高考数学创新题型精选

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高考数学创新题型解读

高考数学创新题型解读1. 选择题：(1) 下列哪个函数的图像在x=1处取得最小值？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5(2) 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)在x=1时取得最大值，则a的取值范围是？A. a < 0B. a > 0C. a = 0D. a ≠ 0(3) 下列哪个函数的图像在y轴上截距为1？A. f(x) = x^2 + 2x + 1B. f(x) = x^2 - 2x + 1C. f(x) = x^2 + 2x - 1D. f(x) = x^2 - 2x - 1(4) 已知f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)的图像是开口向上的抛物线，则a的取值范围是？A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0(5) 下列哪个函数的图像在x=0时取得最大值？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5(6) 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)在x=2时取得最小值，则a的取值范围是？A. a < 0B. a > 0C. a = 0D. a ≠ 0(7) 下列哪个函数的图像在x=0时取得最小值？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5(8) 已知f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)的图像是开口向下的抛物线，则a的取值范围是？A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0(9) 下列哪个函数的图像在y轴上截距为-1？A. f(x) = x^2 + 2x + 1B. f(x) = x^2 - 2x + 1C. f(x) = x^2 + 2x - 1D. f(x) = x^2 - 2x - 1(10) 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)在x=3时取得最大值，则a的取值范围是？A. a < 0B. a > 0C. a = 0D. a ≠ 02. 填空题：(1) 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)在x=1时取得最小值，则a的取值范围是________。

高考数学创新题型精选(成套模拟)

高考数学创新题型精选一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy （x+y ），z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为A ．0B ．6C ．12D ．182．设○+是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集3．从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是A ．43B ．72C ．86D ．904．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A ． 5B ． 4C ． 3D ． 25．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。

在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是A ．48B ．18C ．24D ．366．点P 到点A （21，0），B （a ，2）及到直线x ＝－21的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是A ．21B ．23C ．21或23D ．－21或21 7．如果二次方程 x 2-px-q=0（p,q ∈N*）的正根小于3, 那么这样的二次方程有A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个8．设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 αA ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个9．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F 共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A B ⨯=A ．6EB ．72C ．5FD ．B010．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABCPCA S S∆∆，λ3＝ABC PAB S S ∆∆，定义f （P ）=（λ1, λ, λ3）,若G 是△ABC 的重心，f （Q ）＝（21，31，61），则 A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内 C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。

高中数学经典创新题精选60题

高中数学经典创新题精选60题1．在实数集R上定义运算*：x*y＝x·(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)＞0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，－1)∪(－1，0]C．[0，1)∪(1，2]D．[－2，0]解析：选D.依题意可得x(1－x＋a)＞0.因为其解集为{x|－1≤x≤1}的子集，所以当a≠－1时，0＜1＋a≤1或－1≤1＋a＜0，即－1＜a≤0或－2≤a＜－1.当a＝－1时，x(1－x＋a)＞0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a≤0.故选D.2．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.3．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是()A．(﹁p)∨(﹁q)为真命题B．p∨(﹁q)为真命题C．(﹁p)∧(﹁q)为真命题D．p∨q为真命题解析：选A.命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题﹁p是“第一次射击没击中目标”，命题﹁q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(﹁p)∨(﹁q)为真命题，故选A.4．若函数y＝f(x)对定义域D中的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：()①“影子函数”f(x)的值域可以是R；②“影子函数”f(x)可以是奇函数；③若y ＝f (x )，y ＝g (x )都是“影子函数”，且定义域相同，则y ＝f (x )·g (x )是“影子函数”．上述命题正确的序号是( ) A ．① B ．② C ．③D ．②③解析：选B ．对于①：假设“影子函数”的值域为R ，则存在x 1，使得f (x 1)＝0，此时不存在x 2，使得f (x 1)f (x 2)＝1，所以①错；对于②：函数f (x )＝x (x ≠0)，对任意的x 1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x 2＝1x 1，则f (x 1)f (x 2)＝1，又因为函数f (x )＝x (x ≠0)为奇函数，所以“影子函数”f (x )可以是奇函数，②正确；对于③：函数f (x )＝x (x >0)，g (x )＝1x (x >0)都是“影子函数”，但F (x )＝f (x )g (x )＝1(x >0)不是“影子函数”(因为对任意的x 1∈(0，＋∞)，存在无数多个x 2∈(0，＋∞)，使得F (x 1)·F (x 2)＝1)，所以③错．综上，应选B ．5．设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.6．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0，3] C ．[0，1]D ．[1，3]解析：选D.因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．7．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－28．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：选D.根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.9．如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D.法一：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x 2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3，4)，故选D.法二：在判断出点P 的轨迹后，发现当x ＝1时，y ＝3－π4∈(2，3)，故选D.10．已知点A (1，0)，点B 在曲线G ：y ＝ln x 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为________．解析：设B (x 0，ln x 0)，x 0＞0，线段AB 的中点为C ，则C ⎝⎛⎭⎫x 0＋12，ln x 02，又点C 在曲线M 上，故ln x 02＝2x 0＋1，即ln x 0＝4x 0＋1.此方程根的个数可以看作函数y ＝ln x 与y ＝4x ＋1的图象的交点个数．画出图象(如图)，可知两个函数的图象只有1个交点．答案：111．已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.12．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是________．解析：设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M 点处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，M 点到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．因为y ′＝22x －1，所以22x 0－1＝2，解得x 0＝1，所以M (1，0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.答案：2513．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)解析：选C.由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其大致图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3，0)．14．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数单调递增，所以f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )．所以f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0. 解得a >22. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫22，＋∞15．已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ，则AQ ︵＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ，所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ，所以S 1＝S 2恒成立．答案：S 1＝S 216．已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cosθ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－4 C. 13D ．－14解析：选D.由题意知tan θ＝3，k AB ＝5cos θ－sin θ－sin θ2cos θ＋sin θ－cos θ＝5－2tan θ1＋tan θ＝－14.故选D.17．已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝m ，m ∈(0，1)，则tan θ的可能取值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－13D.13 解析：选A.由m ∈(0，1)，得sin θ＋cos θ>0，所以θ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4.又因为(sin θ＋cosθ)2＝1＋2sin θcos θ＝m 2，m ∈(0，1)，从而得2sin θcos θ<0，得θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π.综上可得θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，则tan θ<－1，所以可能的取值为－3，故选A.18．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n2cos 227°－1＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°. 所以m n2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝4sin 18°cos 18°2cos 227°－1＝2sin 36°cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2.故选C.19．已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝________．解析：由sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°可得， m ＝2cos 140°－sin 10°cos 10°＝－2cos 40°－sin 10°cos 10°＝－2cos （30°＋10°）－sin 10°cos 10°＝－3cos 10°cos 10°＝－ 3.答案：－320．已知a 24＋b 2＝1，则|a cos θ＋2b sin θ|的最大值为( )A ．1 B.233C ．2D ．23解析：选C.由a 24＋b 2＝1得a 2＋4b 2＝4.由辅助角公式可得|a cos θ＋2b sin θ|＝a 2＋4b 2|sin(θ＋φ)|＝2|sin(θ＋φ)|，所以最大值为2.故选C.21．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，所以sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，所以－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1，所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin(2x ＋π6)－1>1，所以sin(2x ＋π6)>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以g (x )的单调增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z .所以g (x )的单调增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z ，单调减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z .22．定义运算|a b c d |＝ad －bc .将函数f (x )＝|3 sin x1 cos x |的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小值为( )A.π3 B.76π C.π6D.56π 解析：选D.f (x )＝|3 sin x 1 cos x |＝3cos x －sin x ＝2cos(x ＋π6)，向左平移φ个单位得到y＝2cos(x ＋π6＋φ)，由题意y ＝2cos(x ＋π6＋φ)是偶函数，所以π6＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π6(φ>0)．故当k ＝1时，φ的最小值为56π.23．如图，将绘有函数f (x )＝3sin(ωx ＋5π6)(ω>0)部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若A ，B 之间的空间距离为10，则f (－1)＝( )A ．－1B ．1C ．－32D.32解析：选D.由题设并结合图形可知， AB ＝（3）2＋[（3）2＋（T2）2]＝6＋T 42＝6＋π2ω2＝10，得π2ω2＝4，则ω＝π2，所以f (－1)＝3sin(－π2＋5π6)＝3sin π3＝32.24．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积等于( )A .3B ．23C ．33D ．43解析：选B.因为AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)．由平行四边形法则可知，以PB →，PC →为边组成的平行四边形的一条对角线与AB →反向，且长度相等．因为|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以以PB →，PC →为边的平行四边形为菱形，且除BC 外的对角线长为2，所以BC ＝23，∠ABC ＝90°，所以S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×23＝23，故选B.25.如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n是定值，定值为2 D.2m ＋1n是定值，定值为3解析：选D.法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AM AB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM →＝mAB →，所以m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n＝3.法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD →＝λAM →＋(1－λ)·AN →.又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AD →＝λmAB →＋(1－λ)·nAC →.又BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12AC→－12AD →，所以AD →＝13AC →＋23AB →.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n＝3，故选D.26．在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，求xy的值．解：设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，所以e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ（x －y ）＝1，λ（x －2y ）＝－2，所以⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65.27．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积等于( )A .3B ．23C ．33D ．43解析：选B.因为AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)．由平行四边形法则可知，以PB →，PC →为边组成的平行四边形的一条对角线与AB →反向，且长度相等．因为|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以以PB →，PC →为边的平行四边形为菱形，且除BC 外的对角线长为2，所以BC ＝23，∠ABC ＝90°，所以S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×23＝23，故选B.28.已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－3解析：选A ．法一：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A ．法二：由b 2－4e·b ＋3＝0得b 2－4e·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A ．29．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA →＋ OB →＝OC →，则a 的值为 ( )A ．±1B ．± 2C ．± 3D ．±2 解析：因为A ，B ，C 均为圆x 2＋y 2＝2上的点，故|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，因为OA →＋OB →＝OC →，所以(OA →＋OB →)2＝OC →2，即OA →2＋2OA →·OB →＋OB →2＝OC →2，即4＋4cos∠AOB ＝2，故∠AOB ＝120°．则圆心O 到直线AB 的距离d ＝2·cos60°＝22＝|a |2，则|a |＝1，即a ＝±1．故选A ．30．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：选D.因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)． 31．P＝{}a |a ＝（1，0）＋m （0，1），m ∈R ，Q ＝{}b |b ＝（1，1）＋n （－1，1），n ∈R 是两个向量集合，则P ∩Q 等于()A.{}（1，1）B.{}（－1，1）C.{}（1，0）D.{}（0，1）解析：选A.设a ＝(x ，y )，则P ＝{(x ，y )| ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1， y ＝m ，m ∈R }，所以集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理，集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{}（x ，y ）|x ＝1，y ∈R ，Q ＝{}（x ，y ）|x ＋y －2＝0，所以P ∩Q ＝{}（1，1）.故选A.32．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x . 若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.33．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D ．13解析：选A ．由于直线PQ 是过点E 的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，令PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时，m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A ．法二：如图2，直线BE 与直线PQ 重合，此时，AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n＝3.故选A ．34．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，2cos 2 C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0. (1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，所以cos C ＝12，而C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ，所以a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.35．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *36．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{}c n 的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0. 所以数列{c n }的变号数为3.37．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋35]．当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2<2n ＋35＜3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4<2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.38．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3，故选B.39．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1，又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，故函数f (x )的最小值为3.答案：1 340．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝4 5.因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210.所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.答案：402π41．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列四个命题中不正确的是________(填序号)．①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE .解析：取DC 的中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为球心，MB 为半径的球上，可得①②正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；若存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，则因为DE 2＋CE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，则DE ⊥平面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与DA 1⊥A 1E 矛盾，故③不正确．答案：③42．如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是________．解析：连接DN ，则△MDN 为直角三角形，在Rt △MDN 中，MN ＝2，P 为MN 的中点，连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以D 为球心，半径R ＝1的球面上，又因为点P 只能落在正方体上或其内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝18×4πR 2＝π2. 答案：π243．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值．其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.由题图，显然①是正确的，②是错的；对于③因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)．所以③是正确的；因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，即12BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.44．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是()①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③解析：选C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′FED的体积达到最大，故选C.45．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，则上述结论可能正确的是()A．①③B．②③C．②④D．③④解析：选B.对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；对于④，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立．46．在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接CE .则⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面AEC ⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，EC 与BD 不垂直，故假设不成立，①错．②假设AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥AC ，由AB ＜BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB ⊥CD ，故假设成立，②正确．③假设AD ⊥BC ，因为DC ⊥BC ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB ＜BC ，故矛盾，假设不成立，③错．综上，填②.答案：②47．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为( )A.92 B.94 C ．1D ．9解析：选B.因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0，所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝12⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝⎛⎭⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号，故选B.48．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； (2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．解：(1)如图，设B 关于l 的对称点为B ′，AB ′的延长线交l 于P 0，在l 上另任取一点P ，则|P A |－|PB |＝|P A |－|PB ′|<|AB ′|＝|P 0A |－|P 0B ′|＝|P 0A |－|P 0B |，则P 0即为所求．易求得直线BB ′的方程为x ＋3y －12＝0，设B ′(a ，b )，则a ＋3b －12＝0，①又线段BB ′的中点⎝⎛⎭⎫a 2，b ＋42在l 上，故3a －b －6＝0.②由①②解得a ＝3，b ＝3，所以B ′(3，3)．所以AB ′所在直线的方程为2x ＋y －9＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0可得P 0(2，5)． (2)设C 关于l 的对称点为C ′，与(1)同理可得C ′⎝⎛⎭⎫35，245.连接AC ′交l 于P 1，在l 上另任取一点P ，有|P A |＋|PC |＝|P A |＋|PC ′|>|AC ′|＝|P 1C ′|＋|P 1A |＝|P 1C |＋|P 1A |，故P 1即为所求．又AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，故由⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0可得P 1⎝⎛⎭⎫117，267.49．设点P 是函数y ＝－4－（x －1）2的图象上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为( )A.855－2B.5C.5－2D.755－2解析：选C.如图所示，点P 在半圆C (实线部分)上，且由题意知，C (1，0)，点Q 在直线l ：x －2y －6＝0上．过圆心C 作直线l 的垂线，垂足为点A ，则|CA |＝5，|PQ |min ＝|CA |－2＝5－2.故选C.50．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解：由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0. 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则可得Δ＝m 2－8m >0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m . 令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0或m ＝－12.由Δ>0得m <0或m >8，所以m ＝－12，此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174，故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716. (2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0，整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)和⎝⎛⎭⎫25，45.51．已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a )2＝1相交于A 、B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( )A.17或－1 B ．－1 C ．1或－1D ．1解析：选C.由题意得圆心(1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离为22，所以|a －a －1|1＋a 2＝22，解得a ＝±1，故选C.52．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0，1)设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p ，因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ，所以－2p＝－1，所以p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎨⎧y －y 1＝x 1p （x －x 1），y －y 2＝x2p （x －x 2），结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号，因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .53．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD 内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选D.在平面ABCD 内过点P 作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1，即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点P 的轨迹为抛物线．54．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：选B.因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．55.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支解析：选C.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．故选C.56．若m ，n 均为非负整数，在做m ＋n 的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m ，n )为“简单的”有序对，而m ＋n 称为有序对(m ，n )的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________．解析：第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300. 答案：30057．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 ( )A.14B.13C.23D.12解析：选D.以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2 P A →＝0，所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12.58．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米之间，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，所以总人数为70.14＝50.由图易知第4、5、6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足⎩⎪⎨⎪⎧8≤x ≤109.5≤y ≤10.5，设事件A 为“甲比乙跳得远”，则x >y ，作出可行域如图中阴影部分所示．所以由几何概型得P (A )＝12×12×121×2＝116，即甲比乙跳得远的概率为116.59．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1，2，3}和Q ＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1，1；若a ＝3，则b ＝－1，1.所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，因为事件“分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ”的个数是15. 所以所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧（a ，b ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC 部分．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标C ⎝⎛⎭⎫163，83，故所求事件的概率P ＝S △BOC S △AOB ＝12×8×8312×8×8＝13.60．设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号) 解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案：③。

