陕西理工学院 理论力学 考题及 课后题答案

习 题1-1 曲柄1= r ，以匀角速ω绕定点o 转动，如下图所示。

此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线x o 运动。

求连杆上C 点的轨道方程及速度。

设AC CB a ==，A B o ϕ∠=，AB o ψ∠=。

解 （1）如题1.1.1图，由题分析可知，点C 的坐标为cos cos sin x r a y a ϕψψ=+⎧⎨=⎩ （1） 又由于在三角形AOB 中，有2sin sin r aψϕ=（正弦定理）， 所以 2sin 2sin a yr rψϕ== （2） 联立（1）、（2）运用22sin cos 1ϕϕ+= 由（1）可得 22cos cos x a y x a r rψϕ---==（3） ()()22231+=，得22222222241x a y x a y y r r+---+= 得 22222232y x a r x a y ++-=-化简整理可得()()2222222243x a y y x a r -=++-此即为C 点的轨道方程。

（2）要求C 点的速度，即先对（1）式分别求导cos sin sin 2cos cos 2r x r r yωϕωϕψψωϕ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 其中ωϕ= 又因为sin 2sin r a ϕψ= 对两边分别求导故有 cos 2cos r a ωϕψψ=所以()22222cos cos sin sin 2cos 2cos 4sin cos sin 2cos V xy r r r r ωϕωϕωϕψψωϕϕψϕψψ=+⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++答案：轨道方程222222224()(3)x a y x y a r -=++-，速度()222cos 4sin cos sin 2cos r v x y ωϕϕψϕψψ=+=++。

1-2 牵引车A 自o 点匀速沿水平方向开出，速度0.4m s A v =，用绳索拉动B 车，若B 车高于A 车1.5m 。

如图所示，当A 车驶出距离2m A o =时，求B 车的速度和加速度。

解 选小车B 为研究对象。

小车B 作直线运动。

故选择直角坐标系求解。

建立x 轴，0B 为原点，当00t =时，小车B 在0B 点。

由几何关系有（绳子不可伸长）0B C CO BC CA +=+所以 0B C BC CA CO -=- 即 22x h OA h =+-而 A OA v t s ==于是得到B 点运动方程()22A x h v t h =+-速度 ()222A B A v t dx v dt h v t ==+代入数据得0.32/B v m s =加速度 ()()()22223222A A A B B A v h v t v t dv a dth v t ⎡⎤+-⎣⎦==⎡⎤+⎣⎦代入数据得20.023/B a m s =答案：0.32(m s)B v =，20.023(m s )B a =。

1-3 在水流速度各处都相等的河内，有一只小船M 被水冲走，划船人在之后以不变的相对速度（相对水流）u朝岸上点o 划行。

设水流速度为0v ，求船的轨迹。

解 以A 为极点，岸为极轴建立极坐标如图1.3.1，船沿垂直于r的方向的速度为0sin v ϕ-船沿径向r方向的速度为0v 和u 沿径向的分量的合成，即00sin cos d r v dtdr v udtϕϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 0cot sin dr u d r v ϕϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对两边积分：0ln ln tan ln sin 2u r C v ϕϕ=-+ 设0,,2u k C v ϕα==为常数 即 11sin ln ln2cos k k r C αα-+=+代入初始条件0r r =时，0ϕϕ=。

设002ϕα=，有10010sin ln ln 2cos k k C r αα-+=-，得1100110cos sin sin cos k k k k r r αααα+--+=⋅⋅。

答案：1100110cos sin sin cos k k k k r r αααα+--+=⋅⋅。

1-4 试自cos x r θ=，sin y r θ=出发，计算x及y 。

并由此推出径向加速度r a 及横向加速度a θ。

解 由题可知x cos (1)sin (2)r y r θθ=⎧⎨=⎩对（1）求导cos sin xr r θθθ=-⋅ （3） 对（3）求导2cos 2sin sin cos x r r r r θθθθθθθ=---（4） 对（2）求导sin cos yr r θθθ=+ （5） 对（5）求导2cos 2sin cos sin y r rr r θθθθθθθ=++- （6） 对于加速度a ，有如下关系见题1-4 图即cos sin (7)sin cos (8)r r x a a y a a θθθθθθ=-⎧⎨=+⎩1-1题图1-2题图（7）22(7)cos ,(8)sin ,cos cos sin cos (9)sin sin sin cos (10)r r x a a y a a θθθθθθθθθθθθ⨯⨯⎧=-⎪⎨=+⎪⎩即得 (9)(10)+得 c o s s i n r a x y θθ=+ （11）把（4）（6）代入（11）得2r a rr θ=- 同理可得 2a r r θθθ=+ 答案： 2r a r r θ=- ，2a r r θθθ=+ 。

