第四章 正弦交流电
电工基础 第4章正弦交流电
u = U m sin(ωt + u )
i = I m sin(ωt + i )
4．1．2正弦交流电的基本特征和三要素 ． ． 正弦交流电的基本特征和三要素
两个同频率正弦量的相位角之 差或初相位角之差，称为相位 相位 差，用 表示。 图4.3中电压u和电流i的相位差 为
= (ωt + u ) (ωt + i ) = u i
第4章 正弦交流电路 章
4．1交流电路中的基本物理量 ． 交流电路中的基本物理量 4．2正弦量的相量表示 4．3电路基本定律的相量形式 4．4 电阻、电感、电容电路 4．5 谐振电路 ． 4．6正弦交流电路中的功率 ． 正弦交流电路中的功率
第4章 正弦交流电路 章
4．1交流电路中的基本物理量 ． 交流电路中的基本物理量
U m = 220 2V = 311.1V
U= U m 220 2 = V = 220V 2 2
4．1．2正弦交流电的基本特征和三要素 ． ． 正弦交流电的基本特征和三要素
2．频率与周期 ． 正弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期T，如图4.2所示。每秒内变化 的次数称为频率f，它的单位是赫兹（Hz）。 频率是周期的倒数，即
正弦交流电路
二单元正弦交流电路引言正弦交流电的产生：正弦交流电路:含有正弦电源而且电路各部分所产生的电压和电流均按正弦规律变化的电路。
因为交流电可以利用变压器方便地改变电压、便于输送、分配和使用。
所以，在生产和生活中普遍应用正弦交流电。
着重讨论和分析交流电路的基本概念、基本规律和基本分析方法。
随时间按正弦规律变化的交流电压、电流、电动势称为正弦电压、电流、电动势。
正弦量：正弦电压、电流、电动势统称为正弦量。
Riab)sin(m i t I i ψω+=规定电流参考方向如图：iωtiψ正半周：电流实际方向与参考方向相同负半周：电流实际方向与参考方向相反+-最大值角频率初相角正弦量的三要素课题1正弦交流电的基本概念一、正弦量的三要素表达式：波形：用带有下标m 的大写字母表示:I m 、U m 、E m有效值：一个交流电流的做功能力相当于某一数值的直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交流电流的有效值。
用大写字母表示：I 、U 、 E1. 最大值描述正弦量变化范围的参数。
tiＴ最大值I m⎰=Tdti TI 021正弦量最大值与有效值的关系EE m 2=II m 2=UU m 2=2. 角频率ω描述正弦量变化快慢的参数。
单位：rad/s周期(T ): 变化一个循环所需要的时间，单位(s)。
频率( f ): 单位时间内的周期数单位(Hz)。
三者间的关系示为：=2π/T =2πfωTωt 2ππtiＴT/2我国和大多数国家采用50Hz 作为电力工业标准频率(简称工频)，少数国家采用60Hz 。
iωt)sin(i m t I i ψω+=iψt =0 时的相位角称为初相角或初相位。
i ψ同频率正弦量的相位角之差，用ϕ表示。
二、相位差：180±取值范围：相位差可反映同频率正弦量超前滞后关系。
180±相位差的取值范围：3. 初相iψ影响初相得因素：项前负号（±180°）Cos （90 °）)sin(1m ψtωU u +=如：)()(21ψωψωϕ+-+=t t 21ψψ-=若21>-=ψψϕ电压超前电流ϕ或电流滞后电压ϕuiu iϕωtO)2ψ+=t ωI i sin(m电流超前电压︒-=-=9021ψψϕ︒90电压与电流同相021=-=ψψϕ电流超前电压ϕ021<-=ψψϕ电压与电流反相︒=-=18021ψψϕu iωt ui ϕOu iωtui 90°O u i ωtui Oωtui u i O一、复数1. 复数的表示形式A = a + j b1）代数形式：为虚数单位1j -=ϕcos A a =ϕsin A b =22ba A +=ab=ϕtan aAb+1+jϕA实部虚部ϕA A =2）极坐标形式：模幅角2. 两种形式的互换代数极坐标代数极坐标课题2正弦量的相量表示法3. 复数运算（熟记公式）111j b a A +=222j b a A +=1）加减运算（用代数形式）：则()()212121j b b a a A A ±+±=±设则222ϕA A =111ϕA A =212121ϕϕ+=⋅A A A A 212121ϕϕ-=A A A A 设2）乘除运算（用极坐标形式）：1A 2A 3A 321A A A ++思考如何用作图的方法得到复数的差？3）复数的相等111j b a A +=222j b a A +=21a a =如果21b b =则21A A =222ϕA A =111ϕA A =如果21A A =21ϕϕ=则21A A =4. 旋转因子（模为1，辐角为的复数）ϕ一个复数乘以ϕj e等于把其逆时针旋转角。
第4章 正弦交流电
i = I m sin(ωt + ϕ i )
u、 i
0
t
3
正弦交流电路分析中仍然使用参考方向, 正弦交流电路分析中仍然使用参考方向,当实际方向 与参考方向一致时，正弦量大于零；反之小于零。 与参考方向一致时，正弦量大于零；反之小于零。
i
u
R
i
实际方向和参考方向一致
t
实际方向和参考方向相反
用小写字母表 示交流瞬时值
ωt
22
