2013-2014中考数学专题复习学生版第九讲 分式方程
2013年中考数学专题复习第九讲：分式方程(学生版)
2013年中考数学专题复习第九讲：分式方程【基础知识回顾】一、分式方程的概念分母中含有的方程叫做分式方程【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据】二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程2、解分式方程的一般步骤：1、2、3、3、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为的根称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。
三、分式方程的应用：解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须完要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水、航行这一类型】【重点考点例析】对应训练例5 （2012•岳阳）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？【备考真题过关】2A．v=-20 B．v=5 C．v=-5 D．v=203A．3 B．-3 C．无解D．3或-3A．40340204x x=⨯+B．40340420x x=⨯+C．40140204x x+=+D．40401204x x=-+5．（2012•宁夏）运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（）A．4030201.5x x-=B．4030201.5x x-=C．3040201.5x x-=D．3040201.5x x-=7．（2012•本溪）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．8．（2012•吉林）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x台机器，则可列方程为（）A．B．C．D．9．（2012•黑河）若关于x的分式方程=无解，则m的值为（）A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5 10．（2012•赤峰）解分式方程的结果为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．无解二、填空题13．（2012•资阳）观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所14．（2012•连云港）今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为元．15．（2012•鞍山）A、B两地相距10千米，甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲的速度是乙的速度的3倍，结果甲比乙早到小时．设乙的速度为x千米/时，可列方程为．三、解答题171819．（2012•长春）某班有45名同学参加紧急疏散演练，对比发现：经专家指导后，平均每秒撤离的人数是指导前的3倍，这45名同学全部撤离的时间比指导前快30秒，求指导前平均每秒撤离的人数．20．（2012•北京）列方程或方程组解应用题：据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．21．（2012•玉林）一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两辆车合运，10天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天．（1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？（2）已知两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元．试问：租甲乙车两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少？请说明理由．。
中考数学分式与分式方程复习教案分式方程及应用
（5）写出答案。
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验它是否符合题意。
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解。
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
7. 解方程：
8. 就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用1200元，后来又有2名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的人数．
9.2004年12月28日，我国第一条城际铁路一合宁铁路（合肥至南京）正式开工建设．建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312 km缩短至154 km，设计时速是现行时速的2．5倍，旅客列车运行时间将因此缩短约3．13小时，求合宁铁路的设计时速．
2013中考数学分式与分式方程复习教案-分式方程及应用
教学目标
掌握分式方程的解法及分式方程的综合应用。
重点、难点
重点：分式方程求解；
难点：利用分式方程解决实际问题。
考点及考试要求
解分式方程和列分式方程解应用题是中考的重要考点，有时与函数、其他知识综合考察。常以填空、选择、解答题的形式出现。
教学内容
一、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
③验根：求出未知数的值后必须验根。因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。
2014年中考数学复习专题讲座-方法论与解题技巧
寄语2014年中考芸芸学子——放下执着，战胜心中的不安和恐惧等焦躁情绪，把握机会，勇敢前行！祝中考成功！学有所成！服务社会！服务众生！阿弥陀佛2014年中考数学专题讲座一：选择题解题方法一、中考专题诠释选择题是各地中考必考题型之一，2012年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性.选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.二、解题策略与解法精讲选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.三、中考典例剖析考点一：直接法从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。
运用此种方法解题需要扎实的数学基础.例1 （2012•白银）方程的解是（）A．x=±1B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：方程的两边同乘（x+1），得x2﹣1=0，即（x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣1，x2=1．检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解；把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解．则原方程的解为：x=1．故选B．点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．对应训练1．（2012•南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（）A．7队B．6队C．5队D．4队考点二：特例法运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。
中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。
2014中考数学分类汇编：分式方程
2013中考全国100份试卷分类汇编分式方程1、(2013年黄石)分式方程3121x x =-的解为 A.1x = B. 2x = C. 4x = D. 3x =答案：D解析：去分母，得：3（x －1）＝2x ，即3x －3＝2x ，解得：x ＝3，经检验x ＝3是原方程的根。
