中考数学一轮复习【几何篇】20.垂径定理
2020--2021学年中考数学一轮复习专项练习圆的三大定理：垂径定理(含答案)
一轮复习专项练习圆的三大定理：垂径定理一．选择题1．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A 于点D，则CD长为（）A．5 B．4 C．D．23．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．44．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，∠BAC＝∠BOD，则⊙O的半径为（）A．4B．5 C．4 D．35．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为（）A．10 B．8 C．5 D．36．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（）A．2B．8 C．2D．27．如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果半径为4，那么⊙O的弦AB长度为（）A．2 B．4 C．2D．48．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF ＝，则BF的长为（）A．B．1 C．D．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（）A．B．C．6 D．10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若MP+NQ＝12，AC+BC＝18，则AB的长为（）A．9B．C．11 D．15二．填空题11．若过⊙O内一点M的最长弦为10，最短弦为6，则OM的长为．12．已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，CD＝10，且AB∥CD，则弦AB与CD之间的距离为．13．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝cm．14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE＝18，CD＝PQ ＝24，则OM的长为．15．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．三．解答题16．如图，AB为⊙O的直径，C，D是半圆上两点，且AC＝CD＝DB，AB＝10cm （1）求AC的长度；（2）证明CD∥AB．17．如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．（1）求⊙O的半径；（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．18．如图①，已知点O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆与角两边分别交于A，B和C，D四点．（1）求证：AB＝CD；（2）若角的顶点P在圆上，如图②，其他条件不变，结论成立吗？（3）若角的顶点P在圆内，如图③，其他条件不变，结论成立吗？19．如图，直线l：y＝x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去．求：（1）点B1的坐标和∠A1OB1的度数；（2）弦A4B3的弦心距的长度．20．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．参考答案一．选择题1．解：连接OA，如图：∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴AC＝AB＝8cm，在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm），故选：D．2．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，∴AD＝AB＝5，根据垂径定理，得DE＝BE，∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE＝，∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．故选：C．3．解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4，故选：D．4．解：∵∠BAC＝∠BOD，∴＝，∴AB⊥CD，∵AE＝CD＝8，∴DE＝CD＝4，设OD＝r，则OE＝AE﹣r＝8﹣r，在Rt△ODE中，OD＝r，DE＝4，OE＝8﹣r，∵OD2＝DE2+OE2，即r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5．故选：B．5．解：连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5．故选：C．6．解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r﹣2，∴OA2＝AC2+OC2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝＝＝6，在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，∴CE＝＝＝2．故选：D．7．解：如图；过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA；则AD＝BD，由折叠的性质得：OD＝CD，在Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4；根据勾股定理得：AD＝＝＝2，∴AB＝2AD＝4；故选：D．8．解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．∵＝，∴AC＝BC，OC⊥AB，∵AB是直径，∴ACB＝90°，∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∴∠CAJ＝∠BCF，∴△CAJ≌△BCF（ASA），∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，∵OC＝OB，∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，∴△ACE≌△CBH（AAS），∴EC＝BH＝1，∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，∴△CEJ∽△COF，∴＝＝，∴＝＝，∴EJ＝，∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，∴△BHF≌△CEJ（AAS），∴FH＝EJ＝，∵AE∥BH，∴＝，∴＝，整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），∴y＝2x，∴＝，解得x＝或﹣（舍弃）．∴BF＝，故选：A．9．解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，∵DE∥BC，∴MN⊥BC，DG⊥DE，∴DG＝MN，∵OM⊥DE，ON⊥BC，∴DM＝EM＝DE，BN＝CN，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．∴CH＝DH＝CD＝3，∴OH＝＝＝4，∴BH＝9，∴BC＝＝3，∴BN＝BC＝，∴ON＝＝，∵sin∠BCH＝＝，即＝，∴DG＝，∴MN＝DG＝，∴OM＝MN﹣ON＝，∴DM＝＝，∴DE＝2DM＝．故选：A．10．