中考数学专题复习——几何综合(最新讲义)

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2023年人教版中考数学之几何的综合应用复习讲义

中考数学之几何的综合应用一．引入花朵为什么是圆的？因为在周长一定的情况下，圆的面积最大，对于花儿来说，圆形的面积能吸引更多的蜜蜂和蝴蝶来为它传粉，也能吸收更多的阳光雨露，以利于生长.二．复习1.如图，平行四边形OABC在平面直角坐标系中，点C的坐标为（1，3），OD平分∠COA 交BC于点D，则顶点为原点，且经过点D的抛物线解析式为 .三.讲练结合知识点1 几何方法之截长补短例1.如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．练习1.在上题中，若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断.知识点2 几何方法之等面积法例2.张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P 为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF.练习1.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C ′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值.知识点3 几何与函数结合的综合应用例3.如图，抛物线y=21()23-x -1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ，求证：∠AEO=∠ADC.练习1.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数22321y 2++-=x x 的图象与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，过动点H （0，m ）作平行于x 轴的直线l ，直线l 与二次函数22321y 2++-=x x 的图象相交于点D ，E ．（1）写出点A 、点B 的坐标；（2）若m ＞0，以DE 为直径作⊙Q ，当⊙Q 与x 轴相切时，求m 的值；（3）直线l 上是否存在一点F ，使得△ACF 是等腰直角三角形？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．四.巩固训练【A 组基础训练】1.（1）如图1，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF=45°，延长CD 到点G ，使DG=BE ，连结EF ，AG ．求证：EF=FG ．（2）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN 的长．2.已知抛物线经过A （﹣2，0），B （0，2），C （23，0）三点，一动点P 从原点出发以1个单位每秒的速度沿x 轴正方向运动，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线交y 轴于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=21AP 时，求t 的值；（3）随着点P 的运动，抛物线上是否存在一点M ，使△MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M 为DE 的中点，过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N ．（1）当A ，B ，C 三点在同一直线上时（如图1），求证：M 为AN 的中点；（2）将图1中的△BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE 绕点B 旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．【B组拓展提高】4.如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（1，0），点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；（3）如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.五.总结提升。

中考数学复习30：几何综合问题专题(共21张PPT)

附赠中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
【解题思路】探究一：（1）如图甲，过点A作AG⊥BC，垂足为 G. 当点P运动到∠CFB的角平分线上时，要求AP，在Rt△AGP中，只需先求出 AG与 GP. （2）如图乙，以 A点为圆心，CF长为半径作圆弧，与BC有两个交点，知∠PAB可分两种情况. 探究二：连接AD. 易证△ADM≌△CDN，可证明CN＝AM，所以AM＋AN的和为定值，我们只需求MN的最小值即可．
高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：
Байду номын сангаас
例3：（2013浙江湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2 3 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_____________．
几何在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中图形与几何的解答题占有 20%到30%的比重。主要是利用直线型和圆中的一些基本性质，借助于图形变换（平移变换、旋转变换、轴对称变换、相似变换）进行线段和角的相等的证明、距离的测量与计算、面积的确定、线路的确定、方案的设计等等，主要考查学生的观察能力、空间想象能力、动手操作能力以及所学几何基础知识的灵活运用能力．知识的应用在现实的生产实践和生活中极其普遍，几何知识的考查也从单纯的几何证明、计算向几何应用方面转变，且题型多种多样．解题一般先从实际的问题中抽象出几何图形的模型，将实际问题转化为数学问题，然后把已知量和所求的量转化在几何图形中，再根据几何图形的性质，用代数的方法进行求解，最后检验做答．

中考数学(北师大版)专题4几何综合性问题复习课件

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第二篇攻专题 | 能力提升
中考复习与训练数学·配北师
解答：(1)证明：由题意，易得点E、A、C与点G、A、B分别在同一
直线上．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝45°．
∵AM⊥BC，
∴∠MAC＝45°，∴∠EAN＝∠MAC＝45°．
同理可得∠NAG＝45°，∴∠EAN＝∠NAG．
(2)若 tan∠ABC＝2 2，证明：PA 是
⊙O 的切线；
(3)在(2)的条件下，连接 PB 交⊙O 于点
E，连接 DE，若 BC＝2，求 DE 的长．
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第二篇攻专题 | 能力提升
中考复习与训练数学·配北师
分析：(1)先证明PF垂直平分线段AC，再利用垂径定理证得结论； (2)设BC＝a，通过计算得到AD2＝PD·OD，推出△ADP∽△ODA，从而通过等量代换证得结论； (3)过点E作EJ⊥PF于点J，过点B作BK⊥PF于点K，连接AE．综合运用勾股定理及类似三角形的性质推算出EJ、DJ的长，再由勾股定理求出DE 的长．
∵四边形ABDE和四边形ACFG都为正方形，
∴AE＝AB＝AC＝AG，∴△EAG为等腰直角三角形，
∴EN＝GN．
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第二篇攻专题 | 能力提升
中考复习与训练数学·配北师
(2)如图2，∠BAC＝90°时，(1)中结论成立．证明如下：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于点P，过点G作GQ⊥AN于点Q．
第 3北师
∵DC＝DA，AO＝OB， ∴DO 是△ABC 的中位线，∴OD＝21BC＝21a， ∴AD2＝PD·OD，∴OADD＝APDD． ∵∠ADP＝∠ADO＝90°， ∴△ADP∽△ODA，∴∠PAD＝∠AOD． ∵∠AOD＋∠DAO＝90°， ∴∠PAD＋∠DAO＝90°，即∠PAO＝90°， ∴OA⊥PA，∴PA 是⊙O 的切线．