2、（2013•温州）若分式的值为0，则x 的值是（ ）A ． x =3B ． x =0C ． x =﹣3D ． x =﹣4考点： 分式的值为零的条件．分析： 根据分式值为零的条件可得x ﹣3=0，且x+4≠0，再解即可．解答： 解：由题意得：x ﹣3=0，且x+4≠0，解得：x=3，故选：A ．点评： 此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．3、（2013•莱芜）方程=0的解为（ ） A ． ﹣2 B ． 2 C ． ±2 D ．考点： 解分式方程．专题： 计算题．分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 解答： 解：去分母得：x 2﹣4=0，解得：x=2或x=﹣2，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=﹣2．故选A 点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．4、（2013•滨州）把方程变形为x=2，其依据是（ ）A ． 等式的性质1B ． 等式的性质2C ． 分式的基本性质D ． 不等式的性质1考点： 等式的性质．分析： 根据等式的基本性质，对原式进行分析即可．解答： 解：把方程变形为x=2，其依据是等式的性质2；故选：B ．点评： 本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．5、（2013•益阳）分式方程的解是（ ） A ． x =3 B ． x =﹣3C ． x =D ． x=考点： 解分式方程．专题： 计算题．分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 解答： 解：去分母得：5x=3x ﹣6，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．故选B ．点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6、（2013山西，6，2分）解分式方程22311x x x 时，去分母后变形为（ ）A ．2+（x+2）=3（x-1）B ．2-x+2=3（x-1）C ．2-（x+2）=3（1- x ）D ． 2-（x+2）=3（x-1）【答案】D【解析】原方程化为：22311x x x +-=--，去分母时，两边同乘以x －1，得：2－（x ＋2）＝3（x －1），选D 。
专题09 分式方程(课件)2023年中考数学一轮复习(全国通用)
C． x 2 5 3
1
D．
x
0
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． A、 x 1 不是方程，故本选项错误；
x
B、方程 1 1 的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确；
x 1 2x 3
C、方程 x 2 5 的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
（2）设购买篮球y个，则购买排球(20－y)个， 依题意得：110y＋80(20－y)≤1800， 解得 y 6 2 ，
3
即y的最大值为6， ∴最多购买6个篮球． 【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一 次不等式．
实际应用 的实际意义，检验结果是 分式方程的基本思想和列方程解应用题的
否合理．
意识．
思维导图
知识点梳理
知识点1：分式方程及其解法
1．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．解分式方程的一般方法： （1）解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方 程的解．
3
D、方程 1 x 0 的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误．
故选B．
【答案】B．
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
【例2】（2022•牡丹江）若关于x的方程 mx 1 3无解，则m的值为（ ） x 1
A．1
B．1或3
边同乘以(x－1)得：mx－1＝3x－3，∴(m－3) x＝－2． 当m－3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意． 当m－3≠0时，x 2 ，
2013-2014中考数学复习 第九讲 分式方程(含详细参考答案)
2013－2014学年度数学中考二轮复习专题卷－分式方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．方程2x 40x 2-=-的解为A ．2-B ．2C ．2±D ．12- 2．解分式方程2x 23x 11x++=--时，去分母后变形为 A ．()()2x 23x 1++=- B ．()2x 23x 1-+=- C ．()()2x 231 x -+=- D ．()()2x 23x 1-+=-3．某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10％，则这种商品每件的进价为A.240元B.250元C.280元D.300元 4．甲、乙两人同时分别从A 、B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地，已知A 、C 两地间的距离为110千米，B 、C 两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C 地，求两人的平均速度。
为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意列出方程，其中正确．．的是【 】 A ．110100x 2x =+ B ．110100x x 2=+ C ．110100x 2x =- D ．110100x x 2=- 5．分式方程12x x 3=+的解是【 】A ．x =﹣2B ．x =1C ．x =2D ．x =3 6．某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x 个，根据题意可得方程为A ．2300230033x 1.3x += B ．2300230033x x 1.3x +=+ C ．2300460033x x 1.3x +=+ D ．4600230033x x 1.3x+=+7．分式方程210x 2x-=-的根是【 】A ．x 1=B ．x 1=-C ．x 2=D ．x 2=-8．分式方程12x x 1=+的解为 A ．x =3 B ．x =2 C ．x =1 D ．x =﹣1 9．关于x 的分式方程7m3x 1x 1+=--有增根，则增根为【 】 A ．x =1 B ．x =－1 C ．x =3 D ．x =－3 10．分式方程53x 2x=-的解是【 】 A ．x=3 B ．x=﹣3 C ．3x 4= D ．3x 4=- 11．解分式方程x 213x 2x-=++时，去分母后可得到 A ．()()x 2x 23x 1+-+= B ．()x 2x 22x +-=+ C ．()()()()x 2x 23x 2x 3x ++=++- D ．()x 23x 3x -+=+ 12．关于x 的分式方程m1x 1=-+的解是负数，则m 的取值范围是 A ．m ＞﹣1 B ．m ＞﹣1且m ≠0 C ．m ≥﹣1 D ．m ≥﹣1且m ≠0 13．已知关于x 的方程的解为x =1，则a 等于（ ） A ． 0.5 B ．2 C ．﹣2D ． ﹣0.514．方程23x 1x=-的解是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 15．方程130x 2x-=-的解为 A ．x =2 B ．x =－2C ．x =3D ．x =－316．方程111-=-x x x （ ） A 、解为x=1 B 、无解C 、解为任何实数D 、解为x ≠1的任何实数17．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm .依题意，下面所列方程正确的是 A ．120100x x 10=- B ．120100x x 10=+ C ．120100x 10x =- D ．120100x 10x=+ 18．周末，几名同学包租一辆面包车前往“黄岗山”游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费，设原来参加游玩的同学为x 人，则可得方程（ ）A 、180x －1802x +=3 B 、1802x +－180x =3 C 、180x －1802x -=3 D 、1802x -－180x =319．方程1712112-=-++x x x 的根是（ ） A.x =1 B.x =－1 C.x =83D.x =220．已知1O ⊙的半径1r =2，2O ⊙的半径2r 是方程32x x 1=-的根，1O ⊙与1O ⊙的圆心距为1，那么两圆的位置关系为 A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切二、填空题21．方程15x 12x 1=-+的解为 ． 22．分式方程120x-=的解不 。
中考数学复习课《分式方程》说课稿
