福建省泉州第一中学2018届高三下学期第一次模拟考试(四月)数学(文)试题Word版含答案

泉州一中2018届高三文科数学第一次适应性考试第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z 满足ii z z+=，则z =（ ） A ．11i 22+ B ．11i 22- C ．11i 22-+D ．11i 22--2．已知集合{|U x y ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，则()=U A B ð（ ）A ．∅B ．RC ．{}|0x x >D ．{}03．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A B C D 4．已知直线210x ay -+=与直线820ax y -+=平行，则实数a 的值为（ ） A ．4B ．－4C ．－4或4D ．0或45．函数()()1cos sin f x x x =+在[]π,π-上的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．6．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，则该几何体的体积为（ ）A B C D7．下图是抛物线形拱桥，当水面在位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽( )米 A.B.C.D.8．设0ω>，函数个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） ABC ．3 D9．如图程序中，输入21,2log ,2ln 3===z y x ，则输出的结果为 A ．x B ．yC ．zD ．无法确定10．已知0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 0x x λ-≥恒成立，则λ的最小值为（ ） A ．1eB ．eC ．e 2D ．2e11．如图，已知点P 在以F 1，F 2为焦点的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，过P 作y轴的垂线，垂足为Q .若四边形F 1F 2PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为 ( ) A.12C. 2D. 1 12．已知函数()2f x x ax =+的图象在点()()0,0A f 处的切线l 与直线220x y -+=平行，n 项和为n S ，则20S 的值为（ ）ABC D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量a ，b ，1=b． 第9题图第15题图14．已知实数x ，y 满足不等式组220210320x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，若直线(1)y k x =+把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则k = ．15．通常，满分为100分的试卷，60分为及格线．若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[)[)[]96,84,,48,36,36,24 分组后绘制的频率分布直方图如图所示．由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率（实数a 的取整等于不超过a 的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为 ．16．今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在这两个分点处分别标上1，如图（1）所示；第二次把两段半圆弧二等分，在这两个分点处分别标上2，如图（2）所示；第三次把4段圆弧二等分，并在这4个分点处分别标上3，如图（3）所示.如此继续下去，当第n 次标完数以后，这圆周上所有已标出的数的总和是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin sin sin sin C B a A b B c C =+-．（1）求角C 的大小； （2）若()cos cos 22a B b k A π⎛⎫-=π+⎪⎝⎭（k ∈Z ）且2a =，求ABC △的面积．18． 近年来，某地区积极践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2012年年初至2018年年初，该地区绿化面积y （单位：平方公里）的数据如下表：（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2022年年初的绿化面积，并计算2017年年初至2022年年初，该地区绿化面积的年平均增长率约为多少．（附：()()()tb y a t t yy t tb in i i in i ∧∧==∧-=---=∑∑,211，084.110,301.02lg ,477.03lg 0352.0≈≈≈）19．如图，在三棱锥ABC P -中，,4,===⊥BC AB PA AB PA,90ABC =∠34=PC ，D 为线段AC 的中点，E 是线段PC 上一动点．（1）当AC DE ⊥时，求证：//PA 面DEB ；（2）当BDE ∆的面积最小时，求三棱锥BCD E -的体积．20．已知四边形ABCD 的四个顶点在椭圆C ：上，对角线AC 所在直线的斜率为1-，且AB AD =，CB CD =．（1）当点B 为椭圆C 的上顶点时，求AC 所在直线方程； （2）求四边形ABCD 面积的最大值．21．已知函数()()22ln 0f x x x a x a =-+≠，0x 是函数()f x 的极值点．（1）若4a =-，求函数()f x 的最小值；（2）若()f x 不是单调函数，且无最小值，证明：()00f x <．22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos sin (0)m m ρθθ+=>．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直直线l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点．且，求m ．23．选修4－5：不等式选讲（1）求函数()f x 的最大值；（2）若x ∀∈R ，都有恒成立，求实数m 的取值范围．泉州一中2018届高三文科数学第一次适应性考试第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2018·保定调研]已知复数z 满足ii z z+=，则z =（ ） A ．11i 22+ B ．11i 22- C ．11i 22-+D ．11i 22-- 【答案】A【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则由已知有i i z z +=，()1i i a b b a ++=-+，所以1a b b a =-+=⎧⎨⎩，解得1212a b ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩，所以11i 22z =-，故11i 22z =+，选A ． 2．[2018·集宁一中]已知集合{|U x y ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，则()=UAB ð（ ）A ．∅B ．RC ．