2020年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试——(文科数学+理科数学)试题
2020届广东省深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学试题及答案精品
0.94 0.66 ， 0.95 0.59 ， 0.910 0.35 .
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 5 页 共 6页
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如 果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 (cos π + i sin π )6 在复平面内所对应的点位于
5
5
A． 第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知点 (3,1) 和 (−4,6) 在直线 3x − 2y + a = 0 的两侧，则实数 a 的取值范围是
A． − 7 a 24 C． a 7 或 a 24
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 4 页 共 6页
21．（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省
份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年
立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n （1 n 20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在 一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的 n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记 n 个人中患者的人
A． 2 3
B． 3 2
2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题(含参考答案)
绝密★启用前 试卷类型：A深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数 学（理科） 2020.3本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3 2 1 0{，，，=A ，}032|{2<--=x x x B ，则A B =A ．)3,1(-B ．]3,1(-C ．)3,0(D ．]3,0(2．设23i32iz +=-，则z 的虚部为 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为 5．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为 6．已知tan 3α=-，则πsin 2()4α+=7．7)2(xx -的展开式中3x 的系数为A ．1-B ．1C ．2-D ．2A ．25B ．23C．12D. 07A ．36B ．32C ．28D. 24AB C D. 2A ．35B ．35-C ．45D ．45-8．函数()2ln |e 1|x f x x =--的图像大致为9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为 A ．323π3B ．32πC ．36πD ．48π10．已知动点M 在以1F ，2F 为焦点的椭圆2214y x +=上，动点N 在以M 为圆心，半径长为1||MF 的圆上，则2||NF 的最大值为 11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-12．已知定义在π[0]4，上的函数π()sin()(0)6f x x ωω=->的最大值为3ω，则正实数ω的取值个数 最多为 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．A ．168B ．84C ．42 D. 21ABCDA ．2B ．4C ．8D ．16A ．4B ．3C ．2D. 1（第9题图）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+101022x y x y x ，则y x z 2-=的最小值为 ___________．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a S n n -=2，则=6a ___________．15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为___________．16．已知点1(,)2M m m -和点1(,)2N n n -()m n ≠，若线段MN 上的任意一点P 都满足：经过点P 的所有直线中恰好有两条直线与曲线21:2C y x x =+(13)x -≤≤相切，则||m n -的最大值为___．三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=. （1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形， 点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若13A A =，22AB AD ==，π3DAB ∠=， 求二面角N BD M --的正弦值.19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB中点，且OM OP OF λ+=.（1）当3λ=时，求点M 的坐标； （2）当12OA OB ⋅=时，求直线l 的方程.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．（即概率最大．．．．．）是多少？ 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =--.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数） （1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，证明：111a a a +>+.（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明： （1）1119a b c++≥； （2）8.27ac bc ab abc ++-≤绝密★启封并使用完毕前试题类型：A1 20 0x 0 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1. B2. B3. C4. A5. C6. D7. B8. A9. D10. B11. D12. C12. 解析：当ωπ - π > π时，即ω> 8时， f (x )= 1 = ω，解得ω= 3 ； 4 6 23max3ω ω当 ωπ - π ≤ π时，即0 < ω≤ 8时， f (x ) = sin(π - π) = ，4 6 2 3max4 6 3令 g (ω) = sin(ωπ - π) ， h (ω) = ω， 4 6 3如图，易知 y = g (ω) ， y = h (ω) 的图象有两个交点 A (ω1 , y 1 ) ， B (ω2 , y 2 ) ，ωω 所以方程 s in( π - π) = 有两个实根ω，ω ， 4 6 3又 g (8) = 1 > 8 = h (8) ，所以易知有ω < 8 < ω ，3 9 3 1 3 2所以此时存在一个实数ω= ω1 满足题设， 综上所述，存在两个正实数ω满足题设，故应选 C. 二、填空题：13.- 314. 6315.4154 16.316. 解析：由对称性不妨设 m < n ，易知线段 M N 所在直线的方程为 y = x - 1，2又 1 x 2 + x > x - 1，∴点 P 必定不在曲线 C 上， 2 2不妨设 P (t ,t - 1) ， (m ≤ t ≤ n ) ，且过点 P 的直线 l 与曲线 C 相切于点 Q ( x, 1x 2 + x ) ， 2 ( 1 x 2+ x) - (t - 1 )0 2 0 0易知 y ' |x = x = k PQ ，即 x 0 + 1 = 2 2 ，整理得 x - 2tx - 1 = 0 ，0 - t0 0 2x0 0 （法一）显然 x ≠ 0 ，所以 2t = x -1， 0令 f ( x ) = x -1 ， x ∈[-1, 0) U (0,3]，x5 ⎪ ⎨-1 < t < 3 如图，直线 y = 2t 和函数 y = f ( x ) 的图象有两个交点，又 f (-1) = 0 ，且 f (3) =8，30 ≤ 2t ≤ 8，即 0 ≤ t ≤ 4， ∴3 3 ∴ 0 ≤ m < n ≤4 ，∴ | m - n | 的最大值为 4 ，故应填 4．3 3 3（法二）由题意可知 -1 ≤ x 0 ≤ 3 ，令 f ( x ) = x - 2tx - 1 ，∴函数 f ( x ) 在区间[-1, 3] 上有两个零点，⎧ f (-1) = 2t ≥ 0⎪ f (3) = 8 - 6t ≥ 0 则 ⎪⎪⎩V = 4t 2 + 4 > 0，解得 0 ≤ t ≤ 4 ， 3 ∴ 0 ≤ m < n ≤4，∴ | m - n | 的最大值为 4 ，故应填 4． 3 3 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，△ ABC 的面积为 S ，a 2 +b 2 - c 2 = 2S . （1）求c os C ；（2）若 a c os B + b sin A = c ， a = ，求b . 解：（1） S = 1ab sin C ，a 2 + b 2 - c 2 = 2S ，2∴ a 2 + b 2 - c 2 = ab sin C ， …………………………………………………………………2 分 a 2 + b 2 - c 2 ab sin C sin C在△ ABC 中，由余弦定理得 c os C = = =， 2ab 2ab 2 ∴sin C =2cosC ，…………………………………………………………………………4 分又 sin 2C +cos 2C=1 ，∴5cos 2C=1，cosC= ±5 ，5由于 C ∈(0, π) ，则 s in C > 0 ，那么 c osC>0 ，所以 c osC=5 . ………………………6 分5（2）（法一）在△ABC 中，由正弦定理得 s in A c os B + sin B sin A = sin C ，……………7 分 2sin C= sin[π- (A + B)] = sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B ，………………………8 分∴sin A cos B + sin B sin A = sin A cos B + cos A sin B ，即s in B sin A = cos A sin B ，5 5 ⨯ 2 5 5 ⨯ 2 又 A , B ∈(0, π) ，∴sin B ≠ 0 ， s in A =cosA ，得 A = π.……………………………9 分4sin B = sin[π - (A + C )] = sin(A + C ) ，……………………………………………10 分∴sin B = sin A cos C + cos A sin C = 2 ⨯ 5 + 2 ⨯ 2 5 =310， ………………11 分2 5 2 5 10a s in B 10 在△ABC 中，由正弦定理得 b = == 3 . ……………………………12 分（法二）a cos B +b s in A =c ， 又a cos B +b cos A =c ， sin A2 2∴ a cos B + b s in A = a cos B + b cos A ，…………………………………………………8 分即 s in A = cos A ，又 A ∈(0, π) ， ∴ A = π. ……………………………………………9 分4a sin C 5 在△ ABC 中，由正弦定理得 c = == 2 .………………………10 分b = C cos A + a cos C ，sin A2 2∴c = 2 ⨯ 2 + ⨯ 5= 3 . ………………………………………………………12 分2 5（法三）求 A 同法一或法二a sin C 5 在△ABC 中，由正弦定理得 c = == 2 ， ………………………10 分sin A2 2又由余弦定理 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ，得 b 2 - 2b - 3 = 0 ，解得 b = -1 或 b = 3 . 所以 b = 3 .……………………………………………………………………………12 分（余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2b cos A ，得 b 2 - 4b + 3 = 0 ，解得b = 1 或 b = 3 . 因为当 b = 1时， a 2 +b 2 -c 2 = -2 < 0 ，不满足c osC>0 (不满足 a 2 +b 2 - c 2 = -2 ≠ 2S )，故舍去，所以 b = 3 ） 【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三 角形⨯ 32 2 2问题，检验学生的数学知识运用能力.18．（本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱 A BCD - A 1B 1C 1D 1 中，底面 A BCD 是平行四边形， 点 M ，N 分别在棱 C1C ，A 1 A 上，且 C 1M = 2MC ， A 1 N = 2NA .（1）求证： N C 1 // 平面 B MD ；A π （2）若 A 1 A = 3，AB = 2AD = 2 ， ∠DAB =，求二面角3MN - BD - M 的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接 A C 交 B D 于点GMG ．设 C 1M 的中点为 E ，连接 A E ．………2 分G , M 是在△ ACE 边 C A ,CE 的中点，∴ MG //AE ， ……………………………………3 分又 C 1M = 2MC ，A 1 N = 2NA ， A A 1 //CC 1 ， ∴四边形 A NC 1E 是平行四边形，故 N C 1 //AE ，∴ NC 1 //GM ， …………………………………4 分 GM ⊂ 平面 B MD ，∴ NC 1 // 平面 B MD . …………………………………5 分 （法二）如图，设 E 是 B B 1 上一点，且 B E = 2B 1E ，连接 E C 1 . 设 G 是 B E 的中点，连接G M . ……………………1 分BE = MC 1，BE //MC 1 ，∴四边形 B EC 1M 是平行四边形，故 E C 1 //BM ， ……2 分又 BM ⊂ 平面 B MD ，∴ EC 1 // 平面 B MD ， …………………………………3 分同理可证 N E //AG ， A G //DM ，故 N E //DM ，2 ∴ NE // 平面 B MD ， (4)分 又 EC 1，NE ⊂ 平面 N EC 1 ，且 N E C 1E = E ，∴平面 N EC 1 // 平面 B MD ，又 N C 1 ⊂ 平面 N EC 1 ，所以 N C 1 // 平面 B MD .……………5 分（2）（法一）设二面角 N - BD - M 为α，二面角N - BD - A 为 β，根据对称性，二面角 M - BD - C的大小与二面角 N - BD - A 大小相等，故α= π - 2β，sin α= sin(π - 2β) = sin 2β.下面只需求二面角 M - BD - C 的大小即可. ………7 分 由余弦定理得 B D 2 = AD 2 + AB 2 - 2AD ⋅ AB cos ∠DAB = 3 ，故 AB 2 = AD 2 + BD 2 ，A D ⊥ BD . (8)分四棱柱 A BCD - A 1B 1C 1D 1 为直棱柱，∴ DD 1 ⊥ 底面 A BCD ，D D 1 ⊥ BD ， ……………………9 分 又 AD , D 1D ⊂ 平面 A DD 1 A 1 ， A D D 1D = D ，∴ BD ⊥ 平面B DD 1B 1 ， …………………………………10 分ND ⊂ 平面A DD 1 A 1 ， ∴ND ⊥ BD ，所以二面角 N - BD - A 的大小为 ∠NDA ，即 ∠NDA = β，在 R t ∆NAD 中，s in β = AN= 1 ND = 2 ，…………11 分 2∴ β= π ，α= π，4 2∴二面角N- BD - M 的正弦值为1 . …………………12 分（法二）由余弦定理得B D2 = AD2 + AB2 - 2AD ⋅ AB cos∠DAB = 3 ，故AB2 = AD2 + BD2 ，A D ⊥ BD . ……………………6分以D为坐标原点O，以D A, DC, DD1 分别为x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.依题意有 D (0,0,0) ， B (0, ,0) ， M (-1, ,1) ， N (1, ,1) ，DB = (0, ,0) ， DM = (-1, ,1) ， D N = (1, ,1) ，……7 分设平面 M BD 的一个法向量为 n = (x , y , z ) ，⎧⎪n ⋅ DB = 0 ∴⎨ ⎧⎪ ， ∴⎨ 3y = 0 ， ⎪⎩n ⋅ DM = 0⎪⎩-x + y + z = 0令 x = 1 ，则 z = 1， y = 0 ，∴n = (1,0,1) ，……………9 分 同理可得平面 N BD 的一个法向量为 m = (1,0, -1) ，……10 分 所以 c os < m , n >=m ⋅ n 0= | m || n |= 0 ， ……………11 分所以二面角 N - BD - M 的大小为 π，正弦值为1 . …12 分2【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力， 考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分 12 分）已知以 F 为焦点的抛物线 C : y 2 = 2 p x ( p > 0) 过点 P (1, -2) ，直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，M 为AB 中点，且 O M + OP = λOF .（1）当 λ=3 时，求点 M 的坐标；uur u u u r（2）当 O A ⋅ OB = 12 时，求直线 l 的方程.解：（1）因为 P (1, -2) 在y 2 = 2 p x 上，代入方程可得 p = 2 ， 所以 C 的方程为 y 2 = 4x ，焦点为 F (1, 0) ， (2)分 设 M ( x 0 , y 0 ) ，当 λ=3 时，由 O M + OP = 3OF ，可得M (2, 2) ， ………………4 分 （2）（法一）设A (x 1 , y 1 ) ，B (x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ， 由 O M + OP = λOF ，可得 (x 0 + 1, y 0 - 2) = (λ, 0) ，所以 y 0 =2 ， y - y 所以 l 的斜率存在且斜率k = 1 2=x 1 - x 24 = 2y + y y3 3 3 3 3 33 2 ⋅ 2= 1，……………7分⎧ y = x + b可设l方程为y= x + b ，联立⎨得x2 + (2b - 4)x + b2 = 0 ，⎩ y2 = 4x∆=（2b-2 - 4b2 =16 -16b > 0 ，可得b<1，………………………………9分2则 x 1 + x 2 = 4 - 2b ， x 1x 2 = b， y 1 y 2 = x 1 x 2 + b (x 1 + x 2 ) + b = 4b ，所以 O A ⋅ OB = x x + y y =b 2 + 4b = 12 ，…………………………………11 分1 21 2解得 b = -6 ，或 b = 2 （舍去），所以直线l 的方程为 y = x - 6 . ……………………………………………12 分（法二）设 l 的方程为x = my + n ， A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ， ⎧x = my + n 联立 ⎨ ⎩ y 2= 4x得 y 2 - 4my - 4n = 0 ， ∆ =16m 2 +16n > 0 ， ………………6 分则 y 1 + y 2 = 4m ， y 1 y 2 = -4n ， x 1 + x 2 = m ( y 1 + y 2 ) + 2n = 4m+ 2n ，所以 M (2m 2 + n , 2m ) ，…………………………………………………………7 分由 O M + OP = λOF ，得 (2m 2 + n +1, 2m - 2) = (λ, 0) ，所以 m =1， …………8 分 所以 l 的方程为x = y + n ， 由 ∆ = 16 + 16n > 0 可得， n > -1，……………………………………………9 分( y 1 y 2 ) 2由 y 1 y 2 = -4n 得 x 1 x 2 == n ，16所以 O A ⋅ OB = x x + y y =n 2 - 4n = 12 ， ………………………………………11 分1 21 2解得 n = 6 ，或 n = -2 （舍去），所以直线l 的方程为 y = x - 6 . ……………………………………………12 分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量 的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20．