史上最负盛名1984高考数学试题
史上最难的1984全国高考理科数学试卷
/ 10 编者说明 1984年的第六题，考查解析几何。第1小题将椭圆参数藏在复数方程的根中；第2小题求椭圆的轨迹方程，给出的“衍生轨迹”而不是“直接轨迹”。使得广大考生无模式可套。本题 解：1.因为p，q为实数，0p，z1，z2为虚数，所以 0,04)2(22pqqp 由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称， 所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点 根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|， 焦距离=2c=|z1-z2|=2212212|4)(|pqzzzz， 长轴长=2a=.2222qcb 2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴 设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的21， 从而左焦点F的坐标为),23(yx 设d为点M到y轴的距离，则d=1 根据21||dMF及两点间距离公式，可得 1)2(4)32(9,)21()2()123(22222yxyx即 这就是所求的轨迹方程 七．（本题满分15分） 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10， 34coscosabBA，P为△ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值
史上最难1984全国高考理科数学试卷
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题128（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解（1） （2）解：1. 2.年的第四大题，考查立体几何内容。
题目从表面看去，似乎不难。
然而，由于命题人四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,，∴所以a ，b ，c 交于一点（即P 点） 2.若c ∥b ，则由c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ，b ，c 互相平行五．（本题满分14分）设c ，d ，x 为实数，c ≠0，x 讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4)((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得 .12cdx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0，1-d ＞0，即c ＞0，d ＜1；②c ＜0，1-d ＜0，即c ＜0，d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0，d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0，d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1，z 2.再设z 1，z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程9分） 解：1.因为p ，q 为实数，0≠p ，z 1，z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1，z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b =|z 1+z 2|=2|p |，焦距离=2c =|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+， 长轴长=2a =.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x ，y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d =1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得 1)2(432(9,21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c =10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有,sin sin cos cos ABB A = .2sin 2sin cos sin cos sin B A B B A A =∴=∴因为A ≠B ，所以2A =π-2B ，即A +B 2由此可知△ABC 是直角三角形 由c =10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC =.12)6810(21=++但上式中AD+DB =c =10，所以内切圆半径r = EC = 2.如图建立坐标系，则内切圆方程为：(x -2)2+(y -2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x ，y )，则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， 于是S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设α＞2，给定数列{x n }，其中x 1=α，)2,1()1(221=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x n n 那么如果α3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x an 必有时那么当如果α1．证：先证明x n ＞2(n =1，2，…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n =1，2，…）成立）再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n =1，2，…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，由条件及2>k x 知,0212()[2(0)212(2)212(2212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k kk k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式kk x 2121+≤+也成立， 从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n =k +1时成立用以下证法： 由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP =43π时，点P 的速度为v 求这时点M解：作CD ⊥AM ，并设AP = x ，AM = y ，∠COD =θ由假设，AC 的长为x AP 3232=，半径OC =1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴ 而.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(x x y xy x DC x y DM --=∴=--=dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y ])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(2----+--=∴--=解得.)43()843(2 ,,4322v dt dy M v dt dx x ---===ππππ点的速度代入上式得时当（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。
1984年全国高考数学试题及答案解析
1984年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是(C)X=Y(D)X≠Y【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么(A)F=0,G≠0,E≠0(B)E=0,F=0,G≠0(C)G=0,F=0,E≠0(D)G=0,E=0,F≠0【】[Key] (2)C;(A)一定是零(B)一定是偶数(C)是整数但不一定是偶数(D)不一定是整数【】[Key] (3)B;(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是(A)x∈(0,1](B)x∈(-1,0)【】[Key] (4)A;(A)是第一象限角(B)是第三象限角(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角(D)是第二象限角【】[Key] (5)B.二、只要求直接写出结果.(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.(2)函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)x<-2;(4)-20;(5)0;三、本题只要求画出图形.[Key] 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.[Key] 四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c与b或交于一点或互相平行.(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.所以a,b,c交于一点(即P点).(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.所以a,b,c互相平行.[Key] 五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解法一:由原对数方程得cx2+d=1.这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.解法二:原对数方程有解的充要条件是:(1)x>0,cx2+d=1.因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:(1)x>0,(5)x≠1,这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.[Key] 六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.(1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以(-2p)2-4q<0,q>p2>0.由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,解法二:同解法一,得q>p2>0.根据实系数一元二次方程的求根公式,得可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴.即这就是所求的轨迹方程.[Key] 七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.a=6,b=8.如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则如图建立坐标系,则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是S最大值=88-0=88,S最小值=88-16=72.解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2.内切圆的参数方程为所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而因为0≤α≤2π,所以S最大值=80+8=88,S最小值=80-8=72.[Key] 八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.(1)证明:先证明x n>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件α>2及x1=α知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式(x k-2)2>0成立,所以不等式x k+1>2也成立.从而不等式x n>2对于所有的正整数n成立.数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:所以不等式x n>2(n=1,2,…)成立.也可以这样证:对所有正整数n有还可以这样证:由于对所有正整数n有(2)证法一:用数学归纳法.由条件x1=α≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及x k>2知证法二:用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知再由x k>2及归纳假设可得x1>x2>…>x n>x n+1≥3.因此,由上面证明的结论及x1=α可得若x n≤3,则由第(1)小题可知x n+1<x n,从而有x n+1<3.若x n>3,则由第(1)小题可知x1>x2>…>x n>3.由此式及上面证明的结论,可得九、附加题,不计入总分.如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧的长为,直线PC与直线[Key] 九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解得。
1984年高考理科数学试题
1984年高考理科数学试题1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分，第九题附加题10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，每一个小题：选对的得3分；不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分。
1．数集X={(2n+1) π，n 是整数}与数集Y={(4k±1) π，k 是整数}之间的关系是( )A ．X ⊂YB ．X ⊃YC ．X=YD ．X≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么 ( )A ．F =0,D ≠0,E ≠0B ．E =0,F =0,D ≠0C ．D =0,F =0,E ≠0 D ．D =0,E=0,F ≠013．如果n 是正整数，那么[1-(-1) n ](n 2-1) 的值( )8A ．一定是零B ．一定是偶数C ．是整数但不一定是偶数D ．不一定是整数4．arccos(-x ) 大于arccos x 的充要条件是 ( )A ．x ∈(0,1]B ．x ∈(-1,0)C ．x ∈[0,1]D ．x ∈[0,5．如果θ是第二象限角，且满足cosπ] 2=那么( )222A ．是第一象限角B ．是第三象限角C ．可能是第一象限角, 也可能是第三象限角D ．是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分。
只要求直接写出结果。
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积。
21-25．求lim n 的值。
n →∞3+16．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）。
-sinθθθ三．（本题满分12分）本题只要求画出图形。
⎧0, 当x ≤01．设H (x ) =⎨画出函数y =H (x -1) 的图象。
1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题含答案
x
1,
(5)
x 2
=
1− d c
.
