成B 点，所求的长度之和就是B 点到AC 边的距离．但PQ 与PR 的长度之和是否是一个固定的值呢？练习2、如图，在面积为72的正方形中，P 为CD 边上一点，PQ 与BD 垂直，PR 与AC 垂直．求PQ 与PR 的和．例3． 如图，P 为长方形ABCD 内的一点．三角形P AB 的面积为5，三角形PBC 的面积为13．请问：三角形PBD 的面积是多少？「分析」直接用面积公式或者比例关系来求三角形PBD 面积，显然不可行．那么还有什么方法可以用来求三角形PBD 面积呢？练习3、如图，P 为长方形ABCD 外的一点．三角形P AB 的面积为7，三角形C AQBDP RO ABD C PQ RO BCAPDPBC 的面积为20，三角形PCD 的面积为4．请问：三角形P AD 的面积是多少？三角形P AC 的面积又是多少？中国古代的几何学形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的．规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识．战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学的定义．《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式．在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决多种问题．例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体体积的刘徽原理；5世纪祖暅提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理；以内接正多边形逼近圆周长的极限方法（割圆术）等．例4．如图，一个六边形的6个内角都是120 ，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9PA B C D厘米、5厘米．求这个六边形的周长．「分析」所给六边形各内角都是120°，这使我们联想到正六边形．在求解与正六边形有关的题目时，最常用的方法有两种：一种是“割”，一种是“补”．“割”是指把六边形分割干个边长或面积为1的正三角形；“补”是指在正六边形中取出三条互不相邻的边来延长，补成一个正三角形．这两种方法对本题适用吗？练习4、一个六边形的6个内角都是120︒，并有连续的三边长均为6厘米．如果这个六边形的周长是32厘米，那么该六边形最长的边有多长？例5．如图，在四边形ABCD 中，30AB =，48AD =，14BC =，且90ABD BDC ∠+∠=︒，90ADB DBC ∠+∠=︒．请问：四边形ABCD 的面积是多少？「分析」本题的条件让人感觉很别扭，虽然90ABD BDC ∠+∠=︒，但它们并不是紧挨着的；虽然90ADB DBC ∠+∠=︒，但它们也不是紧挨着的．那究竟对这个图形做怎样的变换，才能让那些应该紧挨着的角真正挨在一起呢？1995 6 66AB CD例6．如图，一块半径为2厘米的圆板，从位置①开始，依次沿线段AB 、BC 、CD 滚到位置②．如果AB 、BC 、CD 的长都是20厘米，那么圆板扫过区域的面积是多少平方厘米？（π取3.14，答案保留两位小数．）「分析」这道题关键是把想清楚圆板经过的区域是怎样的图形，并画出对应的轨迹图．AC2 1 120BD课堂内外中国古代的几何学形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的．规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识．战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学的定义．《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式．在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决多种问题．例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体体积的刘徽原理；5世纪祖暅提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理；以内接正多边形逼近圆周长的极限方法（割圆术）等．作业1. 如果图1中的圆环面积为12.56，阴影部分的内外两侧都是正方形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）2. 如图2，等腰三角形ABC 中，5AB AC ==，6BC =．D 为BC 边上的一点，DE 与AB 垂直，DF 与AC 垂直，那么DE 与DF 的和是多少？3. 如图3，P 为长方形ABCD 外的一点．三角形P AB 的面积为5，三角形PBC 的面积为30，三角形PCD 的面积为24．那么三角形P AD 的面积是多少；三角形P AC 的面积是多少？4. 一个六边形的6个内角都是120︒，并有四边长为5、6、5、5厘米，如图4所示．