中考数学复习课《分式方程》说课稿尊敬的各位评委、各位老师：大家好!我今天说课的内容是《分式方程》，下面我将从说教材、说学情分析、说教学策略、说教学过程这四个方面对本节课的教学设计进行说明.一、说教材1.教材的地位和作用本节课复习的主要内容是分式方程的概念、解法及应用，是对分式方程单元学习的梳理、归纳、深化和巩固.解分式方程的基本思想是通过“转化”，将分式方程转化为整式方程. 通过复习强化数学与生活的密切关系，因此本节复习可起到巩固基础，提升认识的作用.2.教学目标（1）知识目标：①理解分式方程的概念、会解分式方程，能列分式方程解决实际问题.②掌握解分式方程的验根方法.（2）能力目标：会用去分母法解分式方程，体会化归思想.（3）情感目标：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成就感，树立学好数学的自信心.3.教学重点：分式方程的解法和列分式方程解决实际问题.4.教学难点：列分式方程解决实际问题以及解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根．二、学情分析学生是在前面复习分式的意义、分式的混合运算和熟练解一元一次方程的基础上复习本节内容的.但对于解分式方程过程中会出现增根，部分同学理解起来较为困难，因此在教学过程中应重点强调如何把分式方程转化为整式方程和解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根.三、教学策略1、说教法教法：本节课采用启发式、引导式教学方法．特别注重“精讲多练”，真正体现以学生为主体．针对学生的回答所出现的一些问题给出及时的纠正，在上课做练习时，除了让尽可能多的学生板演以外，自己还在下面及时的发现学生所出现的问题，比较典型的则全班讲评，个别小问题，个别解决．教学手段：为了更有效地突出重点，突破难点，提高课堂效率，本节课采用多媒体辅助教学.2.说学法本节课里我主要指导学生采用了自主探索、合作交流、自我反思的学习方法，使学生积极主动地参与到教学过程，通过合作交流，激发学生的学习兴趣，体现探索的快乐，使学生的主体地位得到充分的发挥．四、说教学过程。
2014年中考数学方程、不等式专题复习试题
2013—2014学年九年级数学（下）周末复习资料（05）理想文化教育培训中心 学生姓名： 得分：一、典型例题例1：解下列方程（组）、不等式（组）：(1) 21101136x x ++-=． (2) {4519323a b a b +=--=（ 3）2x 81x 2x 4-=--． （4）解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>-x x x x 2371211325, 并将它的解集在数轴上表示出来．例2：列方程（组）、不等式解应用题：1、为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？2、2013年4月20日，雅安发生7. 0级地震，某地需550顶帐蓬解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产。
已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐蓬甲工厂比乙工厂少用4天。
①求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐蓬？②若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批救灾帐蓬的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？3、某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？二、巩固练习：1、如果把5xx+y的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值【】A．不变B．扩大50倍C．扩大10倍D．缩小到原来的1 102、服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多【 】 A ．60元 B ．80元 C ．120元 D ．180元3、a b <，则下列不等式一定成立的是【 】A ．33a b +>+B ．22a b >C ．a b -<-D ．0a b -<4、分式方程2124=x 1x+1x 1---的解是【 】 A ．x=0 B ．x=－1 C ．x=±1 D ．无解 5、一列数a 1，a 2，a 3，…，其中a 1＝ 1 2，a n ＝ 1 1＋a n －1(n 为不小于2的整数)，则a 4＝【 】 A ． 5 8 B ． 8 5 C ． 13 8 D ． 8 136、小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了14，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是【 】 A ． B ．C ．D ． 7、如果实数x 满足2230x x +-=，那么代数式21211x x x ⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭的值为_______。
2013年中考数学总复习第八节：分式方程及其应用
2013年中考第一轮总复习第二章、方程与不等式第八节：分式方程及其应用第一部分、课标要求第二部分、考点梳理1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 .5．列分式方程解应用题中常用的数量关系及题型（1）数字问题（包括日历中的数字规律）①设个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数是；②日历中前后两日差，上下两日差。
（2）体积变化问题。
（3）打折销售问题①利润= -成本；②利润率= ×100％.（4）行程问题。
（5）教育储蓄问题①利息= ；②本息和= =本金×（1+利润×期数）；③利息税= ；④贷款利息=贷款数额×利率×期数。
6．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项. （2）解分式方程的重要步骤是检验。
第三部分、常考题型2、（2011山东莱芜，22，10分）莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售.经市场调查，批发平均每天售出6吨．(1)受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务.在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务.那么原计划零售平均每天售出多少吨？(2)在（1）条件下，若批发每吨获得的利润为2000元，零售每吨获得的利润为2200元，计算实际获得的总利润．3、（2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？第四部分、课后练习一、选择题1．解方程12112-=-x x 会出现的增根是（ ） A ．1=x B.1-=x C. 1=x 或1-=x D.2=x2．如果分式12-x 与33+x 的值相等,则x 的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3二、填空题1．当x= 时，112x =- 2．方程22123=-+--xx x 的解是x= ． 3. 已知2+x a 与2-x b 的和等于442-x x ，则=a ，=b . 三、解答题4.先化简，再求值：5.解方程：12112---x x =0 12112---x x ，其中x=－2．6.解方程：1211+=-x x ． 7.解分式方程：1233x x x=+--8.在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度.9.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．(1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?(2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的65后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．10．今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．（1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套．（2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③由甲、乙共同合作修理．你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明．。
中考数学复习 分式方程 复习优质课件
第8课时┃ 分式方程
考点2 分式方程的解法
1.方程两边都乘以各个分母的_最__简__公__分__母___，约
去分母，化成整式方程；
解分式方 程的一般
步骤
2.解这个整式方程； 3.检验：把求得的未知数的取值代入最简公分 母，看是否等于0，使最简公分母为0的根是原 方程的增根，增根必须舍去.
