2015年高考数学创新设计精品习题专题训练1-2-2
2015年高考数学新高考创新题型之8：解析几何(含精析)[来源：学优高考网1584640]
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之8.解析几何（含精析）一、选择题。
1．如图，已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1y x C a b-=(a ＞0，b ＞0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（ ）A 、5B 、17C 、5D 、21472．如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.324 B.233 C.305D.523．已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2223x y y +=-+，直线l 过点(1,0)且与直线10x y -+=垂直.若直线l 与圆C 交于A B 、两点，则OAB ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．224．方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）二、填空题。
5．圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示,椭圆C:()222210x y a b a b+=>>可以被认为由圆222x y a +=作纵向压缩变换或由圆222x y b +=作横向拉伸变换得到的。
依据上述论述我们可以推出椭圆C 的面积公式为 .xyb-baO -a6.若P 0(x 0，y 0)在椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)外，则过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线方程是0022xx yy a b+＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线2222x y a b-＝1(a ＞0，b ＞0)外，则过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是 .7．我们把离心率215+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a by a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法： ①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线；②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为 ．8．若存在实常数k 和b ，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x 分别满足：f(x)≥kx ＋b 和g(x)≤kx＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f(x)和g(x)的“隔离直线”．已知h(x)＝x 2，φ(x)＝2eln x(其中e 为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h(x)与φ(x)间的隔离直线方程为 .9．设,A B 分别为椭圆Γ:22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点,F 为右焦点,l 为Γ在点B 处的切线,P 为Γ上异于,A B 的一点,直线AP 交l 于D ,M 为BD 中点,有如下结论:①FM 平分PFB ∠;②PM 与椭圆Γ相切;③PM 平分FPD ∠;④使得PM =BM 的点P 不存在.其中正确结论的序号是_____________.10．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A B 、为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为圆；③设θ是ABC ∆的一内角，且7sin cos 13θθ+=，则22sin cos 1x y θθ-=表示焦点在x 轴上的双曲线；④已知两定点12(1,0),(1,0)F F -和一动点P ，若212||||(0)PF PF a a ⋅=≠，则点P 的轨迹关于原点对称.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.三、解答题。
【创新设计】(人教通用)2015高考数学二轮复习 专题整合限时练1 理(含最新原创题,含解析)
【创新设计】（人教通用）2015高考数学二轮复习 专题整合限时练1理（含最新原创题，含解析）(建议用时：40分钟) 一、选择题1．若A ＝{x |2＜2x＜16，x ∈Z }，B ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则A ∩B 中元素个数为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 因为A ＝{x |2＜2x＜16，x ∈Z }＝{x |1＜x ＜4，x ∈Z }＝{2,3}，B ＝{x |x 2－2x －3＜0}＝{x |－1＜x ＜3}，所以A ∩B ＝{2}． 答案 B2．若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )．A.12＋i B ． 5 C.52D ．54解析 因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，a ＝－12，b ＝－1，|a ＋b i|＝|－12－i|＝52. 答案 C3．我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中男、女都有的概率为( )． A.815B ．12 C.25D ．415解析 从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，总的方法数为C 04C 22＋C 14C 12＋C 24C 02＝15，其中选出的宣传者中男、女都有的方法数为C 14C 12＝8，所以，所求概率为815.答案 A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( )．A ．21B ．24C ．28D ．7解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12， ∴a 4＝4， ∴S 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4＝28.答案 C5．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由(a －b )·a 2＜0得，a ≠0且a ＜b ；反之，由a ＜b ，不能推出(a －b )·a 2＜0，即“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分非必要条件． 答案 A6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )．A.12 B ．32C ．1D ． 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为x ±33y ＝0，所以抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是|1±33×0|1＋332＝32. 答案 B7.已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是( )．A ．192B ．32C ．96D ．－192解析 由程序框图可知，a 计算的结果依次为2，－1，12，2，…，成周期性变化，周期为3；当i ＝2 011时运行结束，2 011＝3×670＋1，所以a ＝2.所以，⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r x 3－r， 令3－r ＝2，得r ＝1，所以，含x 2项的系数是(－1)C 1625＝－192. 答案 D8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则f (x )的解析式为( )．A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 由图象可知A ＝1，且14T ＝14×2πω＝7π12－π3＝π4，∴ω＝2，f (x )＝sin (2x ＋φ)． 把⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入得：－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ，又∵|φ|＜π2，∴7π6＋φ＝3π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin (2x ＋π3)．答案 A9．已知O 是坐标原点，点A (－2,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则O A →·O M →的取值X 围是( )． A ．[－1,0]B ．[－1,2]C ．[0,1]D ．[0,2]解析 ∵A (－2,1)，M (x ，y )，∴z ＝O A →·O M →＝－2x ＋y ，作出不等式组对应的平面区域及直线－2x ＋y ＝0，如图所示．平移直线－2x ＋y ＝0，由图象可知当直线经过点N (1,1)时，z min ＝－2＋1＝ －1；经过点M (0,2)时，z max ＝2. 答案 B10．如图F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )．A.13 B ．23 C.15D ．25解析 由题意知，|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，∵|F 1A |－|F 2A |＝2，∴|F 2A |＝2，∴|F 1A |＋|F 2A |＝6，∵|F 1F 2|＝4，∴C 2的离心率是46＝23. 答案 B11．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为( )．A.323 B ．403C.163D ．40解析 观察三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，两个侧面与底面垂直，棱锥的高为4，由图中数据得该几何体的体积为13×4＋12×4×4＝403.答案 B12．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a n n＋1(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＋f (a 6)＝( )． A ．－3 B ．－2 C ．3D ．2解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∵f (32－x )＝f (x )，∴f (32－x )＝－f (－x )，∴f (3＋x )＝f (x )，∴f (x )是以3为周期的周期函数． ∵S n n ＝2×a n n＋1，∴S n ＝2a n ＋n ，S n －1＝2a n －1＋(n －1)(n ≥2)． 两式相减并整理得出a n ＝2a n －1－1， 即a n －1＝2(a n －1－1)，∴数列{a n －1}是以2为公比的等比数列，首项为a 1－1＝－2，∴a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，a n ＝－2n＋1，∴a 5＝－31，a 6＝－63.∴f (a 5)＋f (a 6)＝f (－31)＋f (－63)＝f (2)＋f (0)＝f (2)＝－f (－2)＝3. 答案 C 二、填空题13．已知向量p ＝(2，－1)，q ＝(x,2)，且p ⊥q ，则|p ＋λq |的最小值为__________．解析 ∵p ·q ＝2x －2＝0，∴x ＝1， ∴p ＋λq ＝(2＋λ，2λ－1)， ∴|p ＋λq |＝2＋λ2＋2λ－12＝5λ2＋5≥ 5.答案514．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由sin B ＋cos B ＝2得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1，而B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理得，sin A ＝a sin B b ＝12，又A ＋B ＋C ＝π，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴A ＝π6.答案π615．若曲线y ＝x 在点(m ，m)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________. 解析 由y ＝x ，得y ′＝－12x，所以，曲线y ＝x在点(m ，m)处的切线方程为y －m＝－12m(x －m )，由已知，得12×32m×3m ＝18(m ＞0)，m ＝64.答案 6416．已知a ＞0，b ＞0，方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的曲线关于直线ax －by －1＝0对称，则3a ＋2bab的最小值为________．解析 该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，直线ax －by －1＝0经过圆心，则2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，所以 3a ＋2b ab ＝3b ＋2a ＝(3b ＋2a )(2a ＋b )＝6a b ＋2b a＋7≥26a b ·2ba＋7＝7＋43(当且仅当a ＝2－3，b ＝23－3时等号成立)． 答案 7＋4 3。
【创新设计】(江苏专用)2015高考数学二轮复习 专题整合突破练1 理(含最新原创题,含解析)
又CD⊂平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD.
(2)取AE中点G，连接FG，BG.
因为F为ED的中点，所以FG∥AD且FG＝ AD.
在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
所以AC＝ AD，所以BC＝ AD.
在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，
T6＝T5b6＝T3b4b5b6＝T3b1b2b3＝ T3，
……
T3n＋1＋T3n＋2＋T3n＋3＝T3n－2b3n－1b3nb3n＋1＋
T3n－1b3nb3n＋1b3n＋2＋T3nb3n＋1b3n＋2b3n＋3
＝T3n－2b1b2b3＋T3n－1b1b2b3＋T3nb1b2b3
＝ (T3n－2＋T3n－1＋T3n)，
代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，
∴2× ＋2m－(m＋1)× ＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，
∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．
4．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝ ＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
(2)若该公司采用模型函数y＝ 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
解(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，按公司对函数模型的基本要求，函数y＝f(x)满足：
故该函数模型不符合公司要求．
【三维设计】2015年高考数学总复习创新问题专项训练(二)文北师大版
创新问题专项训练(二)一、选择题 1．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C A －C B ，C A C B ，C B －C A ，C AC B ，若A ＝{x |x 2－ax －1＝0，a ∈R }，B ＝{x ||x 2＋bx ＋1|＝1，b ∈R }，设S ＝{b |A *B ＝1}，则C (S )等于( )A ．4B ．3C ．2D ．12．已知集合A ＝{(x ，y )||x －2|＋|y －3|≤1}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ≤0，D 2＋E 2－4F >0}，若集合A ，B 恒满足“A ⊆B ”，则集合B 中的点所形成的几何图形面积的最小值是( )A.22πB ．πC.12πD.2π3．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋ … ＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝x ·e x5．定义：若函数f (x )的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，T 将函数f (x )的图像关于y 轴对称 B ．f (x )＝2x －1－1，T 将函数f (x )的图像关于x 轴对称C ．f (x )＝2x ＋3，T 将函数f (x )的图像关于点(－1,1)对称D ．f (x )＝sin(x ＋π3)，T 将函数f (x )的图像关于点(－1，0)对称二、填空题6．对于非空实数集A ，记A *＝{y |任意x ∈A ，y ≥x }．设非空实数集合M ，P ，满足M ⊆P .给出以下结论：①P *⊆M *；②M *∩P ≠∅；③M ∩P *＝∅.其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．7．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则[x 0]等于________．8．某同学为研究函数f (x )＝1＋x 2＋1＋－x2(0≤x ≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP ＝x ，则AP ＋PF ＝f (x )．请你参考这些信息，推知函数f (x )的极值点是______；函数f (x )的值域是________．9.(1)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝(22)x的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．(2)若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f (x )和g (x )的“隔离直线”．已知h (x )＝x 2，φ(x )＝2eln x (其中e 为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h (x )与φ(x )间的隔离直线方程为________．三、解答题10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 和g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)． (1)证明：当a <0时，无论b 为何值，函数g (x )在定义域内不可能总为增函数； (2)在同一函数图像上取任意两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点C (x 0，y 0)，记直线AB 的斜率为k ，若f (x )满足k ＝f ′(x 0)，则称其为“K 函数”．判断函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)是否为“K 函数”？并证明你的结论．11．如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O 1的半径为2r (r 为常数)，小飞轮O 2的半径为r ，O 1O 2＝4r .在大飞轮的边缘上有两个点A ，B ，满足∠BO 1A＝π3，在小飞轮的边缘上有点C .设大飞轮逆时针旋转，传动开始时，点B ，C 在水平直线O 1O 2上．(1)求点A 到达最高点时A ，C 间的距离； (2)求点B ，C 在传动过程中高度差的最大值．答 案1．选B 显然集合A 的元素个数为2，根据A *B ＝1可知，集合B 的元素个数为1或3，即方程|x 2＋bx ＋1|＝1有1个根或有3个根．结合函数y ＝|x 2＋bx ＋1|的图象可得，b ＝0或4－b 24＝－1，即b ＝0或b ＝±2 2.2．选B 集合A 可以看作是由区域{(x ，y )||x |＋|y |≤1}向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度得到的，这是一个边长为2的正方形区域，集合B 是一个圆形区域，如果A ⊆B 且集合B 中的点形成的几何图形的面积最小，则圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是|x －2|＋|y －3|＝1所表示正方形的外接圆，其面积是π×12＝π.3．选B 由于线性回归方程恒过样本点的中心(x ，y )，则由“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”一定能推出“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”，反之不一定成立．4．选D 由凸函数的定义可得该题即判断f (x )的二阶导函数f ″(x )的正负．对于A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于B ，f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于C ，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝2e x ＋x e x，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )>0.5．选B 选项B 中，f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，将函数f (x )的图象关于x轴对称变换后所得函数的值域为(－∞，1)，值域改变，不属于同值变换．经验证，其他选项正确．6．解析：对于①，由M ⊆P 得知，集合M 中的最大元素m 必不超过集合P 中的最大元素p ，依题意有P *＝{y |y ≥p }，M *＝{y |y ≥m }，又m ≤p ，因此有P *⊆M *，①正确；对于②，取M ＝P ＝{y |y <1}，依题意得M *＝{y |y ≥1}，此时M *∩P ＝∅，因此②不正确；对于③，取M ＝{0，－1,1}，P ＝{y |y ≤1}，此时P *＝{y |y ≥1}，M ∩P *＝{1}≠∅，因此③不正确．综上所述，其中正确的结论是①.答案：①7．解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e >0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.答案：28．解析：显然当点P 为线段BC 的中点时，A ，P ，F 三点共线，此时AP ＝PF ，且函数f (x )取得最小值5，函数f (x )的图象的对称轴为x ＝12；当x ∈[0，12]时，函数f (x )单调递减，且值域为[5，2＋1]；当x ∈[12，1]时，函数f (x )单调递增，且值域为[5，2＋1]，∴函数f (x )的值域为[5，2＋1]．答案：x ＝12[5，2＋1]9．解析：(1)由A 点的纵坐标为2，得点A 的横坐标是⎝⎛⎭⎪⎫222＝12，由矩形的边平行于坐标轴，得B 点的纵坐标是2，从而横坐标是22＝4，所以C 点的横坐标是4，纵坐标是(22)4＝14，所以点D 的横坐标等于A 点的横坐标12，点D 的纵坐标等于C 点的纵坐标14，即D 点的坐标是(12，14)．(2)容易观察到h (x )和φ(x )有公共点(e ，e)，又(x －e)2≥0，即x 2≥2e x －e ，所以猜想h (x )和φ(x )间的隔离直线为y ＝2e x －e ，下面只需证明2eln x ≤2e x －e 恒成立即可，构造函数λ(x )＝2eln x －2e x ＋e.由于λ′(x )＝2e e －xx(x >0)，即函数λ(x )在区间(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减，故λ(x )≤λ(e)＝0，即2eln x －2e x ＋e≤0，得2eln x ≤2e x －e.故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y ＝2e x －e.答案：(1)(12，14)(2)y ＝2e x －e10．解：(1)假设g (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，则有g ′(x )＝2ax ＋b ＋c x ＝2ax 2＋bx ＋cx>0对于一切x >0恒成立，从而必有2ax 2＋bx ＋c >0对于一切x >0恒成立．又a <0，由二次函数的图象可知：2ax 2＋bx ＋c >0对于一切x >0恒成立是不可能的． 因此当a <0时，无论b 为何值，函数g (x )在定义域内不可能总为增函数．(2)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是“K 函数”，g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”．证明如下：对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝a x 22－x 21＋b x 2－x 1x 2－x 1＝a (x 2＋x 1)＋b ＝2ax 0＋b .又f ′(x 0)＝2ax 0＋b ，故k ＝f ′(x 0)． 故函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是“K 函数”．对于函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)(x >0)， 不妨设x 2>x 1>0，则k ＝g x 1－g x 2x 1－x 2＝a x 21－x 22＋b x 1－x 2＋c ln x 1x 2x 1－x 2＝2ax 0＋b ＋c lnx 1x 2x 1－x 2.又g ′(x 0)＝2ax 0＋b ＋c x 0，若g (x )为“K 函数”，则必满足k ＝g ′(x 0)，即有2ax 0＋b ＋c ln x 1x 2x 1－x 2＝2ax 0＋b ＋cx 0，也即c ln x 1x 2x 1－x 2＝2c x 1＋x 2(c ≠0)，所以lnx 1x 2x 1－x 2＝2x 1＋x 2.设t ＝x 1x 2，则0<t <1，ln t ＝t －1＋t.①设s (t )＝ln t －t －1＋t，则s ′(t )＝t －2t＋t2>0，所以s (t )在t ∈(0,1)上为增函数，s (t )<s (1)＝0，故ln t ≠t －1＋t.②①与②矛盾，因此，函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”． 11．解：(1)以O1为坐标系的原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．当点A 到达最高点时，点A 绕O 1转过π6，则点C 绕O 2转过π3.此时A (0,2r )，C (92r ，32r )．∴AC ＝－92r 2＋r －32r 2＝25－23·r .(2)由题意，设大飞轮转过的角度为θ， 则小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0,2π]．此时B (2r cos θ，2r sin θ)，C (4r ＋r cos 2θ，r sin 2θ)． 记点B ，C 的高度差为d ，则d ＝|2r sin θ－r sin 2θ|， 即d ＝2r |sin θ－sin θcos θ|.设f (θ)＝sin θ－sin θcos θ，θ∈[0,2π]， 则f ′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)．令f ′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)＝0，得cos θ＝－12或1，则θ＝2π3，4π3，0或2π.f (θ)和f ′(θ)随θ的变化情况如下表：综上所述，点B ，C 在传动过程中高度差的最大值d max ＝332r .。
2015创新设计(高中理科数学)专题二(第二篇)
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(
)．A．16 2 B．8 2 C．8 4 D．4 4
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log2x，x＞1， 一审条件 1：转化函数 y＝|log2x|为 y＝ 得到图象,如图. － log x ， 0 ＜ x ＜ 1. 2
二审条件 2：见上图.