解：连接OP，OQ，∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI＝（AC+BC）＝9，∵MH+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝12，∴PH+QI＝18﹣12＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+6＝15，故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB，最短的是垂直平分直径的弦CD，已知AB＝10，CD＝6，则OD＝5，MD＝3，由勾股定理得OM＝4．故答案为：4．12．解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，∵AB＝24，CD＝10，∴AE＝12，CF＝5，∵OA＝OC＝13，∴EO＝5，OF＝12，∴EF＝12﹣5＝7；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB＝24，CD＝10，∴AE＝12，CF＝5，∵OA＝OC＝13，∴EO＝5，OF＝12，∴EF＝OF+OE＝17．∴AB与CD之间的距离为7或17．故答案为7或17．13．解：∵CD⊥OB，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，OE＝＝3，∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．故答案为8．14．解：作OF⊥PQ于F，连接OP，∴PF＝PQ＝12，∵CD⊥AB，PQ∥AB，∴CD⊥PQ，∴四边形MEOF为矩形，∵CD＝PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，∴OE＝OF，∴四边形MEOF为正方形，设半径为x，则OF＝OE＝18﹣x，在直角△OPF中，x2＝122+（18﹣x）2，解得x＝13，则MF＝OF＝OE＝5，∴OM＝5．故答案为：5．15．解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB＝2，∴AE＝，PA＝2，∴PE＝1．∵点D在直线y＝x上，∴∠AOC＝45°，∵∠DCO＝90°，∴∠ODC＝45°，∴∠PDE＝∠ODC＝45°，∴∠DPE＝∠PDE＝45°，∴DE＝PE＝1，∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC＝2，∴DC＝OC＝2，∴a＝PD+DC＝2+．故答案为：2+．三．解答题（共5小题）16．解：（1）连接OC，OD，∵AB为⊙O的直径，AB＝10cm，∴OA＝OB＝5cm．∵AC＝CD＝DB，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5cm；（2）∵由（1）知∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∴△AOC、△COD与△BOD均是等边三角形，∴∠A+∠ACD＝180°，∴CD∥AB．17．（1）解：连结OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，∵AD⊥OB，在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，即⊙O的半径为5；（2）证明：连结CF，如图，∵AD⊥OB，∴弧AB＝弧DB，∵∠EAB＝∠EBA，∴弧BD＝弧AF，∴弧AB＝弧AF，∴OA⊥BG，∴BG＝FG，∴∠OAH＝∠OBG，在△OAH和△OBG中，，∴△OAH≌△OBG（AAS），∴AH＝BG，∴BF＝2AH．18．解：（1）相等．如图：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，连接OA，OC，OB，OD．AG＝BG，CH＝DH，∵∠EPO＝∠FPO，∴OG＝OH．在Rt△OBG和Rt△ODH中，由HL定理得：△OBG≌△ODH，∴GB＝HD，∴AB＝CD；（2）点P在圆上，结论成立：顶点P在圆上，此时点P，A，C重合于点A，作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴AG＝GB，AH＝HD，∵∠EAO＝∠DAO，∴OG＝OH．在Rt△OAG和Rt△OAH中，由HL定理得：△OAG≌△OAH，∴AG＝AH，∴AB＝AD．即点P在圆上，结论成立．（3）顶点P在圆内，作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，则AG＝GB，CH＝HD，∵∠EPO＝∠FPO，∴OG＝OH，∴GB＝HD，∴AB＝CD．即点P在圆内，结论成立．19．解：（1）∵直线的解析式y＝x，∴tan∠A1OB1＝＝，∴∠A1OB1＝60°，OA1＝1，∴A1B1＝，OA2＝OB1＝2，∴B1（1，）．（2）连接A 4B 3，作OH ⊥A 4B 3于H ．由题意OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝4，OA 4＝8，∵OA 4＝OB 3，OH ⊥A 4B 3，∴∠A 4OH ＝∠A 4OB 3＝30°，∴OH ＝OA 4•cos30°＝8×＝4．20．解：（1）如图1中，连接OB ，OC ．设BF ＝EF ＝x ，OF ＝y ．∵AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴EF ⊥CD ，∴∠CEF ＝∠BFO ＝90°∴AF ＝BF ＝x ，DE ＝EC ＝2， 根据勾股定理可得：， 解得（舍弃）或，∴BF ＝4，AB ＝2BF ＝8．（2）如图2中，作CH ⊥AB 于H ．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．。
中考数学专题模型—【专题2】垂径定理的模型研究(教师版)
【专题2】垂径定理的性质与运用【回归概念】垂径定理：垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
数学表达为：如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。
称为知二推三。
1.平分弦所对的优弧；2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）；3.平分弦（不是直径）；4.垂直于弦；5.过圆心。
【规律探索】1.垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2.圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；3.垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个。