3.相量表示法 3.相量表示法
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 旋转矢量在纵轴上 概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上 的投影值来表示。 投影值来表示。 来表示
u = U m sin (ω t + ϕ )
Um
ωϕ
ϕ
矢量长度 =
ωt
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
在t = 0时刻，矢量以角速度ω按逆时针方向旋转
19
复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。 复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。前 面例题的相量图见下面左图，右图是另一种画法。 面例题的相量图见下面左图，右图是另一种画法。右图的 画法更为简捷，当有多个相量相加减时会显得很方便。 画法更为简捷，当有多个相量相加减时会显得很方便。 +j A1+ A2 A1+ A2 A2 A1 O +1 O A1 +1 A2
= r (cos ϕ + j sin ϕ )
复数的指数形式 复数的指数形式： 指数形式： 复数的极坐标形式 复数的极坐标形式： 极坐标形式：
A = re
jϕ
A = r∠ϕ
实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用 实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数 共轭复数。 A*表示A的共轭复数，则有 表示A的共轭复数， A=a+jb +jb A*=a-jb
正弦交流电原理
正弦交流电原理
正弦交流电原理是指电流和电压都按照正弦函数变化的交流电。
在正弦交流电中，电流和电压的大小和方向都会随着时间的推移而变化。
正弦交流电的特点是周期性的变化，频率是单位时间内完成一个周期的次数。
正弦交流电的实际表现是一个周期性的变化，即从最大正值到最大负值，然后再回到最大正值。
这个周期的时间称为周期T，频率f则是指单位时间内周期的个数。
频率和周期之间的关系
可以用公式f=1/T表示。
正弦交流电的周期性变化是由交流电源产生的。
交流电源通常使用发电机或逆变器的原理来产生。
交流电源可以通过改变电流的方向和大小来产生正弦交流电。
在正弦交流电流中，电流和电压的变化是相互关联的。
根据欧姆定律，电流和电阻之间存在线性关系，即I=V/R，其中I是
电流，V是电压，R是电阻。
在正弦交流电中，电流和电压的
关系可以用复数表示，即I=I0*sin(ωt)和V=V0*sin(ωt+φ)，其
中I0和V0分别是电流和电压的最大值，ω是角频率，t是时间，φ是相位差。
正弦交流电的频率是非常重要的，不同设备和电路对频率的要求也不同。
在国际标准中，交流电的频率通常为50Hz或
60Hz。
这意味着电流和电压的周期是每秒50次或60次。
正弦交流电在电力系统中得到广泛应用。
它可以被转换为直流
电，供应给各种家用电器和工业设备使用。
同时，正弦交流电的特性也决定了它在信息传输和通信中的重要性。
因此，正弦交流电的原理对于我们理解和应用电力系统和电子通信技术非常重要。
正弦交流电路
如果两个频率相同的交流电的相位也相同， 那么它们的相位差为零，此时称这两个交流电 同相，即它们变化的进程一样，总是能够在同 一时刻达到最大值和零，并且方向相同。如果 两个频率相同的交流电的相位差为180°，则 称这两个交流电反相。它们变化的进程相反， 一个到达正的最大值时，另一个恰好到达负的 最大值。
交流电变化一周还可以利用2π弧度或360°来表征。 也就是说，交流电变化一周相当于线圈转动了2π弧度 或360°。如果利用角度来表征交流电，那么每秒内交 流电所变化的角度被称为角频率。角频率通常利用ω 来表示，单位是弧度/秒（rad/s）。 交流电的周期、频率和角速度主要是用来描述交流 电变化快慢的物理量，它们之间的关系是： T=1/f （4-3） ω=2πf=2π/T （4-4） 2.幅值 交流电在每周变化过程中出现的最大瞬时值称为 幅值，也称为最大值。交流电的幅值不随时间的变化 而变化。
三、正弦交流电的有效值、平均值和相位差 在工程中，有时人们并不关心交流电是否变化和怎样变化，而是关 心交流电所产生的效果。这种效果常利用有效值和平均来表示。 1有效值 有效值是根据电流的热效应来定义的。让交流电流和直流电流分别 通过具有相同阻值的电阻，如果在同样的时间内所产生的热量相等， 那么就把该直流电流的大小叫做交流电的有效值。理论分析表明， 交流电的有效值和幅值之间有如下关系：
第四章 正弦交流电路
知识目标 本章主要介绍正弦交流电的基本知识，包括交流电的 产生原理、交流电的表征方法；讨论纯电阻、纯电感、 纯电容等简单交流电路的特点；分析电阻、电感、电 容串联电路的特点；介绍交流电路的功率概念。 学习目标 1.了解正弦交流电的产生原理。 2.了解正弦交流电的周期、频率、角频率、幅值、 初相位、相位差等特征量，理解正弦交流电的解析式、 波形图、相量图、三要素等概念。 3.掌握正弦交流量有效值、平均值与最大值之间 的关系，以及同频率正弦量的相位差的计算。
正弦交流电知识点整理
