【K12教育学习资料】高中数学 1.1 空间几何体的结构学案(无答案)新人教版A版必修2
高中数学《1.1 空间几何体的结构》学案 新人教A版必修2
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征1.1.2简单组合体的结构特征一、学习目标: 通过本学案的学习会说出柱、锥、台、球、简单组合体的定义及结构特征，准确完成达标检测中的题目.二、导学案使用说明: 通过作图理解空间几何体的定义, 体会几何体的结构特征.三、学习过程：阅读课本2—6页,并参照练习册1—6页内容.1. 棱柱的结构特征：(1) 请同学们根据教材及相关资料写出棱柱的定义及组成棱柱的元素的概念.(2) 请参照教材画出棱柱的图形, 在所画的图形中标出相关元素.（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有____________________等。
（4）棱柱的表示：_______________________________________2．棱锥的结构特征：(1) 请同学们根据教材及相关资料写出棱锥的定义及组成棱锥的元素的概念.(2) 请参照教材画出棱锥的图形, 在所画的图形中标出相关元素.（3）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有__________________________等。
（4）棱锥的表示：_______________________________________3．圆柱、圆锥的结构特征：(1) 请同学们根据教材及相关资料写出圆柱、圆锥的定义及组成圆柱、圆锥的元素的概念.(2) 请参照教材画出圆柱、圆锥的图形, 在所画的图形中标出相关元素.（3）圆柱、圆锥的表示方法：_________________________________________________。
4. 棱台与圆台的结构特征：(1) 请同学们根据教材及相关资料写出棱台、圆台的定义及组成棱台、圆台的元素的概念.(2) 请参照教材画出棱台、圆台的图形, 在所画的图形中标出相关元素.（3）棱台的分类：______________ ____棱台的表示：______________________________(4)圆台的表示：______________________________________5. 球的结构特征:(1) 请同学们根据教材及相关资料写出球的定义及组成球的元素的概念.(2) 请参照教材画出球的图形, 在所画的图形中标出相关元素.6. 简单组合体的结构特征:(1) 请同学们根据教材及相关资料写出简单组合体的定义, 并列举一些生活中的实例.(2)简单组合体的构成形式:7. 总结7种空间几何体之间的关系:1.在棱柱中 ( )A.只有两个面平行B.所有的棱都平行C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,且各侧棱也相互平行2.一个三棱锥, 如果它的地面是直角三角形, 那么它的三个侧面 ( )A.至多只能有一个直角三角形B. 至多只能有两个是直角三角形C.可能都是直角三角形D.必然都是非直角三角形3.已知圆台的母线长为2a, 母线与轴的夹角为30︒，且一个底面半径是另一个底面半径的2倍，求这个圆台的两个底面的半径。
高中数学1.1 空间几何体的结构 教案1人教版必修2
1.1空间几何体的结构§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征（1）一教学目标1．通过观察实物、图片，使学生理解并能归纳出柱、锥、台、球的结构特征；2．让学生自己观察，通过直观感加强理解；3．培养学生善于通过观察实物形状到归纳其性质的能力。
二教学重、难点1．教学重点：让学生通过观察实物及图片概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征；2．教学难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括。
三教学过程（一）创设情境引入新课在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
本节课我们主要从结构特征方面认识几种最基本的空间几何体。
观察自己书桌上和课本上的图片思考下面的问题：1．这些图片中的物体具有怎样的形状？2．日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？3．组成这些几何体的每个面有什么特点？面与面之间有什么关系？（二）讲授新课1．两类几何体通过观察可以发现，(2)、(5)、(7)、(9)、(13)、(14)、(15)、(16)具有同样的特点：组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；(1)、(3)、(4)、(6)、(8)、(10)、(11)、(12)具有同样的特点：组成它们的面不全是平面图形（学生总结）。
一般地，我们把有若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体（图1）。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD，面//B BCC ；相邻两个面的公共边叫做多边形的棱，如棱AB ，棱/AA ；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点/,D A 。
如(2)、(5)、(7)、(9)、(13)、(14)、(15)、(16)这些物体都具有多面体的形状。
我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体（图2）。
这条定直线叫做旋转体的轴。
(1)、(3)、(4)、(6)、(8)、(10)、(11)、(12)这些物体都具有旋转体的形状。
1.1空间几何体的结构学案
1.1 空间几何体的结构（第1课时）※【学习导航】 知识网络※学习目标 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。
掌握它们的形成特点。
2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。
3．了解多面体的概念和分类．※课前准备（一）、基础知识 1、 几何体：____________ __________2、 长方体的面：______________________3、长方体的棱：4、长方体的顶点：_____________________5、构成几何体的基本元素：________________________（二）预习教材P 2~ P 4，找出疑惑之处二、新课导学※探索新知探究1：多面体的相关概念新知1： 叫做多面体， 叫做多面体的面， 叫多面体的棱， 叫多面体的顶点。
探究2：旋转体的相关概念问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？新知2： 叫旋转体， 叫旋转体的轴.棱柱、棱锥、棱台 棱柱的结构特征棱锥的结构特征 棱台的结构特征探究3：棱柱的结构特征问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗?新知3： 叫做棱柱，棱柱中， 叫做棱柱的底面，简称 ； 叫做棱柱的侧面； 叫做棱柱的侧棱； 叫做棱柱的顶点.（ 叫棱柱的高）试试1： 你能指出探究3中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探究3中的棱柱分类吗？棱柱的分类：①按底面多边形的边数来分，底面是 …的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱… ②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为 （ ）和 （ ） 正棱柱：平行六面体：长方体和正方体：试试2： 探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢?棱柱的表示：我们用 表示棱柱，如图中这个棱柱表示为棱柱探究4：棱锥的结构特征 问题：如上图中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之一，它具有什么样的几何特征呢？新知4： （1）．棱锥：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个_________的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥。
配套K12高中数学1.1空间几何体1.1.3圆柱圆锥圆台和球教案新人教B版必修2
