随机变量与期望方差

1.2 离散型随机变量的期望与方差
例题讲解 例3、有一批数量很大的产品，其次品率是15%．对这批产 品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则 继续抽查，直到抽出次品，但每次抽查次数最多不超过10 次．求抽查次数 的期望（结果保留三个有效数字）． 解：抽查次数 取1~10的整数，从这批数量很大的产品中 每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取次品的概 率是0.15，取正品的概率是0.85，前k-1次取出正品而第k 次 （k=1,2…9)取出次品的概率
则
( n 1)! 1 由于 E(Xk)=P(Xk =1) n n 1 n! 故 E ( X ) E ( X k ) n 1 n k 1
k 1
X Xk
一批产品有 N件，其中有 M 件次品，其余 NM 件为正品．现从中取出 n 件．令 X：取出 n 件产品中的次品数． 则 X 的分 布列为
一般地,若离散型随机变量的概率分布为

P
x1
x2
p2
x3 xn
p3 pn

p1
则称 E x1 p1 x2 p2 平均水平.
为 的数学期望或均值,它反映了随机变量取值的
xn pn
教学过程
1.2 离散型随机变量的期望与方差
新授课 若 a b ，其中a ，b 常数，则 的分布列为
nM ③若ξ~Ｈ(n，Ｍ，Ｎ)，则 E N
1.2 离散型随机变量的期望与方差
例题讲解 例1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得 0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得 分 的期望
P 解：因为 P( 1) 0.7， ( 0) 0.3 ，所以 E 1 P( 1) 0 P( 0)
证明：服从二项分布 ~ B(n, p) 的随机变量的期望 为 E np
k n k n k
P ( k ) C p (1 p) 证明：
C p q
k n k
n k
0 1 k n E 0 Cn p0qn 1 Cn p1qn1 kCn pk qnk nCn pnq0
故应选择在商场外搞促销活动. 变式1：若下雨的概率为0.6呢? 变式2:下雨的概率为多少时,在商场内、 外搞 促销没有区别.
据统计，一年中一辆车受损的概率为0.03。现保险公司拟
开设一年期租车保险,一辆车一年的保费为1000元,若在一 年内该车受损,则保险公司需赔偿3000元。
p m
n
③m,
n , p应满足什么关系,保险公司方可盈利?
n 能否估计出上海队员100次射击的平均环数？
n 0.3n P(ξ＝7)×100＝ 30 次得7环 n P(ξ＝8)×100＝ 400.4n 次得8环 n P(ξ＝10)×100＝ 100.1n 次得10环
n 0.2n P(ξ＝9)×100＝ 20 次得9环
(7 30 8 40 9 0 20 10 0. n 4 .33 10 平均环数为：7 00.n 8 0..4n 9 ..2 n 100.1)1n 0 2
定为7
1000－a
0.03
E = 1000－0.03a≥0.07a
得a≤10000
故最大定为10000元。
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
0.1 b=
0.4 .
归纳求离散型随机变量期望的步骤： ①、确定离散型随机变量可能的取值。
②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。
③、求出期望。
例1、随机抛掷一个骰子，设随机变量ξ 为所得骰子的点数，
(1)求随机变量ξ 的概率分布律； (2)求Eξ 。 解：（1）随机变量ξ的概率分布律为： x P(ξ =x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6
aE b 即 E (a b) aE b
数学期望的性质
(1) 设ξ是随机变量，c是任一实数，那么 E(cξ)=cEξ. (2) 设ξ是随机变量，ξ=η1+η2+ … +ηn， ηi (i=1, 2, … , n)都是存在数学期望的随 机变量，那么Eξ=Eη1+Eη2+ … +Eηn. (3) 常数C的数学期望是常数本身，即 EC=C.
0 1 k 1 np(C n1 p 0 q n1 C n1 p1q n2 kCn1 p k 1q ( n1)( k 1) n1 C n1 p n1q 0 )
np( p q )n1 np
所以，
若 ~ B( n, p ), 则E np
X P 0 1
… …
m
m n CM CNm M n CN
1 n 0 n CM CN0M CM CN1M n n CN CN
称X 服从N , M , n的超几何分布
nM EX N
4、服从几何分布的随机变量的方差 若p(ξ=k)=g(k，p)，则Eξ=1/p
ξ P
1 p
2 pq
3
… pq2 …
解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择 题个数分别是 ξ 和 η ， 则 ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，
所以，Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5． 由于答对每题得 5 分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩 分别是 5ξ 和 5η．所以，他们在测验中的成绩的期望分别是
k
…
pqk-1 …
q D 2 p
例4 有一批数量很大的产品,其次品率是 15%,对这批产品进行抽查,每次抽出1件, 如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查, 直到抽出次品,但抽查次数最多不超过10 次.求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有 效数字）.
分析： （1）P（ξ=k）=0.85 k-1×0.15,（ k=1,2,…,9） k=10时,前9次取出的都是正品,第10次可能取出次品,也 可能取出正品, 所以P（ξ=10）=0.859×（0.15+0.85）=0.859 （2）写出ξ的分布列,由概率分布可得
(2).若在商场外举行促销活动,则要看天气 情况:不下雨可获利10万元,下雨则要损失4万 元.气象台预报五一那天有雨的概率是40%,
你应选择哪种促销方式？
例1.商场促销问题
解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效
益为 万元,则 的分布列为