正选交流电路+三相交流电知识点整理（1）1、正选交流电与直流电的区别所谓正弦交流电路，是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。
交流发电机中所产生的电动势和正弦信号发生器所输出的信号电压，都是随时间按正弦规律变化的。
它们是常用的正弦电源。
在生产上和日常生活中所用的交流电，一般都是指正弦交流电。
因此，正弦交流电路是电工学中很重要的一个部分。
直流电路：除在换路瞬间，其中的电流和电压的大小与方向(或电压的极性)是不随时间而变化的，如下图所示：正选交流电：正弦电压和电流是按照正弦规律周期性变化的，其波形如下图所示。
正弦电压和电流的方向是周期性变化的。
正弦量：正弦电压和电流等物理量。
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，而它们分别由频率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。
所以频率、幅值和初相位就称为确定正弦量的三要素。
2、周期T与频率f周期T：正弦量变化一次所需的时间。
单位：秒（s）频率f：每秒内变化的次数。
单位：赫兹（Hz）两者关系：频率是周期的倒数 f=1/T高频炉的频率是200- 300kHz；中频炉的频率是500-8000Hz；高速电动机的频率是150-2000Hz; 通常收音机中波段的频率是530-1600kHz ，短波段是2.3-23MHz；移动通信的频率是900MHz和1800MHz; 在元线通信中使用的频率可高 300 GHz。
正弦量变化的其他表达方式：角频率正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率ω来表示。
因为一周期内经历了 2π弧度(图 4.1.3) ，所以角频率为：上式表示 T，f,ω三者之间的关系，只要知道其中之一，则其余均可求出。
3、幅值与有效值正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母来表示，如 i ， U 及 e 分别表示电流、电压及电动势的瞬时值。
瞬时值中最大的值称为幅值或最大值，用带下标 m 的大写字母来表示，如Im， Um 及 Em 分别表示电流、电压及电动势的幅值。
《电路及磁路》-三相正弦交流电路-习题及答案
《电路与磁路》第四章三相正弦交流电路一、填空题1.三相电源绕组的连接方式有_________和_________两种，而常用的是_________连接。
2.三相四线制供电系统中，三个线电压为三相________，三个相电压也为三相________。
3.三相四线制供电系统中，线电压在数值上等于相电压的__________倍；相位上，线电压__________于相应的相电压__________。
4.三相对称负载三角形连接时，线电流在数值上等于相电流的__________倍。
在相位上，线电流比相对应的相电流__________。
5.三相对称负载的定义是：__________相等、__________相等、__________相同。
6.三相不对称负载作星形连接时，中线的作用是使三相负载成为三个_________________电路，保证各相负载都承受对称的电源____________。
7.三相负载作星形连接有中线，则每相负载承受的电压为电源的________电压，若作三角形连接，则每相负载承受的电压为电源的________电压。
8.已知三相电源的线电压为380V，而三相负载的额定相电压为220V，则此负载应作________形连接，若三相负载的额定相电压为380V，则此负载应作________形连接。
9.三相负载的连接方法有____________和____________两种。
10.三相电动机绕组可以连成__________或__________；由单相照明负载构成的三相不对称负载，一般都连成__________。
11.某三相异步电动机，定子每相绕组的等效电阻为8Ω，等效阻抗为6Ω,现将此电动机连成三角形接于线电压为380V的三相电源上。
则每相绕组的相电压为__________V，相电流为__________A，线电流为__________A。
12.某三相异步电动机，每相绕组的等效电阻R＝8Ω，等效感抗X L＝6Ω，现将此电动机连成星形接于线电压380V的三相电源上，则每相绕组承受的相电压为__________V，相电流为__________A，线电流为__________A。
4正弦交流电路
−1
θ
Re 0 a
a = r cos θ b = r sin θ
r = a +b θ = arctg b a
2 2
②三角形式
A = r cos θ + jr sin θ
欧拉公式） e = cos θ + jsin θ（欧拉公式） jθ A = re = r cos θ + jr sin θ
jθ
③指数形式
u
波形图
U
T
m
ϕ
ωt
瞬时值
u = U m sin (ω t + ϕ )
& U
相量图
ϕu
复数 符号法
& = a + jb =U e jϕ ⇒ U ∠ϕ U
提示
计算相量的相位角时， 计算相量的相位角时，要注意所在 象限。 象限。如：
& U = 3 + j4
u = 5 2 sin(ω t + 53 ⋅1 )
两种正弦信号的关系