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球示范教案整体设计教学分析本节教材展示大量几何体的实物、模型、图片等，让学生感受圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，从整体上认识空间几何体，再深入细节认识，更符合学生的认知规律．值得注意的是：由于没有点、直线、平面的有关知识，所以本节的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上，这与以往的教材有较大的区别，教师在教学中要充分注意到这一点．本节教学尽量使用信息技术等手段，向学生展示更多具有典型几何结构特征的空间物体，增强学生的感受．三维目标1．掌握圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力．2．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想．重点难点教学重点：了解圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．教学难点：归纳圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．课时安排1课时教学过程导入新课设计 1.在小学和初中，我们已经接触到了圆柱、圆锥、圆台和球，那么这些几何体有什么特征性质呢？教师点出课题．设计 2.从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，现有各城市大厦的旋转酒吧、旋转餐厅，上海东方明珠塔上的两个球形建筑等．它们都是独具匠心、整体协调的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶．今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？教师点出课题．推进新课新知探究提出问题(1)观察下图所示的几何体，分别是圆柱、圆锥、圆台，那么圆柱、圆锥、圆台有什么结构特征呢？(2)阅读教材，给出几何体的轴、高、底面、侧面、母线的定义．讨论结果：(1)通过观察可以看出，圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体(如下图)．(2)旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．如上图中，直线O′O，SO是轴，线段O′O，SO是高，A′A，SA是母线．提出问题球是大家非常熟悉的几何体，那么球集合具有什么特征性质呢？阅读教材，给出球心、球的半径和直径的定义？球的截面是什么形状？具有什么性质？阅读教材，什么叫球面上的两点距离？讨论结果：(1)让我们做一个实验：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，研究半圆运动的轨迹是怎样的空间图形．通过观察可以发现，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做球(如下图)．(2)形成球的半圆的圆心叫球心；连结球面上一点和球心的线段叫球的半径；连结球面上两点且通过球心的线段叫球的直径．如下图中点O为球心，OA为球的半径，AB为球O的直径．一个球用表示它的球心的字母来表示，例如球O.球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．(3)用一个平面α去截半径为R的球O(下图)，不妨设平面α水平放置且不过球心，OO′为平面α的垂线，并与平面α交于点O′，OO′＝d，则对于平面α与球面的交线上任意一点P，都有O′P＝R2－d2，是一个定值．这说明截面与球面的交线是在平面α内，并且到定点O′的距离等于定长的点的集合．因此平面α截球面所得到的交线是以O′为圆心，以r＝R2－d2(R是球的半径)为半径的一个圆．也就是说，截面是一个圆面(圆及其内部)．如果平面α过球心，则d＝0，r＝R.截面是半径等于球的半径的一个圆面．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．当我们把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆；赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆(如左下图)．(4)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．事实上，人们把这个弧长叫做两点的球面距离．例如，右上图中劣弧PQ的长度就是P，Q两点的球面距离．飞机、轮船都是尽可能地以大圆弧(劣弧)为航线航行的．提出问题阅读教材，给出组合体的定义.讨论结果：我们观察周围的物体，除了柱、锥、台、球等基本几何体外，还有大量的几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的．这些几何体叫做组合体．如下图所展示的机械可以看成是由一些基本几何体构成的组合体．对组合体可以通过把它们分解为一些基本几何体来研究．应用示例思路1例1用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长(下图)．解：设圆台的母线长为y ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x,4x ，根据相似三角形的性质，得33＋y ＝x4x，解此方程得y ＝9. 因此，圆台的母线长为9 cm.点评：解决本题的关键是利用截面三角形来解决问题．圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形．变式训练1．(2008 湖北，理3)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3 B.82π3 C ．82π D.32π3解析：设球半径为R ，截面小圆的半径为r ，则πr 2＝π＝1.又R 2＝12＋r 2＝2，∴R＝2.∴V＝43πR 3＝82π3.答案：B2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线 与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径． 分析：这类题目应该选取轴截面研究几何关系． 解：圆台的轴截面如下图，设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于S. 在Rt△SOA 中，∠ASO＝45°， 则∠SAO＝45°. 所以SO ＝AO ＝3x. 所以OO 1＝2x.又12(6x ＋2x)·2x＝392， 解得x ＝7(负值舍去)，所以圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝2OO 1＝14 2 cm ，而底面半径分别为7 cm 和21 cm.答：圆台的高14 cm ，母线长14 2 cm ，底面半径分别为7 cm 和21 cm.例2我国首都北京靠近北纬40°.求北纬40°纬线的长度(单位：km，地球半径约为6 370 km，结果保留四位有效数字)．解：如下图，设A是北纬40°圈上的一点，AK是它的半径，所以OK⊥AK.设c是北纬40°的纬线长，因为∠AOB＝∠OAK＝40°，所以c＝2π·AK＝2π·OA·cos∠OAK＝2π·OA·cos40°≈2×3.141 6×6 370×0.766 0≈3.066×104(km)．即北纬40°的纬线长约为3.066×104 km.点评：赤道是地球的大圆，纬线(东西方向)是地球的小圆．变式训练1．圆心到球的截面距离d＝3 cm，截面圆的半径r＝4 cm，则球的半径R＝________ cm.解析：截面半径、球的半径、球心到截面距离构成直角三角形，则R2＝d2＋r2，即R2＝32＋42＝25，∴R＝5.答案：52．（2008 四川高考，8）（理）设M、N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为( ) A．3∶5∶6 B．3∶6∶8C．5∶7∶9 D．5∶8∶9(文)设M是球O半径OP的中点，分别过M、O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为( )A.14B.12C.23D.34解析：(理)设过N、M、O且垂直于OP的三个圆的半径分别为r1，r2，R，则r1＝R2－232＝53R，r2＝R2－132＝223R.∴三个圆的面积比等于它们的半径平方之比，即(53R)2∶(223R)2∶R2＝5∶8∶9.(文)如下图所示，∵M为OP中点，∴OM＝R 2.∴MA＝OA 2－OM 2＝R 2－R 22＝32R. ∴小圆面积S 1＝π·(32R)2，大圆面积S 2＝πR 2. ∴两圆面积比为S 1S 2＝34.答案：(理)D (文)D思路2例3说出下列几何体的主要结构特征：解：(1)由圆锥与圆台构成的组合体． (2)由棱锥和四棱柱构成的组合体．点评：本题主要考查组合体的结构特点以及简单几何体的判断方法． 变式训练1. （2008 浙江高考，理14）如左下图，已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA⊥平面ABC ，AB⊥BC，DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于________．解析：如右上图，据题意可知，球O 即棱长为3的正方体外接球，其半径r ＝32＋32＋322＝32，V ＝43πr 3＝92π. 答案：92π2．下图所示是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的________组成的． 