2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第10章 第7节 离散型随机变量及其分布列
高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布108离散型随机变量的均值与方差课件理新人教A版
5．在一次招聘中，主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题。乙能正确完成每道题的概率为32，且 每道题完成与否互不影响。记乙能答对的题数为 Y，则 Y 的数学期望为 ________。
解析
＝2。 答案
由题意知 Y 的可能取值为 0,1,2,3，且 Y～B3，32，则 E(Y)＝3×32 2
二项分布的期望与方差 1．如果 ξ～B(n，p)，则用公式 E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大 大减少计算量。 2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机 变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b 以及 E(ξ)＝ np 求出 E(aξ＋b)，同样还可求出 D(aξ＋b)。
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝
aE(X)＋b
。
(2)D(aX＋b)＝ a2D(X) (a，b 为常数)。
3．两点分布与二项分布的均值、方差
X
X 服从两点分布
X～B(n，p)
E(X)
p(p 为成功概率)
np
D(X)
p(1－p)
np(1－p)
1．均值 E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即 X 作为随机变量是 可变的，而 E(X)是不变的，它描述 X 值的取值平均状态。
A．37 B．4 C．－1 D．1
解析
选 A。 答案
E(X)＝－21＋61＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73。故 A
2．(选修 2－3P68A 组 T5 改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数 分别是两个随机变量 X，Y，其分布列分别为：
2018版高中数学理一轮全程复习课件第十章 计数原理、
——[悟· 技法]—— (1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注 意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)若 X 是随机变量，则 2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量， 求它们的分布列可先求出相应随机变量的值， 再根据对应的概率 写出分布列．
C2 2 解析：当 2 球全为白球时C2＝0.1， 5 1 1 C3· C2 6 当 1 红、1 白时 C2 ＝10＝0.6， 5 C2 3 当 2 球全为红球时C2＝0.3. 5 答案：0.1 0.6 0.3
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1．离散型随机变量的分布列 变量 来表示， 如果随机试验的结果可以用一个①______ 那么这样 的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫 离散型随机变量 做②__________________.
解析：1<Y≤5，即 1<2X－3≤5， 所以 2<X≤4，故 P(1<Y≤5)＝P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝ 4)＝0.4＋0.2＝0.6. 答案：0.6
6．从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设 其中有 X 个红球，则随机变量 X 的概率分布为 0 1 2 X P ______ ______ ______
i＝1 n
3．常见离散型随机变量的分布列 0 1 X (1)两点分布： P 1－p p 若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为 P(X＝1) 称为成功概率． ，其中 p＝⑥__________ (2)超几何分布列： 在含有 M 件次品数的 N 件产品中，任取 n 件，其中含有 X n－k Ck MCN－M 件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝ Cn (k＝ N min{M，n} ， 0,1,2，…，m)，其中 m＝⑦____________ n≤N，M≤N，n、M、N∈ N* 且⑧_______________________ ，则称分布列为超几何分布列 . 0 1 X m … n－0 n －1 n－m C0 CN C1 Cm －M M· MCN－M MCN－M P … n n n CN CN CN
人教版高中数学高考一轮复习--离散型随机变量及其分布列(课件 共32张PPT)
机变量的取值,例如x,y,z.
3.离散型随机变量的散布列
(1)定义
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值
xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率散布列,简称散布列.
(2)性质
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
4.两点分布
由题意知P(X<1)=P(X=0)+P(X=-1)+P(X=-2)=0.2+0.2+0.1=0.5.
3.(多选)设随机变量X的散布列为 P = =ak(k=1,2,3,4,5) ,则(ABC)
5
A.15a=1
B.P(0.5<X<0.8)=0.2
C.P(0.1<X<0.5)=0.2
D.P(X=1)=0.3
①求此人到达当日空气重度污染的概率.
②设X是此人停留期间空气质量良好的天数,求X的散布列.
解 ①设 Ai 表示“此人于 3 月 i 日到达该市”,i=1,2,…,13,
1
根据题意,P(Ai)= ,且
13
Ai∩Aj=⌀,i≠j,
设 B 表示“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8,
故此人到达当日空气重度污染的概率
均失败,第三次实验无论成功与否,之后都停止实验.而错误解法误认为X=3
表示前两次实验均失败,第三次实验成功.