(6)
由条件（1）（6）知 1− d 0.这个不等式仅在以下两种情形下成立：
c
①c＞0,1-d＞0,即 c＞0,d＜1;
②c＜0,1-d＜0,即 c＜0,d＞1.
再由条件（1）（5）及（6）可知 c 1− d 从而，当 c＞0,d＜1 且c 1− d 时，或者当 c＜0,d＞1 且c 1− d 时，原
AD+DB+EC= 1 (10 + 8 + 6) = 12.但上式中 AD+DB=c=10，
2
所以内切圆半径 r=EC=2.
如图建立坐标系， 则内切圆方程为:
Y B（0，6） D
(x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点 P 的坐标为
E
O＇ P（x,y)
O C（0，0）
X A（8，0）
S =| PA |2 + | PB |2 + | PC |2
1 xk+1 1 + 2k
xk2
2(xk
1 −1)(2 + )
2k
xk2
− 2(2 +
1 2k
)xk
+
2(2 +
1 2k
)
0
(xk
−
2)[ x k
− (2
+
1 2k−1 )]
0,
再由 xk 2 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等
式 xk+1
2+
1 2k
也成立，从而不等式 xn
2+
1 2 n−1
(n
1984年(高考数学试题文理科)
一九八四年（理科）（这份试题共八道大题，满分120分。
第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的。
把正确结论的代号写在题后的圆括号内。
每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分。
1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零。
（B ）一定是偶数。
（C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数。
4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （ B ） （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分。
只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积。
答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集。
答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项。
1984年高考理科数学试题及答案
1984年高考理科数学试题及答案(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （ B ）（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值 答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分） 已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由ac c b ,.//,且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解2．1．Pb αβ aγ c解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4) )((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+xdcx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得.12c d x -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是cdx -=1 六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21， 从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得1)2(4)32(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有 .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x,y),则Y B （0，6） D 0.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ，S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31 =+≤≤-n x a n n 那么如果 3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知,0)]212()[2(0)212(2)212(2)212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k k k k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）11如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=43π时，点P 的速度为V 求这时点M 的速度解：作CD ⊥AM ，并设，AM=y ，∠COD=θ由假设， AC 的长为x AP 3232=， 半径OC=1，可知θ32= 考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDM AP AM =∴ 而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dt dx x x x x x x x x x x dt dy x x x x y x x y x y x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）A P L。
1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ D ） （A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称 （C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称 3复数i 2321-的三角形式是 （ A ） （A ）)3sin()3cos(π-+π-i （B ）3sin 3cos π+πi（C ）3sin 3cos π-πi （D ）65sin 3cos π+πi4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ C ） （A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交 5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ A ） （A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知函数0)32(log 5.0>-x ，求x 的取值X 围答：.223<<x2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：ππ43．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值答：m=0,x=-21.4.求)2)(1()()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 的值 答：15．求6)12(xx -的展开式中x 的一次幂的系数答：2406．要排一X 有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线2．画出函数2)1(1+=x y 的图象 解：四．（本题满分12分）已知等差数列a,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的数列cba1,1,1不可能成等差数列证：如果cba1,1,1成等差数列，那么,,,1111ccbababcbcbbcbabcab-=--=--=-得两边乘以即又因为a,b,c成等差数列，且公差不为零，所以.0≠-=-cbba由以上两式，可知.11ca=两边都乘以a c，得a=c.但由数列a,b,c的公差不为零，知a≠c，这就得出矛盾从而cba1,1,1不可能成等差数列五．（本题满分14分）把α-β-α-422cossin2sin411化成三角函数的积的形式(要求结果最简）)-)sin(sin()2sin2sin2()2cos2(2cos)cos)(coscos(coscoscos)cos(sincoscoscoscossincoscos2sin41)sin1(:2222224222422βαβ+α=α-βα+β-⨯α-βα+β=α-βα+β=α-β=α+αα-β=α-αα-β=α-α-β-=原式解六．（本题满分14分）1X2．Y如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE ⊥AB ，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300 CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602 用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截 用S 底表示△ABC 的面积，则 S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥 七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)解：设a 1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即a 1=2.D α C 300E A并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为a 2,a 3,….根据题意，数列{a n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为12.12-⨯=n n a根据题意，设122.121=⨯-n 两边取常用对数，得84.1010791.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为x y 2.12⨯=是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台答：略八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是)0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或解得 所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得 从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程28,205626006912)422(50133)211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即 从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0. 解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2） 所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以01413:,2)3(41|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理解得m=-1,或m=14.当m=-1时，圆的半径52=r ，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;当m=14时，圆的半径5r，所求圆的方程是5x2+y2-28x+71=0.。
