江苏省泰州市兴化市周庄高中2016届高三数学上学期第一次质检试卷(含解析)

2015-2016学年江苏省泰州市兴化市周庄高中高三（上）第一次质检数学试卷一、填空题1．满足{1，3}∪A={1，3，5}的集合A共有个．2．命题“∃x∈R，x≤0”的否定是：．（用符号表示）3．已知集合A=，若A∩B=∅，则实数a的取值集合为．4．函数f（x）=lg（4﹣x）+x0的定义域是．5．函数y=lg（x2+1）的值域是．6．y=x2+x+1，x∈[﹣1，3]的值域为．7．α与角150°终边相同，则是象限角．8．扇形的中心角为α，所在圆的半径为R，若α=60°，R=10cm，则扇形的弧长为．9．α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cosα=，则sinα= ．10．已知，则的值为．11．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第象限．12．若，则= ．13．函数的值域是．14．在△ABC中，若sin2A=sin2B，则A、B的关系是．二、解答题15．求值（1）（2）．16．已知，求（1）（2）1+sin2α+3cosαsinα的值．17．，求tanα的值．18．（1）求函数f（x）=3•4x﹣2x在[0，+∞）上的值域．（2）求函数f（x）=sinx+cos2x在R上的值域．19．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．（3）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求实数k的取值范围．20．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m=0．（1）若方程的一根大于2，一根小于2，求实数m的取值范围；（2）若方程的两根都小于﹣2，求实数m的取值范围；（3）若方程的一根在区间（﹣2，0）内，一根在区间（0，4）内，求实数m的取值范围；（4）若方程的两根都在区间（0，2），求实数m的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市兴化市周庄高中高三（上）第一次质检数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．满足{1，3}∪A={1，3，5}的集合A共有 4 个．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知得满足条件的集合A有：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．【解答】解：∵{1，3}∪A={1，3，5}，∴满足条件的集合A有：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}，共4个．故答案为：4．【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集的性质的合理运用．2．命题“∃x∈R，x≤0”的否定是：∀x∈R，x＞0 ．（用符号表示）【考点】特称命题；命题的否定．【专题】规律型．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定．【解答】解：∵命题“∃x∈R，x≤0”为特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定为：∀x∈R，x＞0．故答案为：∀x∈R，x＞0．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．3．已知集合A=，若A∩B=∅，则实数a的取值集合为{1， } ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】化简A={（x，y）|y=x+1，x≠2}，从而可得y=x+1，（x≠2）与y=ax+2平行或y=ax+2过点（2，3），从而解得．【解答】解：A={（x，y）|y=x+1，x≠2}，B={（x，y）|y=ax+2}；∵A∩B=∅，∴y=x+1，（x≠2）与y=ax+2平行或y=ax+2过点（2，3），即a=1或3=2a+2，解得，a=1或a=；故答案为：{1， }．【点评】本题考查了集合的运算的应用．4．函数f（x）=lg（4﹣x）+x0的定义域是{x|x＜4，且x≠0}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】容易看出该函数有意义时，x满足，解该不等式组即可得出函数f（x）的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则：；∴x＜4，且x≠0；∴函数f（x）的定义域为{x|x＜4，且x≠0}．故答案为：{x|x＜4，且x≠0}．【点评】考查函数定义域的概念及求法，对数的真数大于0，对于x0，x≠0．5．函数y=lg（x2+1）的值域是[0，+∞）．【考点】对数函数的值域与最值．【专题】计算题．【分析】由于y=lgx为增函数，令g（x）=x2+1，则g（x）≥1，由函数的单调性可求得函数y=lg（x2+1）的值域．【解答】解：∵y=lg（x2+1）的底数是10＞1，∴y=lgx为增函数，令g（x）=x2+1，则g（x）≥1，∴y=lg（x2+1）≥lg1=0，∴函数y=lg（x2+1）的值域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查对数函数的值域与最值，熟练掌握y=lgx的性质是解决问题的关键，属于基础题．