填空题解法

是首项为 2，公比 q＝2 的等比数列．
an＋1＝2n，因此 an＝2n－1，Sn＝2an－n＝2n＋1－n－2.
题型概述
解 归题 纳方 总法 结
• 方法二 特例法
• 当填空题已知条件中含有某些不确定的量 ，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的
信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变
化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值( 或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特
定理、公式、性质、法则等知识，通过变形 、推理、计算等，得出正确结论，使用此法 时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意 识地采用灵活、简捷的解法．
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解 归题 纳方 总法 结
例 1 若数列{an}的前 n 项和 Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是 an
＝________.
解析
由已知 Sn＝23an＋13.
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法二 由已知 b·c＝0，即 ta·b＋(1－t)b2＝0，12t＋(1－t)＝0，因 此 t＝2.
• 答案 2
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• 变式3 若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|
解，析则a如与图b，夹作角O→A的＝a余，O弦→B＝值b为，延__长_O_B__到__C．使O→C＝2→OB
• 例3 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c ＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
解析 法一 如图所示，在△OAB 中，|O→A|＝|O→B|＝1，∠ AOB＝60°，延长 BA 到 C 使∠BOC＝90°，则 A 为 BC 的中 点，c＝O→C＝O→A＋A→C＝O→A＋B→A＝2a－b，则 t＝2.
• 技巧——填空题的5大解题技法
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解 归题 纳方 总法 结
• 1．填空题的特征 • 填空题是不要求写出计算或推理过程，只
需要将结论直接写出的“求解题”．填空题 与选择题也有质的区别：第一，填空题没有 备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好 处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题 的结构往往是在一个正确的命题或断言中， 抽出其中的一些题型内概述容(既解 归可题 纳方 总法 结以是条件，也可以
殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进
行处理，从而得出待求的结论．这样可大大
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解 归题 纳方 总法 结
例 2 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BD，垂足为 P， 且 AP＝3，则A→P·A→C＝________.
解析 法一 ∵A→P·A→C＝A→P·(A→B＋B→C)＝A→P·A→B＋A→P·B→C＝ A→P·A→B＋A→P·(B→D＋D→C)＝A→P·B→D＋2A→P·A→B，而 AP⊥BD，则 A→P·B→D＝0.又∵A→P·A→B＝|A→P||A→B|cos∠BAP＝|A→P|2，∴A→P·A→C ＝2|A→P|2＝2×9＝18.
• 从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是
很高，因为填空题的结果必须是数值准确、
形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零
分．因此， 解填空题要求在“快速、准确”
上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推
理、计算过程，因此要想“快速”解答填空
题，则千万不可“小题大做”，而要达到“
准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法
解 归题 纳方 总法 结
• 方法四 构造法
• 构造型填空题的求解，需要利用已知条件 和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而
简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题
得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基
本方法的积累，需要从一般的方法原理中进
行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经
遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应
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解 归题 纳方 总法 结
• 2．解填空题的基ຫໍສະໝຸດ 原则 • 解填空题的基本原则是“小题不能大做”
，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方 法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等 价转化法、构造法、合情推理法等.
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解 归题 纳方 总法 结
• 方法一 直接法 • 直接法就是从题设条件出发，运用定义、
• 变式1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足
Sn＝2an－n(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn
＝解析___由__已_知__S.n＝2an－n，
①
当 n＝1 时，S1＝2a1－1，则 a1＝1，
当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1－(n－1)． ②
①－②整理，得 an＝2an－1＋1，则aan－n＋1＋11＝2，因此{an＋1}
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法二 把平行四边形 ABCD 看成正方形，则 P 点为对角线的交 点，AC＝6，则A→P·A→C＝18.
• 答案 18
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变式 2 △ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高相交于点 H， 若O→H＝m(O→A＋O→B＋O→C)，则实数 m＝________. 解析 如图在 Rt△ABC 中，外接圆圆心 O 为斜边 AB 的中点， 垂心 H 即为 C 点，由已知O→H＝m(O→A＋O→B＋O→C)＝mO→C， 则 m＝1.
①
当 n＝1 时，S1＝23a1＋13，解 a1＝1；
当 n≥2 时，Sn－1＝23an－1＋13.
②
①－②整理，得 an＝－2an－1，即aan－n 1＝－2.因此{an}为 a1＝1， 公比 q＝－2 的等比数列，an＝a1qn－1＝(－2)n－1.
• 答案 (－2)n－1
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• 答案 1
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• 方法三 数形结合法 • 对于一些含有几何背景的填空题，若能数
中思形，以形助数，则往往可以借助图形的 直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题， 得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函 数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形 ．
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解 归题 纳方 总法 结
＝2b.以 OA、OC 为邻边作▱OCDA，则O→D＝a＋2b，设|a|＝3，
在△OAD 中，|O→A|＝|O→D|＝3，|A→D|＝2.
由余弦定理得 cos A＝|O→A|2＋2|O→|A→AD|||A→2－D||O→D|2＝
13，cos〈a，b〉＝cos(π－A)＝－13. 答案 －13
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