（本小题满分 12 分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000 名患者的 相关信息，得到如下表格：222（1）求这1000 名患者的潜伏期的样本平均数 x （同一组中的数据用该组区间的中点（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否 超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 95% 的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以这1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过 6 天发生的概 率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者， 其中潜伏期超过 6 天的人数最．有．可．能．（即．概．率．最．大．）是多少？ 附：2n (ad - bc )2K = ，其中 n = a + b + c + d .(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )解：（1） x =1 1000⨯（1⨯ 85 + 3⨯ 205 + 5⨯ 310 + 7 ⨯ 250 + 9 ⨯130 +11⨯15 +13⨯ 5）= 5.4 天.……………………………………………………………………………2 分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：则 K 2 = (65 ⨯ 45 - 55 ⨯ 35) ⨯ 200 =25 ≈ 2.083 ， ………………………………………5 分120 ⨯ 80 ⨯100 ⨯10012经查表，得 K 2 ≈ 2.083 < 3.841 ，所以没有95% 的把握认为潜伏期与年龄有关. ……6 分（3）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为400 = 2， ……7 分 1000 5设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 X ，则 X ~ B (20, 2) , P ( X = k ) = C kk⎪ ⎪20-k， k = 0 ，1， 2 ，…， 20 ， ………8 分⎛ 2 ⎫20深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 12 页 共 16页5 2 3 2 3 得 5 2 3 2 320 20 ⎧ ⎝ ⎭ ⎛ 3 ⎫ ⎝ 5 ⎭k 20-k ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ k +1 19-k⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎪C k ⎪ ⎪≥ C k +1 ⎪ ⎪ ⎧P ( X = k ) ≥ P ( X = k + 1) ⎪ 由 ⎨ ⎨ 20⎝ ⎭ ⎝ 5 ⎭ 20 ⎝ 5⎭ ⎝ 5 ⎭ ， …………10 分 ⎩P ( X = k ) ≥ P ( X = k -1) ⎪ k 20-k ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ k -1 21-k⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎪C k ⎪ ⎪ ≥ C k -1 ⎪ ⎪⎩ ⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 13 页 共 16页0 ⎧3(k + 1) ≥ 2(20 - k ) 化简得 ⎨ ⎩2(21 - k ) ≥ 3k ，解得 375 ≤ k ≤ 42 ,5 又 k ∈ N ,所以 k = 8 ,即这 20 名患者中潜伏期超过6 天的人数最有可能是 8 人.…12 分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概 率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = e x- a ln(x -1) .（其中常数 e =2.718 28 ⋅ ⋅ ⋅ ，是自然对数的底数）（1）若 a ∈ R ，求函数 f (x ) 的极值点个数；（2）若函数 f (x ) 在区间(1,1+e -a) 上不单调，证明： 1+ 1> a .(x -1)e 解：（1）易知 f '(x ) =x- a a a +1， x > 1 ，………………………………………1 分x -1①若 a ≤ 0 ，则 f '(x ) > 0 ，函数 f (x ) 在 (1, +∞) 上单调递增，∴函数 f (x ) 无极值点，即函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；……………………2 分②若 a > 0 ，（法一）考虑函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) ，Q y (1 + a ) = a e 1+a - a > a - a = 0 ，y (1) = -a < 0 ，∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 有零点x ，且1< x <1+ a ， 0Q y ' = x e x > 0 ，∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 为单调递增函数，∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 有唯一零点x ，∴ f '(x ) =(x -1)e - a亦存在唯一零点 x ， …………………………………4 分x -1 0x深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 14 页 共 16页∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………5 分 综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .（法二）易知函数 y = e x 的图象与 y =ax -1(a > 0) 的图象有唯一交点 M (x 0 , y 0 ) ，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 15 页 共 16页∴ e x=a x 0 -1，且 x 0 > 1 ，…………………………………………………………………3 分∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………4 分 综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣 1 分，即总分不得超过 4 分）（法三）对于 ∀a > 0 ，必存在 n ∈N *，使得 n >2 - ln a，即 2 - na < ln a ，aQ e- na< 1 ，∴ e1-na +e - na- a < e 2 -na- a < e ln a- a = 0 ，e -na e 1+e - na- a ∴ f '(1+ e-na) = < 0 ， e -naa e1+ a又 f '(1 + a ) = a - a =e 1+ a-1 > 0 ， ∴函数 f '(x ) = (x -1)e x- a 有零点，不妨设其为 x ，x -1 0 显然 f '(x ) = e x-a x -1(x > 1) 为递增函数， ∴ x 0 为函数 f '(x ) 的唯一零点， …………………………………………………………4 分∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 16 页 共 16页∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………5 分 综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .（2） Q 函数f (x ) 在区间 (1,1+e -a) 上不单调，∴存在 x ∈(1,1+e -a ) 为函数 f (x ) 的极值点， ……………………………………6 分e -a ⋅ e 1+e - a- a∴由（1）可知 a > 0 ，且 f '(1+e -a) => 0 ，即 e1-a +ee -a> a ，两边取对数得1 - a +e - a > ln a ，即1+e - a - ln a > a ， ………………………………7 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 11 页 共 16页（法一）欲证1 + 1 > a ，不妨考虑证a a +11 + 1 ≥1+e -a - ln a ， a a +1 先证明一个熟知的不等式： e x ≥ 1 + x ，令 g (x ) = e x - x -1，则 g '(x ) = e x -1，∴ g '(0) = 0 ， 不难知道函数 g (x ) 的极小值（即最小值）为 g (0) = 0 ，∴ e x - x -1 ≥ 0 ，即 e x ≥ 1 + x ，……………………………………………………8 分（思路 1：放缩思想）∴ e -a = 1≤ 1 ， 即 1 ≥ e -a， ………………………9 分1-111- 1e a a +1 1 a +11又 ea≥ ，∴ e a≤ a ，∴1- ≤ ln a ，即 ≥ 1- ln a ，………………………11 分∴ 1+ a a1≥1+e -a- ln a ，∴ 1 + 1a > a . …………………………12 分 a a +1 a a +1（思路 2：构造函数）令ϕ(a ) = 1 + ln a -1 ，则ϕ'(a ) = 1 - 1= a -1 ，a a a 2 a 2不难知道，函数ϕ(a ) 有最小值ϕ(1) = 0 ，∴ϕ(a ) ≥ 0 ，…………………………10 分当 a > 0 时， 1- e - a= e- a -1> 0 ， …………………………………………11 分a + 1 (a + 1)e a∴ 1 + ln a -1 + 1 - e -a 1 1> 0，即 + ≥1+e -a - ln a ， aa +1a a +1∴ 1 + 1 > a .…………………………………………………………………12 分a a +1（法二）令 F (x ) = 1+e - x - ln x - x ，则 F '(x ) = -e - x - 1 -1 < 0 ，x∴函数 F (x ) 为单调递减函数，显然 F (2) < 2 - ln 2 - 2 < 0 ，且 F (a ) > 0 ，∴ 0 < a < 2 ，①若 0 < a < 1 ，则1 + 1 > 1 > a ，即1 + 1> a 成立； …………………………8 分 a a +1a深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 12 页 共 16页②若1≤ a < 2 ，只需证 1+ aa a +1 1≥1+e -a - ln a ，a a +1 111414不难证明 +≥ a a +1 7a + 3，只需证明 7a + 3≥1+e -a - ln a ， …………………………9 分令 G (a ) = 14 7a + 3- e -a + ln a -1，1≤ a ≤ 2 ，则 G '(a ) = e -a + 1 - a 98 (7a + 3)2 > 1 - a 98 ， (7a + 3)2当1≤ a ≤ 2 时， 1 - 98=49a - 56a + 9 ，a (7a + 3)2 a (7a + 3)2显然函数 y = 49a 2 - 56a + 9 在 [1, 2] 上单调递增，且 y (1) = 2 > 0 ，2深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 13 页 共 16页ea∴ G '(a ) > 0 ，即函数 G (a ) 为单调递增函数， ………………………………………10 分∴当1≤ a < 2 时， G (a ) ≥ G (1) = 2 - 1 =2e - 5> 0 ，即 G (a ) > 0 ， ………………11 分5 e 5e∴14 ≥1+e -a- ln a ，即 1 + 1 > a ， 7a + 3 a a +11 1综上所述，必有 +> a 成立. …………………………………………………12 分 a a +1（法三）同（法二）得 0 < a < 2 ，1 11 1 1①若 0 < a < 1 ，则 +> > a ，即 + > a 成立； …………………………8 分a a +1 ②若1≤ a < 2 ，只需证 1 +a a a +11≥1+e -a - ln a ， 令 G (a ) = 1 + 1a a +1- e - a + ln a -1 ，1≤ a ≤ 2 ，a a + 1则 G '(a ) = e -a- 1 + a -1 ≥ e -a - 1， (a +1)2 a 2 (a +1)2下证当1≤ a ≤ 2 时，e -a-1(a +1)2a > 0 ，即证 e a < (a +1)2，即证 e 2< a +1 ， ………9 分a令 H (a ) = e 2- a -1，1≤ a ≤ 2 ，则 H '(a ) = 1 e 2 -1，当 a = 2ln 2 时， H '(a ) = 0 ，2不难知道，函数 H (a ) 在 [1, 2ln 2) 上单调递减，在 (2ln 2, 2] 上单调递增，∴函数 H (a ) 的最大值为 H (1) ，或 H (2) 中的较大值，显然 H (1) =- 2 < 0 ，且 H (2) = e - 3 < 0 ，a∴函数 H (a ) 的最大值小于 0 ，即 H (a ) < 0 ，亦即 e 2 < a +1 ，…………………………10 分∴ e -a -1 (a +1)2> 0 ，即 G '(a ) > 0 ，∴函数 G (a ) = 1 + 1- e - a + ln a -1 ，1≤ a ≤ 2 单调递增，a a + 1易知 G (1) = 1 - 1> 0 ，∴ G (a ) > 0 ，即 1 + 1≥1+e -a - ln a ，………………………11 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 14 页 共 16页2 e∴当1≤ a < 2 时，有 1 + 1a a +1> a 成立，a a +111综上所述， +> a .…………………………………………………………12 分a a +1深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 15 页 共 16页3 【命题意图】 本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题 的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎪⎧x = -2 在直角坐标系 x Oy 中，直线 C 1 的参数方程为 ⎨+ tcos α,（t 为参数，α为倾斜角）， ⎪⎩ y = t sin α,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 ρ= 4sin θ．（1）求 C 2 的直角坐标方程；（2）直线 C 1 与 C 2 相交于 E , F 两个不同的点，点 P 的极坐标为 (2, π) ，若 2 EF = PE + PF ，求直线 C 1 的普通方程．解：（1）由题意得， C 2 的极坐标方程为 ρ= 4sin θ，所以 ρ2 = 4ρsin θ，………………1 分 又x = ρcos θ, y = ρsin θ，………………2 分代入上式化简可得， x 2 + y 2 - 4 y = 0 ，………………3 分 所以 C 2 的直角坐标方程 x 2 + ( y - 2)2 = 4 ．………………4 分 （2）易得点 P 的直角坐标为 (-2 ,0) ，⎪⎧x = -2 将 ⎨ + t cos α,代入 C 2 的直角坐标方程，可得⎪⎩ y = t sin α,t 2 - (4∆ = (4 cos α+ 4sin α)t + 12 = 0 ，………………5 分cos α+ 4sin α)2 - 48=[8sin(α+ π)]2 - 48 > 0 ，3 解得 s in(α+ π) > 3 ，或 s in(α+ π) < - 3，3 2 3 2不难知道α必为锐角，故 s in(α+ π) >3， 3 2所以 π <α+ π < 2π ，即 0 < α< π ,………………6 分3 3 3 33333 33设这个方程的两个实数根分别为 t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 4 cos α+ 4sin α， t 1 ⋅ t 2 = 12 ，………………7 分3 3 ) 所以 t 1 与t 2 同号， 由参数t 的几何意义可得，PE + PF = t + t= t + t= 8 sin(α+ π) ， 1 2 1 2 3EF = t - t = ，………………8 分 1 2所以 2 ⨯= 8 sin(α+ π ，3两边平方化简并解得 s in(α+ π ) = 1，所以α= π + 2k π ， k ∈ Z ,3 6 因为 0 < α< π ，所以α= π ，………………9 分3 6 ⎧ ⎪⎪x = -2+ t, 2 所以直线 C 1 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = 1 t , ⎩⎪ 2消去参数 t ，可得直线 C 1 的普通方程为 x - y + 2 = 0 ．………………10 分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的 几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养， 考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1. 证明：（1） 1 + 1 + 1 ≥ 9 ； a b c（2） a c + bc + ab - abc ≤ 8.273 3⎝ ⎭证明：（1）因为 1 + 1 + 1 = (a + b + c ) ⎛ 1+ 1 + 1 ⎫a b c = 3 + b + a + c + a + c + ba b a c b ca b c ⎪3≥ 3 + +1（当且仅当 a = b = c = 时，等号成立）. ………………5 分3（2）（法一）因为 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1， 所以 c = 1 - a - b ，且1 - a > 0 ，1 - b > 0 ，1 - c > 0 ， 所以 a c + bc + ab - abc= (a + b - ab )c + ab=(a+b -) 1- a - b ）+ ab = (b -1)(a -1)(a + b )= (1- a )(1- b )(1- c )≤ ⎡(1- a ) + (1- b ) + (1- c ) ⎤ = 8 ，⎣⎢ 3 ⎦⎥ 27所以 a c + bc + ab - abc ≤ 8.271（当且仅当 a = b = c = 时，等号成立）. ………………10 分3（法二）因为 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1，所以 c = 1 - a - b ，且1 - a > 0 ，1 - b > 0 ，1 - c > 0 ，ac + bc + ab - abc = 1 - (a + b + c ) + ac + bc + ab - abc= (1 - a ) + b (a - 1) + c (a - 1) + bc (1 - a )= (1- a ) ⎡⎣1- (b + c ) + bc ⎤⎦= (1- a)(1- b)(1- c)⎡3 -(a + b + c) ⎤38≤ ⎢⎥ =⎣ 3 ⎦27所以a c + bc + ab - abc ≤ 8 .271（当且仅当a= b = c =时，等号成立）. ………………10 分3【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．。
2020年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试(文科数学)参考答案
已知数列{an}的首项 a1
=
2 3
， an+1an
+
an+1
=
2an
(an
0, n N*) ．
（1）证明：数列{ 1 −1}是等比数列； an
（2）数列
n {
an
}
的前
n
项和
Sn
．
解：（1） an+1an + an+1 = 2an (an 0, n N*) ，
1 = an +1 = 1 + 1 1 ， an+1 2an 2 2 an
f
( x1 )
=
(1 +
a ) ex1 x1
=
(1 −
x2 ) ex1
，
f
(x2 )
= (1− x1) ex2
，
所以 ln f (x2 ) = ln(1− x1) ex2 = ln(1− x1) + x2 ，
ln f (x1) = ln(1− x2) ex1 = ln(1− x2) + x1 ，
所以 ln
所以 f (x) 在 (− , x1) 上是增函数， 在 (x1 , 0) 是减函数.