同 相 位
i2
ψ1 =ψ 2
ψ2 ψ1
i2
i1 i1
t
t
ϕ =ψ1 −ψ2 =0
i1
与
相 位 领 先 相 位 落 后
ϕ =ψ1 −ψ 2 > 0
i2同相位
ψ1 ψ2
i1
ψ2
ψ1
i1 领先于 i2
ϕ =ψ1 −ψ2 < 0
i2
t
i1 落后于 i2
三相交流电路：三种电压初相位各差120 三相交流电路：三种电压初相位各差120ο。
新问题提出： 新问题提出： 提出 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 故引入相量的复数运算法。 故引入相量的复数运算法。 相量的复数运算法 相量 复数表示法 复数运算
三相正弦交流电
由负载
性质决定
P PA PB PC
P 3 U p I p cos
Il I p
星形接法时： U l 3U p
三角形接法时： U l
UP、IP代表负载上的相电压和相电流
Up
I l 3I p
P 3 Ul Il cos
在三相负载对称的条件下，三相电路的功率：
B C
iAB
iB
iCA
iBC
u BC iC
负载对称三角 形接法，负载 两端的电压等 于电源的线电 压；线电流是 相电流的 3 倍， 相位落后对应 的相电流30°。
U
U l p负载 I l 3I p 30
各电流的计算
A 每相负载电流
iA
u AB
I AB I BC I CA
一、 三相负载星形接法及计算
u AN
A N
iA
ZA
i AN
ZB
uCN
u BN
C
B
iC iB
ZC
iCN
iBN
相电流(每相负载上的电流)： 线电流(三条端线上的电流)：
、I 、 I I AN BN CN
I N
: 中线电流
、 、 I I I A B C
N I AN I BN I CN I
0 I N
应用实例----照明电路
正确接法: 每组灯相互并联, 然后分别接至各 相电压上。设电 源电压为：
A
能否取消中线？
一组 N 二组
B
...
Ul
UP
380
220
V
电工学--正弦交流电1
三、相位、初相位、相位差(表示变化进程) 相位、初相位、相位差(表示变化进程)
时的相位，称为初相位角 初相位角或 ： ϕ t = 0 时的相位，称为初相位角或初相位。 i
i = 2 I sin (ω t + ϕ ) ：正弦量的相位角或相位 （ωt + ϕ） 正弦量的相位角或相位
ωt
U I
效值
当 i = I m sin
(ω t +ϕ )时， 可得
Im I = 2
瞬时值i可写为： 瞬时值 可写为： 可写为
i = 2I sin (ω t + ϕ )
可得
同理: 同理
u = Um sin (ω t + ϕ )
U = m U 2
瞬时值u可写为： 瞬时值 可写为： 可写为
u = 2U sin (ω t +ϕ )
南京航空航天大学
正弦量的相量表示法
ω
u = U m sin(ω t + ϕ )
Um
ϕ
ωt
ϕ
矢量长度 =
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
ϕ
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
南京航空航天大学
正弦量的相量表示法
ω
u = U m sin(ω t + ϕ )
Um
ϕ
ωt
ϕ
正弦量在某时刻的瞬时值可以由旋转有向线段在该瞬 时在纵轴上的投影值来表示。 时在纵轴上的投影值来表示。 正弦量可用旋转有向线段表示， 正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段可用 复数表示，所以正弦量可用复数表示。 复数表示，所以正弦量可用复数表示。
南京航空航天大学
问题与讨论
的电器， 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线路上? ~ 220V
第4章 正弦交流电路
b
同频正弦量的乘除法运算与复数运算相同，而 且在线性电路当中，运算后的频率是不会改变的。
§4.3 电阻、电感、电容元件的交流电路
一、电阻元件的交流电路
iR 2I Rsin( t i ) uR R 2I Rsin( t i )
2U Rsin( t u )
时域下的电阻模型
由于直流电在电阻上做功大小为 I2RT ,于是根据定义有：
I RT i Rdt R Im 2 sin 2 tdt
2 2 0 0
T
T
即： I 2 RT RIm 2
T
0
1 cos 2t RTIm 2 dt 2 2
得
Im I 0.707 Im 2
结果说明正弦电流的有效值等于最大值的0.707倍。同理， 正弦电压的有效值为：
U 1 U 1 u1 U 2 U 2 u 2
b
U b U b ub
k 1
则对应于 u1 (t ) u2 (t ) ub (t ) uk (t )
有
U1 U 2 U b U k
k 1
b
同理设 i1 (t ) 2 I 1 sin( t i 1 ) i 2 (t ) 2 I 2 sin( t i 2 ) i b (t ) 2 I b sin( t ib )
复数A的实部a1及虚部a2与模a及辐角θ的关系为：
a1 a cos
其中
a2 a sin
a2 arctg a1
a
2 a1
2 a2
1.复数的表示形式:
根据上式关系式及欧拉公式
+j a2 O
第四章： 正弦交流电路
