2019版高中数学 第一章 统计 1.5.1 估计总体的分布课件 北师大版必修3
最新北师大版高中数学必修三第一章统计 估计总体的分布
§5 用样本估计总体 5.1 估计总体的分布学习 目标1.理解什么是频率分布表、频率分布直方图、频率折线图．(数学抽象)2.会列频率分布表，会画频率分布直方图和频率折线图，能根据频率分布直方图解决问题．(数据分析、直观想象)3.了解用样本估计总体的意义．(数学抽象)导思 1.频率分布直方图纵轴的含义是什么？2.频率分布直方图的制作步骤是什么？3.如何画频率折线图？1．频率分布表和频率分布直方图 (1)频率分布表编制的方法步骤：(2)频率分布表与频率分布直方图有什么不同？提示：频率分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律．2．频率折线图(1)在频率分布直方图中，按照分组原则，在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．(2)当样本容量不断增大时，样本中落在每个区间内的样本数的频率会越来越稳定于总体在相应区间内取值的概率．也就是说，一般地，样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确．(3)随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线．频率分布表、频率分布直方图与频率折线图各有什么优缺点？提示：①频率分布表：优点：频率分布表在数量表示上比较确切；缺点：不够直观、形象，分析数据分布的总体趋势不太方便；②频率分布直方图：优点：频率分布直方图能非常直观地表明数据分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式；缺点：从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了；③频率折线图：优点是它反映了数据的变化趋势．缺点：由图本身得不到原始的数据信息．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)频率分布直方图中的纵坐标指的是频率的值．()(2)频率分布直方图的宽度没有实际意义．()(3)频率分布直方图中各小矩形的面积之和可以不为1.()(4)在画频率折线图时，可以画成与横轴相连．()提示：(1)×.纵坐标指的是频率与组距的比值．(2) ×.频率分布直方图的宽度表示组距．(3)×.各小矩形的面积之和一定为1.(4) √.为了方便看图，一般习惯把频率折线图画成与横轴相连，所以横轴上左右两端点没有实际的意义．2．已知一个容量为40的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为5，6，7，10，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是________，频率是________. 【解析】第五组的频数为0.2×40＝8.所以第六组的频数为40－5－6－7－10－8＝4.频率为440＝0.1.答案：40.13．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50，60)内的汽车有________.【解析】因为小长方形的面积即为对应的频率，时速在[50，60)内的频率为0.3，所以有200×0.3＝60(辆).答案：60辆4．(教材例题改编)一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为50和0.25，则n＝________．【解析】由题意得50n＝0.25，所以n＝200.答案：200类型一频率分布直方图的绘制(数据分析、直观想象)【典例】1.频率分布直方图中，小矩形的面积等于()A．组距B．频率C．组数D．频数2．调查某校高一年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图．【思路导引】1.根据频率直方图中小矩形的几何意义，即可求解． 2．极差＝180－151＝29，组距为3，可分为10组．【解析】1.选B.根据小矩形的宽及高的意义，可知小矩形的面积为一组样本数据的频率．2．(1)①求极差：从数据中可看出，最大值是180，最小值是151，故极差为180－151＝29.②确定组距与组数：取3为组距，则极差组距 ＝293 ＝923 ，故可将样本数据分成10组．③第一组起点定为150.5，组距为3，这样分出10组：[150.5，153.5)，[153.5，156.5)，[156.5，159．5)，[159.5，162.5)，[162.5，165.5)，[165.5，168.5)，[168.5，171.5)，[171.5，174.5)，[174.5，177.5)，[177.5，180.5]. ④列频率分布表174.5～177.510.025177.5～180.510.025(2)画频率分布直方图如图所示：绘制频率分布直方图的注意事项(1)计算极差，需要找出这组数的最大值和最小值，当数据很多时，可选一个数当参照．(2)将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多．(3)将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点．(4)列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内，以“正”字确定各个小组内数据的个数．(5)画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定不能标成频率．1．有一个容量为45的样本数据，分组后各组的频数如下：(12.5，15.5]，3；(15.5，18.5]，8；(18.5，21.5]，9；(21.5，24.5]，11；(24.5，27.5]，10；(27.5，30.5]，4.由此估计，不大于27.5的数据约为总体的()A．91% B．92% C．95% D．30%【解析】选A.不大于27.5的样本数为：3＋8＋9＋11＋10＝41，所以约占总体百分比为4145×100%≈91%.2．某中学同年级40名男生的体重数据如下(单位：千克)：616059595958585757575756 565656565656555555555454 54545353525252525251515150504948列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图． 【解析】①计算极差：61－48＝13(千克)； ②决定组距与组数，取组距为2，因为132 ＝612 ，所以共分7组；③决定分点，使分点比数据多一位小数．并把第1小组的分点减小0.5，即分成如下7组：47．5～49.5，49.5～51.5，51.5～53.5，53.5～55.5，55.5～57.5，57.5～59.5，59.5～61.5.④列出频率分布表如下：分组(Δx i ) 频数(n i ) 频率(f i ) 47.5～49.5 2 0.05 49.5～51.5 5 0.125 51.5～53.5 7 0.175 53.5～55.5 8 0.20 55.5～57.5 11 0.275 57.5～59.5 5 0.125 59.5～61.5 2 0.05 合计401.00⑤作出频率分布直方图如下：3．某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：107～109，3株；109～111，9株；111～113，13株；113～115，16株；115～117，26株；117～119，20株；119～121，7株；121～123，4株；123～125，2株．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在109～121范围内的可能性是百分之几．【解析】(1)频率分布表如下：分组频数频率累积频率107～10930.030.03109～11190.090.12111～113130.130.25113～115160.160.41115～117260.260.67117～119200.200.87119～12170.070.94121～12340.040.98123～12520.02 1.00合计100 1.00(2)频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在109～121范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在109～121范围内的可能性是91%.类型二频率折线图的画法及应用【典例】从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：40～50，2；50～60，3；60～70，10；70～80，15；80～90，12；90～100，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图及频率折线图； (3)估计成绩在60～90分的学生比例．【思路导引】画频率分布直方图和折线图⇒制作好频率分布表⇒纵坐标表示频率与组距的比值．【解析】(1)样本的频率分布表如下：成绩分组(Δx i ) 频数(n i ) 频率(f i ) f i Δx i 40～50 2 0.04 0.004 50～60 3 0.06 0.006 60～70 10 0.2 0.02 70～80 15 0.3 0.03 80～90 12 0.24 0.024 90～10080.160.016(2)频率分布直方图及频率折线图如图所示：(3)成绩在60～90的频率为1－0.04－0.06－0.16＝0.74， 所以可估计成绩在60～90分的学生比例为74%.本例条件不变，估计成绩在50～80分的学生的比例．【解析】成绩在50～60分的学生的频数为3，在60～70的学生的频数为10，在70～80分的学生的频数为15，所以成绩在50～80分的学生的频数为28，占总体的2850 ＝1425 .频率折线图的作法及应用(1)作法：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.(2)应用：频率折线图也是用一个单位长度表示一定的数量，但是，它是根据数量的多少在图中描出各个点，然后把各个点用线段顺次连接成的折线，因此，它不但可以表现出数量的多少，而且能够以折线的起伏，清楚而直观地表示出数量的增减变化的情况．提醒：画图时，横轴和纵轴的单位可不一致．