答案：半球、圆柱、圆台知能训练1．下图所示几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(1)(5) 答案：D2．将一个边长分别是2 cm 和5 cm 、两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm 边上的高所在直线旋转一周形成的几何体是(写出一种情况)________．答案：高为3，两底半径分别为4,5的圆台 拓展提升1. （2008 陕西高考，文8）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各顶点都在半径为1的球面上，其中AB∶AD∶AA 1＝2∶1∶3，则A ，B 两点的球面距离为( )A.π4B.π3C.π2D.2π3解析：由题意知，长方体内接于球，此时具有两个性质： ①长方体的体对角线为球体的直径(由题意，直径为2)； ②长方体的中心就是球心O.先由性质①：BD 1＝AB 2＋AD 2＋AA 21＝2，再结合条件“AB∶AD∶AA 1＝2∶1∶3”，可设AB ＝2k ，AD ＝k ，AA 1＝3k ，所以有4k 2＋k 2＋3k 2＝2，解得k ＝22(负值舍去)．因此AB ＝2，AD ＝22. 再由性质②：O 是球心同时也是BD 1的中点， ∴OB＝12BD 1＝OA ＝1，而OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB＝90°.再由球面距离的定义，AB 的球面距离就是扇形AOB 的劣弧长． 由弧长公式可得AB ＝90×π×1180＝π2.∴AB 的球面距离为π2.答案：C 课堂小结 本节课学习了：1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征； 2．组合体的构成． 作业本节P 13练习A 4,5题；P 16练习A 2题．设计感想本节课的教学设计，重点突出了学生的“自主性”和“探究性”．因此在实际教学中，应注意多留给学生思考的时间，不要直接给出结论．备课资料知识总结：1．棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较，如下表所示：3．简单几何体的分类：简单几何体⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 简单多面体⎩⎪⎨⎪⎧棱柱棱锥棱台简单旋转体⎩⎪⎨⎪⎧圆柱圆锥圆台球。
高中数学 第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 第
1.1 空间几何体的结构第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征目标定位 1.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征，能够识别和区分这些几何体.2.了解棱柱、棱锥、棱台的底面、侧棱、侧面、顶点的意义.自主预习1.空间几何体(1)概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.(2)多面体与旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2.几种常见的多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.如图可记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面..侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与底面的公共顶点.棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.如图可记作，棱锥S－ABCD底面(底)：多边形面.侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：各侧面的公共顶点.棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.如图可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面.侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.1.判断题(1)棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形.(√)(2)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.(×)(3)正棱锥的侧面是等边三角形.(×)(4)用一个平面去截棱锥；棱锥底面和截面之间的部分是棱台.(×)提示(1)由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形.(2)上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体.(3)正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形.(4)该平面不一定平行于底面.2.下列说法中正确的是( )A.棱柱仅有一个底面B.棱柱的顶点至少有6个C.棱柱的侧棱至少有4条D.棱柱的棱至少有4条答案 B3.下列棱锥有6个面的是( )A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥答案 C4.一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱.解析面数最少的棱柱为三棱柱，有5个面；面数最少的棱锥为三棱锥，有4个面；顶点最少的棱台为三棱台，有3条侧棱.答案 5 4 3类型一棱柱的结构特征【例1】下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是________.解析(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4). 答案(3)(4)规律方法棱柱的结构特征：(1)两个面互相平行；(2)其余各面是四边形；(3)相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.【训练1】下列关于棱柱的说法错误的是( )A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面解析对于A，B，D显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.答案 C类型二棱锥、棱台的结构特征【例2】下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.解析(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.答案(2)(3)(4)规律方法判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱长都相等D.侧棱延长后相交于一点解析由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等.答案 C类型三多面体的表面展开图(互动探究)【例3】画出如图所示的几何体的表面展开图.[思路探究]探究点一(1)中如何展开？提示可沿一侧棱如CC1，上下底面的对边CA、C1A1、CB、C1B1剪开展平.探究点二(2)中如何展开？提示可沿四条侧棱AC、AB、AD、AE剪开展平.解表面展开图如图所示：规律方法多面体表面展开图问题的解题策略：(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.【训练3】一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.解析将平面图形翻折，折成空间图形，如图.答案60°[课堂小结]1.棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).2.(1)各种棱柱之间的关系①棱柱的分类棱柱⎩⎪⎨⎪⎧直棱柱⎩⎪⎨⎪⎧正棱柱一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：名称底面 侧面侧棱高平行于底面的截面棱柱斜棱柱平行且全等的两个多边形 平行四边形平行且相等与底面全等直棱柱 平行且全等的两个多边形 矩形平行、相等且垂直于底面 等于 侧棱 与底面全等棱锥正棱锥 一个正多边形 全等的等腰三角形 有一个公共顶点且相等 过底面中心与底面相似其他棱锥 一个多边形 三角形 有一个公共顶点与底面相似棱台正棱台平行且相似的两个正多边形 全等的等腰梯形相等且延长后交于一点与底面相似其他棱台平行且相似的两个多边形梯形 延长后交于一点与底面相似1.棱柱的侧面都是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.矩形解析由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形.