审 的解，求出 A，B，C，D 点的横坐标., 题 的横坐标即是方程|log2x|＝2m8 ＋1
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３、教你审题
巧用对数函数图象解题
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【典例 3 】 (2012· 湖南卷)已知两条直线 l1：y＝m 和 l2：y＝2m＋1(m＞0)，l1 与 典例 3 函数 y＝|log2x|的图象 1 从左至右相交于点 A，B，l2 与函数＝|log2x|的图象 1 从 2 左至右相交于点 C，D．记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a，b. 3 当 m 变化时，a的最小值为
b
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)．A．16 2 B．8 2 C．8 4 D．4 4
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8 4 法二 ＋m＝ ＋m 1 2m＋1 m＋ 2 4 1 1 1 7 ＝ ＋m＋ － ≥4－ ＝ ， 1 2 2 2 2 m＋ 2 4 1 3 当且仅当 ＝m＋ ，即 m＝ 时等号成立， 1 2 2 m＋ 2 b 故 的最小值为 22＝8 2. a 答案 B
1、方法优化
根据函数的奇偶性求参数值
x 典例1 1 【典例 】 (2012· 辽宁卷)若函数 f(x)＝ 为奇函数，则 a＝( A )． 2x＋1x－a 1 2 3 A． B． C． D．1 2 3 4
[一般解法] 由题意知 f(－x)＝－f(x)恒成立， －x x 即 ＝－ ， 1 1 2－x＋2－x－a 2x＋2x－a 1 1 1 即x－2(x＋a)＝x＋2(x－a)恒成立，所以 a＝ . 2 [优美解法] (特值法) 由已知 f(x)为奇函数得 f(－1)＝－f(1)， －1 －1 即 ＝ ， －2＋1－1－a 2＋11－a 1 所以 a＋1＝3(1－a)，解得 a＝ . 2
2015届《创新设计》高考数学(江苏版,理科)一轮总复习常考填空题——基础夯实练
合测评 试卷分拆练常考填空题——基础夯实练(一) (对应学生用书P403)(建议用时：40分钟)1．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________． 解析 ∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎨⎧a 2＝16，a ＝4，∴a ＝4. 答案 42．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面上对应的点位于第________象限．解析 z 1·z 2＝3－i ，对应的点为(3，－1)． 答案 四3．已知向量|a |＝10，|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为________． 解析 由a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－60⇒cos θ＝－12，由于θ∈[0，π]故θ＝120°. 答案 120°4．已知直线l 经过坐标原点，且与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为________．解析 如图所示，可知AC ＝1，CO ＝2，AO ＝3， ∴tan ∠AOC ＝33，所以切线方程为y ＝－33x . 答案 y ＝－33x5．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________(用区间表示)．解析 据题意知x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，故有4－4a ＜0，解得a ＞1. 答案 (1，＋∞) 6.如果执行右图的流程图，若输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于________． 解析 p 1＝3，p 2＝12，p 3＝60，p 4＝360，此时m ＝k ，结束，所以输出结果为360. 答案 3607．在等比数列{a n }中，a 5·a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5等于________．解析 ∵a 5·a 11＝a 3·a 13＝3，a 3＋a 13＝4，∴a 3＝1，a 13＝3或a 3＝3，a 13＝1，∴a 15a5＝a 13a 3＝3或13.答案 3或138．设实数x 和y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤10，x －y ≤2，x ≥4，则z ＝2x ＋3y 的最小值为________．解析 根据约束条件，可得三条直线的交点坐标为A (6,4)，B (4,6)，C (4,2)，将三个坐标分别代入目标函数，可得最小值为目标函数线过点C 时取得，即最小值为z min ＝2×4＋3×2＝14.答案 149．下列：①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－|x ＋1|；③f (x )＝ln2－x 2＋x；④f (x )＝12(2x ＋2－x )四个函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的函数是________． 解析 f (x )＝sin x 在区间[－1,1]上单调递增；f (x )＝－|x ＋1|不是奇函数；f (x )＝12(2x ＋2－x )不满足在区间[－1,1]上单调递增；对于f (x )＝ln 2－x 2＋x ，f (－x )＝ln 2＋x2－x＝－ln2－x 2＋x ＝－f (x )，故为奇函数，x ∈[－1,1]时，2－x 2＋x ＝－1＋42＋x，它在[－1,1]上单调递减，故f (x )＝ln 2－x2＋x在[－1,1]上单调递减． 答案 ③10．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是________．解析 (甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P ＝24＝12. 答案 1211．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞).若f (x )＞4，则x 的取值范围是________．解析 当x ＜1时，由2－x ＞4，得x ＜－2，当x ≥1时，由x 2＞4，得x ＞2，综上所述，解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)12．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈[－π6，α]．若f (x )的值域是[－12，1]，则a 的取值范围是________．解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，α.∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2a ＋π6.∵f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴π2≤2a ＋π6≤76π.则π6≤a ≤π2，即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π213．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的离心率为________．解析 因为y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，所以a 2＋b 2＝4①，又因为|PF |＝5，所以点P (x ，y )到准线的距离也是5，即p2＋x ＝5，而p ＝4，∴x ＝3，所以P (3,26)，代入双曲线方程，得9a 2－24b 2＝1②，由①②得a 4－37a 2＋36＝0，解得a 2＝1或a 2＝36(舍去)，所以a ＝1，b ＝3，所以离心率e ＝ca ＝2. 答案 214．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋3)＝f (x ＋1)且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的图象的交点个数为________．解析 由f (x ＋3)＝f (x ＋1)⇒f (x ＋2)＝f (x )，可知函数的最小正周期为2，故f (1)＝f (3)＝f (5)＝f (7)＝1，函数f (x )＝x 2的值域为{y |0≤y ≤1}，当x ＝7时，函数y ＝log 7x 的值为y ＝log 77＝1，故可知在区间[0,7]之间，两函数图象有6个交点． 答案 6常考填空题——基础夯实练(二) (对应学生用书P404)(建议用时：40分钟)1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．解析 由⎩⎨⎧x 2－1＝0，x －1≠0，⇒x ＝－1.答案 －12．已知集合M ＝{x |－5＜x ＜2}，N ＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2}, 则M ∩N ＝________.答案 {－4，－3，－2，－1,0,1}3．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x,10,8环的成绩，已知这组数据的平均值是9，则这组数据的方差是________．解析 根据平均数为9，得x ＝8，根据方差公式，得s 2＝14[(10－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝1. 答案 1 4.若如图所示的流程图输出的S 是62，则在判断框中①表示的“条件”应该是________．解析 ∵S ＝21＋22＋23＋24＋25＝62，所以判断框中①表示的“条件”应为n ≤5. 答案 n ≤55．若向量a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，c ＝(1,2)，且(a －b )⊥c ，则实数x 的值为________．解析 ∵(a －b )⊥c ，a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，∴(a －b )·c ＝(x －1，－x ＋2)·(1,2)＝x －1－2x ＋4＝3－x ＝0，解得x ＝3. 答案 36．已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则 cos α的值为________．解析 已知α为锐角，∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310. 答案43＋3107．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是________． 解析 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 答案 35 8.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为a ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，则其全面积为________．解析 如题图，过B 作BD ⊥AA 1于D ，连接CD ，则△BAD ≌△CAD ，所以∠ADB ＝∠ADC ＝90°，所以AD ⊥CD ，AD ⊥BD ， 所以△BCD 为垂直于侧棱AA 1的截面． 又因为∠BAD ＝60°，AB ＝a ，所以BD ＝32a .所以△BDC 的周长为(3＋1)a ，从而S 侧＝(3＋1)a 2，S 底＝12×a 2sin 60°＝34a 2.故S 全＝S 侧＋2S 底＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1a 2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1a 29．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 解析 因为2xy ＝x ·2y ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22， 所以，原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0.又x ＞0，y ＞0，所以x ＋2y ≥4.当x ＝2，y ＝1时取等号． 答案 410．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 解析 由已知g ′(1)＝2，而f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， 所以f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝4.答案 411．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：y 2＝8x 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则x 0的取值范围是________． 解析 由抛物线定义可得R ＝|MF |＝x 0＋p2＝x 0＋2，又抛物线准线x ＝－2与圆相交，故有2＋2＜R ＝x 0＋2，解得x 0＞2. 答案 (2，＋∞)12．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )，若∃x ∈R 使得(x －a x ＋a )＞1成立，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵∃x 使得(x －ax ＋a )＞1⇒(x －a )(1－x －a )＞1，即∃x 使得x 2－x －a 2＋a ＋1＜0成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＞0⇒4a 2－4a －3＞0，解得a ＞32或a ＜－12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞13．如果点P 在平面区域⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________． 解析根据题设条件，画出可行域，如图所示．由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P 到Q 的距离最小为可行域上的点到圆心(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝(0＋1)2＋(－2－0)2－1 ＝5－1. 答案5－114．等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 为等比数列；②若a 2＋a 12＝2，则S 13＝13；③S n ＝na n －n (n －1)2d ；④若d >0，则S n 一定有最大值．其中真命题的序号是________．解析 对于①，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d是一个非零常数，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 是等比数列，①正确．对于②，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 2＋a 12)2＝13，因此②正确．对于③，注意到S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n [a n －(n －1)d ]＋n (n －1)2d ＝na n －n (n －1)2d ，因此③正确．对于④，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，d >0时，S n 不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.答案 ①②③常考填空题——基础夯实练(三) (对应学生用书P405)(建议用时：40分钟)1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{0,1,2}，则A 与B 的关系为________． 答案 B A2．已知i 是虚数单位，则3＋i1－i＝________. 解析3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i2＝1＋2i. 答案 1＋2i3．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________． 解析 化圆为标准形式(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1. 答案 14．设命题p ：存在两个相交平面垂直于同一条直线；命题q ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0，则(綈p )∧(綈q )________命题；(綈p )∧q ______命题．(填“真”或“假”)解析 对于命题p ，注意到垂直于同一条直线的两个平面相互平行，因此命题p 是假命题；对于命题q ，注意到x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，因此命题q 是真命题，则(綈p )∧(綈q )是假命题，(綈p )∧q 是真命题． 答案 假 真5．为了了解某地居民每户月均用电的基本情况，抽取出该地区若干户居民的用电数据，得到频率分布直方图如图所示，若月均用电量在区间[110,120)上共有150户，则月均用电量在区间[120,140)上的居民共有________户．解析 根据频率分布直方图，可知[110,120)的频率为10×0.03＝0.30，由题意，得样本容量为n ＝1500.3＝500，[120,140)的频率为10×(0.04＋0.02)＝0.60，故居民有0.60×500＝300(户)． 答案 3006．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是________．解析 S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋d ； ∴S 33－S 22＝(a 1＋d )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝d 2，因此d ＝2.答案 27．从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为________． 解析 从1,2,3,4,5中随机抽取三个不同的数，有1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；2,3,4；2,3,5；3,4,5；2,4,5；1,4,5；共10种不同的取法，其中和为奇数的有1,2,4；1,3,5；2,3,4；2,4,5共4个，由此可得和为奇数的概率为P ＝410＝25.答案 25 8.某流程图如图所示，该程序运行后输出M ，N 的值分别为________(填“真”或“假”)．解析 依据流程图画出运行n 次后M ，N ，i 的值.3次运行后，i ＝4＞3，于是有M ＝13，N ＝21. 答案 13,21 9.已知高为3的直棱柱ABC -A ′B ′C 的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B ′-ABC 的体积为________．解析 V B ′- ABC＝13×BB ′×S △ABC ＝13×3×34×12＝34. 答案 3410．当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，表达式3x ＋27y ＋1的最小值为________．解析 由x ＋3y －2＝0，得3y ＝－x ＋2， ∴3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1＝3x ＋3－x ＋2＋1 ＝3x ＋93x ＋1≥23x ·93x ＋1＝7.当且仅当3x ＝93x ，即x ＝1时取得等号． 答案 711．在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________. 解析 AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12DC →·(BA →＋BC →)＝(AD →＋12DC →)·(AD →－DC →)＝AD →2－12DC →·AD→－12DC →2＝1－12×1×2cos 60°－12×4＝－32. 答案 －3212．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥0所表示的可行域如图所示，由图示可得，当平行直线系z ＝2x ＋y 过点A (1,0)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值z 最大值＝2＋0＝2. 答案 213．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线y ＝－3x 与椭圆C 交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________．解析 记椭圆的左焦点为F 1，依题意得|OA |＝|OB |＝|OF |＝c ，四边形AFBF 1为矩形，△AF 1O 是正三角形，|AF 1|＝c ，|AF |＝3c ，椭圆C 的离心率为e ＝|FF 1||AF 1|＋|AF |＝2c c ＋3c ＝3－1. 答案3－114．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a xg (x )(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f (n )g (n )的前n 项和大于62，则n 的最小值为________． 解析 构造函数h (x )＝f (x )g (x )＝a x ，由已知条件可知h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2>0，则h (x )在R 上为增函数，得a >1，又a ＋a －1＝52，解得a ＝2或a ＝12(舍去)．所以f (n )g (n )＝2n ，其前n 项和S n ＝2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2，由2n ＋1－2>62，解得2n ＋1>26，∴n >5，故n 的最小值为6. 答案 6常考填空题——基础夯实练(四) (对应学生用书P406)(建议用时：40分钟)1．复数1i －2＋11－2i 的虚部为________．解析 依题意得1i －2＋11－2i ＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i (1－2i )(1＋2i )＝－1＋i 5，因此该数的虚部是15. 答案 152．若集合A ＝{1，m 2}，集合B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{2}”的________条件．解析 由m ＝2，得A ∩B ＝{2}；反过来，由A ∩B ＝{2}不能得知m ＝2，此时m 可能取－ 2.因此，“m ＝2”是“A ∩B ＝{2}”的充分不必要条件．答案 充分不必要 3.执行如图所示的流程图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为________． 解析 依次可得x ＝3；x ＝7；x ＝127＞126，由判断框可知输出x ＝127. 答案 1274．已知函数f (x )＝2x ＋x ln x ，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为________． 解析 依题意得f (1)＝2，f ′(x )＝－2x 2＋ln x ＋1，f ′(1)＝－1，所求的切线方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. 答案 x ＋y －3＝05．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________． 解析由题意作出图象如图，由图可知圆心O 到直线AB 的距离d ＝|－2|1＋3＝1，故|AB |＝2|BC |＝222－12＝2 3. 答案 2 36．右图是某高中十佳歌手比赛上某一位选手得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为________．解析 得分平均数为x ＝84＋84＋84＋86＋87＋91＋937＝87.方差S 2＝17[(84－87)2＋(84－87)2＋(84－87)2＋(86－87)2＋(87－87)2＋(91－87)2＋(93－87)2]＝807.答案 8077．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________.解析 据题意将已知两式相减可得3(S 3－S 2)＝a 4－a 3⇒3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4，从而q ＝a 4a 3＝4.答案 48．(2014·苏州调研)已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ，则“以a ，b ，c 为边恰好构成三角形”的概率是________．解析 A 中有两个数字，a ，b ，c 可重复，共有8种不同取法，其中可以构成三角形的取法有5种，分别为(2,2,2)，(5,5,5)，(5,5,2)，(5,2,5)和(2,5,5)，共5种，∴构成三角形的概率为58. 答案 589．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x ＜6.则该校招聘的教师人数最多是________．解析 由题意，可设目标函数为z ＝x ＋y ，根据约束条件，作出可行域，由于x ≠6，结合可行域，可知当目标函数z ＝x ＋y 过点(5,5)时，z max ＝5＋5＝10，所以该校招聘的教师最多为10名．答案 1010．直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是________． 解析 由弦长结合抛物线定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，又由AB 的中点到y 轴的距离可得x 1＋x 22＝2，代入上式可得p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x . 答案 y 2＝8x11．已知∀x ∈(0，＋∞)，都有ax 2＋2ax ≥x －4a ，则实数a 的取值范围是________． 解析 分离参数：a ≥xx 2＋2x ＋4＝1x ＋4x ＋2， ∵x ＞0，∴x ＋4x ＋2≥6，则a ≥16. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，＋∞12.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A ＝________.解析 由图知OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ，∵OM →·ON →＝7π2144－A 2＝0，∴A ＝712π. 答案 712π13．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于________．解析 如图，三棱柱的外接球球心为O ，其中D 为上底面三角形外接圆的圆心，其中AD ＝33×6＝23，又OD ＝3，故在Rt △OAD 中可得R ＝|OA |＝(23)2＋32＝21，故球的表面积为4π(21)2＝84π. 答案 84π14．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f (x )＝x －[x ]．给出下列四个命题：①函数f (x )的定义域是R ，值域为[0,1]；②方程f (x )＝12有无数个解；③函数f (x )是周期函数；④函数f (x )是增函数． 其中正确命题的序号有________．解析 据已知函数的定义可得f (x )＝x －[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧⋮x (0≤x ＜1)，x －1(1≤x ＜2)，x －2(2≤x ＜3)，⋮如图为其部分图象，观察图象可得函数的定义域为R ，值域应为[0,1)，故①错；又图象与直线y ＝12有无穷多个交点，因此方程f (x )＝12有无穷多个解，故②正确；③由图象知函数周期为1；④由于函数是以1为周期的函数，故函数在整个定义域上不单调．综上可知命题②③是正确的．答案 ②③常考填空题——基础夯实练(五) (对应学生用书P407)(建议用时：40分钟)1．已知集合M ＝{y |y ＝2x }，N ＝{x |y ＝2x －x 2}，则M ∩N ＝________. 解析 将两集合化简得M ＝{y |y ＞0}，N ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，故M ∩N ＝{x |0＜x ≤2}． 答案 {x |0＜x ≤2} 2．在复平面内，复数i1－i对应的点位于第________象限． 解析 将复数化简得i 1－i＝i (1＋i )2＝－1＋i 2，因此其在复平面对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12位于第二象限． 答案 二3．若a ，b 为实数，则“a ＋b ≤1”是“a ≤12且b ≤12”的________条件． 解析 由a ＋b ≤1不能得a ≤12且b ≤12，如取a ＝1，b ＝－5；反过来，由a ≤12且b ≤12得知a ＋b ≤1.因此，“a ＋b ≤1”是“a ≤12且b ≤12”的必要不充分条件． 答案 必要不充分4．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． 解析 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋12＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． 答案 相交5．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝________.解析 据分层抽样中各层等概率的特点可得18n ＝33＋5＋7⇒n ＝90.答案 906．运行如图所示流程图后，输出的结果为________．解析 S ＝0－2－0－(－2)－(－4)＝4. 答案 47．已知等差数列{a n }中，前5项和S 5＝15，前6项和S 6＝21，则前11项和S 11＝________.解析 由等差数列的求和公式，可得S 5＝5a 1＋5×42d ＝15，S 6＝6a 1＋6×52d ＝21，∴a 1＝1，d ＝1，则S 11＝11a 1＋55d ＝66. 答案 668．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆半径为1，则该圆锥的体积为________． 答案22π39．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.解析 画图，联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k 3，y ＝－k3，代入－k 3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝8，∴k ＝－6. 答案 －6 10.已知|OA →|＝2，|OB →|＝23，OA →·OB →＝0，点C 在AB 上，∠AOC ＝30°，则向量OC →等于________(用OA→与OB →线性表示)． 