全国通用版中考数学几何综合(二)(讲义及答案)

几何综合（二）（讲义）知识点睛几何问题无图或图形不完整时，往往需要作图．作图常考虑以下几点：1.从确定的点、线、角出发，依据特征作图．2.实际操作过程中，有时也会先画出大致图形，边分析特征，边精确图形．3.当研究的问题有多种情况，需要分类讨论时，往往先画出一种符合题意的图形，分析研究后，再考虑其他情形的画图．注：动态变化过程中的几何图形往往要根据变化过程中的不变特征或线段间数量关系来进行分析验证．常见作图特征：（1）与作圆相关①一定点一动点，两点间距离确定，则动点在圆上；②两定点一动点，满足以动点为顶点的角为90°，则动点在圆上；③直角三角形中，直角顶点固定，斜边运动但长度不变，则斜边中点在圆上．（2）与折叠相关①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上；②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线．（3）与旋转相关①注意旋转中心、旋转方向、旋转角度；②常将整个图形旋转转化为点、线段的旋转进行操作（有时只需保留研究目标即可）．（4）与距离（高）相关动点到确定直线的距离为固定值，则该动点在确定直线的平行线上．10 PP精讲精练1.在矩形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，AC +BD =40，AB =12，点 E 是 BC 边上一点，直线 OE 交 CD 边所在的直线于点 F ，若 OE = 2 ，则 DF =．2.如图，在矩形 ABCD 中，AD =4，点 P 是直线 AD 上一动点，若满足△PBC 是等腰三角形的点 P 有且只有 3 个，则 AB 的长为．ADBC3.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4．P 是直线 AB右侧任意一点，且满足∠PAB =∠PBC ．当点 P 落在线段 AC 上时，线段 AP 的长度为．ABC 4.如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点 F 在边 AC 上，且 AF =2，点 E 为边 BC 上的动点，将△CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则当点 P 落在线段 AB 上时，线段 PB 的长度为．AFCEB5.如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tan C =2，如果将△ABC沿直线 l 翻折后，点 B 落在边 AC 的中点 E 处，直线 l 与边 BC 交于点 D ，那么 BD 的长为（）A ．13B ． 152AC ． 27 2AD ．12B C B C6.如图 1，在四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠C ，点 P 在边 AB 上．（1）判断四边形 ABCD 的形状并加以证明．（2）若 AB =AD ，以过点 P 的直线为对称轴，将四边形 ABCD 折叠，使点 B ，C 分别落在点 B′，C′处，且线段 B′C′经过点 D ，折痕与四边形的另一交点为 Q ．①在图 2 中作出四边形 PB′C′Q （保留作图痕迹，不必说明作法和理由）．②如果∠C =60°，那么 AP为何值时，B′P ⊥AB ．PB45°30°C7.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点 O 是正方形 OABC 的一个顶点，已知点 B 的坐标为(1，7)，过点 P (a ，0)（a ＞0）作 PE ⊥x 轴，与边 OA 交于点 E （异于点 O ，A ），将四边形 ABCE 沿 CE 翻折，点 A′，B′分别是点 A ，B 的对应点．若点 A′恰好落在直线 PE 上，则 a 的值为．8.把两个直角三角形纸板按如图所示的方式放置，其中∠ABC =∠DEB =90°，∠A =45°，∠D =30°，斜边 AC =BD =10，若将三角形 DE B 绕点 B 逆时针旋转 45°得到△D ′E ′B ，则点 A 到 D ′E ′的距离为；整个旋转过程中，线段 DE 扫过的面积为． AAEDB BC 9.如图，⊙P 的半径为 5，AB 是圆上任意两点，且 AB =6，以 AB 为边作正方形 ABC D （点 D ，P 在直线 AB 的两侧），若 AB 边绕点 P 旋转一周，则 CD 扫过的面积为．CD PCQ2 2 10. 如图，已知 Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠C =∠F =90°，AC =DF =3，BC =EF =4．△DEF 绕着斜边 AB 的中点 D 旋转，DE ，DF 分别交 AC ，BC 所在的直线于点 P ，Q ．当 QD =QB 时，AP 的长为．AEF11. 如图，矩形 ABCD 中，AB =4，BC =2，E 是 AB 的中点，直线l 平行于直线 EC ，且直线 l 与直线 EC 之间的距离为 2，点 F 在矩形 ABCD 边上，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 A 恰好落在直线 l 上，则 DF 的长为．DCDAB第 11 题图第 12 题图12. 如图，四边形 ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD = 3 ， CD = 2 ，点 P 是四边形 ABCD 四条边上的一个动点，若 P到 BD 的距离为 5，则满足条件的点 P 有个．213. 如图，在矩形 ABCD 中，AD =5，AB =7，点 E 为 DC 上一个动点，把△ADE 沿 AE 折叠，当点 D 的对应点 D′落在∠ABC 的平分线上时，DE 的长为．DEC D CD'ABAB【参考答案】1. 18 或 302. 4 或23.18 13 134. 44 - 4 55. A6. （1）四边形 ABCD 是平行四边形．证明略．（2）①图略；②当 AP=PB 3 -1 时， B'P ⊥AB ． 27. 28. 0； 75π89. 9π10.25 6 11. 2 2 或 4 - 2 12. 2 13. 5 或5 3 23 21 2。