正确解法
依题意,X的可能取值为1,2,3,
2
1 2 2
则 P(X=1)=3,P(X=2)=3 × 3 = 9,
1 1
2 1
1
P(X=3)= × × + = .
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第十章
【解题导引】(1)分十位数字是2,3,4讨论.(2)先求X的 可能取值及对应概率,再求分布列及数学期望. 【规范解答】(1)若十位数字是4,有145,245,345；若 十位数字是3,有135,235；若十位数字是2,有125.所以 个位数字是5的“三位递增数”有145,245,345,135, 235,125共6个.
9 3 ξ可取的值有0，1，2，4，其中P(ξ=0)= 4 ， A4 8 1 2 C4 2 1 C4 1 P( 1) ，P( 2) 4 , 4 A4 3 A4 4 P( 4) 1 1 3 1 1 1 ,E 0 1 2 4 1. 4 A4 24 8 3 4 24
第九节
离散型随机变量的均值与方差
【知识梳理】 1.离散型随机变量X的分布列 X x1 x2 „ xi „ xn
P
p1
p2
„
pi
„
pn
2.离散型随机变量X的均值与方差
均值(数学期望) 计 x1p1+x2p2+„+xipi E(X)=________________ 算 公 ________ +„+xnpn 式
【解析】甲、乙一天中出现废品数的均值分别为 E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1, E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9, 所以E(X)>E(Y),故乙的技术较好.
答案:乙
感悟考题
试一试
3.(2016·聊城模拟)如图,将一个各面都涂了油漆的正
方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,
从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的 均值E(X)= ( )
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案离散型随机变量及其分布列1
第七节 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．(2)理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 知识点一 离散型随机变量分布列 1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．(2)分布列的性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n . ②∑ni ＝1p i ＝1. 易误提醒 (1)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．(2)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．[自测练习]1．设随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 4 P161316p则p 为( ) A.16 B.13 C.23D.12解析：由16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝13.答案：B2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)＝________.解析：由分布列的性质知12a ＋22a ＋32a ＝1，∴a ＝3，∴P (X ＝2)＝22a ＝13.答案：13知识点二 常见的离散型随机变量的分布列 1．两点分布列X 0 1 P1－pp若随机变量X 的分布列具有上表的形式，就称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率．2．超几何分布列在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.X 01… mPC 0M C n －N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C m M C n －mN －MC nN如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 易误提醒 对m ＝min{M ，n }的理解易忽视其含义如下：m 为k 的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即n ≤M 时，k (抽取的样本中次品的件数)的最大值为m ＝n ；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n >M 时，k 的最大值为m ＝M .[自测练习]3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13D.23解析：由已知得X 的所有可能取值为0,1，且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝13.答案：C考点一 离散型随机变量分布列的性质|1．已知随机变量X 的概率分布如下：X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P23232233234235236237238239mA.239B.2310C.139 D.1310 解析：由离散型随机变量分布列的性质可知23＋232＋233＋…＋239＋m ＝1，∴m ＝1－⎝⎛⎭⎫23＋232＋233＋…＋239 ＝1－2·13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1391－13＝⎝⎛⎭⎫139＝139.答案：C2．若随机变量X 的分布列为( )X －2 －1 0 1 2 3 P0.10.20.20.30.10.1则当P (X <a )＝A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2]D ．(1,2)解析：由随机变量X 的分布列知：P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．答案：C(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．考点二 离散型随机变量分布列的求法|(2015·高考四川卷)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛．设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．[解] (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．代表队中的学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100. 因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为X 1 2 3 P153515因此，X 的数学期望为E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.离散型随机变量分布列步骤(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i ＝1,2,3，…，n )． (2)求出各取值的概率P (X ＝x i )＝p i .(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．1．某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望． 解：(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响， ∵P (A )＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫231＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝727.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132＝627；P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131＝1227；P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. 因此X 的分布列为X 0 1 2 3 11276271227827E (X )＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.考点三 超几何分布|(2016·南昌模拟)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．[解] (1)所选3人中恰有一名男生的概率P ＝C 25C 14C 39＝1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 35C 39＝542，P (ξ＝1)＝C 25C 14C 39＝1021，P (ξ＝2)＝C 15C 24C 39＝514，P (ξ＝3)＝C 34C 39＝121.∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P5421021514121对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．2．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12(n －6)n (n －1)，则12(n －6)n (n －1)≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0， 解得9≤n ≤16，故n 的最大值为16. (2)由题意得，ξ的可能取值为0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 26C 212＝522，P (ξ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (ξ＝2)＝C 26C 212＝522，ξ的分布列为ξ 0 1 2 P52261152223.忽视分布列性质致误【典例】 随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c d 的取值范围是________． [解析] 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13.所以P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13，此即公差d 的取值范围．[答案] 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 [易误点评] 求解易忽视a ，b ，c 因大于或等于0而致误．[防范措施] 利用分布列的性质解决问题时要注意每一变量对应的概率值0≤P i ≤1. [跟踪练习] 设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q ＝________；P (X ≤解析：由分布列的性质得：⎩⎪⎨⎪⎧0≤q 2≤1，①0≤1－q ≤1，②0≤52q －1≤1，③q 2＋(1－q )＋⎝⎛⎭⎫52q －1＝1，④由①②③，得25≤q ≤45.由④，得q 2＋32q －1＝0，即⎝⎛⎭⎫q －12(q ＋2)＝0，解得q ＝12或q ＝－2(舍去)．故q ＝12. 由分布列可知X 的可能取值只有1,2,3，故P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝q 2＋(1－q )＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫1－12＝34.答案：12 34A 组 考点能力演练1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( )A ．5B ．9C ．10D ．25解析：X 的所有可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10共9个． 答案：B2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3,4)，则P (2<X ≤4)等于( )A.910B.710C.35D.12 解析：由分布列的性质，12a ＋22a ＋32a ＋42a＝1，则a ＝5.∴P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝310＋410＝710.答案：B3．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，k ＝4.答案：C4．(2016·厦门质检)设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k(k ＝1,2,3)，则m 的值为( )A.1738B.2738C.1719D.2719解析：由分布列的性质得P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝m ×23＋m ⎝⎛⎭⎫232＋m ×⎝⎛⎭⎫233＝38m 27＝1.∴m ＝2738.答案：B5．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( ) A ．P (ξ＝3)B ．P (ξ≥2)C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2)解析：依题意知，(n －m )A 2mA 3n 是取了3次，所以取出白球应为2个．答案：D6．设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝解析：由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，p (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.答案：5127．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________．解析：事件“X ＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220.答案：272208．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于________． 解析：由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．答案：1－(α＋β)9．(2016·大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的分布列． 解：(1)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－23＝19， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×23＝718， P (X ＝2)＝12×13×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×23＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×23＝718，P (X ＝3)＝12×13×23＝19.∴X 的分布列为(2)该高中得分η的可能取值为6,9,12,15. P (η＝6)＝19，P (η＝9)＝718，P (η＝12)＝718，P (η＝15)＝19，该高中得分η的分布列为10.(2016·开封模拟)厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x 、y 的含量(单位：mg)，下表是乙厂的5件产品测量数据.(1)(2)当产品中微量元素x 、y 满足x ≥175，y ≥75时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列． 解：(1)设乙厂生产的产品为m 件，依题意得1498＝5m ，∴m ＝35.(2)∵上述样本数据中满足x ≥175且y ≥75的只有2件， ∴估计乙厂生产的优质品为35×25＝14(件)．(3)依题意，ξ可取0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 33C 35＝110，P (ξ＝1)＝C 23C 12C 35＝610，P (ξ＝2)＝C 13C 22C 35＝310.∴ξ的分布列为：1．(2014·高考天津卷改编)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列． 解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13C 27＋C 03C 37C 310＝4960.所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3. P (X ＝k )＝C k 4·C3－k 6C 310(k ＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X 的分布列是2.(2015·10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列．解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上可知，X的分布列为。
高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.7离散型随机变量及其分布列习题课件理
X3
4
5
P 0.1 0.3 0.6
第十七页，共42页。
13．已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙 盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球，现从甲、乙两个盒 内各任取 2 个球．设 ξ 为取出的 4 个球中红球的个数，则
3 P(ξ＝2)＝___1_0____.
第十八页，共42页。
∴q＝1－ 22，故选 C.
