高中数学必修2 第三章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率
高中数学人教A版 必修2第三章3.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案
课题 2.1.1倾斜角与斜率授课年级高二课型新授课授课时间主备人授课教师教学目标1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想2.掌握直线的倾斜角与斜率的概念3.掌握过两点的直线的斜率公式教学重难点重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征教学方法自主探究、合作交流教学过程环节设计学生活动引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念。
在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡尔、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化。
这是解析几何的创始。
新课导入：我们知道，点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。
引入课题学生阅读材料了解解析几何的创始问题1过一点能确定一条直线吗？这些直线有何不同？ 新课讲解： 一、倾斜角1. 直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )2. 直线倾斜角的范围当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度 ，因此，直线的倾斜角的取值范围为：学生动手画直线学生口答定义并找出其中的关键词学生口答巩固倾斜角的概念学生自助探究y x olαay xoAyxoaBayxoC yx aoD按倾斜角去分类，直线可分几类？问题2请在平面直角坐标系中，作出倾斜角为 45度 的直线，并对比你与其他同学所作的图像，你发现了什么？若增加条件过点(0,0),你能作多少条直线？3.确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素： 直线上的一个定点 直线的倾斜角问：日常生活中有没有表示倾斜程度的量？坡度（比）二、直线的斜率直线倾斜角 的正切值，常用小写字母k 表示，即： αtan =k注意：倾斜角为90度的直线的斜率不存在．探究：借助几何画板，分析直线的倾斜角与斜率的关系。
高一数学 人教A版必修2 第三章 3.1.1、2直线的倾斜角与斜率、两条直线平行与垂直的判定 课件
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的 方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
D．60°或 120°
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
解析： (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°，故选 D.
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等， 其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存 在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.
高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2
高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. ．．．．．4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k = y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线的平行① 若两条直线的斜率都存在，则：k1 = k2 = L1∥L2或者．．L1与L2重合② 两条不重合直线平行的判定条件：⑴ 两条直线的斜率都不存在；⑵ 两条直线的斜率存在，且k1 = k2．．．（若已知两条直线的斜率存在且平行，则应k1 = k2 且纵截距不相等；若已知两条直线的斜率不存在且平行，则应横截距不相等）2、两条直线垂直①若两条直线的斜率都存在，则：k1 k2 = - 1 = L1 ⊥ L2 ．．．．．②两条直线垂直的判定条件：⑴ 两条直线：一条斜率不存在，另外一条k =0 ；⑵ 两条直线的斜率存在：k1 k2 = - 1 3、利用系数来判断平行与垂直★ 已知L1: A1x+B1y+C1=0 , L2 : A2x+B2y+C2=0 那么：① A1B2-A2B1=0两条直线平行或重合．．．．两条直线相交③ A1A2 + B1B2 = 0．．② A1B2-A2B1 ≠0两条直线垂直．．★ 如果已知两条直线的一般式方程，则可以通过系数关系求解相应的参数的值。
高一数学人教版A版必修二课件：3.1.1 倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
学习目标
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念； 2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性； 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 直线的倾斜角
思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条 直1线呢？ 答案 不能. 思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线 如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？ 答案 不同.
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
1.直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写 字母k表示，即k＝ tan α . 2.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) 斜率(范围)
α＝0° k＝0
0°<α<90° k>0
α＝90° 不存在
90°<α<180° k<0
答案
知识点三 过两点的直线的斜率公式
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
人教A版高中数学必修二课件：第三章3-1-3-1-1倾斜角与斜率
(4)任意直线都有倾斜角 α， 且 α≠90°时， 斜率为 tan α.( ) 解析：对于(1)，当 α＝90°时，直线的斜率不存在， 故不正确；对于(2)，虽然直线的斜率为 tan α，但只有 0° ≤α＜180°时，α 才是此直线的倾斜角，故不正确；对于 (3)，当直线平行于 x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故(3)不正 确；对于(4)，由斜率的定义及正切的定义域知正确．
(2)解：①因为 k＝ －1，所以 α＝135°.