有一个容量为100的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数如下：起始月薪(百元)[13，14)[14，15)[15，16)[16，17) 频数7112623起始月薪(百元)[17，18)[18，19)[19，20)[20，21]频数1584 6(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率折线图；(3)根据频率分布估计该校毕业生起始月薪低于2 000元的频率．【解析】(1)样本的频率分布表为起始月薪(百元)频数频率[13，14)70.07[14，15)110.11[15，16)260.26[16，17)230.23[17，18)150.15[18，19)80.08[19，20)40.04[20，21]60.06总计100 1.00(2)频率分布直方图和频率折线图如图．(3)起始月薪低于2 000元的频率为0.07＋0.11＋…＋0.04＝0.94，故起始月薪低于2 000元的频率的估计值是0.94.【补偿训练】某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80), [80，100].(1)求直方图中x的值；(2)如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1 000名新生中有多少名学生可以申请住宿．【解析】(1)由(x＋0.012 5＋0.006 5＋0.003×2)×20＝1，解得x＝0.025.(2)上学所需时间不少于40分钟的学生的频率为：(0.006 5＋0.003×2)×20＝0.25，估计学校1 000名新生中有1 000×0.25＝250名学生可以申请住宿．答：估计学校1 000名新生中有250名学生可以申请住宿．类型三用样本分布估计总体分布【典例】1.(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间2．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少；(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．【思路导引】1．利用频率分布直方图，计算出低于60分的人数的频率p，利用频数除以相应的频率p 得总人数．2．利用110次以上(含110次)的矩形面积除以所有的矩形面积之和，即可估计高一学生的达标率．【解析】1.选C. 低于4.5万元的比率估计为0.02×1＋0.04×1＝0.06＝6%，故A 正确；不低于10.5万元的比率估计为(0.04＋0.02×3)×1＝0.1＝10%，故B 正确；平均值为：(3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02)×1＝7.68万元，故C 不正确；4.5万元到8.5万元的比率为：0.1×1＋0.14×1＋0.2×1＋0.2×1＝0.64＝64%，故D 正确．2．(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此，第二小组的频率为：42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08. 又因为第二小组频率＝第二小组频数样本容量， 所以样本容量＝第二小组频数第二小组频率＝120.08 ＝150. (2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%. (3)由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内．用样本估计总体的常用方法(1)用频率分布表估计总体分布．根据样本数据可以制作频率分布表，利用频率分布表中的数据，如各小组的频数、频率，可以对总体中的有关量进行估计．(2)用频率分布直方图估计总体分布．根据样本数据绘制出的频率分布直方图具有直观的特点，可以直接判断出样本中数据的分布特点和变化趋势与规律，并由此对总体进行估计．(3)用频率折线图估计总体分布．由样本频率分布直方图可以绘制出频率折线图，且样本容量越大，分组的组距不断缩小，那么折线图就越接近于总体分布，从而由频率折线图对总体估计就越精确．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96，106](单位：厘米)，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].(1)求出x 的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本容量N 的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数．【解析】(1)由题意可知：(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x )×2＝1，解得：x ＝0.075.(2)设样本中身高小于100厘米的频率为p 1，所以，p 1＝(0.050＋0.100)×2＝0.30，而p 1＝36N ，所以N ＝36p 1＝360.30 ＝120. (3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为p 2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数n ＝p 2N ＝120×0.75＝90.。
高中数学 第一章 统计 1.5.1 估计总体的分布教案 北师
5．1 估计总体的分布整体设计教学分析教科书通过问题的探究，使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图和频率分布折线图．教科书在本节主要介绍了有关频率分布的列表和画图的方法，而关于频率分布的随机性和规律性方面则给教师留下了较大的发挥空间．教师可以通过初中有关随机事件的知识，也可以利用计算机多媒体技术，引导学生进一步体会由样本确定的频率分布表和频率分布直方图的随机性；通过初中有关频率与概率之间的关系，了解频率分布直方图的规律性，即频率分布与总体分布之间的关系，进一步体会用样本估计总体的思想．由于可以用样本频率分布直方图估计总体分布，因此可以用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特征，这就提供了估计总体特征的另一种途径，其意义在于：在没有原始数据而仅有频率分布的情况下，此方法可以估计总体的分布特征．三维目标1．通过实例体会分布的意义和作用，通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法．2．在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法．3．通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地作出总体估计，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系．重点难点教学重点：会列频率分布表、画频率分布直方图和频率折线图．教学难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在美国男子篮球职业联赛的2011～2012赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50；乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33.请问从上面的数据中你能否看出甲、乙两名运动员在2011～2012赛季中，哪一位发挥比较稳定吗？如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布(板书课题)．课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布．思路3.讨论：我们要了解我校学生每月零花钱的情况，应该怎样进行抽样？提问：我们学习了哪些抽样方法？一般在什么时候选取什么样的抽样方法呢？讨论：通过抽样方法收集数据的目的是什么？(从中寻找所包含的信息，用样本去估计总体)指出两种估计手段：一是用样本的频率分布估计总体的分布，二是用样本的数字特征(平均数、标准差等)估计总体的数字特征．这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布．推进新课新知探究提出问题1．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费．如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？(让学生展开讨论)2．什么是频率分布？3．频率分布直方图的特征是什么？4．什么是频率分布折线图？讨论结果：1．为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等．因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况．分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格来改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息．表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式．下面我们学习的频率分布表和频率分布直方图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律．可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况．2．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小；一般用频率分布直方图来反映样本的频率分布．3．频率分布直方图的特征：(1)通过频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．(2)通过频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同．不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断．4．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．应用示例思路1例1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土．经考证，头盖骨的主人死于1665～1666年之间的大瘟疫．