中考数学专题复习——几何综合(最新讲义)

中考数学——几何综合（讲义）➢ 知识点睛1. 几何综合问题的处理思路①标注条件，合理转化 ②组合特征，分析结构 ③由因导果，执果索因 2. 常见的思考角度304560 1 ↔⎧⎪↔⎪⎪↔⎨⎪↔⎪⎪︒︒︒↔⎩，，同位角、内错角、同旁内角平行内角、外角、对顶角、余角、补角转化计算角圆心角、圆周角在圆中，由弧找角，由角看弧直角互余、勾股定理、高、距离、直径特殊角等在直角三角形中，找边角关系（） 2 ↔⎧⎪⎧⎪↔⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪↔⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪↔⎩、角平分线、垂直平分线轴对称性质勾股定理放在直角三角形中边角关系遇弦，作垂线边、线段连半径转移边放在圆中遇直径找直角遇切线连半径结合全等相似线段间比（例关系） 3 n ⎧⎧⎪⎪⎪⎪→⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪→⎨⎪⎩⎩倍长中线中位线中点三线合一特殊点斜边中线等于斜边的一半相似等分点面积转化（） 4 ⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪→⎨⎪⎩⎩公式法相似规则图形转化法同底面积共高分割求和不规则图形割补法）补形作差（3. 常见结构、常用模型⎧→⎧⎪⎪→⎪⎪⎨⎪→⎪⎪⎪→⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩中点结构中点的思考角度直角结构斜转直常见结构旋转结构全等变换折叠结构轴对称的思考层次角平分线模型弦图模型常用模型相似基本模型三等角模型半角模型 ➢ 课前预习1. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．若∠AEF =55°，则∠EAF=________．F EDCBA提示：倍长中线，构造全等三角形转移条件．具体操作：D 为中点，延长AD 到G 使DG =AD ，连接BG ．得到△ADC ≌△GDB ．2. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC =90°，∠C =70°，点E 是BC的中点，CD =CE ，则∠EAD 的度数为（） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°提示：平行夹中点，构造全等三角形补全图形．AD CE B具体操作：AB ∥CD ，E 为BC 的中点，延长AE 交直线CD 于点F ．得到△ABE ≌△FCE ．3. 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点，若∠ACB =66°，∠CAD =20°，则∠EFG =____．AB CD FEG提示：多个中点考虑中位线，利用中位线性质转移角、转移边．具体操作：GF ，GE 分别为△CDA ，△ABC 的中位线．4. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD =DC =3，sin C =45，则△ABC 的周长为______．提示：等腰三角形底边上的的中点——通过等腰三角形三线合一，构造直角三角形．具体操作：连接AD ，得到Rt △ADC ．5. 如图，在锐角三角形ABC 中，∠BAC =60°，BN ，CM 为高，P 是BC 的中点，连接MN ，MP ，NP ．则以下结论：①NP =MP ；②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ；③BN =2AN ；④当∠ABC =45°时，BNPC ．其中正确的有（）具体操作：在Rt △BMC 中，MP 为斜边中线；在Rt △BNC 中，NP 为斜边中线．6. 如图，正方形ABCD 边长为9，点E 是线段CD 上一点，且CE 长为3，连接BE ，作线段BE 的垂直平分线分别交线段AD ，BC 于点F ，H ，垂足为G ，则AF 的长为______．H G F EDCBA方法1：提示：从边的角度考虑直角，往往先表达，然后用勾股定理建等式．具体操作：连接BF ，EF ，则BF =EF ，设AF 为x ，分别在Rt △BAF 和Rt △EDF 中表达BF 2，EF 2，再利用BF 2=EF 2求解．方法2：提示：从角度转移考虑直角，往往先找角相等，然后证相似或全等．具体操作：过点F 作FM ⊥BC 于点M ，则可证△FMH ≌△BCE ，则MH =CE =3，连接EH ，利用勾股定理求解EH （BH ），则AF =BH -MH ． 7. 如图，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC 于D ．则AD 的长为_______________．DCBA提示：①特殊角+直角；②直角两边可看做是面积中的底或高．具体操作：①过点C 作CE ⊥AB ，交BA 延长线于点E ，在Rt △CAE 中利用特殊角60°求解；②将AD 看成高，求出BC 后，利用CE AB AD BC ⋅=⋅求解．8. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，则BD =________．ABECD提示：直角+角平分线，逆用三线合一构造出等腰三角形．具体操作：BE 既是角平分线、又是高．延长BA ，CE 交于点F ，可证△CAF ≌△BAD ．9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，BD =2，AD =8，则CD =_________．DC提示：多个直角（直角三角形斜边上的高），考虑母子型相似．具体操作：由∠ACB =∠ADC =90°，考虑△BDC ∽△CDA ∽ △BCA ．10. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若∠AED =90°，则CE =_____．ABCDE提示：多个直角（一线三等角），考虑三等角模型．具体操作：∠ABE =∠ECD =∠AED =90°，考虑△ABE ∽△ECD ．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC =5，OC=BC 的长为________．CB OAED提示：多个直角（斜放置的正方形、等腰直角三角形），考虑弦图．具体操作：过点D 作DF ⊥CB ，交CB 延长线于点F ，连接OF ．由弦图可知，△OCF 是等腰直角三角形．12. 如图，将三角板放在矩形ABCD 上，使三角板的一边恰好经过点B ，三角板的直角顶点E 落在矩形对角线AC 上，另一边交CD 于点F ．若AB =3，BC =4，则EF EG=________． FEDCG (B )A提示：斜直角要放平（关键是与其他直角配合），利用互余转移角后，寻找三角形相似或全等．具体操作：过点E 分别作EM ⊥CD 于M ，EN ⊥BC 于N ，则△EMF ∽△ENG ．13. 已知直线l 1：y =112x b -+与直线l 2垂直，且直线l 2经过定点A (3，0)，则直线l 2表达式为________________．提示：坐标系下的垂直，优先考虑121k k ⋅=-．具体操作：由121k k ⋅=-求得k 2，再利用A (3，0)求b 2．14. 如图，在⊙O 中，弦AB，弦ADACB =45°，则弦AD 所对的圆心角为_______．CA提示：圆背景下，要构造直角，考虑：①直径所对的圆周角是直角；②垂径定理．具体操作：连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接DE ，BE ．