现在用一条线段把六边形分成两部分，则上、下两部分图形的面积比是多少？5. 右图中有一个上下、左右都对称的“十字型”，其各边长度如图所示（单位：厘米），一个半径为1厘米的小圆沿其外周滚动一周，那么小圆经过区域的面积等于多少？（答案保留圆周率π）图1 ABCD E F图2 PAB CD 图35655 图4 84 4 8第九讲 几何综合问题例题：例题1. 答案：157平方厘米详解：记大圆半径为R ，小圆半径为r ，那么圆环的面积为()22πR r -，我们只要能够求出22R r -即可．阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于()2212R r -，所以2222550R r -=⨯=．由此可得圆环面积等于50 3.14157⨯=． 例题2. 答案：24厘米详解：利用勾股定理可得50AC =厘米，所以25OB OC ==厘米．长方形ABCD的面积等于30401200⨯=平方厘米，所以△BOC 的面积等于112003004⨯=平方厘米．连接OP ，观察△OPB 与△OPC ，它们分别以OB 和OC 为底，是一对等底三角形，而对应的高就是PR 和PQ ，因此面积和就等于()()()225212.5OB PR OC PQ PR PQ PR PQ ⨯+⨯÷=⨯+÷=⨯+，而这个面积和就是△BOC 的面积，等于300，所以()12.5300PR PQ ⨯+=，由此可得30012.524PR PQ +=÷=厘米．例题3. 答案：8详解：图1阴影部分的面积是整个长方形的一半，而图2阴影部分的面积也是整个长方形的一半．两个阴影部分有一块公共部分，那就是△APD ．去掉这块公共部分之后，剩下的阴影部分仍然应该相等，因此就有123S S S =+．由题意，113S =，25S =，所以31358S =-=．例题4. 答案：42厘米详解：为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为a 厘米和b 厘米．如右图所示，将图形补成一个等边三角形，最上方的应该是一个边长为9厘米的等边三角形，左下方则是一个边长为1厘米的等边三角形，由此可得最大的等边三角形边长为19919++=厘米．这样19955a =--=，而19113b a =--=．六边形边长就等于995151342+++++=厘米．例题5. 答案：936详解：如图所示，我们可以将图形中的△BCD 左右翻转一下，变成了△BED ， 这样就和为90°的角就能拼到一起，构成完整的直角．例如∠ABE 与∠ADE 就都是直角．接着连结AE ，△ABE 与△ADE 都是直角三角形，AE 是它们公共的斜边．根据勾股定理，2222AB BE AD DE +=+，由此可得40BE =．这样就可以分别求解△ABE 与△ADE 这两个直角三角形的面积．将其相加，即可得总面积为3040481493622⨯⨯+=．例题6. 答案：228.07C AQ BDPROBCAP DBC A D8S 2 S 3S 1 图1图291 95 9 91 a baa1A C120︒B D EF G HI JK LMNOQP 304814？AB ED详解：小圆滚动时所经过的区域如右图所示．接着我们分块求解每一部分的面积．半圆FEQ 、半圆JKL 的面积之和是；长方形FGBQ 、BHIP 、IJLM 的面积之和是()1816144192++⨯=；60°的扇形BGH 的面积为218π4π63⨯⨯=；PIMNO 部分的面积为12π+；所以总面积为8π234π19212π204π228.0733++++=+≈．练习：1. 答案：125.6平方厘米简答：如右图所示，将图形从中间切开分为左、右两部分，每一部分都和例题1一模一样． 2. 答案：6简答：正方形面积等于“对角线平方的一半”，所以正方形对角线的平方就等于722144⨯=，由此可得正方形ABCD 的对角线AC 等于12，所以OC 、OD 长均为6．与例题2类似，连结OP ，然后利用△OCD 的面积等于72418÷=可得18218266PQ PR OC +=⨯÷=⨯÷=．3. 答案：9；16简答：如右侧左图所示，△P AB 与△PDC 是一对同底三角形（分别以AB 和CD 为底），他们的面积和等于“2AB ⨯÷高的和”．不难看出它们“高的和”就等于AD ，所以它们的面积和就等于长方形ABCD 面积的一半，由此可得长方形ABCD 的面积为()74222+⨯=．△P AD 的面积等于△P AB 、△PBC 及△PCD 的面积之和减去长方形ABCD 的面积，即7204229++-=．至于△P AC 的面积，只要用总面积减去△ABC 与△PCD 的面积即可，等于720411416++--=． 4. 答案：10厘米简答：如图所示，将图形补成一个完整的正三角形，其边长为66618++=．记原六边形的最短边为a ，最长边为b ．那么18612a b +=-=．而由于正六边形周长为32，所以2321814a b +=-=．由此可得b 为1221410⨯-=厘米． 作业：4πPAB CD高和PAB CD高差6 b 6 6 6 6 6 6 a a b b1.答案：8简答：圆环面积为：()22π12.56R r -=，所以224R r -=，阴影部分面积等于()2228R r -=．