第六页，共42页。
5．已知某一随机变量 X 的概率分布如下，且 E(X)＝6.9， 则 a 的值为( )
X4 a 9 P m 0.2 0.5 A．5 B．6 C．7 D．8
解析 因为在分布列中，各变量的概率之和为 1，所以 m＝ 1－ (0.2＋ 0.5)＝ 0.3，由数 学期望 的计 算公式， 可得 4×0.3＋a×0.2＋9×0.5＝6.9，a＝6，故选 B.
第十五页，共42页。
12．(2018·临汾联考)口袋中有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5， 从中任意取 3 只球，以 X 表示取出的球的最大号码，则 X
X3
4
5
P 0.1 0.3 0.6 的分布列为_____________________________．
第十六页，共42页。
解析 X 的取值为 3,4,5.又 P(X＝3)＝C135＝110， P(X＝4)＝CC2335＝130，P(X＝5)＝CC2435＝35. ∴随机变量 X 的分布列为
第二十二页，共42页。
B级 三、解答题 15．(2018·太原模拟)根据某电子商务平台的调查统计显 示，参与调查的 1000 位上网购物者的年龄情况如图所示．
第二十三页，共42页。
(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物 者人数成等差数列，求 a，b 的值；
2018届高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.7离散型随机变量及其分布列课件理
0.682 6 ； ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝________ 0.954 4 ； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝________ 0.997 4 。 ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝_________
微点提醒 1．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)＝ P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公 式为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。 2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性， 即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验 是独立重复地进行了 n 次。 3．P(A· B)＝P(A)· P(B)只有在事件 A，B 相互独立时，公式才成立，此 时 P(B)＝P(B|A)。
P(B|A) ＋________ P(C|A) 。 ________
2．相互独立事件的概率 (1)相互独立事件的定义及性质
①P(A)· P(B) ，则称事件 A ①定义：设 A，B 是两个事件，若 P(AB)＝____________
与事件 B 相互独立。
A 与 B， A 与___ B B ，___ ②性质：若事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与___
二、双基查验 1．已知盒中装有 3 个红球、2 个白球、5 个黑球，它们大小形状完全 相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球 的条件下，第二次拿到红球的概率为( 3 A.10 1 B.3 3 C.8 2 D.9 )
小|题|快|练 一 、走进教材 1．(选修 2－3P55 练习 T1 改编)有 3 位同学参加某项测试，假设每位同 1 学能通过测试的概率都是2，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少 有二位同学能通过测试的概率为( 1 A.8 3 B.8 1 C.2 ) 7 D.8
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第十章
考向一
随机事件的频率与概率
【典例1】(1)在投掷一枚硬币的试验中,共投掷了100
次,“正面朝上”的频数为51,则“正面朝上”的频率
为( A.49 ) B.0.5 C.0.51 D.0.49
(2)(2015·北京高考)某超市随机选取1000位顾客,记 录了他们购买甲、乙、丙、丁四种食品的情况,整理成 如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
第四节
随机事件的概率
【知识梳理】 1.事件的相关概念
会发生 不发生 发生 不发生
2.频率和概率 (1)频数、频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某 次数nA 为 一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的______
nA n 事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=______ 为
5.(2016·青岛模拟)某人进行打靶练习,共射击10次, 其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未打 靶.假设此人射击1次,则其中靶的概率约为 中10环的概率约为 . ;
【解析】中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频
9 率为 =0.9,所以此人射击1次,中靶的概率约为0.9. 10
0 (3)不可能事件的概率为__.
(4)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B) P(A)+P(B) =__________.
(5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则
1 1-P(B) A∪B为必然事件,P(A∪B)=__,P(A)=_______.