……………3 分
由 f (x) = (1+ a )ex = x + a ex 可知，
x
x
当 x = −a 时， f (x) = 0 ，当 x −a 时， f (x) 0 ，当 −a x 0 时， f (x) 0 ，
即1 an
=
1 2n
+1，
n an
=
n 2n
+n．
…………………………9 分
2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(文科)参考答案
绝密★启用前 试卷类型：（A ）2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试文科数学参考答案与评分标准一、选择题1. B2. A3. D4. B5. D6. C7. B 8. B 9. C 10. B 11. B 12. B二、填空题： 13. 79− 14. 4π3 15. 4π 16. 415⎡⎫⎪⎢⎣⎭，. 12.【解析】设()()F x x f x =⋅，则()F x '=()()(1)x xf x f x x e '+=−，因此，(0,1)x ∈，()0F x '>，()F x 递增；(1,)x ∈+∞，()0F x '<，()F x 递减． 因为当0x →时，(0)0F →，且有(2)0F =．所以由()()F x x f x =⋅图象可知，当(0,2)x ∈时，()()0F x xf x =>，此时()0f x >．16.解析：为使2113F F AF PA ≤+恒成立，只需213F F ≥max 1)(AF PA +， 由椭圆的定义可得，a AF AF 221=+， 所以a PF a AF PA AF PA 22221+≤+−=+，当且仅当A F P ,,2三点共线时取等号(2F 在线段PA 上)，又点P 的轨迹是以O 为圆心，半径为a 2的圆，所以圆上点P 到圆内点2F 的最大距离为半径与2OF 的和，即c a PF +≤22， 所以≤+≤+a PF AF PA 221c a a c a +=++422，所以c a c +≥46，a c 45≥，54≥=a c e ， 又1<e ，所以C 的离心率的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡154，．三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
第17 ～2 1 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分．17．（本小题满分12分）已知数列，14a =，1(1)4(1)n n n a na n ++−=+()n *∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项和为n T ． 解：（1）由1(1)4(1)n n n a na n ++−=+()n *∈N 可得，2128a a −=， ………………………………1分323212a a −=，434316a a −=，……，1(1)4n n na n a n −−−=，(2)n ≥ …………………………2分累加得1812+4n na a n −=++…， ……………………3分 所以(4+4)=4+812+4=2n n n na n ++…， …………………4分 得=22(2)n a n n +≥， ……………………5分由于14a =，所以=22()n a n n *+∈N ． ……………………6分（2）111111()(22)(24)22224n n n b a a n n n n +===−⋅++++，……………………9分 1111111111[()()()]()2466822242424n T n n n =−+−++−=−+++ 816n n =+．………………………………………12分 【命题意图】本题主要考查已知递推公式用累加法求通项，注重思维的完整性和严密性，另外考查裂项相消法求数列的前n 项和．重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．18．（本小题满分12分）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量i y 和月销售单价i x (1,2,3,,6)i =数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：{}n a（1）若用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：ˆ4105yx =−+，ˆ453y x =+和1043ˆ+−=x y ，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用c bx ax y ++=2模型拟合y 与x 之间的关系，可得回归方程为25.90875.0375.0ˆ2++−=x x y，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R 分别为9702.0和9524.0，请用2R 说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到01.0）参考数据：91.806547≈.解：（1）已知变量x ，y 具有线性负相关关系，故乙不对，因为5.66987654=+++++=x ，796677479828389=+++++=y 代入甲和丙的回归方程验证甲正确． ……………………4分（2）因为9524.09702.0>且2R 越大，残差平方和越小，模拟的拟合效果越好，所以选用25.90875.0375.0ˆ2++−=x x y更好．（言之有理即可得分）……………7分 （3）由题意可知，x x x yx z 25.90875.0375.0ˆ23++−==，……………………8分 即x x x z 4361878323++−=，则436147892++−='x x z ，……………………9分令0='z ，则976547+−=x （舍去）或976547+=x ，……………………10分 令9765470+=x ，当()0,0x x ∈时，z 单调递增，当()∞+∈0x x 时z 单调递减， 所以当0x x =时，商品的月销售额预报值最大， ……………………11分因为91.806547≈，所以77.9≈x ，所以当77.9≈x 时，商品的月销售额预报值最大． ……………………12分19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为长方形，24AB BC ==，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，将ADF ∆沿AF 折到AD F '∆的位置，将BCE ∆沿CE 折到B CE '∆的位置，使得平面AD F '⊥底面AECF ，平面B CE '⊥底面AECF ，连接B D ''，（1）求证：B D ''//平面AECF ；（2）求三棱锥B 'AD F '−的体积．解：（1）证明：作D M '⊥AF 于点M ，作B N '⊥EC 于点N ，………………1分2AD D F ''==，2B C B E ''==，90AD F CB E ''∠=∠=︒，∴M ，N 为AF ，CE 中点，且D M '=2B N '2分平面AD F '⊥底面AECF ，平面AD F '底面AECF =AF ，D M '⊥AF ，D M '⊂平面AD F ' ∴ D M '⊥底面AECF ，……………………3分同理：B N '⊥底面AECF ，……………4分∴//D M 'B N '，∴四边形D B NM ''为平行四边形,∴//B D MN ''…………………5分B D ''⊄平面AECF ，MN ⊂平面AECF ，∴B D ''//平面AECF ．…………………6分（2）设点B '到平面AD F '的距离为h ，连接NF ．………………………………7分 //D M 'B N '，D M '⊂平面AD F '，B N '⊄平面AD F '∴B N '//平面AD F '，………………………………8分故点B '到平面AD F '的距离与点N 到平面AD F '的距离相等．………………………8分 N 为CE 中点，2EF CE ==，∴NF CE ⊥，//AF CE ，∴NF AF ⊥，…………………9分平面AD F '⊥底面AECF ，平面AD F '底面AECF =AF ，NF ⊂底面AECF ，∴NF ⊥平面AD F '，………………………10分∴点N 到平面AD F '的距离为2NF∴点B '到平面AD F '的距离2h 11分12222AD F S '∆=⨯⨯=， ∴三棱锥B 'AD F '−的体积112222333B AD F AD F V S h '''−∆=⨯=⨯．………………12分 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过点)0,2(F 的动圆恒与y 轴相切,FP 为该圆的直径，设点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点)4,2(A 的任意直线l 与曲线C 交于点M ,B 为AM 的中点，过点B 作x 轴的平行线交曲线C 于点D ,B 关于点D 的对称点为N ，除M 以外，直线MN 与C 是否有其它公共点？说明理由．【解析】（1）如图，过P 作y 轴的垂线，交y 轴于点H ，交直线2−=x 于点1P ，--------------------1分设动圆圆心为E ，半径为r ，则E 到y 轴的距离为r ，在梯形OFPH 中，由中位线性质得，22−=r PH ，----------------------2分 所以r r PP 22221=+−=，又r PF 2=， 所以1PP PF =，--------------------3分由抛物线的定义知，点P 是以)0,2(F 为焦点，直线2−=x 为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为x y 82=．------------------4分(2) 由)4,2(A 得，A 在曲线C 上，(i)当l 的斜率存在时，设)2)(,(111≠x y x M ，则1218x y =，AM 的中点)24,22(11++y x B ，即)22,12(11++y x B ，------------------5分 在方程x y 82=中令221+=y y 得21)22(81+=y x ， 所以)22,)22(81(121++y y D ．----------------------------6分 设),(22y x N ，由中点坐标公式22)22(411212+−+=x y x ， 又1218x y =，代入化简得212y x =， 所以)22,2(11+y y N ，--------------------------------7分 直线MN 的斜率为112111111428222)22(y y y y y x y y =−−=−+−， 直线MN 的方程为111)(4y x x y y +−=①， 将8211y x =代入①式化简得2411y x y y +=②，------------------------8分 将82y x =代入②式并整理得022112=+−y y y y ③， ③式判别式04)2(2121=−−=∆y y ，-----------------------------9分所以直线MN 与抛物线C 相切，所以除M 以外，直线MN 与C 没有其它公共点．--------------------------10分(ii)当l 的斜率不存在时，)4,2(−M ，)0,2(B ，)0,0(D ，)0,2(−N ，直线MN 方程为2−−=x y ，代入x y 82=得0442=+−x x ，-------------------11分 上式方程判别式0=∆，除M 以外，直线MN 与C 没有其它公共点．综上，除M 以外，直线MN 与C 没有其它公共点．-----------------------12分【命题意图】本题以直线与圆、直线与抛物线为载体，利用直线与圆的位置关系等知识导出抛物线的方程，借助几何关系，利用方程思想解决问题，主要考察抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系和中点坐标公式等知识，考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养及思辨能力．21．（本小题满分12分）已知函数()()()21ln 1 1.f x x x ax a x =−++−−（1）当1a =−时，判断函数的单调性；（2）讨论()f x 零点的个数.解：（1）因为1a =−，所以()()()()21ln 211ln 1f x x x x x x x x =−−+−=−−+ 又()1ln 23f x x x x '=−−+，设()1ln 23h x x x x=−−+， -----------------2分 又()()()22211112x x h x x x x +−'=−+=，所以()h x 在()0,1为单调递增；在()1,+∞为单调递减， -----------------3分 所以()h x 的最大值为()10h =，所以()0f x '≤，所以()f x 在()0,+∞单调递减. -----------------4分（2）因为()()()1ln 1f x x x ax =−++所以1x =是()f x 一个零点设()ln 1g x x ax =++，所以()f x 的零点个数等价于()g x 中不等于1的零点个数再加上1. -----------------5分 （i ）当1a =−时，由（1）可知，()f x 单调递减，又1x =是()f x 零点，所以此时()f x 有且只有一个零点； -----------------6分（ii ）当0a ≥时，()g x 单调递增，又()10,g >()()()22131ln 1111x ax a x g x x ax ax x x −++−=++<++=++ ()01x << 又()()()()()2231431411ax a x a x a x a x x ++−<+++−=+−+⎡⎤⎣⎦ 所以104g a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，综上可知()g x 在()0,+∞有一个零点且()10g ≠，所以此时()f x 有两个零点； -----------------8分（iii ）又()1ax g x x+'=，所以当10a −<<，()g x 在10,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递减. ()g x 的最大值为11ln 0g a a ⎛⎫⎛⎫−=−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()()()212111011x x g x ax x x −−<++<+=++ 103g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又10a g e e⎛⎫=< ⎪⎝⎭ 所以()g x 在10,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭也有一个零点且()10g ≠. 所以此时()f x 共有3个零点； -----------------10分 （iv ）又()1ax g x x+'=，所以当1a <−时， ()g x 在10,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递减. ()g x 的最大值为11ln 0g a a ⎛⎫⎛⎫−=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 没有零点，此时()f x 共有1个零点.综上所述，当1a ≤−时，()f x 共有1个零点；当10a −<<时，()f x 共有3个零点；当0a ≥时，()f x 有两个零点. -----------------12分（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+−=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．解：（1）由题意得，2C 的极坐标方程为θρsin 4=，所以θρρsin 42=，………………1分又θρθρsin ,cos ==y x ，………………2分代入上式化简可得，0422=−+y y x ，………………3分所以2C 的直角坐标方程4)2(22=−+y x ．………………4分（2）易得点P 的直角坐标为)0,32(−， 将⎪⎩⎪⎨⎧=+−=,sin ,cos 32ααt y t x 代入2C 的直角坐标方程，可得 012)sin 4cos 34(2=++−t t αα，………………5分22π4sin )48=[8sin()]4803ααα∆=+−+−>，解得πsin()3α+>πsin()3α+<不难知道α必为锐角，故πsin()3α+>， 所以ππ2π333α<+<，即π03α<<,………………6分 设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则ααsin 4cos 3421+=+t t ，1221=⋅t t ，………………7分所以1t 与2t 同号，由参数t 的几何意义可得，1212π8sin()3PE PF t t t t α+=+=+=+，12EF t t =−==8分所以π28sin()3α⨯+，两边平方化简并解得πsin()13α+=，所以π2π6k α=+，k ∈Z , 因为π03α<<，所以π6α=，………………9分 所以直线1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=,21,2332t y t x 消去参数t ，可得直线1C 的普通方程为0323=+−y x ．………………10分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明：（1）1119a b c++≥； （2）8.27ac bc ab abc ++−≤证明：（1）因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 3b a c a c b a b a c b c=++++++3≥+ （当且仅当13a b c ===时，等号成立）. ………………5分 （2）（证法一）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =−−，且10a −>，10b −>，10c −>，所以ac bc ab abc ++−()a b ab c ab =+−+()1a b ab a b ab =+−−−+（）深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 11 页（共11页） (1)(1)()b a a b =−−+(1)(1)(1)a b c =−−−3(1)(1)(1)8327a b c −+−+−⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦， 所以8.27ac bc ab abc ++−≤ （当且仅当13a b c ===时，等号成立）. ………………10分 （证法二）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =−−，且10a −>，10b −>，10c −>，()1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc ++−=−+++++−()()()()1111a b a c a bc a =−+−+−+−()()11a b c bc =−−++⎡⎤⎣⎦()()()111a b c =−−− ()338327a b c −++⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦ 所以8.27ac bc ab abc ++−≤ （当且仅当13a b c ===时，等号成立）. ………………10分 【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．。
2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试——数学(理科)试题
(2) 求2sin2 A C sin B 1的取值范围. 2
(1)由sin2 B sin Asin C及正弦定理可得b2 ac,
所以cos B a2 c2 b2 ≥ 2ac ac 1 ,
2ac
2ac 2
而0 B , 所以0 B ≤ π
3
(2) 求2sin2 A C sin B 1的取值范围. 2
(2) 在平面ABCD内过点A作直线AD的垂线Ax,
SA 平面ABCD, SA AD, SA Ax,
所以直线AS、Ax、AD两两垂直,以点A为坐标原点, 分别
以直线Ax、AD、AS为
z
S
x、y、z轴建立如图所
示空间直角坐标系,
过点B作BE AD
交直线AD于E .