1984年全国高考数学试题及其解析
1984年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题（本试卷共八大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ ） （A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）不一定是整数（D ）是整数但不一定是偶数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cosθ-=θ-θ那么2θ（ ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角（C ）是第二象限角 （D ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 5．求1321lim +-∞→n nn 的值6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线 四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行 五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分） 七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值 八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果 九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为 直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=43π时，点P 的速度为V 求这时点M 的速度文史类试题（本试卷共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ ）（A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称 （C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称3复数i 2321-的三角形式是 （ ） （A ）)3sin()3cos(π-+π-i （B ）3sin 3cosπ+πi （C ）3sin 3cos π-πi （D ）65sin3cos π+πi 4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ ）（A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ ） （A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知函数0)32(log 5.0>-x ，求x 的取值范围2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 3．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值4.求)2)(1()()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 的值5．求6)12(xx -的展开式中x 的一次幂的系数6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线2．画出函数2)1(1+=x y 的图象四．（本题满分12分）已知等差数列a ,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的数列cb a 1,1,1不可能成等差数列 五．（本题满分14分）把α-β-α-422cos sin 2sin 411化成三角函数的积的形式(要求结果最简） 六．（本题满分14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积 七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) 八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是 C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0. 1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程理工农医类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算. (1)C; (2)C; (3)B; (4)A; (5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）.84ππ或 （2）x ＜-2. （3）},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=（4）-20 （5）0 （6）!647⋅P三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力. 解:四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力. 证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a. ∵ α∩β=c, α∩γ=b,从而c 与b 或交于一点或互相平行.(1)若c 与b 交于一点,设c ∩b=P.由P ∈c,且c β,有P ∈β;又由P ∈b,且b γ,有P ∈γ.于是P ∈β∩γ=a. 所以a,b,c 交于一点(即P 点).(2)若c ∥b,则由b γ,有c ∥γ.又由c β,且β∩γ=a,可知c ∥a.所以a,b,c 互相平行.五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以12=+d cx 再由c ≠0，可得.12cdx -= 又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是cdx -=1 六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得22222312(1)(2)(),9()4(2)1223x y x y -+-=-+-=即 这就是所求的轨迹方程七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2π由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=-因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法 由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x 再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立）再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知22111111112(1)(2)2(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为.43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立 九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，AC 的长为x AP 3232=， 半径OC=1，可知θx 32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得文史类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算. (1)C; (2)D; (3)A; (4)C; (5)A.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）.223<<x （2）ππ84或 （3）m=0,x=-21. （4）1 （5）240 （6）!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 解：四．（本题满分12分） 证：如果cb a 1,1,1成等差数列，那么,,,1111cc b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即 又因为a ,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以.0≠-=-c b b a 由以上两式，可知.11ca = 两边都乘以a c ，得a =c.但由数列a ,b,c 的公差不为零，知a ≠c ，这就得出矛盾从而cb a 1,1,1不可能成等差数列 五．（本题满分14分）六．（本题满分14分）解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE ⊥AB ，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=30CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602 用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截 用S 底表示△ABC 的面积，则S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥 七．（本题满分14分）解：设a 1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即a 1=2.并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为a 2,a 3, ….根据题意，数列{a n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为12.12-⨯=n n a根据题意，设122.121=⨯-n 两边取常用对数，得84.1010791.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为xy 2.12⨯=是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台 答：略八．（本题满分15分） 1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C 可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是)0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C 可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别)0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或解得 所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程 28,205626006912)422(50133)211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即 从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0.解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2）所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以 01413:,2)3(41|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理解得m=-1,或m=14.当m=-1时，圆的半径52=r ，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;当m=14时，圆的半径55=r ，所求圆的方程是x 2+y 2-28x+71=0.。