【特别提醒】 1.概率与频率的关系:概率可看成频率在理论上的期望
包含于 事件B) _______
B⊇A
(或A⊆B) A=B A∪B _____ (或A+B) ________
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.3
9 x
的
展开式中 x 的系数等于( )
A．84 B．24 C．6 D．－24
[解析]
根据二项式定理可知，Tr＋1＝Cr9－13r99－rx
9-r- r 3
＝Cr9
－13r99－rx
9- 4r 3
，令
9－43r＝1，得
r＝6，∴x
的系数为
C69－136×93
＝84，故选 A.
[答案] A
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2r≥8－1 r， 即7－1 r≥r＋2 1，
解得rr≥ ≤113336.，
又∵r∈Z，∴r＝5.∴系数最大的项为 T6＝C57x2·25y5＝672x2y5. 故选 C.
r＝3，故常数项是第四项且
T4
＝－84.
答案：C
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．(2015·陕西卷)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中 x2 的系数 为 15，则 n＝( )
A．7 B．6 C．5 D．4 解析：由(x＋1)n＝(1＋x)n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn，知 C2n＝ 15，所以nn2－1＝15，解得 n＝6 或 n＝－5(舍去)．故选 B. 答案：B
第十三页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
第十四页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
[授课提示：对应学生用书第 174 页] 考向一 求展开式中的指定项或特定项
[自主练透型] [例 1] (1)(2016·全国卷乙)(2x＋ x)5 的展开式中，x3 的系数 是________；(用数字填写答案)
解析：Tr＋1＝C7r ·(x3)7－r1xr＝C7r x21－4r， 令 21－4r＝5，得 r＝4，C47＝35. 故展开式中 x5 的系数为 35. 答案：35
2018版高中数学理一轮全程复习课件第十章 计数原理、
[授课提示：对应学生用书第 170 页] 考向一 分类加法计数原理[自主练透型] x 2 y2 [例 1] 椭圆m＋ n ＝1 的焦点在 x 轴上，且 m∈{1,2,3,4,5}， n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．
解析：∵a＋bi 为虚数，∴b≠0，即 b 有 6 种取法，a 有 6 种取法，由分步乘法计数原理知可以组成 6×6＝36(个)虚数． 答案：C
3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共 有( ) A．50 个 B．45 个 C．36 个 D．35 个
解析：根据题意个位上的数字分别是 2,3,4,5,6,7,8,9 共 8 种 情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个，7 个，8 个，由分类加法计数原理知，符 合题意的两位数共有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． 答案：C
3．两个原理的区别与联系 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及③ 完成一件事情 的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法 _____________ 分类 有关，各种方法相互独立，用其中的任一 计数原理与④________ 分步 有 种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与⑤________ 关，各个步骤⑥ 相互依存 ，只有各个步骤都完成了，这件事才 算完成．
5．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一 条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．
解析： 由分步乘法计数原理， 一条长裤与一件上衣配成一套， 分两步，第一步选上衣有 4 种选法，第二步选长裤有 3 种选法， 所以有 4×3＝12(种)选法． 答案：12
高考数学一轮复习 第十章 第七节 离散型随机变量及其分布列课件 理 新人教版
[规律方法] 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 X 的
取值情况，然后通过概率知识求出 X取各个值对应的概率值，
注意利用分布列的性质验证．
[跟踪训练]
2．(2014·北京东城) 某中学选派40名同学参加北京市高中生
1 1 3 A [P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝ 3＋ 4＝ .] 2 2 16
3．袋中装有 10 个红球、5 个黑球．每次随机抽取 1 个球后，若 取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽 取的次数为 X，则表示“放回 5 个红球”事件的是 ( A．X＝4 C．X＝6 B．X＝5 D．X≤5 )
则 k 的值为 ( 1 A. 2 C．2 k k k B [由 ＋ ＋…＋ ＝1， n n n 解得 k＝1.] B．1 D．3 )
分布列的求法 [典题导入]
(2013·江西高考)小波以游戏 方式决定是参加学校合唱团还是参加学校 排球队．游戏规则为：以O为起点，再 从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)
1－p
这样的分布列叫做两点分布列.