方法：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．【典例解析】：①用垂径定理求点的坐标【例题1】（2019•山东威海•3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A133B．23C．2D．2+2【思路导引】连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，根据圆周角定理得到∠APB ＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB ＝∠PBA ＝30°，由垂径定理得到AD ＝BD ＝3，解直角三角形得到PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝23，根据勾股定理得到CE ＝22PC PE -＝124-＝22，于是得到结论．【解答】解：连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ， ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°， ∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ＝30°， ∵A （﹣5，0），B （1，0）， ∴AB ＝6， ∴AD ＝BD ＝3，∴PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝23， ∵PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，∠AOC ＝90°， ∴四边形PEOD 是矩形， ∴OE ＝PD ＝3，PE ＝OD ＝2，∴CE ＝22PC PE -＝124-＝22， ∴OC ＝CE+OE ＝22+3， ∴点C 的纵坐标为22+3， 故选：B ．②巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)【例题2】如图，AB ，CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为直线EF 上的任意一点，求PA ＋PC 的最小值．【解析】如图，易知点C关于MN的对称点为点D，连接AD，交MN于点P，连接PC，易知此时PA＋PC最小且PA＋PC＝AD.过点D作DH⊥AB于点H，连接OA，OC.易知AE＝4，CF＝3，由勾股定理易得OE＝3，OF＝4，∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.∴AD＝72. 即PA＋PC的最小值为72.③巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)【例题3】某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？【解析】如图，设圆弧形桥拱AB所在圆的圆心为O，连接OA，OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H，由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA＝r米，则OD＝OC－DC＝(r－2.4)米，AD＝12AB＝3.6米．在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.在Rt△OHN中，OH＝22223.9 1.5ON NH-=-＝3.6(米)．所以FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(米)．因为2.1米＞2米，所以此货船能顺利通过这座拱桥．【达标检测】1. （2019•广西北部湾•3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.2. （江苏省宿迁市，14，3分）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C 为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．DCB3. （2019•四川省凉山州•4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝23，则⊙O的半径是．4. （2019•浙江嘉兴•4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．5. 如图，在○o中，AB为互相垂直且相等的两条弦，CD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，求证四边形ADOE为正方形6. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 (10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．7. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝3.(1)求AB的长；(2)求⊙O的半径．【达标检测答案】1. （2019•广西北部湾•3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.【解析】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可．2. （江苏省宿迁市，14，3分）如图，在△ABC 中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，则BD 的长为 ．DCB【思路导引】先利用三角形内角和求出第三个角为30°，是个特殊角，构造直角三角形，利用垂径定理、三角函数等，即可求出BD 的长． 【解析】：过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴BD=2BE∵∠ACB=130°，∠BAC=20° ∴∠ABC=30° 在Rt △BCE 中，BC=2， BE=BC ·cos30°=2×323∴BD=32，故答案为32．ED CB3. （2019•四川省凉山州•4分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，∠A ＝30°，CD ＝3，则⊙O 的半径是 2 ．【思路导引】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝3，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝23，AC＝3BC＝23，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝3，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝23，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝3BC＝23，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．4. （2019•浙江嘉兴•4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【思路导引】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．【解答】解：连接OD ，如图， ∵CD ⊥OC ， ∴∠COD ＝90°，∴CD ＝22OD OC -＝22r OC -， 当OC 的值最小时，CD 的值最大， 而OC ⊥AB 时，OC 最小，此时OC ＝221()2r AB -， ∴CD 的最大值为2221()2r r AB --＝12AB=＝12， 故答案为：12．5. 如图，在○o 中，AB 为互相垂直且相等的两条弦，CD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，求证四边形ADOE 为正方形证明：∵OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ， ∵AD=12AB ，AE= 12AC ，∠ADO=∠AEO=90°， ∵AB ⊥AC ， ∴∠DAE=90°， ∴四边形ADOE 是矩形， ∵AB=AC ， ∴AD=AE ，∴四边形ADOE 是正方形．6. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是 (10，0)，点B 的坐标是(8，0)，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上， 且四边形OCDB 是平行四边形，求点C 的坐标．如图，连接CM ，作MN ⊥CD 于N ，CH ⊥OA 于H. ∵四边形OCDB 为平行四边形，B 点的坐标是(8，0)， ∴CD ＝OB ＝8，CN ＝MH ，CH ＝MN. 