A
E
AD / / BC, AB BC CD 1,
A. 2 3
3 B.
2
3 C.
3
D. 3
AC AD AB BC AD AB AD BC AD
3 BD AD
3 BA AD AD
A
2
3 AD 3
B
D
C
6.已知一个四棱锥的高为3, 其底面用斜二测画法所画出
的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形 ?则此四棱
锥的体积为( D )
AF / / BC, 且AF BC 1,四边形ABCF是平行四边形,
CF / / AB,
S
又因为CF 平面SAB,
AB 平面SAB,CF / / 平面SAB
P
FP CF F ,
平面PCF / / 平面SAB,
A
F
又CP 平面SAB,
D
CP / / 平面SAB
B
(文科)2020年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试文科数学试题(含答案)
⎨ 绝密★启用前 试卷类型：（A ）2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试文科数学本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合 A ={x -1 < x < 2}， B = {x y = lg ( x -1)} ，则 AA ． [-1 ，2)B ． [2 ，+ ∞)C ． (-1,1]D ． [-1 ，+ ∞)2 ． 棣莫弗公式 (cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx (i 为虚数单位） 是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos π + i sin π )6 在复平面内所对应的点位55于A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知点(3,1) 和(-4, 6) 在直线3x - 2y + a = 0 的两侧，则实数a 的取值范围是A ． a < 7 或a > 24B ． a = 7 或a = 24C ． - 24 < a < 7⎧(a - 1)x + 3a , x < 1,D ． - 7 < a < 244. 已知 f (x ) = ⎪⎪⎩2a x , x ≥ 1,是(-∞, +∞) 上的减函数，那么实数a 的取值范围是1 A. (0,1)B ． (0, ) 21 1 C.[ , )6 2 1 D ．[ ,1)65. 一个容量为 100 的样本，其数据分组与各组的频数如下表：组别 (0，10] (10, 20] (20,30] (30, 40](40,50] (50, 60] (60, 70]频数1213241516137则样本数据落在(10，40] 上的频率为A. 0.13B. 0.52C. 0.39D. 0.64(RB ) =6. 在∆ABC 中， D 是BC 边上一点， AD ⊥ AB ， BC = 3 BD ， AD = 1 ，则 AC ⋅ ADA. 2B. 2C.3 D ．37． sin 163︒sin 223︒ + sin 253︒sin 313︒ =A.- 12B.12C. - 3 2D.2 8.已知抛物线 y 2 = 8x ，过点 A (2, 0) )作倾斜角为 π 的直线l ，若l 与抛物线交于 B 、C 两点， 3弦 BC 的中垂线交 x 轴于点 P ，则线段 AP 的长为A. 163B.83C.16 3 3D. 89. 如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，现有下列结论:① AC ⊥ BD③ AC = BD② AC ∥截面 PQMN④异面直线 PM 与 BD 所成的角为45其中所有正确结论的编号是A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④BQC10.已知函数 f (x ) = sin(ω x + ϕ)(ω > 0,| ϕ |< π) 的最小正周期是π ，若其图象向右平移 π个单位23后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是 A.函数 f (x ) 的图象关于直线x = 2π 对称B ．函数 f (x ) 的图象关于点(11π, 0) 对称 312C ．函数 f (x ) 在区间⎡- π, -π ⎤上单调递减D ．函数 f (x ) 在⎡ π , 3π ⎤上有3 个零点 ⎣⎢ 212 ⎥⎦⎢⎣ 4 2 ⎥⎦11.已知函数 y = f (x ) 是 R 上的奇函数，函数 y = g (x ) 是R 上的偶函数，且 f (x ) = g (x + 2)，当0 ≤ x ≤ 2 时， g (x ) = x - 2 ，则 g (10.5) 的值为A ．1.5B ．8.5C ．－0.5D ．0.5333ANPDM7 3 x 2 y 212.已知双曲线C : - a 2 b 2= 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ，O 为坐标原点，点 P是双曲线在第一象限内的点，直线 PO 、PF 2 分别交双曲线C 的左右支于另一点 M 、N ，若PF 1 = 2 PF 2 ，且∠MF 2 N =120 ，则双曲线的离心率为2 2A.B ．C ．D ． 3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 已知 x 轴为曲线 f (x ) = 4x 3 + 4(a -1)x +1的切线，则a 的值为 ． 14. 已知 S n 为数列{a n } 的前n 项和， S n = 2a n - 2 ，则 S 5 - S 4 = . 15. 在∆ABC 中，若cos A = 1 ，则sin 2B +C + cos 2 A 的值为.3216.已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为.三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．第 17 ～2 1 题为必考题， 每个试题考生都必须作答． 第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）已知数列{a }的首项a = 2，a a + a = 2a (a ≠ 0, n ∈ N *) ．n13n +1 n n +1 nn1（1） 证明：数列{a n-1}是等比数列；（2） 数列{n} a n的前n 项和 S n ．2随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5 万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3 万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130 吨该商品．现以x （单位：吨，100 ≤x ≤ 150 ）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T 不少于57 万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．0.0300.0250.0200.0150.0100 100 110 120 130 140需求量(x/t)15019．（本小题满分12 分）如图所示，四棱锥S -ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BAD = 90︒，AB =AD =SA = 1，BC = 2 ，M 为SB 的中点．（1）求证：AM // 平面SCD ；（2）求点B 到平面SCD 的距离．B CSMDAx2 2已知椭圆C : +y4 = 1 ，F1、F2 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点.（1）求∠F1MF2 的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且k ∈(-1, -1) ，2 3求直线BM 的斜率的取值范围．21．（本小题满分12 分）已知函数f (x) = (1+a) e x（e 为自然对数的底数），其中a > 0 ．x（1）在区间( -∞, -a] 上，f (x) 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明2理由．（2）若函数f (x) 的两个极值点为x , x（x<x ) ，证明：ln f (x2 ) - ln f (x1 ) >1+ 2 .1 2 1 2x -x a +22 1⎩ ⎩ （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分 10 分）选修 4 ― 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy l ⎧x = t cos α（ t 为参数，0 < α < π ），曲线C⎧x = 2cos β，中，直线 1 ：⎨ y = t sin α21：⎨y = 4+2sin β（β 为参数）， l 1 与C 1 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1） 求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2） 已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ：ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ，C 两点，记△ AOB262的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 123．（本小题满分 10 分）选修4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1） 当a =1 时，解不等式 f (x ) > 2x + 1 ；（2） 若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +< m 有实数解，求实数m 的取值范围.2a -1n绝密★启用前试卷类型：（A ）2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试文科数学参考答案与评分标准一、选择题1. C2. C3. D4. C5. B6. D7. B8. A9. B10. C11. D12. B二、填空题：13.1 414. 3215. - 1 9 16.8πr 3 . 317．（本小题满分 12 分）已知数列{a } 的首项a = 2，a a + a = 2a (a ≠ 0, n ∈ N *)．n13n +1 nn +1nn1（1） 证明：数列{a n-1}是等比数列；（2） 数列{n} a n的前n 项和 S n ．解：（1）a a + a = 2a (a ≠ 0, n ∈ N *) ，n +1 nn +1nn∴1 = a n +1 = 1 + 1 ⋅ 1 ， a n +1 2a n2 2 a n11 1 ∴ a n +1 -1 = (2 a n-1) ， .......................................... 4 分又 a = 2 ，∴ 1 -1 = 1，3a 12∴数列{ 1 a n-1}是以 1 21 首项， 2为公比的等比数列． ................... 6 分（2）由（1）知 1-1 = 1 ⋅ 1 = 1 ， a 2 2n -1 2n2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 1 页（共10页）11 1 n n + 1 12 { } nn2 0.030 0.025 0.0200.015 0.010需求量(x /t )即 = +1，a 2n∴ = + n ． ................................................ 9 分a 2n12 3 n 设T n = + 2 + … + n ， ①2 2 2 则 2 T n = 22 + 23 + … + 由① - ②得2 n -1 2n+ n ，② 2n +11 (1- 1 )1 T = 1 + 1 + … + 1 - n =2 2n - n = 1- 1 - n ， 2 n2 222n 2n +1 1- 122n +1 2n 2n +1 ∴ T n = 2 - 1 - n 2n -1 2n．又1+ 2 + 3 + … +n = n (n +1) ．2 ∴数列 n 的前n 项和 S = 2 - 2 + n + n (n +1) ． ……12 分n n n18．（本小题满分 12 分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5 万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3 万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示． 已知电商为下一个销售季度筹备了 130 吨该商品． 现以 x （ 单位： 吨， 100≤ x ≤ 150 ）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1） 将T 表示为 x 的函数，求出该函数表达式； （2） 根据直方图估计利润T 不少于 57 万元的概率；（3） 根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．2020 年深圳市普通高中高三年级第0二次线上统一测试（文数）参考答案第 2 页（共10页） 3a 2解:（1）当 x ∈ [100,130)时， T = 0.5x - 0.3(130 - x ) = 0.8x - 39 ； ……1 分当 x ∈ [130,150]时， T = 0.5 ⨯130 = 65 ， .............................. 2 分 所以，⎧0.8x - 39, 100 ≤ x < 130, T = ⎨⎩65, 130 ≤ x ≤ 150.（2）根据频率分布直方图及（1）知，………………………………………3 分当 x ∈[100,130) 时，由T = 0.8x - 39 ≥ 57 ，得120 ≤ x < 130 ， ......... 4 分 当 x ∈[130,150]时，由T = 65 ≥ 57 ，.................................... 5 分 所以，利润T 不少于57 万元当且仅当120 ≤ x ≤ 150 ，于是由频率分布直方图可知市场需求量 x ∈ [120,150]的频率为(0.030 + 0.025 + 0.015)⨯10 = 0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于 57 万元的概率的估计值为0.7 ， ....... 7 分 （3）估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数为x = 105⨯ 0.1+115⨯ 0.2 +125⨯ 0.3 +135⨯ 0.25 +145⨯ 0.15 = 126.5 由频率分布直方图易知，由于x ∈[100,120) 时，对应的频率为(0.01+ 0.02) ⨯10 = 0.3 < 0.5 ，（吨）……9 分而 x ∈[100,130) 时，对应的频率为 .................................. 10 分(0.01+ 0.02 + 0.3) ⨯10 = 0.6 > 0.5 ，因此一个销售季度内市场需求量 x 的中位数应属于区间[120,130) ，于是估计中位数应 为120 +(0.5 - 0.1- 0.2) ÷ 0.03 ≈126.7 （吨）………12 分19．(本小题满分 12 分)如图所示， 四棱锥 S - ABCD 中， SA ⊥ 平面 ABCD ， ∠ABC = ∠BAD = 90︒ ，AB = AD = SA = 1， BC = 2 ， M 为 SB 的中点．（1） 求证： AM // 平面 SCD ； （2） 求点 B 到平面 SCD 的距离．BCSMDA2 2 62 3证明：（1）取 SC 的中点 N ，连结 MN 和 DN ， ∵ M 为 SB 的中点，∴ MN / / BC 且 MN = 1BC ， ................... 2 分2∵ ∠ABC = ∠BAD = 90︒ ， AD =1，BC = 2 ， 1∴ AD / / B C 且 AD = BC ，................... 4 分 2∴ AD / /MN 且 AD = MN ， ∴四边形 AMND 为平行四边形，∴ AM / /DN ，…………………………5 分BC∵ AM ⊄ 平面 SCD ， DN ⊂ 平面 SCD ，∴ AM // 平面 SCD ． ......................... 6 分 （2）∵ AB = SA = 1 ， M 为 SB 的中点，∴ AM ⊥ SB ， ............................... 8 分 ∵ SA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ SA ⊥ BC ， ∵ ∠ABC = ∠BAD = 90︒ ， ∴ BC ⊥ AB ，∴ BC ⊥ 平面 SAB ， ∴ BC ⊥ AM ， ∴ AM ⊥ 平面 SBC ， 由（1）可知 AM / /DN ， ∴ DN ⊥ 平面 SBC ， ∵ DN ⊂ 平面 SCD ，∴平面 SCD ⊥ 平面 SBC ， ................... 10 分 作 BE ⊥ SC 交 SC 于 E ，则 BE ⊥平面 SCD ，在直角三角形 SBC 中，有1 SB ⋅ BC = 1SC ⋅ BE ， 2 2SB ⋅ BC ∴ BE == = ， SC 3 即点 B 到平面SCD 距离为 233 ..............................12 分（三棱锥体积法参照给分）20．(本小题满分 12 分)SEMNDAy 0 x 2 2已知椭圆C :+ y 4= 1 ， F 1 、 F 2 分别是椭圆C 的左、右焦点， M 为椭圆上的动点.（1） 求∠F 1MF 2 的最大值,并证明你的结论；（2） 若 A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线 AM 的斜率为k ，且k ∈(-1 , - 1) ，2 3求直线 BM 的斜率的取值范围.解：（1）由椭圆的定义可知| MF 1 | + | MF 2 |= 4 ， 在∆F 1MF 2 中，由余弦定理，可得| MF |2 + | MF |2 - | F F |2co s ∠F 1MF 2 = 1 2 1 22 | MF 1 | ⋅ | MF 2 |( | MF | + | MF |)2 - | F F |2 -2 | MF | ⋅ | MF |= 1 21 2 1 22 | MF 1 | ⋅ | MF 2 |= 2- | MF 1 | ⋅ | MF 2 | = 2 -1 ≥ 2 -1 = - 1 ， ......... 4 分 | MF | ⋅ | MF | | MF | ⋅ | MF | ⎛ | MF | + | MF | ⎫2 21 2 1 21 2 ⎪∵0 < ∠F 1MF 2 < π ， ⎝ 2 ⎭∴ ∠F MF 的最大值为2π，此时| MF |=| MF | ，12312即点 M 为椭圆C 的上顶点时，∠F MF 取最大值，其最大值为 2π ....................5 分123根据椭圆的对称性，当点 M 为椭圆C 的短轴的顶点时，∠AMB 取最大值，其最大值为2π.3……………6 分（2）设直线 BM 的斜率为k ' ， M (x 0 , y 0 ) ，则k = y 0 x 0 + 2 ，k ' = y 0 ，x 0 - 22∴ k ⋅ k ' = 0 ，9 分 x 2- 4x 2 又 0+ y 2 = 1，∴ x 2 = 4 - 4y 2 ，40 0 0-a -∴ k ⋅ k ' = - 1，41 1∵ k ∈(- , - ) ，2 3 ∴ 1 < k ' < 3 ， 2 41 3故直线 BM 的斜率的取值范围为( , ) .…………………………………………………12 分2 421．(本小题满分 12 分)已知函数 f (x ) = (1+ a) e x （ e 为自然对数的底数），其中a > 0 ．x（1）在区间( - ∞, - a] 上， f (x ) 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，2请说明理由．（ 2 ） 若 函 数ln f (x 2 ) - ln f (x 1 ) > 1+ x 2 - x 1f (x )2 a + 2的 两 个 两 个 极 值 点.x 1, x （2x 1 < x 2 )， 证 明 ：解：（1）由条件可函数 f (x ) 在(-∞, 0) 上有意义，f '(x ) =' x 2 + ax - a x 2e x，令 f (x ) = 0 ，得 x 1 2， x 2 = ，因为a > 0 ，所以 x 1 < 0 ， x 2 > 0 .所以当 x ∈(-∞, x 1) 时， f '(x ) > 0 ， 当 x ∈(x 1 , 0) 上 f '(x ) < 0 ，所以 f (x ) 在(-∞ , x 1) 上是增函数， 在(x 1 , 0) 是减函数 .................. 3 分 由 f (x ) = (1+ a )e x =x + a e x 可知，xx当 x = -a 时， f (x ) = 0 ，当 x < -a 时， f (x ) > 0 ，当-a < x < 0 时， f (x ) < 0 ，- 因 为 a - x 1= -a - 2= > 0 ， 2 所以 x 1 < -a < 0 ，-a +2 1 1 2 1 2 21 2 22又函数在(x 1 , 0) 上是减函数，且 x 1a < -a < - a< 0 ， 2a - a所以函数在区间( - ∞, - ] 上的有最小值，其最小值为 f (- 2 ) = -e 22................. 6 分（2） 由（1）可知，当a > 0 时函数 f (x ) 存在两个极值点 x 1 ， x 2 ，且 x ， x 是方程 x 2+ ax - a = 0 的两根，12所以 x 1 + x 2 = x 1x 2 = -a ，且 x 1 < x 2 < 1 ，a x x xf (x 1 ) = (1+ ) e 1 = (1- x 2 ) e 1， f (x 2 ) = (1- x 1) e 2 ，x 1所以ln f (x ) = ln(1- x ) e x 2 = ln(1- x ) + x ，ln f (x ) = ln(1- x ) e x 1 = ln(1- x ) + x ，所以ln f (x 2 ) - ln f (x 1 ) = ln(1- x 1 ) + x 2 - ln(1- x 2 ) - x 1 = ln(1- x 1 ) - ln(1- x 2 ) +1，x 2 - x 1 x 2 - x 1 （1- x 1)-(1- x 2 )又1+ = 1+= 1+， ................ 