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从 两点分 布，而称p＝ P(X＝1) 为成功概率．
2．超几何分布列 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰
n －k Ck C M N －M 有 X 件次品，则 P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，…，m， Cn N
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布 列．有时为了表达简单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
表示X的分布列．
三、离散型随机变量分布列的性质 1． pi ≥0，i＝1,2，…，n； 2. pi＝1 .
2018版高中数学理一轮全程复习课件第十章 计数原理、
S阴 180 解析：由题意知，这是几何概型问题， ＝1 000＝0.18， S正 ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18. 答案：0.18
[知识重温] 一、必记 2●个知识点 1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的① 面积 或③______) 长度 ②______ 体积 成比例，则称这样的概率模型为几 ______( 几何概型 何概率模型，简称为④__________. 2．在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： 构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝⑤__________________________. 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
——[悟· 技法]—— 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象 的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线 段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半 径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所 以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
——[通· 一类]—— 1． (2016· 山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数 k， 则事件“直 线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交”发生的概率为________．
4．在区间[0,4]上随机取两个实数 x，y，使得 x＋2y≤8 的概 率为( ) 1 3 9 3 A.4 B.16 C.16 D.4
0≤x≤4， 解析： 0≤y≤4
表示的平面区域为正方形 OBCD 及其内
部，如图所示，x＋2y≤8(x、y∈[0,4])表示的平面区域为图中阴 影部分，所以所求概率 P＝ 1 4×4－2×4×2 3 ＝4，故选 D. 4×4 答案：D
解析：利用直线与圆相交的条件及几何概型求解． |5k| 2 2 由直线 y＝kx 与圆(x－5) ＋y ＝9 相交， 得 2 ＜3， 即 16k2 k ＋1 3 3 ＜9，解得－4＜k＜4. 3 3 － － 4 4 3 由几何概型的概率计算公式可知 P＝ ＝4 . 2 3 答案：4
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.1
3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共 有( )
A．50 个 B．45 个 C．36 个 D．35 个 解析：根据题意个位上的数字分别是 2,3,4,5,6,7,8,9 共 8 种 情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个，7 个，8 个，由分类加法计数原理知，符 合题意的两位数共有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． 答案：C
2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a，b 组成 复数 a＋bi，其中虚数有( )
A．30 个 B．42 个 C．36 个 D．35 个 解析：∵a＋bi 为虚数，∴b≠0，即 b 有 6 种取法，a 有 6 种取法，由分步乘法计数原理知可以组成 6×6＝36(个)虚数． 答案：C
第十页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
二、必明 2●个易误点 1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方 法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． 2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只 是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．
第十一页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
答案：B
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
考向三 两个计数原理的综合应用[互动讲练型] [例 3] 如图所示，用四种不同颜色给图中的 A，B，C，D， E，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的 两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( ) A．288 种 B．264 种 C．240 种 D．168 种
第九页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
3．两个原理的区别与联系 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及③ _完__成__一__件__事__情__的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法 计数原理与④__分__类 ____有关，各种方法相互独立，用其中的任一 种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与⑤__分__步____有 关，各个步骤⑥ 相互依存 ，只有各个步骤都完成了，这件事才 算完成．
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：10.7 离散型随机变量的均值与方差(专题拔高配套PPT课件)
关闭
因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均 3 为 ,又连续摸 4 次(做 4 次试验),X 为取得红球(成功)的次数,所以
5
X~B 4, ,所以 D(X)=4× × 1- = . 5 5 5 25 B
解析
3
3
3
24
关闭
答案
第十章
知识梳理 双击自测
10.7 离散型随机变量的均值与方差
第十章
知识梳理 双击自测
10.7 离散型随机变量的均值与方差
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-4-
1.已知随机变量X的分布列如下表,则E(X)=(
)
X P
A.0.4
0 0.2
B.1.2 C.1.6 D.2
1 0.2
3 y
关闭
由0.2+0.2+y=1,得y=0.6,所以E(X)=1×0.2+3×0.6=2.故选D.