高考数学创新题(附答案)

高考数学创新题一、选择题（共9题）1．（北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 解：依题意，有x 1＝50＋x 3－55＝x 3－5，∴x 1<x 3，同理，x 2＝30＋x 1－20＝x 1＋10∴x 1<x 2，同理，x 3＝30＋x 2－35＝x 2－5∴x 3<x 2故选C2．（福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3解析：对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121||.AB x x y y =-+- ①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1、x 2之间，y 0在y 1、y 2之间，则01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-= ③在ABC ∆中，01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+->01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+- =2121||.x x y y AB -+-= ∴命题① ③成立，而命题②在ABC ∆中，若90,oC ∠=则222;AC CB AB +=明显不成立，选B.3．（广东卷）对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=A.(4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,4)-解析：由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-210252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.4．（辽宁卷）设○+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集解析： A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 2=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。

创新数学大赛高中试题

创新数学大赛高中试题在数学的海洋中，创新是推动知识前行的风帆。

今年的高中创新数学大赛，旨在激发学生们对数学的热爱和探索精神。

以下是一些精心设计的试题，它们不仅考验学生的数学基础，更挑战他们的创新思维和解决问题的能力。

试题一：几何图形的变换在平面直角坐标系中，给定一个由四个点A(1,2), B(3,4), C(5,1), D(2,0)组成的四边形ABCD。

现在需要通过旋转和平移操作，将这个四边形变换到一个新的位置，使得它的对角线相交于坐标系的原点。

请给出具体的旋转角度和平移向量。

试题二：函数的极限探索考虑函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)。

当x趋近于1时，求f(x)的极限。

并证明你的结论。

试题三：概率与统计在一个班级中，有50名学生，他们的成绩分布如下：20名学生成绩在60-69分之间，15名学生成绩在70-79分之间，10名学生成绩在80-89分之间，5名学生成绩在90-99分之间。

假设成绩分布是均匀的，计算这个班级的平均成绩和标准差。

试题四：数列与级数给定一个数列：a1 = 2, a2 = 3, a3 = 5, ...，其中an = an-1 + an-2（对于n > 2）。

求这个数列的第20项。

试题五：组合数学问题在一个有100个座位的电影院里，有10个不同的电影可供选择。

如果每个座位可以独立选择播放的电影，不考虑座位是否被占用，计算总共有多少种不同的电影播放组合。

试题六：线性代数与矩阵给定一个3x3的矩阵A：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0\end{{bmatrix} } \]求矩阵A的特征值和对应的特征向量。

试题七：拓扑学初步考虑一个平面上的简单闭曲线，它将平面划分为内部和外部两个区域。

如果在这个曲线上添加一个点，使得这个点与曲线上的其他点不重合，这个新的图形能否将平面划分为三个区域？请给出你的解释。

高考数学创新问题(选择填空大题)最后压轴题

3．若对于定义在 R 上的函数 f (x) ，其图象是连续不断的，且存在常数 ( R)使得 f (x ) f (x) 0 对任意实数 x 都成立，则称 f (x) 是一个“ —伴随函数”．有下列关于“ —伴随函数”的结论：① f (x) 0 是常数函数中唯一个“ —伴随函数”；② f (x) x 不是“ —伴随函数”；③ f (x) x2 是一个“ —伴随函数”； ④“ 1 —伴随函
上运动，另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动，求 MN 中点 P 的轨迹与正方体的面所围成
的几何体的体积．
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二、探究与创新问题
探究创新问题，是主要考查探究创新能力的问题，考试中通常出现在选择题、填空题、解答题的最后一题，对阅读理解能力、创造性思维能力、逻辑思维能力、综合分析能力、转化能力等有较高要求。这类问题的解法一般不太常规，正确、灵活运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与类比、特殊化与一般化、直觉猜想、函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能使问题得到解决。
的 n 2 时，集合 N {1, 2}的所有非空子集为{1} ， {2} ， {1, 2}，则它的“交替和”总和
S2 1 2 2 1 4 ．则当 n 3 时， S3 ________；集合 N {1, 2,3, , n}的所有非空子集的“交替和”的总和为 Sn ___________．
的中点， P 是侧面 BCC1B1 内一动点，若 A1P // 平面 AEF ，则线段 A1P 长度的取值范围是
（） A． (1, 5 ] 2
B．[3 2 , 5 ] 42
D1 A1
C1
B1 F
C．[ 5 , 2) D．[ 2, 3] 2