3－0 －5－（－2）
＝－1，即 tan α＝
②因为 P1(－2，3)与 P2(－2，8)的横坐标相同， 故斜率不存在，α＝90°. －2－（－2） ③k＝ ＝0，α＝0°. 5－（－2）
ห้องสมุดไป่ตู้
归纳升华 1．求直线斜率的途径有两个：一是利用斜率公式， 二是利用倾斜角．我们必须熟练掌握这两种方式． 2．应用两点斜率公式时，两点的横坐标不能相等， 否则，直线斜率不存在，造成错解．
归纳升华 1．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根 据题意画出图形， 找准倾斜角， 有时要根据情况分类讨论． 2．结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用， 如三角形内角和定理及其有关推论．
[变式训练] 一条直线 l 与 x 轴相交，其向上的方向 与 y 轴正方向所成的角 α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为 ( ) A．α B．180°－α
类型 1 直线的倾斜角(自主研析) [典例 1] 已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 的交点为 A， 直线 l1 和 l2 向上的方向所成的角为 120°， 如图，则直线 l2 的倾斜角为________．
解析：设直线 l2 的倾斜角为 α2，由 l1 和 l2 向上的方 向所成的角为 120°，所以∠BAC＝120°， 所以 α2＝120°＋α1＝135°. 答案：135°
新人教A版必修2高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率
3．斜率公式
直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率 k＝yx22－－yx11(其 中 x1≠x2)．
1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．( ) (2)任意一条直线都有斜率．( ) (3)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．( ) 【答案】(1)√ (2)× (3)×
8
求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求 角． (2) 两 点 注 意 ： ① 当 直 线 与 x 轴 平 行 或 重 合 时 ， 倾 斜 角 为 0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的 取值范围是0°≤α＜180°.
1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成 的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
2．直线的斜率
定义
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_正__切__值___叫 做这条直线的斜率，记为k，即k＝__t_a_n_α___.
取值 范围
当α＝0°时，____k＝__0__；当0°<α<90°时，__k_<_0__ ；当90°<α<180°时，_不__存__在___；当α＝90°时， 斜率____k_>_0__.
A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 【答案】D
【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角 为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 故选D.
直线的斜率公式
【例2】 在△ABC中，已知A(1，－1)，B(1,1)，C(3，－ 1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角或直角.
【高中数学必修二】3.1.1倾斜角与斜率
7 x . 3
小结
1、直线倾斜角的定义及倾斜角的范围
2、直线斜率的定义
3、直线的斜率公式
tan tan( 180 )
在RtP2QP 中 1
P2Q
tan
y y 2 1 tan P 1Q x1 x2 y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
o
x2
x1
x
0
1.当直线平行于x轴，或与x轴重合时， 0 上述公式还适用吗？为什么？
二、直线的斜率:
设直线AC的倾斜程度为k
k AC CB AB
y
l
tan
o
x
1、定义:
我们把一条直线的倾斜角 的正切值 叫做这条直线的斜率. 用小写字母 k 表示，即：k tan
是否每条直线都有斜率?
1.如果倾斜角是零度角?
2.如果倾斜角是锐角? 3.如果倾斜角是直角? 4.如果倾斜角是钝角?
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
1.坐标系中怎样确定一条直线的位置？ 2.一点能否确定一条直线 的位置吗？ 3.过一点的无数条直线有 什么区别呢？
y
l
P 1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
倾斜程度不同
x
o
直线的倾斜角:
1、定义:
当直线l与x轴相交时， 我们取x轴作为基准，x轴 正向与直线l向上方向之间 所成的角 叫做直线的 倾斜角。
y
l
o
x
规定:1.当直线与x轴平行或重合时， 0
0
90 2.当直线与x轴垂直时，
0Leabharlann 按倾斜角分类，直线可分几类？
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_2
3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计一、教学目标（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。
理解直线倾斜角的唯一性。
理解直线斜率的存在性。
斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。
（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。
（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
二、教学重点与难点重点：直线倾斜角和斜率的概念及斜率与倾斜角的关系。
难点：倾斜角与斜率的关系的探究。
三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。
即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程（一）创设情境，揭示课题北盘江大桥由云贵两省合作共建，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，相当于200层楼高——这也是世界最高的桥梁：大桥主桥采用主跨720m 钢桁架梁斜拉桥方案，为目前世界最大跨径的钢桁架梁斜拉桥。
于2016年12月29日通车，云南宣威城区至贵州六盘水的车程将从此前的5个小时左右，缩短为1个多小时。
桥梁上斜拉钢丝与桥面形成了之间具有不同的倾斜程度，这就是我们这节课所要研究的内容。
（二）新课探究，形成新知（1）动动手，画出满足条件的直线 1）在平面直角坐标系中画一条直线 2）在平面直角坐标系中画一条过原点的直线3）在平面直角坐标系中画一条与x 轴正方向所成的角为30°的直线4）在平面直角坐标系中画一条过原点且与x 轴正方向所成的角为 30°的直线（2）动动脑，回答下列问题1）在平面直角坐标系中，怎样确定一条直线的位置呢？ 2）在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件： 1.两点可以确定一条直线2. 已知直线上一点和这条直线的方向 （3）直线的方向——倾斜角的概念形成问题：在如图的平面直角坐标系中，以哪个角刻画倾斜程度？倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。
人教版高中数学必修二 第3章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率