{}|0x x >D ．{}0【答案】C【解析】由题意得U =R ，{}|0A x x =>，因为20xy =-<，所以{|0}B y y =<，所以{|0}U B x x =≥ð，故(){}|0UAB x x =>ð，故选C ．3．[2018·渭南质检]如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．12CD【答案】C【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，C ．4．[2018·菏泽期末]已知直线210x ay -+=与直线820ax y -+=平行，则实数a 的值为（ ） A ．4 B ．－4C ．－4或4D ．0或4【答案】B【解析】由于两直线平行，故()()280a a ⋅---⋅=，解得4a =-（当4a =时两直线重合，故舍去．）5．[2018·柳州模拟]函数()()1cos sin f x x x =+在[]π,π-上的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()()()1cos sin f x x x f x -=-+=-，所以()f x 是奇函数，故C 错误；D 错误；()222sin cos cos 2cos cos 1f x x x x x x '=-++=+-，得以取到极值，所以A 正确．故选A ．6．[2018·丹东期末]某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，则该几何体的体积为（ ）A 16+ B 12C 16+ D 12【答案】A【解析】该几何体是一个半球上面有一个三棱锥，体积为：A ． 7．B 【解析】如图建立直角坐标系：设抛物线方程为，将代入，得.∴设，代入，得.∴水面宽为米故选B.8．[2018·赤峰期末]设0ω>图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．23B ．43C ．3D ．32【答案】D【解析】图象向右平单位后得到函数解析式为k ∈Z ，k ∈Z ，∵0ω>，∴ω的最小值是31322⨯=，故选D ． 9．如图程序中，输入21,2log ,2ln 3===z y x ，则输出的结果为 A ．x B ．yC ．zD ．无法确定【答案】A10．[2018·承德联考]已知0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 0x x λ-≥恒成立，则λ的最小值为（ ） A ．1eB ．eC ．e 2D ．2e【答案】A【解析】令()ln x f x x λ=-，()1f x x λ'=-，由于0λ>，令()10f x x λ=-='，得1x λ=，第9题图可以得到()f x 在0,1λ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,λ⎛+∞⎫⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在1x λ=时取得最小值，所以11n 1l 0f λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，所以1e λ≥．故选A 选项． 11．B【解析】由题意知四边形的边长为，连接，由对称性可知，，则三角形为等边三角形．过点作轴于点，则，因为，所以在直角三角形中，|，则，连结，则,由双曲线的定义知，，所以双曲线的离心率为，故选B ．12．[2018·大庆一中]已知函数()2f x x ax =+的图象在点()()0,0A f 处的切线l 与直线220x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ）A ．325462B ．1920C ．119256D ．20102011【答案】A【解析】因为()2f x x ax =+，所以()2f x x a '=+，又函数()2f x x ax =+的图象在点()()0,0A f 处的切线l 与直线220x y -+=平行，所以()02f a '==，所以()22f x x x =+，所以()211111222f n n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以：120⎛++- ⎝11113251222122462⎛⎫⨯+--= ⎪⎝⎭，选择A 选项．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·寻乌中学]已知平面向量a ，b 1．第15题图【答案】22． 14．已知实数x ，y 满足不等式组220210320x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，若直线(1)y k x =+把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则k = ． 【答案】1315．通常，满分为100分的试卷，60分为及格线．若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[)[)[]96,84,,48,36,36,24 分组后绘制的频率分布直方图如图所示．由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率（实数a 的取整等于不超过a 的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为 ． 【答案】0.82 16．()122nn -+【解析】由题意可得，第n 次标完后，圆周上所有标出的数的总和为21112232...2n n T n -=++⨯+⨯++⨯，设2112232...2n S n -=+⨯+⨯++⨯，()212222...122n nS n n -=+⨯++-⨯+⨯，两式相减相减可得()21122...22121n n n S n n --=++++-⨯=-⨯-，()121,n S n =-⨯+()122n n T n =-⨯+，故答案为()122n n -+.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·集宁一中]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin sin sin sin C B a A b B c C =+-．（1）求角C 的大小； （2）若()cos cos 22a B b k A π⎛⎫-=π+⎪⎝⎭（k ∈Z ）且2a =，求ABC △的面积． 【答案】（1）6C π=；（2）ABC S =△．【解析】（1）由sin sin sin sin sin C B a A b B c C =+-得：222sin C a b c =+-，2222a b c C ab+-=cos C C =，∴tan C =，∴6C π=．·······6分 （2）由()cos cos 22a B b k A π⎛⎫-=π+⎪⎝⎭（k ∈Z ），得sin cos a B b A =， 由正弦定理得sin cos A A =，∴4A π=． 根据正弦定理可得2sin sin 46c =ππ，解得c =∴()11sin 22246ABC S ac B A C ππ⎛⎫==⨯π--=+= ⎪⎝⎭△．····12分18． 近年来，某地区积极践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2012年年初至2018年年初，该地区绿化面积y （单位：平方公里）的数据如下表：（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2022年年初的绿化面积，并计算2017年年初至2022年年初，该地区绿化面积的年平均增长率约为多少．