9 分a + 2-(x 2 + x 1 ) + 2(1- x 1 ) + (1- x 2 )由（1）可知1- x 1 > 1- x 2 > 0 ，设 m = 1- x 1 ， n = 1- x 2 ，则m > n > 0 ，故要证ln f (x 2 ) - ln f (x 1 ) > 1+2 ln m - ln n 成立，只要证 > 2 成立， x 2 - x 1a + 2 m - n m + n ln m - ln n 下面证明不等式> 2成立，m - n m + n 构造函数h (t ) = ln t - 2(t -1), (t ≥ 1)t +1'(t -1)2则 h (t ) =t (t +1)2 > 0 ，所以h (t ) 在t ∈(1, +∞) 上单调递增， h (t ) > h (1) = 0 ， 即ln t > 2(t -1)成立，t +1 令t = m ，即得不等式ln m - ln n > 2 ，n m - n m + n3 3 ⎩ ⎩ 1 ⎩⎩ 1 ⎩ 从而ln f (x 2 ) - ln f (x 1 )> 1+ x 2 - x 12 a + 2成立 ......................... 12 分22．（本小题满分 10 分）选修 4 ― 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线l ： ⎧x = t cos α （t 为参数， 0＜α＜π），曲线C ： 1⎨ y = t sin α21⎧x = 2cos β，（β 为参数）， l 与C 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为 ⎨ y = 4+2sin β 1 1极轴建立极坐标系.（1） 求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2）已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ： ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ， C 两点，记262△ AOB 的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 1解：（1）（法一）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ， 将⎨ y = ρ sin θ 代入得C1 的极坐标方程为ρ 2 - 8ρ sin θ +12 = 0 ， .................2 分又l 的参数方程为⎧x = t cos α（t 为参数， 0＜α＜π）， 1⎨ y = t sin α2得l 1 的极坐标方程为θ =α（ρ ∈R ）， ...................................................................... 3 分 将θ =α 代入得 ρ2- 8ρ sin α +12 = 0 ，则∆ = (8sin α )2 - 4 ⨯12 = 0 ，又0＜α＜π ， 2 解得α = π ，此时 ρ=2 ，所以点 A 的极坐标为（2 3 π，............... 5 分 ，） 3 3（法二）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ， 将 C 的极坐标方程为 ρ 2 - 8ρ sin θ +12 = 0 ， .......... 2 分 ⎨ y = ρ sin θ代入，得 1因为l 1 与C 1 相切于点 A ，所以在Rt △ OC 1 A 中，有| OA |= = 2 ， OC 2 - C A 2 1 12, ) 1sin ∠AOC =| C 1 A | = 1，所以∠AOC = π ， ............................4 分 | OC 1 | 2 6由极坐标的几何意义，可得 A （2 3π ...................................................................5 分 ，） 3 （2） 由C 2 的极坐标方程为 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，可得C 2 的直角坐标方程为(x - 2 3)2 + y 2 = 5 ，所以圆心C (2 3, 0) ， .............................6 分设 B (ρ , π) ， C (ρ , π) 将θ = π代入 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，1 323 6得ρ 2 - 6ρ + 2 = 0 ，所以 ρ + ρ = 6 ， ρ ρ = 2 ， ......................... 7 分 121 2又因为 S = 1 ρ .ρ sin( π - π) = 3 ρ ， S = 1 | O C | ⋅ρ .sin π = 3ρ8 分1 2 1 A 3 6 2 1 2 22 2 6 2 2S S ρ ρ (ρ + ρ )2 - 2ρ ρ 62 - 2 ⨯ 2所 以 1 + 2 = 1 + 2 = 12 1 2= = 16 ........................... 10 分 S 2 S 1 ρ2 ρ1 ρ1ρ2 223．（本小题满分 10 分）选修4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1） 当 a =1 时，解不等式 f (x )＞2x + 1；（2） 若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +＜m 有实数解，求实数 m 的取值范围.解：（1）当 a =1 时，即解不等式 x - 2 ＞2x + 1 ，（法一）①当 x ≥ 2 时，原不等式等价于 x - 2＞2x +1，所以 x < -3 ， 所以不等式 f (x )＞2x + 1的解集为空集， ............................. 2 分 ②当 x ＜2 时，原不等式等价于2 - x ＞2x +1，解得 x ＜1 ， .............. 4 分3综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 1 3.…………………………5 分（法二）①当 x <- 1时，不等式 x - 2 ＞2x + 1 显然成立； ............... 2 分2②当 x ≥- 1时，原不等式等价于(x - 2)2＞(2x +1)2 ，22a -11, ) 即3x 2 + 8x - 3＜0 ，解得- 1 ≤ x < 1 ， ................................4 分 23综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 1 3.……5 分（2）因为 f (x )+ x += x - 2a + x + ≥ 2a + ，显然等号可取。
【4月深圳二模理数】2020年深圳普通高中高三年级第二次在线测试理科数学试卷及参考答案评分标准(二模)
的中点．直线
DB1 与平面
EFC
的交点 O
,则
DO OB1
的值为
D1
F A1
A． 4 5
B． 3 5
C． 1 3
D． 2 3
D
A
E
C1 B1
C B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 x 轴为曲线 f (x) = 4x3 + 4(a −1)x +1的切线，则 a 的值为
2
3
得到的图象所对应的函数为奇函数．.现有下列结论：
①函数 f (x) 的图象关于直线 x = 5π 对称 12
②函数 f (x) 的图象关于点 ( π , 0) 对称 12
③函数
f
(x)
在区间
−
π 2
,
−
π 12
上单调递减
④函数
f
(x)
在
π 4
,
3π 2
上有
3
个零点
其中所有正确结论的编号是
A．①②
S
A B
D C
19．（本小题满分 12 分）
_________.
16．在平面直角坐标系中，过椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(
a b 0)的左焦点 F 的直线交椭圆于 A ，B 两点，
C 为椭圆的右焦点，且 ABC 是等腰直角三角形，且 A = 90 ，则椭圆的离心率为
．
三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）
2020届广东省深圳市高三二模数学(文)试题(含解析)
2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B =（ ） A. {1，3} B. {1，3，5}C. {1，2，3，4}D. {0，1，2，3，4，5}2.设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（ ） A.12B.2C. 1D.3.已知ln 22a =，22log b e=，22e c =，则（ ） A. a ＜b ＜c B. b ＜c ＜a C. c ＜b ＜a D. b ＜a ＜c4.设x ，y 满足约束条件130x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ﹣y 最大值为（ ）A. ﹣3B. 1C. 2D. 35.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题：①若//m α，//n α，则//m n ；②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ；③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ；④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥. 其中，正确的命题个数是（ ） A. 3B. 2C. 1D. 06.已知双曲线()2222:10, 0a yx C a b b =>>-的焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为（ ） A. 22124y x -=B. 22124x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=7.执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝（ ）A. 5B. 4C. 3D. 28.函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 2B. 4C. 6D. 89.已知正方体六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（ ） A.12B.13C.16D.11210.函数f （x ）()142xxsinx -=的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.11.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A ,B ,C ,D 是其中四个圆的圆心,则AB u u u r •CD =u u ur （ ）A. 32B. 28C. 26D. 2412.在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（ ） A .23B.39C.16327D.323二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2224b c a +-，sin sin 2A C b C c +=，则角C ＝_____.15.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.16.已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN V 的周长为6，则FAN V 的面积为_____.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，123n n T b b b b =++++L ，求n T .18.为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x -3s ，x +3s ）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s (222121[()())n x x x x x x n⎤=⋅-+-++-⎦L ， 参考数据：2340≈48.19.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 12=AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.（1）求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ； （2）若AB ＝2，求点N 到平面B 1MC 的距离.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()1,0F ，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足0AB BF ⋅=u u u r u u u r，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程；（2）已知点()3,2G -，动直线()3x t t =>与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线2y =-上截得的弦长的最小值.21.已知函数f （x ）xxe e=-3,g （x ）＝alnx ﹣2x （a ∈R ）.（1）讨论g （x ）单调性；（2）是否存在实数a ,使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立？如果存在,求出a 的值；如果不存在,请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4－4：坐标系与参数方程22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程.选修4－5：不等式选讲23.已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1.证明：（1）|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥；（2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c++）≥3.2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B =（ ） A. {1，3} B. {1，3，5}C. {1，2，3，4}D. {0，1，2，3，4，5}【答案】A 【解析】 【分析】直接进行交集的运算即可.【详解】∵A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，∴A ∩B ＝{1，3}. 故选：A.【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题. 2.设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（ ）A.12B.2C. 1D.【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可. 【详解】解：∵z 211(1)2i ii i++==--,∴|z |＝|12ii+-|122i i +==-. 故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题. 3.已知ln 22a =，22log b e=，22e c =，则（ ） A. a ＜b ＜c B. b ＜c ＜a C. c ＜b ＜a D. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】 【分析】容易得出22ln 2201log 0212e e<><<，，，从而可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】∵ln 20ln 12e <=<=，222log log 10e<=，20221e =＞，∴b ＜a ＜c .故选：D.【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.4.设x ，y 满足约束条件130x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ﹣y 的最大值为（ ）A. ﹣3B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ﹣y 表示直线在y 轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z ＝2x ﹣y 过点A 时，目标函数z ＝2x ﹣y 的纵截距最小，此时z 取得最大值， 由13x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得A （2，1）时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值3.故选：D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，画出图像是解题的关键. 5.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若//m α，//n α，则//m n ；②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ；③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ；④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥. 其中，正确的命题个数是（ ） A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可.【详解】若//m α，//n α，则m 与n 可以平行、相交、异面，故①错误； 若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ，故②正确；若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m 与n 可以平行、相交、异面，故③错误； 若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n 与β可以平行、相交或n β⊂，故④错误所以正确的命题个数是1 故选：C【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，属于基础题.6.已知双曲线()2222:10, 0a y x C a b b =>>-的焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为（ ） A. 22124y x -=B. 22124x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=【答案】A 【解析】 【分析】由12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F =可得18PF =，26PF =，然后根据双曲线的定义求出a ，然后再根据222b c a =-求出b 即可．【详解】如图，因为12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F = 所以可得18PF =，26PF =根据双曲线的定义可得1222a PF PF -==，即1a = 所以22225124b c a =-=-=所以C 的方程为22124y x -=故选：A【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用，较简单．7.执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】模拟程序的运行，可得k＝0.4，S＝0，n＝1S11 133 ==⨯，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝2，S11113352=+=⨯⨯（1111335-+-）25=，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝3，S11111335572=++=⨯⨯⨯（11111133557-+-+-）37=，此时，满足条件S＞0.4，退出循环，输出n的值为3.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.8.函数f（x）＝x2﹣2x+1的图象与函数g（x）＝3cosπx的图象所有交点的横坐标之和等于（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数的图象和性质的应用和二次函数性质的应用在同一坐标系内画出函数的图象，进一步利用对称性的应用求出结果.【详解】函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象在同一坐标系内的位置和交点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），由于f （x ）＝（x ﹣1）2，的对称轴为x ＝1，函数的图象与x 轴相切， 函数g （x ）的图象的最小正周期为T 22ππ==，函数的图象关于y 轴对称，如图所示：所以1412x x +=，2312x x +=， 则：x 1+x 2+x 3+x 4＝4， 故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9.已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（ ） A.12B.13C.16D.112【答案】C 【解析】 【分析】设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成,一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是22,求出正四棱锥的体积,得到正八面体的体积,得到比值.【详解】解：设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成, 以上面一个正四棱锥为例,它的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是22,∴这个正四棱锥的体积是12211 3212⨯⨯⨯=；∴构成的八面体的体积是211 126⨯=；∴八面体的体积是V1,正方体体积是V2,V1：V2＝1：6故从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为：16；故选：C【点睛】本题考查组合几何体的体积,面积,考查棱锥,正方体的体积以及立体类的几何概型问题.