答案 B2.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )A.①③B.②④C.③④D.①②解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.答案 C3.下列几何体中，________是棱柱，______是棱锥，________是棱台(仅填相应序号).解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.答案①③④⑥⑤4.某多面体的面中有梯形和三角形，试画一个具有该特征的几何体.解如图(1)所示(或如图(2)所示，还有其他可能，答案不唯一).基础过关1.三棱锥的四个面中可以作为底面的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析由于三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.答案 D2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点解析四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得).答案 C3.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误.答案 B4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________.解析由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.答案四棱柱5.下列说法正确的有________(填序号).①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面.解析棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对.棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对.⑤显然正确.因而正确的有①②④⑤.答案①②④⑤6.如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？解这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体.有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱.7.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？解(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝S 正方形ABCD －S △PEF －S △DPF －S △DPE ＝(2a )2－12a 2－a 2－a 2＝32a 2.能 力 提 升8.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )解析 两个☆不能并列相邻，B 、D 错误；两个※不能并列相邻，C 错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定. 答案 A9.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( ) A.20B.15C.12D.10解析 正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D. 答案 D10.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种空间图形的4个顶点，这些空间图形是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. 解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种空间图形的4个顶点，这些空间图形是：①矩形，如四边形ACC 1A 1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A －A 1BD ；④每个面都是等边三角形的四面体，如A －CB 1D 1； ⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A －A 1DC ，所以填①③④⑤.答案①③④⑤11.长方体ABCD－A1B1C1D1(如图所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值.解把长方体的部分面展开，如图所示.对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为90、74、80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为74.探究创新12.如图，在4×3的纸上用线条勾画出一个图形，使每一格作为一个面，能折成一个正方体.你能画出4个这样的图形吗？解11。
2019-2020年高中数学《1.1 空间几何体的结构》学案 新人教A版必修2
2019-2020年高中数学《1.1 空间几何体的结构》学案新人教A版必修2一、学习目标: 通过本学案的学习会说出柱、锥、台、球、简单组合体的定义及结构特征，准确完成达标检测中的题目.二、导学案使用说明: 通过作图理解空间几何体的定义, 体会几何体的结构特征.三、学习过程：阅读课本2—6页,并参照练习册1—6页内容.1. 棱柱的结构特征：(1) 请同学们根据教材及相关资料写出棱柱的定义及组成棱柱的元素的概念.(2) 请参照教材画出棱柱的图形, 在所画的图形中标出相关元素.（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有____________________等。
（4）棱柱的表示：_______________________________________2．棱锥的结构特征：(1) 请同学们根据教材及相关资料写出棱锥的定义及组成棱锥的元素的概念.(2) 请参照教材画出棱锥的图形, 在所画的图形中标出相关元素.（3）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有__________________________等。
（4）棱锥的表示：_______________________________________3．圆柱、圆锥的结构特征：(1) 请同学们根据教材及相关资料写出圆柱、圆锥的定义及组成圆柱、圆锥的元素的概念.(2) 请参照教材画出圆柱、圆锥的图形, 在所画的图形中标出相关元素.（3）圆柱、圆锥的表示方法：_________________________________________________。
4. 棱台与圆台的结构特征：(1) 请同学们根据教材及相关资料写出棱台、圆台的定义及组成棱台、圆台的元素的概念.(2) 请参照教材画出棱台、圆台的图形, 在所画的图形中标出相关元素.（3）棱台的分类：______________ ____棱台的表示：______________________________(4)圆台的表示：______________________________________5. 球的结构特征:(1) 请同学们根据教材及相关资料写出球的定义及组成球的元素的概念.(2) 请参照教材画出球的图形, 在所画的图形中标出相关元素.6. 简单组合体的结构特征:(1) 请同学们根据教材及相关资料写出简单组合体的定义, 并列举一些生活中的实例.(2)简单组合体的构成形式:7. 总结7种空间几何体之间的关系:1.在棱柱中 ( )A.只有两个面平行B.所有的棱都平行C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,且各侧棱也相互平行2.一个三棱锥, 如果它的地面是直角三角形, 那么它的三个侧面 ( )A.至多只能有一个直角三角形B. 至多只能有两个是直角三角形C.可能都是直角三角形D.必然都是非直角三角形3.已知圆台的母线长为, 母线与轴的夹角为，且一个底面半径是另一个底面半径的2倍，求这个圆台的两个底面的半径。
高中数学 第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 第2课时学案 新人教A版必修2-新人教A版高