在Rt △ABE 中，求解直径AE ；在Rt △ADE 中，利用边角关系，求解∠AED 进而得到∠AOD ． 15. 如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边上的点B ′处．若AE =2，DE =6，∠EFB =60°，则矩形ABCD 的面积是__________．B'A'F EDCBA提示：折叠，考虑：①利用对应边、对应角相等，考虑转移边、转移角；②矩形中的折叠常出现等腰三角形．具体操作：由折叠∠EFB =∠EFB′=60°，AE =A′E =2，∠B =∠A′B′F =90°，结合内错角∠B′EF =∠BFE =60°，可在Rt △A′B′E 中求解A′B′，即AB 的长．16. 如图，将长为4cm ，宽为2cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，则线段AM 的长为__________．BCFAEMD提示：折叠，考虑折痕是对应点连线的垂直平分线．具体操作：连接BE ，BM ，ME ，则BM =ME ，在Rt △BAM 和Rt △MDE 中表达BM 2，ME 2，利用相等建等式求解．17. 如图，已知直线l ：y =122x -+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则点C 的坐标为_________．提示：折叠，可考虑折痕垂直平分对应点连线．函数背景下的折叠可以考虑121k k ⋅=-和中点坐标公式的组合应用．具体操作：连接OC ，先利用原点坐标和121k k ⋅=-求得OC 解析式；联立OC 和AB 解析式求出OC 的中点坐标后，进而求出点C 坐标．18. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，ACACB =90°，∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为__________．（结果保留π）19.的位置，使得CC′∥AB ，则∠BAB′的度数为（） A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°C'B'ABC提示：旋转是全等变换，对应边相等，对应角相等；会出现等腰三角形．具体操作：由旋转可知AC =AC′（对应边相等），∠BAB′=∠CAC′（旋转角相等）．20. 如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接P A ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连接PQ ，CQ ．若P A :PB :PC =3:4:5，则∠PQC =________．QBCPA提示：利用旋转可以重新组合条件．当看到等腰结构时往往会考虑利用旋转思想构造全等．具体操作：由等腰结构AB =BC ，PB =BQ ，先考虑△APB 和△BQC 的旋转关系，证明△APB ≌△CQB 后验证，重新组合条件后利用勾股定理进行证明．➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE =12∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC =2，则EF 的长为________． FEDBA2. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，点E 是AD 上一点，且AE =4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，交AB 于点H ，连接EF 交CD 于点G ．若G 是CD 的中点，则BC 的长是_______．HGOB A DEC F3. 如图，在□ABCD 中，AB :BC =3:2，∠DAB =60°，点E 在AB 边上，且AE :EB =1:2，F 是BC 的中点，过点D 分别作DP ⊥AF 于点P ，DQ ⊥CE 于点Q ，则DP :DQ 等于（） A ．3:4BCD．QDCFBPEACBGFEDA第3题图第4题图4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD 为AC 边上的中线，过点C 作CE ⊥BD于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG =BD ，连接BG ，DF ．若AG =13，CF =6，则四边形BDFG 的周长为________．5. 如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB =CD，AD =CD 中点，连接AE，且AE =BF =________．BCEADF6. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =3，BC =5，将腰DC 绕点D 逆时针方向旋转90°并缩小，恰好使DE =23CD ，连接AE ，则△ADE 的面积是________．7. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x 上一点P (1，1)，C 为y 轴上一点，连接PC ．线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ．若直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的坐标为__________．8. 如图，把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ．若DE :AC =3:5，则ADAB的值为_________． ED C B AEDCBA9. 如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ；如图2，展开再折叠一次，使点C 落在线段EF 上，折痕为BM ，BM 交EF 于O ，且△NMO的周长为3，展开再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为P ，EP 交AB 于Q ，则△AQE 的周长为_______．图1BAD FC EMN图2OBAD F CE PHG 图3Q BA D F CE10.如图，在边长为的正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线上一点，BE =DG ，连接EG ，CF ⊥EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE ，BH ．若BH =8，则FG =_______．GHBA D F CE11.顺时针旋转得到△A B′C′，连接CC ′并延长，交AB 于点O ，交BB ′于点F ．若CC ′=CA ，则BF =_____．C'O B AFC B'12. 如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ，连接BP ．若AE =AP =1，PB =APD ≌△AEB ；②BE ⊥DE ；③点B 到直线AE；④1△△APD APB S S +=⑤4ABCD S =正方形） A ．③④⑤B ．①②⑤C ．①③⑤D ．①②④⑤PDA B CE【参考答案】 ➢ 课前预习1. 55°2. A3. 23°4. 165. B6. 27.7 8. 10 cm 9. 410. 1或6 11. 712. 4313. 26y x =-14.120°15.16.138cm17.816 () 55，18.(4π19.C20.90°➢精讲精练1.12.73.D4.205.4-6.27.99 () 44，8.1 29.1210.11.5 212.B。

