噶米南大复变函数与积分变换课件(PPT版)51孤立奇点
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复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
第31页/共75页
1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
第1页/共75页
1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
第4页/共75页
1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
第21页/共75页
例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
复变函数与积分变换课堂PPT课件
完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
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有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
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上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
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例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
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容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
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在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
复变函数与积分变换第五章
解 函数 f (z) 除点 z 0, 1, 2 外,
在 z 内解析 . 因(sin z) cos z 在 z 0, 1, 2, 处均不为零.
所以这些点都是 sin z 的一阶零点,
故这些点中除1, -1, 2外, 都是 f (z)的三阶极点.
30
因 z2 1 (z 1)(z 1), 以1与- 1为一阶零点，
展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
公式知: f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2, m 1);
并且
f
(m)(z0 ) m!
c0
0.
（充分性） 由于 f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2, m 1);
f
( m ) ( z0 m!
)
c0
0.
故
邋 f (z) =
ゥ f (n) (z0 ) (z n= m n!
6
例3 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
7
例4 说明 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
zz
2!
n!
1 1 z 1 zn1 , 0 z
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
另解 因为 lim e z 1 lim ez 1, 作业2.4.8(洛必达法则)
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
复变函数与积分变换51孤立奇点课件
复变函数与积分变换51孤 立奇点课件
• 复变函数与积分变换概述 • 孤立奇点的性质 • 孤立奇点的计算方法 • 孤立奇点的应用 • 总结与展望
01
复变函数与积分变换概述
复数与复变函数
复数
由实数和虚数组成的数，表示为 a+bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复变函数
以复数为自变量的函数，即定义在复数域上的 函数。
在复变函数中，洛朗兹变换可以用于计算孤立奇点的位置和性质。
通过将复平面上的函数映射到洛朗兹群上，可以更加方便地处理奇点的计算问题。
利用拉普拉斯变换计算孤立奇点
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为频域函数 的数学工具。
在处理具有不连续点的函数时，拉普拉斯变换非 常有用。
通过拉普拉斯变换，可以找到函数在无穷远处的 行为，从而确定孤立奇点的位置和性质。
应用
在解决某些积分问题时，可以通过消除可去奇点 来简化计算。
极点
定义
如果函数在某点的极限值为无穷大，则称该点为极点。
性质
在极点处，函数的值会趋于无穷大，且函数在该点的 左右极限值不相等。
应用
在解决积分问题时，可以通过计算极点的留数来得到 积分的值。
本性奇点
01
定义
如果函数在某点的极限值不存在 且不是无穷大，则称该点为本性 奇点。
时空奇点。孤立奇点在相对论中也有重要的应用，例如在描述黑洞和宇
宙大爆炸等极端物理现象时。
在工程中的应用
信号处理中的奇异点
在信号处理中，信号可能会在某些点上表现出奇异性，这些点被称为信号奇异点。孤立奇 点在信号处理中有广泛的应用，例如在语音识别、图像处理和数据压缩等领域。
控制工程中的奇异点
• 复变函数与积分变换概述 • 孤立奇点的性质 • 孤立奇点的计算方法 • 孤立奇点的应用 • 总结与展望
01
复变函数与积分变换概述
复数与复变函数
复数
由实数和虚数组成的数，表示为 a+bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复变函数
以复数为自变量的函数，即定义在复数域上的 函数。
在复变函数中，洛朗兹变换可以用于计算孤立奇点的位置和性质。
通过将复平面上的函数映射到洛朗兹群上，可以更加方便地处理奇点的计算问题。
利用拉普拉斯变换计算孤立奇点
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为频域函数 的数学工具。
在处理具有不连续点的函数时，拉普拉斯变换非 常有用。
通过拉普拉斯变换，可以找到函数在无穷远处的 行为，从而确定孤立奇点的位置和性质。
应用
在解决某些积分问题时，可以通过消除可去奇点 来简化计算。
极点
定义
如果函数在某点的极限值为无穷大，则称该点为极点。
性质
在极点处，函数的值会趋于无穷大，且函数在该点的 左右极限值不相等。
应用
在解决积分问题时，可以通过计算极点的留数来得到 积分的值。
本性奇点
01
定义
如果函数在某点的极限值不存在 且不是无穷大，则称该点为本性 奇点。
时空奇点。孤立奇点在相对论中也有重要的应用，例如在描述黑洞和宇
宙大爆炸等极端物理现象时。
在工程中的应用
信号处理中的奇异点
在信号处理中，信号可能会在某些点上表现出奇异性，这些点被称为信号奇异点。孤立奇 点在信号处理中有广泛的应用，例如在语音识别、图像处理和数据压缩等领域。
控制工程中的奇异点
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换精品PPT课件
间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
复变函数与积分变换课堂PPT第二章
由加法定理, 可以推出exp z的周期性。 它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
复变函数与积分变换孤立奇点
f(z)的m级零点.
例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与 三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
设f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是:
f
(n)( z
0)=0, (n=0,1,2,...,m-1),f
(m)( z
x Analysis and Integral Transform
如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域
0<|z-z0|<d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点.