关闭
D
解析 答案
第十章
知识梳理 双击自测
10.7 离散型随机变量的均值与方差
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-5-
2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)= 3 ,k=1,2,3,则D(3X+5)=( A.6 B.9 C.3 D.4
1
)
关闭
由 E(X)=3(1+2+3)=2,得 D(X)=3, D(3X+5)=32×D(X)=6.故选 A. A
3
关闭
解析
答案
第十章
知识梳理 双击自测
10.7 离散型随机变量的均值与方差
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2018卓越学案高考理科数学新课标一轮复习课件：第10章
C．0.5 D．0.6 解析：由分布列性质得 0.2＋0.3＋3a－1＝1.
∴a＝0.5，故选 C.
2．(选修 2－3 P49A 组 T5 改编)某射击选手射击环数的分布列为 X 7 8 9 10 b P 0.3 0.3 a
若射出不小于 9 环为优秀，其射击一次的优秀率为( B ) A．30% C．60% B．40% D．70%
解析：两封信投入 A，B，C 三个空邮箱，投法种数是 32＝9，A 4 中没有信的投法种数是 2× 2＝4，概率为 ， 9 A 中仅有一封信的投法种数是 4 1 C2× 2＝4，概率为 ， 9
1 A 中有两封信的投法种数是 1，概率为 ， 9 故分布列为 X 0 1 2 4 4 1 P 9 9 9
n－ k Ck C M N－M n C N 则事件 {X ＝ k} 发生的概率为 P(X ＝ k) ＝
，k＝
0,1,2，„，m，其中 m＝ min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M， N∈N*，称分布列为超几何分布列. X 0 1
－1 C1M CnN －M CnN
„ „
m
m CmM Cn－ N－M CnN
{X＝3}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色 的球，或 3 个黄球和 1 个其他颜色的球”，
1 3 1 C3 13 4C5＋C3C6 20＋6 故 P(X＝3)＝ ＝ ＝ ； C4 126 63 9
13 1 11 于是 P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－ － ＝ . 63 126 14 所以随机变量 X 的概率分布如下表： X P 2 3 4
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第7讲 离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量， 常用字母 X， Y， ξ，η，„表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为
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1 2 C1 C ＋ C 1 3 4 3 [解] (1)由已知，有 P(A)＝ C2 ＝3. 10
1 所以，事件 A 发生的概率为3.5 分 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2.
2 2 C2 4 3＋C3＋C4 P(X＝0)＝ ＝15， C2 10 1 1 1 C1 7 3C3＋C3C4 P(X＝1)＝ ＝15， 2 C10 1 C1 C 4 3 4 P(X＝2)＝ C2 ＝15.8 分 10
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[变式训练 2] (2016· 天津高考)某小组共 10 人，利用假期参加义工活动．已知 参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该 组代表参加座谈会． (1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的 概率； (2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布 列和数学期望．
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3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量 X 服从两点分布，其分布列为
X 0 1
，
P 1－p p
其中 p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次
n－k Ck C M N－M 品， 则 P(X＝k)＝ Cn ， k＝0,1,2， „， m， 其中 m＝min{M， n}， 且 n≤N， M≤N， N
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5．从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有 X 个红球， 则随机变量 X 的概率分布列为________. X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
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[依题意，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2.