1.1 空间几何体的结构第2课时圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征目标定位 1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.能根据条件判断几何体的类型.2.了解圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴的意义.3.了解与正方体、球有关的简单组合体及其结构特征.自主预习1.旋转体(1)圆柱①定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.②相关概念(图1)③表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱O′O.(2)圆锥①定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.②相关概念(图2)③表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO.(3)圆台①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②相关概念(图3)③表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台OO′.(4)球①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.②相关概念(图4)③表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O.2.简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.即时自测1.判断题(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线.(×)(2)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(×)(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(√)(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(×)提示(1)所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符.(2)若绕斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体.(3)根据圆台的定义知，正确.(4)旋转后形成的是球面.2.以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是( )A.球B.圆台C.圆锥D.圆柱解析旋转过程中，与旋转轴垂直的线段形成垂直于旋转轴的圆面，与旋转轴平行的线段形成与旋转轴等距的曲面，所以其余三边旋转一周所围成的旋转体是圆柱.答案 D3.下列几何体是台体的是( )解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.答案 D4.等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________.解析结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥.答案圆锥类型一旋转体的结构特征【例1】判断下列各命题是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.解(1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.(3)正确.(4)错.应为球面.规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.【训练1】下列叙述中正确的个数是( )①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.A.0B.1C.2D.3解析①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台.故四句话全不正确.答案 A类型二简单组合体的结构特征【例2】如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰.分别以AB，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.解(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示.(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图(2)所示.(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图(3)所示.规律方法 1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成.2.必要时作模型培养动手能力.【训练2】如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.类型三有关几何体的计算问题(互动探究)【例3】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.[思路探究]探究点一 圆锥、圆台的轴截面是什么？提示 圆锥的轴截面为等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形. 探究点二 解决此问题的关键是什么？提示 解决此问题关键是，作出轴截面，然后利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.解 设圆台的母线长为l cm ，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r ，4r . 过轴SO 作截面，如图所示.则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm.∴SA ′SA ＝O ′A ′OA .∴33＋l ＝r 4r ＝14. 解得l ＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.规律方法 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.【训练3】 一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求： (1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长.解 如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm ，截得该圆台的圆锥的母线为x cm ，由条件可得圆台上底半径r ′＝2 cm ，下底半径r ＝5 cm.(1)由勾股定理得h ＝122－（5－2）2＝315(cm). (2)由三角形相似得：x －12x ＝25，解得x ＝20(cm). 答：(1)圆台的高为315 cm ，(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. [课堂小结]1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.3.处理组合体问题常采用分割思想.4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析 组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D 正确. 答案 D2.下面几何体的截面一定是圆面的是( ) A.圆台B.球C.圆柱D.棱柱解析 截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球. 答案 B3.一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm. 解析 h ＝20cos 30°＝10 3 (cm). 答案 10 34.在半径等于13 cm 的球内有一个截面，它的面积是25π cm 2，求球心到截面的距离. 解 设截面圆半径为r cm ，∵πr 2＝25π，∴r ＝5(cm).设球心到截面的距离为d cm ，球的半径为R cm ，则d ＝R 2－r 2＝132－52＝12(cm).故球心到截面的距离为12 cm.基 础 过 关1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( ) A.圆柱B.圆锥C.圆台D.两个圆锥解析 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥. 答案 D2.过球面上任意两点A 、B 作大圆，可能的个数是( ) A.有且只有一个 B.一个或无穷多个 C.无数个D.以上均不正确解析 当过A ，B 的直线经过球心时，经过A ，B 的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A ，B 作球的大圆有无数个；当直线AB 不经过球心O 时，经过A ，B ，O 的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆. 答案 B3.在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )A.一个棱柱中挖去一个棱柱B.一个棱柱中挖去一个圆柱C.一个圆柱中挖去一个棱锥D.一个棱台中挖去一个圆柱解析 一个六棱柱挖去一个等高的圆柱. 答案 B4.