高三数学试卷创新题目答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f(x)在x=1处的切线方程。

A. y = 1B. y = 3x - 2C. y = 2x - 1D. y = -3x + 2答案：B解析：首先求出f(x)在x=1处的导数f'(x) = 3x^2 - 3。

代入x=1，得f'(1) = 0。

因此，切线斜率为0，切线方程为y = f(1) = 1。

2. 已知等差数列{an}，首项a1=1，公差d=2，求第10项an。

A. 19B. 21C. 23D. 25答案：C解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d。

代入a1=1，d=2，n=10，得an = 1 + (10 - 1)×2 = 23。

3. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的对称轴方程。

A. x = 2B. x = 1C. x = -2D. x = -1答案：A解析：对称轴方程为x = -b/2a。

代入a=1，b=-4，得x = -(-4)/2×1 = 2。

4. 已知函数f(x) = 2x + 1，求f(x)在区间[0, 3]上的最大值和最小值。

A. 最大值3，最小值1B. 最大值1，最小值3C. 最大值2，最小值1D. 最大值1，最小值2答案：A解析：由于f(x)在区间[0, 3]上单调递增，所以最大值出现在x=3处，最小值出现在x=0处。

代入x=3，得f(3) = 2×3 + 1 = 7；代入x=0，得f(0) = 2×0 + 1 = 1。

5. 已知等比数列{an}，首项a1=2，公比q=3，求第n项an。

A. 2×3^(n-1)B. 2×3^nC. 2×3^(n+1)D. 2×3^(n-2)答案：A解析：等比数列的通项公式为an = a1×q^(n-1)。

高中数学创新题集锦

1.已知映射f:A →B ,其中A=B =R ，对应法则f:x →y=x 2-2x +2.若对实数k ∈B ,在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是 ____________.2. 如图是函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的大致图象,则x 21+x 22等于 ____________.3. 函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),若f (x 1)-f (x 2)=1,则f (x 21)-f (x 22)等于 ____________.4.汽车在行驶中，汽油平均消耗率g (即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h)之间有函数关系：g =25001(v -50)2+5 (0<v <150).“汽油的使用率最高”为每千米汽油平均消耗量最小（单位：L/km),则汽油的使用率最高时，汽车速度是（km/h).5. 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费200元. （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？1．若等比数列{a n }对一切正整数n 都有S n =2a n -1,其中 S n 是{a n }的前n 项和，则公比q 的值为 ____________.2. 等差数列{a n }的通项公式是a n =1-2n ,其前n 项和为S n ,则数列{nS n}的前11项和为 ____________.3. 等差数列{a n }中有两项a m 和a k 满足a m =k 1,a k =m1,则该数列前mk 项之和是 . 4. 设f (x )=cx bx ax +++12 (a >0)为奇函数,且 |f (x )|min =22,数列{a n }与{b n }满足如下关系:a 1=2,a n +1=11,2)(+-=-n nn n n a a b a a f . (1)求f (x )的解析表达式；（2）证明：当n ∈N +时，有b n ≢(31)n.1.若π<α<π223,则直线α+αsin cos y x=1必不经过____________.2．若函数f (x +2)=⎩⎨⎧<-≥0),lg(0,tan x x x x ，则f (4π+2)f (-98)等于____________.3．若2231tan 1tan +=+α-α,则sin2α= .4．函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f (x )= 1－sin x +1＋sin x 的性质，并在此基础上，作出其在[,]ππ-的草图．1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =31 (21OA +21+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的（）A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点2. 已知向量a =(2cos α,2sin α), b =(3cos β,3sin β),其夹角为60°,则直线x cos α-y sin α+21=0与圆（x -cos β)2+(y +sin β)2=21的位置关系是 .3.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：(1)若两点等分单位圆时，有相应关系为：0)cos(cos ,0)sin(sin =α+π+α=α+π+α（2）四点等分单位圆时，有相应关系为：)23cos()sin()2cos(cos ,0)23sin()sin()2sin(sin =π+α+π+α+π+α+α=π+α+π+α+π+α+α 由此可以推知三等分单位圆时的相应关系为： . 4．已知向量m =(cos θ,sin θ)和n =(2-sin θ,cos θ),θ∈［π,2π］.(1)求|m +n |的最大值；（2）当|m +n |=528时,求cos(82π+θ)的值.1．若函数f (x )=min{3+log 41x ,log 2x },其中min{p ,q }表示p ,q 两者中的较小者，则f (x )<2的解集为 ____________.2.点集{(x ,y )|||x |-1|+|y |=2}的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是 ____________.3.如果不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},那么函数y =f (-x )的大致图象是（）4.实系数方程f (x )=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12--a b 的值域；（2）（a -1）2+(b -2)2的值域；（3）a+b -3的值域.（6）直线与圆部分新创题4道1.在坐标平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连结原点O与点A n(n,n+3),用f(n)表示线段OA n上除端点外的整点个数，则f(2007)= ____________. 2．已知函数f(x)=x2-4x+3,集合M={（x,y)|f(x)+f(y)≢0},集合N={（x,y)|f(x)-f(y)≣0},则集合M ∩N的面积是____________.3．直线ax+by-1=0(a,b不全为0),与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有____________.4.直线x=a,y=x将圆面x2+y2≢4分成若干块，现用5种不同的颜色给这若干块涂色，且共边的颜色不同，每块涂一色，共有260种涂法，则a的取值范围是.1．在直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为 ____________.2．已知曲线f (x )=x 3+x 2+x +3在x = -1处的切线恰好与抛物线y =2px 2相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为____________.3.设A ={（x ,y )|(x -1)2+y 2≢25},B ={(x ,y )|(x +1)2+y 2≢25},C t ={(x ,y )||x |≢t ,|y |≢t ,t >0},则满足C t A ∩B 时，t 的最大值是 ____________.4.已知平面上两点M （-5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|-|PN |=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是（）①y =x +1;②y =2;③y =34x ;④y =2x +1.A.①③B.①②C.②③D.③④1.有六根细木棒，其中较长的两根分别为3a 、2a ,其余四根均为a ,用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为 ____________.2．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数n m,那么积m ·n 是 ____________.3.已知平面α∥平面β,直线l α,点P ∈l ,平面α、β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是（） A.一个圆 B.两条直线 C.四个点 D.两个点4. 空间（填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A 、B 、C 、D ，使得AB=CD =8 cm,AC=BD =10cm,AD=BC =13cm.5.不共面的三条定直线l 1,l 2,l 3互相平行，点A 在l 1上，点B 在l 2上，C 、D 两点在l 3上，若CD =a (定值），则三棱锥A —BCD 的体积（） A.由A 点的变化而变化 B.由B 点的变化而变化 C.有最大值，无最小值 D.为定值集合与简易逻辑部分新题原创3道1.已知集合S={x||2x-1|<1},则使(S ∩T)⊇(S ∪T)的集合T= ____________.2．设A 、B 是非空集合，定义A ×B={x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}.已知A={x|y=22x x -},B={y|y=2x ,x>0},则A ×B 等于 ____________. 3.已知集合A={(x,y,z)|x,y,z ∈S,且x<z,y<z},S=(1,2,…,n+1}(n ∈N *). (1)当z=k+1(1≢k ≢n)时,求集合A 的元素个数; (2)当x<y<z 时,求集合A 的元素个数;(3)由(1)、(2)能得到一个关于自然数的恒等式,试证明你的结论.排列、组合、概率部分新题原创3道1.一圆形餐桌依次有A 、B 、C 、D 、E 、F 共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（） A.6 B.12 C.72 D.1442.设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a≡b (modm).已知a =1+C 120+C 220·2+C 320·22+…+C 2020·219，b ≡a (mon10),则b 的值可以是（） A.2 015 B.2 011 C.2 008 D.2 0063.某游戏中,一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下, 从最大面的六个出口出来,规定猜中出口者为胜.如果你在该游戏中,猜得珠子从出口3出来,那么你取胜的概率为( )A.165B.325 C .61D .以上都不对复数部分新题原创3道1.设f (n )=∈⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n i i i i nn(1111N ),则集合{x |x =f (n )}中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.无穷多个2.已知方程x 2+(4+i)x +4+a i=0(a ∈R )有实根b ,且z =a +b i ，则复数z 等于（）A.2-2iB.2+2iC.-2+2iD.-2-2i3.对于任意两个复数z 1=x 1+y 1i,z 2=x 2+y 2i (x 1、y 1、x 2、y 2∈R )，定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2=x 1x 2+y 1y 2,设非零复数ω1、ω2在复数平面内对应的点分别为P 1、P 2，点O 为坐标原点，如果ω1⊙ω2=0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为 .12）概率与统计新题原创4道1.设随机变量的分布列为下表所示且 1.6E ξ=，则a b -=( )A ．0.2B ．0.1C ．-0.2D ．-0.42.新入大学的甲刚进校时购买了一部新手机，他把手机号码抄给同学乙.第二天，同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复.（理）则拨号次数ξ不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望是 . （文）则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是 .3.设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分别为0.8、0.6、0.5，求（1)任两种股票至少有一种获利的概率；(2)三种股票至少有一种股票获利的概率.4.在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。

高考数学真题-全国卷创新题目汇编解析版

全国卷中的创新题与命题背景汇编1.二进制问题一．重要结论1.定义：设整数1>p ，则每个正整数n 可唯一表示为0111a p a p a p a n k k k k ++⋅⋅⋅++=--，其中i a 满足+∈-≤≤N i p a i ,10，0≠k a ，则称i a 为正整数n 的p 进制表示中的数码.特别地，当2=p 时就可得到正整数n 的二进制表示.2.二进制的运算性质.（1）若0111222a a a a n k k k k +⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=--，则称∑==k i i a n 0)(ω为正整数n 的2进制表示中的数码和，显然)()2(n n m ωω=⋅.证明：由于0111222a a a a n k k k k +⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=--，则m i ki i ma n +=⋅=⋅∑220，显然可得)()2(n n m ωω=⋅.（）（2）二进制的加法运算：“逢二进一”.待会通过例题予以分析.（3）)()()2(t n t n m ωωω+=+⋅，其中正整数t 的二进制展开式中最高次数小于m .证明：由于0111222a a a a n k k k k +⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=--，则m i k i i m a n +=⋅=⋅∑220，另一方面，令j l j j b t 20⋅=∑=，则)()()2(t n t n m ωωω+=+⋅.例如：写出11的二进制表示.解析：由于0123221202111+⨯+⨯+⨯=，故1011)11(2=.注：可以看到，一个正整数的二进制表示其实就是以2为底的幂级数展开的系数.二．典例分析.例.（2021新高考2卷）设正整数0111222a a a a n k k k k +⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=--，其中}1,0{∈i a ，记∑==k i i a n 0)(ω，则（）A.)()2(n n ωω= B.1)()32(+=+n n ωωC.)34()58(+=+n n ωω D.n n=-)12(ω解析：由上述性质（1），A 正确.（公众号：凌晨讲数学）由于0111222a a a a n k k k k +⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=--，则121100010222)1(2222232+=⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅++=++⋅=+∑k k i ki i a a a a n ，故2)()32(+=+n n ωω，则B 错误.同理可证，C 正确.最后，由于n n 2221210+⋅⋅⋅++=-，故n n=-)12(ω，D 正确.2.分支过程与灭绝概率一．概率母函数[1]1.设X 是非负整数值的离散型随机变量，其概率分布列为⋅⋅⋅===2,1,0},{k k X P p k ，则定义幂级数1||,)(0≤=∑∞=s s p s k k k φ，称为随机变量X 的概率母函数.2.主要性质[1]：（1）随机变量的概率分布由它的母函数唯一确定.即：)()()()(k Y P k X P s s Y X ===⇔=φφ（2）)1()1()(),1('''2'X X X X E EX φφφ+==.二．分支过程[1]设最初有0n 个物种，每隔一单位时间，一个物种可以分裂成)2,1,0(⋅⋅⋅=l l 个物种，设其对应的概率为1,0:0=≥∑∞=i l l l pp p .假设这些物种分裂是相互独立且具有相同的分布，令j n X ,1+表示在时刻n 存在的第j 个物种在下一时刻（第1+n 时刻）分裂成的物种个数，n Z 表示时刻n 中总物种的个数，则⎪⎩⎪⎨⎧===∑=++n Z j j n n n X Z n Z Z 1,1100下图说明具体的分裂过程：（公众号：凌晨讲数学）三．分支过程的母函数[1]分支过程⋅⋅⋅=2,1,0,n Z n 任一代的任意一个个体繁衍概率母函数均为：j j j s p s ∑∞==0)(φ.四．灭绝概率：分支过程的灭绝概率ρ是方程s s =)(φ的最小正根.注：由四可知，关于该物种分裂的灭绝概率研究等价于去研究方程s s =)(φ的最小正根.五．典例分析例（2021新高考2卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．解析：（1）()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设()()3232101f x p x p x p x p =++-+，因为32101p p p p +++=，故()()32322030f x p x p x p p p x p =+-+++，若()1E X ≤，则123231p p p ++≤，故2302p p p +≤.()()23220332f x p x p x p p p '=+-++，因为()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+-≤，故()f x '有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<≤，且()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上为增函数，在()12,x x 上为减函数，若21x =，因为()f x 在()2,x +∞为增函数且()10f =，而当()20,x x ∈时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X ≤，则1p =.若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>.此时()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+->，故()f x '有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<，且()()34,,x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；()34,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()3,x -∞，()4,x +∞上为增函数，在()34,x x 上为减函数，而()10f =，故()40f x <，又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.注1.此题实际就是分支过程的经典应用.注2.在最多分裂三个的情况下，32132p p p EX ++=，若使得1>EX ，明显让32,p p 越大，EX 就越大，物种的灭绝概率就会小于1，持续生存下去，这可能就是生二胎，生三胎的一个最直观的解释！参考文献：[1]孙荣恒.随机过程及其应用[M].北京:清华大学出版社，2003.3.概率创新问题例1．（2023年新高考2卷）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D．当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率解析：对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为2(1)(1)(1)(1)(1)βαβαβ---=--，A 正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为2(1)(1)(1)βββββ-⋅⋅-=-，B 正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B 知，所以所求的概率为22323C (1)(1)(1)(12)βββββ-+-=-+，C 错误；对于D，由选项C 知，三次传输，发送0，则译码为0的概率2(1)(12)P αα=-+，单次传输发送0，则译码为0的概率1P α'=-，而00.5α<<，因此2(1)(12)(1)(1)(12)0P P αααααα'-=-+--=-->，即P P '>，D 正确.故选：ABD 例2．（2022新高考2卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828解析：（1）由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯，又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）（i ）因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅，所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，（ii ）由已知40(|)100P A B =，10(|100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =，所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅ 4.数阵问题一．重要结论kk k k k k k a a a a a a a a a a a ,1,3,2,1,3,32,31,32,21,21,1,,,,,,,-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅性质1.显然，第一行一个数，第二行两个数，以此类推，第k 行有k 个数，这样的话，前k 行一共有2)1(+k k 个数.性质2.记t k T ,表示第k 行的前t 个数之和，则+=∈≤≤=∑N t k t a T t j j k t k ,1,1,,.性质3.记k S 表示前k 行所有数之和，则∑==k i ik T S 1.性质4.三角数阵的前N 项和.设存在整数l ，使得：]2)2)(1(,2)1([+++∈l l l l N ，进一步，记2)1(+-=l l N t ，则三角数阵的前N 项和t l l N T S S ,1++=.二．典例分析例.（2017年全国1卷12题）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列⋅⋅⋅8,4,2,1,4,2,1,2,1,1，其中第一项是02，接下来两项是102,2，再下来三项是2102,2,2，以此类推，求满足如下条件的最小整数100:>N N ，且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）解析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k - ，则该数列的前(1)122k k k ++++= 项和为：11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=- ，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=，所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A.5．全概率公式与随机游走1.转移概率：对于有限状态集合S ，定义：)|(1,i n j n j i X X P P ==+=为从状态i 到状态j 的转移概率.2.马尔可夫链：若ij i n j n i i n i n j n P X X P X X X X P n ==⋅⋅⋅==+==-==+-)|(),,,|(101101，即未来状态1+n X 只受当前状态n X 的影响，与之前的021,,,X X X n n ⋅⋅⋅--无关.3.完备事件组：如果样本空间Ω中一组事件组},,{21n A A A ⋅⋅⋅符合下列两个条件：（1）n j i j i A A j i ⋅⋅⋅=≠∅=⋂,2,1,,,；（2）Ω==k nk A 1 .则称},,{21n A A A ⋅⋅⋅是Ω的一个完备事件组，也称是Ω的一个分割.4.全概率公式：设},,{21n A A A ⋅⋅⋅是一个完备事件组，则有)|()()(1k nk k A B P A P B P ∑==二．典例分析.例1.（2019全国1卷）．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．（i）证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；（ii）求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．解析：（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：X1-01P ()1αβ-()()11αβαβ+--()1αβ-（2）0.5α= ，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i）()111,2,,7ii i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii）由（i）知：()110144i ii i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18341p ∴=-()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.例2．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n n i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．解析：（1）记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ，所以，()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.（2）设()i i P A p =，依题可知，()1i i P B p =-，则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+，即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+，构造等比数列{}i p λ+，设()125i i p p λλ++=+，解得13λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又11111,236p p =-=，所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，1,2,,i n =⋅⋅⋅，所以当*N n ∈时，()122115251263185315n n n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，故52()11853n n E Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．6.卡特兰数卡塔兰数：n n n n n n n C n C C C 212211+=-=+例.已知n i x i 2,2,1},1,1{⋅⋅⋅=-∈，并且满足021≥+⋅⋅⋅++i x x x )12,2,1(-⋅⋅⋅=n i ，021=+⋅⋅⋅+n x x ，求有序数组},...,{221n x x x 的个数n C .解：依题，i x 中共有n 个1，n 个1-，先不考虑021≥+⋅⋅⋅++i x x x )12,2,1(-⋅⋅⋅=n i 记为（*）式，则共有n n C 2种，接下来考虑排除法，若},...,{221n x x x 不符合（*）式，则一定存在一个的自然数)(n s s ≤，使得：⎩⎨⎧-==+⋅⋅⋅++--10122221s s x x x x ，现将1221,,-⋅⋅⋅s x x x 全部改变符号，即有f ：),,,(),,,(2212122121n s s f n s s x x x x x x x x ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-−→−⋅⋅⋅⋅⋅⋅--，对应后则有1+n 个1，1-n 个1-，反之，对任一个1+n 个1，1-n 个1-组成的有序数组),...,(221n x x x ，其必然存在一个最小的自然数s ，满足11221=+⋅⋅⋅+-s x x x .作对应),,,(),,,(:2212122121n s s f n s s x x x x x x x x g ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-−→−⋅⋅⋅⋅⋅⋅--，显然，f 与g 互为逆映射，从而不满足（*）式的个数，就是由1+n 个1，1-n 个1-组成的有序数组的个数，从而122+-=n n n n n C C C .点评：卡塔兰数在组合数学中常出现在各种计数问题中，其前几项为⋅⋅⋅，42,14,5,2,1,1，其满足⎪⎩⎪⎨⎧--===∑-=10)1()()(1)1()0(n i i n h i h n h h h 或1)24()1()(+-⋅-=n n h n h n .（2016年全国三卷）定义“规范01数列”}{n a 如下：}{n a 共有m 2项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4=m ，则则不同的“规范01数列”共有A.18个B.16个C.14个D.12个解析：显然，此题考查卡特兰数145148=⋅C .7.高斯取整函数[]x 表示实数x 的整数部分，即[]x 是不大于实数x 的最大整数.{}[]x x x =-，常称为x 的“小数部分”或“尾数部分”.2.高斯函数图像及小数部分图像.取整函数y =[]x 的图象.小数函数：{}y x =的图象性质：①定义域：x R ∈；性质：①定义域：x R∈②值域：y Z ∈；②值域：[)0,1；③图象：台阶型线段.③周期性：1T =.例2.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S ，=记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（1）求111101b b b ，，；（2）求数列{}n b 的前1000项和．解：（1）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得1d =．所以数列{}n a 的通项公式为n a n =．[]1lg10b ==，[]11lg111b ==，[]101lg1012b ==．（2）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000,n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893⨯+⨯+⨯=．。