3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率学习目标核心素养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养．2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.1．倾斜角的相关概念(1)两个前提：①直线l与x轴相交；②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．思考：下图中标的倾斜角α对不对？[提示]都不对．2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tan α．(3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角(范围) α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率(范围)0 (0，＋∞) 不存在(－∞，0)(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝y2－y1 x2－x1．思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？[提示]不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为()A．45°B．135°C．0°D．无法计算B[根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是() A．0°B．45°C．60°D．90°A[∵k＝04＝0，∴θ＝0°.]3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A．5 B．8C．132D．7C[由斜率公式可得8－mm－5＝1，解之得m＝132.]4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A．33B． 3 C．1 D．22A[由题意可知，k＝tan 30°＝3 3.]直线的倾斜角时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.1．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－αD [如图，当l 向上方向的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 向上方向的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率AB 则点B 的坐标为( )A ．(2，0)或(0，－4)B ．(2，0)或(0，－8)C ．(2，0)D ．(0，－8)(2)已知直线l 经过点A (1，2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1，0]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[0，2](1)B (2)D [(1)设B (x ，0)或(0，y )，∵k AB ＝43－x 或k AB ＝4－y 3，∴43－x ＝4或4－y3＝4，∴x ＝2，y ＝－8，∴点B 的坐标为(2，0)或(0，－8)．(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.]解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．(1)－5(2)1[(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝－3－y2－4，由－3－y2－4＝－1，得y＝－5.(2)由题意得4－mm＋2＝1，∴m＝1.]直线倾斜角与斜率的综合1．斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？[提示]斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝y1－y2x1－x2. 2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？[提示]当k＝tan α＜0时，倾斜角α是钝角；当k＝tan α＞0时，倾斜角α是锐角；当k ＝tan α＝0时， 倾斜角α是0°.【例3】 已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．思路探究：作图――――――――――→直线与线段有公共点倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间―――→求斜率求斜率范围及倾斜角范围 [解] 如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.将本例变为： 已知A (3，3)，B (－4，2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．[解] 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，又k AB ＝3－23－（－4）＝17，k AC ＝3－（－2）3－0＝53，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔k AB＝k AC或k AB与k AC 都不存在．3.y2－y1x2－x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范围0 k＞0 不存在k＜0k的增减情况k随α的增大而增大k随α的增大而增大1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3D．4C[由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]2．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．1±52 [依题意：k AB ＝k AC ，即a －02－1＝1－0a －1， 解得a ＝1±52.]3．经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1)(0°，90°] [当m ＝1时，倾斜角α＝90°，当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.]4．已知交于M (8，6)点的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5，3)，求这四条直线的倾斜角．[解] l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.。
高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件
5 1
23
(4)倾斜角 900，斜率不存在.
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
题型二
斜率公式的应用
例2、经过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线l的
下列哪些说法是正确的（
）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 F
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
F
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是 00或1800 F
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等F
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 T
F 、直线斜率的范围是R
T
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
x2 )
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通 过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求 出直线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂 直,α=900
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
练习： 高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件
y
y
y
y
α
o
x o α x oα x o α x
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
不是
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
下图中直线l1，l2，l3的倾斜角 大致是一个什么范围内的角？
y l3
l2 l1
高中数学必修二第三章3.1.1倾斜角与斜率
应用举例 例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率 分别为1，-1，和2的直线。
练习巩固
P86 1 —4
课堂小结：
（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们间有什 么关系？
课堂小结：
（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们间有什 么关系？
（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？
课堂小结：
3．斜率公式
通过探索，完善
问题11：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结 论还成立吗?