又∵MN ⊥CD ， ∴CN ＝DN ＝12CD ＝4. 易知OA ＝10，∴MO ＝MC ＝5. 在Rt △MNC 中， MN ＝2222543CM CN -=-=.∴CH ＝3，又OH ＝OM －MH ＝5－4＝1. ∴点C 的坐标为(1，3)．7. 如图，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点F ，AO ⊥BC ，垂足为E ，BC ＝3. (1)求AB 的长； (2)求⊙O 的半径．【解析】(1)连接AC，∵CD为⊙的直径，CD⊥AB，∴AF＝BF，∴AC＝BC.延长AO交⊙O于G，则AG为⊙O的直径，又AO⊥BC，∴BE＝CE，∴AC＝AB.∴AB＝BC＝3.(2)由(1)知AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵AE⊥BC，∴∠EAB＝∠CAE＝12∠CAB＝30°.即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，AF3易得OA＝2，即⊙O的半径为2.。
《垂径定理》课件
答案：3cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再根据勾股定 理求解。
习题二
题目：已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，则圆心O到弦AB的距 离为 _______．
答案：4cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再 根据勾股定理求解。
习题三
01
02
CATALOGUE
垂径定理的表述
定理的文字表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且 平分弦所对的两条弧。
解释
如果一条直径垂直于一条弦，那 么这条直径会平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧。
定理的图形表述
图形示例
可以画出一个圆和经过圆心的一条弦 ，然后画一条垂直于该弦的直径，用 以展示垂径定理。
03
这种方法需要学生掌握相似三角形的 性质和判定方法，适合数学基础较好 的学生理解和掌握。
04
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
确定圆的中心
利用垂径定理，我们可以确定一个圆 的中心，只需在圆上任取两点，然后 通过这两点作垂直平分线，两条垂直 平分线的交点即为圆心。
作圆的切线
利用垂径定理，我们可以找到一个圆 的切线。在圆上任取一点，然后通过 这一点作圆的切线，切线与过圆心的 垂线交于一点，该点即为切点。
《垂径定理》ppt课 件
目录
• 引言 • 垂径定理的表述 • 垂径定理的证明 • 垂径定理的应用 • 垂径定理的变式 • 习题与解答
01
CATALOGUE
引言
什么是垂径定理
垂径定理
垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了垂直于弦的直径与弦之间的 关系。具体来说，如果一条直径垂直于一条弦，则这条直径将该弦平分，并且 平分该弦所对的弧。
中考数学复习：垂径定理(圆)(综合提升训练必备)(含解析)
2019年中考数学复习:垂径定理(圆)一、选择题(共１５小题)1、如图,Ａ点是半圆上一个三等分点,B点是弧AＮ的中点,P点是直径MＮ上一动点,⊙O的半径为１,则AP+BＰ的最小值为( )A。
1ﻩB、ﻩC、D、2、如图,梯形ABCD中,AＢ∥DC,ＡＢ⊥BC,AB=２cm,CＤ=４cｍ、以ＢC上一点O 为圆心的圆经过A、Ｄ两点,且∠AＯD=90°,则圆心O到弦AD的距离是( )A、ｃmﻩＢ、ｃm Ｃ、cmﻩD、cm3。
如图,在平面直角坐标系中,⊙Ｐ的圆心坐标是(3,a)(ａ＞3),半径为3,函数y＝ｘ的图象被⊙P截得的弦ＡB的长为,则ａ的值是( )Ａ、４ﻩＢ、ﻩC、D、４、已知⊙O的半径为10,P为⊙O内一点,且OP=6,则过Ｐ点,且长度为整数的弦有( )Ａ。
5条ﻩB。
6条ﻩC、8条D。
１0条5、已知⊙O的半径OA=2,弦AＢ,AC的长分别是2,2,则∠ＢAC的度数为()A、15°Ｂ、7５°C、15°或75°ﻩD、15°或45°6、如图,四边形PAOB是扇形OＭＮ的内接矩形,顶点P在上,且不与M,N重合,当Ｐ点在上移动时,矩形PＡOB的形状、大小随之变化,则ＡB的长度()A、变大Ｂ、变小C、不变D。
不能确定７、给出下列四个命题:(1)假如某圆锥的侧面展开图是半圆,则其轴截面一定是等边三角形;(２)若点A在直线ｙ=２ｘ﹣３上,且点Ａ到两坐标轴的距离相等,则点Ａ在第一或第四象限;(3)半径为５的圆中,弦AB=８,则圆周上到直线AB的距离为２的点共有四个; (４)若A(a,m)、B(a﹣１,n)(a〉0)在反比例函y=的图象上,则m〈ｎ、其中,正确命题的个数是( )A、1个ﻩB。
２个C、3个ﻩＤ、4个８、已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥ＣD,AＢ=1２cm,CＤ=１６cｍ,则AB和ＣD 的距离为( )A、2cmﻩB。
１4cmﻩC、2cm或1４ｃmﻩD、１0cm或20cｍ9、已知⊙O的半径为３,△ＡBＣ内接于⊙Ｏ,AB=3,AC=３,Ｄ是⊙O上一点,且AD ＝３,则ＣD的长应是( )Ａ。
九年级数学垂径定理
o
设圆的半径是r，圆心到弦的
距离d，弦长a
三者关系
如何？
a 2
r2
=d2+(a2)2
a 2
rd a
在半径为50mm的⊙O中，
有长50 mm的弦。计算 1点O与AB的距离 2AOB的度数。
O
A EB
例2已知：在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C,D两点。求证AB=CD
O
AB是弦，垂足为E.
求证：AE=BE
C
AC=BC,AD=BD
AE B D
C O
A
BA E B
D
连结OA,OB, OA=OB
C和D⊙所O在的直对线称是轴等腰三角形C
1 两个半圆重合
2 A,B两点重合
O
3 AE,BE重合 4 AC,BC重合
A
E
B
5 AD,BD重合
D
例1 已知在⊙O 中,弦AB 长为8cm, 圆心O到AB的 距离为3cm，AC,AB为
互相垂直的两条相等的弦，
O求D证A：BA,ODEOEACC
为正方形
EO
A DB
我
我们学过的轴对称 图形
等 腰 三 角 形
等 边 三 角 形
等腰梯形
矩形
正 方 形
菱形
圆是 轴对称 图形,
它的对称轴是 经过圆心的每一条直线
C 思考
1直径对弦
有何影响？
A
B 2直径对弦
D
所对弧有何
影响？
垂径定理
垂直于弦的直径平分 这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。
已知：在⊙O中,CD是 直径，
《垂径定理》优秀ppt课件2024新版
判断四边形形状问题
判断平行四边形
利用垂径定理证明四边形两组对 边分别平行，从而判断四边形为
平行四边形。
判断矩形和正方形
在平行四边形基础上，利用垂径定 理证明两组对角相等或邻边相等， 进而判断四边形为矩形或正方形。
判断梯形
通过垂径定理证明四边形一组对边 平行且另一组对边不平行，从而判 断四边形为梯形。
利用垂径定理将方程转化为标准形式 判别式判断根的情况
求解根的具体数值
判断二次函数图像与x轴交点问题
利用垂径定理判断交点个数 确定交点的横坐标
结合图像分析交点性质
解决不等式组解集问题
利用垂径定理确定不 等式组的解集范围
结合图像直观展示解 集
分析解集的端点情况
05
垂径定理拓展与延伸
推广到三维空间中直线与平面关系
《垂径定理》优 秀ppt课件
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
01
垂径定理基本概念与性质
垂径定义及性质
垂径定义
从圆上一点向直径作垂线，垂足 将直径分成的两条线段相等，且 垂线段等于半径与直径之差的平 方根。