– 非孤立奇点 函数的奇点并非都是孤立的. 例如 z=0 是函数 1 f ( z) 的非孤立奇点。换句话说, 在 z=0 的 sin 1 z
不论怎样小的去心邻域内总有 f (z)的奇点存在.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
综上所述:
如果z0为f ( z )的可去奇点 lim f ( z )存在且有限;
z z0
如果z0为f ( z )的极点 lim f ( z ) ;
z z0
如果z0为f ( z )的本性奇点 lim f ( z )不存在且不为.
1 上式也可写成: f ( z ) g ( z) ， （*） m ( z - z0 )
其中
g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +...,
在 |z-z0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式,
lim f ( z ) ， (不存在但为).
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数幻灯片PPT
，z2对应的向量分别为 1， 由复数的运算法那么知复数的加减法与向量
的加减法一致，于是在平面上以
为邻边的平行四边形的对角线 就表示
复数z1+z2〔图1.2〕，对角线 就表示复数z1-z2.
图1.2
页 退出
复变函数与积分变换
由上述几何解释知下面两个不等式成立：
出版社 理工分社
其中
表示向量 的长度，也就是复平面上点z1，z2之间的距
页 退出
复变函数与积分变换
复数域 形如
1.1复数
出版社 理工分社
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚部，记作
x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称为纯虚数；特别
地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
如图1.1所示，复数z=x+iy还可以用向量 来表示，x与y分别是向量 在x轴与 y轴上的投影.这样，复数z就与平面上的向量 建立了一一对应的关系. 引进了复平面后，为方便起见， “复数z〞、“点z〞及“向量 〞三者不再区分. 向量 的长度称为复数z=x+iy的模或绝对值，记作|z|，于是
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复变函数与积分变换
例1.4求z=1的n次方根. 解因为 所以 特别地，1的立方根为
它们均匀地分布在以原点为中心，以1为半径的圆周上 〔图1.5〕.
图1.5
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复变函数与积分变换
南大复变函数与积分变换课件51孤立奇点
重点与难点：重点在于理解复数和复变函数的基本概念，掌握复变函数的微积分和积 分变换的方法；难点在于理解孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知 识点的理解和掌握 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
● 课件中关于孤立奇点的判定
● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的 性质来判断。 课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来 确定解的形态。
南大复变函数与积分变 换课件内容概述
课件结构与内容安排
课件结构：按照知识点进行划分，每个知识点都配有相应的例题和习题 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
内容安排：先介绍复数和复变函数的基本概念，再介绍复变函数的微积分、级数和积分变换等 内容，最后介绍孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者 准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
复变函数的定义
复数的基本概念 复变函数的定义 复变函数的性质 复变函数的应用
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知 识点的理解和掌握 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
● 课件中关于孤立奇点的判定
● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的 性质来判断。 课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来 确定解的形态。
南大复变函数与积分变 换课件内容概述
课件结构与内容安排
课件结构：按照知识点进行划分，每个知识点都配有相应的例题和习题 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
内容安排：先介绍复数和复变函数的基本概念，再介绍复变函数的微积分、级数和积分变换等 内容，最后介绍孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者 准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
复变函数的定义
复数的基本概念 复变函数的定义 复变函数的性质 复变函数的应用
复变函数与积分变换孤立奇点
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
孤立奇点分类
1. 可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则称
孤立奇点z0为 f (z)的可去奇点.
f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n +...,0<|z-z0|<d
1 定理：z0是f ( z )的m级极点 z0是 的m级零点 f ( z)
该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.
例 1 函数1 sin z 有什么奇点? 如果是极点, 指出它的级.
解： 函数 1/sin z 的奇点显然是使 sin z=0 的点.故奇点是 z=k(k=0,1,2,…).由于(sin z)'|z=k= cos z|z=k= (1)k 0, 所以 z=k是 sin z 的一级零点, 也就是 1/sin z 的一级极点.
且g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果z0为 f(z)的极点, 由(*)式知
lim f ( z ) .
z z0
1 g ( z) z0为f ( z )的m级极点 f ( z ) m ( z - z0 )
Complex Analysis and Integral Transform
sin z 例如 z 0是 的可去奇点。因为函数在z 0 z 的去心邻域内的洛朗级数 sin z 1 1 3 1 5 1 2 1 4 (z z z ) 1 z z z z 3! 5! 3! 5! sin z 中不含负幂项.如果定义 在 z 0的值为1, z sin z 则 在z 0点便为解析的了. z
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数 及
P103
展开为洛朗级数：f (z) an(z z0 )n ,
其
n
应 用
(1) 若 n 0 , 有 an 0, ( 即不含负幂次项 )
则称 z0 为 f (z) 的可去奇点。
12
§5.1 孤立奇点
第 四、孤立奇点的分类
五 章
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类
五 章 定义 设 z0 为 f (z) 的奇点，且存在 0 , 使得 f (z) 在去心
留
P102 定义
邻域 0 | z z0 | 内解析，则称 z0 为 f (z) 孤立奇点。
数 5.1
及 其 应
例
f (z) sin z , z 0 为孤立奇点。 z
用 例 f (z) ln z , 原点及负实轴上的点均为奇点，
用
f (z)
a2 (z z0 )2
a1 z z0
a0 a1(z z0 ) a2(z z0 )2 ,
由
dz
2πi ,
C (z z0 )n
0,
n 1, n1,
r
G
C z0
D
则积分 Γ f (z)dz “不难? ” 得到。
3
第 五 章 留 数 及 其 应 用
数
及
(1) z0 为 f (z) 的 m 阶零点。
其 应
(2) f (k ) (z0 ) 0 , k 0 , 1, 2 , , m 1; f (m) (z0 ) 0 .