6．y=x2+x+1，x∈[﹣1，3]的值域为[，13] ．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】对该二次函数进行配方，根据配方的式子即可看出该函数的最大、最小值，从而得出该函数的值域．【解答】解：；∴x=3时该函数取最大值13，x=时，取最小值；∴该函数的值域为[，13]．故答案为：．【点评】考查函数值域的概念，配方法求二次函数在闭区间上的值域．7．α与角150°终边相同，则是一或三象限角．【考点】终边相同的角．【专题】三角函数的求值．【分析】首先表示出α，然后可知=75°+k•180，从而确定所在的象限．【解答】解：由题意知，α=150°+k•360°，k∈z，=75°+k•180°，k∈z故的终边在第一或三象限．故答案为：一或三．【点评】本题主要考查了象限角，确定出=75°+k•180°是解题的关键．8．扇形的中心角为α，所在圆的半径为R，若α=60°，R=10cm，则扇形的弧长为πcm ．【考点】弧长公式．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由已知，利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）∵一个扇形的圆心角是α=60°，其所在圆的半径R=10cm，∴l==πcm．故答案为：πcm．【点评】此题考查了弧长公式的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9．α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cosα=，则sinα= ．【考点】任意角的三角函数的定义；象限角、轴线角．【专题】计算题．【分析】先求PO的距离，根据三角函数的定义，求出cosα，然后解出x的值，注意α是第二象限角，求解sinα．【解答】解：由题意|op|=，所以cosα==，因为α是第二象限角，解得：x=﹣，cosα=﹣，sinα==故答案为：【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，象限角、轴线角，考查计算能力，是基础题．10．已知，则的值为﹣．【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用已知条件求出所求的表达式为正切函数的形式，然后代入求解即可．【解答】解：，则===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．11．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第二象限．【考点】三角函数值的符号．【专题】计算题．【分析】由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．【解答】解：因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以，tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为：二．【点评】本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号．12．若，则= ﹣．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题．【分析】观察已知与所求式子中的角度，发现（﹣α）+（+α）=π，即（+α）=π﹣（﹣α），故利用诱导公式cos（π﹣α）=﹣cosα把所求式子化简后，将已知的式子代入即可求出值．【解答】解：∵，∴=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos（﹣α）=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了诱导公式的运用，通过观察得出（+α）=π﹣（﹣α）是解本题的关键．13．函数的值域是{﹣1，3} ．【考点】三角函数值的符号；函数的值域．【专题】计算题．【分析】本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号，对于四个象限，因为三角函数值的符号不同，需要按照四种不同的情况进行讨论，得到结果．【解答】解：由题意知本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号，当角x在第一象限时，y=1+1+1=3，当角在第二象限时，y=1﹣1﹣1=﹣1，当角在第三象限时，y=﹣1﹣1+1=﹣1，当角在第四象限时，y=﹣1+1﹣1=﹣1．故答案为：{﹣1，3}【点评】本题考查三角函数值的符号，考查函数的值域，本题是一个比较简单的综合题目，这种题目若出现是一个送分题目．14．在△ABC中，若sin2A=sin2B，则A、B的关系是A+B=或A=B ．【考点】三角方程．【专题】解三角形．【分析】利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0，推断出A、B的关系．【解答】解：∵sin2A=sin2B∴sin2A﹣sin2B=cos（A+B）sin（A﹣B）=0∴cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0∴A+B=或A=B故答案为：A+B=或A=B．【点评】本题主要考查了三角形的内角关系与三角形形状判断是同类型题目．需要挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式化简求解是解题的关键．