P
10 0.6
－4 0.4 ＞2万元,
E = 10×0.6＋(－4) ×0.4 = 4.4万 元

P
ax1 b ax2 b p1 p2
…
axn b pn
…
… …
则称 E (ax1 b ) p1 (ax2 b ) p2 (axn b ) pn a ( x1 p1 x 2 p2 x n pn ) b( p1 p2 pn )
例6 一次英语单元测验由 20 个选择题构成，每个选择题有 4 个
选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得 5
分，不作出选择或选错不得分，满分 100分．学生甲选对任一题的 概率为 0.9，学生乙则在测验中对每题都从 4 个选项中随机地选
择一个．求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望．
0.001 0.999
②写出分布律，并检查是否正确。
1 999 400 E 599 (1) 0.4 ③求出期望。 1000 1000 1000
所以购买一张彩票的期望收益是-0.4元，即损失0.4元。
例1 .假如你 是一位商场经理,在五一那天想 举行促销活动,根据统计资料显示, (1).若在商场内举行促销活动,可获利2万元；
x 6 7 8 9 10 上海队员： P ( x ) 0 0.3 0.4 0.2 0.1
x 6 7 8 9 10 辽宁队员： P( x) 0.04 0.24 0.44 0.22 0.06
上海队员： 辽宁队员：
x 6 7 8 9 10 P( x) 0 0.3 0.4 0.2 0.1 x 6 7 8 9 10 P( x) 0.04 0.24 0.44 0.22 0.06
1 0.7 0 0.3 0.7
例2、一种填字彩票，购票者花1元买一张小卡，购买者在卡上 填0，1，2，…，9以内的三个数字（允许重复）。如果三个数 字依次与开奖的三个有序的数字分别相等，得奖金600元。只要 有一个数字不符(大小或次序)，无奖金。求购买一张彩票的期 望收益。 解：设ξ 为购买一张彩票的收益，则ξ的概率分布律为： x P(ξ =x) 599 -1 ①确定随机变量ξ的取值。
解：(1) X～B（3，0.7）
X P 0 1
3
2
2
3
0.3
C 0.7 0.3
1 3
C 0.7 0.3
2 3 2
0.7
3
1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 0.3 3 0.73
EX 2.1 3 0.7
E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90， E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．
例2 把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数 字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧 合，求巧合个数的数学期望. 解: 设巧合个数为X, 引入
1, 数字k恰好出现在第k个位置上 k=1,2, …,n Xk 否则 0， n
复习：
1、随机变量的概率分布列
xi P( xk ) x1 p1 x2 p2 xn pn