在直角三角形中，利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系， 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点 坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。
中考数学垂径定理
中考数学垂径定理
一、垂径定理基本形式
垂径定理是圆的基本性质之一，它指出：通过圆心且垂直于任意弦的直径将该弦平分。
用数学语言表示就是：如果一条直径通过圆心O，并且垂直于弦AB，那么它将弦AB平分于点C。
即 AC = CB。
二、圆心到弦的垂线性质
根据垂径定理，我们可以推导出圆心到弦的垂线性质。
如果一条弦通过圆心O，且圆心到弦的垂线交弦于点C，那么这条垂线将弦分为两段相等的部分。
即 AC = CB。
同时，这条垂线也是该弦所对的圆周角平分线。
三、圆心到切线的性质
圆心到切线的性质是指：通过圆心的直线与圆的切线垂直。
如果一条直线通过圆心O，且与圆相切于点P，那么这条直线与切线垂直。
即OP与AP垂直。
同时，切线与过切点的半径也垂直。
四、切线长定理
切线长定理是指：过圆上一点作圆的切线，则切线长相等。
具体来说，如果圆上有点A，且过点A分
别作圆的两条切线AB和AC，那么这两条切线的长度相等。
即 AB = AC。
这个定理可以用来证明一些与切线相关的几何问题。
初三数学浙教版寒假复习垂径定理知识点
初三数学浙教版寒假复习垂径定理知识点
知识点
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径平分弦知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
课后练习
若过圆o内一点p的最长的弦为10,最短的弦长为8,求op的长。
解析：
最长弦为直径设为AB=10
最短弦为垂直该直径的弦设为CD=8
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦
则CP=4，OC=半径=5
根据勾股定理OP=radic;(OCsup2;-CPsup2;)=3
垂径定理知识点的全部内容就是这些，更多的精彩内容会持续为大家更新，预祝大家可以在寒假中更快更好的提升自己。
垂径定理ppt课件
28.4 垂径定理 *
● 考点清单解读
● 重难题型突破
■考点一
垂径定理
考
点
内容
清
单
解
读 垂直于弦的直径
平分这条弦，并
且平分这条弦所
对的两条弧
符号语言
图形
28.4 垂径定理 *
归纳总结
考
点
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直
清
单 线（线段），其本质是“过圆心”；（2）该定理中的弦为
［答案］ 解：在题图上连接 OA，∵⊙O 的直径 CD=20
考
点
清 ，0M∶OC=3∶5，∴OC=10，OM=6．∴OA=OC=10．∵AB⊥CD，
单
− =8，∴AB=2AM=16．
∴AM=
解
读
28.4 垂径定理 *
考
点
清
单
解
读
■考点二
垂径定理的推论
定义
内容
推
平分弦（不是直径）的
论
m；
28.4 垂径定理 *
（2）如答案图，过点 O 作 OH⊥FE，交 FE 的延长线
重
难
题 于点 H，由题意知 EF⊥AB，∴∠CEH=∠ECO=∠OHE=90°，
型 ∴ 四边形 OHEC 是矩形，∴OH=CE=BC-4=12 m ，OF = r =
突
破 20 m，在 Rt△OHF 中，HF= − =16m,∵HE=OC
）
C
突
破
A．5 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．10 cm
28.4 垂径定理 *
解题通法 解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出
新人教版九年级上册数学[垂径定理—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习垂径定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD的长，只要求出⊙O的半径r即可，可以连结OA，在Rt△AOD中，由勾股定理求出OA. 【答案】D；【解析】连OA，由垂径定理知13cm2AD AB==，所以在Rt△AOD中，5AO==（cm）．所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：【356965 ：例4-例5】【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。
【答案】1cm．2．（2015•巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE 交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．【答案与解析】解：∵E为弧AC的中点，∴OE⊥AC，∴AD=AC=4cm，∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，∴在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE﹣2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，∴OD=OE﹣DE=3cm．【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形. 举一反三：【356965 ：例2-例3】【变式】已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5，且30DAC ︒∠=，AD=13. 求弦BC 的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m ，拱的半径为13m ，则拱高为（ ）A ．5mB ．8mC ．7mD ．【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．【答案】B ；【解析】如图2，AB 表示桥拱，弦AB 的长表示桥的跨度，C 为AB 的中点，CD ⊥AB 于D ，CD 表示拱高，O 为AB 的圆心，根据垂径定理的推论可知，C 、D 、O 三点共线，且OC 平分AB ．在Rt △AOD 中，OA ＝13，AD ＝12，则OD 2＝OA 2－AD 2＝132－122＝25．∴ OD ＝5，∴ CD ＝OC －OD ＝13－5＝8，即拱高为8m ．【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4．（2015•蓬溪县校级模拟）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且AB=26m ，OE ⊥CD 于点E ．水位正常时测得OE ：CD=5：24（1）求CD 的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案与解析】解：（1）∵直径AB=26m，∴OD=，∵OE⊥CD，∴，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；（2）由（1）得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【答案】不需要采取紧急措施设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，解得R=34(m).连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16， 342=162+(34-x)2，x2-68x+256=0，解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，∴DE=4m＞3m，∴不需采取紧急措施．。