1984年全国高考数学试题及答案
1984年全国高考数学试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是(C)X=Y(D)X≠Y【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么(A)F=0,G≠0,E≠0(B)E=0,F=0,G≠0(C)G=0,F=0,E≠0(D)G=0,E=0,F≠0【】[Key] (2)C;(A)一定是零(B)一定是偶数(C)是整数但不一定是偶数(D)不一定是整数【】[Key] (3)B;(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是(A)x∈(0,1](B)x∈(-1,0)【】[Key] (4)A;(A)是第一象限角(B)是第三象限角(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角(D)是第二象限角【】[Key] (5)B.二、只要求直接写出结果.(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.(2)函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)x<-2;(4)-20;(5)0;三、本题只要求画出图形.[Key] 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.[Key] 四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c与b或交于一点或互相平行.(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.所以a,b,c交于一点(即P点).(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.所以a,b,c互相平行.[Key] 五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解法一:由原对数方程得cx2+d=1.这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.解法二:原对数方程有解的充要条件是:(1)x>0,cx2+d=1.因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:(1)x>0,(5)x≠1,这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.[Key] 六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.(1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以(-2p)2-4q<0,q>p2>0.由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,解法二:同解法一,得q>p2>0.根据实系数一元二次方程的求根公式,得可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴.即这就是所求的轨迹方程.[Key] 七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.a=6,b=8.如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则如图建立坐标系,则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是S最大值=88-0=88,S最小值=88-16=72.解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2.内切圆的参数方程为所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而因为0≤α≤2π,所以S最大值=80+8=88,S最小值=80-8=72.[Key] 八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.(1)证明:先证明x n>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件α>2及x1=α知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式(x k-2)2>0成立,所以不等式x k+1>2也成立.从而不等式x n>2对于所有的正整数n成立.数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:所以不等式x n>2(n=1,2,…)成立.也可以这样证:对所有正整数n有还可以这样证:由于对所有正整数n有(2)证法一:用数学归纳法.由条件x1=α≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及x k>2知证法二:用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知再由x k>2及归纳假设可得x1>x2>…>x n>x n+1≥3.因此,由上面证明的结论及x1=α可得若x n≤3,则由第(1)小题可知x n+1<x n,从而有x n+1<3.若x n>3,则由第(1)小题可知x1>x2>…>x n>3.由此式及上面证明的结论,可得九、附加题,不计入总分.如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧的长为,直线PC与直线[Key] 九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解得。
1984年高考数学试题(全国理)及答案(历年最难)
1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ）（A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin2cosθ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84ππ或2.函数)44(log25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项答：-205．求1321lim+-∞→nnn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相 1．平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由 a P P b b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由a c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log(-=+x xd cx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3) ,0(2) ,0(1) ,01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以12=+d cx 再由c ≠0，可得.12c d x -= 又由1)(=+xd cx x 及x ＞0，知0>+xd cx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5) 1,x (1),02c dx 由条件（1）（6）知.01>-c d 这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1;②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1 从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--pq q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上 P b αβ a γ ca经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+,长轴长=2a=.2222q cb =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为),23(y x 设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=dMF 及两点间距离公式，可得22222312(1)(2)(,9()4(2)1223xy x y -+-=-+-=即 这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b BA ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b ac ba ab 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则22222222222||||||(8)(6)3[(2)(2)]47634476884.S P A P B P C x y x y x y x y x x x =++=-+++-++==-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=- Y X ）因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72 八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn 求证：1．);2,1(1,21 =<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg3lg,31<≥>+n x an a 必有时那么当如果 1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立).2,1(11 =<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n nn x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x x nn 也成立（也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n nn x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x x nn ）2．证一：用数学归纳法件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知22111111112(1)(2)2(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k kkkkk x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式kk x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+kk k x x x 则这是因为.43)1311(21)111(211=-+<-+=+k kk x x x 然后用反证法若当34lg3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211nnn n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg3lg an <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当4P 的速度为V 求这时点M 的速度 解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，x AP 3232=， 半径OC=1，可知θx 32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDM APAM =∴而.)43()843(2,,43)32sin()32cos321)(32cos 1()32sin3232cos1)(32sin([/.32sin)32cos1(.32sin)32cos 1(,32sin),32cos1(222v dtdy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy x x x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得A P L。