二、解答题15．求值（1）（2）．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式化简通过特殊角的三角函数求值即可．【解答】解：（1）=﹣sin=﹣．（2）===．【点评】本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力．16．已知，求（1）（2）1+sin2α+3cosαsinα的值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】化简所求的表达式为正切函数的形式，求解即可．【解答】解：，（1）===．（2）1+sin2α+3cosαsinα=====．【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．17．，求tanα的值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】将已知等式平方并结合sin2α+cos2α=1，算出sinα﹣cosα的值，从而解出sinα，cosα，再利用同角三角函数的商数关系，即可算出tanα的值．【解答】解：∵…①∴平方得（sinα+cosα）2=，即1+2sinαcosα=可得2sinαcosα=﹣，因此，（sinα﹣cosα）2=，得sinα﹣cosα=（舍负），…②①②联解，得sinα=，cosα=﹣，∴tanα==﹣．【点评】本题给出角α的正弦与余弦之和，求α的正切之值．着重考查了同角三角函数关系的知识，属于基础题．18．（1）求函数f（x）=3•4x﹣2x在[0，+∞）上的值域．（2）求函数f（x）=sinx+cos2x在R上的值域．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）令t=2x，由x的范围求出t的范围，然后利用关于t的二次函数在[1，+∞）上的单调性求得函数值域；（2）化余弦为正弦，再利用换元法结合二次函数求得答案．【解答】解：（1）令t=2x，∵x∈[0，+∞），∴t∈[1，+∞），则原函数化为g（t）=3t2﹣t，在[1，+∞）上为增函数，∴g（t）≥g（1）=2．∴原函数的值域为[2，+∞）；（2）f（x）=sinx+cos2x=﹣sin2x+sinx+1．令m=sinx，则m∈[﹣1，1]．∴原函数化为h（m）=﹣m2+m+1，m∈[﹣1，1]．当m=﹣1时，h（m）min=h（﹣1）=﹣1；当m=时，．∴函数f（x）=sinx+cos2x在R上的值域为[﹣1，]．【点评】本题考查函数的值域及其求法，训练了换元法和配方法求函数的值域，是基础题．19．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．（3）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间和极值；（2）画出函数的大致图象，结合图象从而求出a的范围；（3）问题转化为k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，结合二次函数的性质求出即可．【解答】解：（1）f′（x）=3（x2﹣2），令f′（x）=0，得x1=﹣，x2=∴，x＜﹣或x＞时，f′（x）＞0，当﹣时，f′（x）＜0，f（x）的单调递增区间（﹣）和（），单调递减区间是（﹣，），当x=﹣，f（x）有极大值5+4；当x=，f（x）有极小值5﹣4．（2）由（1）可知y=f（x）图象的大致形状及走向如图示：∴当5﹣4＜a＜5+4时，直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，即当5﹣4＜a＜5+4时方程f（x）=a有三解．（3）f（x）≥k（x﹣1）即（x﹣1）（x2+x﹣5）≥k（x﹣1）∵x＞1，∴k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立．令g（x）=x2+x﹣5，由二次函数的性质，g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴g（x）＞g（1）=﹣3∴所求k的取值范围是k≤﹣3．【点评】本题考查了函数的单调性、函数的极值问题，考查导数的应用，二次函数的性质，本题是一道中档题．20．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m=0．（1）若方程的一根大于2，一根小于2，求实数m的取值范围；（2）若方程的两根都小于﹣2，求实数m的取值范围；（3）若方程的一根在区间（﹣2，0）内，一根在区间（0，4）内，求实数m的取值范围；（4）若方程的两根都在区间（0，2），求实数m的取值范围．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用二次函数的性质，求得各种条件下实数m的取值范围．【解答】解：令f（x）=x2+（m﹣3）x+m，（1）若方程x2+（m﹣3）x+m=0的一根大于2，一根小于2，令f（x）=x2+（m﹣3）x+m，则有 f（2）=3m﹣2＜0，求得m＜．（2）若方程x2+（m﹣3）x+m=0的两根都小于﹣2，则有，求得9≤m＜10．（3）若方程x2+（m﹣3）x+m=0的一根在区间（﹣2，0）内，一根在区间（0，4）内，则有，由此求得实数m的取值范围为﹣＜m＜0．（4）若方程x2+（m﹣3）x+m=0的两根都在区间（0，2），则有，求得＜m≤1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．。