2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——动点问题课件

6−5
∴
=

4

Rt△ADH中，AD=5，tanA= = 3
6−5
∴y与x的函数关系式为
=
∴DH=4，AH=3.在Rt△EDH中，DH=4，

25
EH=x-3，
( 6 ≤≤35)
∴DE²=DH²＋EH²=4²＋(x-3)²=x²-6x＋
4
例题在△ABC中,AC=25,AB =35,tanA=3,D为AC边上的一点，且AD=5 ,E,F都为AB边上的动
所以结合已知条件与所给图形进行认真分析是非常重要的，
当然这样的分析是建立在熟练运用常见图形的几何性质之上
的.
（2）类似于例题这样的几何计算型的压轴题，同学们
要切实体会解直角三角形与相似三角形在计算中所发挥的
重要作用.
（3）对于类似于例题这样的动态几何，应时刻谨记
“动静结合”、“数形结合”的处理原则，以及“分类
∴∠EDF＋∠ADF=90°，即
∠ADE=90°.在Rt△ADE中，AD=5，

4
tanA= = 3
4
20
5
25
∴DE=3AD= 3 ，AE=3AD= 3
∴△EDF∽△EAD，

∴ =
∴DE²=AE·EF=x·（x一y）=x²-xy.∴x²-6x＋25=x²xy
（2）如下图，作DH⊥AE于点H，在
目录
01
研究背景
03
典型例题探究
动态几何研究重要性
总结分析动态问题处理技巧
05
02
知识脉络梳理
初中阶段几何知识梳理
04 小试能手
技巧，
挑战自我
展

2023年九年级中考数学复习++几何图形动点与函数图像综合讲义

几何图形动点与函数图像综合考向一判断函数图像（1）面积问题：①函数类型：与面积相关的量如果有一个变化的量为一次函数，如果有两个变化的量为二次函数；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等（2）线段长度问题：①根据相似性质对应边成比例或面积公式等确定函数关系式；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等1.如图，在Rt △ABC中，△C=900，AC=1cm，BC=2cm，点P从A出发，以1cm/s的速沿折线AC→ CB→ BA运动，最终回到A点。

设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能反映y与x之间函数关系的图像大致是（）2.如图，点E、F、G、H是正方形ABCD四条边（不含端点）上的点，DE=AF=BG=CH。

设线段DE的长为x cm，四边形EFGH的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）3.如图，菱形ABCD的边长为5cm，sinA＝，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止．设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（）A B C D4.如图，在菱形ABCD中，△B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x 秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A B C D5.如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，△EDF＝90°，△F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E 重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）6.如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△A＝45°，△C＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm．动点M，N同时从点A出发，点M以cm/s的速度沿AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点N的运动时间为ts，△AMN的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．7.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段DA的延长线上，且AF＝AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG．设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）9.如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1 cm/s，设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是（）10.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为（）11.如图，AD、BC是△O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设△APB＝y(单位：度)，那么y与P运动的时间x(单位：秒)的关系图是（）12.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成。

【精品讲义】中考数学二轮复习专题复习第2讲几何综合

几何综合1.掌握平行线相交线，角的基本概念，掌握直线，相交线，平行线的性质判定2.掌握三角形的相关概念，及特殊三角形的性质判定，全等三角形的性质判定。

相似三角形的性质判定3.掌握正弦余弦正切余切的概念，会运用特殊角的三角函数解直角三角形4.掌握四边形的分类，及特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质及判定，中位线的性质运用5.掌握圆的相关概念，会运用与圆相关的性质定理及推理，垂径定理及推论，切线定理。

了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；能按要求作出简单平面图形旋转后的图形课前热身1.如图，下列条件中：（1）∠B+∠BCD=180o;；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．能判定AB∥CD的条件个数有（）2.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（）3.如图，是⊙的直径，是⊙的弦，、的延长线交于点，已知，若为直角三角形，则的度数为（）4.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）导学一：线段、角、相交线、平行线知识点：平行线的四个判定与平行线的性质1.如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）2.如图直线l∥m，将含有45°的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）导学二：三角形知识点:1.全等三角形的判定2.角的平分线定理3.基本作图，作一个角等于已知角、平分已知角、经过一点作已知直线的垂线、作线段的垂直平分线4.等腰三角形的性质定理、判定1.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE=CD，AD，BE相交于点F，BQ⊥AD 于Q，FQ=3，FE=1．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求AD的长．导学三：相似三角形1.如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB 的中点．其中正确的结论有（）2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG ⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）导学四：解直角三角形1.如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上.(1)求证：⊿ABF∽⊿DFE;(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值.2.如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）导学五：四边形1.如图，在等边三角形中，,射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为（1）连接，当经过边的中点时，求证：△ADE≌△CDF（2）填空：①当为_____s时，四边形是菱形；②当为_____s时，以为顶点的四边形是直角梯形。