= 2U sin (t+90)
i
【小结】电感两端电压和电流关系：
O
ωt
① 两者频率相同；
90
② 电压超前电流90，即相位差为：
= u i 90
③ 大小关系：U=I·L=I· XL ； XL为感抗；
20
i(t)= 2I sin t
u(t)= 2IL sin (t+90)
2. 感抗：Ω
∵ 有效值：U =I L
u
i
o
ωt
i
i
i
i
+
--
+
u uuu
-
++-
p(t)
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
∵ 储存能量和释放能量交替
进行 ∴ 电感L是储能元件。
【结论】纯电感不消耗能量， 只和电源进行能量交换（能量 的吞吐)。
ωt
储能 释能 储能 释能
24
(3)无功功率Q：
用以衡量电感电路中与电源交换能量的瞬时最大值即振幅 称作~。即：
正确写出幅、角的值。如：
+j
B 4
A
A 3 j4
第一象限
4 A 5 arctan
3
-3 0 C -4
B 3 j4
第二象限
4 B 5(180 arctan )
+1
3
3
C 3 j4
第三象限
4 C 5(arctan 180)
3
D
D 3 j4
第四象限
4 D 5( arctan )
3
式中的j 称为旋转因子，复数乘以j相当于在复平面上逆
《第4章正弦交流电路资料》
第四章正弦交流电路一、填空题：1. 已知两个正弦电流i1和i2,它们的相量为lI1=10N60°A, ll2 =10Y—60°A,则i =i1 _i2 = 3 =314rad/s)。
2. 已知复阻抗Z =(5-j5 g，则该元件呈容性，阻抗角~45003. 将正弦交流电压u =200sin(100t+30')V加在电感L=50mT勺线圈两端(线圈电阻忽略不计)，在电压、电流的参考方向为关联参考方向下，流经电感的电流瞬时表达式为4°河10妇1200治。
4. 有一正弦交流电压，已知其周期为10澎S,若该电压的有效值相量为u' = (80+j60)V,则该电压的瞬时表达式为100/2河628。
+370治。
5. 将正弦交流电压u =200sin(100t+30”)V加在电容C=500uF的电容器两端(电容器视为理想)，在电压、电流的参考方向为一致时，流经电容的电流瞬时表达式为10sin(100t-600)V 。
6. 已知i =10cos(100t -30)A , u =5sin(100t —60°)V，则i、u 的相位差为300且i 超前u。
(填超前或滞后)7. 电流的瞬时表达式为i =10&sin(100t-260「)A，则其频率f = 5°Hz ,有效值I = 10 A，初丰目位4 — I00o_1_8. RLC申联电路的谐振条件是X L=X c ，其谐振频率f°为2兀MC ,申联谐振时电流达到最大(最大，最小)。
若L=10mH C=1uF则电路的谐振频率为1592 Hz 。
9. 某正弦交流电的角频率为628弧度/秒，有效值为220伏，则电压最大值为220龙伏，如果初相位为兀/3,则电压的瞬时表达式为 _10 写出U=(40-j30)V , f =50Hz的正弦量表达式u= 50而$讷(3忡-37 )V .220T2sin(628t+60普V。
正弦交流电的表示法
相量表示法的应用
相量表示法在交流电路分析中具有广泛应用，可以用于计算阻抗、感抗和容抗等参 数，简化正弦交流电路的分析过程。
通过相量图，可以直观地分析正弦交流电在电路中的相位关系，有助于理解交流电 路的工作原理。
相量表示法的定义
相量表示法是一种用于描述正弦交流 电的方法，通过将正弦交流电的幅度 和相位用复数（相量）表示，可以简 化电路分析和计算。
相量表示法中，正弦交流电的三要素 （幅值、频率和相位）被整合到一个 复数中，使得正弦波的数学描述更加 简洁明了。
相量图及其绘制方法
相量图是一种用于表示正弦交流电相量关系的图形，通过在复平面（极坐标系）上绘制相量，可以直 观地展示各正弦波之间的相位关系。
极坐标表示法
极坐标表示法是一种通过极角和极幅来表示正弦交流电的方法。
在极坐标系中，正弦交流电的电压和电流可以表示为：$e = E(cosalphacosbeta + sinalphasinbeta)$， 其中$E$是幅值，$alpha$是初相角，$beta$是相位角。
极坐标表示法可以直观地展示出正弦交流电的幅值和相位信息，方便理解和计算。
相量表示法还可以用于交流电路的稳定性分析，预测系统的动态响应和稳定性。
04
正弦交流电的功率和能量
有功功率和无功功率
有功功率
表示实际消耗的功率，用于转换和 利用能量，单位是瓦特（W）。
无功功率
表示与实际消耗无关的功率，用于 维持磁场和电场，单位是乏 （var）。
视在功率和功率因数
视在功率
表示电源提供的总功率，是有功功率和无功功率的矢量和，单位是伏安（VA）。
第04章-正弦交流电路(1-2-3-4节)
则 i u 2Usint 2Isint
RR
u 2Usint
i u 2Usint 2Isint
RR
UIR ui 0
2）.相量关系
U U0
则 I U 0 R
I U
即 U IR
2.功率关系
1）.瞬时功率 p
i
+
u
R
-
i 2 I sin ( t) u 2U sin ( t)
说明： 给出了观察正弦波的起点,常用于描述 多个正弦波相互间的关系。起点不同, 亦不同.