用
(3) f (z) 在 | z z0 | 内的泰勒展开式为
f (z) am (z z0 )m am1(z z0 )m1 ,
4
§5.1 孤立奇点
第 二、零点
五 章 充要条件 (如何判断零点的阶数? )
留 定理 设函数 f (z) 在 z0 处解析，则下列条件是等价的：
数 及
P107 定理
(1) z0 为 f (z) 的 m 阶零点。
其 应
5.4
(2) f (k ) (z0 ) 0 , k 0 , 1, 2 , , m 1; f (m) (z0 ) 0 .
2! 4!
4!
留 数
z 0 是 f (z) 的二阶零点。
及
其
应
用
f (z) (1 z 1 z2 1 z3 ) z 1
2பைடு நூலகம் 3!
z2( 1 1 z 1 z2 )
2! 3! 4!
z 0 是 f (z) 的二阶零点。
9
§5.1 孤立奇点
第 三、孤立奇点
第 五
第五章 留数及其应用
章
留 §5.1 孤立奇点
数 及
§5.2 留数
其 应
§5.3 留数在定积分计算中的应用
用
1
§5.1 孤立奇点
第 五
§5.1
孤立奇点
章 一、引言
留 数
二、零点
及 其
三、孤立奇点
应 四、孤立奇点的分类
用
五、如何进行孤立奇点的分类
六、如何判断极点的阶数
2
§5.1 孤立奇点
第 一、引言
数
及
其 应
例
用
f (z)
(2z 3)3
1 ez
.
f (z) [z (
3 )]3
2
8
1 ez
.
故 z 3 为 f (z) 的三阶零点。 2
7
§5.1 孤立奇点
第
五 章
方法一 f (0) 0 , f (0) 1 cos z z0 0 ,
留
f (0) sin z z0 0 , f (0) cos z z0 1 0 ,
其中， a(zmz00).m[am am1(z z0 ) am2 (z z0 )2 ]
(z z0 )m (z).
收敛且解析
6
§5.1 孤立奇点
第 例 f (z) z3 1.
五 章
f (z) (z 1)(z2 z 1) ,
留
故 z 1 为 f (z) 的一阶零点。
留 定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点，将 f (z) 在 0 | z z0 | 内
数 及
展开为洛朗级数：f (z) an(z z0 )n ,
其
n
应 用
(2) 若 N 0 , 有 aN 0,
且 n N , 有 an 0, ( 即含有限个负幂次项 )
(1) 令
sin
1 z
0,
1 z
kπ,
k 0, 1, 2,,
zk
1 kπ
为孤立奇点；
(2) z 0 也是奇点，但不是孤立奇点。
11
§5.1 孤立奇点
第 四、孤立奇点的分类
五 章
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类
留 定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点，将 f (z) 在 0 | z z0 | 内
五
章
本章重点解决闭路积分问题。如图，考虑积分 f (z)dz . Γ
留
(1) 若 f (z) 在 G 上连续，在 D 上解析，则
f (z)dz 0 .
Γ
数
及
(2) 若 f (z) 在 D 上有唯一的奇点 z0 , 则
f (z)dz f (z)dz .
Γ
C
其 应
此时，将函数 f (z) 在 z0 点的邻域内进行洛朗展开，
用
(3) f (z) 在 | z z0 | 内的泰勒展开式为
f (z) am (z z0 )m am1(z z0 )m1 ,
其中，am 0 .
(进入证明?)
5
§5.1 孤立奇点
第 二、零点
五 章 充要条件 (如何判断零点的阶数? )
留 定理 设函数 f (z) 在 z0 处解析，则下列条件是等价的：
数
及
z 0 是 f (z) 的三阶零点。
其
应 用
方法二 f (z) z (z 1 z3 1 z5 )
3! 5!
z3( 1 1 z2 )
3! 5!
z 0 是 f (z) 的三阶零点。
8
§5.1 孤立奇点
第
五 章
f (z) 1 (1 1 z2 1 z4 ) z2(1 1 z2 )
但不是孤立奇点。
10
§5.1 孤立奇点
第 三、孤立奇点
五 章 定义 设 z0 为 f (z) 的奇点，且存在 0 , 使得 f (z) 在去心
留
邻域 0 | z z0 | 内解析，则称 z0 为 f (z) 孤立奇点。
数
及 其例 应 用
f (z) 1 ,
sin
1 z
P102 例5.3