2.答案：4.8简答：作BC 边上的高，可得高为4（利用勾3股4弦5）．这样三角形ABC 的面积就等于12．接着就和例题2做法类似，连接AD 并利用等底三角形的面积和即可．3.答案：11；6简答：△PCD 与△P AB 的面积差（即24519-=）等于长方形ABCD 面积的一半，△PBC 与△P AD 的面积差等于长方形ABCD 面积的一半．所以△P AD 的面积为301911-=．△P AC 的面积等于△PBC 的面积减去△P AB 及△ABC 的面积，所以面积为305196--=．4.答案：85:96 简答：如图，在六边形的上方、左下和右下各补一个边长为6厘米的等边三角形，将图形补成一个完整的等边三角形．由此可求出六边形的中间分割线长为5611+=厘米．接着利用线段的份数关系求面积比．位于上方的梯形，其上底为6份，下底为11份，高为5份；而位于下方的梯形，其上底为5份，下底为11份，高则为6份．接着利用这些线段的份数关系，得到面积比为()()611585511696+⨯=+⨯．5.答案：1089π+简答：如图所示，利用图形的对称性，只要分析小圆经过区域的四分之一即可．图中阴影部分就是小圆经过区域面积的四分之一，只要求出图中阴影部分的面积，然后再乘以4即可得最后答案．4444 6 6 65 5 66 116 5666。
09第九讲 拉贝判别法
数学分析第十二章数项级数拉贝判别法第九讲数学分析第十二章数项级数由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,如果级数的通项收敛速度较慢,它们就失效了, 如p 级数.这类级数的通项收敛于零的速度较慢,因此较比式法或根式法在判断级数收敛时更精细.*拉贝判别法拉贝(Raabe)判别法是以p 级数为比较对象,数学分析第十二章数项级数定理12.10（拉贝判别法）+⎛⎫-≥> ⎪⎝⎭111,n n u n r u ;n u 则级数收敛∑>0(ii),n N 若对一切成立不等式+⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭111,n n u n u .n u ∑则级数发散>0(i),n N 若对一切成立不等式设n u ∑为正项级数, 且存0.N r 在某正整数及常数数学分析第十二章数项级数.1p p r <<选使得故存在正数N , 111pr n n ，⎛⎫>-- ⎪⎝⎭证(i)111,n n u n r u +⎛⎫-≥> ⎪⎝⎭由11.n n u ru n +≤-得111lim pn n r n →∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭()101lim p x p x r -→-=pr=,1<使对任意n >N ，都有由于()011limpx x rx→--=1pn n -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭111.pr n n 或⎛⎫-<- ⎪⎝⎭数学分析第十二章数项级数1111n n N n N n n Nu u u u u u u u +++-=⋅⋅⋅⋅ 于是, 当n >N 时，有1211p p pNn n N u n n N ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ >∑∑11,,.n p p u n因为时收敛所以是收敛的这样11n n u r u n +<-11p n ⎛⎫<- ⎪⎝⎭1.pn n -⎛⎫= ⎪⎝⎭()1pNpN u n-=⋅()11.pp NN u n-=⋅数学分析第十二章数项级数131212n n n n n u u u u u u u u ++-= 212112n n u n n -->- 21.u n=∑∑1,.n u n因为发散故是发散的1(ii)11,n n u n u +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭由1111,n n u n u n n +-≥-=得于是数学分析第十二章数项级数推论（拉贝判别法的极限形式）设∑nu为正项级数,且极限+→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭1lim 1n n n u n r u 存在, 则(i)1,;n r u 当时级数收敛>∑(ii)1,.n r u 当时级数发散<∑数学分析第十二章数项级数(21)!!.(0(14)(2)!!Sn s n ）⎡⎤->⎢⎥⎣⎦∑的敛散性.例14 讨论下面级数解由于1lim 1n n nu u ，+→∞=所以考虑用拉贝判别法.洛必达法则因为121lim 1lim 122sn n n n u n n n u n +→∞→∞⎡⎤⎛⎫+⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦012lim 122st t t t →⎡⎤+⎛⎫=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦12022lim 22(22)s t t s t t -→⎡⎤+-⎛⎫=-⋅⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦.2s =数学分析第十二章数项级数当s = 2时, 由于由拉贝法的非极限形式知级数(14)发散.11n n u n u +⎛⎫- ⎪⎝⎭()()24322n n n +=+2243484n n n n +=++,1<(21)!!