2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——添加辅助线

1
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G， = ，MN= 3，求⊙O的半径；

4
（3）在（2）的条件下，当∠BAC=36°时，求线段CE的长
【详解】
(3) 作∠ABC的平分线BF交AC于F,连接AD
∵∠BNC=36°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=72°
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠CBP=36°
∴∠BFC=72°即∠BAF=∠ABF、
∠BFC=∠ACB
∴BC=BF=AF
∵∠CBF=∠BAC,∠C=∠C
∴△CBF∽△CAB
∴BC²=CF·AC
设BC=x则AF=x
∴CF=2-x
∴x²=2（2-x）解得：x=± 5 − 1
∴BC= 5 − 1
∴AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵AB=AC
1
∴CD=BD= BC
【分析】①由旋转性质证明△ABD∽△ACE即可判断；
②由①的结论可得，∠ABD=∠ACE，进而得到∠BOC=∠CAB=45°，即可判断∠COD；
③证明△ABD为等腰三角形即可判断；
④由题意直线BD、CE相交于点O，当AD⊥AC时，△AOC的面积最大，通过勾股定理计
算求出最大值，进而进行判断
试炼场：
从而得出∠ODE=90°，即可得证DE是CO的切线；
3
1
（2）连接OM，先求出MG= ，得出OG= OM，最后用勾股定理求解，即可得
2
2
出结论；
（3）作∠ABC的平分线交AC于F，判断出△BCF∽△ACB，得出比例式求成
BC= 5 − 1，连接AD，再求出CD=
例式求解，即可得出结论
5−1
，再判断出△DEC∽△ADC，得出比

初三数学体系讲义第14讲几何综合

A O l图1第十二讲（A ）几何综合一、主要知识点回顾【图形的旋转】1．旋转三要素：图形的旋转由、和所决定。

2．旋转的性质（1）旋转前后的两个图形；（2）对应点到旋转中心的距离；（3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此，这样的角叫。

3．把一个图形绕旋转，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；点O 叫做；这两个图形的叫做关于中心对称的对称点。

4．性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线都经过，而且被对称中心；（2）关于中心对称的两个图形是图形。

5．如果把一个图形绕某点旋转180°，旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做图形。

【圆】 1．（1）弦；弧；等弧；圆心角，圆周角。

（2）垂径定理：若AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，则CE=DE ， = ， = 。

2．（1）点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内。

（2）直线与圆的位置关系：设圆心到直线距离为d ，当d ＞r 时，直线与圆；当d=r 时，直线与圆：当 d ＜r 时，直线与圆。

（3）直线是圆的切线必须具备两个条件：直线经过圆上一点，直线与经过这点的半径垂直。

若点A 在⊙O 上，且，则直线l 与⊙O 相切。

（4）切线的性质。

若直线l 与⊙O 相切于点A ，则。

（5）切线长定理：若PA 、PB 与⊙O 相切于点A 、B ，则PA= ，∠APO=∠ 。

（6）圆与圆的位置关系：设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为R 和r ，O 1O 2=d ，则：⊙O 1与⊙O 2外离⇔ ； ⊙O 1与⊙O 2外切⇔ ； ⊙O 1与⊙O 2相交⇔ ； ⊙O 1与⊙O 2内切⇔ ； ⊙O 1与⊙O 2内切⇔ 。