高考数学创新题举例

[40.50）r （n ）A.12C.24'兀思维的草視高考数学创新题举例【例］】（女排^神茁21天津检测）中国女排的影响力早已超越体育本身的意义「不仅是时代的集体记忆’更是激励国人继续奋斗、自强不息的精神符号某大学组织学生看过电影《夺冠》后「举行了学习女排精神，塑造健康体魄"的主题活动「一段时间后’学生的身体憲质明显提高现随机抽取口0个学生进行体能测试’成绩的频率分布直方图如图所示』数据（单位：分）分成［50,60）—［90.100］六组，则成绩落在［70,80）内的人数为B.120 D.240 点评1. 本题以"电影《夺冠》"为背景，考查频率分布，体现了“德育的素养导向，学习対时”，立德树人.2. 求解的关键是理解频率分布直方图的特征，用频率估计总体分布，特别是,小长方形的面积表示数据分布在对应区间内的频率. 【例2】（智育为先卫021天逮调研）唐代诗人李硕的诗《古从军行》幵头两句>as 登山望烽火/黄昏饮马傍交河“诗中隐含着y 有趣的数学问题一•将军饮马伺题，即檸军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中「设军营所在区域为x 2+y 2<l,若将军从点P （L-2）处岀发，河岸线对应的直线方程为x+3y=5F 并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营』则“将军饮马”问题中的最短总路程为］A ）九4B5U 字D 心鬼维的草袒点评1•本题以“唐代诗人李颀的诗《古从军行》中的数学问题”为背景，考查直线与圆的位置关系、对称性问题与最值问题，体现了智育的素养导向，同时考查中国传统文化，提升学生修养・2•破解此类最值问题的关键在于“化折为直”，即把一动点到两定点的距离和的最小值问题，通过对称思想，转化为两点间的距离问题•Ihi 壮:呂 ||耐人C.②④【例3】(美育为^'2021-湖南衡阳八中检测)攒尖星古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形横尖、三角攒尖、四角攒尖、八甬攒尖，也有单檐和重檐之分’多见于亭阁式建筑、园林建筑以如图所示的建筑物为例』它属重榕四角攒尖「它的上层轮廓可近似看作一？正四棱谁，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍「则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比值为(R ID.V3点评1. 本题以"攒尖"为背景，考查正四棱锥内切球等知识，"攒尖"体现古典建筑之美，反映人民群众的智慧，陶冶情操,体现了美育的素养导向.2. 解题关键:盯"题眼"和细"观图"，会利用所给的实物的特征及题目中的"题眼"，如本例,从题眼"正四棱锥的侧面积是底面积的3倍"，求出正四棱锥的底面边长和斜高的关系式，再利用三角形的相似关系，即可得该正四棱锥的内切球的半径与该正四棱锥的底面边长的关系.【例纣(劳技为本.实践创新｝学校幵展劳动实习课」某班将在如图所示的曲边梯形ABCD 的场地中建矩形花圃EBFH,经建系测绘」收集到以下信息：巩叩儿A(2T 0)F B(2,8)f C(-2r 8).ffl 线匚D 可以近似看件函数y =-x 3图象的一段”AD 丄AB,AD//BC .现要求矩形花圃EBFH 的顶点E ’F,U 分别落在边A 叭边肚和曲边CD 上，若点H 的横坐标为x 且XG(-2,-1］,花圃EBFH 的面积S 与x 的函数关系式记为S 〔K ),则下列四个结论： ①S(x)在(-Z-1］上单调递增；o② SM 在(-2.-1］上先单调递增再单调递减;③ S(x)在(-2.-1)上存在最大值；④ S 仅)的最大值为21.其中正确的命题序号为(B ) A.①③匕①④C.②@点评 1•本题以“测量花圃的面积”为背景，考查函数的早调性与取,1于一N 极关注并开展劳动实践活动.2.解本题抓住两点：(1)准确求出目标函数S(x);⑵利用导数工具讨论函数的单调性和最值•需注意“二次求导”的活用。