1-5 一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为r λ及μθ，式中λ及μ是常数。

试证明其沿位矢及垂直于位矢的加速度为222r rμθλ-，r μμθλ⎛⎫+⎪⎝⎭。

解 由题可知质点沿位矢速度//v r λ= （1）沿垂直于位矢速度v μθ⊥= （2）又因为//v r r λ== 即r r λ= （3）v r θμθ⊥== ，即rμθθ= （4） ()()dv d d a ri r j dt dt dtθ==+（取位矢方向i ，垂直位矢方向j ）所以()d dr di ri i r ri r j dt dt dtθ=+=+()2d dr d dj r j j r j r r j r j r i dt dt dt dtθθθθθθθ=++=+-故()()22a r r i r r j θθθ=-++即 沿位矢方向加速度2//a r r θ=- （5） 垂直位矢方向加速度2a r r θθ⊥=+ （6）对（3）求导2r r r λλ== （7）对（4）求导2()r r r rμθμθμθμθλ=-+=+ （8）把（3）（4）（7）（8）代入（5）（6）式中可得222//a r rμθλ=-()a rμμθλ⊥=+1-6 设一质点的运动方程为 123cos sin r q t q t q t =++，式中 1q 、2q 和3q 为不为零的恒矢量，而且满足关系式2212q q =，1223310q q q q q q ⋅=⋅=⋅=。

试求质点运动的速度、加速度和轨道的曲率半径。

解 因为1q 、2q 和3q 为不为零的恒矢量，而且满足关系式1223310q q q q q q ⋅=⋅=⋅=。

所以1q 、2q 和3q 彼此互相垂直。

于是，1212,q q q q和33q q 可以分别作为直角坐标系O-xyz 的单位矢量,i j 和k。

因此，上式可以表示为123cos sin ,r q ti q tj q tk =++（1）其分量式为113cos sin x q t y q t z q t=⎧⎪=⎨⎪=⎩（2） 因为2212q q =，所以（2）式又可以表示为 113cos sin x q ty q t z q t=⎧⎪=⎨⎪=⎩（3） 由此可见，（3）式是圆柱螺线方程。

所以，质点的运动轨迹是一条圆柱螺线的空间曲线。

对（3）式求时间的一阶导数，得113sin cos x q t y q t z q =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ （4） 由（4）式可以得质点运动的速度为222222221132213sin cos v xy z q t q t q q q =++=++=+ （5） 对（3）式求时间的二阶导数，得11cos sin 0x q t y q t z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ （6） 由（6）式可以得质点运动的加速度为2222222111cos sin a x y z q t q t q =++=+= （7） 把（4）式和（6）式代入曲率半径的公式，得()()()()()()()()222322222213131121111322222211322131cos 0sin cos sin 0sin sin cos cos sin cos yzzy zx xz xy yx xyz q t q q t q q t q t q t q t q t q t qt q t q q q q ρ-+-+-=++⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=+++=（8）答案：质点的运动速度为2213v q q =+，质点的运动加速度为1a q =，曲率半径为22131q q q ρ+=。

1-7 已知一点的运动方程为x at =， ()e e ch 2t ta y a t -=+=⋅；求点的轨迹及轨迹之曲率半径与纵坐标y 的关系。

解 由题意知()(1)e e ch (2)2t tx at a y a t -=⎧⎪⎨=+=⋅⎪⎩ 由（1）得xt a= (3)将（3）代入（2）得ch xy a a=⋅⋅ （4）故其轨迹为悬链线因轨道曲率半径 322y y ρ'=''（1+）（5）分别对（4）一阶微分和二阶微分将结果代入（5）式得2y aρ=答案：轨迹为悬链线：ch x y a a =⋅⋅，曲率半径为2y aρ=。

1-8 一点沿一半径为R 的圆周，按2012S V t at =-的规律而运动。

问此点加速度的大小等于多少？什么时候加速度大小等于a ，而这时此点一共走了多少圈？解 由题意知2012S V t at =-（1） 对（1）求导得0v S V at ==- （2） 在自然坐标中有()220n dv a S a dt V at v a R Rτ⎧===-⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩ （3） 故此点的加速度大小()422212n V at a a a a R τ-=+=+ （4）令 1a a = 有 ()422V at a a R-=+ （5）解之得 00V at -= （6） 即当01V t a a a==时刻 此时该点运动的路程2200122V S V t at a=-= （7）其转过的圈数202R 4V S N aRπ==π 答案：()40212V at a a R -=+，0V t a =时，1a a =；转动圈数204V N aR=π。