3．弧长的计算公式；扇形的面积公式；圆锥侧面积公式。

二、感悟与实践例题1：如图2，在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到11OA B ∆。

中考数学冲刺：几何综合问题--知识讲解[宝典]word精品文档8页

中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：⑴当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？⑵求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论；⑶当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？【思路点拨】⑴中应由△QAP 为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP ，由AQ=6－t ，AP=2t ，可求出t 的值； ⑵中四边形QAPC 是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC 与D AB C QP△PBC的面积求出；⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论.【答案与解析】【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律．四边形QAPC的面积也可由△QAC与△CAP的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.2．（2019秋•永春县校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长度向终点C运动；动点N同时从点C出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒（1）直接写出梯形ABCD的中位线长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，使得MC=MN．【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；（3）利用MC=MN时，结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．【答案与解析】解：（1）∵AD=3，BC=10，∴梯形ABCD的中位线长为：（3+10）÷2=6.5；（2）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG，∴BG=AD=3．∴GC=10﹣3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．∵DG∥MN，∴△MNC∽△GDC．即=．解得，t=；（3）当MC=MN时，如图2，过M作MF⊥CN于F点，FC=NC=t．∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC，即=，解得：t=．综上所述，t=时，MC=MN．【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.3.（2019秋•扶余县期末）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD 之间存在的数量关系．【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得三角形全等，从而得出结论；（2）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CE﹣CD；（3）先根据条件画出图形，根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CD﹣CE．【答案与解析】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．∵BC=BD+CD，AC=BC，∴AC=CE+CD；（2）AC=CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CE﹣CD．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE∴CE﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，∴AC=CE﹣CD；（3）补全图形（如图）AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CD﹣CE．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE．∵BC=CD﹣BD，∴BC=CD﹣CE，∴AC=CD﹣CE．【总结升华】本题主要是在动态的情形下考查全等三角形的性质与判定，解答时证明三角形全等是关键．举一反三：【变式】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0 ＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °；（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．【答案】（1）∠BPD= 30°；（2）如图3，连结CD．∵点D在∠PBC的平分线上，∴∠1=∠2．∵△ABC是等边三角形，∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°．∵ BP=BA，∴ BP=BC．∵ BD= BD，∴△PBD≌△CBD．∴∠BPD=∠3．∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD，∴△BCD≌△ACD．∴∠BPD =30°．（3）∠BPD= 30°或 150°.类型二、几何计算型问题【高清课堂：几何综合问题例1 】4.如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别为D、E.(1) DE的长为；【答案与解析】【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题．举一反三【变式】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB ′E ，那么△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积是 .【答案】在Rt △ABE 中，∵∠B=45°，AB=2，∴AE=BE=2 ，∴S △ABE =1．由翻折的性质可知：△AB ′E ≌△ABE ，∴EB ′=EB=2∴B ′C=BB ′－BC=22－2，∵四边形ABCD 是菱形，∴CF ∥BA ．∴∠ B ′FC=∠B ′AB=90°, ∠B ′CF=∠B=45°∴CF='2B C ∴S B FC △' =221CF =3－22 ∴S 阴=S B E ′△A －S B FC′△=22－2．5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm ，CD=4 cm ，等腰直角△PMN 的斜边MN=10 cm ， A 点与N 点重合， MN 和AB 在一条直线上，设等腰梯形ABCD 不动，等腰直角△PMN 沿AB 所在直线以1 cm ／s 的速度向右移动，直到点N 与点B 重合为止.(1)等腰直角△PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状由________形变化为________形；(2)设当等腰直角△PMN 移动x (s)时，等腰直角△PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为y(cm 2)，求y与x 之间的函数关系式；(3)当x=4 (s)时，求等腰直角△PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积.【思路点拨】（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN ，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可；（2）可分为以下两种情况：①当0＜x ≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN ，AN=x （cm ），过点E 作EH ⊥AB 于点H ，则EH 平分AN ，求出EH ，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x ≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED ，求出AN=x （cm ），CE=BN=10-x ，DE=x-6，过点D 作DF ⊥AB 于F ，过点C 作CG ⊥AB 于G ，求出DF ，代入梯形面积公式求出即可.【答案与解析】(1)等腰直角三角形；等腰梯形.(2)等腰直角△PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重合部分图形的形状可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm)，过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，∴EH=AN=x，∴y=S△ANE=AN·EH=x·x=.②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②)．此时，AN=x(cm)，∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC，∵CE∥BN，∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，∴y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)×3=3x-9.综上，.(3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)，∴当x=4 (s)时，y=x2=×42=4.∴当x=4 (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状.【答案】(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P.则AM=x，AN=20-x.∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，∴∠PAN=∠D=30°.在Rt△APN中，PN=AN×sin∠PAN=(20-x)，即N到AB距离为(20-x).∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x取值范围是0≤x≤15.(2)∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN且S梯形为定值，∴当S五边形BCDMN最小时，应使S△AMN最大据(1)，S△AMN=AM·NP=.∵＜0，∴当x=10时，S△AMN有最大值.∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值．当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形.。

第33讲压轴专题4几何综合圆的综合九年级中考数学一轮复习课件

(1)求证：△ABM≌△EBM； (2)求证：FB 是⊙O 的切线； (3)若 cos∠ABD＝35，AD＝12.求四边形 AMEN 的面积 S.
有交点，连半径，证垂直。
学生自学（6分钟）
(1)证明：∵AB 是直径， ∴∠BAC＝90°.∴MA⊥AB. ∵ME⊥BE，BM 平分∠ABC， ∴AM＝ME. ∵在 Rt△BMA 和 Rt△BME 中，BMMA＝＝BMME，， ∴△ABM≌△EBM.
第33讲压轴专题4几何综合
学习目标（1分钟）
• 1.掌握切线的判定和性质及其应用。
• 2.圆周角定理、全等三角形判定与性质、类似三角形的判定与性质。
• 3.弧长的计算及扇形面积的计算。
自学指点1（1分钟）例如图，以BC为直径的⊙O交△CFB
的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC 于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2＝AF·AC.
(2)解：连接 OD，
由(1)知，△ADB∽△OBC，
∴∠ABD＝∠OCB＝30°.∴∠DAB＝60°.
∵AO＝OD，
∴△AOD 是等边三角形，∠AOD＝60°.
∵AB＝2，∴AO＝1.
︵
∴AD
的长为601·8π0·1＝π3.
(3)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°. ∵AD∥CO，∴∠DFO＝90°. ∵∠ODB＝∠OBD，∴∠DOF＝∠BOF. ∵OD＝OB，OC＝OC，
(2)证明：由(1)得，∠BME＝∠MAB， ∵BE⊥CD，∴∠BEM＝∠AMB＝90°. ∴△BME∽△BAM.
(3)解：由(1)得，∠BME＝∠MAB， ∵sin∠BAM＝35，∴sin∠BME＝35.
在 Rt△BEM 中，∵BE＝158，∴sin∠BME＝BBME ＝53. ∴BM＝6.