注意：解分式方程可能产生增根，所以解分式
经检验，x＝3 是原方程的解．
第8课时┃ 分式方程
解分式方程，通常是把分式方程两边同乘以各分母的最简 公分母，化为整式方程；解分式方程要验根．
解分式方程时易出现的错误： (1)漏乘没有分母的项； (2)没有验根； (3)去分母时，没有注意符号的变化．
第8课时┃ 分式方程
三 、 分式方程的应用 命题角度： 1．利用分式方程解决生活实际问题； 2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
第8课时┃ 分式方程
当堂检测
1．解分式方程x－1 2＋x2－x 4＝5 时，方程两边同乘以的
最简公分母是
(C )
A．x＋2
B．x－2
C．(x＋2)(x－2) D．(x＋2)(x－2)2
解 析 由于 x2－4＝(x＋2)(x－2)，因此该分式方 程各分母的最简公分母是(x＋2)(x－2)，应选 C.
6.答 写出答案(包括单位).
第8课时┃ 分式方程
考点训练
一 、 分式方程解的问题 命题角度： 1．分式方程的概念； 2．分式方程的增根：使分式方程的分母等于零的根．
第8课时┃ 分式方程
例 1 [中考真题] 若关于 x 的方程xx－－15＝10－m 2x无解，则 m＝_____－__8_．
解析
由于关于x的方程
初三中考数学复习-分式与分式方程
典例 3
把分式
x
，
x y
y x y
，
2 x2 y2
的分母化为 x2-y2 后，各分式的分子之和是
A．x2＋y2＋2 C．x2＋2xy−y2＋2
B．x2＋y2-x＋y＋2 D．x2−2xy＋y2＋2
3．下列分式中，是最简分式的是
xy A． x2
x y C． x2 y2
B． 2 2x 2y
D． 2x x2
典例 5 某工厂生产一种零件，计划在 20 天内完成，若每天多生产 4 个，则 15 天完成且还多生产 10 个．设 原计划每天生产 x 个，根据题意可列分式方程为
7
A．
20x 10 x4
15
C． 20x 10 15 x
B．
20x 10 x4
15
D． 20x 10 15 x
典例 6 元旦假期即将来临，某旅游景点超市用 700 元购进甲、乙两种商品 260 个，其中甲种商品比乙种商
品少用 100 元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高 20%，那么乙种商品单价是
A． 2 元
B． 2.5 元
C． 3 元
D． 5 元
5．某单位向一所希望小学赠送 1080 本课外书，现用 A，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用 B 型包
装箱比单独使用 A 型包装箱可少用 6 个；已知每个 B 型包装箱比每个 A 型包装箱可多装 15 本课外书．若
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分 式，然后再加减．
用式子表示为： a c ad bc ad bc ． b d bd bd bd
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
2014届中考复习课件 §2.2 分式方程
8、(2013•呼和浩特)某工厂现在平均每天比原 计划多生产50台机器, 现在生产600台机器所 需时间比原计划生产450台机器所需时间相同, 200 现在平均每天生产_____台机器． 9、(2012•连云港)今年6月1日起, 国家实施了 中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广 使用, 某款定速空调在条例实施后, 每购买一 台, 客户可获财政补贴200元, 若同样用11万 元所购买的此款空调台数, 条例实施后比实 施前多10%, 则条例实施前此款空调的售价 2200 为 元.
解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. 2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简 公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根.
7、(2012•铁岭)某城市进行道路改造，若甲、 乙两工程队合作施工20天可完成;若甲、乙两 工程队合作施工5天后, 乙工程队再单独施工45 天可完成. 求乙工程队单独完成此工程需要多 少天?设乙工程队单独完成此工程需要x天, 可 列方程为_______________. 5 45知识点回顾:
1.分式方程： 分母中 含 有未知数的方程叫做分式 方程。
指出下列方程中的分式方程：
2 3 (1) x 1 x 3
x x 1 ( 4) 1 3 2 1 ( 5) x 2 x 4 1 ( 6) 0 2 2 1 4x x 2x
x2 ( 2) 4x 3
2 ( 3) 30 x 1
15 15 解分式方程 1 : 解方程： 0.5 的一般步骤? x 1.5 x 解： 方程两边同乘以1.5x，得
中考数学复习《分式方程》测试题(含答案)
中考数学复习《分式方程》测试题（含答案）一、选择题(每题4分，共20分)1．解分式方程2x －1＋x ＋21－x ＝3时，去分母后变形为(D) A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1) B ．2－x ＋2＝3(x －1)C ．2－(x ＋2)＝3(1－x )D ．2－(x ＋2)＝3(x －1)2．[2015·天津]分式方程2x －3＝3x 的解为(D) A ．x ＝0 B ．x ＝5C ．x ＝3D ．x ＝9【解析】 去分母得2x ＝3x －9，解得x ＝9，经检验x ＝9是分式方程的解．3．[2015·常德]分式方程2x －2＋3x2－x ＝1的解为(A)A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝13D ．x ＝0【解析】 去分母得2－3x ＝x －2，解得x ＝1，经检验x ＝1是分式方程的解．4．[2015·遵义]若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是(A)A ．5B ．－5C ．3D ．－3【解析】 ∵x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，∴a －23－13－2＝0，∴a －23＝1，∴a －2＝3，∴a ＝5.5．[2014·福州]某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是(A)A.600x ＋50＝450x B.600x －50＝450x C.600x ＝450x ＋50 D.600x ＝450x －50 【解析】 根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器所需时间＝原计划生产450台所需时间．二、填空题(每题4分，共20分)6．[2015·淮安]方程1x －3＝0的解是__x ＝13__.7．[2015·巴中]分式方程3x ＋2＝2x的解x ＝__4__． 8．[2015·江西样卷]小明周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x 袋牛奶，则根据题意列得方程为__10x ＝12x ＋2＋0.5__. 9．[2015·河南模拟]若关于未知数x 的分式方程a x －2＋3＝x ＋12－x有增根，则a 的值为__－3__.【解析】 分式方程去分母，得a ＋3x －6＝－x －1，解得x ＝－a ＋54，∵分式方程有增根，∴x ＝2，∴－a ＋54＝2，解得a ＝－3.10．[2015·黄冈中学自主招生]若关于x 的方程ax ＋1x －1－1＝0的解为正数，则a 的取值范围是__a ＜1且a ≠－1__.