4.1.3 相位差 ：
两同频率的正弦量之间的初相位之差。
如：uU m siω nt (ψ 1)
iIm siω nt (ψ 2)
(t 1) (t 2)
ψ1 ψ2
ui u i
复数的模 复数的辐角
(2) 三角式
a
A r cψ o jr sψ i r n (c ψ o jsψ is )n
由欧拉公式:
ej ψ ej ψ
cosψ
,
2
ej ψ ej ψ s inψ
2j
可得: ejψcoψsjs iψ n (3) 指数式 A r ejψ
(4) 极坐标式 Ar ψ
6
u 311 .1sin 314 t V
3
求：
i 、u 的相量
I14 .4 1 30 10 30 0 8.6 6 j50A 2
U 3.1 16 02 2 6 0 01 1j1 0.9 5V 0 2
I14 .4 13010 3 008.6j50A 2
最大值
电量名称必须大
写,下标加 m。 如：Um、Im
第四章 正弦交流电
第四章正弦交流电
参考教法
四、应用举例：
[1]已知u = 311sin(314t- 30︒) V，I = 5sin(314t+ 60
的相位差为：ϕui = (-30︒) - (+ 60︒) = - 90︒
即u比i滞后90︒，或i比u超前90︒。
正弦交流电流i = 2sin(100πt- 30︒) A，如果交流电流
的电阻时，电流的最大值、有效值、角频率、频率、周期及初相并求电功率
j2 = -1，j3 = - j
比较电容、电感相位关系及相量图形式区别 强调电容电压滞后电流：理解电容电压与充电关系 电感电压超前电流：理解电感阻碍电流的变化
已知一电容C = 127 μF ，外加于电容两端的正弦交流电压表达V )20314sin( +t ，试求：(1) 容抗X ；(2) 电流大小
串联电路。
又可简化计算。
电流有效值相量：
由
四．提高功率因数的方法
提高感性负载功率因数的最简便的方法，是用适当容量的电容器与感性负载并联，这样就可以使电感中的磁场能量与电容器的电场能量进的电场能量进行交换，从而减少电源与负载间能量的互换。
在感性负载两端并联一个适当的电容后，对提高电路的功率因数十分有效。
借助相量图分析方法容易证明：对于额定电压为U、额定功率为
f的感性负载R-L来说，将功率因数从λ= cos。
正弦交流电
正弦交流电与电机
引言
直流电路：电流、电压的大小和方向都不随时间变化。
交流电路：电流、电压的大小和方向都随时间作周期性变化。
I(U） i(u） i(u）
Im
0 直流电
t
0 正弦波
t
0 方波
t
3.1 正弦交流电的基本概念
基本概念: 所谓正弦交流电，是指大小和方向都随时间 按正弦规律作周期性变化的电流、电压，简称交 流电。
1 f T
T
2
注意：角频率与角速度是两不同的概念，角速度是机 械上的空间的旋转角速度，而角频率泛指任何随时间作正 弦变化量的频率f与2π的乘积。
例3-1
已知某电网供电频率f为50Hz，试求角频率及周期T。
解：
角频率为=2f=2×50=100=314rad/s 周期为T=0.02s
通常，选择初相位的绝对值小于π，可正，也可负。
(t = 0时)正弦交流电所处的电角度。
例3-2 已知u = 311sin(314t－60°)V，求幅值Um、频率 f、角频率、初相位。
解：根据表达式 u(t) = Umsin( t u)，可知 幅值为 Um = 311V 角频率为 = 314rad/s
(4) 当 12 = 时，一个正弦量到达正最大值时，另一个正弦量到达 负最大值，此时称第1个正弦量与第2个正弦量反相，如图3.2 (c)所示；
(5) 当 12 = /2时，一个正弦量到达零时，另一个正弦量到达正最 大值(或负最大值)，此时称第1个正弦量与第2个正弦量正交。如图3.2 (d) 所示。
四、正弦量的有效量
利用电流的热效应来确定电流的大小。
在热效应方面，交流电流与直流电流(i与I)是等效的。如对同一个 电阻
正弦交流电
t
图2.13
(a)
(b)
(c)
π p ui U m sin(t ).I m sin t U m I m cost. sin t 2 1 U m I m sin 2t UI sin 2t
2
瞬时功率p、电压u、电流i的波形图见图2.13 （c）： 1）第1、3个T/4期间p≥0, 线圈从电源处吸 收能量；在第2、4个T/4期间p≤0, 线圈向电路释 放能量。 2） 平均功率（有功功率）：瞬时功率表明， 在电流的一个周期内， 电感与电源进行两次能量 交换， 交换功率的平均值为零，即纯电感电路的 平均功率为零。
UmIm 1 T 1 T 2 P Pdt U m I m sin tdt T 0 t 0 2 Um Im p UI I 2 R 2
即：平均功率等于电压、 电流有效值的乘积，单位 是W(瓦［特］)。通常，白炽灯、电炉等电器所组成 的交流电路，可以认为是纯电阻电路。
纯电感电路：一个线圈的电阻小到可以忽略不计时， 就可以看成是一个纯电感。