高考数学科学复习创新方案：数列问题的热点题型

命题动向：等差、等比数列是重要的数列类型，高考考查的主要知识点有：等差、等比数列的概念、性质、前n项和公式．由于数列的渗透力很强，它和函数、方程、向量、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解．题型1等差、等比数列的综合运算例1(2022·新高考Ⅱ卷)已知{a n}为等差数列，{b n}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)证明：a1＝b1；(2)求集合{k|b k＝a m＋a1，1≤m≤500}中的元素个数．解(1)证明：设数列{a n}的公差为d，1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，1＋d－2b1＝8b1－（a1＋3d），，所以命题得证．解得b1＝a1＝d2，所以b k＝a m＋a1⇔b1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k(2)由(1)知，b1＝a1＝d2－1＝2m，亦即m＝2k－2∈[1，500]，解得2≤k≤10，所以k＝2，3，4， (10)故集合{k|b k＝a m＋a1，1≤m≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9.解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据两数列的概念，设n na1＝b1＝1，1＋a3＝b2＋b4，a2＋2＝b3.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)从下面条件①，②中选择一个作为已知条件，求数列{c n}的前n项和S n.条件①：c n＝a n b n；条件②：c n＝b na n.注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解(1)设{a n}的公比为q(q>0)，{b n}的公差为d，＋q2＝2＋4d，＋2＝1＋2d，解得q＝3或q＝－1(舍去)，d＝2，∴a n＝3n－1(n∈N*)，b n＝2n－1(n∈N*)．(2)选择条件①：c n＝a n b n，则c n＝(2n－1)·3n－1，∴S n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n－1＋c n＝1×1＋3×3＋5×32＋…＋(2n－3)×3n－2＋(2n －1)×3n－1，(ⅰ)∴3S n＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)得－2S n＝1＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝1＋2×3－3n1－3－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，∴S n＝(n－1)×3n＋1.选择条件②：c n＝b na n，则c n＝2n－13n－1，∴S n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n－1＋c n＝1＋33＋532＋…＋2n－33n－2＋2n－13n－1，(ⅰ)∴13S n＝13＋332＋533＋…＋2n－33n－1＋2n－13n，(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)得23S n＝1＋＋132＋133＋…＋－2n－13n＝1＋2×13－13n1－13－2n－13n＝2－2n ＋23n ，∴S n ＝3－n ＋13n －1(n ∈N *)．题型2数列的通项与求和例2(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1n ＋1，n 为奇数，n ＋2，n 为偶数.(1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式；(2)求{a n }的前20项和．解(1)由已知，a 1＝1，a 2＝a 1＋1＝2，a 3＝a 2＋2＝4，a 4＝a 3＋1＝5，所以b 1＝a 2＝2，b 2＝a 4＝5，因为a 2n ＋1＝a 2n ＋2＝a 2n －1＋1＋2＝a 2n －1＋3，即a 2n ＋1－a 2n －1＝3，所以数列{a n }的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列，所以当n 为奇数时，a n ＝1＝3n －12，因为a 2n ＋2＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋2＋1＝a 2n ＋3，即a 2n ＋2－a 2n ＝3，所以数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公差的等差数列，所以当n 为偶数时，a n ＝2＝3n －22，而b n ＝a 2n ＝3×2n －22＝3n －1，所以b n ＝3n －1.(2)由(1)，知{a n }的前20项和S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝(a 1＋a 3＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋…＋a 20)＝10×1＋10×92×3＋10×2＋10×92×3＝300.所以{a n }的前20项和为300.n n＋1n (1)求{a n}的首项和公差；(2)数列{b n}满足b nn＝3k－2，·a n，3k－1≤n≤3k，其中k，n∈N*，求错误!i.解(1)设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d，由a n＋1＝2a n－2n＋3可得a1＋nd＝2[a1＋(n－1)d]－2n＋3，即(d－2)n＋a1＋3－2d＝0，－2＝0，1＋3－2d＝0，1＝1，＝2.(2)a n＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1.因为b nn＝3k－2，·a n，3k－1≤n≤3k，则b nn＝3k－2，3k－1≤n≤3k，所以b1＋b4＋b7＋…＋b58＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋139×41＝12×…＝2041.b2＋b5＋b8＋b11＋…＋b56＋b59＝(a2－a5)＋(a8－a11)＋…＋(a56－a59)＝－3×2×20＝－120；b3＋b6＋b9＋b12＋…＋b57＋b60＝(－a3＋a6)＋(－a9＋a12)＋…＋(－a57＋a60)＝3×2×20＝120.因此错误!i ＝(b 1＋b 4＋b 7＋…＋b 58)＋(b 2＋b 5＋b 8＋…＋b 59)＋(b 3＋b 6＋b 9＋…＋b 60)＝2041－120＋120＝2041.题型3数列与其他知识的交汇角度数列与函数的交汇例3(2023·成都石室中学模拟)已知函数f (x )＝e x －12ax 2－x .(1)若f (x )在x ∈R 上单调递增，求a 的值；(2)证明：(1＋2(n ∈N *且n ≥2)．解(1)函数f (x )＝e x －12ax 2－x ，求导得f ′(x )＝e x －ax －1，由于函数f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )＝e x －ax －1≥0恒成立，令h (x )＝e x －ax －1，则h ′(x )＝e x －a ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x －1，当x <0时，f ′(x )<0，不满足条件；当a <0时，h ′(x )>0，h (x )在R 上单调递增，又e 1a －a ·1a －1＝e 1a －2<0，即f ，不满足条件；当a >0时，令h ′(x )＝0，得x ＝ln a ，则当x <ln a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x >ln a 时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，于是当x ＝ln a 时，h (x )取得最小值h (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1，于是h (ln a )≥0，即a －a ln a －1≥0，令u (a )＝a －a ln a －1，则u ′(a )＝－ln a ，当0<a <1时，u ′(a )>0，u (a )单调递增；当a >1时，u ′(a )<0，u (a )单调递减，则u (a )max ＝u (1)＝0，由于a －a ln a －1≥0恒成立，因此a －a ln a －1＝0，则a ＝1.(2)证明：由(1)知，当a ＝1时，e x －x －1≥0，即e x ≥x ＋1，当且仅当x ＝0时取等号，即当x >0时，ln (x ＋1)<x ，因此当n ∈N *且n ≥2时，ln （1＋1ln (1＋1)＋ln …＋ln ＋14＋…＋1n2，而当n ≥2时，1n 2<1n （n －1）＝1n －1－1n，所以1＋14＋…＋1n 2<1…1＋1－1n <2，则ln （1＋1，所以(1＋2(n ∈N *且n ≥2)．(1)数列与函数的综合问题一般是以函数为背景，n 123的数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数都不在下表的同一列，{b n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且a 1＝b 3－2b 1，S 7＝7a 3.第一列第二列第三列第一行152第二行4310第三行9820(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若c n＝[lg b n]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg2]＝0，[lg98]＝1，求数列{c n}的前100项和T100.解(1)由题意知a1＝2，a2＝4，a3＝8，所以等比数列{a n}的公比q＝2，a n＝a1q n－1＝2n.设等差数列{b n}的公差为d，则2＝b3－2b1＝2d－b1，S7＝7（b1＋b7）2＝7b4＝7a3，所以b4＝8＝b1＋3d，所以b1＝2，d＝2，b n＝2n.(2)c n＝[lg(2n)]，T100＝c1＋c2＋…＋c100＝[lg2]＋[lg4]＋…＋[lg8]＋[lg10]＋…＋[lg98]＋[lg 100]＋…＋[lg200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147.角度数列与不等式的交汇例4(2021·浙江高考)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝－94，且4S n＋1＝3S n －9(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足3b n＋(n－4)a n＝0(n∈N*)，记{b n}的前n项和为T n.若T n≤λb n对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．解(1)因为4S n＋1＝3S n－9，所以当n≥2时，4S n＝3S n－1－9，两式相减可得4a n＋1＝3a n，即a n＋1a n ＝3 4.当n＝1时，4S2＝－94＋a＝－274－9，解得a 2＝－2716，所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列，所以a n ＝－94×－1＝－3n ＋14n .(2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0，所以b n ＝(n －.所以T n ＝－3×34－－＋＋…＋(n －－1＋(n －，①且34T n ＝－－－＋＋…＋(n －＋(n －＋1，②①－②，得14T n ＝－3×34＋＋…－(n －＋1＝－94＋9161－11－34－(n －＋1＝－n＋1，所以T n ＝－4n＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n＋1≤λ(n －恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立，当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1；当n ＝4时，－12≤0恒成立；当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3.综上，实数λ的取值范围为[－3，1]．S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和，S 4＝32，T 3＝16.(1)求{a n }的通项公式；(2)证明：当n >5时，T n >S n .解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，而b n n －6，n 为奇数，a n ，n 为偶数，则b 1＝a 1－6，b 2＝2a 2＝2a 1＋2d ，b 3＝a 3－6＝a 1＋2d －6，4＝4a 1＋6d ＝32，3＝4a 1＋4d －12＝16，1＝5，＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋3，所以{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋3.(2)证法一：由(1)知，S n ＝n （5＋2n ＋3）2＝n 2＋4n ，b n n －3，n 为奇数，n ＋6，n 为偶数，当n 为偶数时，b n －1＋b n ＝2(n －1)－3＋4n ＋6＝6n ＋1，T n ＝13＋（6n ＋1）2·n 2＝32n 2＋72n ，当n >5时，T n －S n 2＋72n (n 2＋4n )＝12n (n －1)>0，因此T n >S n ；当n 为奇数时，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝32(n ＋1)2＋72(n ＋1)－[4(n ＋1)＋6]＝32n 2＋52n－5，当n >5时，T n －S n 2＋52n －(n 2＋4n )＝12(n ＋2)(n －5)>0，因此T n >S n .所以当n >5时，T n >S n .证法二：由(1)知，S n ＝n （5＋2n ＋3）2＝n 2＋4n ，b n n －3，n 为奇数，n ＋6，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n )＝－1＋2（n －1）－32·n 2＋14＋4n ＋62·n 2＝32n 2＋72n ，当n >5时，T n －S n 2＋72n (n 2＋4n )＝12n (n －1)>0，因此T n >S n ；当n 为奇数时，若n ≥3，则T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1)＝－1＋2n －32·n ＋12＋14＋4（n －1）＋62·n －12＝32n 2＋52n －5，显然T 1＝b 1＝－1满足上式，因此当n 为奇数时，T n ＝32n 2＋52n －5，当n >5时，T n －S n 2＋52n －(n 2＋4n )＝12(n ＋2)(n －5)>0，因此T n >S n .所以当n >5时，T n >S n .。