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________. 解析 设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高h ＝42－r 2. 所以由题意可知12·2r ·h ＝r 42－r 2＝8，∴r 2＝8，∴h ＝2 2.答案 2 25.圆台两底面的半径分别是 2 cm 和 5 cm ，母线长是310 cm ，则它的轴截面的面积是________cm 2.解析 如图所示，作出轴截面，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9 cm ，∴S 梯形ABCD ＝12×(4＋10)×9＝63(cm 2).答案 636.如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴.解 先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形.旋转前的平面图形如下：7.用一个平行于圆锥底面的平面截一个圆锥得到一个圆台，这个圆台上、下底面半径的比为1∶3，截去的圆锥的母线长为3 cm ，求圆台的母线长.解 设圆台的母线长为y cm ，截得的圆台上、下底面半径分别为x cm ，3x cm ，如图所示，根据相似三角形的性质得33＋y ＝x3x，解得y ＝6.故圆台的母线长为6 cm.能力提升8.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )解析由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.答案 B9.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.0.5解析如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝5，r2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d1＝R2－r21，d2＝R2－r22，∴d1－d2＝R2－5－R2－8＝1，∴R2＝9，∴R＝3.答案 B10.长为8 cm，宽为6 cm的矩形绕其一边所在直线旋转而成的圆柱的底面面积为______cm2，母线长为______cm.解析若圆柱是矩形绕其宽所在直线旋转而成的，则其底面半径为8 cm，底面面积为64πcm2，其母线长为6 cm；若圆柱是矩形绕其长所在直线旋转而成的，则其底面半径为6 cm，底面面积为36π cm2，其母线长为8 cm.答案64π或36π；6或811.已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.解过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和2x . 因为△VA 1C 1∽VMN ，所以A 1C 1MN ＝VO 1VO ，即2x 2r ＝h －x h， 所以2hx ＝2rh －2rx ，即x ＝2rh 2r ＋2h. 故这个正方体的棱长为2rh 2r ＋2h. 探 究 创 新12.如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f (x )的最大值.解 将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4). f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4).(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ，∴SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16(0≤x ≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4). (3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数， ∴f (x )的最大值为f (4)＝32.。
[推荐学习]高中数学 1.1 空间几何体的结构学案 新人教版A版必修2
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空间几何体的结构学习过程知识点1：空间几何体的结构类型空间几何体分为多面体和旋转体知识点2、柱锥台球的结构特征（1）棱柱：一般地，有两个面相互平行，期于各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面组成的多面体。
棱柱包括：斜棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、直平行六面体、斜平行六面体、长方体、正方体。
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体，而此类旋转体我们称它为圆柱。
（2）棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体。
棱锥的本质特征：一、有一个面是多边形。
二、其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可。
但是注意有一个面是多边形且有一个公共顶点的三角形不一定是棱锥。
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成旋转体；如图（3）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台圆台：与棱台类似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
如图（4）棱、锥、台的关系（2）多面体与旋转体组合（3）旋转体与旋转体组合学习结论1、空间几何体的分类。
2、 柱锥台球的概念、性质及画法3、 简单组合体的几种组合方法典型例题例题1、下列三个命题中正确的有（）（1） 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台。
（2） 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台。
（3） 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。
A 0个B 1个C 2个D 3个解析：（1）中的平面不一定平行于底面，故（1）错（2）（3）可用如下反例检验。
例题2、如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5cm 、10cm ，母线长AB =20cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ．求：（1）绳子的最短长度；（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．解：（1）如图7－6所示将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM 的距离．设圆台侧面展开图的扇形圆心角为θ则由''AA OA BB OB θθ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩得210(20)25OB OB πθπθ⋅=+⋅⎧⎨⋅=⋅⎩解得：202OB πθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以OA ＝40，OM ＝30，所以AM =50cm ，即绳子的最短长度为50cm.。
人教版高中必修(2)1.1空间几何体的结构教案(2)
1.1台、球、简单组合体的结构特征教学目的：使学生掌握棱台、圆台、球的概念，进一步理解轴、底面、侧面、母线的概念，掌握球心、球的直径、半径概念，能说出简单组合体的结构特征。
教学重难点：棱台、圆台、球和简单组合体的结构特征。
教学过程一、复习提问1、柱体和锥体分别是什么？2、简述棱柱、棱锥的结构特征二、新课5、棱台与圆台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫棱台（frustum of a pyramid）。
原棱锥的底面和截面分别叫棱台的下底面和上底面。
仿照棱锥说说棱台的侧面、侧棱、顶点分别是什么。
由三棱锥、四棱锥、五棱锥教区截得的棱台分别叫三棱台、四棱台、五棱台。
图中棱台表示为：ABCD－A’B’C’D’。
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的的几何体叫圆台（frustum of a cone）。
与圆柱与圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线，请你在图1.1－7中标出它们，并用字母将图1.1－7中的圆台表示出来。
棱台与圆台统称为台体。
探究：圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？6、球的结构特征以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫球体（solid sphere），简称球。