2 Im Im 0.707 I m 2 2
I m 2I
Em 2 E
U m 2U
相位：正弦交变电动势的瞬时值随着电角度
(ω t+φ 0)而变化。电角度(ω t+φ 0)叫做正弦交流电
的相位。若在电机铁心上放置两个夹角（相位差） 为φ 0、匝数相同的线圈AX和BY, 当转子如图示方向 转动时，这两个线圈中的感生电动势分别是：
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ϕ = 0° ： u 与 i 同相（相位相反） 同相（相位相反）
例：已知两正弦量： 已知两正弦量： 已知两正弦量 u1= 60sin（628 t+90°）V ° u2= 80sin（628 t-60°）V 80sin 628 t-60° V
求频率、初相位、 求频率、初相位、并指出它们的相位关系
4.2 正弦量的相量表示法
一、纯电阻电路
1、电压、电流 的关系 、电压、
a. 波形图： 波形图：
b. 大小关系： 大小关系： U= R I Um = R Im 2. 相量关系： 如： 则： U= R I U =U∠0 ° I = I∠0
°
＋ u － u i
O
i R
纯电阻电路
i
u
ωt
U I
3、功率关系
a. 瞬时功率 瞬时功率: p = ui =Um sinωt Im sinωt = Um Im sin2ωt = U I (1－cos2ωt) － b. 平均功率 (有功功率 有功功率): 有功功率 1 T P = ∫ p dt = U I (W) T 0 p≥0 —— 耗能元件。 耗能元件。 P
O
Im
i
ωt
电路中的表现： 电路中的表现：
i i 负半周 u
+ －
+
正半周 u
－
R
R
1、周期、频率、角频率 、周期、频率、
i 2π
O
ωt T
周期 T：变化一周所需要的时间（s） ：变化一周所需要的时间（ ） 1 内变化的周数（ ）。 频率 f ：1s 内变化的周数（Hz）。 f = T 角频率ω： 内变化的弧度数。 角频率 ： 正弦量 1s 内变化的弧度数。 2π (rad/s) ω = 2πf = T
i = 100 sin（314 t +30°）A （ u = 311sin（314 t－60°）V （ －
ϕ =ψu －ψi = －60O －30°= －90°
i
O
ϕ
ωt
ϕ
同频率正弦量的相位关系
0＜ ϕ ＜180°： u 超前于 i ＜ －180°＜ ϕ ＜ 0°： u 滞后于 i ϕ = ±180°： u 与 i 反相（相位相反） 反相（相位相反）
O
i、u、p 、 、
ωt
p 与u2 和 i 2 成比例。 成比例。
二、纯电感电路
电压、 1、电压、电流的关系 a. 频率关系: 同频率 频率关系: b. 大小关系: 大小关系: 感抗 : XL=ωL =U / I (Ω) U = XLI Um =XLIm c. 相位关系: ψu = ψi + 90° 相位关系: ＋ u －
i L
纯电感电路
相量关系： 2、相量关系：
u i
U = j XL I
O
u i
ωt
90° 相量图： 相量图： U I
3、功率关系 a.瞬时功率: a.瞬时功率: p = u i 瞬时功率 p = Umcosωt Im sinωt = U I sin 2ωt
储存 能量
释放 能量
b. 平均功率 ( 有功功率 有功功率): 1 T P = T ∫ p dt = 0 0 c. 无功功率 无功功率: Q =UI = XLI2 U2 = XL (var)
4.1 正弦电压与电流
交流电: 大小和方向都周期性变化、 交流电 大小和方向都周期性变化、在一个周期上 的函数平均值为零。 的函数平均值为零。 正弦交流电: 按正弦规律变化的交流电。 正弦交流电 按正弦规律变化的交流电。 i = Imsin(ωt +ψ) 瞬时值 最大值 初相位 角频率 ψ 最大值 正弦交流电的三要素 角频率 正弦交流电的三要素 正弦交流电的波形 初相位
相位、初相位、 3、相位、初相位、相位差
i = 10 sin（1 000 t +30°）A （ u = 311sin（314 t－60°）V （ －
相位: 相位 初相位: 初相位
ωt +ψ ψi = 30° , ψu = －60°
相位 初相位
相位差: 同频率的正弦电量的初相位之差。 相位差 同频率的正弦电量的初相位之差。
UC
串联交流电路
U =〔R+ j (XL－ XC)〕I 〔 〕
•
I
+
=
Z
I
•
复数阻抗: 复数阻抗: Z = R + j (XL－ XC) =R+jX =√ R2+ X2 ∠arctan (X / R) 阻抗模:│Z│=√ R2+ X2 阻抗模 =U/I 阻抗角: 阻抗角: ϕ = arctan (X / R)
u = Um sin(ω t +ψ )
ω
ψ
ψ
Um
ωt
有向线段可用复数表示，所以正弦量可用复数表 有向线段可用复数表示，所以正弦量可用复数表 复数 称为相量 用大写字母上打“ 表示 变为j 相量。 表示;i变为 示，称为相量。用大写字母上打“•”表示 变为