九年级数学垂径定理
点与圆的位置关系&＆垂径定理知识梳理：1、圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
如图所示：由上图可知：圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意角度形成的圆与原来的圆重合。
2、点与圆的位置关系：设圆O的半径为r，点P在O O内，则rPO<；点P在O O上，则rPO=；点P在O O外，则rPO>3、概念：圆心，半径，直径弦，弦心距，弧，优弧，劣弧，圆心角4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦。
（如何证明？）已知：O为下图圆的圆心，PQ为圆O的一条弦，PQOM⊥于M。
求证：QMPM=P Q5、同圆中，等弧对等弦，等弦对等弧；等弧对相等的圆心角。
学圆这一章，千万别忘记圆的定义所得出的这个简单结论：同一圆中，所有的半径相等.追根溯源，圆的定义是得到圆中其它结论的"根"。
圆的定义&&点与圆的位置关系&&垂径定理例1：已知⊙O的半径等于5cm，弦AB=6cm ，CD=8cm，且AB∥CD，则AB、CD之间的距离是多少？注意： 要考虑周全。
C DC DA B A B例2： 如图所示，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，CM cm BC cm AC ,4,2==是AB 边上的中线，以点C 为圆心，cm 5为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有________ , A 在圆上的有_________, 在圆内的有________ 。
M C B 例3：（2008重庆）在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是_______________ .练习（一）： （点与圆的位置关系） 1、已知⊙O 的周长为π10，（1）若6=PO ，则点P 在____________ ； （2）若4=PO ，则点P 在____________ ；（3）若点P 在圆上，则=OP ___________.2、 已知线段cm AB 2=，在平面内作出到点A 和点B 的距离都小于1.5cm 的所有点组成的图形。
初三数学垂径定理知识精讲
初三数学垂径定理知识精讲知识考点：1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。
2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。
精典例题：【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求： （1）CD 的长； （2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。
分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。
解：（1）过点O 作OF ⊥CD 于F ，连结DO ∵AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∴AB ＝8cm∴⊙O 的半径为4 cm ∵∠CEA ＝300，∴OF ＝1 cm∴1522=-=OF OD DF cm 由垂径定理得：CD ＝2DF ＝152cm（2）过C 作CG ⊥AB 于G ，过D 作DH ⊥AB 于H ，易求EF ＝3cm ∴DE ＝)315(+cm ，CE ＝)315(-cm∴253315315-=+-==DE CE DH CG 【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则22CD AB +＝（ ）A 、28B 、26C 、18D 、35分析：如图，连结OA 、OC ，过O 分别作AB 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N ，则AM ＝MB ，CN ＝ND 。
∵OM ⊥MN ，ME ⊥EN ，CN ＝ND∴222OE ON OM =+从而22222OE CN OC AM OA =-+-即222221)2(2)2(2=-+-CD AB ∴2822=+CD AB 故选A 。
∙例1图H E F G O DCBA ∙例2图MN E O DCBA∙例2图MN E O DCBA【例3】如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，AB ＝AC ，tanB ＝31。
九年级中考数学复习 垂径定理的复习 课件
变：求证PB=PD
【用】
考点三：垂径定理在生活中的应用
例3：一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的半径
AO=10，排水管中水面宽AB=12.
（1）求圆心O到水面的距离OC.
（2）此时排水管中水的最大深度是多少？
（3）若水量增大，请问排水管中水上涨多少米后，
O
水面宽会变为16?
A
C
B
一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的
半径AO=10，排水管中水面宽AB=12.
（1）求圆心O到水面的距离OC.
解 由题意得，OC⊥AB，
1
1
∴AC=BC= AB= ×12=6.
2
2
由勾股定理，得
OC= 2 − 2 =8 .
O
A
C
半径
B
思考2：根据题目信息，你能求出圆弧形隧道的半径吗？
C
中点
C为
OD=6-R
OA=R
O
A
D
（圆心O在AB上方）
找圆心，连圆心和弧中点
B
O在CD上
OC⊥AB
1
AD =2 =4
CD⊥AB
Rt△OAD中，R2=(6-R)2+42，
13
解得：R= .
3
车辆只走一侧
变式 如图，有一个双车道隧道，横截面呈圆弧形，隧道内路面宽为
如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.且AB＝8cm，OC=5cm,求DC的长
【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常
连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成
直角三角形进行求解．
垂径定理.ppt
AB 37.4, CD 7.2,
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或 经过圆心的每一条直线。
2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦弦所对的两条弧。 C
CD过圆心 CD⊥AB CD平分弦AB
CD平分弧ACB
O
CD平分弧ADB
A B
D
讨论
（3）
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧 （2） （1） （4） （5） （1） （ 3） （ 2） （ 5） （1） （3） （4） （2）
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? C • 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由. B 小明发现图中有:
A
●
M
●
O
由 CD是直径 ⌒ ⌒ AC=BC
AM=BM
可推得
CD⊥AB,
D
⌒ AD=BD.
⌒
定理的逆定理
注意
• 如图,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直 线来说。如果在下列五个条件中:
C
⑴d + h = r
O E A D B
⑵
a 2 r d ( ) 2
2 2
在a,d,r,h中，已知其中任意两 个量,可以求出其它两个量.