【解析】 解方程得x ＝21－a ，即21－a＞0，解得a <1， 当x －1＝0时，x ＝1，代入得a ＝－1，此为增根，∴a ≠－1，∴a ＜1且a ≠－1.三、解答题(共26分)11．(10分)(1)[2014·黔西南]解方程：1x －2＝4x 2－4； (2)[2014·滨州]解方程：2－2x ＋13＝1＋x 2.解：(1)x ＋2＝4，x ＝2，把x ＝2代入x 2－4，x 2－4＝0，所以方程无解；(2)去分母，得12－2(2x ＋1)＝3(1＋x )，去括号，得12－4x －2＝3＋3x ，移项、合并同类项，得－7x ＝－7，系数化为1，得x ＝1.12．(8分)[2015·济南]济南与北京两地相距480 km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4 h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．解：设普通快车的速度为x km/h ，由题意得480x －4803x ＝4，解得x ＝80，经检验，x ＝80是原分式方程的解，3x ＝3×80＝240.答：高铁列车的平均行驶速度是240 km/h.13．(8分)[2015·扬州]扬州建城2 500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1 200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵？解：设原计划每天种树x 棵，则实际每天栽树的棵数为(1＋20%)x ，由题意得1 200x － 1 200（1＋20%）x＝2， 解得x ＝100，经检验，x ＝100是原分式方程的解，且符合题意．答：原计划每天种树100棵．14．(10分)[2015·连云港]在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6 000元购买的门票张数，现在只花费了4 800元．(1)求每张门票的原定票价；(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．解：(1)设每张门票的原定票价为x 元，则现在每张门票的票价为(x －80)元，根据题意，得6 000x ＝4 800x －80，解得x ＝400.经检验，x ＝400是原方程的根．答：每张门票的原定票价为400元；(2)设平均每次降价的百分率为y ，根据题意，得400(1－y )2＝324，解得：y 1＝0.1，y 2＝1.9(不合题意，舍去)．答：平均每次降价10%.15．(12分)[2015·泰安]某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T 恤衫，甲种款型共用了7 800元，乙种款型共用了6 400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．(1)甲、乙两种款型的T 恤衫各购进多少件？(2)商店按进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T 恤衫商店共获利多少元？解：(1)设乙种款型的T 恤衫购进x 件，则甲种款型的T 恤衫购进1.5x 件，依题意有7 8001.5x ＋30＝6 400x ，解得x ＝40，经检验，x ＝40是原分式方程的解，且符合题意，1．5x ＝60.答：甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件；(2)6 40040＝160，160－30＝130(元)，130×60%×60＋160×60%×(40÷2)＋160×[(1＋60%)×0.5－1]×(40÷2) ＝4 680＋1 920－640＝5 960(元)．答：售完这批T 恤衫商店共获利5 960元．16．(12分)[2015·宁波]宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A ，B 两种花木共6 600棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍少600棵．(1)A ，B 两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A 花木60棵或B 花木40棵，应分别安排多少人种植A 花木和B 花木，才能确保同时完成各自的任务？【解析】 (1)首先设B 花木数量为x 棵，则A 花木数量是(2x －600)棵，由题意得等量关系：种植A ，B 两种花木共6 600棵，根据等量关系列出方程；(2)首先设安排a 人种植A 花木，由题意得等量关系：a 人种植A 花木所用时间＝(26－a )人种植B 花木所用时间，根据等量关系列出方程．解：(1)设B 花木数量为x 棵，则A 花木数量是(2x －600)棵，由题意得 x ＋2x －600＝6 600，解得x ＝2 400，2x －600＝4 200，答：B 花木数量为2 400棵，则A 花木数量是4 200棵；(2)设安排a 人种植A 花木，由题意得4 20060a ＝ 2 40040（26－a ），解得a ＝14，经检验，a ＝14是原分式方程的解，26－a＝26－14＝12，答：安排14人种植A花木，12人种植B花木．。
新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版 分式方程
中学复习备课教案第9课 分式方程【中考要求】了解分式方程的概念，掌握可化为一与阿奴一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）的解法，了解增根的概念，并会对分式方程验根。
能用分式方程解决简单的应用题。
【考查重点】分式方程的解法和列分式方程解应用题。
一、【学会看病】下列各题已有解答的有“病”吗？如果有“病”，请写出“病因”。
没有解答的，你认为易让别人犯错的“陷阱”在哪儿？1、方程3221+=x x 的解是 2、分式方程21124x x x -=--的解是（ ）A ．32- B ．2- C ．52- D ．32 3、当m = 时，关于x 的分式方程213x mx +=--无解 4、（1）解分式方程：233x x=-． （2）解分式方程：1233x x x =+--5、甲、乙两火车站相距1280千米。
采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度。
二、【尝试构建】“分式方程”给你留下多少印象？尝试写出各知识点并构建知识体系。
三、【例题先做】下列例题你能不用教师点拨就能把别人讲懂？请先做做，看自己有无“漏洞”？如果有请尝试写出“病因”。
例1、方程3221+=x x 的解是 方程22123=-+--xx x 的解是 ． 例2、（1）、关于x 的分式方程15mx =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数 C ．5m <-时，方程的解为负数 D ．无法确定（2）、请你给x 选择一个合适的值，使方程2112-=-x x 成立，你选择的x ＝________。
例3、（1）、若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = ． （2）、已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为_____________． （3）、关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2（4）、若关于x 的分式方程212x ax +=--的解是正数，求a 的取值范围。
中考数学专题复习课件第9讲分式方程及应用
通过具体例题解析，展示如何根据实际问题列分式方程并求解。
04
分式方程的拓展提高