解析 据题意以OA ，OB 分别为x ，y 轴建立直角坐标系，由OA →＝(2,0)，OB →＝(0，23)，设OC →＝xOA →＋yOB →＝x (2,0)＋y (0，23)＝(2x,23y )，由∠AOC ＝30°得点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32(由两直线的方程得交点)，即OC→＝(2x ，23y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32⇒x ＝34，y ＝14，故OC→＝34OA →＋14OB →.答案 34OA →＋14OB →11．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，则函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的递减区间是________． 解析 据已知可得A ＝1，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8－3π8＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝cos(2x ＋φ)，再由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，解得φ＝－π4，因此f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，令2x －π4∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，解得x ∈k π＋π8，k π＋5π8(k∈Z )即为函数的单调递减区间． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z12．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0142＜________.解析 由32，53，74，…，可猜想第n 个式子应当为2n ＋1n ＋1，由此可得第2 013个表达式的右边应当为2×2 013＋12 013＋1＝4 0272 014.答案 4 0272 01413．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点F 作斜率为2的直线l 使它与圆x 2＋y 2＝b 2相切，则椭圆离心率是________． 解析如图所示，过点F 斜率为2的直线l 方程为y ＝2(x －c )，由直线l 与圆x 2＋y 2＝b 2相切可得，d ＝2c 5＝b ＝a 2－c 2，整理可得9c 2＝5a 2，即e ＝c a ＝c 2a 2＝59＝53. 答案 5314．已知奇函数f (x )＝5x ＋sin x ＋c ，x ∈(－1,1)，如果f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，则实数x 的取值范围为________．解析 ∵f ′(x )＝5＋cos x ＞0，可得函数f (x )在(－1,1)上是增函数，又函数f (x )的奇函数，∴由f (x )＝5x ＋sin x ＋c 及f (0)＝0可得c ＝0，由f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，可得f (1－x )＜－f (1－x 2)＝f (x 2－1)，从而得⎩⎨⎧1－x ＜x 2－1，1－x ＞－1，x 2－1＜1，解得1＜x ＜ 2.答案 (1，2)常考填空题——基础夯实练(六)(对应学生用书P408)(建议用时：40分钟)1．复数z＝1＋ii，则|z|＝________.解析依题意得z＝1－i，|z|＝12＋(－1)2＝ 2.答案 22．已知集合P＝{x|x(x－1)≥0}，Q＝{x|y＝ln(x－1)}，则P∩Q＝________.解析由x(x－1)≥0，得x≥1或x≤0.则P＝{x|x≥1或x≤0}．由x－1＞0，得x＞1，则Q＝{x|x＞1}．∴P∩Q＝{x|x＞1}，即P∩Q＝(1，＋∞)．答案(1，＋∞)3．在等比数列{a n}中，若a4a5＝1，a8a9＝16，则a6a7等于________．解析由等比数列的性质易得a4a5，a6a7，a8a9三项也成等比数列，由等比中项可得(a6a7)2＝(a4a5)·(a8a9)，解得a6a7＝±4，又a6a7＝a4a5·q4＝q4＞0，故a6a7＝4. 答案 44．若流程图所给的算法运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是________．解析据程序框图可得当k＝9时，S＝11；当k＝8时，S＝11＋9＝20，此时要求程序结束，故判断框填入条件k＞8即可．答案k＞85．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________(用“＞”连接)．解析 由直方图容易求得甲、乙、丙三个社区“家庭每月日常消费额”的平均值分别为2 200元、2 150元、2 250元，又由直方图可知，甲的数据偏离平均值最大，故标准差最大，丙的数据偏离平均值最小，故标准差最小，即标准差的大小关系是s 1＞s 2＞s 3. 答案 s 1＞s 2＞s 36．从{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率是________．解析 因为该实验所有的基本事件有9个，其中直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限时，斜率k ＜0，纵截距b ＞0，有2个基本事件，所以所求概率为29. 答案 297．在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________. 解析 由正弦定理得：BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，即3sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝ 2.答案28．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值是________．解析如图，画出约束条件表示的可行域，当直线z ＝x －2y 经过x ＋y ＝0与x －y －2＝0的交点A (1，－1)时，z 取到最大值3. 答案 3 9.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 的中点，BP ⊥DA ，垂足为P ，且BP ＝2，则BC →·BP →＝________.解析 依题意得BC →·BP →＝2BD →·BP →＝2(BP →＋PD →)·BP →＝2(BP →2＋PD →·BP →)＝2BP →2＝8. 答案 810．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________． 解析 因为1＝x 3＋y4≥2x 3·y 4＝2xy12＝xy 3，所以xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时取等号，故xy 的最大值为3. 答案 311．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________． 解析 设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案 x 2＋(y －1)2＝1012．如图所示，已知三棱柱，ABC -A ′B ′C 的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1-ABC 1的体积为______．解析 三棱锥B 1-ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积，三棱锥A -B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32×312.答案 31213．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________． 解析 由于直线与椭圆的两交点A ，B 在x 轴上的射影分别为左、右焦点F 1，F 2，故|AF 1|＝|BF 2|＝b 2a ，设直线与x 轴交于C 点，又直线倾斜角θ的正切值为22，结合图形易得tan θ＝22＝|AF 1||CF 1|＝|BF 2||CF 2|，故|CF 1|＋|CF 2|＝22b 2a ＝|F 1F 2|＝2c ，整理并化简得2b 2＝2(a 2－c 2)＝ac ，即2(1－e 2)＝e ，解得e ＝22. 答案 2214．已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，若对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )的最大值为π－32，则(1)a 的值为________；(2)函数f (x )在(0，π)内的零点个数为________．解析 因为f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，当a ≤0时，f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，最大值f (0)＝－32，不适合题意，所以a ＞0，此时f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2a －32＝π－32，解得a ＝1，符合题意，故a ＝1.f (x )＝x sin x －32在x∈(0，π)上的零点个数即为函数y ＝sin x ，y ＝32x 的图象在x ∈(0，π)上的交点个数，又x ＝π2时，sin π2＝1＞3π＞0，所以两图象在x ∈(0，π)内有2个交点，即f (x )＝x sin x －32在x ∈(0，π)上的零点个数是2. 答案 (1)1 (2)2。
2015年高考数学创新设计精品习题专题训练1-2-3
A.B．
C.D．
解析由题意知点F为△ABC的重心，设H为BC中点，则＝＝×(＋)＝a＋b，
所以x＝，yБайду номын сангаас.
答案C
4．(2014·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(1,1)，且·＝1，则·等于()．
A．－1B．1
C.D．
解析依题意，||＝||＝||＝，·＝||||cos∠AOC＝1，
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
解析对于min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不定，因此A、B均错；而|a＋b|，|a－b|中的较大者与|a|，|b|可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，因此选D.
答案D
二、填空题
6．(2014·山东卷)在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．
解析由A＝，·＝tanA，
得||·||·cosA＝tanA，
即||·||×＝，∴||·||＝，
∴S△ABC＝||·||·sinA＝××＝.
答案
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.
cos∠AOC＝，∠AOC＝，则||＝||＝||＝，∠BAC＝，·＝||||cos∠BAC＝1.
答案B
5．(2014·浙江卷)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则()．
2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-5-1
4．(2014· 辽宁卷)已知点 A(－2,3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上，过点 A 的直线 与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为 ( 1 A.2 3 C.4 解析 2 B.3 4 D.3 ∵A(－2,3)在抛物线 y2＝2px 的准线上， )．
p ∴－2＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线 AB 的方程为 x＝m(y－3)－2①，将 ①与 y2＝8x 联立，得 y2－8my＋24m＋16＝0②，则 Δ＝(－8m)2－4(24m＋16) 1 ＝0，即 2m2－3m－2＝0，解得 m＝2 或 m＝－2(舍去)，将 m＝2 代入①②解 x＝8， 8－0 4 得 即 B(8,8)，又 F(2,0)，∴kBF＝ ＝ ，故选 D. 8－2 3 y＝8， 答案 D
பைடு நூலகம்二、填空题
5．(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设点 M(x0,1)，若在圆 O：x2＋y2＝1 上存在点 N，使得 ∠OMN＝45° ，则 x0 的取值范围是________． 解析 由题意可知 M 在直线 y＝1 上运动，设直线 y＝1 与圆 x2＋y2＝1 相切
于点 P(0,1)．当 x0＝0 即点 M 与点 P 重合时，显然圆上存在点 N(± 1,0)符合要 求；当 x0≠0 时，过 M 作圆的切线，切点之一为点 P，此时对于圆上任意一 点 N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45° ，只需∠OMP≥45° .特 别地，当∠OMP＝45° 时，有 x0＝± 1.结合图形可知，符合条件的 x0 的取值范 围为[－1,1]．
答案
[－1,1]
x2 y2 6．已知 P 为椭圆25＋16＝1 上的一点，M，N 分别为圆(x＋3)2＋y2＝1 和圆(x－ 3)2＋y2＝4 上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________． 解析 由题意知椭圆的两个焦点 F1，F2 分别是两圆的圆心，且 |PF1|＋ |PF2|
[创新设计_教师用书](人教A版_理科)2015届高考数学第一轮复习细致讲解练_第三篇_三角函数、解三角形
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第三篇三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[最新考纲]1．了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝l r(弧长用l 表示) 角度与弧度的换算①1°＝π180rad ②1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式 S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.任意角的三角函数三角函数 正弦 余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α x 叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan αⅠ ＋＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ －＋－口诀Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦续表三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线 有向线段AT 为正切线辨 析 感 悟1．对角的概念的认识(1)小于90°的角是锐角．(×) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×)(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(×) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×) 2．任意角的三角函数定义的理解(5)(教材练习改编)已知角α的终边经过点P (－1,2)，则sin α＝2－12＋22＝255.(√)(6)(2013·济南模拟改编)点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．(√)(7)(2011·新课标全国卷改编)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ＝55.(×)[感悟·提升]1．一个区别 “小于90°的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下： 小于90°的角的范围：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，π2，锐角的范围：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，第一象限角的范围：⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．所以说小于90°的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立．如(1)、(2)．2．三个防范 一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角α的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如(7).考点一 象限角与三角函数值的符号判断【例1】 (1)若sin α·tan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值( )． A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在解析 (1)由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos αtan α＜0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角． (2)∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2·cos 3·tan 4＜0. 答案 (1)C (2)A规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限．【训练1】 设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，知θ2为第二象限角．答案 B考点二 三角函数定义的应用【例2】 已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意得，r ＝3＋m 2，∴sin θ＝m3＋m 2＝24m .∵m ≠0，∴m ＝± 5.故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角．∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.综上可知，cos θ＝－64，tan θ＝－153或cos θ＝－64，tan θ＝153. 规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．【训练2】 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解 设角α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋－3k2＝10|k |.当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.考点三 扇形弧长、面积公式的应用【例3】 已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 审题路线 (1)角度化为弧度⇒求扇形的弧长⇒S 弓＝S 扇－S △⇒分别求S 扇＝12lr ，S △＝12r 2sin α⇒计算得S 弓．(2)由周长C 与半径R 的关系确定R 与α的关系式⇒代入扇形面积公式⇒确定S扇与α的关系式⇒求解最值．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则 α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin π3＝503π－5032＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32(cm 2)． (2)法一 扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C 2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2 rad 时，扇形面积有最大值C 216.法二 由已知，得l ＋2R ＝C ， ∴S 扇＝12lR ＝12(C －2R )R ＝12(－2R 2＋RC )＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －C 42＋C 216.故当R ＝C 4，l ＝2R ，α＝2 rad 时，这个扇形的面积最大，最大值为C 216. 规律方法 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． (2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.学生用书第50页【训练3】 (1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)设扇形的圆心角为θ rad，则扇形的周长是2r＋rθ.依题意：2r＋rθ＝πr，∴θ＝(π－2)rad.∴扇形的面积S＝12r2θ＝12(π－2)r2.(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，即l＝20－2r(0＜r＜10)．∴扇形的面积S＝12lr＝12(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25.∴当r＝5 cm时，S有最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝lr＝2 rad.因此，当α＝2 rad时，扇形的面积取最大值．1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．创新突破4——以任意角为背景的应用问题【典例】 (2012·山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．突破1：理解点P 转动的弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形． 突破2：在直角三角形中利用三角函数定义求边长． 突破3：由几何图形建立P 点坐标与边长的关系．解析 如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ, Q 为垂足． 根据题意得劣弧＝2，故∠DCP ＝2，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝2－π2，|CQ |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2， |PQ |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－|CQ |＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos 2，所以P 点的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)， 故OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案 (2－sin 2,1－cos 2)[反思感悟] (1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决．(2)常见实际应用问题有：表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等． 【自主体验】已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝( )． A ．－1B ．1C ．－2D ．2 解析 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.答案 B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析 ∵sin α＜0，则α的终边落在第三、四象限或y 轴的负半轴；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限． 答案 C2．(2014·汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )．A. π3B.2π3C. 3D. 2解析 设圆的半径为R ，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R .∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝ 3.答案 C3．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析 由弧长公式得，P 点逆时针转过的角度α＝2π3，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案 A4．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )．A.π4B.3π4C.5π4D.7π4 解析 由sin 3π4＞0，cos 3π4＜0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案 D 5．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ①正确，②不正确，∵sin π3＝sin 2π3，而π3与2π3角的终边不相同．③不正确．sin α＞0，α的终边也可能在y 轴的正半轴上． ④不正确．在三角函数的定义中，cos α＝x r＝x x 2＋y2，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立． 答案 A 二、填空题6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝______. 解析 因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 答案 －8 7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝____.解析 因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35. 答案 －358．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 解析∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )三、解答题9．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来： ①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解 (1)①S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；②S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.(2)终边在y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝k ·360°＋120°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°＋120°，k ∈Z }，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°. 10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解 (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)．∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎨⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1弧度． ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1 (cm)， ∴AB ＝2sin 1 (cm)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]解析 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.答案 A2．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确． 答案 A 二、填空题3．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2 α＋1－cos 2αcos α＝________.解析 原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，由题意知角α的终边在第二、四象限，sinα与cos α的符号相反，所以原式＝0. 答案 0 三、解答题4．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tanα2sinα2cosα2的符号．解 (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k ＋1π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tanα2＜0，sinα2＞0，cosα2＜0，所以tanα2sinα2cosα2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0，cos α2＞0， 所以tanα2sinα2cosα2也取正号． 因此，tanα2sinα2cosα2取正号. 学生用书第51页第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式[最新考纲]1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．三角函数的诱导公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cos α－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tan αtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°150°18的弧度数0π6π4π3π22π35π6πn α012223213212s α13222120－12－32－n α03313－3－33辨析感悟1．对三角函数关系式的理解(1)若α，β为锐角，sin2α＋cos2β＝1. (×)(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立． (×)(3)(教材练习改编)已知sin α＝45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则cos α＝35.(×)2．对诱导公式的认识(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(√)(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)(6)角π＋α和α终边关于y轴对称．(×)3．诱导公式的应用(7)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，则cos θ＝13.(×)(8)(2013·广东卷改编)已知sin⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝－15.(×)[感悟·提升]1．