(14)(2)!!Sn n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑由此可知当s > 2时，原级数收敛；当s < 2时，原级数发散；数学分析第十二章数项级数或根式法更广泛,13似乎可以得出这样的结论：的收敛级数.的收敛问题,而不能解决所有级数的收敛问题.我们还可以建立比拉贝判别法更为精细有效的判别法,但这个过程是无限的.从上面看到,拉贝判别法虽然判别的范围比比式法但当r =1时仍无法判别.而从例没有收敛得“最慢”因此任何判别法都只能解决一类级数当然。
2024五年级下册数学思维训练讲义-第九讲 最大最小问题含答案、
第九讲 最大最小问题第一部分：趣味数学在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：1，枚举比较法。
当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
第二部分：奥数小练例题1 一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数）思维导航 ：除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。
根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。
所以，第三名至少得95分。
练 习 一1.一个三位数除以43，商a 余数是b（a、b 都是整数），求a ＋b 的最大值。
2.如下图，有两条垂直相交的线段AB 、CD ，交点为E 。
已知DE=2CE ，BE=3AE 。
在AB 和CD 取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？3.一次考试满分100分，5位同学平均分是90分，且各人得分是不相同的整数。
已知得分最少的人得了75分，那么，第三名同学至少得了多少分？2024五年级下册数学思维训练讲义-第九讲 最大最小问题例题2 ：有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。
把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？思路导航：3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。
根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知：最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，即由6千克和8。
第九讲等差数列求和
第九讲等差数列求和计算能力是重要的数学能力，计算要准确、熟练，还要运用运算定律简化计算。
对特殊规律的计算还要研究解决它的特殊规律和公式。
本讲介绍等差数列的求和问题。
一、从高斯求和故事谈起高斯是数学发展史上有很大影响的伟大数学家之一。
高斯10岁的时候，数学教师出了一道数学题：1＋2＋3＋………＋100。
老师刚写完题目，高斯就把解题用的小石板交给老师，过了很久其他同学才写出答案。
老师非常吃惊地发现高斯的石板上只写了一个答数5050。
（后来高斯经过刻苦努力，终于成了世界著名的数学家。
）大家想想，高斯是怎样算的呢？其实奥妙在于高斯是发现了以下规律：两两搭配，共有（100÷2）50个101，总和是5050。
以上思考方法可用一个算式表示如下：（1＋100）×（100÷2）＝5050这个故事，使我们受到启发，要想算得又巧又快，就必须善于观察，注意题目的构造规律，以上问题是从1开始的连续自然数求和。
相邻两个自然数的差都是相等的（差都等于1）思考求和：（1）1＋2＋3＋…＋50（2）1＋2＋3＋…＋200（3）1＋2＋3＋…＋149（4）51＋52＋53＋…＋100（5）101＋102＋103＋…＋200（6）101＋102＋103＋…＋149二、等差数列求和按一定规律排列的一列数叫做数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的一项，排在第一个位置的叫第一项，也叫首项；第二个叫第二项；第三个数叫第三项；…。
最后一项又叫末项。
第一项（首项）用a1表示，第二项用a2表示，…，第n项用a n表示。
如数列1，3，5，7， (99)a1＝1，a2＝3，a3＝5，a4＝7，…。
对于一个数列，往往需要确定它的每个项或者计算某些项的和等等，这就要求我们首先研究数列的构造规律。
前面的故事说明，小高斯正是这样做的。
1．等差数列观察以下数列：2，4，6，8，…；1，4，7，10，…。
第一个数列的相邻两项的差都是2，第二个数列相邻两项之差都是3。