人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度，数据如下所示(单位：mm)：146 138 134 141 142 148 158 149 138141139146143146152135146145139147134143140143132141145140139142141148140148142142145141133138140141142144143141137149136140145145137143142141140138139148145153148131132140144139139121148141142140143136144136129144145140140143145138141143138141144141149143146140148150140143136137153139138148请你估计在1665～1666年之间，英国男性头盖骨宽度的分布情况．解：这里，如果把总体看作是1665～1666年之间的英国男性头盖骨的宽度，那么我们就是要通过上面挖掘出土得到的样本信息，来估计总体的分布情况．但从上面的数据很难直接估计出总体的分布情况，为此，我们可以先将以上数据按每个数据出现的频数和频率汇成下表：性头盖骨宽度主要在140～150 mm 之间，130 mm 以下以及150 mm 以上所占的比率相对较小等．但是，这些关于分布情况的描述仍不够形象，为了得到更为直观的信息，我们可以再将1中纵坐标的频数换成f iΔx i ，便可以得到图2.图1图2点评：当样本量较大时，样本中落在每个区间内的样本数的频率会稳定于总体在相应区间内取值的概率．因此，我们就可以用样本的频率分布直方图来估计总体在任意区间内取值的频率，也即总体的分布情况.变式训练1．有100名学生，每人只能参加一个运动队，其中参加足球队的有30人，参加篮球队的有27人，参加排球队的有23人，参加乒乓球队的有20人．(1)列出学生参加运动队的频率分布表．(2)画出频率分布条形图．解：(1)参加足球队记为1，参加篮球队记为2，参加排球队记为3，参加乒乓球队记为4图32.为了了解中学生的身体发育情况，对某中学17岁的60名女生的身高进行了测量，结果如下(单位cm)：154 159 166 169 159 156 166 162 158156 166 160 164 160 157 151 157 161158 153 158 164 158 163 158 153 157162 159 154 165 166 157 151 146 151160 165 158 163 163 162 161 154 165162 159 157 159 149 164 168 159 153列出样本的频率分布表，并绘出频率分布直方图.图4点评：以上两种情况的不同之处在于，前者的频率分布表列出的是几个不同数值的频率，相应的条形图是用其高度表示取各个值的频率；后者的频率分布表列出的是在不同区间内取值的频率，相应的直方图是用图表面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．我们在处理一个数理问题时可以采用样本的频率分布估计总体分布的方法，这是因为，频率分布随着样本容量的增大更加接近于总体分布，当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布的直方图就演变成一条光滑的曲线——总体密度曲线．这条曲线是客观存在的，但是我们却很难将它准确地画出，我们只能用样本的频率分布去对它进行估计．基于频率分布与相应的总体分布有这种关系，再加上我们通常并不知道一个总体的分布，我们往往是从一个总体中抽取一个样本，用样本的频率去估计相应的总体分布．一般说来，样本的容量越大，这种估计就越精确.思路2(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题．解：(1)(2)图5(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm 的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm 的人数占总人数的19%.变式训练从某校高一年级的1 002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，作出该样本的频率分布表，并估计身高不小于170 cm 的同学所占的百分率．⎝ ⎛⎭⎪⎫0.14×171.5－170171.5－168.5＋0.07＋0.04＋0.03×100%＝21%.例2 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图6)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．图6分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.解：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08； 又因为频率＝第二小组频数样本容量，所以样本容量＝第二小组频数第二小组频率＝120.08＝150. (2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%. (3)由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114.故跳绳次数的中位数落在第四小组．知能训练1．有一个容量为45的样本数据，分组后各组的频数如下：(12.5,15.5]，3；(15.5,18.5]，8；(18.5,21.5]，9；(21.5,24.5]，11；(24.5,27.5]，10；(27.5,30.5]，4.由此估计，不大于27.5的数据约为总体的( )．A ．91%B ．92%C ．95%D ．30%答案：A2．有一个容量为20的样本数据，数据的分组及各组的频数如下：(10,20)，2；(20,30)，3；(30,40)，4；(40,50)，5；(50,60)，4；(60,70)，2.则样本在区间(－∞，50)上的频率为( )．A ．0.5B ．0.7C ．0.25D ．0.05 答案：B3．一个高中研究性学习小组对本地区2010年至2012年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图7)，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭______万盒．快餐公司个数情况图快餐公司盒饭年销售量的平均数情况图图7答案：85拓展提升为了了解一大片经济林的生长情况，随机测量了其中的100株的底部周长，得到如下数cm的树木约占多少？周长不小于120 cm的树木约占多少？解：(1)这组数据的最大值为135，最小值为80, 极差为55，可将其分为11组，组距为5.图8(3)从频率分布表可知，样本中小于100的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，样本中不小于120的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19，据此可估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占21%，周长不小于120 cm的树木约占19%.课堂小结总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布．作业习题1—5 1,2.设计感想本节课是高一新课程必修3第一章《统计》中的第五节《用样本估计总体》的第一节课，尽管用样本估计总体是一种实用性很强，操作烦琐、麻烦的工作，但却是统计学中常用的方法，在生产、生活中应用非常广泛．用样本估计总体，其实就是一种“以偏概全”“以部分代替全部”的思想．虽然有贬义的成分，但我们还是要认真去教好学好，而且，这也是平时考试和高考中的重点内容之一．本节要解决的问题就是：为何要用样本估计总体——社会生产、生活的实际需要(必要性)，如比赛、竞技中预测结果，评判质量谁好谁差，水平谁高谁低经常要用到．如何去用样本估计总体——用样本的频率分布去估计总体的频率分布；怎样用样本估计总体——作出样本频率分布表或频率分布直方图，懂得用“数据”语言说话．另外，本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例，对学生进行思想情操教育、意志教育并增强学生的自信心，使学生养成良好的学习态度．备课资料备用习题下表是1 002名学生身高的频率分布表，根据数据画出：(1)频率分布直方图；①根据频率分布表，作直角坐标系，以横轴表示身高，纵轴表示f iΔx i(如图9)．图9②在横轴上标上表示的点．③在上面各点中，分别以连接相邻两点的线段为底作矩形，高等于该组的频率组距. 一般地，作频率分布直方图的方法为：把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，以此线段为底作矩形，高等于该组的频率组距，这样得到一系列矩形，每一个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形构成了频率分布直方图．(2)频率分布折线图在频率分布直方图中，取相邻矩形上底边的中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图(简称频率折线图)如图10.图10。
北师大版高中数学课本目录大全(必修)