一点提醒平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π2＋kπ，k∈Z，如(1)、(2)．2．两个防范一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】 (1)已知tan α＝2，则2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝___________，4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝________.(2)(2014·山东省实验中学诊断)已知sin θ·cos θ＝18，且π4＜θ＜π2，则cos θ－sin θ的值为________．解析(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1，4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝4sin2α－3sin αcos α－5cos2αsin2α＋cos2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.(2)当π4＜θ＜π2时，sin θ＞cos θ， ∴cos θ－sin θ＜0，又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－14＝34，∴cos θ－sin θ＝－32.答案 (1)－1 1 (2)－32学生用书第52页规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcosα可以知一求二．(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 【训练1】 (1)已知sin α＋cos α＝15，0＜α＜π，则tan α＝______.(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α＝________. 解析 (1)法一 联立方程⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15，①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. 又0＜α＜π，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.答案 (1)－43 (2)±64考点二 利用诱导公式化简三角函数式【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. (2)设f (α)＝2sinπ＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________. 解析 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α1＋2sin αsin α1＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tanπ6＝ 3.答案 (1)1 (2) 3规律方法 (1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了． (2)诱导公式应用的步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→ 0～2π的角的三角函数→锐角三角函数注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．【训练2】 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________.(2)化简：tanπ＋αcos2π＋αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2cos－α－3πsin－3π－α＝________.解析 (1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°· sin 261°＋tan 1 089°·tan 540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)· sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°) ＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°·tan 180° ＝0＋0＝0.(2)原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos 3π＋α[－sin 3π＋α]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos αsin α＝tan αcos αcos α－cos αsin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.答案 (1)0 (2)－1考点三 利用诱导公式求值【例3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝______；(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝ －tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案 (1)12 (2)－33规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等． 【训练3】 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________； (2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________.解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α，而sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. (2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－12，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝12.答案 (1)－23 (2)121．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2 θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2 θ)＝tanπ4＝….方法优化2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【典例】 (2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )．A.43B.34 C ．－34 D ．－43[一般解法] 由sin α＋2cos α＝102，得sin α＝102－2cos α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝sin αcos α＝3或－13.当tan α＝3时，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34；当tan α＝－13时，tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－34.综上，tan 2α＝－34.故选C.[优美解法] 法一 (直接法)两边平方，再同时除以cos 2 α，得3tan 2 α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan 2 α，得到tan 2α＝－34. 法二 (猜想法)，由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝310，cos α＝110，这时sin α＋2cos α＝102符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C. [答案] C[反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；(2)注意公式的变形应用，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在． 【自主体验】(2013·东北三校模拟)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )． A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析 法一 ∵0＜θ＜π4，∴cos θ＞sin θ， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，∴sin θ－cos θ＝－23. 法二 ∵sin θ＋cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝43，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝223，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13，∴sin θ－cos θ＝－(cos θ－sin θ)＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－23.答案 B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )．A ．－32 B.32 C ．－12 D.12解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.答案 D2．(2014·临川一中一调)sin 29π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－29π3－tan 25π4＝( )． A ．0 B.12 C ．1 D ．－12解析 原式＝sin(4π＋5π6)＋cos(－10π＋π3)－tan(6π＋π4) ＝sin5π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0. 答案 A3．(2014·郑州模拟)1－2sin π＋2cos π－2＝( )．A ．sin 2－cos 2B ．sin 2＋cos 2C ．±(sin 2－cos 2)D ．cos 2－sin 2 解析 1－2sinπ＋2cos π－2＝1－2sin 2cos 2＝sin 2－cos 22＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案 A4．(2014·石家庄模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )．A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2 解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5即tan α＝2，所以sin 2 α－sin αcos α＝sin 2 α－sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2 α－tan αtan 2 α＋1＝25.答案 A5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝( )．A.35B.53C.45D.54解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或 2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α－cos α·tan 2αsin α·－sin α·－sin α＝1－sin α＝53.答案 B 二、填空题6．(2014·杭州模拟)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A 的值是________．解析 ∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝－sin A ＝12.答案127．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.答案 －138．(2013·江南十校第一次考试)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________. 解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，又－π＜α＜－π2， ∴7π12＜π12－α＜13π12， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.答案 －223三、解答题9．化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α(k ∈Z )．解 当k ＝2n (n ∈Z )时， 原式＝sin 2n π－αcos[2n －1π－α]sin[2n ＋1π＋α]cos 2n π＋α＝sin －α·cos －π－αsin π＋α·cos α＝－sin α－cos α－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， 原式＝sin[2n ＋1π－α]·cos[2n ＋1－1π－α]sin[2n ＋1＋1π＋α]·cos[2n ＋1π＋α]＝sin π－α·cos αsin α·cosπ＋α＝sin α·cos αsin α－cos α＝－1.综上，原式＝－1.10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225， (2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π， 可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0， ∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin Acos A＝45－35＝－43. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2012·辽宁卷)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )． A ．－1 B ．－22 C.22 D ．1 解析 法一 因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法二 因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，所以α＝3π4，所以tanα＝－1. 答案 A2．(2014·衡水质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 则sin α的值是( )． A.355 B.377 C.31010 D.13解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tanα＝3，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角． 故sin α＝31010. 答案 C 二、填空题3．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝45＋12＝912.答案912三、解答题4．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式si n(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 解 假设存在角α，β满足条件， 则由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)， ∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)， ∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件. 学生用书第53页第3讲 三角函数的图象与性质[最新考纲]1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质.知 识 梳 理正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中k ∈Z ).函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R {x | x ∈R ，且x ≠⎭⎪⎬⎪⎫k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1] [－1,1]R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数 奇函数递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2[2k π－π，2k π] ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2[2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴x ＝k π＋π2x ＝k π无辨 析 感 悟1．周期性的判断(1)(教材习题改编)由sin(30°＋120°)＝sin 30°知，120°是正弦函数y ＝sinx (x ∈R )的一个周期． (×)(2)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为π2. (√)2．判断奇偶性与对称性(3)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2是奇函数． (×)(4)函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．(×) 3．求三角函数的单调区间(5)函数f (x )＝sin(－2x )与f (x )＝sin 2x 的单调增区间都是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．(×)(6)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数． 4．求三角函数的最值(7)存在x ∈R ，使得2sin x ＝3.(×)(8)(教材习题改编)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.(√)[感悟·提升]1．一点提醒 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解．2．三个防范 一是函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y 轴的直线，如y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π，而不是x ＝2k π(k ∈Z )．二是对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数，如(6)．三是函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的最大值为1，最小值为－1，不存在一个值使sin x ＝32，如(7).学生用书第54页考点一 三角函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析 (1)法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象， 在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ， 解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . (2)y ＝3－sin x －2cos 2x＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2 x －sin x ＋1， 令sin x ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴y ＝2t 2－t ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋78，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴y min ＝78，y max ＝2.答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)78 2规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求．②把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．【训练1】 (2014·广州模拟)已知函数f (x )＝6cos 4 x ＋5sin 2x －4cos 2x ，求f (x )的定义域和值域．解 由cos 2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z . f (x )＝6cos 4 x ＋5sin 2 x －4cos 2x ＝6cos 4 x ＋5－5cos 2x －42cos 2x －1＝2cos 2x －13cos 2x －12cos 2x －1＝3cos 2x －1.所以f (x )的值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |－1≤y ＜12，或12＜y ≤2.考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性【例2】 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )．A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )．A.π6B.π4C.π3D.π2解析 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确，故选C.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0， 得|φ|的最小值为π6. 答案 (1)C (2)A规律方法 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2π|ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝A sin ωx 或y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可． 【训练2】 (1)函数y ＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(2)函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.解析 (1)y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π.(2)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )， 又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4. 答案 (1)A (2)π4考点三 三角函数的单调性【例3】 (2014·临沂月考)设函数f (x )＝sin(－2x ＋φ)(0＜φ＜π)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间． 审题路线 令(－2)×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ⇒解得φ＝？又0＜φ＜π⇒得出φ值⇒把f (x )＝sin(－2x ＋φ)，化为f (x )＝－sin(2x －φ)⇒令g (x )＝sin(2x －φ)⇒求出g (x )的单调区间⇒利用f (x )与g (x )的关系求f (x )的单调区间． 解 (1)令(－2)×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋3π4，k ∈Z ， 又0＜φ＜π，∴φ＝3π4. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋3π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 即g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ， 即g (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z )， 故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z )； 单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π(k ∈Z ). 学生用书第55页规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．【训练3】 (2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)讨论f (x )在区间[0，π2]上的单调性． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．1．求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象．2．判断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇．3．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．4．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝A sin(ωx＋φ)，y＝A cos(ωx＋φ)，y＝A tan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．。
【创新设计】2015届高考数学一轮总复习 必考解答题 模板成形练 理 苏教版
必考解答题——模板成形练(一) 三角函数、平面向量及解三角形(建议用时：60分钟)1．在△ABC 中，cos A ＝63，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边． (1)求sin 2A ； (2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋B ＝－223，c ＝22，求△ABC 的面积．解 (1)因为cos A ＝63，A ∈(0，π)，∴sin A ＝33. ∴sin 2A ＝2sin A cos A ＝223.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B ＝－223，得cos B ＝223，由于B ∈(0，π)，∴sin B ＝13.则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63. 由正弦定理，得a ＝c sin Asin C＝2， ∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝223.2．设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C 2，－sin C2，m 与n 的夹角为π3.(1)求角C 的大小；(2)已知c ＝72，△ABC 的面积S ＝332，求a ＋b 的值．解 (1)由条件得m ·n ＝cos 2C2－sin 2C2＝cos C ，又m ·n ＝|m ||n |cos π3＝12，∴cos C ＝12，0＜C ＜π，因此C ＝π3.(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，得出(a ＋b )2＝1214，∴a ＋b ＝112.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2C ＝1－8b2a2.(1)求1tan A ＋1tan C的值；(2)若tan B ＝815，求tan A 及tan C 的值．解 (1)∵cos 2C ＝1－8b 2a 2，∴sin 2C ＝4b 2a2.∵C 为三角形内角，∴sin C ＞0，∴sin C ＝2ba.∵asin A ＝b sin B ，∴b a ＝sin B sin A∴2sin B ＝sin A sin C . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C . ∴2sin A cos C ＋2cos A sin C ＝sin A sin C . ∵sin A ·sin C ≠0，∴1tan A ＋1tan C ＝12.(2)∵1tan A ＋1tan C ＝12，∴tan A ＝2tan Ctan C －2.∵A ＋B ＋C ＝π， ∴tan B ＝－tan(A ＋C ) ＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C＝tan 2C2tan 2C －tan C ＋2. ∴815＝tan 2C 2tan 2C －tan C ＋2整理得tan 2C －8tan C ＋16＝0 解得，tan C ＝4，tan A ＝4.4．已知向量m ＝(3sin x －cos x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，12，若f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π12＝32(C 为锐角)，2sin A ＝sin B ，求C ，a ，b 的值．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (x )的最小正周期为π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π12＝sin C ＝32，∵0＜C ＜π2，∴C ＝π3，∵2sin A ＝sin B ，由正弦定理得b ＝2a .① ∵c ＝3，由余弦定理，得9＝a 2＋b 2－2ab cos π3，②解①②组成的方程组，得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2 3.∴C ＝π3，a ＝3，b ＝2 3.必考解答题——模板成形练(二) (对应学生用书P411)立体几何(建议用时：60分钟)1．如图，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且AB ＝BC ＝CA ＝3，AD ＝CD ＝1.(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.证明(1)在四边形ABCD中，因为BA＝BC，DA＝DC，所以BD⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，又因为AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中，因为AB＝AC，且E为BC中点，所以AE⊥BC，又因为在四边形ABCD 中，AB＝BC＝CA＝3，DA＝DC＝1，所以∠ACB＝60°，∠ACD＝30°，所以DC⊥BC，所以AE∥DC，因为DC⊂平面DCC1D1，AE⊄平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，BC⊥平面PAB，∠APB＝90°，PB＝BC，N 为PC的中点．(1)若M为AB的中点，求证：MN∥平面ADP；(2)求证：平面BDN⊥平面ACP.证明(1)设AC∩BD＝G，连接NG，MG，易知G是AC，BD的中点，又N是PC的中点，M为AB的中点，∴NG∥PA，MG∥AD，∴平面GMN∥平面APD.