总结斜率计算公式：k=
（x1≠x2）。
应用举例 例1.如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1） ,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾 斜角是锐角还是钝角。
应用举例 例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率 分别为1，-1，和2的直线。
坡度（比）=
问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾 斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的 正切值”。由此你认为除了倾斜角还可以用怎样 的量来刻画直线的倾斜程度？
问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾 斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的 正切值”。由此你认为除了倾斜角还可以用怎样 的量来刻画直线的倾斜程度？
问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾 斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的 正切值”。由此你认为除了倾斜角还可以用怎样 的量来刻画直线的倾斜程度？
问题9：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同， 斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？
3．斜率公式
3．斜率公式
发现：两点确定一条直线，直线确定，直线的倾斜角与 斜率也就确定了，说明直线的斜率可以用两点坐标来表 示，只要找到倾斜角的正切值与坐标的关系。
高中数学必修2第三章 直线与方程 课件3.1.1 直线的倾斜角和斜率
高 量
B
6
2、直线的斜率
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫 做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
当 =0°时，
k tan
k 0
当00＜ 当
＜ 90°时， k 0
k不存在（直线存在）
7
=90°时，
9
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
（1）如果直线 l1 的斜率为0， l1 l2 ，那
l 2的斜率怎样？ （2）如果直线 l的斜率 k 的范围是 0 k 1
么直线 那么它的倾斜角的范围是什么？
(3)直线的倾斜角越大，它的斜率就越大?
10
例1：直线
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
3、斜率公式 直线过P1(x1,y1), P2(x2,y2)两点,则
y2 y1 k x2 x1
12
金太阳教育网
y2 y1 y1 y2 k x2 x1 x1 x2
斜率公式与两点的顺序无关；
品质来自专业 信赖源于诚信
斜率公式表明：直线对于x轴的倾斜程度， 可以通过直线上任意两点的坐标表示， 而不需求出直线的倾斜角，使用比较方便；
8
金太阳教育网
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫 做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，
品质来自专业 信赖源于诚信
判断：
k tan
1.若直线的斜率存在，则必有唯一的倾斜角 与之对应. 2.若直线的倾斜角存在，则必有唯一的斜率 与之对应. 3.若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 tan .
-1 1 2
高一数学必修2第三章知识点：直线的倾斜角与斜率
高一数学必修2第三章知识点：直线的倾斜角与
斜率
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
小编准备了高一数学必修2第三章知识点，具体请看以下内容。
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0.
2、倾斜角的取值范围： 0180. 当直线l与x轴垂直时, = 90.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tan
⑴当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0
⑵当直线l与x轴垂直时, = 90, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提
下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直。
高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，编辑老师为大家整理的高一数学必修2第三章知识点，希望大家喜欢。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_1
倾斜角是从“形”的角度刻画了直线的倾斜程度，但是如何具体刻画直线的倾斜程度呢？这就需要一个能够“量化”的量来刻画。思考2：在日常生活中，有没有其他表示倾斜程度的量？
例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2，-3的直线 ， ， 及 。
例1的作用是已知给定直线上两点坐标求直线斜率，在练习过程中自主发现直线上两点的坐标与直线的斜率之间的关系，以及斜率和倾斜角的关系。体现数学运算和逻辑推理核心素养。