高考数学科学复习创新方案：解析几何中的热点题型

命题动向：圆锥曲线问题在高考中属于必考内容，并且常常在同一份试卷上多题型考查．对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法：第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识；第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题，解决此类问题的关键是通过联立方程来解决．题型1最值、范围问题角度最值问题例1(2021·全国乙卷)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求△PAB 面积的最大值．解(1)因为焦点FM ：x 2＋(y ＋4)2＝1上点的距离的最小值为|FM |－1＝p 2＋4－1＝p2＋3，所以p2＋3＝4，所以p ＝2.(2)解法一：由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x2.设切点A (x 1，y 1)，切点B (x 2，y 2)，则l P A ：y ＝x 12x －x 214，l PB ：y ＝x 22x －x 224.从而可得由题意可知直线AB 的斜率存在，设l AB ：y ＝kx ＋b ，与抛物线C ：x 2＝4y 联立，＝kx ＋b ，2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4b ＝0，则Δ＝16k 2＋16b >0，即k 2＋b >0，且x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以P (2k ，－b )．因为|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·16k 2＋16b ，点P 到直线AB 的距离d ＝|2k 2＋2b |k 2＋1，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝121＋k 2·16k 2＋16b ·|2k 2＋2b |k 2＋1＝4(k 2＋b )32.(*)又点P (2k ，－b )在圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上，所以k 2＝1－（b －4）24.将该式代入(*)式，得S △P AB ＝而y P ＝－b ∈[－5，－3]，所以b ∈[3，5]．所以当b ＝5时，△PAB 的面积最大，最大值为205.解法二：由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x2.设切点A (x 1，y 1)，切点B (x 2，y 2)，圆M 上任意一点P (x 0，y 0)，则易得l P A ：y ＝x 12x －x 214，l PB ：y ＝x 22x －x 224，＝x 12x －x 214，＝x 22x －x224，得所以x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x24，又线段AB 的中点Q所以S △P AB ＝12|PQ |·|x 1－x 2|＝12|y 1＋y 22－y 0|·|x 1－x 2|＝14|x 21＋x 224－2y 0|·|x 1－x 2|＝116|x 1－x 2|3＝116(|x 1－x 2|2)3＝116(（x 1＋x 2）2－4x 1x 2)3＝116(4x 20－16y 0)3＝12(x 20－4y 0)3.(*)又点P (x 0，y 0)在圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上，所以x 20＝1－(y 0＋4)2，代入(*)式，得S △P AB ＝12(－y 20－12y 0－15)32.而y 0∈[－5，－3]，所以当y 0＝－5时，△P AB 的面积最大，最大值为205.＞0)交于A ，B 两点，且|AB |＝415.(1)求p ；(2)设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，MF →·NF →＝0，求△MNF 面积的最小值．解(1)设A (x A ，y A )，B(x B ，y B )，－2y ＋1＝0，2＝2px ，可得y 2－4py ＋2p ＝0，所以y A ＋y B ＝4p ，y A y B ＝2p ，所以|AB |＝5|y A －y B |＝5×（y A ＋y B ）2－4y A y B＝5×16p 2－8p ＝415，即2p 2－p －6＝0，因为p ＞0，解得p ＝2.(2)显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，2＝4x，＝my＋n，可得y2－4my－4n＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n＞0⇒m2＋n＞0，因为MF→·NF→＝0，F(1，0)，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入，得4m2＝n2－6n＋1，4(m2＋n)＝(n－1)2＞0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋22或n≤3－22.设点F到直线MN的距离为d，所以d＝|1－n|1＋m2，|MN|＝1＋m2·|y1－y2|＝1＋m216m2＋16n＝1＋m24（n2－6n＋1）＋16n＝21＋m2|n－1|，所以△MNF的面积S＝12|MN|·d＝12×21＋m2|n－1|×|1－n|1＋m2＝(n－1)2，而n≥3＋22或n≤3－22，所以当n＝3－22时，△MNF的面积取得最小值，S min＝(2－22)2＝12－82.角度范围问题例2(2021·浙江高考)如图，已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|＝2.(1)求抛物线的方程；(2)设过点F的直线交抛物线于A，B两点，若斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且满足|RN|2＝|PN|·|QN|，求直线l在x 轴上截距的取值范围．解(1)因为M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|＝2，所以p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)由(1)知，F(1，0)，M(－1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋1，直线l的方程为y＝2x ＋n(n≠±2)．＝my＋1，2＝4x，可得y2－4my－4＝0，显然Δ>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋8.易知直线AM的方程为y＝y1x1＋1(x＋1)，＝y1x1＋1（x＋1），＝2x＋n，可得同理可得所以|y P y Q|＝|（n－2）2y1y2（2x1＋2－y1）（2x2＋2－y2）|＝|（n －2）2y 1y 22－y 2－y |＝|4（n －2）2y 1y 24y 1y 2－（2y 1y 2＋8）（y 1＋y 2）＋y 21y 22＋4（y 21＋y 22）＋16|＝（n－2）24m 2＋3.＝my ＋1，＝2x ＋n ，可得y R ＝n ＋21－2m.因为|RN |2＝|PN |·|QN |，所以y 2R ＝|y P y Q|＝（n －2）24m 2＋3，所以（n －2）2（n ＋2）2＝4m 2＋3（2m －1）2＝4（2m －1）2＋22m －1＋1＝＋34≥34，所以n <－2或－2<n ≤14－83或n ≥14＋83.因为直线l ：y ＝2x ＋n (n ≠±2)在x 轴上的截距为－n 2，所以－n2>1或43－7≤－n 2<1或－n2≤－7－43，即直线l 在x 轴上截距的取值范围是(－∞，－7－43]∪[43－7，1)∪(1，＋∞)．变式训练2(2021·北京高考)已知椭圆E ：x a 2＋y b2＝1(a >b >0)过点A (0，－2)，以四个顶点围成的四边形面积为45.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点P (0，－3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y ＝－3于点M ，N ，若|PM |＋|PN |≤15，求k 的取值范围．解(1)因为椭圆过A (0，－2)，所以b ＝2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，所以12×2a ×2b ＝45，即a ＝5，故椭圆E 的标准方程为x 25＋y 24＝1.(2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，因为直线BC 的斜率存在，所以x 1x 2≠0，故直线AB ：y ＝y 1＋2x 1x －2，令y ＝－3，则x M ＝－x 1y 1＋2，同理x N ＝－x 2y 2＋2.直线BC ：y ＝kx －3＝kx －3，x 2＋5y 2＝20可得(4＋5k 2)x 2－30kx ＋25＝0，故Δ＝900k 2－100(4＋5k 2)>0，解得k <－1或k >1.又x 1＋x 2＝30k 4＋5k 2，x 1x 2＝254＋5k2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0.又|PM |＋|PN |＝|x M ＋x N |＝|x 1y 1＋2＋x 2y 2＋2|＝|x 1kx 1－1＋x 2kx 2－1|＝|2kx 1x 2－（x 1＋x 2）k 2x 1x 2－k （x 1＋x 2）＋1|＝|50k 4＋5k 2－30k4＋5k 225k 24＋5k 2－30k 24＋5k2＋1|＝5|k |，故k <－1或k >1，5|k |≤15，即－3≤k <－1或1<k ≤3.综上，k 的取值范围是[－3，－1)∪(1，3]．题型2定点、定值、定直线问题角度定点问题例3(2023·全国乙卷)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是53，点A (－2，0)在C 上．(1)求C 的方程；(2)过点(－2，3)的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点．解(1)由题意可得b ＝2，a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a ＝53，解得a ＝3，b ＝2，c ＝5，所以C 的方程为y 29＋x 24＝1.(2)证明：由题意可知，直线PQ 的斜率存在，设直线PQ ：y ＝k (x ＋2)＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立方程y ＝k （x ＋2）＋3，y 29＋x 24＝1，消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1728k>0，解得k<0，可得x1＋x2＝－8k（2k＋3）4k2＋9，x1x2＝16（k2＋3k）4k2＋9，因为A(－2，0)，则直线AP：y＝y1x1＋2(x＋2)，令x＝0，解得y＝2y1x1＋2，即同理可得则2y1x1＋2＋2y2x2＋22＝k（x1＋2）＋3x1＋2＋k（x2＋2）＋3x2＋2＝[kx1＋（2k＋3）]（x2＋2）＋[kx2＋（2k＋3）]（x1＋2）（x1＋2）（x2＋2）＝2kx1x2＋（4k＋3）（x1＋x2）＋4（2k＋3）x1x2＋2（x1＋x2）＋4＝32k（k2＋3k）4k2＋9－8k（4k＋3）（2k＋3）4k2＋9＋4（2k＋3）16（k2＋3k）4k2＋9－16k（2k＋3）4k2＋9＋4＝10836＝3，所以线段MN的中点是定点(0，3)．(1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路是：y轴，且过A(0，－2)，B(1)求E的方程；(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT→＝TH→，证明：直线HN过定点．解(1)设E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，将A(0，－2)，B两点代入，＝1，＋n＝1，＝13，＝14，故E的方程为y24＋x23＝1.(2)证明：由A(0，－2)，BAB：y＝23x－2.①若过点P(1，－2)的直线的斜率不存在，直线方程为x＝1，代入y24＋x23＝1，可得y＝±263，不妨令y＝－263代入直线AB：y＝23x－2，可得T－6，由MT→＝TH→，得－26易求得此时直线HN：y－2，过点(0，－2)．②若过点P(1，－2)的直线的斜率存在，设为y＝kx－(k＋2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．kx－（k＋2），＋y24＝1，得(3k 2＋4)x 2－6k (k ＋2)x ＋3k (k ＋4)＝0，Δ＝36k 2(k ＋2)2－12k (k ＋4)(3k 2＋4)＝96(k 2－2k )>0⇒k <0或k >2，1＋x 2＝6k （k ＋2）3k 2＋4，1x 2＝3k （k ＋4）3k 2＋4，1＋y 2＝－8（2＋k ）3k 2＋4，1y 2＝8（2＋2k －k 2）3k 2＋4，且x1y 2＋x 2y 1＝－24k 3k 2＋4，(*)＝y 1，＝23x －2，可得3，y H (3y 1＋6－x 1，y 1)，可求得此时直线HN ：y －y 2＝y 1－y 23y 1＋6－x 1－x 2(x －x 2)，将(0，－2)代入，整理得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0，将(*)式代入，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立．综上，可得直线HN 过定点(0，－2)．角度定值问题例4(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．解(1)22，＋1b 2＝1，b 2＋c 2，解得a 2＝6，b 2＝c 2＝3，故椭圆C 的方程为x 26＋y 23 1.(2)证明：设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝0，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0.①当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，如图1.代入椭圆方程消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k2，②根据y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m ，代入①整理，可得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0，将②代入上式，得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2＋(km －k －(m －1)2＋4＝0，整理化简得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0，因为A (2，1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1，于是MN 的方程为y ＝－13，k ≠1，所以直线MN 过定点当直线MN 的斜率不存在时，可得N (x 1，－y 1)，如图2.代入(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0得(x 1－2)2＋1－y 21＝0，结合x 216＋y 213＝1，解得x 1＝2(舍去)或x 1＝23，此时直线MN过点因为|AE|为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE的中点Q满足|DQ|为定值由于A(2，1)，故由中点坐标公式可得故存在点|DQ|为定值．112 0)且与圆A1交于B，C两点，BC的中点为D，过A2C的中点E且平行于A1D的直线交A1C于点P，记P的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)坐标原点O关于A1，A2的对称点分别为B1，B2，点A1，A2关于直线y＝x 的对称点分别为C1，C2，过A1的直线l2与Γ交于M，N两点，直线B1M，B2N相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明．①△QB1C1的面积是定值；②△QB1B2的面积是定值；③△QC1C2的面积是定值．解(1)由题意得，A 1(－1，0)，A 2(1，0)．因为D 为BC 的中点，所以A 1D ⊥BC ，即A 1D ⊥A 2C ，又PE ∥A 1D ，所以PE ⊥A 2C ，又E 为A 2C 的中点，所以|PA 2|＝|PC |，所以|PA 1|＋|P A 2|＝|PA 1|＋|PC |＝|A 1C |＝4>|A 1A 2|，所以点P 的轨迹Γ是以A 1，A 2为焦点的椭圆(左、右顶点除外)．设Γ的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(x ≠±a )，其中a >b >0，a 2－b 2＝c 2，则2a ＝4，a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝3.故Γ的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)解法一：结论③正确．下证：△QC 1C 2的面积是定值．由题意得，B 1(－2，0)，B 2(2，0)，C 1(0，－1)，C 2(0，1)，且直线l 2的斜率不为0，可设直线l 2：x ＝my －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1≠±2，x 2≠±2.＋y 23＝1，my －1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，所以y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，所以2my 1y 2＝－3(y 1＋y 2)．直线B 1M 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线B 2N 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，＝y 1x 1＋2（x ＋2），＝y 2x 2－2（x －2），得x ＋2x －2＝y 2（x 1＋2）y1（x 2－2）＝y2（my1＋1）y1（my2－3）＝my1y2＋y2my1y2－3y1＝－32（y1＋y2）＋y2－32（y1＋y2）－3y1＝－32y1－12y2－92y1－32y2＝13，解得x＝－4.故点Q在直线x＝－4上，所以Q到C1C2的距离d＝4，因此△QC1C2的面积是定值，为12C1C2|·d＝12×2×4＝4.解法二：结论③正确．下证：△QC1C2的面积是定值．由题意得，B1(－2，0)，B2(2，0)，C1(0，－1)，C2(0，1)，且直线l2的斜率不为0，可设直线l2：x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1≠±2，x2≠±2.＋y33＝1，my－1，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，所以y1＋y2＝6m 3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，所以2my1y2＝－3(y1＋y2)．直线B1M的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，直线B2N的方程为y＝y2x2－2(x－2)，＝y1x1＋2（x＋2），＝y2x2－2（x－2），得x＝2×y2（x1＋2）＋y1（x2－2）y2（x1＋2）－y1（x2－2）＝2×y2（my1＋1）＋y1（my2－3）y2（my1＋1）－y1（my2－3）＝2×2my1y2＋y2－3y1y2＋3y1＝2×2my1y2＋3（y1＋y2）－2（y2＋3y1）y2＋3y1＝－4，故点Q在直线x＝－4上，所以Q到C1C2的距离d＝4，因此△QC1C2的面积是定值，为12C1C2|·d＝12×2×4＝4.解法三：结论③正确．下证：△QC1C2的面积是定值．由题意得，B1(－2，0)，B2(2，0)，C1(0，－1)，C2(0，1)，且直线l2的斜率不为0.(ⅰ)当直线l2垂直于x轴时，l2：x＝－1，＋y23＝1，1，＝－1，＝－32＝－1，＝32.不妨设11则直线B1M的方程为y＝32(x＋2)，直线B2N的方程为y＝12(x－2)，＝32（x＋2），＝12（x－2），＝－4，＝－3，所以Q(－4，－3)，故Q到C1C2的距离d＝4，此时△QC1C2的面积为12C1C2|·d＝12×2×4＝4.(ⅱ)当直线l2不垂直于x轴时，设直线l2：y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1≠±2，x2≠±2.＋y 23＝1，k （x ＋1），得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋(4k 2－12)＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.直线B 1M 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线B 2N 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，＝y 1x 1＋2（x ＋2），＝y 2x 2－2（x －2），得x ＝2×y 2（x 1＋2）＋y 1（x 2－2）y 2（x 1＋2）－y 1（x 2－2）＝2×k （x 2＋1）（x 1＋2）＋k （x 1＋1）（x 2－2）k （x 2＋1）（x 1＋2）－k （x 1＋1）（x 2－2）＝4x 1x 2－2x 1＋6x 23x 1＋x 2＋4.下证：4x 1x 2－2x 1＋6x 23x 1＋x 2＋4＝－4.即证4x 1x 2－2x 1＋6x 2＝－4(3x 1＋x 2＋4)，即证4x 1x 2＝－10(x 1＋x 2)－16，即证4×4k 2－124k 2＋3＝－16，即证4(4k 2－12)＝－10(－8k 2)－16(4k 2＋3)，上式显然成立，故点Q 在直线x ＝－4上，所以Q 到C 1C 2的距离d ＝4，此时△QC 1C 2的面积是定值，为12C 1C 2|·d ＝12×2×4＝4.由(ⅰ)(ⅱ)可知，△QC 1C 2的面积为定值．解法四：结论③正确．下证：△QC 1C 2的面积是定值．由题意得，B 1(－2，0)，B 2(2，0)，C 1(0，－1)，C 2(0，1)，且直线l 2的斜率不为0，可设直线l 2：x ＝my －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1≠±2，x 2≠±2.＋y 23＝1，my －1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，所以y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.直线B 1M 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线B 2N 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，因为x 224＋y 223＝1，所以y 2x 2－2＝－34×x 2＋2y 2，故直线B 2N 的方程为y ＝－34×x 2＋2y 2(x －2)．＝y 1x 1＋2（x ＋2），＝－34×x 2＋2y 2（x －2），得x －2x ＋2＝－4y 1y 23（x 1＋2）（x 2＋2）＝－4y 1y 23（my 1＋1）（my 2＋1）＝－43×y 1y 2m 2y 1y 2＋m （y 1＋y 2）＋1＝－43×－9－9m 2＋6m 2＋（3m 2＋4）＝3，解得x ＝－4.故点Q 在直线x ＝－4上，所以Q 到C 1C 2的距离d ＝4，因此△QC 1C 2的面积是定值，为12C 1C 2|·d ＝12×2×4＝4.角度定直线问题例5(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(－25，0)，离心率为5.(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过点(－4，0)的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线MA 1与NA 2交于点P .证明：点P 在定直线上．解(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由焦点坐标可知c ＝25，则由e ＝c a ＝5可得a ＝2，b ＝c 2－a 2＝4，故C 的方程为x 24－y 216＝1.