黄金分割

下列矩形中,哪个比较匀称好看? 下列矩形中,哪个比较匀称好看?
① ③
21× 21×34
④
②
D
C
BC 21 = ≈ 0.618 AB 34
A
34× 34×21
B
(精确到0.001) 精确到0.001)
AB BC = AC AB
把线段AC分成两部分, AC分成两部分 点B把线段AC分成两部分,
那么称线段AC被点B 黄金分割, 那么称线段AC被点B 黄金分割, AC被点 为线段AC AC的 黄金分割点, 点B为线段AC的 黄金分割点, AB与AC(BC与AB)的比叫做黄金比 AB与AC(BC与AB)的比叫做黄金比
A
E
D
B
C
1.作顶角为36°的等腰△ 1.作顶角为36°的等腰△ABC; 作顶角为36 量出底BC与腰AB的长度, 量出底BC与腰AB的长度,计算 BC与腰AB的长度
CD 再计算: 再计算: BC =
BC = AB
0.618;
2.作 2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度, 的平分线, AC于点D,量出CD的长度, 于点D,量出CD的长度
矩形ABCD也是个黄金矩形。 ABCD也是个黄金矩形 故：矩形ABCD也是个黄金矩形。
学有所得
如果在一个黄金矩形里去掉一个正方形，那 如果在一个黄金矩形里去掉一个正方形， 么留下的矩形是较小的黄金矩形， 么留下的矩形是较小的黄金矩形，从较小的黄金 矩形里再去掉一个正方形 又得到一个更小的黄 再去掉一个正方形， 矩形里再去掉一个正方形，又得到一个更小的黄 金矩形……可得到一串黄金矩形。 可得到一串黄金矩形。 金矩形 可得到一串黄金矩形
√5 – 1
2
≈ 0.618
1、你知道芭蕾舞演员跳舞 时为什么要掂起脚尖吗? 时为什么要掂起脚尖吗?
问题一： 问题一：假设某人是标准身 他的身高是1.7m 1.7m。 材，他的身高是1.7m。请问 他的肚脐 脚跟约多少米 肚脐到 约多少米？ 他的肚脐到脚跟约多少米？
(精确到0.01) 精确到0.01)
1 ≈ 0.618 : 1
加 油
如图,正五边形ABCDE的 条边相等,5个内角也相等. 如图,正五边形ABCDE的5条边相等,5个内角也相等. ABCDE ,5个内角也相等 找找看,图中的点F ⑴找找看,图中的点F、G、H、M、N分别是哪些线段的 黄金分割点?你能说明理由吗？ 黄金分割点?你能说明理由吗？ B F G H E D N M C
√5 AE= AE=1－
2 3 BC= BC=
=
√5 – 1
2
AC = AE 由此可得： 由此可得：
-√5
2
√5 – 1 =
2
一条线段有几个黄金分割点？ 2、一条线段有几个黄金分割点？ （ 1）
B
A
:
C
AC = BC = √5 – 1 AB AC 2
1 ≈ 0.618 : 1
（ 2）
A C
:
B
BC = AC = √5 – 1 AB BC 2
试一试
1、C点是AB的黄金分割点吗？ 点是AB的黄金分割点吗？ AB的黄金分割点吗 如果设AB=1 那么： AB=1， （1）如果设AB=1，那么：
1 BD = AB 2
由勾股定理得： 由勾股定理得：
BD= BD=
1 2
√5 AD= AD=
2 2 AC= AC=√5 – 1
BC AC ＝ AC AB
E B
C
学经过点B作BD⊥AB,使 BD = AB. 2
2.连接AD,在AD上截取 2.连接AD,在AD上截取 连接AD, DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE. 3.在AB上截取AC=AE. 上截取
AB的黄金分割点 C点是AB的黄金分割点 点是AB
黄金分割不仅与建筑、艺术、自然界的生物息息相关， 黄金分割不仅与建筑、艺术、自然界的生物息息相关， 连生活环境中也有许多条件与0.618有关。例如， 0.618有关 连生活环境中也有许多条件与0.618有关。例如，有专家 指出：人在环境温度为22 24摄氏度时感到最舒服 22—24摄氏度时感到最舒服。 指出：人在环境温度为22 24摄氏度时感到最舒服。此 人体的新陈代谢和各项生理功能都处于最佳状态。 时，人体的新陈代谢和各项生理功能都处于最佳状态。 生物是大自然最精心的作品，而人又是生物中最杰出的， 生物是大自然最精心的作品，而人又是生物中最杰出的， 在人的身体上也分布着很多黄金分割点。例如： 在人的身体上也分布着很多黄金分割点。例如：肚脐是头 顶到脚底的黄金分割点；眉毛是头顶到下巴的黄金分割点； 顶到脚底的黄金分割点；眉毛是头顶到下巴的黄金分割点； 头的宽与长符合黄金比；上臂与下臂的长、 头的宽与长符合黄金比；上臂与下臂的长、大腿与小腿的 甚至上身与下身的长也都符合黄金比。 长、甚至上身与下身的长也都符合黄金比。
A
加 油
AEH
点F是段线 AC、AN、BE、BG AC、AN、BE、 的黄金分割点. 的黄金分割点.