=I(cos ψ +jsin ψ) =IejΨ =I∠ ψ ∠ • Im= Ia m +j Ibm =Im(cos ψ +jsin ψ) =ImejΨ =Im∠ ψ
•
•
显然： 显然：
Im = 2 I Um = 2U
• •
•
•
i = I∠ ϕ i u = U∠ϕ u
错！
i = I∠ ϕ i u = U∠ϕ u
•
•
也错！ 也错！
正确写法：
i (t ) =
2 I sin(ω t + ϕ i )
u (t ) = 2U sin( ωt + ϕ u )
•
I = I∠ ϕ i U = U∠ϕ u
I = Ia +j Ib
•
相 量 图
有效 +j 值相量
Ib
0
I
•
Im
•
最大 值相量
ψ
Ia
+1
相量是表示正弦交流电的复数， 表示正弦交流电的复数 相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流 电是时间的函数，所以二者之间并不相等 不相等。 电是时间的函数，所以二者之间并不相等。
由复数知识可知： 由复数知识可知：j为90°旋转因子。一个相量乘上 90°旋转因子。 +j 则旋转+90°；乘上-j 则旋转- 90°。 则旋转+90° 乘上- 则旋转- 90° 数在进行加减运算时应采用？ 加减运算时应采用 复数在进行乘除运算时应采用？ 乘除运算时应采用 复数在进行乘除运算时应采用？
2. 复数的运算方法 除法。 复数的运算：加、减、乘、除法。 设： A1= a1+j b1 = c1∠ψ1 A2= a2+j b2 = c2∠ψ2 ≠０ ０ 加、减法：A1±A2 = (a1± a2) + j (b1± b2) 减法： 乘法: 乘法 除法： 除法： A1A2 = c1 c2∠ψ1 + ψ2 A1 c1 = c ∠ ψ1 － ψ2 A2 2
2、瞬时值、最大值、有效值 、瞬时值、最大值、
e、i、u Em、Im、Um E、I、U 、、 R Wd = RI 2T I 瞬时值 最大值 有效值 R T 2 Wa =∫ R i dt 0 i
的有效值。 如果热效应相当 Wd = Wa 则 I 是 i 的有效值。 正弦电量的有效值： 正弦电量的有效值： Im I = √2 Um U= √2 Em E= √2
有向线段的长度表示正弦量的幅值； 有向线段的长度表示正弦量的幅值； 长度表示正弦量的幅值 有向线段(初始位置 与横轴的夹角表示正弦量的初相位; 有向线段 初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位 初始位置 与横轴的夹角表示正弦量的初相位 有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。 有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。 角速度表示正弦量的角频率 正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。 正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
相量图
把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图， 把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图， 相量图 它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。 它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。
U&
ϕ
ψ２ ψ１
电压相量 注意 比电流相量
& Ι
超前
角
只有正弦周期量才能用相量表示。 正弦周期量才能用相量表示 1. 只有正弦周期量才能用相量表示。 同频率的正弦量才能画在一张相量图上。 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。
•
给出表达式： 例： 给出表达式： uA= 311sin（314 t）V uB= 311sin（314 t-120°）V ° uC= 311sin（ 314 t+120°）V °
写出有效值极坐标相量式， 写出有效值极坐标相量式，画出相量图
4.3 单一参数交流电路
一、纯电阻电路 二、纯电感电路 三、纯电容电路
KVL
• 4.4 电阻、电感与电容元件串联的交流电路 电阻、 I + i + + +
R
－
uR
R
•
－
UR
•
U = UR + UL + UC = RI + j XLI－ j XC I － u
+ • L uL U
－
+
jX L
－
UL
+
－
•
=〔R+ j (XL－ XC)〕I 〔 〕
－
C
+
－
uC
－
− jX C
复数的表示方法和计算方法： ▲复数的表示方法和计算方法：