（附：回归直线的斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为()()()t b y a ttyy t tb in i i in i ∧∧==∧-=---=∑∑,211084.110,301.02lg ,477.03lg 0352.0≈≈≈）（1）3.4,4==y t ，3.2,5.0==∧∧a b ， ………………4分 线性回归方程为3.25.0+=∧t y ………………6分 （2）将2022年年号11代入，预测绿化面积为7.8平方公里 ………………9分设年平均增长率为x ，则()2.58.715=+x ，()23lg 1lg 5=+x ，084.0152lg 3lg ≈-=-x年平均增长率约为8.4%. ………………12分19．如图，在三棱锥ABC P -中，,4,===⊥BC AB PA AB PA,90ABC =∠34=PC ，D 为线段AC 的中点，E 是线段PC上一动点．（1）当AC DE ⊥时，求证：//PA 面DEB ；（2）当BDE ∆的面积最小时，求三棱锥BCD E -的体积．（1）直角ABC ∆中，24=AC ，AC P ∆中，由222PC AC PA =+知AC PA ⊥ ………………3分∴ED PA //，又⊄PA 面EDB ，∴//PA 面EDB ………………6分 （2）等腰直角ABC ∆中，由D 为AC 中点知，AC DB ⊥又由AC PA ⊥，AB PA ⊥，A AC AB = 知⊥PA 面ABC 由⊂DB 面ABC ∴DB PA ⊥又AC DB ⊥，A AC PA = 知⊥DB 面PAC 由⊂DE 面PAC ∴DB DE ⊥，即BD E ∆为直角三角形 ………………9分∴DE 最小时，BDE ∆的面积最小过点D 作PC 的垂线时，当E 为垂足时，DE 最小为362 ∴ 91631=⋅⨯=∆-EC S V BDE BCD E ………………12分20．[2018·顺德调研]已知四边形ABCD 的四个顶点在椭圆C ：2213x y +=上，对角线AC所在直线的斜率为1-，且AB AD =，CB CD =． （1）当点B 为椭圆C 的上顶点时，求AC 所在直线方程； （2）求四边形ABCD 面积的最大值． 【答案】（1）12y x =--；（2）3． 【解析】（1）因为AB AD =，CB CD =，所以对角线AC 垂直平分线段BD ． 因为直线AC 的斜率为1-，则直线BD 所在直线的斜率为1．又因为()01B ，，则直线BD 所在直线方程为1y x =+．·······1分 由22331x y y x +==+⎧⎨⎩，解得3122D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，·······2分则BD 中点P 的坐标为3144⎛⎫- ⎪⎝⎭，·······3分 所以AC 所在直线方程为12y x =--；·······4分 （2）设AC ，BD 所在直线方程分别为y x m =-+，y x n =+，()11B x y ，，()22D x y ，，BD 中点()00P x y ，． 由2233x y y x n⎧+=⎨=+⎩，得2246330x nx n ++-=， 令248120n ∆=->，得24n <，1232nx x +=-，212334n x x -=·······6分则BD ==，同理AC =，·······8分分又因为120324x x x n +==-，所以BD 中点3144P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 由点P 在直线AC 上，得2n m =-，所以12ABCDS AC BD ==四边形·······11分因为24n <，所以201m <≤，所以当0m =时，四边形ABCD 的面积最大，最大面积为3．·······12分 21．[2018·佛山调研]已知函数()()22ln 0f x x x a x a =-+≠，0x 是函数()f x 的极值点．（1）若4a =-，求函数()f x 的最小值；（2）若()f x 不是单调函数，且无最小值，证明：()00f x <． 【答案】（1）()f x 的最小值为()24ln 2f =-；（2）见解析． 【解析】（1）解：()224ln f x x x x =--，其定义域是{}|0x x >．()422f x x x-'=-()()2212224x x x x x x +---==． 令()0f x '=，得2x =，·······2分所以，()f x 在区间()02，单调递减，在()2+∞，上单调递增． 所以()f x 的最小值为()24ln 2f =-．·······5分 （2）解：函数()f x 的定义域是{}|0x x >，对()f x 求导数，得()22222a x x af x x x x='-+=-+，显然，方程()20220f x x x a '=⇔-+=（0x >），因为()f x 不是单调函数，且无最小值，则方程2220x x a -+=必有2个不相等的正根，所102a <<，·······7分 设方程2220x x a -+=的2个不相等的正根是1x ，2x ，其中12x x <，所以()()()212222x x x x x x a f x x x-='--+=， 列表分析如下：所以，1x 是极大值点，2x 是极小值点，()()12f x f x >，·······9分 故只需证明()10f x <，由120x x <<，且121x x +=，得1102x <<， 因为102a <<，1102x <<，所以()()11112ln 0f x x x a x =-+<， 从而()00f x <．·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·邢台期末]选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos sin (0)m m ρθθ+=>．（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）若直直线l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点．且6OA OM ON ⋅⋅=，求m ．【答案】（1）22cos 30ρρθ--=；（2）m =． 【解析】（1）∵()2214x y -+=，∴22230x y x +--=， 故曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=．·······5分（2）cos sin m ρθρθ+=，得ρ=．22cos 30ρρθ--=，得123ρρ=-，则·3OM ON =，则36=，∴m =．·······10分 23．[2018·安庆一中]选修4－5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =--+． （1）求函数()f x 的最大值；（2）若x ∀∈R ，都有m 的取值范围． 【答案】（1）3；（28,3⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭【解析】（1所以()f x 的最大值是3．····5分（2）x ∀∈R ，()4f x ≤5，即2m 当5m <-时，等价于()()21512m m ---+≥，解得 时，等价于()()21512m m --++≥，化简得6m -≤，无解； 当12m >时，等价于21512m m -++≥，解得综上，实数m 168,33⎤⎡⎫-+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭分。