A
AEH
ABG
B F
BCM
ABN
BCF
N M H
CDN
C
CDH
G
AEF
E a b
ED M
ED G
D d e
c
黄金分割作为一种数学上的比例关系。 黄金分割作为一种数学上的比例关系。 它具有严格的比例性、艺术性、和谐性， 它具有严格的比例性、艺术性、和谐性， 蕴藏着丰富的美学价值。 蕴藏着丰富的美学价值。也正因为它的合 理与恰当，所以它在建筑、文艺、工农业 理与恰当，所以它在建筑、文艺、 生产和科学实验中都有着广泛而重要的应 用。
1.7× 1.7×0.618≈1.05 (m)
答：他的肚脐到脚跟约1.05米。 他的肚脐到脚跟约1.05米 肚脐
D
C
BC AB ≈
0.618
A
B
对于一个矩形， 对于一个矩形，如果它的两条边长的 比值约为0.618，这种矩形称为黄金 ，这种矩形称为黄金 比值约为 矩形。 矩形。
A
E
B
D
F
C
如图是古希腊时期的巴台农神庙, 如图是古希腊时期的巴台农神庙,如果用图中的虚线 表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD 以矩形ABCD ABCD， ABCD的 表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD的 宽为边在其内部作正方形AEFD AEFD， 宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇的 发现： BC = AB 发现：
BE BC
AB的黄金分割点吗 矩形ABCD 的黄金分割点吗？ ABCD的宽与长的比是 点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是 黄金比吗？ 黄金比吗？
1.点 AB的黄金分割点吗 的黄金分割点吗？ 1.点E是AB的黄金分割点吗？ 2.矩形ABCD的宽与长的比是黄金 矩形ABCD 2.矩形ABCD的宽与长的比是黄金 比吗？ 比吗？
0.618 . (精确到0.001) (精确到 精确到0.001)
通过计算， 通过计算，你发现了 什么？ 什么？
A
D B
C
黄金三角形
顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形。 顶角为 °的等腰三角形称为黄金三角形。 黄金三角形
A
顶角为36 36° ☆顶角为36°的等腰三角形底边 与腰之比约为0.618; 与腰之比约为0.618; 是线段AC的黄金分割点. AC的黄金分割点 ☆点D是线段AC的黄金分割点. D ☆再作∠C的平分线,交BD于E, 再作∠ 的平分线, BD于 △CDE也是黄金三角形 CDE也是黄金三角形 也是黄金三角形……
BC = AB BE BC
( BC = AE )
A
E
B
BC = BE AB BC AE = AB AE AB BE AE BC AB
D
F
C
(点E是AB的黄金分割点) AB的黄金分割点) 的黄金分割点
（即
）是黄金比
（矩形ABCD的宽与长的比是黄金比） 矩形ABCD的宽与长的比是黄金比） ABCD的宽与长的比是黄金比