例1：如图,已知AB是⊙O的直径,AB与弦CD相交于 点M,∠AMC=300 ,AM=6cm，MB=2cm,求CD的长。
中考数学一轮复习几何部分导学案专题20：垂径定理(学生用)
中考数学一轮复习几何部分专题20：垂径定理必考知识点：1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。
2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。
必考例题：【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求： （1）CD 的长；（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。
【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则22CD AB +＝（ ）A 、28B 、26C 、18D 、35【例3】如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，AB ＝AC ，tanB ＝31。
求： （1）BC 的长；•例1图 H E FGO DC BA •例2图MN E O DCBA（2）AB 边上高的长。
探索与创新：【问题一】不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。
（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； （2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。
【问题二】如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 任作一直线与⊙O 1交于M ，与⊙O 2交于N ，问什么时候MN 最长？为什么？•①•②•③问题二图•例3图OD CBA跟踪训练：一、选择题：1、下列命题中正确的是（ ）A 、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B 、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；C 、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；D 、弦的垂线平分弦所对的弧。
垂径定理的课件讲义.doc
2、内容提要：圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。
垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。
）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径推论：平行的两弦之间所夹的两弧相等。
相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。
应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE）。
3、垂径定理常见的五种基本图形4、垂径定理的两种变形图基本题型一、求半径例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（（A）5 （B）7 （C）375（D）377图1练习1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求圆的半径.练习2、如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 为的中点，若32=BC ，O 到AB 的距离为1.求⊙O 的半径.练习3、如图，一个圆弧形桥拱，其跨度AB 为10米，拱高CD 为1米.求桥拱的半径.二、求弦长例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图2所示，则这个小孔的直径AB mm ．练习2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是 cm.图3BA8mm图2三、求弦心距例 3.如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.练习3.如图4，O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ．四、求拱高例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB，高度CD 为_____m ．五、求角度例5.如图6，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC=60º，则∠B = ．六、探究线段的最小值例6.如图7，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ．七、其他题型例7、如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.BAO图5B图6图7例8、在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.例9、如图所示，P 为弦AB 上一点，CP ⊥OP 交⊙O 于点C ，AB ＝8，AP:PB ＝1:3，求PC 的长。
初三数学笔记精华-垂径定理
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中考数学复习：射影定理所涉基本图形,弦切角概念,垂径定理.doc
中考数学复习：射影定理所涉基本图形，弦切角概念，垂径定理知识科普射影定理，由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出，所以又称“欧几里德定理”，指在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
射影定理是数学图形计算的重要定理。
什么又是比例中项呢？如果a、b、c三个量成连比例，即a:b=b:c，那么b就叫做a和c的比例中项。
比例中项是相对于内项相等的比例而言的。
数字的比例中项与几何的不一样,可以是正数，也可以是负数。
顺便说开去，平常所说的“黄金分割”原理，就是把一条线段分割成两部分，使其中较长线段的长是整条线段的长与另一较短线段的长的比例中项。
其比值约为0.618。
这个比例被公认为是最能引起美感的比例，在绘画、雕塑等领域里有广泛的应用。
射影定理所涉基本图形如下:射影定理的表达式及证明：如上图，Rt△ABF中，BD是斜边AF上的高。
(1)AD/AB=AB/AF,AB²=AD.AF,由Rt△ADB ∽Rt△ABF可证得；（2）DF/BF=BF/AF,BF²=DF.AF,由Rt△DFB ∽Rt△BFA可证得；（3）DF/DB=DB/AD,DB=AD.DF,Rt△DFB∽Rt△DBA可证得。
目前初中数学教材里不提射影定理这个名称（就正如不提韦达定理一样），但是其所涉及的基本图形在习题和中考中却经常遇到，而且本身也不是知识难度拔高，所以掌握基本图形和结论，理解和消化结论的证明方法，并学会应用，无疑是很有必要的。
弦切角，是指顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
或者说，弦切角就是切线与含切点的弦所夹的角。
弦切角的性质: 弦切角等于同圆中它所夹的弧所对的圆周角。
例一解答示范提示：学生解题时，需要证明射影定理所引出的结论。
例二提示：本题第（3）小题灵活运用垂径定理是关键。
学数学要得灵感，必须培养一种审题的眼力。
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20.垂径定理按住ctrl 键 点击查看更多中考数学资源知识考点：1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。
2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。
精典例题：【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求：（1）CD 的长；（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。
分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。
