数学参考答案及评分标准

数学参考答案及评分标准（文科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．(0,1] 2．23
3
． 4．（1,3） 5．．01,2≤++∈∃x x R x 6．6
x π=- 7．1.5 8. 11[,)739．2 10
．(1,1- 11. -3 12．－ 142 13. 23a <≤ 14． 2
[,)3
e +∞ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
解：∵0<α <π2，sin α＝45，∴cos α＝35，tan α＝43
，……………4 (1) sin 2α=2 sin αcos α=2425
……………9 (2)tan(α－5π4)＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17 ……………1416．（本小题满分14分）
16解：（1）cos cos sin sin cos()cos A B A B A B C ⋅=-=+=-m n ， …… 2分
所以cos cos 2C C -=，即22cos cos 10C C +-=， ………… 4分
故1cos 2
C =或cos 1C =-（舍）， 又0C π<<，所以3C π=． …………… 7分
（2）因为18CA CB ⋅= ，所以36CA CB ⨯=． ① ……………… 9分
由余弦定理2222cos60AB AC BC AC BC =+-⋅⋅︒，
及6AB =得，12AC BC +=． ② ……………12分
由①②解得6,6AC BC ==． ……………14分
17．（本小题满分14分）
（1
）因为PN θ=
，ON θ=，
sin 3
OM θθ==，
所以sin MN ON OM θθ=-=-………… 6分
所以sin )y θθθ-，即23s i n c o s
y θθθ=，((0,))3πθ∈… 8分
（2）选择23sin cos )6y πθθθθ==+，…………… 12分 (0,)3πθ∈ 52(,)666
πππθ∴+∈………………… 13分
所以max y =.……… 14分 18．（本小题满分16分）
解：(1)由题得f (x )的定义域为(0，＋∞)， (2)
且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x 2.∵a >0， ∴f ′(x )>0，......4 故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数 (6)
(2)由(1)可知：f ′(x )＝x ＋a x 2
， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为
增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去) (8)
②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为
减函数， ∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－e 2
(舍去) ……………0 ③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a .
当1<x <－a 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1，－a )上为减函数；
当－a <x <e 时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－a ，e)上为增函数，
∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32
⇒a ＝－ e. ...............14 综上可知：a ＝－e (16)
19．（本小题满分16分）
解：（1）证明：假设)(x f 是奇函数，那么对于一切R ∈x ，有)()(x f x f -=-，
从而)0()0(f f -=-，即0)0(=f ，但是0|1|1|2|4)0(00≠-+=-+=a a f ，矛盾．
所以)(x f 不是奇函数．（也可用0)1()1(≠-+f f 等证明） ………………（4分）
（2）因为02>x ，04>x ，所以当0≤a 时，a x f x x -+=24)(，由2)(a x f >，得
224a a x x >-+，即0)1(24>+-+a a x x ，0)12)(2(>++-a a x x ，
因为02>-a x ，所以012>++a x
，即)1(2+->a x ． ………………………（6分）
①当01≥+a ，即01≤≤-a 时，)1(2+->a x 恒成立，故x 的取值范围是R ； 分） ②当01<+a ，即1-<a 时，由)1(2+->a x ，得)]1([log 2+->a x ，故x 的取值范围是),)]1([(log 2∞++-a ． ………………………（8分）
（3）令x t 2=，则0>t ，原函数变成||2a t t y -+=．
①若0≤a ，则a t t y -+=2在),0(∞+∈t 上是增函数，值域为),(∞+-a ．（10分）
②若0>a ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤<+-=.
,,0,22a t a t t a t a t t y ……………………………………（12分） 对于a t ≤<0，有41212-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=a t y ， 当210<
<a 时，y 是关于t 的减函数，y 的取值范围是),[2a a ； 当21≥a 时，41min -=a y ，当121<≤a 时，y 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣
⎡-a a ,41， 当1≥a 时，y 的取值范围是⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-2,41a a ． 对于a t >，有a t t y -+=24121--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a t a
是关于t 的增函数， 其取值范围),(2∞+a ． …………………………………………（14分） 综上，当0≤a 时，函数)(x f y =的值域是),(∞+-a ； 当210<
<a 时，函数)(x f y =的值域是),[2∞+a ； 当21≥a 时，函数)(x f y =的值域是⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∞+-,41a ． ………………………（16分） 20．（本小题满分16分）
（1）当1k =时，()ln 1f x x x x =-+，
()ln f x x '=． ……1分
令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，
∴()f x 的单调增区间为()1+∞，
，单调减区间为()01，．……3分 （2）()ln 1f x x k '=+-，
当1k ≤时，由1x >，知()0f x '>，
所以，()f x 在()1+∞，上是单调增函数，且图象不间断， 又(1)0f =，∴当1x >时，()(1)0f x f >=， ∴函数()y f x =在区间()1+∞，上没有零点，不合题意． …5分 当1k >时，由()0f x '=，解得11k x e -=>， 若11k x e -<<，则()0f x '<，故()f x 在()11,k e -上是单调减函数， 若1k x e ->，则()0f x '>，故()f x 在()1,k e -+∞上是单调增函数， ∴当11k x e -<<时，()(1)0f x f <=，
又∵()
()10k k k f e ke k e k =--=>，()f x 在()1+∞，上的图象不间断， ∴函数()y f x =在区间()1+∞，上有1个零点，符合题意． …7分 综上所述，k 的取值范围为()1+∞，． …………8分
（3）假设存在正整数k ，使得()0f x x +>在1x >上恒成立，
则由1x >知10x ->，从而ln 1x x x k x +<-对1x >恒成立（*） ……9分 记ln ()x x x g x +=，得22ln
()(1)
x x g x x --'=-， ……10分 设()2ln h x x x =--，11()10x h x -'=-=>， ∴()h x 在()1+∞，
是单调增函数， 又(3)1ln30(4)2ln 40()h h h x =-<=->，，在[3,4]上图象是不间断的，
∴存在唯一的实数0(34)x ∈，
，使得0()0h x =， …12分 ∴当01x x <<时，()0()0()h x g x g x '<<，，在0(1)x ，上递减， 当0x x >时，()0()0()h x g x g x '>>，，在0(,)x +∞上递增， ∴当0x x =时，()g x 有极小值，即为最小值，00000ln ()1x x x g x x +=-，……14分 又000()2ln 0h x x x =--=，∴00ln 2x x =-，∴00()g x x =， 由（*）知，0k x <，又0(3,4)x ∈，*N k ∈，∴k 的最大值为3，
即存在最大的正整数3k =，使得()0f x x +>在()1x ∈+∞，
上恒成立． (16)。