又MN⊂平面GMN，∴MN∥平面APD.(2)∵BC⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，∴BC⊥PA，∵∠APB＝90°，∴BP⊥PA.∵BC∩BP＝B，∴PA⊥平面PBC，∴BN⊥PA.∵PB＝BC，点N为PC的中点，∴BN⊥PC.∵PC∩PA＝P，∴BN⊥平面ACP.又BN⊂平面BDN，∴平面BDN⊥平面ACP.3.如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，E ，F 分别是AB ，PC 的中点． (1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：EF ⊥CD ；证明 (1)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .因为FG 为△PCD 的中位线，所以FG ∥CD ，且FG ＝12CD ，又AE ∥CD ，且AE ＝12CD ，所以AE ∥FG ，且AE ＝FG ，故四边形AEFG 为平行四边形，所以EF ∥AG . 又AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥CD .在矩形ABCD 中，AD ⊥CD ， 又PA ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面PAD . 因为AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG . 又EF ∥AG ，所以EF ⊥CD . 4.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ＝4，∠ABC ＝120°，E ，M 分别为AB ，DE 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，连接A ′C ，A ′B ，F 为A ′C 的中点，A ′C ＝4. (1)求证：平面A ′DE ⊥平面BCD ； (2)求证：FB ∥平面A ′DE .证明 (1)由题意得△A ′DE 是△ADE 沿DE 翻折而成，∴△A ′DE ≌△ADE . ∵∠ABC ＝120°，四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝60°.又∵AD ＝AE ＝2，∴△A ′DE 和△ADE 都是等边三角形．连接A ′M ，MC . ∵M 是DE 的中点，∴A ′M ⊥DE ，A ′M ＝ 3.在△DMC 中，MC 2＝DC 2＋DM 2－2DC ·DM ·cos 60°＝42＋12－2×4×1·cos 60°，∴MC ＝13. 在△A ′MC 中，A ′M 2＋MC 2＝(3)2＋(13)2＝42＝A ′C 2. ∴△A ′MC 是直角三角形，∴A ′M ⊥MC . 又∵A ′M ⊥DE ，MC ∩DE ＝M ，∴A ′M ⊥平面BCD . 又∵A ′M ⊂平面A ′DE ， ∴平面A ′DE ⊥平面BCD . (2)取DC 的中点N ，连接FN ，NB .∵A ′C ＝DC ＝4，F ，N 分别是A ′C ，DC 的中点， ∴FN ∥A ′D .又∵N ，E 分别是平行四边形ABCD 的边DC ，AB 的中点， ∴BN ∥DE .又∵A ′D ∩DE ＝D ，FN ∩NB ＝N ， ∴平面A ′DE ∥平面FNB .∵FB ⊂平面FNB ，∴FB ∥平面A ′DE .必考解答题——模板成形练(三) (对应学生用书P413)直线与圆及圆锥曲线(建议用时：60分钟)1．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M 、N 两点．(1)求k 的取值X 围：(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2.请将n 表示为m 的函数．解 (1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0(*)，由Δ＝(－8k )2－4(1＋k 2)×12＞0得k 2＞3.所以k 的取值X 围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M 、N 在直线l 上，可设点M 、N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 21，|ON |2＝(1＋k 2)x 22，又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2， 由2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2得，21＋k2m2＝11＋k2x 21＋11＋k2x 22，所以2m 2＝1x 21＋1x 22＝x 1＋x 22－2x 1x 2x 21x 22由(*)知x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3， 因为点Q 在直线l 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3可得5n 2－3m 2＝36，由m 2＝365k 2－3及k 2＞3得0＜m 2＜3，即m ∈(－3，0)∪(0，3)．依题意，点Q 在圆C 内，则n ＞0， 所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805， 综上，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3)．2．已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A ，B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ＝45，求直线AB 的方程．解 (1)由题意|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4＞23，所以轨迹E 是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆， 即轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线AB 的斜率不可能为0，而直线x ＝1也不满足条件， 故可设AB 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1，消x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0，所以y 1＝－m ＋23＋m 24＋m 2，y 2＝－m －23＋m 24＋m 2. S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4.由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1.故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1， 即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求．3．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值X 围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y－4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴y 1＝8＋p ＋p 2＋16p 4，y 2＝8＋p －p 2＋6p 4由已知AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1， ∴可得p 2＋16p －36＝0∵p ＞0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， ∴抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0， 设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ＞0得k ＜－4或k ＞0，x ＝2k ±2k 2＋4k .∴x B ＋x C ＝2k ∴x 0＝x B ＋x C2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .BC 中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴b ＝2(k ＋1)2，∴b ＞2.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于A ，M ，N (A 点在椭圆右顶点的右侧)，且∠NF 2F 1＝∠MF 2A .求证直线l 过定点(2,0)，并求出斜率k 的取值X 围．解 (1)由题意知e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又∵b ＝21＋1＝1，∴a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝2得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.由Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＞0，得m 2＜2k 2＋1， ∵x 1＝－2km ＋4k 2－2m 2＋12k 2＋1，x 2－2km －4k 2－2m 2＋22k 2＋1 则有x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1.∵∠NF 2F 1＝∠MF 2A ，且∠MF 2A ≠90°，kMF 2＋kNF 2＝0. 又F 2(1,0)，则y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝0， 即kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋mx 2－1＝0， 化简得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0.将x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1代入上式得m ＝－2k ，∴直线l 的方程为y ＝kx －2k ，即直线过定点(2,0)． 将m ＝－2k 代入m 2＜2k 2＋1，得4k 2＜2k 2＋1，即k 2＜12，又∵k ≠0，∴直线l 的斜率k 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，22.必考解答题——模板成形练(四) (对应学生用书P415)实际应用题(建议用时：60分钟)1．在边长为a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解 (1)设箱底边长为x ，则箱高为h ＝33×a －x2(0＜x ＜a )， 箱子的容积为V (x )＝12x 2×sin 60°×h ＝18ax 2－18x 3(0＜x ＜a )．由V ′(x )＝14ax －38x 2＝0解得x 1＝0(舍)，x 2＝23a ，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a 时，V ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 时，V ′(x )＜0， 所以函数V (x )在x ＝23a 处取得极大值．这个极大值就是函数V (x )的最大值：V ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝18a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2－18×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 3＝154a 3.所以当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为154a 3.2．如图，某小区有一边长为2(单位：百米)的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个游泳地，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分，现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数y ＝－x 2＋2(0≤x ≤2)的图象，且点M 到边OA 距离为t ⎝ ⎛⎭⎪⎫23≤t ≤43.(1)当t ＝23时，求直路l 所在的直线方程；(2)当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？解 (1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，149，l ：12x ＋9y －22＝0(2)M (t ，－t 2＋2)，过切点M 的切线l ：y －(－t 2＋2)＝－2t (x －t )即y ＝－2tx ＋t 2＋2，令y ＝2得x ＝t 2，故切线l 与AB 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，2；令y ＝0，得x ＝t 2＋1t ，又x ＝t 2＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43递减，所以x ＝t 2＋1t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1712，116故切线l 与OC 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t ，0.∴地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－t 2－1t ＋2－t 2·2＝4－t －1t ＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ≤2，t ＝1时取到等号，S max ＝2. 3．某某市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k (k ＞0)．现已知相距36 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)． (1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1时，y 在x ＝6处取得最小值，试求b 的值．解 (1)设点C 受A 污染源污染指数为ka x ，点C 受B 污染源污染指数为kb36－x ，其中k 为比例系数，且k ＞0.从而点C 处污染指数y ＝ka x ＋kb36－x (0＜x ＜36)．(2)因为a ＝1，所以，y ＝k x ＋kb36－x，y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1x2＋b 36－x 2，令y ′＝0，得x ＝361＋b，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，361＋b 时，函数单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫361＋b ，＋∞时，函数单调递增；∴当x ＝361＋b 时，函数取得最小值．又此时x ＝6，解得b ＝25，经验证符合题意． 所以，污染源B 的污染强度b 的值为25.4．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC ，∠C ＝90°，AB ＝200米，BC ＝100米． (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D ，E ，F ，如图(1)，使得EF ∥AB ，EF ⊥ED ，在△DEF 喂食，求△DEF 面积S △DEF 的最大值；(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，如图(2)，建造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．解 (1)Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝200米，BC ＝100米．∴cos B ＝BC AB ＝12，可得B ＝60°∵EF ∥AB ，∴∠CEF ＝∠B ＝60°设CE CB＝λ(0＜λ＜1)，则CE ＝λCB ＝100λ米， Rt △CEF 中，EF ＝2CE ＝200λ米，C 到FE 的距离d ＝32CE ＝503λ米， ∵C 到AB 的距离为32BC ＝503米， ∴点D 到EF 的距离为h ＝503－503λ＝503(1－λ)米可得S △DEF ＝12EF ·h ＝5 0003λ(1－λ)米2∵λ(1－λ)≤14[λ＋(1－λ)]2＝14，当且仅当λ＝12时等号成立，∴当λ＝12时，即E 为AB 中点时，S △DEF 的最大值为1 2503米2(2)设正△DEF 的边长为a ，∠CEF ＝α， 则CF ＝a ·sin α，AF ＝3－a ·sin α. 设∠EDB ＝∠1，可得∠1＝180°－∠B －∠DEB ＝120°－∠DEB ，α＝180°－60°－∠DEB ＝120°－∠DEB ∴∠ADF ＝180°－60°－∠1＝120°－α在△ADF 中，a sin 30°＝3－a sin αsin ∠ADF即a12＝3－a sin αsin 120°－α，化简得a [2sin(120°－α)＋sin α]＝ 3 ∴a ＝32sin α－3cos α＝37sin α－φ≥37＝217(其中φ是满足tan φ＝32的锐角)．∴△DEF 边长最小值为217米． 必考解答题——模板成形练(五) (对应学生用书P417)数 列(建议用时：60分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝1－a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 13a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证∑k ＝1n1T k＜2.解 (1)当n ＝1时，2S 1＝1－a 1,2a 1＝1－a 1，∴a 1＝13；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝1－a n ，2S n －1＝1－a n －1，两式相减得2a n ＝a n －1－a n (n ≥2)， 即3a n ＝a n －1(n ≥2)，又a n －1≠0，∴a n a n －1＝13(n ≥2)， ∴数列{a n }是以13为首项，13为公比的等比数列．∴a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(2)由(1)知b n ＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝n ，∴T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n2，∑k ＝1n1T k ＝21×2＋22×3＋…＋2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＜2. 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)． (1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，求出数列{b n }的通项公式；若不存在，说明理由． 解 (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立， 即a n ＝2n 对n ≥2成立，又a 1＝2·1. 所以a n ＝2n 对n ∈N *成立．所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立，所以{a n }是等差数列， 所以有S n ＝a 1＋a n2·n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)存在．由(1)，得a n ＝2n ，n ∈N *成立， 所以有a 3＝6，a 9＝18，又a 1＝2，所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，则b 2b 1＝b 3b 2＝3.所以存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }， 其通项公式为b n ＝2·3n －1.3．已知数列{a n }是首项a 1＝1的等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是首项b 1＝2的等比数列，且b 2S 2＝16，b 1b 3＝b 4. (1)求a n 和b n ；(2)令c 1＝1，c 2k ＝a 2k －1，c 2k ＋1＝a 2k ＋kb k (k ＝1,2,3，…)，求数列{}的前2n ＋1项和T 2n ＋1. 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝2qn －1.由b 1b 3＝b 4，得q ＝b 4b 3＝b 1＝2， 由b 2S 2＝2q (2＋d )＝16，解得d ＝2. ∴a n ＝2n －1，b n ＝2n.(2)∵T 2n ＋1＝c 1＋a 1＋(a 2＋b 1)＋a 3＋(a 4＋2·b 2)＋…＋a 2n －1＋(a 2n ＋nb n )＝1＋S 2n ＋(b 1＋2b 2＋…＋nb n )．令A ＝b 1＋2b 2＋…＋nb n ，则A ＝2＋2·22＋…＋n ·2n， ∴2A ＝22＋2·23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1，∴－A ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1，∴A ＝n ·2n ＋1－2n ＋1＋2.又S 2n ＝2n1＋a 2n 2＝4n 2，∴T 2n ＋1＝1＋4n 2＋n ·2n ＋1－2n ＋1＋2＝3＋4n 2＋(n －1)2n ＋1.4．已知数列{a n }满足：a n ≠±1，a 1＝12，3(1－a 2n ＋1)＝2(1－a 2n )，b n ＝1－a 2n ，＝a 2n ＋1－a 2n (n ∈N *)．(1)证明数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }、{}的通项公式．(2)是否存在数列{}的不同项c i ，c j ，c k (i ＜j ＜k )使之成为等差数列？若存在，请求出这样的不同项c i ，c j ，c k (i ＜j ＜k )；若不存在，请说明理由．(3)是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N *都有(n －2)＜M 恒成立？若存在，求出M 的值，若不存在，说明理由．(1)证明 因为a n ≠±1，a 1＝12，3(1－a 2n ＋1)＝2(1－a 2n )，b n ＝1－a 2n ，所以b n ＋1b n ＝1－a 2n ＋11－a 2n ＝23(n ∈N *)，b 1＝1－a 21＝34，所以{b n }是以34为首项，23为公比的等比数列，所以b n ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)，所以a 2n ＝1－b n ＝1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)所以＝a 2n ＋1－a 2n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)(2)解 假设存在c j ，c j ，c k (i ＜j ＜k )满足题意，则有2c j ＝c i ＋c k 代入得 2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23j －1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23i －1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23k －1化简得2j －i ＋1＝3j －1＋2k ＋j －i ， 即2j －i ＋1－2k ＋j －i＝3j －1，左边为偶数，右边为奇数不可能相等．所以假设不成立，这样的三项不存在． (3)∵(n －2)－(n －1)＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1×n －43，∴(1－2)c 1＜(2－2)c 2＜(3－2)c 3＜(4－2)c 4，(4－2)c 4＝(5－2)c 5，(5－2)c 5＞(6－2)c 6＞(7－2)c 7＞……即在数列{(n －2)}中，第4项和第5项是最大项，当n ＝4时(n －2)＝2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427，所以存在最小自然数M ＝1符合题意．必考解答题——模板成形练(六) (对应学生用书P419)函数与导数(建议用时：60分钟)1．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，某某数b 的取值X 围． 解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a 3.当a ＝0时，f ′(x )≤0，函数f (x )没有单调递增区间； 当a ＞0时，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜2a3.故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ； 当a ＜0时，令f ′(x )＞0，得2a3＜x ＜0.故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0. 综上所述，当a ＝0时，函数f (x )没有单调递增区间；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0. (2)由(1)知，a ∈[3,4]时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ，单调递减区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，＋∞， 所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝b ， 函数f (x )在x ＝2a 3处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝4a 327＋b ，由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f 0＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＜0，4a327＋b ＞0，解得－4a327＜b ＜0，因为对任意a ∈[3,4]，b ＞－4a327恒成立，所以b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 327max ＝－4×3327＝－4， 所以实数b 的取值X 围是(－4,0)． 2．已知函数f (x )＝a x＋ln x －1，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (1，y 0)处的切线平行于直线y ＝－x ＋1，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a ＞0，且对x ∈(0,2e]时，f (x )＞0恒成立，某某数a 的取值X 围． 解 (1)直线y ＝－x ＋1的斜率k ＝－1，函数y ＝f (x )的导数为f ′(x )＝－a x2＋1x，f ′(1)＝－a ＋1＝－1，即a ＝2.∴f (x )＝2x ＋ln x －1，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2.∵f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f ′(x )＞0，得x ＞2；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2.∴函数f (x )的单调增区间是(2，＋∞)，单调减区间是(0,2)． (2)∵a ＞0，f (x )＞0对x ∈(0,2e]恒成立， 即a x＋ln x －1＞0对x ∈(0,2e]恒成立． 即a ＞x (1－ln x )对x ∈(0,2e]恒成立， 设g (x )＝x (1－ln x )＝x －x ln x ，x ∈(0,2e]．g ′(x )＝1－ln x －1＝－ln x ，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数， 当1＜x ≤2e 时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，所以当x ＝1时，函数g (x )在x ∈(0,2e]上取到最大值． ∴g (x )≤g (1)＝1－ln 1＝1，∴a 的取值X 围是(1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx －3，y ＝f ′(x )为f (x )的导函数，满足f ′(2－x )＝f ′(x )；f ′(x )＝0有解，但解却不是函数f (x )的极值点．(1)求f (x )； (2)设g (x )＝x f ′x ，m ＞0，求函数g (x )在[0，m ]上的最大值；(3)设h (x )＝ln f ′(x )，若对于一切x ∈[0,1]，不等式h (x ＋1－t )＜h (2x ＋2)恒成立，某某数t 的取值X 围．解 (1)f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ，∵f ′(2－x )＝f ′(x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，b ＝－1. 由题意，f ′(x )＝x 2－2x ＋c ＝0中Δ＝4－4c ＝0，故c ＝1. 所以f (x )＝13x 3－x 2＋x －3.(2)∵f ′(x )＝x 2－2bx ＋1 ＝(x －1)2， ∴g (x )＝x |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，x －x 2，x ＜1.当0＜m ≤12时，g (x )max ＝g (m )＝m －m 2当12＜m ≤1＋22时，g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14， 当m ＞1＋22时，g (x )max ＝g (m )＝m 2－m ，综上g (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧m －m 20＜m ≤121412＜m ≤1＋22m 2－mm ＞1＋22(3)h (x )＝2ln|x －1|，h (x ＋1－t )＝2ln|x －t |，h (2x ＋2)＝2ln|2x ＋1|当x ∈[0,1]时，|2x ＋1|＝2x ＋1，所以不等式等价于0＜|x －t |＜2x ＋1恒成立， 解得－x －1＜t ＜3x ＋1，且x ≠t ，由x ∈[0,1]，得－x －1∈[－2，－1]，3x ＋1∈[1,4]，所以－1＜t ＜1， 又x ≠t ，∴t ∈[0,1]，∴所求的实数t 的取值X 围是(－1,0)． 4．已知函数f (x )＝k [(log a x )2＋(log x a )2]－(log a x )3－(log x a )3，g (x )＝(3－k 2)(log a x ＋log x a )，(其中a ＞1)，设t ＝log a x ＋log x a .(1)当x ∈(1，a )∪(a ，＋∞)时，试将f (x )表示成t 的函数h (t )，并探究函数h (t )是否有极值；(2)当∈(1，＋∞)时，若存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＞g (x 0)成立，试求k 的X 围． 