1 1 C2 C 2 3C2 则 P(X＝0)＝C2＝0.1，P(X＝1)＝ C2 ＝0.6， 5 5
C2 3 P(X＝2)＝C2＝0.3. 5 故 X 的分布列为 X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
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离散型随机变量分布列的性质
设离散型随机变量 X 的分布列为 X 0.1 0.3 m 求随机变量 η＝|X－1|的分布列． 【导学号：01772411】
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离散型随机变量的分布列
(2015· 安徽高考)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检 测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者 检测出 3 件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者 检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位： 元) ， 求 X 的分布列和均值(数学期望)．
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[易错与防范] 1．对于分布列易忽视其性质 p1＋p2＋„＋pn＝1 及 pi≥0(i＝1,2，„，n)， 其作用是求随机变量取某个值的概率或检验所求离散型随机变量的分布列是 否正确． 2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼 此互斥的． 3．分布列的结构为两行，第一行为随机变量 X 所有可能取得的值；第二 行是对应于随机变量 X 的值的事件发生的概率．
n，M，N∈N*，称随机变量 X 服从超几何分布. X 0 1 „ m
n－0 1 n－1 m n－m C0 C C C C － － N M M N M MCN－M „ P M n n CN Cn C N N
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于 1.( (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( (3)如果随机变量 X 的分布列由下表给出，则它服从两点分布．( X 2 5 P 0.3 0.7 (4)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人， 其中女演员的人数 X 服从超几何分 布．( ) ) ) )
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[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A，
1 A1 3 2A3 P(A)＝ A2 ＝10.5 分 5
(2)X 的可能取值为 200,300,400. A3＋C2C3A2 3 A2 1 2 P(X＝200)＝A2＝10，P(X＝300)＝ ＝10， 3 A 5 5 P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300) 1 3 6 3 ＝1－10－10＝10＝5.8 分
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抓 基 础 · 自 主 学 习
第七节
[考纲传真]
离散型随机变量及其分布列
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，
明 考 向 · 题 型 突 破
了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并 能进行简单的应用．
课 时 分 层 训 练
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1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量 随机变量，称为 离散型 随机变量． ， 所有取值可以一一列出的
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[变式训练 3] (2015· 重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装 有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相 同．从中任意选取 3 个． (1)求三种粽子各取到 1 个的概率； (2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望．
3 1 1 2
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故 X 的分布列为 X 200 300 400 P 1 10 3 10 3 5
1 3 3 E(X)＝200×10＋300×10＋400×5＝350.12 分
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[规律方法]
1.求随机变量的分布列的主要步骤：
(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布； (2)求每一个随机变量取值的概率； (3)列成表格，写出分布列，其中的关键是第(2)步． 2．本题在计算中注意两点：(1)充分利用排列、组合知识准确计算古典概型的 概率；(2)灵活运用分布列的性质求 P(X＝400)的概率，简化了计算．
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综上知，X 的分布列为 X 0 1 2
7 7 1 P 15 15 15 10 分 7 7 1 3 故 E(X)＝0×15＋1×15＋2×15＝5(个).12 分
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[思想与方法] 1．对于随机变量 X 的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这 些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是 指出了随机变量 X 的取值范围以及取这些值的概率． 2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 X 的取值 情况，然后利用排列、组合与概率知识求出 X 取各个值的概率．
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2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，„，xi，„，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，„，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量 X 的 概率分布列 . X x1 x2 „ xi „ xn P p1 p2 „ pi „ pn (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，„，n)；② p1＋p2＋p3＋…＋pn ＝1.
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[解] 由分布列的性质，知 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.4 分 列表 X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3 ∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3.10 分
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所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2
4 7 4 P 15 15 15 4 7 4 随机变量 X 的数学期望 E(X)＝0×15＋1×15＋2×15＝1.12 分
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超几何分布
(2017· 衡水中学质检)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不 同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙 协会的运动员 5 名， 其中种子选手 3 名． 从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同 一个协会”，求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列. 【导学号：01772412】
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
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2．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为 X，那么 X＝4 表示的基 本事件是( )
A．一颗是 3 点，一颗是 1 点 B．两颗都是 2 点 C．一颗是 3 点，一颗是 1 点或两颗都是 2 点 D．甲是 3 点，乙是 1 点或甲是 1 点，乙是 3 点或两颗都是 2 点
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[变式训练 1] 随机变量 X 的分布列如下： X －1 0 1 P a b c
其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|＝1)＝________.
2b＝a＋c， 2 [由题意知 3 a＋b＋c＝1，
1 2 所以 2b＋b＝1，则 b＝3，因此 a＋c＝3. 2 所以 P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝3.]
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所以随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4
1 3 3 1 P 14 7 7 14 12 分
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[规律方法]
1.超几何分布是一种特殊的概率分布，其分布列可由公式直接给
出．具有两个特点：(1)是不放回抽样问题；(2)随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．超几何分布应用的条件：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3) 从中抽取若干个个体，考查某类个体个数 ξ 的概率分布，其实质是古典概型问题．