高考数学总复习综合试题(三)理新人教版

综合试题(三)理科数学 【p 327】 时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．某市对大、中、小学生的视力进行抽样分析，其中大、中、小学生的人数比为2∶3∶5，若采用分层抽样的方法抽取一个样本，且中学生中被抽到的人数为150，则抽取的样本容量n 等于( )A ．1 500B ．1 000C ．500D ．150【解析】设抽到的大、中、小学生的人数分别为2x ，3x ，5x ，由3x ＝150，得x ＝50，所以n ＝100＋150＋250＝500.【答案】C2．在等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d＝( )A .12B ．2C .14D ．4【解析】由等差数列的前n 项和公式可知 S 10＝10a 1＋10×92d ，S 5＝5a 1＋5×42d ，因为S 10＝4S 5，所以10a 1＋10×92d ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d ， 化简得a 1d ＝12.【答案】A3．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为( )A ．5B ．10C ．20D ．40【解析】因为二项展开式的各项系数和C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n＝32，所以n ＝5，又二项展开式的通项为T r ＋1＝C r n(x 2)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －r＝C r n x 3r －n，令3r －5＝1得r ＝2，所以二项展开式中x 的系数为C 25＝10. 【答案】B4．函数f(x)＝⎩⎨⎧4－x 2－2（－2≤x<0），|x 2－x|（0≤x≤2）的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．5－πB ．1＋πC ．π－3D ．1－π【解析】函数f(x)＝⎩⎨⎧4－x 2－2（－2≤x<0），|x 2－x|（0≤x≤2）的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为－⎠⎛－20(4－x 2－2)d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－x)d x ＝4－14π×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2|21＝4－π＋16＋83－2＋16＝5－π. 【答案】A5．体积为43π的球O 放置在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上，且与上表面A 1B 1C 1D 1相切，切点为该表面的中心，则四棱锥O －ABCD 的外接球的半径为( )A .103B .3310C ．2D .236【解析】∵球O 的体积为43π，球O 的半径为1，四棱锥O －ABCD 的外接球的半径为R ，则R 2＝(4＋1－R)2＋(22)2，解得R ＝3310.【答案】B6．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1()a>0，b>0的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，且||PF 2＝||F 1F 2，则双曲线C 的离心率为( )A .103B .43C .53D ．2 【解析】设PF 1与圆相切于点M ，则因为||PF 2＝||F 1F 2， 所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以||F 1M ＝14||PF 1，又因为在直角△F 1MO 中，||F 1M 2＝||F 1O 2－a 2＝c 2－a 2， 所以||F 1M ＝b ＝14||PF 1，①又||PF 1＝||PF 2＋2a ＝2c ＋2a ，② c 2＝a 2＋b 2，③故由①②③得，e ＝c a ＝53.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．若复数z ＝(1＋m i )(2－i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为__________． 【解析】z ＝(1＋m i )(2－i )＝2－i ＋2m i －m i 2＝2＋m ＋(2m －1)i ，因为z 是纯虚数，所以2＋m ＝0，m ＝－2.【答案】－28．已知向量b 为单位向量，向量a ＝(1，1)，且|a －2b |＝6，则向量a ，b 的夹角为________．【解析】因为b 为单位向量，向量a ＝(1，1)，所以|a |＝2，|b |＝1，因为|a －2b |＝6⇒a 2－22a ·b ＋2b 2＝6，即2－22a ·b ＋2＝6⇒a ·b ＝－22，所以向量a ，b 的夹角为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，所以向量a ，b 的夹角为2π3.【答案】2π39．已知函数f (x )＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，则f (x )的最小值为________．【解析】f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝12sin 2x ＋3sin 2x ＝12sin 2x ＋3×1－cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34π，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，76π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小值为－32，f (x )的最小值为－32＋32＝0. 