属于基础题.10.函数f（x）()142xxsinx-=的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断.【详解】因为f（﹣x）()()()() 144114222------==-==x x xx x xsin x sinx sinxf（x），所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除选项A，C，又f（2）()2214215sin224-==-sin，因为22ππ<<，所以sin20>，所以f（2）＜0，排除选项D.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象与性质及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.11.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则ABu u u r•CD=u u u r（）A. 32B. 28C. 26D. 24【答案】C【解析】【分析】建立以,a br r为一组基底的基向量,其中1a b==rr且,a br r的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知,向量ABu u u r和CDuuu r均可以用a brr，表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解.【详解】解：如图所示,建立以,a br r为一组基底的基向量,其中1a b==rr且,a br r的夹角为60°,∴24AB a b=+u u u r rr,42CD a b=+u u u r rr,∴()()22124428820882011262AB CD a b a b a b a b =+⋅+=++⋅=++⨯⨯⨯⋅=u u u r u u u r r r r rr r r r .故选：C.【点睛】本题考查平面向量的混合运算,观察图形特征,建立基向量是解题的关键,考查学生的分析能力和运算能力,属于中档题.12.在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（ ）A.3B.9C.27D.【答案】D 【解析】 【分析】取PB 中点M ，连结CM ，得到AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，则CM ⊥PB ，求出V A ﹣PBC 23x =，设t =，（0＜t ＜2），从而V A ﹣PBC 3823t t -=，（0＜t ＜2），利用导数求出三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值.【详解】解：如图，取PB 中点M ，连结CM ，∵平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，∵PC ＝BC ＝2，PB ＝2x ，（0＜x ＜2），M 为PB 的中点，∴CM ⊥PB ，CM解得122PBC S x =⨯=V所以V A ﹣PBC (123x =⨯⨯=，设t =，（0＜t ＜2），则x 2＝4﹣t 2， ∴V A ﹣PBC ()23248233t t t t--==，（0＜t ＜2），关于t 求导，得()2863t V t -'=，所以函数在2(0,3)3单调递增，在2(3,)3+∞单调递减.所以当t23=时，（V A﹣PBC）max323=.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查利用导数研究函数的最值，考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.【答案】1 2【解析】【分析】根据基本事件总数,与甲被选中包含的基本事件求解概率即可.【详解】解：某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援, 基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个.甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个,∴甲被选中的概率为p31 62 ==.故答案为：1 2 .【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为2224b c a+-，sin sin2A Cb C c+=，则角C＝_____.【答案】512π 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求A ，然后结合二倍角公式化简可求B ，再结合三角形的内角和定理即可求解.【详解】解：由题意2224b c a S +-=，又222cos 2b c a A bc +-=， 所以11sin 2cos 24bc A bc A =⨯即tan 1A =， 因为A 为三角形内角，故A 4π=，又sin sinsin cos 2222A B C B b C c c c π+⎛⎫==-= ⎪⎝⎭由正弦定理可得，sin sin sin cos 2BB C C =， 因为sin 0C ≠，所以sin cos2sin cos 222B B B B ==， 因为cos02B≠， 所以1sin22B =，又022B π<<612B π∴=， 即3B π=，53412C ππππ∴=--=. 故答案为：512π. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档题.15.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____. 【答案】27n ⨯ 【解析】 【分析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a . 【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯.【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.16.已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN V 的周长为6，则FAN V 的面积为_____.【解析】 【分析】画出图形，由条件可得出b a =b =，然后可得出M 为椭圆的右焦点，然后由椭圆的定义可得226ac +=，从而可算出,,a b c 的值，然后利用()1325FAN S FM b b ⎡⎤=⋅⋅--⎢⎥⎣⎦V 算出答案即可.【详解】如图所示，由题意得，()0,A b -，(),0F c -，直线MN 的方程为3y x b =-，把35y b =代入椭圆方程解得45x a =，∴4355N a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵N 在直线MN 上，∴34355b a b =-，解得32b a =. 又222a b c =+，∴222)3b c =+，解得3b c =， 令3y x b =-=0，则3M ⎫⎪⎭，即(),0M c ，∴M 为椭圆的右焦点，∴2FM c =， 由椭圆的定义可知，2NF NM a +=， ∵FMN V 的周长为6，∴226a c +=， ∵3b a =2a c =，∴1,2,3c a b == ∴()13883255FAN S FM b b c b ⎡⎤=⋅⋅--=⋅=⎢⎥⎣⎦V 83【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，123n n T b b b b =++++L ，求n T . 【答案】(1)922nn a -=；(2)22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，【解析】 【分析】(1)本题可设等比数列{}n a 的公比为q ，由题设条件列出q 与首项1a 的方程组，解出q 和1a ，即可求得通项公式；(2)先由(1)中求得的n a 求出n b ，再求n b ，最后通过等差数列前n 项和公式即可求得n T . 【详解】(1)设各项都为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， 因为232a =，3458a a a =，所以213333454132()8a a q a a a a a q ==⎧⎨===⎩，解得712a =，14q =， 所以()922nn n a N -*=∈，(2)由(1)知，2922log log 292n n nb a n -===-，故9214294n n n b n n -≤≤⎧=⎨-⎩，，＞，当14n ≤≤时，279282n nT n n n +-=?-；当4n >时，()()2129753148322n n T n n n ++=++++?=-+， 故22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前n 项和公式、对数运算等知识点，等差数列的前n 项和公式为12n na n S a +=⨯，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题. 18.为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x -3s ，x +3s ）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s (222121[()())n x x x x x x n ⎤=⋅-+-++-⎦L 2340≈48.【答案】（1）甲药的治愈率更高；（2）甲药的疗效更好，理由见解析；（3）应该对该患者进行进一步检查【解析】【分析】（1）结合条形等高图即可直接判断；（2）从茎叶图的集中趋势，中位数，平均值方面分析即可判断；（3）分别求出x ，s ，然后代入公式即可求解，作出判断即可.【详解】（1）甲药的治愈率更高;（2）甲药的疗效更好，理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好. 理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好.理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好.（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为456810101112122210x +++++++++==10， s 36251640014414423.410+++++++++==≈4.8， 则x -3s ≈﹣4.4，3x s +≈24.3，而26＞24.4，应该对该患者进行进一步检查.【点评】本题主要考查了利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等知识，体现了数据分析，数学核心素养.19.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 12=AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.（1）求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ； （2）若AB ＝2，求点N 到平面B 1MC 的距离.【答案】（1）见解析；（22【解析】【分析】（1）推导出AA 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥CM ，CM ⊥AB ，从而CM ⊥平面ABB 1A 1，进而CM ⊥B 1N ，推导出△A 1B 1N ∽△ANM ，从而∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ，进而B 1N ⊥MN ，B 1N ⊥平面CMN ，由此能证明平面B 1NC ⊥平面CMN .（2）求出点B 1到平面CMN 的距离为h 16=N 到平面B 1CM 的距离为h 2，由111213B CMN N B CM B CM V V S h --==⨯⨯V ，能求出点N 到平面B 1MC 的距离. 【详解】（1）证明：∵直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥平面ABCD ，∵CM ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CM ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，M 是AB 的中点，∴CM ⊥AB ，∵AA 1∩AB ＝A ，AA 1⊂平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥平面ABB 1A 1，∵B 1N ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥B 1N ，∵M 是AB 中点，N 为AA 1中点，AA1=，∴11112A B AB AN AA ==111212AA A N AM AB ==， ∵∠B 1A 1N ＝∠NAM ＝90°，∴△A 1B 1N ∽△ANM ，∴∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ，∴∠A 1NB 1+∠ANM ＝90°，∴B 1N ⊥MN ，∵MN ∩CM ＝M ，∴B 1N ⊥平面CMN ，∵B 1N ⊂平面B 1NC ，∴平面B 1NC ⊥平面CMN .（2）∵在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA1=，AB ＝2，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点. ∴MN ==B 1M ==3，B 1C == B 1N == ∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴CM =CN = 由（1）知B 1N ⊥平面CMN ，设点B 1到平面CMN 的距离为h 1，h1=∵CN 2＝MN 2+CM 2，∴1322CMN S ==V ，∴1113B CMN CMN V S h -=⨯⨯=V ∵B 1M ＝3，1BC CN ==，∴1132B CM S ==V ， 设N 到平面B 1CM 的距离为h 2，∵111213B CMN N B CM B CM V V S h --==⨯⨯V ， ∴213363h ⨯⨯=， 解得h 22=.∴点N 到平面B 1MC 的距离为2.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()1,0F ，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程； （2）已知点()3,2G -，动直线()3x t t =>与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线2y =-上截得的弦长的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）442+.【解析】【分析】（1）根据点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，设()()(),0,0,,,A a B b M x y ，再由 ()1,0F ，0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，得到a ，b 的关系式，然后由A 关于点B 的对称点为M ，得到0,22x a y b +==，利用代入法化简求解.（2）由抛物线与直线()3x t t =>相交，设((,,,P t t Q t t -，根据,P Q 关于x 轴对称，得到过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上，设圆心为(),0E m ，由EG EP =，运用两点间的距离公式求得圆的方程，令2y =-，得到圆E 在直线2y =-上截得的弦长，再结合基本不等式求最小值.【详解】（1）因为点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，所以设()()(),0,0,,,A a B b M x y ，因为 ()1,0F ，0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，所以()()2,1,0-⋅-=--=*a b b a b ， 因为A 关于点B 的对称点为M ，所以0,22x a y b +==， 即 ,2y a x b =-=， 代入*式得24y x =，所以曲线C 的方程是24y x =.（2）由（1）知抛物线的方程为24y x =，直线()3x t t =>与抛物线方程联立解得，y =±设((,,,P t Q t -， 因为,P Q 关于x 轴对称，所以过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上，设圆心为(),0E m ，所以EG EP == 解得241326t t m t +-=-， 所以圆E 的方程为()()22234x m y m -+=-+，令2y =-，的1223,3x m x =-=，所以圆E 在直线2y =-上截得的弦长为221241325233633t t t t x x m t t +--+-=--=-=--， 因为()2230,25140t t t t ->-+=-+>，所以2122583433t t x x t t t -+-==-++--，44≥=+当且仅当833t t -=-，即3t =+时，取等号，所以当3t =+时，圆E 在直线2y =-上截得的弦长的最小值为4+. 【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，弦长问题以及基本不等式的应用，还考查了逻辑推理、运算求解的能力，属于难题.21.已知函数f （x ）xxe e=-3,g （x ）＝alnx ﹣2x （a ∈R ）. （1）讨论g （x ）的单调性；（2）是否存在实数a ,使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立？如果存在,求出a 的值；如果不存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在,4a =【解析】【分析】（1）先对函数求导,然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解；（2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,构造函数u （x ）＝xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ,结合函数的性质及导数即可求解.【详解】解：（1）()'2a x g x x-=,x ＞0, （i ）当a ≤0时,g ′（x ）＜0,函数在（0,+∞）上单调递减,（ii ）当a ＞0时,令()'0g x >得102x a <<，令()'0g x <，得12x a >， 所以函数g （x ）在（0,12a ）上单调递增,在（12a +∞，）上单调递减, （2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即32xxe alnx x e-≥-恒成立, 即xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,令u （x ）＝xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ,则u （1）＝0,要使得原不等式成立,则u （x ）在x ＝1处取得极小值,因为()()'12x x xe ex ae u x x++-=, 所以u ′（1）＝0可得a ＝4,检验a ＝4时,u ′（x ）()124x x x e ex ex ++-=,设v （x ）＝x （x +1）e x +2ex ﹣4e ,且v （1）＝0,显然v （x ）在（0,+∞）上单调递增,当x ∈（0,1）时,v （x ）＜0,即u ′（x ）＜0,u （x ）单调递减,当x ∈（1,+∞）时,v （x ）＞0,即u ′（x ）＞0,u （x ）单调递增,故u （x ）的最小值u （1）＝0,满足题意,综上，a ＝4.【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用,用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立为载体,综合考查分类讨论及转化思想的应用.属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4－4：坐标系与参数方程22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程. 【答案】（1）()2,M cos sin ϕϕ，2214x y +=；（2）230x ++= 【解析】。
2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题及参考答案
(a b)(c d )(a c)(b d )
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ex a ln(x 1) .（其中常数 e=2.718 28 ，是自然对数的底数）
（1）若 a R ，求函数 f (x) 的极值点个数； （2）若函数 f (x) 在区间 (1,1+ea ) 上不单调，证明： 1 1 a .
f (−1) = 2t 0
则
f
(3)
=
8
−
−1 t 3
6t
0
，解得
0
t
4 3
，
V= 4t 2 + 4 0
0 m n 4 ， | m − n | 的最大值为 4 ，故应填 4 ．
3
3
3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分） 已知△ ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，△ ABC 的面积为 S ，a2 +b2 − c2 =
在以 M第为9 题圆图心，半径长为 | MF1 |
的圆上，则 | NF2 | 的最大值为
A． 2
B． 4
C． 8
D． 16
11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到
外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线
又 f (−1) = 0 ，且 f (3) = 8 ， 3
0 2t 8 ，即 0 t 4 ，
3
3
0 m n 4 ， | m − n | 的最大值为 4 ，故应填 4 ．
3
3
3
（法二）由题意可知 −1 x0 3 ，令 f (x) = x2 − 2tx −1，
深圳市2020届普通高中高三年级线上统一测试(文数答案)
参考数据： 6547 80.91.