解：（1）过点O 作OF ⊥CD 于F ，连结DO ∵AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∴AB ＝8cm ∴⊙O 的半径为4 cm ∵∠CEA ＝300，∴OF ＝1 cm ∴1522=-=OFODDF cm由垂径定理得：CD ＝2DF ＝152cm（2）过C 作CG ⊥AB 于G ，过D 作DH ⊥AB 于H ，易求EF ＝3cm ∴DE ＝)315(+cm ，CE ＝)315(-cm∴253315315-=+-==DECE DHCG【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则22CD AB +＝（ ）A 、28B 、26C 、18D 、35分析：如图，连结OA 、OC ，过O 分别作AB 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N ，则AM ＝MB ，CN ＝ND 。
∵OM ⊥MN ，ME ⊥EN ，CN ＝ND∴222OE ONOM=+从而22222OE CNOCAM OA =-+-∙例1图HEFGODC BA ∙例2图MN EODCBA∙例2图MN EODCBA即222221)2(2)2(2=-+-CD AB∴2822=+CD AB故选A 。
【例3】如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，AB ＝AC ，tanB ＝31。
求：（1）BC 的长；（2）AB 边上高的长。
分析：（1）已知AB ＝AC ，可得⋂⋂=AC AB ，则A 为⋂BC 的中点。
已知弧的中点往往连结这点和圆心，从而可应用垂径定理；（2）求一边上的高（或垂线段）可考虑用面积法来求解。
解：（1）连结AO 交BC 于D ，连结BO由AB ＝AC 得⋂⋂=AC AB ，又O 为圆心 由垂径定理可得AO 垂直平分BC ∵tanB ＝31，设AD ＝x cm ，则BD ＝x 3cm∴OD ＝)5(x -cm在Rt △BOD 中，222)5()3(5x x -=+，解得11=x ，02=x （舍去） ∴BD ＝3 cm ，BC ＝6 cm 。
（2）设AB 边上的高为h ，由（1）得：AD ＝1 cm ，AB ＝10cm∵h AB AD BC S ABC ⋅=⋅=∆2121∴5103=⋅=ABAD BC h探索与创新：【问题一】不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。
（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； （2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。
∙例3图OD CBA∙①∙② ∙③分析：这是一道开放性试题，首先要根据直线l 与AB 的不同位置关系画出不同的图形（如下图），①直线l 与AB 平行；②直线l 与AB 相交；③直线l 与AB 或BA 的延长线相交。
其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论，结论也是开放的，这也是近几年中考命题的热点。
解（1）如下图所示。
l∙问题一图1OHFE D CBA l∙问题一图2OHFE DCBAl∙问题一图 3OH FE D C BA（2）EC ＝FD 或ED ＝FC（3）以①图为例来证明。
过O 作OH ⊥l 于H ∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，∴AE ∥OH ∥BF又∵OA ＝OB ，∴EH ＝HF ，再由垂径定理可得CH ＝DH ∴EH －CH ＝FH －DH ，即EC ＝FD【问题二】如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 任作一直线与⊙O 1交于M ，与⊙O 2交于N ，问什么时候MN 最长？为什么？解析：任作两条过A 的线段EF 、MN ，比较MN 与EF 的大小，不好比较，根据垂径定理，分别过O 1、O 2作弦心距，易知CD ＝21EF ，PQ ＝21MN ，比较PQ 与CD 的大小即可（PQ ＝O 1O 2）。
发现O 1O 2是直角梯形的斜腰，大于直角腰，如果MN 的一半正好是O 1O 2，则MN 最长。
答案：当MN ∥O 1O 2时，MN 最长。
跟踪训练：一、选择题：1、下列命题中正确的是（ ）A 、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B 、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；C 、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；D 、弦的垂线平分弦所对的弧。
2、如图，⊙O 中，直径CD ＝15cm ，弦AB ⊥CD 于点M ，OM ∶MD＝3∶2，则AB 的长是（ ） 3、已知⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12 cm ，CD ＝16 cm ，问题二图F∙选择第2题图MOD CB A则AB 和CD 的距离是（ ）A 、2cmB 、14cmC 、2cm 或14cmD 、2cm 或12cm4、若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为1，则圆的半径长为（ ） A 、1 B 、23 C 、2 D 、25二、填空题：1、在半径为5cm 的⊙O 中，有一点P 满足OP ＝3 cm ，则过P 的整数弦有 条。
2、如图，⊙O 中弦AB ⊥CD 于E ，AE ＝2，EB ＝6，ED ＝3，则⊙O 的半径为 。
3、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝1200，BC ＝10 cm ，则△ABC 的外接圆半径为 。
4、圆内一弦与直径相交成300的角，且分直径为1 cm 和5 cm 两段，则此弦长为 。
5、如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD ⊥AC 于D ，BD 交OC 于E ，若AC ＝4，AB ＝5，则BE ＝ 。
∙第2题图EOD CBA∙第5题图EODCBA∙2O 1O ∙第6题图PDCBA6、如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，C 、A 、D 三点在一条直线上，CD 的延长线交O 1 O 2的延长线于P ，∠P ＝300，3221=O O ，则CD ＝ 。
三、计算或证明题：1、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 、AD 的长。
∙第1题图ED CBA∙第2题图G FOEDCB A∙第3题图OEDCBA2、如图，⊙O 的半径为10cm ，G 是直径AB 上一点，弦CD 经过点G ，CD ＝16cm ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，求AE －BF 的值。
3、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，且AC ＝6，AB ＝8，求CE 的长。
4、如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥BC 于E ，CF ⊥AB 于F ，交AD 于G ，BE ＝3，CE ＝2，且tan ∠OBC ＝1，求四边ABDC 的面积。
∙第4题图GF O E D CBA跟踪训练参考答案一、选择题：BCCD 二、填空题： 1、4条；2、265；3、3310cm ；4、24cm ；5、3132；6、6三、计算或证明题： 1、AB ＝5，AD ＝518；2、解：连结OC ，过点O 作OM ⊥CD 于M ，则CM ＝MD ∵CD ＝16，AB ＝8，在Rt △OMC 中，因OC ＝10 ∴OM ＝68102222=-=-CMOC∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，OM ⊥CD ，∴AE ∥OM ∥BF ∴OG AGOM AE=，OG BGOM BF=∴22==-=-OGOGOG BG AG OM BF AE ∴AE －BF ＝2OM ＝123、提示：连结OE ，由⋂⋂=EC BE 得OE 垂直平分BC 于F ，AB 为直径，则∠ACB ＝900，BC ＝7222=-ACAB。
∴CF ＝7，EC ＝221)7(22=+4、解：过点O 作OM ⊥BC 于M ，ON ⊥AD 于N ，连结AO ∵BE ＝3，CE ＝2，∴BC ＝5，BM ＝25又∵tan ∠OBC ＝1，∴∠OBM ＝450 在Rt △OBM 中，OB ＝225，∴ON ＝ME ＝21在Rt △AON 中，AN ＝2722=-ANOA∵ON ⊥AD ，∴AN ＝ND ，∴AD ＝7 ∴235212121=⋅=⋅+⋅=AD BC DE BC AE BC S ABDC。