集合的含义与表示

1.1.1 集合的含义与表示
1、教材分析
集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,结合实例给出元素、集合的含义,课本注重体现逻辑思考的方法,如抽象、概括等.
值得注意的问题:由于本小节的新概念、新符号较多,建议教学时先引导学生阅读课本,然后进行交流,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校,可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识;也可以由教师给出问题,让学生读后回答问题,再由教师给出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的能力.在处理集合问题时,根据需要,及时提示学生运用集合语言进行表述.
2、教学目标
1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.
2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.
3、教学重点难点
教学重点:集合的基本概念与表示方法.
教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.
4、课时安排
1课时
5、教学过程
一、引入课题
军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容
二、新课教学
（一）集合的有关概念
1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到
这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，研究对象统称为元素（element），把一些确定的元素组成的总体叫集合
（set），也简称集。

3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学
生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4.关于集合的元素的特征
（1）确定性：给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.
（2）互异性：.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。

（3）无序性：集合内的所有元素都是平等的，没有先后顺序的。

（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

5. 元素与集合的关系；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a A
6. 常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
（二）集合的表示方法
1、自然语言：我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除
此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

例:从1到100的所有整数组成的集
合:{1,2,3,…,100},自然数集N:{0,1,2,3,4,…,n,…}
2、集合语言：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

注意点：(1)元素之间用，隔开（2）不考虑元素的先后顺序，不能重复（3）在元素
不多的情况可优先考虑使用列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
例1．（课本例1）
思考2，引入描述法
说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范
围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意点：（1）无限集一般使用描述法（2）描述法中新出现的字母都应说明范围。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；
例2．（课本例2）
说明：（课本P5最后一段）
思考3：（课本P6思考）
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。

下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注
意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

3、图形语言：Venn图（适当举例）
（三）课堂练习（课本P6练习）
一、归纳小结
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

在师生互动中,让学生了解或体会下列问题:
(1)本节课我们学习过哪些知识内容?
(2)你认为学习集合有什么意义？
(3)选择集合的表示法时应注意些什么?
二、作业布置
书面作业：习题1.1，第1- 4题
三. 板书设计（略）
四. 教学反思
集合语言是现代数学的基本语言,在高中数学课程中,它也是学习、掌握和使用数学语言的基础.由于集合的概念较难理解,因此设计时采用渐进式学习,而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受,在设计时注重让学生自己学习,重点引导学生学习这两种方法的应用.同时通过解决一系列具体问题,使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点;针对不同问题,能选用合适集合表示法.在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控,对学生不可能解决的问题,如集合常见表示法的写法,常见数集及其记法应直接给出,以避免出现不必要的混乱.对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.引导学生养成良好学习习惯,最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标.
备用例题:
1.下列所给对象不能构成集合的是( C )
A.一个平面内的所有点
B.所有大于零的正数
C.某校高一(4)班的高个子学生
D.某一天到商场买过货物的顾客
2.用另一种形式表示下列集合:
(1){绝对值不大于3的整数};(2){所有被3整除的数};(3){x|x=|x|,x ∈Z 且x<5};
(4){x|(3x-5)(x+2)(x 2+3)=0,x ∈Z };(5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x ∈Z ,y ∈Z }.
答案：(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x ∈Z },也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.
(2){x|x=3n,n ∈Z } .(3) {0,1,2,3,4} .(4){-2}. (5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
变式训练:用适当的形式表示下列集合:
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合; (2)所有被3整除的数组成的集合;
(3)方程(3x-5)(x+2)(x 2+3)=0实数解组成的集合;(4)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合
(5)方程组⎩
⎨⎧=+=82y 3x 14,3y -2x 的解集;. 答案：(1){x||x|≤3,x ∈Z }或{-3,-2,-1,0,1,2,3}; (2){x|x=3n,n ∈Z }; (3){3
5,-2}; (4){(x,y)|y=x+6}. (5) {(4,-2)} 3.已知集合A={x|ax 2-3x+2=0,a ∈R},若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围.
思路分析：对于方程ax 2-3x+2=0,a ∈R 的解,要看这个方程左边的x 2的系数,a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的,则集合A 的元素也不相同,所以首先要分类讨论.
解：当a=0时,原方程为-3x+2=0⇒x=3
2,符合题意; 当a≠0时,方程ax 2-3x+2=0为一元二次方程,则⎩⎨
⎧≥-≠.089,0a a 解得a≠0且a≤89. 综上所得a 的取值范围是{a|a≤
8
9}.。