三年级数学专题讲义第九讲 和倍问题
第九讲和倍问题和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题．为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径．〖经典例题〗例1、甲班和乙班共有图书160本．甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析：设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3份，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍．还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数．用下图表示它们的关系：乙班：160÷(3+1)=40(本)甲班：40×3=120(本)或160-40=120(本)例2、甲班和乙班共有图书160本．甲班的图书本数比乙班的3倍少40本，甲班和乙班各有图书多少本？分析：把乙班看作一份，由于甲班比乙班的3倍还少40本，如果用甲、乙本数总和160本再加上40本，就等于乙班的4倍①乙班：(160＋40)÷(3＋1)=50(本)②甲班：50×3-40=110(本)或160-50=110(本)例3、甲班和乙班共有图书160本．甲班的图书本数比乙班的3倍多40本，甲班和乙班各有图书多少本？分析：把乙班看作一份，由于甲班比乙班的3倍还少40人，如果用甲、乙本数总和160人再减去40本，就等于乙班的4倍①乙班：(160－40)÷(3＋1)=30(本)②甲班：30×3＋40=130本或160-30=130本〖方法总结〗本题属于一道基本的和倍问题，解决和倍问题的关键是要找准两个量“和”与“倍”，明确数量之和与倍数之间的对应关系，求出1倍量解题。
如果给我们的倍数关系并不是完整的，不是几倍多多少就是几倍少多少，在这种情况下我们首先要做的就是设法把多出来的减去，把少出来的加上，使之刚好是整数倍，然后求解。
〖巩固练习〗1．小明和小强共有图书120本，小强的图书本数是小明的2倍，他们两人各有图书多少本？2．康师傅家里养了白兔和黑兔一共28只，且白兔的数量是黑兔的3倍，那么白兔共有多少只？3．六(2)班共植树54棵，男生植树是女生的2倍，男女生各是多少棵？4．果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵树比杏树的3倍多20棵，两种树各有多少棵？5．某校共有学生560人，其中男生比女生的3倍少40人．则男生女生各多少人．6．爸爸与儿子年龄和是45岁，爸爸的年龄比儿子的４倍多５岁，爸爸与儿子各是多少？7．甲乙两个人共加工零件1000个，其中甲加工的零件数是乙加工零件数的3倍还多20，甲乙两个人各加工多少个零件？〖经典例题〗例4、甲、乙两个仓库共存粮480吨，后来从甲仓库运出50吨，乙仓库运进10吨．这时，甲仓库存粮是乙仓库的３倍，两仓库原来各存粮多少吨？分析：这道题倍数关系时指甲、乙现在的粮，甲是乙的3倍，所以我们应该求出现在甲、乙共有多少吨！开始甲、乙共有粮480吨，所以现在有粮：480－50＋10吨，这时再利用咱们所学的方法解题．乙现在：(480－50＋10)÷(3＋1)=110(吨)；甲现在：110×3=330(吨)；甲原来：330＋50=380(吨)；乙原来：11010100-=(吨)；例5、甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？分析：解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量．从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书(见上图)．①甲、乙两班共有图书的本数是：30＋120=150(本)②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：2＋1＝3(倍)③乙班现有的图书本数是：150÷3=50(本)④甲班给乙班图书本数是：50-30=20(本)综合算式：(30＋120)÷(2+1)=50(本)50-30=20(本)答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍．例6、甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书比乙班图书的2倍多15本？分析：此题和上题的不同之处在于甲班的图书比乙班图书的2倍多15本，可以把15本先拿走，这时甲乙的和是1203015135+=+-=本，正好是乙班的213倍，从而可求出乙．-=(本)答：甲给+-÷+=(本)，所以甲班给了乙班453015 (1203015)(21)45了乙15本．〖方法总结〗以上三道例题的特点是告诉我们两个量的和，但是并没有告诉我们现在两个两个量的倍数关系，而是告诉我们经过一定变换后的倍数关系，解决此类问题的方法就是按照和倍问题的基本方法先求出最后两个数的大小，然后再还原回去，解决此类问题要用到一点倒推的思想。