分式方程的拓展知识及例题解析
基础知识回顾
分式方程的基本定义、解法及注意事 项。
复杂分式方程的转化
介绍如何将复杂的分式方程转化为简 单的整式方程或一元一次方程，通过 移项、通分等方法简化计算。
分式方程的根的判别式
THANKS
在工程问题中，通常会有合作、交替、循环等不同情况，需要根据具体 情况建立方程。
列分式方程解应用题的常见类型及例题解析（一）
• 例题1
甲、乙两队分别承担A、B两个项目的施工任务，甲队比乙队快，问甲队何时完 成施工任务？
• 例题2
甲、乙两队合作承担一个项目的施工任务，问两队合作何时能完成施工任务？
列分式方程解应用题的常见类型及例题解析（二）
第9讲 分式方程及应用
汇报人： 2023-12-11
目录
• 分式方程的概念及解法 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的拓展提高 • 中考真题及解析
01
分式方程的概念及解法
分式方程的定义及识别
定义
分式方程是一种含有未知数、分 母中含有未知数或常数的方程。
识别
分式方程通常具有形式如“ax/b = c”，其中“a、b、c”是常数 ，“x”是未知数。
观察法
通过观察方程的形式和特 点，直接得出方程的解。
实验法
通过尝试不同的解，观察 解是否符合原方程，从而 得出方程的解。
图象法
通过绘制函数的图象，观 察函数的零点，从而得出 方程的解。
02
分式方程的应用
列分式方程解应用题的基本思路和方法
设未知数
2013年中考数学专题复习第9讲(309)：分式方程学生版
2014 年中考数学专题复习第九讲：分式方程【基础知识回顾】一、分式方程的概念： w ww .x k 分母中含有的方程叫做分式方程【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据】二、分式方程的解法：1 、解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程：即分式方---﹥整式方程转化2、解1、 2 分式方程的一般步骤：、 3 、3、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为的根称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。
【名师提醒： 1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略2、分式方程的培根与无解并非用一个概念，无解完包含产生增根这一情况，x a 3也包含原方程去分母后的整式方程无解。
如：x 1 -x =1 无解，有 a 的值增根】三、分式方程的应用：解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须完要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水、航行这一类型】【重点考点例析】考点一：分式方程的概念（解为正、负数）例 1 （2009?孝感）关于x 的方程2x a 1的解是正数，则 a 的取值范围是（）x 1A．a＞ -1 B ． a＞ -1 且 a≠0 C ． a＜ -1D ． a＜ -1 且 a≠ -2思路分析：先解关于 x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．解：去分母得， 2x+a=x-1 ，∴ x= -1-a ，∵方程的解是正数，∴-1-a ＞ 0 即 a＜ -1 。
又因为 x- 1≠0，∴ a≠ -2 。
则 a 的取值范围是a＜ -1 且 a≠-2 故选 D．点评：由于我们的目的是求a 的取值范围，根据方程的解列出关于a 的不等式，另外，解答本题时，易漏掉a≠-2 ，这是因为忽略了 x- 1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．例 2 （2012?鸡西）若关于x 的分式方程2m x 1 2无解，则 m的值为（）x 3 xA．-1.5B． 1 C． -1.5或 2 D ． -0.5 或 -1.5思路分析：去分母得出方程① 2m+x） x-x （ x-3 ） =2（ x-3 ），分为两种情况：①根据方程无解得出 x=0 或 x=3，分别x=0 或 x=3 代入方程①，求出m；②求出当2m+1=0 时，方程也把无解，即可得出答案．解： 方程两边都乘以x （ x-3 ）得：（ 2m+x ） x-x （x-3 ） =2（ x-3 ），即（ 2m+1）x=-6 ，① ①∵当 2m+1=0时，此方程无解，∴此时 m=-0.5 ，②∵关于 x 的分式方程 2mx 1 2无解，∴x=0 或 x-3=0 ，即 x=0， x=3，x 3 x 当 x=0 时，代入①得：（ 2m+0）×0- 0×（ 0-3 ） =2（ 0-3 ），解得：此方程无解；当 x=3 时，代入①得：（ 2m+3）×3-3 （ 3-3 ） =2（ 3-3 ），解得： m=-1.5 ，∴m 的值是 -0.5 或 -1.5 ，故选D ．点评： 本题考查了对分式方程的解的理解和运用， 关键是求出分式方程无解时的 x 的值， 题目比较好，需要考虑周全，不要漏解，难度也适中． 对应训练1．（ 2010?牡丹江）已知关于 x 的分式方程 2 - a =1 的解为负数，那么字母 a 的取x 2 x 2 值范围是 ．2（．2011?黑龙江）已知关于 x 的分式方程 a 2a x 1 x 1- xx 2考点二：分式方程的解法=0 无解，则 a 的值为 ．例 3 （2012?上海）解方程： x x 26 1 ． x 3 9 x 3思路分析： 观察可得最简公分母是（x+3）（ x-3 ），方程两边乘最简公分母，可以把分式方 程转化为整式方程求解．解： 方程的两边同乘（ x+3）（ x-3 ），得 x （ x-3 ） +6=x+3，整理，得 x 2-4x+3=0 ，解得 x1=1， x2=3．经检验： x=3 是方程的增根， x=1 是原方程的根，故原方程的根为 x=1．点评： 本题考查了分式方程的解法．注意：（ 1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（ 2）解分式方程一定要验根． 对应训练3．（ 2012?苏州）解分式方程：考点三：分式方程的增根问题314．x 2 x x 22x例 4 （2012?攀枝花）若分式方程： 1 kx 1 ．2+ = 有增根，则 k= x 2 2 x 思路分析： 把 k 当作已知数求出 x= 2 ，根据分式方程有增根得出 x-2=0 ，2-x=0 ，求出2 k2x=2，得出方程 =2，求出 k 的值即可．2 k点评：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，题目比较典型，是一道比较好的题目，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值对应训练a 14．（ 2012?佳木斯）已知关于 x 的分式方程=1 有增根，则 a= ．x 2考点四：分式方程的应用例 5 （2012?岳阳）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做， 6 个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用 5 个月的时间完成．（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？（2）已知甲队每月施工费用为15 万元，比乙队多 6 万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12 个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a 个月，乙队做 b 个月（ a、 b 均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？