1984年高考理科数学试题及答案
1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X=｛（2n+1）π，n是整数｝与数集Y=｛（4k1）π,k是整数｝之间的关系是（C）（A）XY (B)XY （C）X=Y （D）X≠Y2．如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么（C )（A）F=0,G≠0，E≠0。
（B)E=0,F=0,G≠0。
（C）G=0，F=0,E≠0。
（D）G=0,E=0，F≠0。
3。
如果n是正整数，那么的值 ( B）(A)一定是零（B）一定是偶数（C)是整数但不一定是偶数（D）不一定是整数4.大于的充分条件是 ( A）(A) （B）（C） (D）5．如果θ是第二象限角,且满足那么（A）是第一象限角（B)是第三象限角 ( B）（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D）是第二象限角二．(本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果)1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：2。
函数在什么区间上是增函数?答：x＜-2。
3．求方程的解集答:4．求的展开式中的常数项答：-205．求的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法(只要求写出式子，不必计算）答:三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设画出函数y=H（x—1）的图象2．画出极坐标方程的曲线解：四．（本题满分12分) 已知三个平面一点或互相平行证:设三个平面为α，β，γ，且从而c 与b 或交于一点或互相平行 1．若c 与b 交于一点,设 ∴所以,b ，c 交于一点（即P 点)2.若c ∥b,则由所以，b,c互相平行 五．（本题满分14分)设c,d ，x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是： 由条件（4）知，所以再由c ≠0,可得又由及x ＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4)中 再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的等价条件组： 由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：2． O 1 2 X 1．Pb αβ γ c①c＞0，1—d＞0,即c＞0,d＜1；②c＜0，1-d＜0，即c＜0,d＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知从而,当c＞0，d＜1且时，或者当c＜0，d＞1且时，原方程有解，它的解是六．（本题满分16分）1．设,实系数一元二次方程有两个虚数根z1，z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1，Z2求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M（1,2)，以y轴为准线,离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p，q为实数，，z1,z2为虚数，所以由z1,z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的短轴长=2b=｜z1+z2｜=2|p｜,焦距离=2c=|z1-z2｜=，长轴长=2a=2.因为椭圆经过点M(1,2)，且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴设椭圆左顶点为A （x ，y)，因为椭圆的离心率为， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的， 从而左焦点F 的坐标为设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1 根据及两点间距离公式，可得 这就是所求的轨迹方程 七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A,∠B ，∠C 所对的边分别为，b ，c ，且c=10, ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值 解:由，运用正弦定理，有因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B= 由此可知△ABC 是直角三角形 由c=10，如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D,E,F ，则 AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10, 所以内切圆半径r=EC=2。
高考真题数学1984
高考真题数学19841984年高考数学真题1984年，是我国高考历史上具有重要意义的一年。
1984年的高考数学题目也为当时的学生带来了挑战。
下面让我们一起来回顾一下1984年高考数学的部分真题。
选择题部分：1. 若a、b为非零常数，积ab=25，且\(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{2}{5}\)，则a和b的平方和为多少？A. 25B. 30C. 35D. 40解析：由ab=25，得a²b²=625，又\(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a²-b²}{ab}=\frac{a²-b²}{25}=\frac{2}{5} \)所以得a²-b²=50，即(a+b)(a-b)=50，所以a\(+b=25\)，故a²+b²=(a+b)²- 2ab = 625-50 = 575。
选C。
2. 已知曲线\(y = (x + 3)(x - 4) = 3\)的焦点在直线y = 6上，则该曲线的方程为：A. \(y=x²-x-15\)B. \(y=x²-x-15\)C. \(y=-x²+x+15\)D. \(y=-x²+x+15\)解析：具有焦点的曲线是抛物线，设该曲线的顶点为(x₀, 6)，则x₀=-\(\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\)，带入抛物线方程得y=6。
所以曲线的方程为\(y = x² - x - 15\)。
选A。
填空题部分：4. \(x\)是\(\angle AOM\)的平分线，过点\(M\)作直线\(MN\parallelAC\)交\(AB\)于\(N\)点，若\(\angle C = 60^\circ\)，且\(\angle AMN =\angle MOB\)，求证：\(MN=MC\)。
1984年高考理科数学试题、答案及点评
1984年全国统一高考理科数学试题及答案（共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．选择题（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（）（A）X⊂Y （B）X⊃Y （C）X=Y （D）X≠Y考点：集合的包含关系判断及应用．分析：题中两个数集都表示π的奇数倍的实数，根据集合的相等关系得这两个数集的关系．解答：解：∵数集X={（2n+1）π，n是整数}∴其中的元素是π的奇数倍．∵数集Y={（4k±1）π，k是整数}∴其中的元素也是π的奇数倍．∴它们之间的关系是X=Y．故选C．点评：本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ ）（A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0.（C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0.考点：圆的一般方程．分析：圆与x 轴相切于原点，则圆心在y 轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E ≠0解答：故选C ．点评：本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题．3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数考点：进行简单的合情推理．分析：这是一个简单的合情推理问题，我们可以对n 的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案．解答：∵n 是正整数①当为为奇数时， n2-1必为8的整数倍，不妨令n2-1=8Z ，Z ∈N*则1 8 [1−(−1)n](n2−1)=2Z ，Z ∈N*即此时1 8 [1−(−1)n](n2−1)的值为偶数．②当为偶数时，1-（-1）n=0则1 8 [1−(−1)n](n2−1)=0故1 8 [1−(−1)n](n2−1)的值一定是偶数故选B点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x 考点：反三角函数的运用．分析：充分考虑arccosx 的范围，推出arccos （-x ）的范围，然后确定arccos （-x ）大于arccosx 的充分条件解答：解：∵arccosx ∈[0，π]，（1）arccosx ∈[0，π 2 ）时，x ∈∈（0，1]，arccos （-x ）∈（π 2 ，π]＞arccosx ，（2）arccosx ∈（π 2 ，π]时，x ∈[-1，0），arccos （-x ）∈[0，π 2 ）＜arccosx ，（3）arccosx=π 2 时 x=0，arccosx=π 2 =arccos （-x ），故选A ．点评：本题考查反三角函数的运用，考查分类讨论的思想，是基础题．5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ （ ）（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角考点：半角的三角函数． 先根据θ的范围确定 故选B ．