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一1、集合的基本关系ﻫ·２、集合·第一章集合(考点的难度不是很大，是高考的必考点)ﻫ·的含义与表示ﻫ·３、集合的基本运算（重点)（2课时）1、生活中的变量关系··第二章函数ﻫ·4、二次函数性质的再研究（重点)3、函数的单调性(重点)ﻫ· 2、对函数的进一步认识ﻫ··５、简单的幂函数(５课时）ﻫ·第三章指数函数和对数函数·2、指数概念的扩充·１、正整数指数函数ﻫ· 3、指数函数（重点)· 4、对数· 5、对数函数（重点)· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）（3课时）ﻫ·第四章函数应用ﻫ·１、函数与方程ﻫ·2、实际问题的函数建模（２课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步ﻫ·1、简单几何体ﻫ2、三视图(重点)·· 3、直观图(１课时)ﻫ·４、空间图形的基本关系与公理（重点）ﻫ·５、平行关系（重点)ﻫ·６、7、简单几何体的面积和体积(重点)·垂直关系(重点)ﻫ· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点)(4课时)·第二章解析几何初步·3、空间直角坐标系· 1、直线与直线的方程ﻫ·２、圆与圆的方程ﻫ（4课时）北师大版高中数学必修三1、统计活动：随机选取数字··第一章统计ﻫ· 2、从普查到抽样ﻫ·3、抽样方法6、用样本估计总体·4、统计图表ﻫ·5、数据的数字特征（重点）ﻫ·· 7、统计活动:结婚年龄的变化· 8、相关性ﻫ·９、最小二乘法（３课时)ﻫ·第二章算法初步· 1、算法的基本思想·3、排序问题（重点)· 2、算法的基本结构及设计（重点)ﻫ·4、几种基本语句(2课时）1、随机事件的概率(重点)··第三章概率ﻫ· 2、古典概型(重点)·３、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（４课时）ﻫ北师大版高中数学必修四·第一章三角函数·１、周期现象与周期函数ﻫ·2、角的概念的推广ﻫ·3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数(重点)· 6、正切函数(重点)·７、函数的图像(重点）·８、同角三角函数的基本关系(重点、难点)(５课时）1、从位移、速度、力到向量ﻫ·２、从位移的合成到向量的加法（重ﻫ·第二章平面向量ﻫ·3、从速度的倍数到数乘向量（重点)·点）ﻫ· 4、平面向量的坐标(重点)·５、从力做的功到向量的数量积（重点）ﻫ·6、平面向量数量积的坐标表示(重点)·７、向量应用举例（难点）(5课时）ﻫ·第三章三角恒等变形(重点）·2、二倍角的正弦、余弦和正切·１、两角和与差的三角函数ﻫ·3、半角的三角函数·４、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用(难点）（4课时）北师大版高中数学必修五·第一章数列ﻫ·1、数列的概念· 2、数列的函数特性4、等差数列的前n项和（重点）· 3、等差数列（重点）ﻫ·· 5、等比数列(重点)·６、等比数列的前n项和(重点）ﻫ·7、数列在日常经济生活中的应用·3、2、正弦定理ﻫ1、正弦定理与余弦定理正弦定理ﻫ（6课时)ﻫ·第二章解三角形(重点）ﻫ··4、三角形中的几何计算（难点)ﻫ·５、解三角形的实际应用举例·余弦定理ﻫ(6课时）ﻫ·第三章不等式·1、不等关系ﻫ· 1.1、不等式关系· 1.2、比较大小（重点)ﻫ2，一元二次不等式（重点)ﻫ·２．1、一元二次不等式的解法（重点）ﻫ·２.２、一元二次不等式的应用【4课时】· 3、基本不等式（重点）3.1 基本不等式· 3.2、基本不等式与最大（小）值４线性规划（重点）·４.1、二元一次不等式(组）与平面区（重点)ﻫ·４.2、简单线性规划（重点）· 4.3、简单线性规划的应用(重点、难点) 【3课时】选修1-1第一章常用逻辑用语１命题2.2必要条件2充分条件与必要条件（重点）ﻫ2.1充分条件ﻫ2.３充要条件3全称量词与存在量词ﻫ3．１全称量词与全称命题ﻫ3．2存在量词与特称命题ﻫ3．3全称命题与特称命题的否定ﻫ4逻辑联结词“且’’‘‘或…‘非(重点)４．1逻辑联结词“且ﻫ4.２逻辑联结词“或4.3逻辑联结词‘‘非【1．5课时】ﻫ第二章圆锥曲线与方程（重点）ﻫ1椭圆ﻫ1．1椭圆及其标准方程1．2椭圆的简单性质ﻫ２抛物线2．1抛物线及其标准方程2．2抛物线的简单性质3 曲线3.2双曲线的简单性质3．1双曲线及其标准方程ﻫ【８课时】第三章变化率与导数（重点)ﻫ1变化的快慢与变化率ﻫ2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念ﻫ2.2导数的几何意义３计算导数(重点）ﻫ4导数的四则运算法则(重点）ﻫ4．１导数的加法与减法法则4.2导数的4.2导数的乘法与除法法则ﻫ第四章导数应用(重点)ﻫ4．１导数的加法与减法法则ﻫ乘法与除法法则【6课时】ﻫ选修１－2第一章统计案例1 回归分析ﻫ1．1 回归分析ﻫ１.2相关系数ﻫ1.３可线性化的回归分析ﻫ2独立性检验(重点、重点）2．１条件概率与独立事件２．2独立性检验2.３独立性检验的基本思想ﻫ２.4独立性检验的应用（重点、难点）【４课时】第二章框图（重点，高考必考点)1 流程图ﻫ2结构图【1．5课时】第三章推理与证明１归纳与类比ﻫ１．１归纳推理１.2类比推理ﻫ２数学证明3综合法与分析法3.1综合法3.2分析法4反证法【２课时】1.2复1.1数的概念的扩充ﻫﻫ第四章数系的扩充与复数的引入ﻫ1数系的扩充与复数的引入ﻫ数的有关概念（重点)ﻫ2复数的四则运算(重点、高考必考点)2.1复数的加法与减法ﻫ2．2复数的乘法与除法【1．5课时】ﻫ选修2－1ﻫ第一章常用逻辑用语1命题2充分条件与必要条件ﻫ３全称量词与存在量词４逻辑联结词“且”“或”“非”&…&…（重点）【1.5课时】第二章空间向量与立体几何(重点,在解决立体几何方面有很大的帮助）1 从平面向量到空间向量2 空间向量的运算ﻫ3向量的坐标表示和空间向量基本定理４用向量讨论垂直与平行ﻫ5夹角的计算ﻫ６距离的计算【６课时】ﻫ第三章圆锥曲线与方程(重点、高考大题必考知识点）1 椭圆ﻫ１．１椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质2 抛物线2.1抛物线及其标准方程3.1双曲线及其标准方程ﻫ３．２双曲线的简单性质2.2抛物线的简单性质ﻫ３双曲线ﻫﻫ4 曲线与方程４．1 曲线与方程４.2 圆锥曲线的共同特征ﻫ4．3 直线与圆锥曲线的交点【8课时】选修2-２第一章推理与证明(重点）ﻫ1归纳与类比ﻫ2综合法与分析法ﻫ3反证法4数学归纳法【2课时】ﻫ第二章变化率与导数（重点）ﻫ1变化的快慢与变化率ﻫ２导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2．2导数的几何意义ﻫ3计算导数ﻫ4导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则ﻫ4.２导数的乘法与除法法则5简单复合函数的求导法则【２课时】第三章导数应用（重点)１函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性ﻫ１.2函数的极值（重、难点)ﻫ2导数在实际问题中的应用ﻫ2．1实际问题中导数的意义２.2最大、最小值问题（重、难点）【5课时】第四章定积分１定积分的概念1.１定积分背景-面积和路程问题（重点)ﻫ1.2定积分２微积分基本定理3定积分的简单应用(重点)３.１平面图形的面积3.２简单几何体的体积【4课时】ﻫ第五章数系的扩充与复数的引入（重点)1 数系的扩充与复数的引入1．1数的概念的扩展１.2复数的有关概念2复数的四则运算ﻫ2.１复数的加法与减法2．2复数的乘法与除法【2课时】选修２-3第一章计数原理(重点）1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理1.2分步乘法计数原理ﻫ2．排列（重点、难点)ﻫ2.1排列的原理2.２排列数公式3．组合3.1 组合及组合数公式3.2 组合数的两个性质ﻫ４.简单计数问题ﻫ5.二项式定理(重、难点）5.2二项式系数的性质5.1二项式定理ﻫ【8课时】第二章概率（重点)ﻫ1．离散型随机变量及其分布列２.超几何分布ﻫ３.条件概率与独立事件４．二项分布５.离散型随机变量均值与方差5.1 离散型随机变量均值与方差（一）5．2离散型随机变量均值与方差（二)6．正态分布6．1 连续型随机变量6.2正态分布【4课时】ﻫ第三章统计案例1.1回归分析1.回归分析ﻫ1.2 相关系数1．3 可线性化的回归分析2.1独立性检验2.独立性检验（重点）ﻫ2．2 独立性检验的基本思想2.3 独立性检验的应用【2课时】选修3－1ﻫ第一章数学发展概述第二章数与符号ﻫ第三章几何学发展史ﻫ第四章数学史上的丰碑－－-－微积分第五章无限第六章数学名题赏析ﻫ选修3-2选修3-3ﻫ第一章球面的基本性质１.直线、平面与球面的我诶制关系ﻫ2．球面直线与球面距离ﻫ第二章球面上的三角形1.球面三角形2.球面直线与球面距离ﻫ3.球面三角形的边角关系4.球面三角形的面积【2课时】ﻫ第三章欧拉公式与非欧几何1.球面上的欧拉公式2.简单多面体的欧拉公式3．欧氏几何与球面几何的比较ﻫ选修4-1第一章直线、多边形、圆(重点）1.全等与相似ﻫ2.圆与直线ﻫ３.圆与四边形【2课时】第二章圆锥曲线ﻫ1．截面欣赏ﻫ2．直线与球、平面与球的位置关系3．柱面与平面的截面ﻫ4.平面截圆锥面5．圆锥曲线的几何性质【3课时】ﻫ选修4－２ﻫ第一章平面向量与二阶方阵ﻫ1平面向量及向量的运算２向量的坐标表示及直线的向量方程ﻫ3二阶方阵与平面向量的乘法ﻫ第二章几何变换与矩阵１几种特殊的矩阵变换2 矩阵变换的性质ﻫ第三章变换的合成与矩阵乘法ﻫ1变换的合成与矩阵乘法２矩阵乘法的性质ﻫ第四章逆变换与逆矩阵1 逆变换与逆矩阵2 初等变换与逆矩阵ﻫ3二阶行列式与逆矩阵4 可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量ﻫ1矩阵变换的特征值与特征向量ﻫ2特征向量在生态模型中的简单应用ﻫ选修4－4ﻫ第一章坐标系1 平面直角坐标系2 极坐标系ﻫ３柱坐标系和球坐标系ﻫ第二章参数方程ﻫ1参数方程的概念2 直线和圆锥曲线的参数方程ﻫ３参数方程化成普通方程4平摆线和渐开线ﻫ选修4-5第一章不等关系与基本不等式（重点）l不等式的性质ﻫ2含有绝对值的不等式（难点)3平均值不等式ﻫ４不等式的证明５不等式的应用第二章几个重妻的不等式1柯西不等式ﻫ2排序不等式ﻫ３数学归纳法与贝努利不等式选修4-6第一章带余除法与书的进位制１、整除与带余除法ﻫ2、二进制ﻫ第二章可约性１、素数与合数2、最大公因数与辗转相除法ﻫ３、算术基本定理及其应用ﻫ4、不定方程第三章同余ﻫ1、同余及其应用ﻫ2、欧拉定理还在更新。
2020年高一数学第一章统计5用样本估计总体5.1估计总体的分布5.2估计总体的数字特征课件北师大版必修3
练一练： (2)下列说法不正确的是( ) A．频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率 B．频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于 1 C．频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大 D．频率分布折线图是依次连接频率分布直方图的每个小矩 形上端中点得到的
频率 解析：频率分布直方图中每个小矩形的高为组距，所以 A 错 误，B、C、D 均正确． 答案：A
(1)求这 10 人在戒烟前和戒烟后的体重的平均数； (2)求这 10 人在戒烟前和戒烟后的体重的方差； (3)通过上述数据，你能得到什么结？
【解】 (1)将数据按从小到大的顺序重新排列； 戒烟前： 52,52,55,55,60,60,64,67,69,80； 戒烟后： 52,54,55,57,58,62,67,68,70,81.
