人教a版必修5学案：1.1.1正弦定理(1)(含答案)

第一章解三角形§1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(一)自主学习知识梳理1．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．2．在Rt△ABC中，C＝90°，则有：(1)A＋B＝________，0°<A<90°，0°<B<90°；(2)a2＋b2＝________(勾股定理)；(3)sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝__________，sin B＝________，cos B＝________，tan B＝________；(4)asin A＝________，bsin B＝________，csin C＝________.3．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________，这个比值是________________________．自主探究已知△ABC的三个内角A、B、C及对应的三边a、b、c，试用向量法证明正弦定理．对点讲练知识点一已知两角和一边解三角形例1在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．总结已知一个三角形的三边和三内角这六个量中的三个量，其中至少有一个是边，可以求解其余的三个量．变式训练1在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形．知识点二已知两边及其中一边的对角解三角形例2在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．总结已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．变式训练2在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c等于()A．1 B．2 C.3－1 D. 3知识点三已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数例3不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)c＝50，b＝72，C＝135°.总结已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问题可能出现一解、两解或无解的情况，具体判断方法是：可用三角形中大边对大角定理，也可作图判断．变式训练3 不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a ＝7，b ＝14，A ＝30°；(2)a ＝30，b ＝25，A ＝150°；(3)a ＝7，b ＝9，A ＝45°.1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a 、b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况.A 为锐角 a <b sin A a ＝b sin A b sin A <a <ba ≥b 无解 一解(直角) 两解(一锐角，一钝角)一解(锐角)A 为直角或钝角 a ≤b a >b 无解 一解(锐角)课时作业一、选择题1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．b sinC ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A2．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则这个三角形解的情况是( )A ．有两个解B ．有一个解C ．无解D ．不能确定3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3234．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°5．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°C ．a ＝7，b ＝8，A ＝98°D ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，∠B ＝60°，则C ＝________.7．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝__________.8．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是______________．三、解答题9．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？10．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，求a b的取值范围．答案详解第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一)知识梳理1．元素 解三角形2．90° (2)c 2 (3)a c b c a b b c a c b a(4)c c c 3.a sin A ＝b sin B ＝c sin C三角形外接圆的直径2R 自主探究证明 (1)若△ABC 为直角三角形，不妨设C 为直角．如图所示，根据正弦函数的定义，a c ＝sin A ，b c＝sin B ， 所以a sin A ＝b sin B＝c ＝2R(2R 为外接圆直径)． ∵C ＝90°，∴sin C ＝1，c sin C＝c ＝2R. ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R.(2)若△ABC 为锐角三角形，过A 点作单位向量i ⊥AC →，则有：i ·AB →＝i ·(CB →－CA →)＝i ·CB →－i ·CA →，∵i ⊥AC →，∴i ·CA →＝0，∴i ·AB →＝i ·CB →，即c cos(90°－A )＝a cos(90°－C )，∴c sin A ＝a sin C ，∴a sin A ＝c sin C. 同理可证：a sin A ＝b sin B ；b sin B ＝c sin C. ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (3)若△ABC 为钝角三角形，可仿(2)证明．综上，a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 对点讲练例1 解 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin 45°sin 30°＝52； c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)． 变式训练1 解 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4. ∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 例2 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.变式训练2 B [由正弦定理a sin A ＝b sin B， 可得3sin 60°＝1sin B， ∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ， 得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.]例3 解 (1)sin B ＝b a sin 120°＝45×32<32，所以三角形有一解．(2)sin B ＝b a sin 60°＝109×32＝539，而32<539<1， 所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°<B <90°， 故对应的钝角B 有90°<B <120°，也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．(3)sin B ＝b sin C c ＝7250sin C >sin C ＝22， 所以B >45°，所以B ＋C >180°，故三角形无解．变式训练3 解 (1)A ＝30°，a ＝b sin A ，故三角形有一解．(2)A ＝150°>90°，a ＝30>b ＝25，故三角形有一解．(3)A ＝45°，b sin 45°<a <b ，故三角形有两解．课时作业1．D [由余弦定理知D 正确．]2．B [因为a >b ，A 为钝角，所有只有一个解．]3．C [方法一 根据三角形内角和定理，A ＝180°－(B ＋C )＝45°.根据正弦定理，b ＝a sin B sin A ＝8sin 60°sin 45°＝4 6.方法二 如图，过点C 作CD ⊥AB ，由条件可知A ＝45°，而由CD ＝a sin 60°＝b sin 45°，得b ＝4 6.]4．A [∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0，π)，∴C ＝120°.]5．D [对于A ，由三角形的正弦定理知其只有一解；对于B ，∵a >b ，即A >B ，且A ＝150°，∴只有一解；对于C ，a <b ，即A <B ，且A ＝98°，∴无解．]6．75°解析 由正弦定理2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角，∴A ＝45°.∴C ＝75°.7．30°解析 b ＝2a ⇒sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 8．2<x <2 2解析 因三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2. 9．解 当a <b sin 30°，即b >2a ，b >43时，无解；当a ≥b 或a ＝b sin A ，即b ≤23或b ＝43时，有一解；当b sin A <a <b ，即23<b <43时，有两解．10．解 在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故所求的范围是(2，3)．。