点评：本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系．属基础题二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．分析：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．解答：解：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，当母线为4时，圆柱的底面半径是1 π 此时圆柱体积是(1 π )2π×4＝4 π当母线为2时，圆柱的底面半径是2 π ，此时圆柱的体积是(2 π )2π×2＝8 π综上所求圆柱的体积是：.84ππ或点评：本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题．容易疏忽一种情况．2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？考点：对数函数的单调性与特殊点．分析：本题是一个复合函数，故应依据复合函数的单调性来判断其单调性，先求出定义域，判断出外层函数与内层函数的单调性，再依规则来判断即可．解答：解：令x2+4x+4＞0，得x ≠-2，由t=x2+4x+4知，其对称轴为x=-2故内层函数在（-∞，-2）上是减函数，在（-2，+∞）上是增函数．因为外层函数的底数0.5＜1，故外层是减函数，欲求复合函数的增区间，只须求内层的减区间故函数y=log0.5（x2+4x+4）在（-∞，-2）上是增函数． 点评：本题的考点是复合函数的单调性，考查了对数与二次函数的单调性的判断方法以及定义域的求法．3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 考点：三角函数的化简求值．分析：利用平方关系和倍角公式对方程进行整理，根据一个周期内的正弦函数值求解，最后解集写出几何形式． 解：由题意知，21)cos (sin 2=+x x ，即1+sin2x=1 2 ，∴sin2x=1 2 ，则2x=7π 6 +2n π或-π 6 +2n π（n ∈Z ）， 解得x=7π 12 +n π或-π 12 +n π（n ∈Z ）， ∴所求方程的解集是：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=点评：本题考查了三角函数方程的求解，即利用同角的基本关系、倍角公式、两角和差公式等等，对方程进行化简，再由三角函数在一个周期内的函数值和周期求出解集．4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 考点：二项式系数的性质．分析：解法一：利用分步乘法原理展开式中的常数项是三种情况的和，解法二：先将(|x|+1 |x|−2)2利用完全平方公式化成二项式，利用二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x 的指数为0得常数项．答：-205．求1321lim +-∞→n n n 的值 考点：极限及其运算．分析：分子、分母同时除以3n ，原式转化为lim解答：解：lim n →∞ 1−2n 3n+1 =lim n →∞ 1 3n −(2 3 )n 1+1 3n =0．点评：本题考查数列的极限和运算，解题时要注意合理地进行等价转化．6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）考点：排列、组合及简单计数问题．分析：首先分析两个舞蹈节目不得相邻的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分别求出舞蹈节目的排法及歌唱节目的排法，相乘即可得到答案．解答：解：此题采用插空法，因为任何两个舞蹈节目不得相邻，即可把6个歌唱节目每个的前后当做一个空位，共有7个空位，只需把舞蹈节目安排到空位上就不会相邻了，共有P74种排法，舞蹈节目排好后再排歌唱节目共有A66种所以共有种P74•A66排法，答案为P74•A66．点评：此题主要考查排列组合及其简单的计数问题，对于不相邻这种类型题目的求解，要想到可以用插空法求解，这种解题思路非常重要，要很好的理解记忆．三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象 考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象． 分析：考查函数图象的变化，y=H （x-1）的图象是由y=H （x ）的图象向右平移一个图象得到的．故可以先画出H （x ）的图象然后再向右平移1个单位得到H （x-1）的图象．点评：考查函数图象的平移问题．记y=f （x ），则y=f （x+1），y=f （x-1），y=f （x ）+1，y=f （x ）-1的图象，是由y=f （x ）图象分别向左，向右，向上，向下平移1个单位得到的．2．画出极坐标方程)0(04)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线 考点：简单曲线的极坐标方程．分析：先将方程化简一下，然后根据极坐标方程的几何意义进行画图即可．解答：解：方程(ρ−2)(θ−π 4 )＝0(ρ＞0)∴ρ-2=0或θ-π 4 =0，即ρ=2表示圆心在极点，半径为2的圆θ=π 4 表示极角为π 4 的射线画出图象即可．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及作图能力的考查，属于基础题．解：四．（本题满分12分） 已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行 考点：平面与平面之间的位置关系．分析：三个平面两两相交，有三条交线，这三条交线交于一点，或互相平行．证明时要分三条交线交于一点，和三条交线互相平行两种情况；（1）证三线交于一点时，先由两线交于一点，再证这一点也在第三条直线上；（2）证三线平行时，先由两线平行，再证第三条直2．1．线与这两条平行线中的任一条直线平行即可．证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由 a P P b b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由ac c b ,.//,且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行点评：本题考查了空间中的直线平行，或相交的证明，特别是几何符号语言的应用，是有难度的问题五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log )(-=+x x d cx 在什么情况下有解有解时求出它的解 考点：对数的运算性质；对数函数图象与性质的综合应用；根的存在性及根的个数判断．分析：先将对数式转化为指数式，再根据对数函数的真数大于0，底数大于0且不等于1找到方程有根的等价条件后可解题．解：原方程有解的充要条件是：Pb αβaγ ca⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4) )((3) ,0(2) ,0(1) ,01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+xd cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得 .12cd x -= 又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+x d cx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1) ,02c d x 由条件（1）（6）知.01>-c d 这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1;②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =考点：本题主要考查对数式与指数式的互化和方程根的判定，属中档题六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程9分）考点：复数的基本概念；椭圆的简单性质．分析：由题意两个虚数根z1，z2是共轭复数，可得椭圆的短轴长：2b=|z1+z2|=2|p|，焦距为2c=|z1-z2|，然后求出长轴长． 解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+点评：本题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力． 2. 考点：椭圆的标准方程；轨迹方程．分析：先确定椭圆的位置，设左定点的坐标为A （x ，y ），然后根据离心率的含义得到左焦点的坐标，根据椭圆的第二定义确定方程．因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21， 从而左焦点F 的坐标为),23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得 1)2(4)32(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程点评：本题主要考察据椭圆方程的第二定义，平面上到定点F 距离与到直线间距离之比为常数的点的集合。
1984年全国高考数学试题及其解析
1984年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题（本试卷共八大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ ） （A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）不一定是整数（D ）是整数但不一定是偶数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cosθ-=θ-θ那么2θ（ ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角（C ）是第二象限角 （D ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 5．求1321lim +-∞→n nn 的值6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线 四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行 五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分） 七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值 八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果 九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为 直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=43π时，点P 的速度为V 求这时点M 的速度文史类试题（本试卷共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ ）（A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称 （C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称3复数i 2321-的三角形式是 （ ） （A ）)3sin()3cos(π-+π-i （B ）3sin 3cosπ+πi （C ）3sin 3cos π-πi （D ）65sin3cos π+πi 4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ ）（A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ ） （A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知函数0)32(log 5.0>-x ，求x 的取值范围2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 3．