求得 x 戒烟前＝61.4 kg， x 戒烟后＝62.4 kg. (2)s2戒烟前＝70.44，s2戒烟后＝73.84.
(3)从戒烟前后两组数据的统计量知：从平均数看戒烟后这 10 人的平均体重增加了 1 kg；从方差看，戒烟后数据的波动比戒 烟前数据波动大，说明戒烟对不同的人所发生的变化程度是不同 的，通过对这两组数据的统计分析，得出结论：吸烟有害健康， 戒烟对身体健康是有益的．
1．作频率分布直方图的一般步骤是什么？ (1)求极差．(2)决定组距与组数．一般样本容量越大，所分 组数越多；组距的选择力求“取整”；当样本容量不超过 120 时， 按照数据的多少，通常分成 5～12 组．(3)将数据分组．(4)列频
小组频数 率分布表，各小组的频率＝样本容量.(5)画频率分布直方图．
＝410[56－2 x ·40 x ＋40 x 2] ＝410(56－40 x 2) ＝41056－40×12 ＝0.9. 【答案】 0.9
用样本估计总体分布 课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
思考探究：频率分布直方图的应用
• 思考探究：频率分布直方图的应用
例：暑假期间某班为了增强学生的社会实践能力，把该 班学生分成四个小组
到一果园帮果农测量果树的产 量，某小组来到一片种植苹果的山地，他们随
机选 取 20 株作为样本测量每一株的果实产量(单位 : kg ），获得的数据按照
我们把这样的图称为频率分布直方图．
频率
频率
，即小长方形的高
；
1 纵轴表示
组距
组距
频率
频率;
2 小长方形的面积 组距
组距
3 各个小长方形的面积总和等于 1 .
• 二、频率分布直方图
基于上面的分析，思考：怎样根据样本数据画出频率分布直方图呢？
以教材例3为例，一起探究频率分布直方图的画法
3，分组，
由于8个组的总长度40mm>极差，可取第一组的左端点小于数据最小值，最后一组的
右端点大于数据最大值，分成 [120,125),[125,130), ,[155,160].
• 二、频率分布直方图
频率分布直方图的绘制
4.列表，统计出各组信息，如下表，
• 二、频率分布直方图
频率分布直方图的绘制
• 思考探究：频率分布直方图的应用
例：在某中学举行的物理知识竞赛中，将三个 年级参赛学生的成绩进行整理后分成 5 组，
绘制出 如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为 第一、第二、第三、第四、
第五小组。已知第三小 组的频数是 15 .
(1 ) 求成绩在 50, 70 内的频率；
2 求这三个年级参赛学生的总人数；
思考探究：频率分布直方图的应用
北师大版(2019)高中数学必修第一册课程目录与教学计划表
北师大版（2019）高中数学必修第一册课
程目录与教学计划表
教学计划、进度、课时安排
教材课本目录是一本书的纲领, 是
教与学的路线图。
不管是做教学计
划、实施教学活动, 还是做学习计
划、复习安排、工作总结, 都离不
开目录。
目录是一本书的知识框
架, 要做到心中有书、胸有成竹,
就从目录开始吧！
课程目录
必修第一册
第一章预备知识
1 集合
1.1 集合的概念与表示
1.2 集合的基本关系
1.3 集合的基本运算
本节综合与测试
2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
2.2 全称量词与存在量词
本节综合与测试
本节综合与测试
本章综合与测试
第七章概率
1 随机现象与随机事件
1.1 随机现象
1.2 样本空间
1.3 随机事件
1.4 随机事件的运算
本节综合与测试
2 古典概型
2.1 古典概型
2.2 古典概型的应用
本节综合与测试
3 频率与概率
4 事件的独立性
本章综合与测试
第八章数学建模活动（一）
1 走进数学建模
2 数学建模的主要步骤
3 数学建模活动的主要过程本章综合与测试
本册综合。
高中数学第1章统计55.1估计总体的分布5.2估计总体的数字特征课件北师大版必修3
1．平均数、中位数、众数、极差、方差等统计量是将多个数据 “加工”成一个数据，能更清楚地反映这组数据的某些重要特征，要 理解这些统计量表达的信息．
2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数 据可能不一致．
3．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成 五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、 三、四、五小组的频率分别是 0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
各小长方形的面积
1
2．频率分布折线图 (1)在频率分布直方图中，按照分组原则，在左边和右边各加一个区间，
从所加的左边区间的 中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至 右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图 ．
(2)当样本容量不断增大时，样本中落在每个区间内的样本数的频率会越
166
172
167
172
175
161
173
167
170
172
165
157
172
173
166
177
179
181
列出频率分布表，画出频率分布直方图及频率折线图．
[解] 在这个样本中，最大值为 181，最小值为 157，它们的极
差为 24，可以取组距为 4，根据题意列出样本的频率分布表如下表：
分组
频数
频率
已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为 0.30、 0.15、0.10、0.05，而第二小组的频数是 40，则参赛的人数是________， 成绩优秀的频率是________．
100 0.15 [设参赛的人数为 n，第二小组的频率为 1－(0.30＋ 0.15＋0.10＋0.05)＝0.4，
6.3 用样本估计总体分布 (教学课件)——高中数学北师大版(2019)必修第一册
6.0
5.5
6.8
6.0
6.3
5.5
5.0
6.3
5.2
6.0
7.0
6.4
6.4
5.8
5.9
5.7
6.8
6.6
6.0
6.4
5.7
7.4
6.0
5.4
6.5
6.0
6.8
5.8
6.3
6.0
6.3
5.6
5.3
6.4
5.7
6.7
6.2
5.6
6.0
6.7
6.7
6.0
5.6
6.2
6.1
5.3
6.2
6.8
6.6
4.7
表格称为频率分布表.
2.把表示样本数据分布规律的图形称为频率分布直方图.
3.制作频率分布表与频率分布直方图的一般步骤：
(1)求极差，即计算最大值与最小值的差.
(2)决定组距与组数.当样本量不超过100时，常分成5~12组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组
距应力求“取整”.
(3)将数据分组.
(4)列频率分布表.一般分四列：分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本量，频率合计是1.
画.
抽象概括
频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数.在实际问题中，
如果总体容量比较小，频数也可以较客观地反映总体分布；当总体容量较大时，频率就
能更客观地反映总体分布.