(2)证法一：由(1)可得A 1(－2，0)，A 2(2，0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，显然直线MN 的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为x ＝my －4，且－12<m <12，与x 24－y 216＝1联立可得(4m 2－1)y 2－32my ＋48＝0，且Δ＝64(4m 2＋3)>0，则y 1＋y 2＝32m 4m 2－1，y 1y 2＝484m 2－1，直线MA 1的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线NA 2的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，联立直线MA 1与直线NA 2的方程可得，x ＋2x －2＝y 2（x 1＋2）y 1（x 2－2）＝y 2（my 1－2）y 1（my 2－6）＝my 1y 2－2（y 1＋y 2）＋2y 1my 1y 2－6y 1＝m ·484m 2－1－2·32m 4m 2－1＋2y 1m ·484m 2－1－6y 1＝－16m4m 2－1＋2y 148m 4m 2－1－6y 1＝－13，由x ＋2x －2＝－13可得x ＝－1，即x P ＝－1，据此可得，点P 在定直线x ＝－1上．证法二：由题意得A 1(－2，0)，A 2(2，0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，则x 214－y 2116＝1，即4x 21－y 21＝16.如图，连接MA 2，k MA 1·k MA 2＝y 1x 1＋2·y 1x 1－2＝y 21x 21－4＝4x 21－16x 21－4＝4.①由x 24－y 216＝1，得4x 2－y 2＝16，4[(x －2)＋2]2－y 2＝16，4(x －2)2＋16(x －2)＋16－y 2＝16，4(x －2)2＋16(x －2)－y 2＝0.由x ＝my －4，得x －2＝my －6，my －(x －2)＝6，16[my －(x －2)]＝1.4(x －2)2＋16(x －2)·16[my －(x －2)]－y 2＝0，4(x －2)2＋83(x －2)my －83x －2)2－y 2＝0，两边同时除以(x －2)2，得43＋8m 3·y x －2－＝0，－8m 3·y x －2－43＝0.k MA 2＝y 1x 1－2，kNA 2＝y 2x 2－2，由根与系数的关系得k MA 2·k NA 2＝－43.②由①②可得k MA 1＝－3k NA 2.l MA 1：y ＝k MA 1(x ＋2)＝－3k NA 2(x ＋2)，l NA 2：y ＝k NA 2(x －2)．由y ＝－3k NA 2（x ＋2），y ＝k NA 2（x －2），解得x ＝－1.所以点P 在定直线x ＝－1上．定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题．这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程．(2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数．(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，再对一般位置进行验证．变式训练5(2023·江苏常州一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为22，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (4，1)的动直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，在线段AB 上取点Q ，满足|AP |·|QB |＝|AQ |·|PB |，证明：点Q 总在某定直线上．解(1)由题意可知2b ＝22，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝2，c ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：直线AB 的斜率显然存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )．因为A ，P ，B ，Q 四点共线，不妨设x 2<x <x 1<4，则|AP |＝1＋k2(4－x1)，|AQ|＝1＋k2(x1－x)，|QB|＝1＋k2(x－x2)，|PB|＝1＋k2(4－x2)，由|AP|·|QB|＝|AQ|·|PB|，可得(4－x1)·(x－x2)＝(x1－x)(4－x2)，化简得2x1x2－(x1＋x2)(4＋x)＋8x＝0.(*)联立直线y＝k(x－4)＋1＋y22＝1，k（x－4）＋1，消去y，得(2k2＋1)x2＋4k(1－4k)x＋32k2－16k－2＝0，由Δ＝16k2(1－4k)2－4(2k2＋1)(32k2－16k－2)>0，得12k2－8k－1<0，所以x1＋x2＝－4k（1－4k）2k2＋1，x1x2＝32k2－16k－22k2＋1，代入(*)，化简得x＝4k＋1k＋2＝4－7k＋2，即7k＋2＝4－x.又Q在直线AB上，所以k＝y－1x－4，代入上式，得7y－1x－4＋2＝4－x，化简得2x＋y－2＝0，所以点Q总在定直线2x＋y－2＝0上．题型3圆锥曲线中的探索性问题例6如图，已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|＝16.(1)求抛物线C的方程；(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)当l的斜率为1时，∵∴l的方程为y＝x－p 2 .＝x－p2，2＝2px，得x2－3px＋p24＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，∴|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝16，p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)解法一：假设满足条件的点P存在．设P(a，0)，由(1)知F(2，0)．①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，＝k（x－2），2＝8x，得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，Δ＝(4k2＋8)2－4·k2·4k2＝64k2＋64>0，x1＋x2＝4k2＋8k2，x1x2＝4.∵直线PM，PN关于x轴对称，∴k PM＋k PN＝0，又k PM＝k（x1－2）x1－a，k PN＝k（x2－2）x2－a，∴k（x1－2）x1－a＋k（x2－2）x2－a＝0，两边同时乘以(x1－a)(x2－a)，得k(x1－2)·(x2－a)＋k(x2－2)(x1－a)＝k[2x1x2－(a＋2)(x1＋x2)＋4a]＝－8（a＋2）k＝0，∴a＝－2，此时P(－2，0)．②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可．综上，存在唯一的点P(－2，0)，使直线PM，PN关于x轴对称．解法二：假设满足条件的点P存在．设P(a，0)，由(1)知F(2，0)，显然，直线l的斜率不为0，设l：x＝my＋2，＝my＋2，2＝8x，得y2－8my－16＝0，则Δ＝(－8m)2＋4×16＝64m2＋64>0，y1＋y2＝8m，y1y2＝－16.k PM＝y1x1－a，k PN＝y2x2－a，k PM＋k PN＝0⇒(x2－a)y1＋(x1－a)y2＝0，∴(my2＋2－a)y1＋(my1＋2－a)y2＝0，∴2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝2m×(－16)＋(2－a)×8m＝0，∴a＝－2，∴存在唯一的点P(－2，0)，使直线PM，PN关于x轴对称．其左焦点为F1(－2，0)．(1)求Γ的方程；(2)如图，过Γ的上顶点P作动圆F1的切线分别交Γ于点M，N，是否存在圆F1使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形？若存在，求出圆F1的半径；若不存在，请说明理由．解(1)由题意设焦距为2c，则c＝2，由离心率为22，得a＝22，则b2＝a2－c2＝4，故Γ的方程为x28＋y24＝1.(2)不存在．证明如下：由(1)知P(0，2)，假设存在圆F1满足题意，当圆F1过原点O时，直线PN与y轴重合，直线PM的斜率为0，不符合题意．依题意不妨设PM：y＝k1x＋2(k1≠0)，PN：y＝k2x＋2(k2≠0)，圆F1的半径为r，则圆心到直线PM的距离为|－2k1＋2|1＋k21＝r，所以(r2－4)k21＋8k1＋r2－4＝0，同理，(r2－4)k22＋8k2＋r2－4＝0，即k1，k2是关于k的方程(r2－4)k2＋8k＋r2－4＝0的两个不相等的实数根，此时k1k2＝1.联立直线PMk1x＋2，＋y24＝1，得(1＋2k21)x2＋8k1x＝0，所以x P＋x M＝－8k11＋2k21，即x M＝－8k11＋2k21，得y M＝2－4k211＋2k21，所以－8k11＋2k21，同理，－8k 21＋2k 22，由k 2＝1k 1，得－8k 12＋k 21，由题意，PM ⊥MN ，即k MN ＝－1k 1，此时k MN ＝2－4k 211＋2k 21－2k 21－42＋k 21－8k 11＋2k 21＋8k 12＋k 21＝（－2k 21＋1）（k 21＋2）－（k 21－2）（2k 21＋1）4k 1（2k 21＋1）－4k 1（k 21＋2）＝－4k 41＋44k 1（k 21－1）＝－k 21＋1k 1，所以－k 21＋1k1＝－1k 1，因为k 1≠0，所以方程无解，故不存在圆F 1满足题意．题型4圆锥曲线中的证明问题角度位置关系的证明例7(2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F (2，0)，且离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝3.解(1)由题意，知椭圆的半焦距c ＝2且e ＝c a ＝63，所以a ＝3，又b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明：由(1)得，曲线为x 2＋y 2＝1(x >0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得|－2k|k2＋1＝1，解得k＝±1，±（x－2），y2＝1，可得4x2－62x＋3＝0，所以x1＋x2＝322，x1x2＝34，所以|MN|＝1＋1·（x1＋x2）2－4x1x2＝3，所以必要性成立；充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)，即kx－y＋m＝0，由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得|m|k2＋1＝1，所以m2＝k2＋1，kx＋m，y2＝1，可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－6km1＋3k2，x1x2＝3m2－31＋3k2，所以|MN|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋k2＝1＋k2·24k21＋3k2＝3，化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，＝1，＝－2＝－1，＝2，所以直线MN ：y ＝x －2或y ＝－x ＋2，所以直线MN 过点F (2，0)，即M ，N ，F 三点共线，充分性成立．所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝3.树立“转化”意识，证明位置关系，如相切、垂直、过定点等，关键是将位置变式训练7(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C ：x a 2－y b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在C 上，且x 1＞x 2＞0，y 1＞0.过P 且斜率为－3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|AM |＝|BM |.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解(1)∵右焦点为F (2，0)，∴c ＝2，∵渐近线方程为y ＝±3x ，∴ba＝3，∴b ＝3a ，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2＝4，∴a ＝1，b ＝3.∴C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意知，直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程，整理得(3－k 2)x 2－2ktx －t 2－3＝0，则x 1＋x 2＝2kt3－k 2，x 1x 2＝－t 2＋33－k 2＞0，∴3－k 2＜0，∴x 1－x 2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝23（t 2＋3－k 2）k 2－3.设点M 的坐标为(x M ，y M )，M －y 1＝－3（x M －x 1），M －y 2＝3（x M －x 2），两式相减，得y 1－y 2＝23x M －3(x 1＋x 2)，又y 1－y 2＝(kx 1＋t )－(kx 2＋t )＝k (x 1－x 2)，∴23x M ＝k (x 1－x 2)＋3(x 1＋x 2)，解得x M ＝k t 2＋3－k 2－ktk 2－3.两式相加，得2y M －(y 1＋y 2)＝3(x 1－x 2)，又y 1＋y 2＝(kx 1＋t )＋(kx 2＋t )＝k (x 1＋x 2)＋2t ，∴2y M ＝k (x 1＋x 2)＋3(x 1－x 2)＋2t ，解得y M ＝3t 2＋3－k 2－3tk 2－3＝3kx M .∴点M 的轨迹为直线y ＝3k x ，其中k 为直线PQ 的斜率．若选择①②：∵PQ ∥AB ，∴直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，不妨令点A 在直线y ＝3x 上，A ＝k （x A －2），A ＝3x A ，解得x A ＝2k k －3，y A ＝23kk －3，同理可得x B＝2kk＋3，y B＝－23kk＋3，∴x A＋x B＝4k2k2－3，y A＋y B＝12kk2－3.点M M＝k（x M－2），M＝3kx M，得x M＝2k2k2－3＝x A＋x B2，y M＝6kk2－3＝y A＋y B2，故M为AB的中点，即|AM|＝|BM|.若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2，0)，此时M不在直线y＝3kx上，矛盾．当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(x A，y A)，B(x B，y B)，不妨令点A在直线y＝3x上，A＝m（x A－2），A＝3x A，解得x A＝2mm－3，y A＝23mm－3，同理可得x B＝2mm＋3，y B＝－23mm＋3，∵M在AB上，且|AM|＝|BM|，∴x M＝x A＋x B2＝2m2m2－3，y M＝y A＋y B2＝6mm2－3，又点M在直线y＝3kx上，∴6mm2－3＝3k·2m2m2－3，解得k＝m，因此PQ∥AB.若选择②③：∵PQ∥AB，∴直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(x A，y A)，B(x B，y B)，不妨令点A在直线y＝3x上，A＝k（x A－2），A＝3x A，解得x A＝2kk－3，y A＝23kk－3，同理可得x B＝2kk＋3，y B＝－23kk＋3.设AB的中点为C(x C，y C)，则x C＝x A＋x B2＝2k2k2－3，y C＝y A＋y B2＝6k k2－3.∵|AM|＝|BM|，∴M在AB的垂直平分线上，即M在直线y－y C＝－1k(x－x C)，即y－6kk2－3＝－与y＝3k x联立，得x M＝2k2k2－3＝x C，y M＝6kk2－3＝y C，即M恰为AB的中点，故M在直线AB上．角度数量关系的证明例8(2023·新课标Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点PP的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33.解(1)设P (x ，y )，则|y |y ＝x 2＋14，故W 的方程为y ＝x 2＋14.(2)证法一：不妨设A ，B ，D 在W上，且AB ⊥AD ，依题意可设，a 2AB ，AD 的斜率均存在且不为0，则设AB ，AD 的斜率分别为k 和－1k，由对称性，不妨设|k |≤1，直线AB 的方程为y ＝k (x －a )＋a 2＋14，＝x 2＋14，＝k （x －a ）＋a 2＋14，得x 2－kx ＋ka －a 2＝0，Δ＝k 2－4(ka －a 2)＝(k －2a )2>0，则k ≠2a ，则|AB |＝1＋k 2|k －2a |，同理|AD |＝1＋1k 2|1k ＋2a |，所以|AB |＋|AD |＝1＋k 2|k －2a |＋1＋1k2|1k ＋2a |－2a |＋|1k ＋2a ≥1＋k 2|k ＋1k |＝（1＋k 2）3k2.令k 2＝m ，则m ∈(0，1]，设f (m )＝（m ＋1）3m＝m 2＋3m ＋1m ＋3，则f ′(m )＝2m ＋3－1m 2＝（2m －1）（m ＋1）2m2，令f ′(m )＝0，解得m ＝12，当mf ′(m )<0，f (m )单调递减，当m 1时，f ′(m )>0，f (m )单调递增，则f (m )min ＝＝274，所以|AB |＋|AD |≥332，但1＋k 2|k －2a |＋1＋1k 2|1k ＋2a |≥－2a |＋|1k ＋2a 此处取等号的条件为|k |＝1，与最终取等号的条件|k |＝22不一致，故|AB |＋|AD |>332，故矩形ABCD的周长大于33.证法二：设矩形的三个顶点，a 2，b 2C ，c 2W 上，a <b <c ，且AB ⊥BC ，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在且不为0，则k AB ·k BC ＝－1，a ＋b <b ＋c ，令kAB ＝b 2＋14－2b －a＝a ＋b ＝m <0，同理，令k BC ＝b ＋c ＝n >0，且mn ＝－1，则m ＝－1n，设矩形的周长为l ，由对称性，不妨设|m |≥|n |，k BC －k AB ＝c －a ＝n －m ＝n ＋1n，则12l ＝|AB |＋|BC |＝(b －a )1＋m 2＋(c －b )1＋n 2≥(c －a )1＋n 2＝n>0，令f(x)(1＋x2)，x>0，f′(x)＝x令f′(x)＝0，解得x＝22，当x f′(x)<0，f(x)单调递减，当x f′(x)>0，f(x)单调递增，则f(x)min＝＝274，故1 2l≥274＝332，即l≥33.当l＝33时，n＝22，m＝－2，且(b－a)1＋m2＝(b－a)1＋n2，即当|m|＝|n|时等号成立，矛盾，故l>33，得证．证法三：为了计算方便，我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线W′：y＝x2，矩形ABCD变换为矩形A′B′C′D′，则问题等价于矩形A′B′C′D′的周长大于33.设B′(t0，t20)，A′(t1，t21)，C′(t2，t22)在W′上，且A′B′⊥B′C′，根据对称性，不妨设t0≥0，则k A′B′＝t1＋t0，k B′C′＝t2＋t0，由于A′B′⊥B′C′，则(t1＋t0)(t2＋t0)＝－1.由于|A′B′|＝1＋（t1＋t0）2|t1－t0|，|B′C′|＝1＋（t2＋t0）2|t2－t0|，且t0介于t1，t2之间，不妨设t1＜t0＜t2，则|A′B′|＋|B′C′|＝1＋（t1＋t0）2(t0－t1)＋1＋（t2＋t0）2(t2－t0)．令t 2＋t 0＝tan θ，θ则t 1＋t 0＝－1tan θ，则t 2＝tan θ－t 0，t 1＝－1tan θ－t 0，所以|A ′B ′|＋|B ′C ′|t 0＋1＋tan 2θ(tan θ－2t 0)，故|A ′B′|＋|B ′C ′|＝2t0＋sin θcos 2θ＋cos θsin 2θ＝2t 0（cos θ－sin θ）sin θcos θ＋sin 3θ＋cos 3θsin 2θcos 2θ.①当θ，π4时，|A ′B ′|＋|B ′C ′|≥sin 3θ＋cos 3θsin 2θcos 2θ＝sin θcos 2θ＋cos θsin 2θ≥21sin θcos θ＝22sin2θ≥22＞322；②当θt 1<t 0<t 2，从而－1tan θ－t 0<t 0<tan θ－t 0，从而－12tan θ<t 0<tan θ2，又t 0≥0，故0≤t 0<tan θ2，所以|A ′B ′|＋|B ′C ′|＝2t 0（cos θ－sin θ）sin θcos θ＋sin 3θ＋cos 3θsin 2θcos 2θ>sin θ（cos θ－sin θ）sin θcos 2θ＋sin 3θ＋cos 3θsin 2θcos 2θ＝1sin 2θcos θ＝2sin 2θsin 2θ·2cos 2θ＝2（1－cos 2θ）（1－cos 2θ）·2cos 2θ≥2（1－cos 2θ）＋（1－cos 2θ）＋2cos 2θ33＝332，当且仅当cos θ＝33时等号成立，故|A ′B ′|＋|B ′C ′|>332，故矩形ABCD 的周长大于33.数量关系方面的证明，如存在定值、恒成立、值相等、角相等等，解决此类变式训练8已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 4＋y 3＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明|F A →|，|FP→|，|FB→|成等差数列，并求该数列的公差．解(1)证法一(点差法)：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0，由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由题设得0<m <32，故k <－12.证法二(常规设线)：设AB ：y ＝kx ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当k ＝0时，显然不满足题意；＋y 23＝1，kx ＋t ，得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－12＝0，所以Δ>0，即4k 2＋3－t 2>0，x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2，而x 1＋x 22＝1，所以3＋4k 2＝－4kt ，又m ＝k ＋t ＝k －4k 2＋34k＝－34k >0，所以k <0，4k 2＋3>0，即k 2>14，又k <0，解得k <－12.(2)解法一(常规运算＋整体思想)：由题意得F (1，0)，设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)，由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而|FP →|＝32.于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 212－x 12.同理|FB →|＝2－x 22，所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP→|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128，所以该数列的公差为32128或－32128.解法二(直接运算)：由FP →＋FA →＋FB →＝0，知点F 为△PAB 的重心，由三角形重心坐标公式可得x P ＝1，y P ＝－2m ，即P (1，－2m )．由点P 在椭圆上，把坐标代入方程解得m ＝34，即由(1)有k ＝－34m ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ＋74，将其与椭圆方程联立，消去y 得28x 2－56x ＋1＝0，求得x 1，2＝14±32114，不妨设x A <x B ，所以x A ＝14－32114，x B ＝14＋32114，|FA →|＝（x A －1）2＋y 2A 2－x A 2＝42＋32128，同理，可得|FB →|＝2－x B 2＝42－32128，所以|F A →|＋|FB →|＝3，而|FP →|＝32，故|FA →|＋|FB →|＝2|FP →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，从而公差为32－12(x 1，2－1)，即该数列的公差为32128或－32128.解法三(焦半径公式的应用)：因为线段AB 的中点为M (1，m )，所以x 1＋x 2＝2.由FP →＋FA →＋FB →＝0，知点F 为△PAB 的重心，由三角形重心坐标公式可得x P＝1，由椭圆方程可知e ＝12，由椭圆的焦半径公式得|FA →|＋|FB →|＝(a －ex 1)＋(a －ex 2)＝2a －e (x 1＋x 2)＝3，|FP →|＝a －ex P ＝32.所以|FA →|＋|FB →|＝2|FP →|，即|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．由解法二可得，x A ＝14＋32114或x A ＝14－32114，从而公差为32－－12x ＝12(x A －1)，即该数列的公差为32128或－32128.。