解 (1)∵(log a x )2＋(log x a )2＝(log a x ＋log x a )2－2 ＝t 2－2，(log a x )3＋(log x a )3＝(log a x ＋log x a )[(log a x ＋log x a )2－3]＝t 3－3t ， ∴h (t )＝－t 3＋kt 2＋3t －2k ，(t ＞2)． ∴h ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋3设t 1，t 2是h ′(t )＝0的两根，则t 1t 2＜0，∴h ′(t )＝0在定义域内至多有一解， 欲使h (t )在定义域内有极值，只需h ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋3＝0在(2，＋∞)内有解，且h ′(t )的值在根的左右两侧异号，∴h ′(2)＞0得k ＞94.综上：当k ＞94时h (t )在定义域内有且仅有一个极植，当k ≤94时h (t )在定义域内无极值．(2)∵存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＞g (x 0)成立等价于f (x )－g (x )的最大值大于0. ∵t ＝log a x ＋log x a ，∴m (t )＝－t 3＋kt 2＋k 2t －2k ，(t ≥2)， ∴m ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋k 2＝0得t 1＝k ，t 2＝－k3.当k ＞2时，m (t )max ＝m (k )＞0得k ＞2； 当0＜k ≤2时，m (t )max ＝m (2)＞0得17－12＜k ≤2； 当k ＝0时，m (t )max ＝m (2)＜0不成立． 当－6≤k ＜0时，m (t )max ＝m (2)＞0得－6≤k ＜－17－12； 当k ＜－6时，m (t )max ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＞0得k ＜－6.综上得：k 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－17－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫17－12，＋∞.必考附加题——模板成形练(一)1．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝6，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1.(1)求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小； (2)求平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值．解 (1)建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0,0)，E (2,0,2)，A 1(0,0,6)，F (0,2,4)， 从而AE →＝(2,0,2)，A 1F →＝(0,2，－2)．记AE →与A 1F →的夹角为θ，则有cos θ＝AE →·A 1F →|AE →|·|A 1F →|＝－48·8＝－12.又由异面直线AE 与A 1F 所成角的X 围为(0，π)， 可得异面直线AE 与A 1F 所成的角为60°.(2)记平面AEF 和平面ABC 的法向量分别为n 和m ，则由题设可令n ＝(1，y ，z )，且有平面ABC 的法向量为m ＝AA 1→＝(0,0,6)，AF →＝(0,2,4)，AE →＝(2,0,2)．由n ·AF →＝0，得2y ＋4z ＝0；由n ·AE →＝0，得2＋2z ＝0. 所以z ＝－1，y ＝2，即n ＝(1,2，－1)． 记平面AEF 与平面ABC 所成的角为β，有cos β＝n ·m |n |·|m |＝－66·6＝－66.由图形可知β为锐角，所以cos β＝66. 2．已知数列{b n }满足b 1＝12，1b n＋b n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求b 2，b 3，猜想数列{b n }的通项公式，并用数学归纳法证明； (2)设x ＝b nn ，y ＝b n ＋1n ，比较x x与y y的大小． 解 (1)当n ＝2时，1b 2＋12＝2，解得b 2＝23；当n ＝3时，1b 3＋23＝2，解得b 3＝34. 猜想b n ＝nn ＋1.证明：①当n ＝1时，b 1＝12. ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，即b k ＝k k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，1b k ＋1＋b k ＝2，即1b k ＋1＋k k ＋1＝2， ∴1b k ＋1＝2－k k ＋1＝k ＋2k ＋1，b k ＋1＝k ＋1k ＋2也成立． 由①②得b n ＝nn ＋1. (2)x ＝b n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ， x x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n y ＝b n＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1， y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1(n ＋1)n n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ∴x x ＝y y .3．三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝3.D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值；(2)求二面角B 1－A 1D －C 1的大小的正弦值．解 (1)由题意，A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3).A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)．设平面A 1C 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∵n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝3.n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，∵DB 1→＝(1，－2,3)，∴sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3×1＋0×－2＋1×3|10×14＝33535. (2)设平面A 1B 1D 的法向量为m ＝(a ，b ，c )．A 1B 1→＝(2,0,0)，∵m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0.∴a ＝0,2b ＝3c .令c ＝2，得b ＝3.m ＝(0,3,2)．设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α，∴|cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265， 则sin α＝3765＝345565， ∴二面角B 1－A 1D －C 1的大小的正弦值为345565. 4．已知整数n ≥4，集合M ＝{1,2,3，…，n }的所有3个元素的子集记为A 1，A 2，…，A C (C ∈N *)．(1)当n ＝5时，求集合A 1，A 2，…，A C 中所有元素之和；(2)设m i 为A i 中的最小元素，设P n ＝m 1＋m 2＋…＋m C ，试求P n (用n 表示)．解 (1)当n ＝5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有C 24＝6个，所以含有数字1的集合有6个．同时含2,3,4,5的子集也各有6个．于是所求元素之和为(1＋2＋3＋4＋5)×C 24＝15×6＝90.(2)证明 不难得到1≤m i ≤n －2，m i ∈Z ，并且以1为最小元素的子集有C 2n －1个，以2为最小元素的子集有C 2n －2个，以3为最小元素的子集有C 2n －3个，…，以n －2为最小元素的子集有C 22个，则P n ＝m 1＋m 2＋…＋m C 3n＝1×C 2n －1＋2C 2n －2＋3C 2n －3＋…＋(n －2)C 22＝(n －2)C 22＋(n －3)C 23＋(n －4)C 2n ＋…＋C 2n －1＝C 22＋(n －3)(C 22＋C 23)＋(n －4)C 24＋…＋C 2n －1＝C 22＋(n －3)(C 33＋C 23)＋(n －4)C 24＋…＋C 2n －1＝C 22＋(n －3)C 34＋(n －4)C 24＋…＋C 2n －1＝C 22＋C 34＋(n －4)(C 34＋C 24)＋…＋C 2n －1＝C 22＋C 34＋(n －4)C 35＋…＋C 2n －1＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 3n ＝C 4n ＋1.必考附加题——模板成形练(二) (对应学生用书P423)1．如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF ⊥DE .(1)求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值；(2)求二面角O －DF －E 的余弦值．解 (1)以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B (0,2,0)，P (0,0,4)，D (0,0,2)，E (0，1,2)． 设F (x 0，y 0,0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4，则EF →＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0,1,0)，∵EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴F (3，1,0)，EF →＝(3，0，－2)，BD →＝(0，－2,2)．设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147. (2)设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥OD →，n ⊥OF →，即⎩⎨⎧ z 1＝0，3x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，32.设二面角O －DF －E 的平面角为β，则|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77， ∴sin β＝427. 2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n －(n ＋1)．(1)证明：a n >n (n ≥3)；(2)证明：2＋33＋44＋…＋n n <2.证明 (1)因为a 1＝2，a 2＝2，所以a 3＝a 32－3＝5>3.假设当n ＝k 时，a k >k (k ≥3)，则a k ＋1k >k k ＋1>k 2·k ≥9k >2k ＋2， 那么，当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝a k＋1k －(k ＋1)>2k ＋2－(k ＋1)＝k ＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．所以当n ≥3时，a n >n .(2)当n ＝2时，2<2显然成立，由(1)知，当n ≥3时，a n ＝a n n －1－n >0，得a n n －1>n ，所以a n －1>n n ，所以a n －1n －2－(n －1)>n n ，即a n －1n －2>(n －1)＋nn ， 所以a n －2>n －1n －1＋n n ，以此类推，得2＝a 1> 2＋33＋44＋…＋nn ，问题得证．3．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AD ，DC 的中点．(1)求直线BC 1与平面EFD 1所成角的正弦值；(2)设直线BC 1上一点P 满足平面PAC ∥平面EFD 1，求PB 的长．解 (1)建立以D 点为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴的空间直角坐标系．D 1(0,0,2)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，E (1,0,0)，C 1(0,2,2)，F (0,1,0)，BC 1→＝(－2,0,2)，D 1E →＝(1,0，－2)，EF →＝(－1,1,0)．设平面D 1EF 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·D 1E →＝0，n ·EF →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－2z 1＝0，－x 1＋y 1＝0，令x 1＝2，则n ＝(2,2,1)，cos 〈n ，BC 1→〉＝－222×3＝－26， ∴直线BC 1与平面EFD 1所成角的正弦值为26. (2)BP →＝λBC 1→＝(－2λ，0,2λ)，AP →＝AB →＋BP →＝(－2λ，2,2λ)， n ·AP →＝－4λ＋4＋2λ＝0，∴λ＝2.∵AP 不在平面EFD 1内，AP ∥平面EFD 1，又AC ∥EF ，EF ⊆平面EFD 1，∴AC ∥平面EFD 1.又AP 与AC 相交于点A ，∴平面PAC ∥平面EFD 1，BP →＝(－4,0,4)，|BP →|＝4 2.4．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }，其中0≤a 1<a 2<…<a n ，且n ≥3，若∀i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a j ＋a i 与a j －a i 两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P .(1)分别判断数集{0,1,3}与数集{0,2,4,6}是否具有性质P ，说明理由；(2)已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }具有性质P ，判断数列a 1，a 2，…，a 8是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．解 (1)由于3－1和3＋1都不属于集合{0,1,3}，所以该数集不具有性质P ；由于2＋0,4＋0,6＋0,4＋2,6－2,6－4,0－0,2－2,4－4,6－6都属于集合{0,2,4,6}，所以该数集具有性质P .(2)∵A ＝{a 1，a 2，…，a 8}具有性质P ，所以a8＋a8与a8－a8中至少有一个属于A，由0≤a1<a2<…<a8，有a8＋a8>a8，故a8＋a8∉A，∴0＝a8－a8∈A，故a1＝0.∵0＝a1<a2<…<a8，∴k≥2时，a8＋a k>a8，故a8＋a k∉A(k＝2,3，…，8)．由A具有性质P知，a8－a k∈A(k＝2,3，…，8)，又∵a8－a8<a8－a7<…<a8－a2<a8－a1，∴a8－a8＝a1，a8－a7＝a2，…，a8－a2＝a7，a8－a1＝a8，即a i＋a9－i＝a8(i＝1,2，…，8)．①由a2＋a7＝a8知，a3＋a7，a4＋a7，…，a7＋a7均不属于A，由A具有性质P，a7－a3，a7－a4，…，a7－a7均属于A，∴a7－a7<a7－a6<…<a7－a4<a7－a3<a8－a3，而a8－a3＝a6，∴a7－a7＝a1，a7－a6＝a2，a7－a5＝a3，…，a7－a3＝a5，即a i＋a8－i＝a7(i＝1,2，…，7)．②由①②可知a i＝a8－a9－i＝a8－(a7－a i－1)(i＝2,3，…，8)，即a i－a i－1＝a8－a7＝a2(i＝2,3，…，8)．故a1，a2，…，a8构成等差数列．。
2015届《创新设计》高考数学(江苏版,理科)一轮总复习方法强化练——计数原理-推荐下载
方法强化练——计数原理(建议用时：60分钟)一、填空题1．A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边(A ，B 可以不相邻)，那么不同的排法共有________．解析 可先排C ，D ，E 三人，共A 种排法，剩余A 、B 两人只有一种排法，由35分步乘法计数原理满足条件的排法共A ＝60种．35答案 60种2．(2014·重庆质检)(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n 等于________．解析 (1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为C (3x )5＝C 35x 5，展开式中含x 6的项5n 5n 为C 36x 6.6n 由两项的系数相等得C ·35＝C ·36，解得n ＝7.5n 6n 答案 73．(2014·济南调研)只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有________．解析 由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．答案 18个4．组合式C －2C ＋4C －8C ＋…＋(－2)n C 的值等于________．0n 1n 2n 3n n 解析 在(1＋x )n ＝C ＋C x ＋C x 2＋…＋C x n 中，令x ＝－2，得原式＝(1－2)0n 1n 2n n n ＝(－1)n .答案 (－1)n5．若n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之(x －12)和为________．解析 由题意知C ＝＝15，所以n ＝6，则n＝6，令x ＝1得2n n (n －1)2(x －12)(x －12)所有项系数之和为6＝.(12)164答案 1646．(2014·杭州检测)甲、乙两人计划从A ，B ，C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有________．解析 甲、乙各选两个景点有C C ＝9种方法，其中，入选景点完全相同的有23233种．∴满足条件要求的选法共有9－3＝6(种)．答案 6种7．若(x －1)8＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 8(1＋x )8，则a 6＝________.解析 (x －1)8＝[(x ＋1)－2]8＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 8(1＋x )8，∴a 6＝C(－2)2＝4C ＝112.2828答案 1128．(2014·长沙模拟)已知x ，y 满足Error!(x ∈Z ，y ∈Z )，每一对整数(x ，y )对应平面上一个点，则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为________．解析 如图所示，阴影中的整点部分为x ，y 满足的区域，其中整数点(x ，y )共有8个，从中任取3个有C ＝56种取法．38其中三点共线的有1＋C ＝11(种)．35故可作不同的圆的个数为45.答案 459．(2014·广州调研)已知a ＝2cosd x ，则二项式5的展开式中x 的π∫0(x ＋π6)(x 2＋ax )系数为________．解析 a ＝2cosd x ＝2sin Error!＝－2，则π∫0(x ＋π6)(x ＋π6)5＝5，∴T r ＋1＝C x 2(5－r )r ＝(－2)rC x10－3r .(x 2＋a x )(x 2－2x )r 5(－2x )r 5令10－3r ＝1，得r ＝3.∴展开式中x 的系数为(－2)3C ＝－80.35答案 －8010．(2014·衡水中学模拟)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．解析 先将3,5排列，有A 种排法；再将4,6插空排列，有2A 种排法；最后22将1,2插入3,4,5,6形成的空中，有C 种排法．由分步乘法计数原理知，共有A 15·2A ·C ＝40种．2215答案 4011.n 的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中二项式系数最大的(2x ＋13x )项等于________．解析 依题意，令x ＝1，有3n ＝729，则n ＝6，∴展开式第4项的二项式系数最大，则T 4＝C (2x )33＝160x 2.36(13x )答案 160x 212．(2014·郑州调研)某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．解析 甲、乙作为元素集团，内部有A 种排法，“甲乙”元素集团与“戊”全2排列有A 种排法．将丙、丁插在3个空档中有A 种方法．∴由分步计数原理，223共有A A A ＝24种排法．2223答案 2413．(2013·新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.解析 由二项式系数的性质，得a ＝C ，b ＝C ＝C ，又13a ＝7b ，m 2m m 2m ＋1m ＋12m ＋1因此13C ＝7C ，解得m ＝6.m 2m m 2m ＋1答案 614．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．解析 当每个台阶上各站1人时有A C 种站法，当两个人站在同一个台阶上337时有C C C 种站法，因此不同的站法种数有231716A C ＋C C C ＝210＋126＝336(种)．337231716答案 33615．(2014·无锡质检)(x 2＋2)5的展开式的常数项是________．(1x 2－1)解析 二项式5展开式的通项为：(1x 2－1)T r ＋1＝C 5－r·(－1)r ＝C ·x 2r －10·(－1)r.r 5(1x 2)r 5当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C x －2·(－1)4＝C ×(－1)4＝5；4545当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C x 0·(－1)5＝－2.5∴展开式中的常数项为5－2＝3.答案 316．将6位志愿者分成4个组，其中两个组各2人，另两个组各1人．分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案种数有________．解析 将6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，有＝×15×6＝45C26C24A2212种分组方法．将四组分赴四个不同场馆有A 种方法．4∴根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有45·A ＝1 080种方法．4答案 1 080二、解答题17．已知n，(12＋2x )(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)∵C ＋C ＝2C ，∴n 2－21n ＋98＝0.4n 6n 5n ∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 423＝，37(12)352T 5的系数为C 324＝70，47(12)当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 727＝3 432.714(12)(2)∵C ＋C ＋C ＝79，∴n 2＋n －156＝0.0n 1n 2n ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大，∵12＝12(1＋4x )12，(12＋2x)(12)∴Error!∴9.4≤k ≤10.4，∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C ·2·210·x 10＝16 896x 10.1012(12)18．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？(2)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？解 (1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插．34由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A＝24种．(2)法一 每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；27若分配到2所学校有C×2＝42种；37若分配到3所学校有C＝35种．∴共有7＋42＋35＝84种方法．法二 10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9 69个间隔中，共有C＝84种不同方法．所以名额分配的方法共有84种.。
2015年高考中的五类创新题连成
2015年高考中的五类创新题连成实际应用型试题以社会生活热点为背景，诸如用料最省、效率最高等，重点考查考生对现实问题的数学理解能力，要求考生依据题目给出的信息提炼出一个相关的数学模型，用已学的数学知识与方法来加以解决.例1 （湖南理科卷第10题）某工件的三视图如图1所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）A. B.C. D.参考答案 A本题亮点①圆锥的内接长方体；②基本不等式求最值.解题策略解决这类问题的关键是熟记主要的数学模型，如函数与导数模型、数列模型、不等式模型、三角函数模型、解析几何模型、立体几何模型、线性规划模型、算法模型、概率与统计模型等，根据实际问题进行分析，建立相应的数学模型，然后进行求解和检验.给定一个新模型来创设新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利解决问题，这能有效区分考生的思维品质和学习潜力.例2 （全国新课标卷一理科卷第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图2，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛参考答案 B本题亮点①以历史文献为背景；②考查考生的估算能力.解题策略①读懂题意后进行信息提取，明确新定义的含义；②对提取的新信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻找相近的知识点，明确它们的共同点和不同点；③对新信息中提取的知识进行转换和有效输出，其中对新信息的提取和化归与转化是解题的关键，也是解题的难点所在.函数是中学数学中起连接和支撑作用的主干知识.图像是表示函数的一种重要形式，其最大的优点是直观.函数图像型试题一直是高考的热点，可以说是常考常新.新课程改革的实施，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多新的解题途径，拓宽了高考对函数问题的命题空间.例3 （北京理科卷第8题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.图3描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油参考答案 D本题亮点实例来源于生活，考查考生对图像的处理能力.解题策略图形或图像的力量比文字更为简洁而有力.挖掘其中蕴含的有效信息，正确理解问题是解题的关键.对图形或图像的独特理解很多时候成为问题解决中的亮点.类比和归纳是非常重要的科学研究方法，可培养考生的创造性思维、创新精神和创造力.试题中往往给出一个命题且指出一个方向，要求考生从已知的结构出发，通过类比、归纳、应用的方式而得到一般的结论或新命题.近几年高考明显加强了对考生类比和归纳能力的考查，即由归纳猜想类比到发现新知，这渗透了从局部到整体、从特殊到一般的思维方法.例4 （山东理科卷第11题）观察下列各式：C01=40；C03+C13=41；C05+C15+C25=42；C07+C17+C27+C37=43；……照此规律，当n∈时，C0 2n-1+C1 2n-1+C2 2n-1+…+Cn-1 2n-1=______.参考答案4n-1本题亮点从具体的实例中寻找规律，考查考生的观察能力.解题策略解答类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项，并对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联；解答归纳推理问题的关键是从一些特殊的例子中寻找共同的规律.所谓新定义型试题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求考生读懂题意并结合已有知识和能力进行理解，根据新定义进行运算、推理和迁移的一种题型.新定义型试题成为近几年来高考数学压轴题的亮点.在进行高考复习时，考生应该重视提高应用新知识解决问题的能力.例5 （上海理科卷第23题）对于定义域为R的函数g （x），若存在正常数T，使得cos g（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期.已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π.（1）验证h（x）=x+sin 是以6π为余弦周期的余弦周期函数.（2）设a<b.证明：对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c.（3）证明：“u0为方程cos f（x）=1在[0，T]上的解”的充要条件是“u0+t为方程cos f（x）=1在[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]都有f（x+T）=f（x）+f（T）.参考答案（1）（验证过程省略）（2）（证明过程省略）（3）（证明过程省略）解题策略考生在解题时关键要把握住两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.（责任编校？筑周峰）。
【创新设计】(江苏专用)2015高考数学二轮复习 专题整合突破练2 理(含最新原创题,含解析)