在统计中，经常要用样本数据的频率去估计总体中相应的频率，即对总体分布进行估计
学以致用
【例1】下面是某批乒乓球质量检查结果表：
5.7
5.7
北师大版数学高一新授课讲义1.5.1 估计总体的分布
第一章统计5.1 估计总体的分布一用样本的频率分布估计1．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小．一般用频率分布直方图反映样本的频率分布．2．频数分布直方图是以频数为纵坐标，数据观测值为横坐标，以组距为底边，落入组入的数据频数同为高，画出一系列矩形，这样得到的图形为频数直方图，简称直方图．3．频率分布直方图是利用直方图反映样本的频率分布规律，它比频率分布表更直观地反映样本的分布规律，简称频率直方图．4．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．例1 为了了解中年人在科技队伍中的比例，对某科研单位全体科技人员的年龄进行登记，结果如下(单位：岁)44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，45，28．列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．解： (1)求数据最大值和最小值：已知数据的最大值是67，最小值是28∴最大值与最小值之差为67-28=39(2)求组距与组数：组距为5(岁)，分为8组．(3)决定分点．(4)列频分布表：(5)绘频率分布直方图如图所示：例2分组频数累计频数频率[150.5,153.5) 4 4 0．04[153.5,156.5)12 8 0．08[156.5,159.5)20 8 0．08[159.5,162.5)31 11 0．11[162.5,165.5)53 22 0．22[165.5,168.5)72 19 0．19[168.5,171.5)86 14 0．14[171.5,174.5)93 7 0．07[174.5,177.5)97 4 0．04[177.5,180.5]100 3 0．03 合计100 1 （1）根据数据画出频率分布直方图；（2）画出频率分布折线图．解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）频率折线图如图所示：例3下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高区间界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)[142,146)人数5810223320区间界限[146,150)[150,154)[154,158)人数1165(1)列出样本频率分布表﹔(2)一画出频率分布直方图;(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比．．规范解：（１）样本频率分布表如下：（２）其频率分布直方图如图所示：（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0．04+0．07+0．08=0．19，所以我们估计身高小于134cm 的人数占总人数的19%．例4（2006年全国II 卷）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图1—6—10）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．图1—6—10解：由直方图可得[2500,3000)（元）月收入段共有2500)]25003000(0005.0[10000=-⨯⨯，则在这段人中按分层抽样应抽出25100001002500=⨯人．练习1． 频率分布直方图的重心是（ ）A ．众数B ．中位数C ．标准差D ．平均数2．（2007年天津文13）（11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）分组 [)90100， [)100110， [)110120， [)120130， [)130140， [)140150， 频数123101则这堆苹果中，质量不小于．．．120克的苹果数约占苹果总数的 ％．3．在举国上下众志成城抗击“非典”的斗争中，疫情变化牵动着全国人民的心．请根据下面的疫情统计图表1—6—11回答问题．图1—6—11(1)图1—6—11是5月11日至5月29日全国疫情每天新增数据统计走势图，观察后回答：①每天新增确诊病例与新增疑似病例人数之和超过100人的天数共有__________天； ②在本题的统计中，新增确诊病例的人数的中位数是___________；③本题在对新增确诊病例的统计中，样本是_____________，样本容量是__________． (2)下表是我国一段时间内全国确诊病例每天新增的人数与天数的频率统计表．(按人数分组)分组 0~9 10~19 20~29 30~39 40~49 50~59 频数 4 5 1 0 2 频率 0．275 0．1 0．025 0 0．05 分组 60~69 70~79 80~89 90~99 100以上 合计 频数 1 1 2 0 13 频率0．0250．0251．00①100人以下的分组组距是________； ②填写本统计表中未完成的空格；③在统计的这段时期中，每天新增确诊病例人数在80人以下的天数共有_________天．4．某校抽检64名学生的体重如下(单位：千克)．列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．5．为了了解一大片经济林生长情况，随机测量其中的100株的底部周长，得到如下数据表（单位：cm）135 98 102 110 99 121 110 96 100 103125 97 117 113 110 92 102 109 104 112109 124 87 131 97 102 123 104 104 128105 123 111 103 105 92 114 108 104 102129 126 97 100 115 111 106 117 104 109111 89 110 121 80 120 121 104 108 118129 99 90 99 121 123 107 111 91 10099 101 116 97 102 108 101 95 107 101102 108 117 99 118 106 119 97 126 108123 119 98 121 101 113 102 103 104 108（1（2）绘制频率分布直方图；（3）估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少，周长不小于120cm的树木约占多少．。
高中数学第一章统计1.5用样本估计总体知识导航北师大版必修3word版本
§5用样本估计总体知识梳理1.在实际问题中,直接得到总体的全部数字信息往往比较困难,而常常进行抽样调查,即从总体中抽取一部分作为样本,并用样本的各种信息来估计总体的情况,主要包括样本数据的频率分布和基本数字特征.2.要估计总体频率分布情况,我们常用频率分布直方图和频率折线图来表达.3.在频率分布直方图中,纵轴表示各组的宽度,数据落在各小组内的频率用小矩形表示.各个小矩形的面积总和为1.4.连接频率分布直方图中各小矩形上端的中点,就得到频率分布折线图.随着样本容量的不断增加,所分的区间数也不断增加,而区间的长度在不断减小,相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线.知识导学在前面我们学习的三种不同的抽样方法,目的是为了从总体中获得一个易得、有代表性的样本,这是统计的任务之一;统计的第二任务是用样本来估计总体,这也是统计的基本思想.用样本的情况估计总体的相应情况,大体上有两类,其中之一就是本节要学的“用样本的频率分布估计总体分布”.所以在学本节前,需系统回顾抽样方法学习时可结合图形的变化,即由样本数据的频率分布直方图→折线图→总体密度曲线,理解样本数据的重要性和用样本估计总体的可行性对于总体中个体取值较少的情况,我们常用条形图表示其样本分布;而对于个体取值较多或无限的总体,我们则常用频率分布直方图、频率分布表、频率分布折线图等图表形式表示样本分布.一般样本容量越大,这种估计越精确.特别注意:列(画)频率分布表(直方图)时的求解顺序,并明确频率分布直方图中,每个小矩形的面积等于相应各组的频率,而各组频率的和等于1(即各个小矩形面积之和为1),体会当样本容量无限增大时,组数也相应无限增多,此时频率分布折线图就无限接近一条光滑的曲线——总体密度曲线.本节的重点是在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表、画频率分布直方图和频率折线图,体会它们各自的特点本节的难点是对总体分布概念的理解和统计思想的建立疑难突破1.在统计中,经常用数据的频率分布直方图来估计总体的分布情况.直方图中样本的分布和总体分布的关系是什么剖析:当样本容量较大时,样本中落在每个区间内的样本数的频率会稳定于总体在相应区间内取值的概率.因此,我们可以用样本的频率分布直方图来估计总体在任意区间内取值的频率,也即总体的分布情况.由刚才分析可知,在样本的频率分布中,随着样本容量的不断扩大,其分布越来越接近总体分布,当样本容量无限加大,而组距无限缩小时,频率分布直方图的上方将演变成一条光滑的曲线在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间,从所加的左边区间的中点开始,用线段依次连结各个矩形的顶端中点,直至右边所加区间的中点,就可以得到一条折线,我们称之为频率折线图,有时也用它来估计总体的分布情况.下面就作上面产品尺寸那个例子的频率折线图1-5-1,注意观察它与前几个图的不同点图1-5-1由前面我们已经知道:频率分布直方图的面积为 1.同样,我们不难证明:折线与横轴所围成的面积也是1,因此,当样本容量比较大时,我们还可以用频率折线图来估计总体的分布情况.2.用样本估计总体是统计的基本思想.那么在对总体分布的估计中是怎样体现这一思想的? 剖析:用样本估计总体的某一指标的时候,由于样本毕竟不是总体,所以用样本来估计总体一般来说是有误差的,只是误差的大小而已.当样本的选取合理,具有代表性的时候误差就很小.