目的是加强数形结合。通过分析，得到为了方便的画出直线，还需要在确定一个点。从而说明用坐标法表示斜率公式的必要性。体会逻辑推理喝几何直观想象。
板书课题: 3.1.1倾斜角和斜率
通过一些列问题，自然生成寻找确定直线的几何要素的想法。由熟知的两点确定一条直线，去掉一个点后，提出问题：“过一点能确定一条直线吗?”通过与学生共同画图，借助于PPT的展示，直观的看出，过一点可以作出无数条直线，一点不能确定一条直线。那么，紧接引导学生思考“这些直线的区别在哪？什么地方不同？”，学生通过图片很自然地看出直线的倾斜程度不同，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的必要性和形成过程。逐步渗透数学抽象这一核心素养。在几何画板上的操作直观的感受到倾斜程度不同。
既然斜率是直线倾斜程度的一个很好的代数表示？为什么还要引入过两点直线的斜率的公式呢？这是因为倾斜角的正切值表示斜率有其局限性：对有非特殊倾斜角的直线，正切值很难算出，有必要用其他更好的方法来计算斜率，自然而然引入过两点的直线的斜率公式。
重难点分析
重点：探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过
高中数学必修2第三章：直线与方程课件 3.1直线的倾斜角与斜率
升高量 升 坡度（比） 前进量 高
前进
结论：坡度越大，楼梯越陡．
11
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角
直线的斜率(slope)。 用小写字母 k 表示，即：
的正切值叫做这条
k tan
例如： 30 k tan30
即k不存在
13
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为
tan
②因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在
③两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；
④每条直线都有倾斜角。
⑤每条直线都有斜率。
14
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
直线的位置
我们知道，两点确定一条直线。
y
过一点O的直线可以作无数条， 可以用直线与X轴的夹角描述它 们的倾斜程度
4
x
o
一点能确定一条直 线的位置吗？
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
品质来自专业 信赖源于诚信
思考？
2、当直线平行于x轴，或与 x 轴重合时， k tan0 0 上述公式还适用吗？为什么？
y
P 1 ( x1 , y1 )
0
P 2 ( x2 , y2 )
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
3.1.1直线的倾斜角与斜率
1
金太阳教育网
勒奈· 笛卡尔（RenéDescartes，
高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件1
直线的倾斜角与斜率
难点名称： 1.理解直线的倾斜角与斜率的概念 2.斜率公式的灵活运用
目录
CONTENTS
导入
知识讲授
课堂练习
小结
2
直线的倾斜角
复习导入
问题1：在直角坐标系中点用坐标表示，如 何确定一条直线呢？
两点确定一条直线
问题2：一点能确定直线吗？下面三条直
线过了同一点P，他们之间区分是什么？
kR
注意：
例如：直线 l的倾斜角为 45 ,则斜率为：k tan 45 1
直线l的倾斜角为120 ,则斜率为：k tan120 3
所以，斜率也可以用来表示倾斜程度
探究：如何由直线上两点的坐标确定的直 线的斜率
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
o x1
l3
l2 l1
P
问题3.如何描述直线的倾斜程度？ 用
知识的讲授
直线的倾斜角
y
l
l1
oP
x
直线与x轴相
交，取x轴为基
准，
与
l 的方
向之间所成的角
α叫做直线 l的
倾斜角
规定：当直线和x轴平行或重合时它的倾斜角0°
归纳
直线的倾斜角范围： [0,180 )
倾斜角表示平面直角坐标系内直线的倾斜 程度
确定直线的方法有两种： ①直线上两点 ②直线上一点和直线的倾斜角
解：设 A1x1, y1 是直线l1 上一点，根据斜率公式
1= y 1 0 x1 0
即 y1 x1
，令 y1 x1=1
所以 A11,1 ，过
高中数学必修二 3.1.1 倾斜角与斜率
题型一
题型二
题型三
精选例题
题型四
【变式训练 1】 已知过两点 A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为
135°,则 y=
.
解析:直线 AB 的斜率 k=tan 135°=-1,
又
k=
-3-������ 2-4
,
由
-3-������ 2-4
=
−1,
得y=-5.
答案:-5
题型一
题型二
精选例题
题型三 题型四
知识梳理
12
【做一做1】 如图,直线l的倾斜角为( )
A.45° B.135° C.0° D.不存在 答案:B
知识梳理
12
2.斜率(倾斜角为α)
定 义
α≠90° α=90°
一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的 斜率
斜率不存在
记 法 k=tan α
范 围R
公 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为
解:(1)直线的斜率
k=
3-0 -2+3
=
3 = tan 60°,
此直线的斜率为 3, 倾斜角为60°.
(2)直线的斜率
k=
-2+2 5-1
=
0,
此直线的斜率为0,倾斜角为
0°.
(3)直线的斜率
k=
9-4 -2-3
=
−1
=
tan
135°,此直线的斜率为-1,倾
斜角为 135°.
(4)因为两点的横坐标都为 3,故直线斜率不存在,倾斜角为 90°.