解：（1）已知变量 x ， y 具有线性负相关关系，故乙不对，
因为 x 4 5 6 7 8 9 6.5 ， y 89 83 82 79 74 67 79
分
Tn
1 [(1 24
1) 6
(1 6
1) 8
(
1 2n
2
1 2n
)] 4
1 2
(1 4
1 2n
) 4
8n
n
16
．………………………………………12
分
【命题意图】本题主要考查已知递推公式用累加法求通项，注重思维的完整性和严密性，
另外考查裂项相消法求数列的前 n 项和．重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推
22
22
在方程 y2 8x 中令 y y1 2 得 x 1 ( y1 2)2 ，
2
82
所以 D(1 ( y1 2)2 , y1 2) ．----------------------------6 分
82
2
设
N (x2,
y2 )
，由中点坐标公式
x2
1 4
(
y1 2
2)2
x1 2
2
，
又
y12
16.解析：为使 PA AF1 3 F1F2 恒成立，只需 3 F1F2 ( PA AF1 )max ，
由椭圆的定义可得， AF1 AF2 2a ，
所以 PA AF1 PA AF2 2a PF2 2a ，当且仅当 P, F2 , A 三点共线时取等号( F2 在线段 PA 上)，
(理数)2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题及参考答案
−1=
0
，
（法一）显然
x0
0 ，所以 2t
=
x0
−
1 x0
，
令 f (x) = x − 1 ， x [−1,0) U(0,3]， x
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 1 页 共 16页
如图，直线 y = 2t 和函数 y = f (x) 的图象有两个交点，
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 2 页 共 5页
15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码
由 0 ，1， 2 ，…，9 中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型
验证码”(如 0123 )，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
A． 25
（t
为参数，
为倾斜角），
以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 = 4sin ．
（1）求 C2 的直角坐标方程；
（2）直线 C1与 C2 相交于 E, F 两个不同的点，点 P 的极坐标为 (2 3, π) ，若 2 EF = PE + PF ，
求直线 C1的普通方程．
−
π 6
)
=
3
2020年深圳市普通高中高三年级第二次调研考试 文科数学试题(含答案)
所以
A1B1 AN
=
AB 1 2 AA1
=
2，
A1 N AM
=
1 2
AA1
1 AB
=
2
2，
因为 B1A1N = NAM = 90 ， 所以 A1B1N ∽ ANM ，
所以 A1B1N = ANM ， A1NB1 = AMN ，
所以 A1NB1 + ANM = 90 ， 所以 B1N ⊥ MN ， 因为 MN CM = M ， MN 平面 CMN ， CM 平面 CMN ，
………………10 分
所以 SB1CM
=
1 2
33= 3 3 ， 2
设点 N 到平面 B1CM 的距离为 h 2 ，
因为 VB1 −CMN
= VN −B1CM
1 = 3 SB1CM
h2 ，
………………11 分
所以
1 3
33 2
h2
=
6， 2
因此 h2 = 2 ．
………………12 分
方法二：因为直四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 ， AB = 2 ， M 为 AB 中点， N 为 AA1 中点
由（1）知 B1N ⊥ 平面 CMN ，设点 B1 到平面 CMN 的距离为 h1 ，则 h1 = 6 ，………9 分
因为 CN 2
=
MN 2
+ CM 2 ，所以 SCMN
=
1 2
3
3=3， 2
因此 VB1 −CMN
=
1 3 SCMN
h1
=
6． 2
因为 B1M = 3 ， B1C = 2 3 ， CM = 3 ，
5
5
a2
所以 e =
2020年深圳市普通高中高三年级第二次测试统一测试数学(理科)(含参考答案)
x | <2 ⎨ 绝密★启用前 试卷类型： A2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合 A = ⎧ 1x≤ 2⎫ ， B = ⎧x | ln(x - 1 ) ≤ 0⎫，则 A ⎨2 ⎬ ⎨ 2 ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭A ． ∅B ． ⎛-1,1 ⎤C ． ⎡ 1 ,1⎫D ． (-1,1]2 ⎥ ⎢ 2 ⎪ ⎝⎦⎣ ⎭2. 棣莫弗公式 (cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx (i 为虚数单位） 是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos π + i sin π )6 在复平面内所对应的点位于55A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知点(3,1) 和(-4, 6) 在直线3x - 2y + a = 0 的两侧，则实数a 的取值范围是A ． - 7 < a < 24B ． a = 7 或a = 24C ． a < 7 或a > 24⎧(a - 1)x + 3a , x < 1,D ． - 24 < a < 74. 已知 f (x ) = ⎪⎪⎩2a x , x ≥ 1,是(-∞, +∞) 上的减函数，那么实数a 的取值范围是A. (0,1)B ． ⎛ 0,1 ⎫C. ⎡ 1 , 1 ⎫D ． ⎡ 1 ,1⎫2 ⎪ ⎢⎣ 6 2 ⎪ ⎢ 6 ⎪⎝ ⎭5. 在∆ABC 中， D 是 BC 边上一点， AD ⊥ AB ， BC = ⎭ ⎣ ⎭3 BD ， AD = 1 ，则 AC ⋅ AD =A. 2B. 2C.3 D ．3( RB ) =332 6. 已知一个四棱锥的高为3 ，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形, 则此四棱锥的体积为 A.B ． 6C ． 13D ． 2 7. 在等差数列{a n } 中， S n 为其前n 项的和，已知3a 8 = 5a 13 ，且a 1 > 0 ，若 S n 取得最大值，则n为A ． 20B ． 21C ． 22D ． 238. 已知抛物线 y 2= 8x ，过点 A (2, 0) 作倾斜角为 π的直线l ，若l 与抛物线交于 B 、C 两点，弦 BC 3的中垂线交 x 轴于点 P ，则线段 AP 的长为A. 163B.83C.16 3 3D. 8 9. 已知函数 f (x ) = sin(ω x + ϕ)(ω > 0,| ϕ |<π) 的最小正周期是π ，把它图象向右平移 π个单位后 2 3得到的图象所对应的函数为奇函数．.现有下列结论： ①函数 f (x ) 的图象关于直线 x = 5π对称②函数 f (x ) 的图象关于点(π, 0) 对称 1212③函数 f (x ) 在区间⎡- π , -π ⎤上单调递减 ④函数 f (x ) 在⎡ π , 3π ⎤上有3 个零点 ⎣⎢ 212 ⎥⎦⎢⎣ 4 2 ⎥⎦其中所有正确结论的编号是A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③10. 甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6．设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负,若采用五局三胜制，则甲以3 :1 获胜的概率是 A ． 0.0402B ． 0.2592C ． 0.0864D ． 0.172811. 设 f (x ) 是定义在 R 上以2 为周期的偶函数，当 x ∈[2,3]时， f (x ) = x ，则 x ∈[-2,0]时， f (x )的解析式为A ． f (x ) = 2+ | x +1|B ． f (x ) = 3- | x +1|C ． f (x ) = 2 - xD ． f (x ) = x + 4223y 12. 如图,长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, E 、F 分别为棱 AB 、A 1D 1A 的中点．直线 DB 与平面 EFC 的交点O ,则 DO的值为14 31 OB 12 A.B ．C ．D ．5533二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 已知 x 轴为曲线 f (x ) = 4x 3 + 4(a -1)x +1的切线，则a 的值为． 14. 已知S n 为数列{a n } 的前n 项和，若 S n = 2a n - 2 ，则 S 5 - S 4 = .15. 某市公租房的房源位于 A , B , C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4 位申请人中，申请的房源在2 个片区的概率是.16.在平面直角坐标系中，过椭圆 x a 2 2+ = 1( a > b > 0)的左焦点 F 的直线交椭圆于 A ，B 两点， b 2C 为椭圆的右焦点，且∆ABC 是等腰直角三角形，且∠A = 90︒ ，则椭圆的离心率为．三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分．17．（本小题满分 12 分）在∆ABC 中，内角 A 、 B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知sin 2 B = sin A sin C ．（1）求证： 0 < B ≤ π；3（2）求2 sin 2A + C + sinB -1的取值范围.22Dy 如图所示，四棱锥 S - ABCD 中，SA ⊥ 平面 ABCD ， AD / / BC ，SA = AB = BC = CD = 1 ，AD = 2 ．（1） 在棱 SD 上是否存在一点 P ，使得CP // 平面 SAB ?请证明你的结论； （2） 求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值．SABC19．（本小题满分 12 分）已知椭圆C : x 2+ = 1 ， A 、 B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点， M 为椭圆上的动点.12 4（1） 求∠AMB 的最大值，并证明你的结论； （2） 设直线 AM 的斜率为k ，且k ∈(-1 , - 1) ，求直线 BM 的斜率的取值范围. 2 320．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = ln(x +1) , g (x ) = e x （e 为自然对数的底数）．（1） 讨论函数ϕ(x ) = f (x ) -x + a 在定义域内极值点的个数；x（2） 设直线l 为函数 f (x ) 的图象上一点 A (x 0 , y 0 ) 处的切线，证明：在区间(0, +∞) 上存在唯一的 x 0 ，使得直线l 与曲线 y = g (x ) 相切．22020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2 月29 日，该省已累计确诊1349 例患者（无境外输入病例）.（1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100 名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布N(μ,15.22 ) ，其中μ近似为这100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新冠肺炎患者年龄在70 岁以上（≥ 70 ）的患者比例；（2）截至2 月29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10% ，以这些密切接触者确诊的频率代替1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20 名密切接触者随机地按n （1<n < 20 且n 是20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20 人的化验总次数最少的n 的值．数为Xn参考数据：若Z ~ N (μ,σ2) ，则P(μ-σ<Z <μ+σ) = 0.6826 ，P(μ- 2σ<Z <μ+ 2σ) = 0.9544 ，P(μ- 3σ<Y <μ+ 3σ) = 0.9973 ，0.94≈ 0.66 ，0.95≈ 0.59 ，0.910≈ 0.35 .⎩ ⎩ （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOyl ⎧x = t cos α（ t 为参数，0 < α < π ），曲线C⎧x = 2cos β， 中，直线 1 ：⎨y = t sin α21：⎨y = 4+2sin β（β 为参数）， l 1 与C 1 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1） 求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2） 已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ： ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ，C 两点，记△ AOB262的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 123．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1） 当 a =1 时，解不等式 f (x ) > 2x + 1 ；（2） 若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +< m 有实数解，求实数 m 的取值范围.2a -16 绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1. B2. C3. A4. C5. D6. D7. A8. A9. D10. B11. B12. A二、填空题：13.1 414. 3215. 142716.-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）在∆ABC 中，内角 A 、 B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知sin 2 B = sin A sin C ．（1）求证： 0 < B ≤ π；3（2）求2 sin 2A + C + sinB -1的取值范围.2解：（1）由正弦定理可得a sin A =b sin B =c sin C= 2R ，∴s in A = a ，s in B = 2Rb ，sin C = 2Rc ， ................................. 2 分2R∵ sin 2 B = sin A sin C ，∴b 2 = ac ，… .................. 4 分a 2 + c 2 -b 2∴ c os B =≥2ac - ac = 1 ，2ac而0 < B < π2ac 2∴0 < B ≤ π ..................................................................................................................6 分332 （2）2 sin 2 A + C+ sin B -1 2= -cos(A + C ) +sin B= cos B + sin B =2 sin(B + π) ， ................................... 8 分 4由（1）知0 < B ≤ π，3∴ π< B + π ≤7π， ............................................. 10 分4 4 12∴1 <2 sin(B + π) ≤4即2 s in 2A + C + sinB -1的取值范是(1, 22] ....................................... 12 分18．(本小题满分 12 分)如图所示，四棱锥 S - ABCD 中，SA ⊥ 平面 ABCD ， AD / / BC ，SA = AB = BC = CD = 1 ，AD = 2 ． （1）在棱 SD 上是否存在一点 P ,使得CP // 平面 SAB ?请证明你的结论； （2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值．证明：（1））当点 P 为棱 SD 的中点时, CP // 平面 SAB .证明如下:取 SA 的中点 F ,连结 FP 、 FB 、 PC ，则FP // AD 且 FP = 1AD ， ................... 2 分2 ∵ AD / / BC ， BC = 1AD = 1 ，2∴ FP / /BC 且 FP = BC ，∴四边形 FBCP 为平行四边形， ............... 4 分 ∴ C P / /BF ，∵ CP ⊄ 平面 SAB ， BF ⊂平面 SAB ，x∴ CP // 平面 SAB ． ......................... 6 分（2）在平面 ABCD 内过点 A 作直线 AD 垂线 Ax ， ∵ SA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ SA ⊥ AD ， SA ⊥ Ax ，∴直线 AS 、 Ax 和 AD 两两垂直，以点 A 为原点，分别以直线 Ax 、 AD 和 AS 为 x 、 y 和 z 建立如图所示的直角坐标系， 过点 B 作 BE ⊥ AD 交直线 AD 于 E ，zSF PAED yBC3 3 3 ( 3, -3, 0) ⋅ ( 3, 3, 6) ( 3)2 + (-3)2 ⋅ ( 3)2 + 32 + 62 3 x 0 + 2 3 2 3 - x 03 1 y ∠ == ∠ = =∵ AD / / BC ， AB = BC = CD = 1， AD = 2 ，∴ AE = 1 ， BE =3 ，22B ( 1 3从而可得 A (0, 0, 0)， , , 0) ， C ( , , 0) ， D (0, 2, 0) ， S (0, 0,1) ，则2 22 2AS = (0, 0,1) ， AB = (, , 0) ， SD = (0, 2, -1) ， DC = ( 2 2 3 , - 1 , 0) ，………8 分 2 2设平面 SAB 的法向量为n 1 = (x 1, y 1, z 1 ) ，平面 SCD 的法向量为n 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) ，则⎧⎪n 1 ⋅ AS = 0, ⎧⎪n 2 ⋅ SD = 0,⎨ ⎨ ⎪⎩n 1 ⋅ AB = 0, ⎪⎩n 2 ⋅ DC = 0,⎧z 1 = 0, ⎪ ⎧2 y 2 - z 2 = 0, ⎪ ∴ ⎨ 3 x + 1y = 0, ⎨ 3 x - 1 y= 0, ⎩⎪ 2 1 2 1 ⎩⎪ 2 2 2 2取 x 1 = 3 ， x 2 = ，可得n 1 = ( 3, -3, 0) ， n 2 = ( 3, 3, 6) ， ........................................ 