例如,在全国范围内的测验中,如果民意测验者走进大学校园里去访问1 000名大学生,对他们进行民意调查,他们所组成的样本将不会公平地代表全国的民意,这是因为大学生选民的比例很小,而且是一个有倾向性的团体,不能代表全体选民,这样的不公平就使得样本估计总体的误差比较大,这就是样本的选取不合理造成的典题精讲例1 某公司对已制造出售的洗衣机安全无故障运行时间进行抽样调查,以便制定技术更新计划,调查情况如下表所示:已购时间(h) 1 500~3 000 3 000~4 500 4 500~6 000 6 000~7 500 7 500~9 000 台数300 450 1 200 600 450(1)列出频率分布表(2)画出频率分布直方图(3)估计机器无故障时间7 500 h以内的可能性思路分析:从所给的数据表格我们知道总样本数为300+450+1 200+600+450=3 000,区间组数已经给划分好了,直接就可列出频率分布表,进而画出频率分布直方图,回答问题解:(1)样本频率分布表如下表:无故障时间(h) 频数频率累积频率1 500~3 000 300 0.10 0.13 000~4 500 450 0.15 0.254 500~6 000 1 200 0.40 0.656 000~7 500 600 0.20 0.857 500~9 000 450 0.15 1合计 3 000 1(2)频率分布直方图如图1-5-2所示图1-5-2(3)由题意可知机器无故障时间7 500 h以内的可能性就是机器无故障时间1 500~3 000 h,3 000~4 500 h,4 500~6 000 h,6 000~7 500 h的频率之和,即绿色通道:频率=,某数值对应的累积频率=该数值的所有区间对应的频率的和(如果有的话).该行的累积频率=该行和该行前面的所有行(如果有的话)的频率的总和=前一行累积频率+该行的频率;频率分布直方图中每个矩形的面积就等于相应组的频率,即×组距=频率,各组频率的和等于1,因此,各小矩形的面积的和等于1.变式训练为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了地区内100名年龄为17.5~18岁的男生的体重情况,结果如下(单位:kg).56.5 69.5 65 61.5 64.5 66.5 64 64.5 76 58.572 73.5 56 67 70 57.5 65.5 68 71 7562 68.5 62.5 66 59.5 63.5 64.5 67.5 73 6855 72 66.5 74 63 60 55.5 70 64.5 5864 70.5 57 62.5 65 69 71.5 73 62 5876 71 66 63.5 56 59.5 63.5 65 70 74.568.5 64 55.5 72.5 66.5 68 76 57.5 60 71.557 69.5 74 64.5 59 61.5 67 68 63.5 5859 65.5 62.5 69.5 72 64.5 75.5 68.5 64 6265.5 58.5 67.5 70.5 65 66 66.5 70 63 59.5试根据上述数据画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计解:按照下列步骤获得样本的频率分布(1)求最大值与最小值的差在上述数据中,最大值是76,最小值是55,极差是76-(2)确定组距与组数如果将组距定为2,那么由21÷2=10.5,组数为11,这个组数是适合的.于是组距为2,组数为(3)决定分点根据本例中数据的特点,第1小组的起点可取为54.5,第1小组的终点可取为56.5,为了避免一个数据既是起点,又是终点从而造成重复计算,我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样,所得到的分组是［54.5,56.5),［56.5,58.5),…,［74.5,76.5］(4)列频率分布表.分组频数频率［54.5,56.5) 2 0.02［56.5,58.5) 6 0.06［58.5,60.5) 10 0.10［60.5,62.5) 10 0.10［62.5,64.5) 14 0.14［64.5,66.5) 16 0.16［66.5,68.5) 13 0.13［68.5,70.5) 11 0.11［70.5,72.5) 8 0.08［72.5,74.5) 7 0.07［74.5,76.5］ 3 0.03合计100 1.00(5)绘制频率分布直方图频率分布直方图如图1-5-3所示图1-5-3由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率,这个图形的面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面,频率分布表比较确切,频率分布直方图比较直观,它们起着相互补充的作用.在得到了样本的频率后,就可以对相应的总体情况作出估计.例如可以估计体重在［64.5,66.5) kg的学生最多,约占学生总数的16%;体重小于58.5 kg 的学生较少,约占8%等例2对某班50人进行智力测试,其得分为:62,46,63,56,92,74,48,64,41,86,79,71,69,82,85,68,64,62,68,81,57,93,53,74,76,56,78,47,66,55,64,52,87,69,43,73,97,68,56,67,59,78,52,79,44,55,69,57,31,54.(1)列出频率分布表及相应的频率分布直方图(2)由频率分布直方图你能看出点什么吗思路分析:这个样本量较大并且含有相同数据的样本少,需按照我们前面所说的五步来操作频率分布直方图,关于第(2)问由频率分布直方图的意义不难看出解:(1)由于最大值为97,最小值为31,则组距为10,各区间为［30,40),［40,50),［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］共7个区间,所以频率分布表如下:区间［30,40) ［40,50) ［50,60) ［60,70) ［70,80) ［80,90) ［90,100］频数 1 6 12 14 9 6 2频率0.02 0.12 0.24 0.28 0.18 0.12 0.04频率分布直方图(图1-5-4)为图1-5-4(2)由频率分布直方图可以看出,智力处在中等的频率较大,而智力成绩特别高和特别低的频率比较小绿色通道:在作频率分布直方图时可按下列步骤完成:第一步,找出最大值与最小值,计算其差;第二步,决定组距,从而得出组数;第三步,决定第一组的起点(一般稍微小一点),从而决定各个分段点;第四步,算出各组的频数与频率,从而列出频率分布表;第五步,画出频率分布直方图.变式训练在风帆比赛中,成绩以低分为优胜,比赛共11场,并以最佳的9场成绩计算最终的名次,前7场比赛结束后,五名选手的积分情况如下表所示.运动员比赛场次总分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11甲 3 2 2 2 4 2 7 22乙 2 3 6 1 10 5 5 32丙7 8 4 4 3 1 8 35丁 5 5 14 5 5 6 4 44戊 4 13 5 9 2 7 6 46根据上面的比赛结果,请你比较各选手之间的成绩,并预测谁将获得最后的胜利思路分析:可以先用样本平均数与标准差来分析.把前7场比赛成绩看成一个样本,由样本去估计总体解:分别计算这五位选手前7场比赛积分的平均数和标准差=3.14,=4.57,=5.00,=6.29,=6.57;s甲=1.73,s乙=2.77,s丙=2.51,s丁=3.19,s戊由此可以看出甲的成绩最为优异,而且表现也最为稳定,把前7场比赛的成绩看作是总体的一个样本,可以估计每位运动员最后比赛的成绩,因此预测甲会获胜问题探究问题我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准a定为多少比较合适呢?你认为,为了较合理地确定这个标准,需要做哪些工作导思:为了制定出居民用水量的标准,需要了解广大居民的实际月用水量大部分在什么数值范围内.但由于居民户较多,全部调查不易操作,故可采取抽样调查的方式获取一个有代表性的样本,然后通过样本的情况估计所有居民的月用水量,以便制定出这个标准探究:很显然,如果标准太高,会影响居民的日常生活;如果标准太低,则不利于节水.为了确定一个较合理的标准,必须先了解居民日常用水的分布情况,比如月平均用水量在哪个范围内的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等由于城市居民户较多,通常采用抽样调查的方式,通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.假设通过抽样我们获得了100位居民今年的月均用水量(单位100位居民2006年的月均用水量(单位3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.93.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.33.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.53.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.63.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.83.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.72.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.92.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.52.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.82.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6面对这些随意记录的数据,除了发现月用水量的最大值是4.3和最小值是0.2之外,很难再看出其他信息.为此我们需要对这些数据进行分析整理.分析数据的一种最基本的方法是用图(即频率分布直方图)将它们画出来,以便从数据中提取信息和传递信息,或者是用紧凑的表格(即频率分布表)改变数据的排列方式.下表是100位居民2006年的月均用水量的频率分布表:分组频数频率［0,0.5) 4 0.04［0.5,1) 8 0.08［1,1.5) 15 0.15［1.5,2) 22 0.22［2,2.5) 25 0.25［2.5,3) 14 0.14［3,3.5) 6 0.06［3.5,4) 4 0.04［4,4.5］ 2 0.02合计100 1.00频率分布直方图如图1-5-5所示图1-5-5上面的图和表显示了样本数据落在各个小组的比例大小.从中我们可以看到,月用水量在区间［2,2.5)内的居民最多,在［1.5,2)的次之,大部分居民的月用水量都在［1,3)之间,其中月用水量在3 t以上的居民所占的比例为6%+4%+2%=12%,即大约占12%的居民月用水量在3 t 以上,88%的居民月用水量在3 t以下.因此居民月用水量标准定为3 t是一个可以考虑的标准。
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学习目标
思维脉络
1.理解什么是频率分布表、频率分
布直方图、频率折线图.
