专题2.1 以解析几何中定点、定值为背景的解答题-2019年高考数学备考优生百日闯关系列(江苏专版)(解析版

专题二压轴解答题第一讲以解析几何中定点、定值为背景的解答题【名师综述】解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，都是探求"变中有不变的量"．一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法．类型一定值问题典例1．【2019江苏镇江上学期期末考】已知椭圆：的长轴长为4，两准线间距离为．设为椭圆的左顶点，直线过点，且与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若的面积为，求直线的方程；（3）已知直线，分别交直线于点，，线段的中点为，设直线和的斜率分别为，，求证：为定值．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【解析】（1）由题意可知，，，解得，，因为，解得，所以椭圆的方程为．（2）因为，所以，所以，设直线：，代入椭圆，整理得，，所以，即，解得，即，所以直线的方程为．【名师指点】本题主要考查了椭圆的简单性质，转化思想及方程思想，一元二次方程求根公式，还考查了韦达定理及中点坐标公式、两点斜率公式，考查计算能力，属于难题．【举一反三】1．【2019江苏南京模拟】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值．②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线P A的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）①②．【解析】（1）由题意知，则，又可得，所以椭圆C的标准方程为．（2）①M N．②点（），点Q，∵，，∴==．∵点P在椭圆C上，∴，∴==．∵，∴，∴的取值范围是．2．【2019江苏昆山第一学期期中考】如图，已知圆O的方程为，过点的直线与圆O交于点、，与负半轴交于点．设，（1）若，求出、两点坐标（2）当直线绕点转动时，试探究是否为定值．【答案】（1）；（2）．学-科网【解析】（1）设，因为，所以，所以，因此，由得（2）设，因为，，所以因此，，．类型二定点问题典例2．【2019苏北三市第一次质量检测】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到右准线的距离为1．过轴上一点为常数，且的直线与椭圆交于两点，与交于点，是弦的中点，直线与交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）经过定点【解析】（1）由题意，得，解得，所以，所以椭圆C的标准方程为．（2）由题意，当直线的斜率不存在或为零时显然不符合题意；所以设的斜率为，则直线的方程为，又准线方程为，所以点的坐标为，由得，，即，所以，，所以，从而直线的方程为，（也可用点差法求解），所以点的坐标为，所以以为直径的圆的方程为，即，因为该式对恒成立，令，得，所以以为直径的圆经过定点．【名师指点】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．【举一反三】1．【2019江苏南通市如皋调研三】如图所示，抛物线的焦点为．（1）求抛物线的标准方程；（2）过的两条直线分别与抛物线交于点，与，（点，在轴的上方）．①若，求直线的斜率；②设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）因为，所以p=2，所以方程为．（2）法一：，，，得，代入得，则，，．法二：由①得，代入①求，，而，得．法三：利用抛物线的定义转化为到准线的距离，得．（3），得，，同理①代入①得，又有，，而，．当存在时，设直线：，得：，得，过定点．当不存在时，检验得过定点．综上所述，直线过定点．2．【2019江苏如东中学模拟二】如图，已知顶点，，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，使得，且．（1）求动点的轨迹；（2）过点分别作直线交曲线于两点，若直线的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值；（3）过点分别作直线交曲线于两点，若，直线是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）设，，．由，得，即．因为，所以，所以．所以动点的轨迹为抛物线，其方程为．（2）证明：设点，，若直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，又，，所以，，整理得，所以．（3）因为，所以，即，①直线的方程为：，整理得：，②将①代入②得，即，当时，即直线经过定点．类型三定线问题典例3．【2019江苏如皋中学10月月考】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为，．过点的直线交椭圆于，两点，直线与的交点为．(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：点在一条定直线上．【答案】（1）；（2）见解析(2)由题意知，直线与直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线的方程为．联立方程组，消去y得，解得点．同理，解得点．由M，D，N三点共线，有，化简得．由题设可知与同号，所以．联立方程组，解得交点．将代入点G的横坐标，得．所以，点G恒在定直线上．【名师指点】（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关．【举一反三】1．如图，已知是椭圆的长轴顶点，是椭圆上的两点，且满足，其中、分别为直线AP、QB的斜率．（1）求证：直线和的交点在定直线上；（2）求证：直线过定点；（3）求和面积的比值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2．【解析】（1）根据题意，可设直线的方程为，直线的方程为，则直线和的交点的横坐标满足：，即．因此直线和的交点在定直线上．（2）由（1），可设点的坐标为，则直线的方程为，直线的方程为，联立方程，得消去得，设，则根据根与系数的关系，得，即，代入直线的方程得，，故．联立方程，得消去得，设，则，即，代入直线的方程得，，故，当，即时，直线与轴的交点为，当，即时，下证直线过点．，故直线过定点．（3）由题意知，，再结合（2）中相关结论知，，故．2．如图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F ∆的面积为22． （1）求该椭圆的标准方程；学-科网（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 【解析】从而122DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2322DF =． 所以12222a DF DF =+=，故2222,1a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=【精选名校模拟】1．【2019江苏南京期末调研】如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点．动直线过点，且与椭圆相交于，两点（直线与轴不重合）．（1）若点的坐标为，求点坐标；（2）点，设直线，的斜率分别为，，求证：；（3）求面积最大时的直线的方程．【答案】(1) (2)见证明；(3)【解析】（1）因为直线经过点，，所以直线的方程为．由解得或所以．（2）因为直线与轴不重合，故可设直线的方程为．