【创新设计】（江苏专用）2015高考数学二轮复习 专题整合突破练2理（含最新原创题，含解析）1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，c )，n ＝(cos C ，cos A )． (1)若m ∥n ，c ＝3a ，求角A ；(2)若m ·n ＝3b sin B ，cos A ＝45，求cos C 的值．解 (1)∵m ∥n ，∴a cos A ＝c cos C . 由正弦定理得sin A cos A ＝sin C cos C ， 化简得sin 2A ＝sin 2C .∵A ，C ∈(0，π)，∴2A ＝2C (舍)或2A ＋2C ＝π， ∴A ＋C ＝π2，∴B ＝π2，在Rt △ABC 中，tan A ＝ac ＝33，A ＝π6. (2)∵m ·n ＝3b cos B ，∴a cos C ＋c cos A ＝3b sin B . 由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin 2B ， 从而sin(A ＋C )＝3sin 2B .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋C )＝sin B ，从而sin B ＝13，∵cos A ＝45>0，A ∈(0，π)，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin A ＝35.∵sin A >sin B ，∴a >b ，从而A >B ，B 为锐角， cos B ＝223.∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×223＋35×13＝3－8215.2．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点． (1)求证：BF ∥平面A 1EC ； (2)求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.证明 (1)连接AC 1并交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1. 又因为F 为AC 的中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1.因为E 为BB 1的中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1，所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE . 又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC . (2)由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ，F 为AC 的中点，所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC .又因为AA 1⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ， 所以AA 1⊥BF .由BF ∥OE 得OE ⊥AA 1，而AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.3. 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 26＋y 23＝1，A 1，A 2分别为椭圆C 1的左、右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设P 为椭圆C 2上异于A 1，A 2的任意一点，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点H .求证：H 为△PA 1A 2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点) (1)解 由题意可知A 1(－6，0)，A 2(6，0)， 椭圆C 1的离心率e ＝22. 设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝ 6.因为b a＝1－e 2＝22，所以a ＝2 3. 所以椭圆C 2的方程为y 212＋x 26＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则y 2012＋x 206＝1，从而y 20＝12－2x 20.将x ＝x 0代入x 26＋y 23＝1得x 206＋y 23＝1，从而y 2＝3－x 202＝y 204，即y ＝±y 02.因为P ，H 在x 轴的同侧，所以取y ＝y 02，即H (x 0，y 02)．所以kA 1P ·kA 2H ＝y 0x 0－6·12y 0x 0＋6＝y 20x 20－＝12－2x 2x 20－＝－1，从而A 1P ⊥A 2H .又因为PH ⊥A 1A 2，所以H 为△PA 1A 2的垂心．4．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC ＝a ，∠ABC ＝θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形的PQRS 面积为S 2.(1)用a ，θ表示S 1和S 2；(2)当a 固定，θ变化时，求S 1S 2的最小值． 解 (1)S 1＝12a sin θ·a cos θ＝14a 2sin 2θ，设正方形边长为x ，则BQ ＝xtan θ，RC ＝x tan θ，∴xtan θ＋x tan θ＋x ＝a ，∴x ＝a1tan θ＋tan θ＋1＝a sin 2θ2＋sin 2θ， S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin 2θ2＋sin 2θ2＝a 2sin 22θ4＋sin 22θ＋4sin 2θ， (2)当a 固定，θ变化时，S 1S 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4sin 2θ＋sin 2θ＋4，令sin 2θ＝t ，则S 1S 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋t ＋4(0＜t ≤1)，利用单调性求得t ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2min ＝94.5．已知函数f (x )＝a ln x －1x(a 为常数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直，求a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当x ≥1时，f (x )≤2x －3恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，f ′(x )＝ax ＋1x 2. 又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直， 所以f ′(1)＝a ＋1＝2，即a ＝1. (2)由f ′(x )＝ax ＋1x 2(x ＞0)，当a ≥0时， f ′(x )＞0恒成立，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．当a ＜0时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜－1a，所以f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ；由f ′(x )＜0，得x ＞－1a，所以f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，＋∞.(3)设g (x )＝a ln x －1x－2x ＋3，x ∈[1，＋∞)，则g ′(x )＝a x ＋1x 2－2＝－2x 2＋ax ＋1x 2.令h (x )＝－2x 2＋ax ＋1，考虑到h (0)＝1＞0， 当a ≤1时，h (x )＝－2x 2＋ax ＋1的对称轴x ＝a4＜1，h (x )在[1，＋∞)上是减函数，h (x )≤h (1)＝a －1≤0，所以g ′(x )≤0，g (x )在[1，＋∞)上是减函数， 所以g (x )≤g (1)＝0，即f (x )≤2x 2－3恒成立． 当a ＞1时，令h (x )＝－2x 2＋ax ＋1＝0， 得x 1＝a ＋a 2＋84＞1，x 2＝a －a 2＋84＜0，当x ∈[1，x 1)时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，g (x )在[1，x 1)上是增函数；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，g (x )在(x 1，＋∞)上是减函数．所以0＝g (1)＜g (x 1)，即f (x 1)＞2x 1－3，不满足题意． 综上，a 的取值范围为a ≤1.6．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有S n 3＝(S n )3成立，求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合． (ⅰ)求a 1，a 2的值； (ⅱ)求数列{a n }的通项公式．解 (1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ，因为S 3n ＝(S n )3对任意正整数n 都成立，所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝a 1＋d3.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ≥0. 可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2.当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，S n 3＝(S n )3成立； 当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以S n 3＝(S n )3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1. (2)(ⅰ)记A n ＝{1,2，…，S n }，显然a 1＝S 1＝1.对于S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，有A 2＝{1,2，…，S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1,2,3,4}， 故1＋a 2＝4，所以a 2＝3.(ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数．而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1,2，…，S n 这S n个正整数外，还有a n －1，a n ＋1＋i ，|a n ＋1－i |(i ＝1,2，…，S n )，共2S n ＋1个数． 所以，S n ＋1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1.又S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12·3n －1－12＝12·3n －12.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝12·3n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12·3n －1－12＝3n －1.而a 1＝1也满足a n ＝3n －1.所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －1.。
【三维设计】2015年高考数学总复习创新问题专项训练(一)文北师大版
创新问题专项训练(一)一、选择题1.如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是( )2．已知两个非零向量a 与b ，定义|a ×b |＝|a |·|b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3,4)，b ＝(0,2)，则|a ×b |的值为( )A ．－8B ．－6C ．8D ．63．设实数a 1，a 2，a 3，a 4是一个等差数列，且满足1<a 1<3，a 3＝4.若定义b n ＝{2a n }，给出下列命题：(1)b 1，b 2，b 3，b 4是一个等比数列；(2)b 1<b 2；(3)b 2>4；(4)b 4>32；(5)b 2·b 4＝256.其中真命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．54．我们把形如y ＝f (x )φ(x )的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝φ(x )ln f (x )，两边求导得y ′y＝φ′(x )·ln f (x )＋φ(x )·f x f x ，于是y ′＝f (x )φ(x )[φ′(x )·l n f (x )＋φ(x )·f x f x]．运用此方法可以探求得y ＝x 1x的一个单调递增区间是( )A ．(e,4)B ．(3,6)C ．(2,3)D ．(0,1)5．对向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)定义一种运算“⊗”：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知动点P ，Q 分别在曲线y ＝sin x 和y ＝f (x )上运动，且OQ ＝m ⊗OP ＋n (其中O为坐标原点)，若向量m ＝(12，3)，n ＝(π6，0)，则y ＝f (x )的最大值为( )A.12 B ．2 C ．3 D. 3二、填空题6．设a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是________．7．若从集合113,434⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，中随机抽取一个数记为a ，从集合{－1,1，－2,2}中随机抽取一个数记为b ，则函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的图像经过第三象限的概率是________．8.一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知如图是“优美图”，则点A，B与边a所对应的三个数分别为________．9．已知数列{a n}：a1，a2，a3，…，a n，如果数列{b n}：b1，b2，b3，…，b n满足b1＝a n，b k＝a k－1＋a k－b k－1，其中k＝2,3，…，n，则称{b n}为{a n}的“衍生数列”．若数列{a n}：a1，a2，a3，a4的“衍生数列”是5，－2,7,2，则{a n}为________；若n为偶数，且{a n}的“衍生数列”是{b n}，则{b n}的“衍生数列”是________．三、解答题10．设数列{a n}的各项均为正数．若对任意的n∈N+，存在k∈N+，使得a2n＋k＝a n·a n＋2k 成立，则称数列{a n}为“J k型”数列．(1)若数列{a n}是“J2型”数列，且a2＝8，a8＝1，求a2n；(2)若数列{a n}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{a n}是等比数列．11．春节前，有超过20万名广西，四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾驶人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图所示．(1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法；(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的被抽取了5名，则四川籍的应抽取几名？(3)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有1名驾驶人员是广西籍的概率．答 案1．选D 依题意，直线l 从l 0开始按逆时针方向匀速转动，开始一段时间阴影部分的面积增加的比较慢，中间一段时间阴影部分的面积增加的比较快，最后一段时间阴影部分的面积增加的又比较慢，因此结合各选项知，选D.2．选D |a |＝－2＋42＝5，|b |＝02＋22＝2，a ·b ＝－3×0＋4×2＝8，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝85×2＝45，又因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.故根据定义可知|a ×b |＝|a |·|b |sin θ＝5×2×35＝6. 3．选C 若{a n }是公差为d 的等差数列，则{2a n }是公比为2d的等比数列，故(1)正确；a 3>a 1⇒公差d >0⇒公比2d >1，(2)正确；a 1＋a 3＝2a 2，由1<a 1<3，a 3＝4，得a 1＋a 3>5⇒a 2>2⇒b 2＝2a 2>4，(3)正确；1<a 1<3，a 3＝4，又a 3＝a 1＋2d ⇒d ＝4－a 12∈(12，32)⇒a 4∈(92，112)，故b 4＝2a 4不一定大于32，(4)不正确；因为b 2·b 4＝b 23＝(2a 3)2＝256，所以(5)正确．4．选D 由题意知y ′＝x 1x(－1x 2l n x ＋1x ·1x )＝x 1x ·1x 2(1－ln x )，x >0，1x2>0，x 1x >0，令y ′>0，则1－ln x >0，所以0<x <e ，因为(0,1)⊆(0，e)，所以选D.5．选C 设P ＝(x 1，y 1)，Q ＝(x ，y )，∵m ＝(12，3)，∴m ⊗OP ＝(12，3)⊗(x 1，y 1)＝(x 12，3y 1)，∵OQ ＝m ⊗OP ＋n ，∴(x ，y )＝(x 12，3y 1)＋(π6，0)，∴x ＝x 12＋π6，y ＝3y 1，∴x 1＝2x－π3，y 1＝y3， 又y 1＝sin x 1，∴y 3＝sin(2x －π3)，∴y ＝3sin(2x －π3)，显然当sin(2x －π3)＝1时，y ＝f (x )取得最大值3.6．解析：∵a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，∴a <c ，∴⎩⎨⎧x 2－xy ＋y 2＋p xy >x 2＋2xy ＋y 2，x 2－xy ＋y 2＋x 2＋2xy ＋y 2>p xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧p > x y ＋yx ＋2－ x y ＋yx －1，p < x y ＋yx＋2＋ x y ＋yx－1，令t ＝x y ＋y x(t ≥2)，则⎩⎨⎧p >t ＋2－t －1p <t ＋2＋t －1，从而1<p <3.答案：(1,3)7．解析：(b ，a )的所有可能情况有：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14，(－1,3)，(－1,4)；⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，(1,3)，(1,4)；⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，(－2,3)，(－2,4)；⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，(2,3)，(2,4)，共16种．由于函数f (x )的图象经过第三象限，因此，0<a <1，b <－1或a >1，b <0，因此满足条件的(b ，a )有：(－1,3)，(－1,4)，(－2，13)，(－2，14)，(－2,3)，(－2,4)，共6种．根据古典概型的概率计算公式可得P ＝616＝38.答案：388．解析：观察图中编号为4的边，由于6－2＝5－1＝4，而数字2已为一端点的编号，故编号为4的边的左、右两端点应为5、1，从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边，易知点A 对应的数为3，点B 对应的数为6.故应填3、6、3.答案：3、6、39．解析：由b 1＝a n ，b k ＝a k －1＋a k －b k －1，k ＝2,3，…，n 可得，a 4＝5,2＝a 3＋a 4－7，解得a 3＝4.又7＝a 2＋a 3－(－2)，解得a 2＝1.由－2＝a 1＋a 2－5，解得a 1＝2，所以数列{a n }为2,1,4,5.由已知，b 1＝a 1－(a 1－a n )，b 2＝a 1＋a 2－b 1＝a 2＋(a 1－a n )，….因为n 是偶数，所以b n ＝a n ＋(－1)n(a 1－a n )＝a 1.设{b n }的“衍生数列”为{c n }，则c i＝b i ＋(－1)i(b 1－b n )＝a i ＋(－1)i·(a 1－a n )＋(－1)i(b 1－b n )＝a i ＋(－1)i(a 1－a n )＋(－1)i·(a n －a 1)＝a i ，其中i ＝1,2,3，…，n .则{b n }的“衍生数列”是{a n }．答案：2,1,4,5 {a n }10．解：(1)由题意得a 2，a 4，a 6，a 8，…成等比数列，且公比q ＝(a 8a 2)13＝12，所以a 2n ＝a 2qn －1＝(12)n －4. (2)由数列{a n }是“J 4型”数列，得a 1，a 5，a 9，a 13，a 17，a 21，…成等比数列，设公比为t .由数列{a n }是“J 3型”数列，得a 1，a 4，a 7，a 10，a 13，…成等比数列，设公比为α1；a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，…成等比数列，设公比为α2； a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，…成等比数列，设公比为α3.则a 13a 1＝α41＝t 3，a 17a 5＝α42＝t 3，a 21a 9＝α43＝t 3. 所以α1＝α2＝α3，不妨记α＝α1＝α2＝α3，且t ＝α43.于是a 3k －2＝a 1αk －1＝a 1(3α)(3k －2)－1，a 3k －1＝a 5αk －2＝a 1t αk －2＝a 1α23k －＝a 1(3α)(3k －1)－1，a 3k ＝a 9αk －3＝a 1t 2αk －3＝a 1α13k －＝a 1(3α)3k －1，所以a n ＝a 1(3α)n －1，故{a n }为等比数列．11．解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法． (2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员是广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100名，四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40名．设四川籍的驾驶人员应抽取x 名，依题意得5100＝x40，解得x ＝2，即四川籍的应抽取2名．(3)用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5表示被抽取的广西籍驾驶人员，b 1，b 2表示被抽取的四川籍驾驶人员，则所有可能结果共有{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，a 4}，{a 1，a 5}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 2，a 3}，{a 2，a 4}，{a 2，a 5}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 3，a 4}，{a 3，a 5}，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 4，a 5}，{a 4，b 1}，{a 4，b 2}，{a 5，b 1}，{a 5，b 2}，{b 1，b 2}，共21个，其中2名驾驶人员都是四川籍的结果有{b 1，b 2},1个． 所以抽取的2名驾驶人员都是四川籍的概率P 1＝121，至少有1名驾驶人员是广西籍的概率P ＝1－P 1＝1－121＝2021.。
2015年最新数学高考模拟试题精编12套
数学高考模拟试题精编一【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知复数z ＝2i1＋i，z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝( ) A ．1－i B ．2 C ．1＋i D ．02．(理)条件甲：⎩⎨⎧ 2＜x ＋y ＜40＜xy ＜3；条件乙：⎩⎨⎧0＜x ＜12＜y ＜3，则甲是乙的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件(文)设α，β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A．4 B．5C．6 D．74．(理)下列说法正确的是()A．函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C．命题“∃x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”D．给定命题p、q，若p∧q是真命题，则綈p是假命题(文)若cos θ2＝35，sinθ2＝－45，则角θ的终边所在的直线为()A．7x＋24y＝0 B．7x－24y＝0C．24x＋7y＝0 D．24x－7y＝05．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为()A．0.04 B．0.06C．0.2 D．0.36．已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( ) A.3116 B ．2 C.3316 D.16337．已知l ，m 是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥βB ．若l ⊥α，α∥β，m ⊂β，则l ⊥mC ．若l ⊥m ，α∥β，m ⊂β，则l ⊥αD ．若l ∥α，α⊥β，则l ∥β 8．(理)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( ) A.16 B.14 C.13 D.512(文)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－e －1 D ．－e9．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( ) A.π8 B.3π8 C.3π4 D.π2 10.如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为( ) A ．a 3B.a 32C.a 33D.a 34 11.如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.2＋1 B.3＋1 C.2＋12 D.3＋1212．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( ) A ．－12 B ．－13 C ．－14 D ．－15 答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．向平面区域{}(x ，y )|x 2＋y 2≤1内随机投入一点，则该点落在区域⎩⎨⎧2x ＋y ≤1x ≥0y ≥0内的概率等于________．14．(理)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC→＝________.(文)已知向量p ＝(1，－2)，q ＝(x,4)，且p ∥q ，则p ·q 的值为________． 15．给出下列等式：观察各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则依次类推可得a 6＋b 6＝________.16．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1,2]，且y ∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1(x ∈R )(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．18.(理)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，O 为AC 中点． (1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值；(3)在BC 1上是否存在一点E ，使得OE ∥平面A 1AB ？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由． (文)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AB＝1，AA1＝62，∠ABC＝60°.(1)求证：AC⊥BD1；(2)求四面体D1－AB1C的体积．19.(理)(本小题满分12分)某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来．(1)求该参赛者恰好连对一条的概率；(2)设X为该参赛者此题的得分，求X的分布列与数学期望．(文)(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.(1)求x和y的值；(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．20．(本小题满分13分)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n＋1＝4a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－2a n，证明：数列{b n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．21.(理)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x －2)，a ∈R 且a ≠0. (1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； (2)当a ＞0时，求函数f (|sin x |)的最小值；(3)在(1)的条件下，若y ＝kx 与y ＝f (x )的图象存在三个交点，求k 的取值范围． (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x 与g (x )＝kx ＋b (k ，b ∈R )的图象交于P ，Q 两点，曲线y ＝f (x )在P ，Q 两点处的切线交于点A .(1)当k ＝e ，b ＝－3时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(e 为自然常数) (2)若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫e e －1，1e －1，求实数k ，b 的值． 22.(本小题满分12分)如图F 1、F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e ＝32，S △DEF 2＝1－32.若点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0a ，y 0b 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于A 、B 两点，A 、B两点的“椭点”分别为P 、Q . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)问是否存在过左焦点F 1 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．山东省数学高考模拟试题精编二【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答. 题号 一二 三 总分13 1415 16 17 18 19 20 21 22 得分第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设A ＝{1,4,2x }，B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝( ) A ．0 B ．－2C ．0或－2D ．0或±22．命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是( ) A ．若x ＞1，则x ≤0 B ．若x ≤1，则x ＞0 C ．若x ≤1，则x ≤0 D ．若x ＜1，则x ＜0 3．若复数z ＝2－i ，则z ＋10z ＝( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4＋2i D ．6＋3i4．(理)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( ) A ．5x 2－45y 2＝1 B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－54y 2＝1(文)已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x5．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，把f (x )的图象按向量a ＝(m,0)(m ＞0)平移后的图象恰好为函数y ＝－f ′(x )的图象，则m 的最小值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π36．