半圆的圆心叫球心，半圆的半径叫球的半径，半圆的直径叫球的直径。
球常用表示球心的字母O表示，如图中的球表示为球O。
思考：棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？1.1.2简单组合体的结构特征现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的。
课本P6图1.1－9中，图（1）中的洗洁精的瓶子的几何结构特征是：由两个圆柱、两个圆台组成的几何体。
图（2）是由一个圆柱和一个球体组在的几何体。
说一说，身边具有已学过的几何结构特征的物体，说出组成这些物体的几何结构特征，由哪些基本几何体组成的？练习：P7作业：P81、2、3、4。
高中数学 第一章 空间几何体 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征(1)学案(无答案)新人教A版必
浙江省台州市高中数学第一章空间几何体1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征（1）学案（无答案）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省台州市高中数学第一章空间几何体1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征（1）学案（无答案）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.1。
1柱、锥、台、球的结构特征(1）学习目标:通过实例，了解多面体、旋转体的概念及特征；理解棱柱、棱锥、圆柱、圆锥以及球的概念；概括并掌握柱体、锥体、球的概念及结构特征。
预习导学：一、多面体：由若干个_____________围成的几何体1、棱柱(1）定义:有两个面互相____，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的多面体叫做棱柱(2）相关概念标识：（3）如图可记作:棱柱(4）棱柱的分类:（5)n棱柱有个底面，个侧面, 个顶点, 条侧棱，底面是边形；(6）主要特征：① ,② ,③2、棱锥（1)定义：有一个面是______，其余各面都是有一个公共顶点的______，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（2）相关概念标识：(3）如图可记作：棱锥(4)棱锥的分类：(5)n棱锥有个侧面, 个顶点，个底面, 条侧棱，底面是边形；(6)主要特征：① ,②；思考1:①棱锥的侧面都是什么图形？②棱锥中，平行于底面的截面与底面有何关系？思考2、多面体至少有几个面？几条棱？几个顶点？这样的多面体是什么图形，你能画出来吗？二、旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条______旋转所形成的___________1、圆柱(1)定义:（2）相关概念标识：（3)圆柱的记法:(4）主要特征:2、圆锥(1)定义：（2）相关概念标识：(3)圆锥的记法:（4）主要特征：3、球（1)定义：(2)相关概念:(3)球的记法:三、柱体与锥体：（1)柱体：(2)锥体：四、自主学习:例1.下列说法正确的是 ( )A.棱柱的面中,至少有两个互相平行;B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；C.棱柱中各条棱的长相等; D。
高中数学 第一章 空间几何体 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征导学案(无答案)新人教A版必修2
柱、锥、台、球的结构特征【使用说明】1仔细阅读教材后独立完成导学案：A级学生完成90%，B级学生完成80%，C级学生完成70%。
2通过自主探究、交流研讨、展示提升完成预习任务。
一、【学习目标】1.会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
构特征对空间物体进行分类。
3.提高学生观察能力,培养学生空间想象能力和抽象概括能力。
学习重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
学习难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
二、知识清单：阅读教材第2—6页内容，然后填空（1）多面体的概念：叫多面体，叫多面体的面，叫多面体的棱，叫多面体的顶点。
①棱柱:两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都，由这些面围成的叫作棱柱②棱锥：有一个面是，其余各面都是的三角形，由这些面围成的多面体叫作棱锥③棱台：用一个棱锥底面的平面去截棱锥，，叫作棱台。
（2）旋转体的概念：叫旋转体，叫旋转体的轴。
①圆柱：所围成的旋转体叫做圆柱②圆锥：所围成的旋转体叫做圆锥③圆台：的部分叫圆台.④球的定义三、学习过程（一）、教师引导学生观察几何物体和图片，通过思考、交流得出课前预习学案中的结论（二）、思考：1.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明）2.棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？3.圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？4.绕直角三角形某一边的几何体一定是圆锥吗？（三)、当堂检测：1.判断下列语句是否正确。
⑴有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥。
⑵有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱柱。
2.给出下列几种说法：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱任意两条母线互相平行。
其中不正确的个数是（）A1B2C3D43.下列说法①以直角三角形的一边为旋转轴，旋转而得的旋转体是圆锥；②以直角梯形一边为旋转轴，旋转而得的旋转体是圆台；③圆锥、圆台底面都是圆；④分别以矩形长和宽所在直线为旋转轴旋转而得的两个圆柱是两个不同的圆柱。
高中数学 第一章 空间几何体 11 空间几何体的结构领学案(无答案)新人教A版必修2 学案
空间几何体的结构学习目标1.认识空间几何体的结构特征,初步形成空间观念.2. 会处理简单的空间几何体的平面展开问题.3.能判断组合体是由哪些简单几何体构成的学习疑问学习建议【预学能掌握的内容】一、空间几何体的分类：一般地，我们把由若干个平面多边形______的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的_____，相邻两个面的公共边叫做多面体的_____，棱与棱的公共点叫做多面体的_____.我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条________旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这个定直线叫做旋转体的____.问题1：请同学们举例说明在生活中有哪些多面体和旋转体构成的实物。
二、多面体的结构特征1．棱柱的结构特征一般地，有两个面相互，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的多面体叫做；棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的_____，简称___；其余各面叫做棱柱的______；相邻侧面的公共边叫做棱柱的______；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的______。
问题2：棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？是否存在都可以的棱柱？2．棱锥的结构特征一般地，有一个面是________，其余各面都是有一个_____点的______，有这些面所围成的多面体叫做______，这个多边形面叫做棱锥的_____简称___；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的______；各侧面的公共顶点叫做棱锥的______；相邻侧面的公共边叫做棱锥的______。
