向量法与综合法,孰优孰劣

向量法与综合法,孰优孰劣
作者：陈名树
来源：《广东教育·高中》2011年第08期
近几年的高考中，对于新课改地区的立体几何解答题一般都可以选择两种方法：一种综合法；一种是向量法（主要是指坐标向量法）.基于目前大部分学生计算能力不强，根据快速、不易错的标准，到底这两种方法孰优孰劣？我们在下笔之前该如何做出合理的选择？现以2011年广东高考理科数学第18题为例分析如下，供参考与研讨.
如图5，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60°,PA=PD=■，
PB=2，E，F分别是BC，PC的中点，
（1）证明：AD⊥平面DEF;
（2）求二面角P-AD-B的余弦值.
综合法解之如下：
（1）取AD的中点G，又PA=PD，∴PG⊥AD，由题意知△ABC是等边三角形，
∴BG⊥AD，又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，∴AD⊥平面PGB，∵EF∥PB，
DE∥GB，∴平面DEF∥平面PGB∴AD⊥平面DEF.
(2) 由（1）知∠PGB为二面角P-AD-B的平面角，在Rt△PGA中，PG2=■2-（■）2=■；在Rt△BGA中，BG2=12-（■）2=■；在△PGB中，cos∠PGB=■=-■.
向量法解之如下：
(1)∵AD=AB=1,∠DAB=60°,ABCD是边长为1的菱形，∴△ABD、△CBD均为边长为1的正三角形.∵E为BC的中点，∴BC⊥DE.又∵AD//BC，∴AD⊥DE.
以D为原点，■，■的方向分别为X轴，Y轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则有D（0，0，0），C（-■，■，0），A（1，0，0），取AD的中点G，连PG，GB.由GB// DE，AD⊥BG，可得B（■，■，0），G（■，0，0）.
∵PA=PD，∴PG⊥AD，∴可设P（■，y，x）.
于是■=（0，■-y，-z），■（■，y，z）（或用■=（■，-y，-z））
∴|■|2=（■-y）2+z2=4……①
|■|2=■+y2+z2=4……②
解得P（■，-■，1），又C（-■，■，0），
∴ F（0，0，■）.■=（1，0，0）.
∴ ■=（0，0，■）,■=（0，■，0）. ∵■·■=0,■·■=0 ，∴■·■，■⊥■，∴AD⊥平面DEF.
(2)由(1)得■=（■，-■，1），■=（1，0，0），设面PAD的法向量为■=（x，y，z），由于■·■=■x-■y+z=0，且■·■=x=0，所以取■=（0，-1，-■）.又∵面ABD的法向量■=（0，0，1），∴cos ＜■，■>=■=■=-■.
分析：本题主要考查空间中线面关系、二面角及其平面角、坐标方法的运用等基础知识，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力和运算能力.
若选综合法证明（1），证AD⊥DE比较容易，但要证AD⊥DF或证AD⊥EF却有一定的困难，如果先选择做第二问求二面角，由于找中点用定义法找二面角平时训练比较多，比较容易入题，找到二面角之后再回过来看第一问，那真是“柳暗花明又一村”！
若选用向量法，固定的程序：建系、写坐标、数量积、求法向量、套公式、作答.但大部分考生在第一个环节建系就被卡住了：没有现存的两两垂直的直线！即使勉强建系了也面临着P点的坐标不好确定.
两种方法相比之下，综合方法优势明显.后者尽管思路人尽皆知，但由于解答程序多，出错可能性自然就大.笔者曾在高二理科班做过实验，分别找了A、B两组各10人数学水平相当的考生限定15分钟内完成此题，要求A组用向量法，B组用综合法.实验结果：A组全对2人，B组5人；做错的同学大都是计算问题，A组错法几乎分布在各个环节：写点的坐标、向量坐标、法向量、套公式.
高考立体几何解答方法的选择策略
高考立体几何题所占分值在20分左右，倾向于“一大一小”或“两小一大”，题目难度适中，命题形式比较稳定.因此，立体几何题向来是兵来必争之地.但近几年高考考生在立体几何这个知识点上答题情况却不是很理想，比如今年广东的这个题全省得分只有5.85分（总分13分）.面对立体几何题特别是解答题，要想在这个题上在有限的时间内拿到稳定的分数，审题之后，如何迅速决策采用综合法还是向量法或兼而用之就成为了一个关键.
通过前面这道例题，我们发现：用向量法（本质是代数法）来解决中学几何问题，克服了综合法（本质是几何法）常常需要添置若干辅助线而显得思路曲折的缺点，以算代证，数形结合，因而使解题思路更加清晰、简捷，解法顺理成章.尤其是求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法.但是，我们
也注意到：向量法尽管易操作但过程多，一个坐标写错就会导致“满盘皆输”，综合方法，有时只需用一个定理、作一条辅助线就可搞定.基于此，作为一个策略，笔者建议：
1．题设背景不容易建系或者非坐标向量法亦不好用，没有考虑的余地应用传统的综合法解之.
2．题设背景在以正方体、长方体、直棱柱、正棱锥为背景或是具备两两垂直(有时需要通过线面垂直、面面垂直的性质定理证出)的问题中，这时往往两种方法均可运用但不可急于建系解决，先要看看是否较容易证（平行、垂直）、较容易找（线线角、线面角、面面角）、较容易求（距离、体积、面积），如果综合法不可以或不方便再用向量法亦不迟.
练习：
1．（2011年全国新课标理）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.
思路点拨：本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明.
（II）用综合法“作-证-求”二面角的平面角在此有一定难度，用向量法，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小.答案：-■.
2．（2011年陕西卷理科）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．
（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）设E为BC的中点，求■与■夹角的余弦值．
思路点拨：（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．答案：■.
（作者单位：东莞市塘厦中学）
责任编校徐国坚
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