思路分析：（1）设乙队需要x 个月完成，则甲队需要（ x-5 ）个月完成，根据两队合作 6个月完成求得 x 的值即可；（2）根据费用不超过141 万元列出一元一次不等式求解即可．解：（ 1）设乙队需要x 个月完成，则甲队需要（ x-5 ）个月完成，根据题意得：1 1 1，解得： x=15，经检验 x=15 是原方程的根．x 5 x 6答：甲队需要10 个月完成，乙队需要15 个月完成；a b（2）根据题意得： 15a+9b≤141，1, 解得： a≤4 b≥9．1015∵a、 b 都是整数∴ a=4 b= 9 或 a=2 b=12点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这 5 步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．对应训练5．（ 2012?珠海）某商店第一次用600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的5倍，购进数量比第一次少了30 支．4（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于 420 元，问每支售价至少是多少元？【聚焦中考】1 ．（2012?莱芜）对于非零的实数a、b，规定a⊕b=﹣．若2⊕（ 2x﹣1）=1，则x=（）A．B．C．D．﹣66 600 的根是．2．（ 2012?潍坊）方程xx 33．（2012?日照）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400 个以上，可享受8 折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936 元；若多买88 个，就可享受 8 折优惠，同样只需付款1936 元．请问该学校九年级学生有多少人？4．（ 2012?青岛）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84 千米，返回时经过跨海大桥，全程约 45 千米．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2 倍，所用时间却比返回时多20 分钟．求小丽所乘汽车返回时的平均速度．5．（2012?临沂） 某工厂加工某种产品． 机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的 2 倍多 9 件，若加工 1800 件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的 3倍，求手工每小时加工产品的数量．76．（2012?济南） 冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节， 他们采摘了油桃和樱桃两种水 果，其中油桃比樱桃多摘了 5 斤，若采摘油桃和樱桃分别用了 80 元，且樱桃每斤价格是油 桃每斤价格的 2 倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？7．（2012?泰安）一项工程，甲，乙两公司合做， 12 天可以完成，共需付施工费 102000 元； 如果甲， 乙两公司单独完成此项工程， 乙公司所用时间是甲公司的 1.5 倍，乙公司每天的施 工费比甲公司每天的施工费少 1500 元．（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个 公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？8．（2012?威海）小明计划用 360 元从大型系列科普丛书 《什么是什么》 （每本价格相同）中 选购部分图书．“六一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书8 折销售．这样，小明比原 计划多买了 6 本．求每本书的原价和小明实际购买图书的数量．【备考过关】一、选择题1．（2012?丽水） 把分式方程x 2 1转化为一元一次方程时， 方程两边需同乘以 （ ）4 xA ．xB ．2xC ． x+4D ． x（x+4） 2．（ 2012?随州）分式方程 10060的解是（ ）20 v 20 vA ．v=-20B ． v=5 C ．v=-5 D ． v=20 3．（ 2012?宜宾）分式方程1221 的解为（） x 29 x 3 x 3A ．3B ．-3C ．无解D ． 3 或 -3 4．（ 2012?台州）小王乘公共汽车从甲地到相距 40 千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多 20 千米 / 时，回来时路上所花时间比去时节省了1，设公 4共汽车的平均速度为 x 千米 / 时，则下面列出的方程中正确的是（ ） A ． 403 40 B ． 40340 C ．40 1 40 D ． 4040 1x 20 4 x x 4 x 20 x 204 x x x 20 45．（ 2012?宁夏）运动会上，初二（ 3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费 40 元，乙种雪糕共花费 30 元，甲种雪糕比乙种雪糕多 20 根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的 1.5 倍，若设甲种雪糕的价格为 x 元，根据题意可列方程为（ ）A．4030 20 B．40 3020 C ．30 40 20 D ．30 40 201.5x x x 1.5x x 1.5x 1.5x x7．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15 分钟，现已知小林家距学校8 千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的 2.5 倍，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．8．（2012?吉林） 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器， 现在生产 600 台机器所需的时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同． 设原计划每天生产 x 台机器，则可列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2012?黑河）若关于 x 的分式方程 = 无解，则 m 的值为（ ）A ．﹣ 1.5B ． 1C ． ﹣1.5 或 2D ． ﹣0.5 或﹣ 1.510．（2012?赤峰）解分式方程的结果为（）A ． 1B ． ﹣ 1C ． ﹣2D ． 无解二、填空题11．（ 2012?襄阳）分式方程 2 5 的解是 ． | x x 3 网]12．（ 2012?铁岭）某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工 20 天可完成；若甲、 乙两工程队合作施工 5 天后，乙工程队在单独施工45 天可完成．求乙工程队单独完成此工 程需要多少天？设乙工程队单独完成此工程需要 x 天，可列方程为 ．14．（2012?连云港） 今年 6 月 1 日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200 元，若同样用 11 万元所购买的此款空调台数， 条例实施后比实施前多 10%，则条例实施前此款空调的售价 为 元．15．（2012?