(理)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 4的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10(文)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．157．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．88．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为( ) A.125π6 B ．8π C.25π4 D.25π169．(理)已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2(文)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－210．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C ．1 D ．211．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12 D.1412．(理)设函数f (x )＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0)∪(0,1) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14．若x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x ＜4时f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.16．(理)已知a n ＝∫n 0(2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为________．(文)在△ABC 中，2sin 2A 2＝3sin A ，sin (B －C)＝2cos B sin C ，则ACAB ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3sinωx ＋φ2cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ2(ω＞0,0＜φ＜π2)．其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角，且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝76，求c 的值．18.(理)(本题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)设点O为AB1上的动点，当OD∥平面ABC时，求AOOB1的值．19．(理)(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试．(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；(2)面试时，每位同学抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A 类资格；其他情况下获B 类资格．现已知某中学有3人获得面试资格，且仅有1人笔试成绩在270分以上，在回答三个面试问题时，3人对每一个问题正确回答的概率均为12，用随机变量X 表示该中学获得B 类资格的人数，求X 的分布列及期望EX. (文)(本小题满分12分)PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB 3095-2012，PM 2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标． 从某自然保护区某年全年每天的PM 2.5日均值监测数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差；(2)从空气质量为二级的数据中任取两个，求这两个数据的和小于100的概率； (3)以这12天的PM 2.5日均值来估计该年的空气质量情况，估计该年(366天)大约有多少天的空气质量达到一级或二级．20.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(Ⅰ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (Ⅱ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .21．(理)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax sin x ＋cos x ，且f(x)在x ＝π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值，并讨论f(x)在[－π，π]上的单调性； (2)设函数g(x)＝ln (mx ＋1)＋1－x1＋x，x ≥0，其中m ＞0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈[0，π2]，使得g(x 1)≥f(x 2)成立，求m 的取值范围．(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x 2－13ax 3(a ＞0)，函数g(x)＝f(x)＋e x (x －1)，函数g(x)的导函数为g ′(x)． (1)求函数f(x)的极值； (2)若a ＝e ，(ⅰ)求函数g(x)的单调区间；(ⅱ)求证：x ＞0时，不等式g ′(x)≥1＋ln x 恒成立．22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l 的方程为x ＝4，过右焦点F 的直线l ′与椭圆交于异于左顶点A 的P ，Q 两点，直线AP 、AQ 交直线l 分别于点M 、N.(Ⅰ)当AP →·AQ →＝92时，求此时直线l ′的方程；(Ⅱ)试问M 、N 两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．山东省数学高考模拟试题精编三【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答. 题号一二 三 总分13141516171819202122得分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若复数z 满足3－iz ＝1＋i ，i 是虚数单位，则z ＝( ) A ．2－2i B ．1－2i C ．2＋i D ．1＋2i2．若集合A ＝{x ∈Z |2＜2x ＋2≤8}，B ＝{x ∈R |x 2－2x ＞0}，则A ∩(∁R B )所含的元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为( ) A ．80 B ．40 C.803 D.4034．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．设l 、m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题： ①l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α ②l ∥α，m ∥α，则l ∥m ③α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β ④l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m其中正确的命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．46．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P (1，－2)是C 上的点，且y ＝2x 是C 的一条渐近线，则C 的方程为( ) A.y 22－x 2＝1 B ．2x 2－y 22＝1C.y 22－x 2＝1或2x 2－y 22＝1 D.y 22－x 2＝1或x 2－y 22＝17．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.758．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，把函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的一条对称轴方程是x ＝π3，则ω的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D.329．按右面的程序框图运行后，输出的S 应为( ) A ．26 B ．35 C ．40 D ．5710．(理)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧π4≤x ≤5π4|y |≤1所表示的平面区域为D ，现向区域D 内随机投掷一点，且该点又落在曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域内的概率是( ) A.22π B.2π C ．2 2 D ．1－2π(文)函数f (x )＝lg|sin x |是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数11．(理)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(文)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 、E 使BD→＝2DA →，AB →＝3BE →，那么CD →·CA →＋CE →·CA →＝( ) A ．3 B ．6 C ．－3 D ．－612．一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米，1.9米；(2)发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；(3)当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒．则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是( ) A ．48.6秒 B ．47.6秒 C ．48秒 D ．47秒 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．(理)在(4x －2－x )6的展开式中，常数项为________．(文)若实数x ，y 满足－1＜x ＋y ＜4，且2＜x －y ＜3，则p ＝2x －3y 的取值范围是________．14．已知△ABC 中，BC ＝1，AB ＝3，AC ＝6，点P 是△ABC 的外接圆上一个动点，则BP →·BC→的最大值是________． 15．(理)若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m －12处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________.(文)已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P 引圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝12的切线，则此切线段的长度为________． 16．已知数列a n ：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12，且c ＝3. (1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值． 18.(理)(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上，且A 1P →＝λA 1B 1→(1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN ；(2)当λ＝12时，求直线PN 与平面ABC 所成角的正切值．(文)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝AB ＝1，AC 交BD 于O 点．(1)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；(2)求三棱锥D －ABP 和三棱锥B －PCD 的体积之比．19.(理)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过a吨的每吨2元；超过a吨而不超过(a＋2)吨的，超出a吨的部分每吨4元；超过(a＋2)吨的，超出(a＋2)吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：将12费用，求Y的分布列和数学期望(精确到元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府决定适当下调a的值(3＜a＜4)，小明家响应政府号召节约用水，已知他家前3个月的月平均水费为11元，并且前3个月用水量x的分布列为：请你求出今年调整的(文)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：据此估计该地“节约用水家庭”的比例．20．(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a.①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出常数a；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．21.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝12ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)．(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．22.(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x－y＋6＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值和此时直线l的方程．山东省数学高考模拟试题精编四【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝1＋i2－i (其中是虚数单位)，则复数z 在坐标平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(理)已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＜0，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＞0 B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0(文)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0C ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0 3．(理)如图所示，要使电路接通即灯亮，开关不同的闭合方式有( ) A ．11种 B ．20种 C ．21种 D ．12种(文)已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝( ) A ．3 2 B ．2 2 C. 2 D ．14．“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )6．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.327．(理)下列四个判断：①某校高三(1)班的人数和高三(2)班的人数分别是m 和n ，某次测试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为a ＋b 2；②从总体中抽取的样本(1,2.5)，(2,3.1)，(3,3.6)，(4,3.9)，(5,4.4)，则回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧必过点(3,3.6)；③已知ξ服从正态分布N (1,22)，且p (－1≤ξ≤1)＝0.3，则p (ξ＞3)＝0.2 其中正确的个数有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个(文)某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ∧＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A ．83% B ．72% C ．67% D ．66%8．阅读程序框图(如图)，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x 的取值范围是( )A．{x∈R|0≤x≤log23}B．{x∈R|－2≤x≤2}C．{x∈R|0≤x≤log23或x＝2}D．{x∈R|－2≤x≤log23或x＝2}9．已知点M(a，b)(a＞0，b＞0)是圆C：x2＋y2＝1内任意一点，点P(x，y)是圆上任意一点，则实数ax＋by－1()A．一定是负数B．一定等于0C．一定是正数D．可能为正数也可能为负数10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的形状为()A．不确定B．钝角三角形C．锐角三角形D．直角三角形11．(理)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1、x2，则()A．x1x2＜0 B．x1x2＝1C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1(文)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则()A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)12．等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知(a8＋1)3＋2013(a8＋1)＝1，(a2006＋1)3＋2013(a2006＋1)＝－1，则下列结论正确的是()A．d＜0，S2013＝2013 B．d＞0，S2013＝2013C．d＜0，S2013＝－2013 D．d＞0，S2013＝－2013答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________． 14．(理)如图，阴影部分由曲线y ＝x 与y 轴及直线y ＝2围成，则阴影部分的面积S ＝________.(文)曲线y ＝x 3－2x ＋3在x ＝1处的切线方程为________．15．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3.16．观察下面两个推理过程及结论：(1)若锐角A ，B ，C 满足A ＋B ＋C ＝π，以角A ，B ，C 分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ， (2)若锐角A ，B ，C 满足A ＋B ＋C ＝π，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝π，以角π2－A 2，π2－B 2，π2－C2分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：cos2A2＝cos2B2＋cos2C2－2cosB2cosC2sinA2.则：若锐角A，B，C满足A＋B＋C＝π，类比上面推理方法，可以得到的一个等式是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝1，C＝π3.(1)若cos(α＋C)＝－35，0＜α＜2π3，求cos α；(2)若sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B，求△ABC的面积S.18.(理)(本小题满分12分)如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H，G分别是线段EF，BC的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)点M在直线EF上，且GM∥平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1.(1)若M、N分别是AB、A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA＝∠B1BC＝60°，P为线段B1B 上的动点，当P A＋PC最小时，求证：B1B⊥平面APC.19.(理)(本小题满分12分)空气质量指数PM2.5(单位：μg/m 3)表示每立方米空气中入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重(如下表)： PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250 空气质量级别 一级 二级 三级四级五级六级空气质量类别 优良轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染某市某年8月8日～9月6日(30天)对空气质量指数PM2.5进行监测，获得数据后得到如图所示的条形图：(1)以该数据为依据，求该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(2)在上述30个监测数据中任取2个，设X 为其中空气质量类别为优的天数，求X 的分布列和数学期望．(文)(本小题满分12分)某车间将10名技术工人平均分为甲、乙两个小组加工某种零件．已知甲组每名技术工人加工的零件合格的分别为4个、5个、7个、9个、10个，乙组每名技术工人加工的零件合格的分别为5个、6个、7个、8个、9个． (1)分别求出甲、乙两组技术工人加工的合格零件的平均数及方差，并由此比较这两组技术工人加工这种零件的技术水平；(2)假设质检部门从甲、乙两组技术工人中分别随机抽取1人，对他们加工的零件进行检测，若抽到的2人加工的合格零件之和超过12个，则认为该车间加工的零件质量合格，求该车间加工的零件质量合格的概率．20.(本小题满分13分)已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n ＝12(1－a n )． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝na n ，求证：b 1＋b 2＋…＋b n ＜34.21．(理)(本小题满分13分)已知函数g (x )＝2a ln(x ＋1)＋x 2－2x (1)当a ≠0时，讨论函数g (x )的单调性；(2)若函数f (x )的图象上存在不同两点A ，B ，设线段AB 的中点为P (x 0，y 0)，使得f (x )在点Q (x 0，f (x 0))处的切线与直线AB 平行或重合，则说函数f (x )是“中值平衡函数”，切线叫做函数f (x )的“中值平衡切线”．试判断函数g (x )是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数g (x )的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由． (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)的零点的集合为{0,1}，且x ＝13是f (x )的一个极值点． (1)求ba 的值；(2)试讨论过点P (m,0)且与曲线y ＝f (x )相切的直线的条数．22.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D .求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．山东省数学高考模拟试题精编五【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数1＋2ii 的共轭复数是a ＋b i(a ，b ∈R )，i 是虚数单位，则点(a ，b )为( ) A ．(1,2) B ．(2，－1) C ．(2,1) D ．(1，－2)2．下列说法中，正确的是()A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题C．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件D．命题“∃x∈R，x2－x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2－x≤0”3．已知a＝0.7－13，b＝0.6－13，c＝log2.11.5，则a，b，c的大小关系是()A．c＜a＜b B．c＜b＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c4．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()A．48＋12 2 B．48＋24 2C．36＋12 2 D．36＋24 25．(理)如图，A、B两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取2条网线，则这2条网线通过的最大信息量之和等于5或6的概率是()A.56 B.12C.13 D.16(文)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2x ＋y ≥1x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－16．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R )图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x27．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3＝5，S k ＋2－S k ＝36，则k 的值为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 8.某程序框图如图所示，现输入下列四个函数：f (x )＝1x ，f (x )＝log 3(x 2＋1)，f (x )＝2x ＋2－x ，f (x )＝2x －2－x ，则输出的函数是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝log 3(x 2＋1) C ．f (x )＝2x ＋2－x D ．f (x )＝2x －2－x9．(理)将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中。
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7．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．
解析∵2sinB＝3sinC，由正弦定理得2b＝3c，∴b＝c，
又b－c＝a，∴a＝4(b－c)，∴a＝2c.
∴cosA＝＝＝－.
答案－
8．(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．
答案A
2．(2014·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asinA＋bsinB－csinC＝asinB，则角C等于()．
A.B．
C.D．
解析由正弦定理，得a2＋b2－c2＝ab，
所以cosC＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.
答案A
3．(2014·吉林省实验中学一模)在△ABC中，sin(A＋B)·sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是()．
答案A
二、填空题
6．(2014·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
解析由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，
∴12＝AB2＋16－2×AB×4×cos 60°，解得AB＝2，
∴S△ABC＝·AB·AC·sinA＝×2×4×sin 60°＝2.
第2讲 解三角形问题
一、选择题
1．(2014·西安模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
asinAsinB＋bcos2A＝a，则因为asinAsinB＋bcos2A＝a，所以由正弦定理，得sinAsinAsinB＋sinB＝sinA，即sinB＝sinA，所以＝.
(2)求BD，AC的长．
解(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，
所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
解析因为sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，所以sin (A－B)＝sinC，又因为A，B，C为△ABC的内角，所以A－B＝C，所以A＝90°，所以△ABC为直角三角形．
答案B
4．(2014·福州模拟)在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，则sinC＝()．
A.B．
C.D．
解析因为在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，所以S△ABC＝BC×BAsinB＝，即×1×BA×＝，解得BA＝4.又由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcosB，即得AC＝，由正弦定理，得＝，解得sinC＝.
答案D
5．(2014·重庆卷)已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()．
＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.
10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，B＝，b＝，求a＋c的范围．
解法一 由B＝，得A＋C＝.
所以sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋
＝sinA＋cosA＝sin.又0＜A＜，所以＜A＋＜.
即2sinA[－cos (B＋C)＋cosB·cosC＋sinC·sinB]＝，化简，
得sinA·sinB·sinC＝，
由面积公式，得＝，所以(abc)2＝64S3∈[64,512]，即abc∈[8,16]，从而可以排除选项C和D；对于选项A：bc(b＋c)>bca≥8，即bc(b＋c)>8，故A正确；对于选项B：ab(a＋b)＞abc≥8，即ab(a＋b)＞8，故B错误，故选A.
解析∵sinA＋sinB＝2sinC.
由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，
cosC＝＝
＝≥＝，
当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立．
∴cosC的最小值为.
答案
三、解答题
9．(2014·北京卷)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
A．bc(b＋c)>8B．ab(a＋b)>16
C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24
解析由sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，
得2sinA·cosA＋sin(C－B)·cosA＋cos (C－B)·
sinA＝sin(C－B)·cosA－cos (C－B)·sinA＋，
即2sinA[cosA＋cosC·cosB＋sinC·sinB]＝，