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值4.求)2)(1()()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 的值5．求6)12(xx -的展开式中x 的一次幂的系数6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线2．画出函数2)1(1+=x y 的图象四．（本题满分12分）已知等差数列a ,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的数列cb a 1,1,1不可能成等差数列 五．（本题满分14分）把α-β-α-422cos sin 2sin 411化成三角函数的积的形式(要求结果最简） 六．（本题满分14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积 七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) 八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是 C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0. 1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程理工农医类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算. (1)C; (2)C; (3)B; (4)A; (5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）.84ππ或 （2）x ＜-2. （3）},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=（4）-20 （5）0 （6）!647⋅P三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力. 解:四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力. 证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a. ∵ α∩β=c, α∩γ=b,从而c 与b 或交于一点或互相平行.(1)若c 与b 交于一点,设c ∩b=P.由P ∈c,且c β,有P ∈β;又由P ∈b,且b γ,有P ∈γ.于是P ∈β∩γ=a. 所以a,b,c 交于一点(即P 点).(2)若c ∥b,则由b γ,有c ∥γ.又由c β,且β∩γ=a,可知c ∥a.所以a,b,c 互相平行.五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以12=+d cx 再由c ≠0，可得.12cdx -= 又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是cdx -=1 六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得22222312(1)(2)(),9()4(2)1223x y x y -+-=-+-=即 这就是所求的轨迹方程七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2π由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=-因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法 由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x 再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立）再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知22111111112(1)(2)2(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为.43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立 九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，AC 的长为x AP 3232=， 半径OC=1，可知θx 32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得文史类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算. (1)C; (2)D; (3)A; (4)C; (5)A.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）.223<<x （2）ππ84或 （3）m=0,x=-21. （4）1 （5）240 （6）!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 解：四．（本题满分12分） 证：如果cb a 1,1,1成等差数列，那么,,,1111cc b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即 又因为a ,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以.0≠-=-c b b a 由以上两式，可知.11ca = 两边都乘以a c ，得a =c.但由数列a ,b,c 的公差不为零，知a ≠c ，这就得出矛盾从而cb a 1,1,1不可能成等差数列 五．（本题满分14分）六．（本题满分14分）解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE ⊥AB ，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=30CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602 用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截 用S 底表示△ABC 的面积，则S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥 七．（本题满分14分）解：设a 1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即a 1=2.并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为a 2,a 3, ….根据题意，数列{a n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为12.12-⨯=n n a根据题意，设122.121=⨯-n 两边取常用对数，得84.1010791.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为xy 2.12⨯=是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台 答：略八．（本题满分15分） 1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C 可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是)0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C 可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别)0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或解得 所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程 28,205626006912)422(50133)211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即 从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0.解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2）所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以 01413:,2)3(41|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理解得m=-1,或m=14.当m=-1时，圆的半径52=r ，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;当m=14时，圆的半径55=r ，所求圆的方程是x 2+y 2-28x+71=0.。
历史上高考最难的数学题
历史上高考最难的数学题可能是1984年的全国卷理科数学试题。
这份试卷共有八道大题，满分120分，第9题是附加题，满分10分，不计入总分。
由于当时的基础教育普遍比较薄弱，学生们的数学水平有限，因此这份试卷的难度相对较高，导致当年的平均分较低。
其中压轴题满分12分，占总分值的比重较大，如果能拿到手谁不愿意要呢？
不过，随着教育水平的提高和教材的不断改革，现在的高考数学题目的难度已经逐渐降低，更加注重考察学生的基础知识和综合能力。
因此，对于考生来说，最重要的还是打好基础，提高自己的数学思维能力，才能更好地应对各种难度的数学题目。
20世纪的高考——1984年数学高考试卷
（3）如果 n 是正整数，那么 [1 (1) n ](n 2 1) 的值（ A、一定是零 B、一定是偶数
1 8
） D、不一定是整数
C、是整数但不一定是偶数
（4） arccos( x) 大于 arccos x 的充要条件数（ A、 x (0,1] B、 x (1,0) C、 x [0,1]
三、本题只要求画出图形 （1）画出方程 y 4 x 的曲线
2
（2）画出函数 y
1 的图像 ( x 1) 2
四、 已知等差数列 a ，b ，c 中的三个数都是正数， 且公差不为零， 求证： 他们的倒数所组成的数列
1 1 ， ， a b
1 不可能是等差数列 c
五、把 1
1 2 sin 2 sin 2 cos 4 化成三角函数的积的形式（要求结果最简） 4
1
）
D、 X Y
（2）函数 f ( x) 与它的反函数 y f A、关于 y 轴对称 C、关于直线 x y 0 轴对称
( x) 的图像（
）
B、关于原点轴对称 D、关于直线 x y 0 轴对称
（3）复数 A、 cos(
1 3 i 的三角形式是（ 2 2
）
) i sin( ) 3 3
0, x 0 ，画出函数 y H ( x 1) 的图像； 1, x 0
（2）画出极坐标方程 ( 2)(
4
) 0( 0) 的曲线
四、已知三个平面两两相交形成三条直线，求证：这三条直线相交于一点或互相平行
五、设 c ， d ， x 为实数， c 0 ， x 为未知数，讨论方程 log 出它的解
1984 年数学高考试卷
84年数学高考试题