高三数学试卷创新题目

1. 若函数f（x）=ax^2+bx+c的图像开口向上，且f（0）=1，f（2）=5，则a=________，b=________，c=________。

2. 已知数列{an}是等比数列，若a1=2，公比q=3，则a6=________。

3. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=75°，则sinC=________。

4. 已知函数f（x）=lnx+1/x，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则x的取值范围是________。

5. 设复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的轨迹是________。

二、选择题（每题3分，共30分）6. 若函数f（x）=x^3-3x+1在区间[0，1]上存在零点，则f（0）和f（1）的符号关系是（）A. 同号B. 异号C. 无关D. 无法确定7. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a5=（）A. 4B. 5C. 6D. 78. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=75°，则sinC的最大值是（）A. 1/2B. √3/2C. √2/2D. 19. 若函数f（x）=ax^2+bx+c在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，则a，b，c的符号关系是（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a<0，b>0，c>0D. a<0，b<0，c>010. 已知复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 一条射线B. 一条线段C. 一条直线D. 一个圆三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知函数f（x）=x^3-3x+1，求f（x）在区间[0，1]上的最大值和最小值。

12. 已知数列{an}是等比数列，若a1=2，公比q=3，求an。

13. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=75°，求sinC。

高三数学创新题(含答案)

1、min{1s ，2s ，┅，n s }，max{1s ，2s ，┅，n s }分别表示实数1s ，2s ，┅，n s 中的最小者和最大者．（1）作出函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的图像；（2）在求函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的最小值时，有如下结论：min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．请说明此结论成立的理由；（3）仿照（2）中的结论，讨论当1a ，2a ，┅，n a 为实数时，函数)(x f ＝||11x x a -＋||22x x a -＋┅＋||n n x x a -(x ∈R ，1x ＜2x ＜┅＜n x ∈R )的最值．解：（1）图略；（2）当x ∈（－∞，－3）时，)(x f 是减函数，当x ∈[－3，1）时，)(x f 是减函数，当x ∈[1，＋∞）时，)(x f 是增函数， ∴min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．（3）当1a ＋2a ＋┅＋n a ＜0时，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }；当1a ＋2a ＋┅＋n a ＞0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }；当1a ＋2a ＋┅＋n a ＝0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(n x f }，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(n x f }．2、对数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中)(1N n a a a n n n ∈-=∆+。

对自然数k ，规定{}nka ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中)(1111n k n k n k n k a a a a --+-∆∆=∆-∆=∆。

（1）已知数列{}n a 的通项公式),(2N n n n a n ∈+=，试判断{}n a ∆，{}n a 2∆是否为等差或等比数列，为什么？（2）若数列{}n a 首项11=a ，且满足)(212N n a a a n n n n ∈-=+∆-∆+，求数列{}n a 的通项公式。

数学试卷高考创新卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. √9B. -√16C. πD. 0.252. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么f(x)的图像是（）A. 一个开口向上的抛物线B. 一个开口向下的抛物线C. 一条直线D. 一个圆3. 下列各方程中，无解的是（）A. x + 3 = 0B. 2x - 4 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. 3x^2 - 2x + 1 = 04. 若a、b是实数，且a + b = 0，则下列等式中正确的是（）A. a^2 = b^2B. a^2 = -b^2C. a^2 = 2b^2D. a^2 = b^2 + 15. 下列各函数中，单调递增的是（）A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = -xD. f(x) = |x|6. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1 + a2 + a3 = 18，则数列{an}的第10项是（）A. 26B. 28C. 30D. 327. 若复数z满足|z - 2| = |z + 2|，则复数z的实部是（）A. 0B. 2C. -2D. 无法确定8. 下列各三角形中，是等边三角形的是（）A. 三边长分别为3，4，5的三角形B. 三边长分别为5，5，5的三角形C. 三边长分别为6，8，10的三角形D. 三边长分别为7，7，12的三角形9. 下列各不等式中，正确的是（）A. 2x + 3 > 5B. 2x - 3 < 5C. 2x + 3 ≤ 5D. 2x - 3 ≥ 510. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，那么f(x)的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 3]上单调递增，则x的取值范围是______。

12. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部是______。