2.会列频率分布表,会画频率分布直
方图和频率折线图,能根据频率分
布直方图解决问题.
3.了解用样本估计总体的意义.
1.估计总体分布的相关概念 (1)总体分布:一般地,总体分布是指总体中个体所占的比例. (2)样本频率分布表:是把样本数据重新汇总而成的一个表格,表中 栏 (小3)目矩频有形率样 的分本 面布宽 积直度 恰方分 为图组 相:每应(Δ个x的i小);频频矩率数形f(i的.n通i)宽;常频度我率为们(fΔi)称.xi这(分样组的的图宽形度为),高频为率分Δ������������������������ , 布直方图. (4)频率折线图:在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右 边各加一个区间,从所加的左边区间的中点开始,用线段依次连接 各个矩形的顶端中点,直至右边所加区间的中点,就可以得到一条 折线,我们称之为频率折线图.
5∶7∶12∶10∶6,则全市高一新生视力在[3.95,4.25]范围内的学生
约有多少人?
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
错解因为第五小组的频率是 0.5,所以第一小组的频率为
0.5×56
=
5 12
.所以全市
6
万名高一新生中视力在[3.95,4.25]范围内的
学生约有 60 000×152=25 000(人).
反思感悟1.可按照画频率分布直方图的一般步骤画出频率分布 直方图,特别要注意的是纵坐标表示的是频 组率 距 ,而不是频率.
2.对数据进行分组时,确定好分点是关键,通常有两种方法: (1)改变数据位数,若数据为整数,则分点数据减去0.5;若数据是小 数点后有1位的数,则分点数据减去0.05,依此类推. (2)不改变数据位数,但要注意分组后,每组的起点数据包含在该 组内,终点数据不包含在该组内. 3.画频率折线图时,应先作出频率分布直方图,再在最左边和最右 边各添加一个区间,依次取出矩形顶端的中点,然后即可画出频率 折线图.
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
解:(1)频率分布表如下:
分组
频数累计 频数
12.5~15.5 3
3
15.5~18.5 11
8
18.5~21.5 20
9
21.5~24.5 31
11
24.5~27.5 41
10
27.5~30.5 46
5
30.5~33.5 50
4
合计
50
频率
0.06 0.16 0.18 0.22 0.20 0.10 0.08
“×”.
(1)频率分布直方图中小长方形的高表示取某数的频率. ( ) (2)频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1. ( )
(3)频率分布直方图中小长方形的面积等于该组的频率×组距.
() (4)频率分布折线图能反映数据的增减趋势. ( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
探究一
探究二
频率=频数.
(3)在频率分布直方图中,各小长方形的面积总和等于 1.
(4)在频率分布直方图中,各小长方形的面积之比等于频率之比,
高度之比也等于频率之比.
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
变式训练2如图所示是总体的一个样本频率分布直方图,且在 [15,18)内频数为8.
(1)求样本在[15,18)内的频率; (2)求样本容量; (3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在[18,33)内的频数.
(2)频率分布直方图的画法步骤
①列频率分布表; ②画坐标系,以横轴表示样本的分组,以纵轴表示频率与分组的宽 度 ③按的照比频Δ���������������率��������� ;分布表中的数据作出各个小矩形,即得频率分布直方图.
(3)频率折线图的画法步骤
①绘制频率分布直方图; ②取点:取各个小矩形的顶端的中点,再在原分组的左、右两边各
频率
组距 ,
每个小长方形的面积才能代表对应各段内频率值.
2.该例题产生错误的根源就是把图中标注的0.5看成了第五组的
频率,而实际上0.5×0.3=0.15才是对应的频率,因此正确认识频率分
布直方图的意义是解决问题的关键.
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变式训练有一容量为500的样本,把数据分成7组,它的频率分布
100
频率(f i)
0.04 0.14 0.18 0.22 0.20 0.12 0.08 0.02
1.00
fi ������xi 0.02 0.07 0.09 0.11 0.10 0.06 0.04 0.01
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②频率分布直方图和频率折线图如图所示.
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A.90 B.75 C.60 D.45
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解析:(1)在频率分布直方图中,分组的宽度为1,于是有
(0.1+0.15+2x+0.35)×1=1,解得x=0.2.
(2)样本中成绩小于100分的频率为(0.050+0.100)×2=0.3. ∴样本容量为 n=03.63=120. ∴样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数为 120×(0.100+0.150+0.125)×2=90.
规律总结几种表示样本分布方法的比较 (1)频率分布表:频率分布表在数量表示上比较确切,但不够直观、 形象,分析数据分布的总体趋势不太方便. (2)频率分布直方图:频率分布直方图能非常直观地表明数据分布 的形状,使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式.但是从 直方图本身得不出原始的数据内容,也就是说,把数据表示成直方 图后,原有的具体数据信息就被抹掉了. (3)频率折线图:频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势. 如果样本容量不断增大,分组的宽度不断缩小,那么折线图就趋向 于一条光滑曲线.
增加一个小区间,取其中点(这两个端点没有实际意义);
③连线:用直线段顺次连接这些中点,就得到频率折线图.
【做一做2】 已知一个样本:30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,
28,25,21,23,25,27,29,25,28. (1)列出样本的频率分布表. (2)画出频率分布直方图和频率折线图. 解:(1)计算极差:30-21=9. 决定组距和组数:取组距为2. 因为92=
(1)答案:C
(2)解:①频率分布表如下:
数据分组(Δxi)
153.5~155.5 155.5~157.5 157.5~159.5 159.5~161.5 161.5~163.5 163.5~165.5 165.5~167.5 167.5~169.5 合计
频数(ni)
4 14 18 22 20 12 8 2
答案:B
2.频率分布表、频率分布直方图、频率折线图的画法
(1)频率分布表的画法步骤
①计算数据中最大值与最小值的差称为极差,算出极差就知道数据
变动的范围;
②决定组数与分组的宽度 Δxi
极差 分组的宽度
=
组数
;
③决定分点; ④列频率分布表,数据落在第i个小组内的个数为频数ni;每小组的
频 为数方与便数 画据 图总 还数 需的 计比 算值 出叫Δ���������作��������������� 填这入一表小中组.的频率fi,算出各小组的频率;
1.00
频率
组距
0.02 0.053 0.06 0.073 0.067 0.033 0.027
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(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.
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频率分布直方图的应用 【例2】 (1)如图,有一频率分布直方图,图中x的值为( )
A.0.4 C.0.04
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频率分布直方图与折线图的概念及画法
【例1】 (1)已知样本数据如 下:25,21,23,25,27,29,25,28,30,29,26,22,24,25,26,28,26,24,25,27.在列 频率分布表时,如果取组距为2,那么落在24.5~26.5这一组的频率是
()
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 (2)已知100个样本数据的分组及各组的频数如下:
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变式训练1有一个容量为50的样本,数据分组及各组的频数如 下:12.5~15.5,3;15.5~18.5,8;18.5~21.5,9;21.5~24.5,11;24.5~27.5,10;2
7.5~30.5,5;30.5~33.5,4. (1)列出样本频率分布图表; (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图.
所以共分5组. 决定分点,使分点比数据多一位小数. 并把第1小组的分点减小0.5,即分成如下5组:
20.5~22.5,22.5~24.5,24.5~26.5,26.5~28.5,28.5~30.5. 列出频率分布表如下:
分组
20.5~22.5 22.5~24.5 24.5~26.5 26.5~28.5 28.5~30.5 合计
B.0.2 D.0.02
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(2)某学校对高二年级一次考试成绩进行抽样分析.如图是根据抽 样分析后的考试成绩绘制的频率分布直方图,其中抽样成绩的范围 是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104), [104,106].已知样本中成绩小于100分的人数是36,则样本中成绩大 于或等于98分且小于104分的人数是( )