设，，由得，所以，，因为，在直线上，所以，，所以，，从而．因为，所以．（3）方法一：的面积．由（2）知，，故，设函数．因为，所以在上单调递增，所以当，即时，取最小值10．即当时，的面积取最大值，此时直线的方程为．2．【2019江苏如东中学二模】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，且椭圆的短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为﹣1，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB＋CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）；（2）①；②．【解析】（Ⅰ）由题意得2b=2，∴b=1，∵，a2=b2+c2，∴a=，c=1，∴椭圆的方程为．（2）由题意知k0，右焦点设：设A（）B()．因为l1，l2的斜率乘积为﹣1，所以，所以= +=3，过定点可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上．在k≠0，k≠±1的情况下，设直线l的方程为：x=ky+1，直线l的方程为：，由（2）得，y= ，故，即M（，），则N()…．（12分）可得直线MN的方程：，即，则，即y=，故直线MN过定点（或令y=0，即得x=），易验证当k=0，k=±1时，结论仍成立．综上：直线MN过定点，所以S== ，所以面积最大．3．【2019江苏七校期中联考】已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；（3）求线段MN的长度的最小值【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为，故椭圆的方程为．（2）设，．（3）（常规方法，函数思想）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而，由得0，设则得，从而，即又由得，故又，当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值．4．【2019江苏如皋第一学期调研一】已知椭圆T的焦点分别为F1(﹣1，0)、F2(1，0)，且经过点P(，)．（1）求椭圆T的标准方程；（2）设椭圆T的左右顶点分别为A、B，过左焦点的直线与椭圆交于点C、D，△ABD和△ABC的面积分别为S1、S2，求的最大值；（3）设点M在椭圆T外，直线ME、MF与椭圆T分别相切于点E、F，若ME⊥MF，求证：点M在定圆上．【答案】（1）（2）点M在定圆上．【解析】（1）设所求的方程为，其中，且，解得，，椭圆T的标准方程为．（2）点A、B的坐标分别为、，设点C、D的坐标为、，因为要构成三角形，又直线CD过焦点，则C、D分别在x轴两侧，所以，不妨设，，则，直线CD过焦点，且斜率不为0，设直线CD方程为，与椭圆方程联立消元得，、是该方程的两个异号实根，，当时，；当时，；当且仅当，即时取等号．综上，的最大值为．（3）当直线ME、MF斜率分别不存在和为0时，ME、MF分别垂直于坐标轴，点M坐标为或或或，则（定值），其中O是坐标原点，点M在定圆上．当直线ME、MF斜率存在且不为0时，设点M坐标为，设直线ME、MF的方程分别为、，可以统一为的形式，并与椭圆方程联立消元得：，直线ME、MF与椭圆相切，则，直线ME、MF与椭圆相切，则，展开化简得：（且），、可以看作是这个方程的两根，由得，即，并且此时方程中的判别式恒成立，点M也在定圆上．综上，点M在定圆上．5．【2019江苏泰州姜堰中学期中考】已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点求椭圆C的标准方程；直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；学科=网若，求直线AR的斜率的取值范围．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】椭圆的一条准线方程是，可得，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得，解得，，，即有椭圆方程为；证明：由，，设直线PB的方程为，联立椭圆方程，可得，解得或，即有，，，则，即为定值．由，可得，即，设AP的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，即有，将t换为可得，则R的坐标为，即有直线AR的斜率，可令，则，则，当时，，当且仅当时上式取得等号，同样当时，，时，，，则AR的斜率范围为6．【2019江苏南通市如皋上学期调研三】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点分别是，为直线上一点（点在轴的上方），直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．（1）若的面积是的面积的，求直线的方程；（2）设直线与直线的斜率分别为，求证：为定值；（3）若的延长线交直线于点，求线段长度的最小值．【答案】（1）；（2）见解析（3）【解析】（1），即为的中点．，代入椭圆方程得：，，直线方程为：．（3），得，，当且仅当时取最小值．7．【2019江苏南京上学期期中考】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆离心率是，焦点到相应准线的距离是3．（1）求椭圆的方程；（2）如图，设A是椭圆的左顶点，动圆过定点E（1，0）和F（7，0），且与直线x＝4交于点P，Q．①求证：AP，AQ斜率的积是定值；②设AP，AQ分别与椭圆交于点M，N，求证：直线MN过定点．【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析．【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题意可得，所以，，因为椭圆的焦点到相应准线的距离为，得c=1，所以，，因此，椭圆的方程为．（2）①设动圆的圆心坐标为，则圆的方程为，设点，令，可得，则AP、AQ的斜率之积为（定值）．②设直线MN的方程为，设点．将直线MN的方程代入椭圆方程并化简得，由韦达定理可得．因为A、M、P三点共线，则，由于，，所以，则，同理可得，由，解得t=1，因此，直线MN过定点（1，0）．8．【2019江苏南通一中期中考】已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）由题意可得解得，∴椭圆C的方程为．（2）如图所示：设直线PB的方程为y＝k（x﹣4），B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1）．联立，消去y化为方程（1+2k2）x2﹣16k2x+32k2﹣4＝0，∵直线PB与椭圆有两个不同的交点，∴△＝（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣4）＞0．（*）x1+x2＝，．直线AE的方程为，令y＝0，则＝＝＝＝．故直线AE过定点Q（1，0）．学科!网（3）①当直线MN与x轴重合时，＝（2，0）•（﹣2，0）＝﹣4．②当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为my＝x﹣1，联立消去x化为方程（2+m2）y2+2my﹣3＝0，可知△＞0．，可得y M+y N＝，y M y N＝．∴＝x M x N+y M y N＝（my M+1）（my N+1）+y M y N＝（1+m2）y M y N+m（y M+y N）+1＝＝﹣4+，∵m2≥0，∴，∴，∴的取值范围是．综上可知：的取值范围是．。