【答案】010．在四边形ABCD 中，AB ＝7，AC ＝6，cos ∠BAC ＝1114，CD ＝6sin ∠DAC ，则BD 的最大值为________．【解析】由CD ＝6sin ∠DAC ，可得CD ⊥AD ，所以点D 在以AC 为直径的圆上(去掉A ，B ，C )，所以当BD 经过AC 的中点O 时取最大值，OB 2＝32＋72－2×3×7cos ∠BAC ＝25，解得OB＝5，所以BD 的最大值＝5＋12AC ＝8.【答案】8三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)已知函数f(x)＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，g(x)＝1＋12sin 2x.(1)设x ＝x 0是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x 0)的值； (2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间． 【解析】(1)由题设知f(x)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为x ＝x 0是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴， 所以2x 0＋π6＝k π，即2x 0＝k π－π6(k∈Z )．所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6.当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝1－14＝34，当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋12sin 2x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x ＋32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数h (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32是增函数， 故函数h (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．12．(16分)2018国庆黄金周，国内出游人数达7.26亿，再创历史新高，全国各地景区人满为患，高速公路成为停车场．为解决人们假期出游问题，专家呼吁企业施行带薪休假，错峰出行．为了解企业对带薪休假方案的意见，某调查机构随机抽取了80家企业进行问卷调查，得到如下数据：(1)若用表中数据所得的频率代替概率，估计带薪休假为12天与10天，企业支持该方案的概率？(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案带薪休假天数和不低于18天的概率；②如果用ξ表示两种方案带薪休假天数和．求随机变量ξ的分布列及期望． 【解析】(1)由表中信息可知，当带薪休假天数为12时，企业支持该方案的概率为340； 当带薪休假天数为10时，企业支持该方案的概率为18.(2)①设“两种安排方案带薪休假天数和不低于18”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10(种)，其和不低于18天的选法有8种，由古典概型概率公式计算得P (A )＝45.②由题知随机变量ξ的可能取值为26，24，22，20，18，16，14. 因而ξ的分布列为所以E (ξ)＝20.13．(18分)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋2x . (1)求证：对任意的x ≥0，有f (x )≤3x ；(2)若对任意实数x >1，不等式f (x －1)＋4>2x ＋k ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x ，求k 的最大整数值．【解析】(1)由于f (x )≤3x ⇔ln(x ＋1)≤x ， 令g (x )＝x －ln(x ＋1)(x ≥0)． 由于g (0)＝0，g ′(x )＝1－1x ＋1≥0，故g (x )在[0，＋∞)上单调递增，则g (x )≥g (0)＝0，即f (x )≤3x .(2)当x >1时，f (x －1)＋4>2x ＋k ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x ⇔x ln x ＋(2－k )x ＋4k >0.令h (x )＝x ln x ＋(2－k )x ＋4k (x >1)，h ′(x )＝ln x ＋3－k ，若k ≤3，则对任意x >1，有h ′(x )>0，即h (x )在(1，＋∞)上单调递增，由题设知，只需h (1)＝2＋3k ≥0，即－23≤k ≤3；若k >3，由h ′(x )＝ln x ＋3－k ＝0解得x ＝e k －3，当x ∈(1，e k －3)时，h ′(x )<0，h (x )在(1，ek －3)上单调递减； 当x ∈(ek －3，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(ek －3，＋∞)上单调递增．由题设知，只需h (x )min ＝h (e k －3)＝4k －ek －3>0.令H (k )＝4k －ek －3，由于H ′(k )＝4－e k －3为关于k 的单调减函数，则当k ∈(－∞，3＋ln 4)时，H ′(k )>0，即H (k )在(－∞，3＋ln 4)上单调递增， 当k ∈(3＋ln 4，＋∞)时，H ′(k )<0，即H (k )在(3＋ln 4，＋∞)上单调递减． 而H (3＋ln 4)＝8＋4ln 4>0，H (5)＝20－e 2>0，H (6)＝24－e 3>0，H (7)＝28－e 4<0，故3<k ≤6.综上所述，k 的最大整数取值为6.。