高考数学试卷一、单选题1.某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（ ）A ．120B ．35C ．310D ．9102.2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．103．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位5．设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（ ）A.12B.6C.27D.306.已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）A.[)1,0-B.[)0,∞+C.[)1,-+∞D.[)1,+∞7.袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．16B ．13C ．34D ．568．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f x g x x =-的定义域为（ ） A.[)(]0,11,2 B.[)(]0,11,4 C.[0,1) D.(1,4]9.下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=-- C.()()2111x x x +-=- D.()2211x x -=-10．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.2525 5 D.511.已知点()1,0A-,()4,0B-,()4,3C-，动点P,Q满足12PA QAPB QB==,则CP CQ+的取值范围是（）A.[]1,16B.[]6,14C.[]4,16D.3,35二、填空题12.某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人.则两科都在90分以上的人数为（）．13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为_______14.足尖虽未遍及美景,浪漫却从未停止生长．清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味．下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中12AB AA==,114A B=，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的体积为；Ω的外接球的表面积为．三、解答题15.已知椭圆() 2222:10y xa ba bΓ+=>>的离心率为22，其上焦点F与抛物线2:4x y K =的焦点重合．（1)求椭圆Γ的方程；（2)若过点F 的直线交椭圆Γ于点A,B,同时交抛物线K 于点C,D （如图1所示,点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段AC 与BD 长度的大小，并说明理由；（3)若过点F 的直线交椭圆Γ于点A ，B ,过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E ，G （如图2所示).试求四边形AEBG 面积的最小值．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c cosC b cosA acosB ⋅=⋅+(1)求角C ；(2)若9a =，1cos 3A =-，求边c17.已知x+y=7,xy=-8，求：（1）x2+y2的值；（2）（x-y ）2的值.。
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1984年普通高考试题
(理工农医类)
一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.
(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是
(C)X=Y (D)X≠Y
[ ]
(2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么
(A)F=0,G≠0,E≠0 (B)E=0,F=0,G≠0
(C)G=0,F=0,E≠0 (D)G=0,E=0,F≠0
[ ]
(A)一定是零(B)一定是偶数
(C)是整数但不一定是偶数(D)不一定是整数
[ ]
(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是
(A)x∈(0,1] (B)x∈(-1,0)
[ ]
(A)是第一象限角
(B)是第三象限角
(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角
(D)是第二象限角
[ ]
二、只要求直接写出结果.
(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.
(2)函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?
(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).
三、本题只要求画出图形.
四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.
六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.
九、附加题,不计入总分.
自切点A沿直线l向右如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P
移动时,取弧的长为,直线PC与直线
参考答案
一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)C; (2)C; (3)B; (4)A; (5)B.
二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.
(2)x<-2;
(4)-20;
(5)0;
三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.
解:
四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.
证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.
∵α∩β=c, α∩γ=b,
从而c与b或交于一点或互相平行.
(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.
所以a,b,c交于一点(即P点).
(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.
所以a,b,c互相平行.
五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.
解法一:由原对数方程得
cx2+d=1.
这个不等式仅在以下两种情形下成立:
①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;
②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.
解法二:原对数方程有解的充要条件是:
(1)x>0,
cx2+d=1.
因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:
(1)x>0,
(5)x≠1,
这个不等式仅在以下两种情形下成立:
①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;
②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.
再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.
六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.
(1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以
(-2p)2-4q<0,q>p2>0.
由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.
根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的
短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,
解法二:同解法一,得q>p2>0.
根据实系数一元二次方程的求根公式,得
可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.
根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的
注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出
(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴.
即
这就是所求的轨迹方程.
七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.
a=6,b=8.
如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则
如图建立坐标系,则内切圆方程为
(x-2)2+(y-2)2=4.
设圆上动点P的坐标为(x,y),则
因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是
S最大值=88-0=88,
S最小值=88-16=72.
解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2.
内切圆的参数方程为
所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而
因为0≤α≤2π,所以
S最大值=80+8=88,
S最小值=80-8=72.
八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.
(1)证明:先证明x n>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件α>2及x1=α知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知
再由归纳假设知不等式(x k-2)2>0成立,所以不等式x k+1>2也成立.从而不等式x n>2对于所有的正整数n成立.
数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:
所以不等式x n>2(n=1,2,…)成立.
也可以这样证:对所有正整数n有
还可以这样证:由于对所有正整数n有
(2)证法一:用数学归纳法.由条件x1=α≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及x k>2知
证法二:用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知
再由x k>2及归纳假设可得
x1>x2>…>x n>x n+1≥3.
因此,由上面证明的结论及x1=α可得
若x n≤3,则由第(1)小题可知x n+1<x n,从而有x n+1<3.
若x n>3,则由第(1)小题可知x1>x2>…>x n>3.由此式及上面证明的结论,可得
九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.
解得。