10 分∴ cos == - 1,4∴平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值为1 ...............................................12 分419．（本小题满分 12 分）已知椭圆C : x2 + = 1 ， A 、 B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点， M 为椭圆上的动点.12 4（1） 求∠AMB 的最大值，并证明你的结论； （2） 设直线 AM 的斜率为k ，且k ∈(-1 , - 1) ，求直线 BM 的斜率的取值范围. 2 3解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设 M (x 0 , y 0 ) (-2 < x 0 < 2 3, 0 < y 0 ≤ 2) .过点 M 作 MH ⊥ x 轴，垂足为 H ，则 H (x 0 , 0) (0 < y 0 ≤ 2) ， ................ 1 分于是，有tan AMH | AH |， tan BMH | BH | ， | MH | y 0 | MH | y 0n , n = n 1 ⋅ n 2 1 2| n | ⋅ | n |1 2 24 3y 0 2 3 x 0 + 2 3 x 0 - 2 30 0 y 0 0∴ tan ∠AMB = tan(∠AMH + ∠BMH ) = tan ∠AMH + tan ∠BMH1- tan ∠AMH tan ∠BMH = x 2 + y 2-12 ，…3 分∵点 M (x 0 , y 0 ) 在椭圆C 上，x 2y 2∴ 0 + 0 = 1，∴ x 2 = 12 - 3y 2 ，12 4∴ tan ∠AMB = -， .............................................. 5 分y 0而0 < y 0 ≤ 2 ，∴ tan ∠AMB = -y 0∵点0 < ∠AMB < π ， ∴ ∠AMB 的最大值为2π，此时 y = 2 ，即点 M 为椭圆C 的上顶点.3根据椭圆的对称性，当点 M 为椭圆 C 的短轴的顶点时， ∠AMB 取最大值，其最大值为 2π . ……………7 分3（2） 设直线 BM 的斜率为k ' ， M (x 0 , y 0 ) ，则k =y 0 ， k ' = y ，2∴ k ⋅ k ' = 0 ，x 2-12x 2 y 2又0 + 0 = 1，∴ x 2 = 12 - 3y 2 ， 12 4∴ k ⋅ k ' = - 1 ， ......................................................... 10 分 3∵ k ∈(- 1 , - 1) ，2 3∴ 2 < k ' < 1 ，32故直线 BM 的斜率的取值范围为( ,1) ................................................................................ 12 分320．（本小题满分 10 分）已知函数 f (x ) = ln(x +1) , g (x ) = e x （e 为自然对数的底数）． 2 3 ≤ - 3 ，-2 +a+22>-（1）讨论函数ϕ(x) = f (x) -x +a在定义域内极值点的个数；x（2）设直线l 为函数f (x) 的图象上一点A(x0 , y0 ) 处的切线，证明：在区间(0, +∞) 上存在唯一的x0，使得直线l 与曲线y =g(x) 相切．解：（1）ϕ(x) =f (x) -x +axx +a= ln(x +1) -（x 1且x ≠ 0) ，xϕ'1 a x2+ax +a(x) =+x +1= ，x2(x +1)x2令h(x) =x2+ax +a ，∆=a2 -4a ，........................................ 1 分①当∆=a2 - 4a ≤ 0 时，即当0 ≤a ≤ 4 时，ϕ'(x) ≥ 0 ，此时，ϕ(x) 在(-1, 0) 和(0, +∞) 单调递增，无极值点；................................................................ 2 分②当∆=a2-4a > 0 时，即当a < 0 或a > 4 时，函数h(x) =x2+ax +a 有两个零点,x1x2=，（i）当a < 0 时，因为-1-x1 ==< 0 ，所以x2 > 0 >x1 >-1，…………………………………3分所以函数ϕ(x)在(-1, x1) 单调递增，在( x1，0) 和(0，x2) 上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增，此时函数ϕ(x) 有两个极值点； ....................................................4 分（ii）当a > 4 时，-因为1-x2 =2=0 ，2所以x1<x2<-1，此时ϕ'(x) >0 ，ϕ(x) 在(-1, 0) 和(0, +∞) 单调递增，无极值点.……5分综上所述，当a ≥ 0 时，函数ϕ(x) 无极值点，当a < 0 时，函数ϕ(x) 有两个极值点.……6分（2）因为f '(x) =1，x +1所以函数f (x) 的图象上一点A(x0 , y0 ) 处的切线l 的方程可表示为11 y- y 0 =0 +1(x - x 0 ) ， ............................................ 9 分 设直线l 与曲线 y = g (x ) 相切于点 B (x , e x 1 )，因为 g '(x ) = e x ，⎧e x = 1 ,⎪ x 0 +1 ⎪ 所以⎨ y 0 = ln(x 0 +1), ⎪ x1 ⎪e 1 - y 0 = ⎪⎩x 0 +1 (x 1 - x 0 ),消去 x 1 并整理，得x 0 +1ln(x 0 +1) -= 0 , ............................................................................................. 11 分由（1）可知，当a = 1时，函数ϕ(x ) = ln(x +1) -x +1x > -1) 在(0, +∞) 单调递增，ϕ 12（ xe 2 - 2 又 (e -1) = - < 0 ，ϕ(e e -1 -1) = > 0 ， e 2-1所以函数ϕ(x ) 在(e -1, e 2 -1) 上有唯一的零点，又因为ϕ(x ) 在(0, +∞) 单调递增，所以方程ln(x 0 +1) -x 0 +1 = 0 在(0, +∞) 上存在唯一的根，x 0故在区间(0, +∞) 上存在唯一的 x 0 ，使得直线l 与曲线 y = g (x ) 相切． .......... 12 分21．（本小题满分 12 分）2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）.（1） 为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 N (μ,15.22 ) ，其中μ近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新 冠肺炎患者年龄在70 岁以上（ ≥ 70 ）的患者比例；1x x⎢1 ⎥⎣ 9 （2） 截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10% ，以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独 立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按n （1< n < 20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人 数为 X n ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的n 的值．参考数据：若 Z ~ N (μ,σ 2 ) ，则 P (μ - σ < Z < μ + σ ) = 0.6826 ， P (μ - 2σ < Z < μ + 2σ ) = 0.9544 ， P (μ - 3σ < Y < μ + 3σ ) = 0.9973 ，0.94 ≈ 0.66 ， 0.95 ≈ 0.59 ， 0.910 ≈ 0.35 .解：(1)μ =2 ⨯15 + 6 ⨯ 25 +12 ⨯ 35 +18⨯ 45 + 22 ⨯ 55 + 22 ⨯ 65 +12 ⨯ 75 + 4 ⨯85 + 2 ⨯ 95 = 54.8100……………………………… …2 分所以 P (54.8 -15.2 < Z < 54.8 +15.2) = P (39.6 < Z < 70) = 0.6826 ，P (Z ≥ 70) = 1- P (39.6 < Y < 70) = 1- 0.6826 = 0.1587 = 15.87% ，2 2则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在70 岁以上的患者比例为15.87% ................ 5 分(2)解法一：根据题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为 1 ， n 的可能取值为 2，4，105，10，当n ∈{2，4，5，10} 时， X B (n , 1) ， ............................................................................... 7 分 n 10对于某组n 个人，化验次数Y 的可能取值为1， n +1，P (Y = 1) = ( 9 )n， P (Y = n +1) = 1- 10 ( 9 )n ，10E (Y ) =1⋅ ( 9 )n + (n +1) ⋅ ⎡ 10 - ( ) 10 n ⎤ = n +1- 9 n ( ) 10 n ， ......................... 9 分 ⎣ ⎦则20 人的化验总次数为 f (n ) = 20 ⎡n +1-9 n ⎤ ⎡1 - 9 n ⎤ ， n ⎢⎣ n ( )10 ⎥⎦ =20 ⎢1+ n (10) ⎥⎦经计算 f (2)=13.8 ， f (4) ≈ 11.8 ， f (5) ≈ 12.2 ， f (10) ≈ 15 .所以，当n = 4 时符合题意，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少． ......... 12 分⎢1 ⎥ ⎩ ⎩ 1 ⎩⎩ 解法二：根据题意，每名密切接触者确诊的概率均为 1， n 的可能取值为 2，4，5，10，10当n ∈{2，4，5，10} 时， X B (n , 1) ， ..................................................................... 7 分 n 10设以n 个人为一组时，组内每人所需的化验次数为Y ，则Y 的可能取值为 1 ，1+ 1 ，P (Y = 1 ) = n ( 9 )n 10 P (Y = 1+ 1 ) = 1- ，n n n ( 9)n10 ， 则 E (Y ) = 1 ⋅ ( 9 )n + (1+ 1 ) ⋅ ⎡ - ( 9 )n ⎤ = 1+ 1 - ( 9 )n ， ................... 9 分 n 10 n ⎣ 10 ⎦ n 10 ⎡ 1 9 n ⎤ f (n ) = 20 ⎢1+ n - (10) ⎥则 20 人所需的化验次数为⎣ ⎦ ， f (2)=13.8 ， f (4) ≈11.8 ， f (5) ≈12.2 ， f (10) ≈15 .所以，符合题意的n = 4 ，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少． ......... 12 分22．（本小题满分 10 分）选修 4 ― 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOyl ⎧x = t c os α（ t 为参数，0＜α＜π ），曲线C⎧x = 2cos β， 中，直线 1 ：⎨ y = t sin α21：⎨y = 4+2sin β（ β 为参数）， l 1 与C 1 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1） 求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2） 已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ： ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ，C 两点，记△ AOB262的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 1解：（1）（解法一）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ， 将 C 的极坐标方程为 ρ 2 - 8ρ sin θ +12 = 0 ， ................. 2 分 ⎨ y = ρ sin θ 代入得 1又l 的参数方程为⎧x = t cos α（t 为参数， 0＜α＜π）， 1⎨ y = t sin α2得l 1 的极坐标方程为θ =α（ρ ∈R ）， ...................................................................................... 3 分 将θ =α 代入得 ρ 2 - 8ρ sin α +12 = 0 ，则∆ = (8sin α )2 - 4 ⨯12 = 0 ，又0＜α＜π，233 1 ⎩ 2 1解得α = π，此时 ρ=2，所以点 A 的极坐标为（2 3 π，..................... 5 分 ，） 33（解法二）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ， 将C 的极坐标方程为 ρ 2- 8ρ sin θ +12 = 0 ， ................ 2 分 ⎨ y = ρ sin θ代入，得 1因为l 1 与C 1 相切于点 A ，所以在Rt △ OC 1 A 中，有| OA |= = 2 ，sin ∠AOC = | C 1 A | = 1，所以∠AOC = π ，.................................. 4 分 | OC 1 | 2 6由极坐标的几何意义，可得 A （2 3π ................................................................................5 分 ，） 3（2）由C 2 的极坐标方程为 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，可得C 2 的直角坐标方程为(x - 2 3)2 + y 2 = 5 ，所以圆心C (2 3, 0) ，.................................. 6 分 设 B (ρ , π) ， C (ρ , π) 将θ = π代入 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，1 323 6得 ρ 2 - 6ρ + 2 = 0 ，所以 ρ + ρ = 6 ， ρ ρ = 2 ， .............................. 7 分121 2又因为 S = 1 ρ .ρ sin( π - π) = 3 ρ ， S = 1 | O C | ⋅ρ .sin π = 3ρ ，.......... 8 分 1 2 1 A 3 6 2 1 2 22 2 6 2 2S S ρ ρ (ρ + ρ )2 - 2ρ ρ 62 - 2 ⨯ 2 所 以 1 + 2 = 1 + 2 = 12 1 2 = = 16 ...................................... 10 分S 2 S 1 ρ2 ρ1 ρ1ρ2 223．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1）当 a =1 时，解不等式 f (x ) > 2x + 1 ；（2）若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +< m 有实数解，求实数 m 的取值范围.解：（1）当 a =1时，即解不等式 x - 2 ＞2x + 1 ，（法一）①当 x ≥ 2 时，原不等式等价于 x - 2＞2x +1，所以 x < -3 ，所以不等式 f (x )＞2x + 1的解集为空集， ..................................... 2 分 ②当 x ＜2 时，原不等式等价于2 - x ＞2x +1，解得 x ＜1 ， ..................... 4 分3OC 2 - C A 2 1 12a -11, ), )综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 1 3. …………………………………5 分 （法二）①当 x <- 1时，不等式 x - 2 ＞2x + 1 显然成立； ..................... 2 分2②当 x ≥- 1时，原不等式等价于(x - 2)2＞(2x +1)2 ，2即3x 2 + 8x - 3＜0 ，解得- 1 ≤ x < 1，...................................... 4 分2 3综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 13. ……5 分（2）因为 f (x )+ x += x - 2a + x + ≥ 2a + ，显然等号可取，………6 分又 a ∈ (1, +∞) ，故原问题等价于关于 a 的不等式2a +2a -1＜m 在(1, +∞) 上有解，…8 分又因为2a +2 a -1 =2(a -1) + 2a -1+ 2 ≥ 2 = 6 ， 当且仅当a = 2 时取等号， 所以m > 6 ，即m ∈(6, +∞) .............................................. 10 分2 a -1 2 a -1 2a -1。
【答案】2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试——数学(理科)
（2）设直线 BM 的斜率为 k ， M (x0 , y0 ) ，则 k y0 x2
, k y0
3
x0 2
,k k y02 ，
3
x02 12
又 x02 12
y02 4
1, x02
12 3y02,k k
1 ，………………………………………………10 分
3
k
1 2
,
1 3
2 ，即 2 sin2 A C sin B 1的取值范围是 (1,
2] ．……………12 分
4
2
18．解析：（1）当点 P 为棱 SD 的中点时， CP / / 平面 SAB ．证明如下： 取 SA 的中点 F ，连接 FP, FB, PC ，则 FP 1 AD ，………………………………………………2 分
F
O
C
a2
B
所以离心率 e 3( 2 1) 6 3 ．
17．解析：（1）由 sin2 B sin Asin C 及正弦定理可得 b2 ac ，………………………………3 分
a2 c2 b2 2ac ac 1
π
所以 cos B
≥
，而 0 B ，所以 0 B ≤ ．…………………6 分
A
E
Dy
n2 SD 2 y2 z2 0
3 1
，
n2 DC 2 x2 2 y2 0
xB
C
取 x2 1，则 y2 3, z2 2 3 ，从而 n2 (1, 3, 2 3) ．…………………………………10 分
cos
n1, n2
n1 n2 n1 n2
2 1 ，
解得 7 a 24 ．
4．答案：C
1