2025年中考数学考点分类专题归纳之几何初步

2025年中考数学考点分类专题归纳几何初步简单几何图形知识点一、多姿多彩的图形1．几何图形的分类.⎧⎨⎩立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.几何图形平面图形：三角形、四边形、圆等 2．立体图形与平面图形的相互转化（1）立体图形的平面展开图：把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．备注：①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图；②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形．（2）从不同方向看：备注：①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图．②能根据三视图描述基本几何体或实物原型．（3）几何体的构成元素及关系几何体是由点、线、面构成的，点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成．知识点二、直线、射线、线段1．直线，射线与线段的区别与联系2．基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线．(2)线段的性质:两点之间，线段最短．3．画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段．（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法．（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。

B CB bba（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：12 AM MB AB==M B A备注：①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段上，且有12AM AB =，则点M 为线段AB 的中点． ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等．如下图，点M,N,P 均为线段AB 的四等分点．P N M BAAB PB NP MN AM 41==== 知识点三、角1．角的度量（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示．例如下图：备注：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示．（3）角度制及角度的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．备注：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同．②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行．③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60．（4）角的分类∠β 锐角直角钝角平角周角（5）画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角．（2）借助量角器能画出给定度数的角．（3）用尺规作图法．2．角的比较与运算（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法．（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=12∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2．3．角的互余互补关系余角补角（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角．（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角．（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．4．方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角．备注：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的．所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南,二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小．（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向．范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°相交线与平行线知识点一、相交线1．对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：2．垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O．备注：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直．（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)．垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长．备注：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条．知识点二、平行线1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．备注：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行．（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）．（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补．3．两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离．备注：（1）两条平行线之间的距离处处相等．（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离．这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离．（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同．1．(2024江苏常州)下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图？( )A．B．C．D．2．（2024北京）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．3．（2024湖南湘西）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．（2024海南）下列四个几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C． D．（2024江苏无锡）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（）5．A．B．C．D．6．（2024黑龙江哈尔滨）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）A．B．C．D．7．（2024山东省烟台）由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙．如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为（）A．9 B．11 C．14 D．188．(2024台湾)如图为一直棱柱，其底面是三边长为5、12、13的直角三角形．若下列选项中的图形均由三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展开图，则根据图形中标示的边长与直角记号判断，此展开图为何？（）A．B．C．D．9．（2024陕西）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A．正方体B．长方体C．三棱柱D．四棱锥10．(2024黑龙江大庆)将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面上标的字是（）A．庆B．力C．大D．魅11．(2024四川内江)如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（）A．认B．真C．复D．习12．小刚同学在一个正方体盒子的每个面都写了一个字，分别是：我、喜、欢、数、学、课．其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“我”相对的面所写的字是（）A．课B．欢C．数D．学13． (2024湖北随州)如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠l＝65°，则∠2的度数是( )A．25° B．35° C．45° D．65°14．（2024河北）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（）A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°15．（2024山东德州）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（）A．图①B．图②C．图③D．图④16．(2024广东广州 )如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（）A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠417．如图，已知AB∥CD，∠BEG＝58°，∠G＝30°，则∠HFG的度数为（）A．28°B．29°C．30°D．32°18．（2024山东潍坊）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．82．5°19．（2024陕西）如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的角有( )A．1个B．2个C．3个D．4个20． (2024吉林)如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( )A．10° B．20° C．50° D．70°21．（2024宁夏）将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°22．（2024山东莱芜）如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB ＝（）A．149°B．149．5°C．150°D．150．5°（2024海南）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，23．那么∠BAF的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．25°24．（2024湖北荆门）已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C＝90°）按如图所示的位置摆放，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．80°B．70°C．85°D．75°25．（2024湖南株洲）如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，过l1上的点A作AB⊥l3交l3于点B，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是（）A．∠2＞120°B．∠3＜60°C．∠4﹣∠3＞90°D．2∠3＞∠426．(2024辽宁葫芦岛)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝165°，则∠B的度数为（）A．15°B．55°C．65°D．75°27．(2024黑龙江大庆)已知圆柱的底面积为60cm2，高为4cm，则这个圆柱体积为_____cm3．28．（2024浙江杭州）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）________．29．（2024山东日照）一个角是70°39′，则它的余角的度数是________．30．（2024河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为______．31．(2024湖南湘潭)如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为_________________．（任意添加一个符合题意的条件即可）32．（2108贵州铜仁）如图，m∥n，∠1＝110°，∠2＝100°，则∠3＝_____°．33．（2024江苏苏州）如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC＝90°，∠B＝30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF＝20°，则∠BED的度数为____°．34．（2024四川广安）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝_____度．35．（2024内蒙古通辽）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E 射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是________________．36．(2024湖南衡阳)将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为_____．37．(2024湖南岳阳)如图，直线a∥b，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3＝_____．38．（2024重庆B）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．39．（2024湖南益阳）如图，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AM∥CN．40．（2024湖北恩施）如图所示，直线a∥b，∠1＝35°，∠2＝90°，则∠3的度数为（）A．125°B．135°C．145°D．155°。

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