鞍山） A 、B 两地相距 10 千米，甲、乙二人同时从 A 地出发去 B 地，甲的速度是乙的速度的 3 倍，结果甲比乙早到 小时．设乙的速度为 x 千米 / 时，可列方程为 ．三、解答题16．（ 2012?盐城）解方程：3 2 1 ．x x17．（ 2012?咸宁）解方程： x 1 8 ． x x 22 418．（ 2012?泰州）当 x 为何值时，分式3 x的值比分式 1 的值大 3？ 2 x x 219．（2012?长春）某班有 45 名同学参加紧急疏散演练，对比发现：经专家指导后，平均每秒撤离的人数是指导前的 3 倍，这 45 名同学全部撤离的时间比指导前快 30 秒，求指导前平均每秒撤离的人数．20．（ 2012?北京）列方程或方程组解应用题：据林业专家分析， 树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物， 具有滞尘净化空气的作用． 已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的 2 倍少 4 毫克，若一年滞尘1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550 毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．21．（ 2012?玉林）一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两辆车合运，10 天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15 天．（1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？--- --（2）已知两车合运共需租金 65000 元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多 1500 元．试问：租甲乙车两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少？请说明理由．21．解：（ 1）设甲车单独完成任务需要 x 天，乙单独完成需要 y 天，由题意可得：22．（2012?河池）解分式方程：． 24．（2012?贵阳） 为了全面提升中小学教师的综合素质，贵阳市将对教师的专业知识每三年 进行一次考核．某校决定为全校数学教师每人购买一本义务教育《数学课程标准（ 2011 年 版）》（以下简称《标准》 ），同时每人配套购买一本《数学课程标准（ 2011 年版）解读》（以 下简称《解读》 ），其中《解读》的单价比《标准》的单价多 25 元．若学校购买《标准》用 了 378 元，购买《解读》用了 1053 元，请问《标准》和《解读》的单价各是多少元？ 25．（2012?宁德） 为配合“书香进校园”活动的开展， 学校决定为各班级添置图书柜， 原计 划用 4000 元购买若干个书柜， 由于市场价格变化， 每个单价上涨 20 元，实际购买时多花了400 元，求书柜原来的单价是多少元？26．（2012?南平）解分式方程： x ﹣ 3+ =0．27．（2012?黄冈）某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作 8800 件投入市场，服装厂有 AB 两个制衣间， A 车间每天加工的数量是 B 车间的 1.2 倍， A 、B 两车间共完成一半后， A车间出现故障停产， 剩下全部由 B 车间单独完成， 结果前后共用了 20 天完成， 求 A 、B 两车间每天分别能加工多少件．。
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第九讲 分式方程
【基础知识回顾】 一、分式方程的概念
分母中含有 的方程叫做分式方程
【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】 二、分式方程的解法：
1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即
分式方程 ﹥整式方程
2、解分式方程的一般步骤：
①、 ②、 ③、 3、增根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程
的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略
2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原
方程去分母后的整式方程无解。
如：
13
1=---x
x a x 有增根，则a= ，若该方程无解，则a= 。
】 三、分式方程的应用：
解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型】 【重点考点例析】
A ．m ＞-1
B ．m ＞-1且m≠0
C ．m≥-1
D ．m≥-1且m≠0
转化 去分母
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
考点三：由实际问题抽象出分式方程
例3 （2013•深圳）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（）
A．
14401440
10
100
x x
-=
-
B．
14401440
10
100
x x
=+
+
C．14401440
10
100
x x
=+
-
D．
14401440
10
100
x x
-=
+
点评：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，表示出爸爸和小朱的时间各走1440米所用时间，再由时间关系找出相等关系，列出方程．
对应训练
4．（2013•锦州）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等，如果设第一次捐款人数是x人，那么x满足的方程是（）
A．48005000
20
x x
=
-
B．
48005000
20
x x
=
+
C．48005000
20
x x
=
-
D．
48005000
20
x x
=
+
考点四：分式方程的应用
例4 （2013•湘西州）吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车
学生的速度．
【聚焦山东中考】
A．-2 B．2 C．±2 D．-
2 2．（2013•泰安）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车
间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为（）
A．23002300
33
1.3
x x
+=B．
23002300
33
1.3
x x x
+=
+
C．23004600
33
+=D．
46002300
33
+=
A．x=2 B．x=1 C．x=
2
D．x=-2 3．（2013•铁岭）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为（）
A．2010
15
4
x
x
+
=
+
B．
2010
15
4
x
x
-
=
+
C．2010
15
4
x
x
+
=
-
D．
2010
15
4
x
x
-
=
-
4．（2013•乐亭县一模）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（）
A．160400
18
(120%)
x x
+=
+
B．
160400160
18
(120%)
x x
-
+=
+
C．160400
18
20%
x x
+=D．
400400160
18
(120%)
x x
-
+=
+
二、填空题。