式 k= ������2-������1
������ 2 -������ 1
新人教版必修二高中数学 3.1.1 倾斜角与斜率课件
(2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表
第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
y o
l
x
y
yl 2
l
o x
ＱO
l3
l1
Ｐy o
xl
l
lx
y
o
x
１、直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时，我们取 x 轴为基准， x 轴正向与直线 l
向上方向之间所形成的角 叫做直线l的倾斜角。
(1)规 定 ： 当 直 线 与x轴 平 行 或 重 合 时 ， 倾 斜角 为0o ；
示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
例1：已知点 A （ 3 ， 2 ） ， B （ - 4 ， 1 ） ， C （ 0 ， 1 ） ，
(1).求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这
些直线的倾斜角是锐角还是钝角
(2).过点C的直线 l 与线段ＡＢ有公共点，
求 l 的斜率k的取值范围
y
解：（1）k AB
1 2 4 3
1 7
锐角
A
kBC
1 1 0 (4)
1 2
钝角
B O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（2）k [1,+) (-,- 1]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
为0°.
3．倾斜角与直线形状的关系
倾斜角
α＝0°
0° <α<90°
α＝90°
90° <α<180°
直线
[化解疑难]
对直线的倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有三个条件： ①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角． (2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时
针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对 x轴的倾斜程度．
(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，
且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线， 其倾斜角不相等.
直线的斜率
[提出问题] 升高量 日常生活中， 常用坡度(坡度＝ )表示倾斜程度， 前进量 例如，“进 2 升 3”与“进 2 升 2”比较，前者更陡一些， 3 2 因为坡度 ＞ . 2 2
2．斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线
y2－y1 x2－x1 当 x1＝x2 时，直线 P1P2 没有斜率． 的斜率公式为 k＝________.
3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 倾斜程度 ． __________
[化解疑难] 1．倾斜角α与斜率k的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾 斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行
理解教材新知
题型一 题型二
知识点一 知识点二
第 1 部 分
第 三 章
3.1 3.1. 1
突破 常考 题型
题型三
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ跨越高分障碍
随堂即时演练
应用落实体验
课时达标检测
3．1.1
倾斜角与斜率
直线的倾斜角 [提出问题]
在平面直角坐标系中，直线l经过点P. 问题1：直线l的位置能够确定吗？ 提示：不能． 问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？
解析：当 0° ≤α＜135° 时，l1 的倾斜角是 α＋45° .当 135° ≤α＜ 180° 时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到 l1 的倾斜角为 α －135° ，故应选 D.
答案：D
直线的斜率
[例2]
(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜
角为135°，则y＝________； (2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值 为________； (3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的
问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于
坡度来描述直线的倾斜程度？ 提示：可以． 问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么 对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？ 提示：可以． 问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？
提示：与倾斜角的正切值相等．
[导入新知] 正切 值叫做这条 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的______ tanα 直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝________.
所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在， 若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率
公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有
参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
直线的倾斜角 [例1] (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则 ) 直线l的倾斜角为(
于y轴或与y轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程 度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当 90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
2．斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐 标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y2－ y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须 y1－y2 y2－y1 是x1－x2，即k＝ ＝ . x1－x2 x2－x1 (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看
提示：无数条．
问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？ 提示：倾斜程度不同．
[导入新知] 1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，
x轴_________ 正方向 与直线l______ 向上 方向之间所成的角叫做直线l的倾
斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是 ∠BPx. 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是 0°≤α＜180° ，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角 ________________
A．30°
C．30°或150° (2)下列说法中，正确的是(
B．60°
D．60°或120° )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0 D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
[解析]
B．[90°，180°) D．(0°，180°)
解析：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直
线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°， 180°)． 答案：C
2．设直线 l 过原点，其倾斜角为 α，将直线 l 绕坐标原点沿逆 时针方向旋转 45° ， 得到直线 l1， 则直线 l1 的倾斜角为( A．α＋45° B．α－135° C．135° －α D．当 0° ≤α＜135° 时为 α＋45° ，当 135° ≤α＜180° 时为 α －135° )
(1)如图，直线l有两种情况，
故l的倾斜角为60°或120°.
(2)对于A，当α＝90°时，直线的斜 率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的 斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角， 故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，
故C不正确，故选D.
[答案] (1)D (2)D
[类题通法]
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求 角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为 0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
[活学活用] 1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是( A．[0°，90°) C．(90°，180°) )