3．棱台的结构特征一般地，用一个_______于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，构成的多面体叫做棱台问题3：下面的多面体，是否为棱台？练习1．棱台不具有的性质是 ( )A．两底面相似 B．侧面都是梯形C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点4. 圆柱的结构特征以___形的一边所在直线为旋转体，其余三边旋转形成的____所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的____，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的______，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的_____；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的______.棱柱与圆柱统称为_______.问题4：绕直角三角形某一边的几何体一定是圆锥吗？5.圆锥的结构特征以___________形的一条_____边所在直线为旋转体，其余两边旋转形成的____所围成的旋转体叫做圆锥，旋转轴叫做圆锥的____，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的______，_______边旋转而成的曲面叫做圆锥的_____；无论旋转到什么位置，_________边都叫做圆柱侧面的母线.6．圆台的结构特征类似棱锥方法，一般地，用一个_______于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，构成的几何体叫做圆台.问题5：圆台可以看成那种平面图形、如何旋转而成？问题6：圆台是否有轴、底面、侧面、母线？棱台与圆台统称为_______.7．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，_______旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
高中数学1.1空间几何体1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征学案新人教B版必修2(2021学年)
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1.1。
２棱柱、棱锥和棱台的结构特征１.认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2．理解棱柱、棱锥、棱台的定义及其形成过程，会画棱柱、棱锥、棱台的图形．3.掌握棱柱、棱锥、棱台平行于底面的截面性质，并会在棱柱、棱锥、棱台中进行简单运算．1．多面体与截面（1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的＿_____；相邻两个面的公共边叫做多面体的____＿_;棱和棱的公共点叫做多面体的___＿_＿;连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的_＿＿_＿___.按围成多面体的面的个数分为:四面体、五面体、六面体……多面体至少有＿_____个面．（２)把一个多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则这样的多面体就叫做＿_______.(3）一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),叫做这个几何体的______.【做一做1】长方体有__＿_____＿_条对角线,一个多面体至少有__________个面.2.棱柱(1）棱柱的概念.有两个互相平行的面,其余各面都是__＿_____,并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，这些面围成的几何体称为棱柱．棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的＿＿____＿＿;其余各面叫做棱柱的_______＿;两侧面的公共边称为棱柱的________;底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的_＿____＿_．棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的＿＿___＿.（2)棱柱的表示法.用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示.（3）棱柱的分类．按底面多边形的__＿_____分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做＿______＿棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做＿＿_＿＿_棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做__＿_____＿＿．底面是平行四边形的棱柱叫做＿＿_＿___＿___.侧棱与底面垂直的平行六面体叫做＿＿_____＿_＿,底面是矩形的直平行六面体是__＿__＿_＿，棱长都相等的长方体是___＿___.在四棱柱中,应掌握好以下关系:用图示表示如下:【做一做2－１】四棱柱有( ）.A.４条侧棱，4个顶点B．８条侧棱，４个顶点C．4条侧棱,8个顶点D.6条侧棱,8个顶点【做一做2－2】下列三种说法中,正确的个数是（）．①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱;②底面是正多边形的棱柱是正棱柱;③棱柱的侧面都是平行四边形．Ａ.0 B．1 C.2 Ｄ．３3．棱锥（１)棱锥的概念.有一面为____＿___，其余各面是_＿_＿__＿___＿，这些面围成的几何体叫做棱锥.棱锥中有公共顶点的各三角形,叫做棱锥的＿＿____＿_;各侧面的公共顶点叫做棱锥的_______＿;相邻两侧面的公共边叫做棱锥的_______＿；多边形叫做棱锥的__＿_＿_＿_.顶点到底面的距离,叫做棱锥的_＿＿＿_＿.(2)棱锥的表示法．用表示顶点和底面各顶点的字母或用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示．(3)棱锥的分类.按底面多边形的___＿____分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……(４)正棱锥的概念．如果棱锥的底面是_＿________,且它的顶点在过底面中心且与底面＿___＿___的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的__________，这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做棱锥的＿_____＿＿.(１)只有正棱锥才有斜高,其他棱锥的顶点到各底边的垂线段不都等长.(２）正棱锥中有几个重要的特征直角三角形，利用它们可以把许多立体几何问题转化为平面几何问题解决．如图所示，正棱锥中,点O为底面中心,Ｍ是CD的中点,则△SＯＭ，△SOC 均是直角三角形,常把一些量归结到这些直角三角形中去计算.很明显,△ＳMＣ,△OＭC也是直角三角形．【做一做３－1】在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有（）．A．1个Ｂ．2个C．3个 D.4个【做一做3-2】正四棱锥Ｓ－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，如图所示,则截面的面积为( ).A．＼f(３,2)a2 B.a２C．错误!a2 D．错误!a２4.棱台(1）棱台的概念.棱锥被＿＿＿_＿___于底面的平面所截，____＿___和___＿__间的部分叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别称为棱台的＿___＿_＿_和＿_＿_____；其他各面称为棱台的______＿_；相邻两侧面的公共边称为棱台的___＿_＿＿_;底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的_＿_＿_＿_＿；两底面间的距离叫做棱台的＿__＿__.(2)棱台的表示法.用表示上下底面各顶点的字母表示棱台.（3)棱台的分类．按底面多边形的＿___＿__＿分为：三棱台、四棱台、五棱台……（４)正棱台的概念.由_______＿截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的＿＿__＿___,这些等腰梯形的高叫做棱台的＿______＿．在正棱台中,有三个重要的直角梯形—－两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面对角线的一半组成一个直角梯形；斜高、侧棱和上下两底面边长的一半组成一个直角梯形.正棱台的计算问题,常转化为这几个直角梯形的计算问题．【做一做4】棱台不具有的性质是（).A．两底面相似B.侧面都是梯形C．侧棱都平行D.侧棱延长后都交于一点1．棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征比较 剖析：(１）有两个面互相平行,其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱,反例如下图．(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,反例如下图.2.教材中的“思考与讨论”如何判断一个多面体是棱台？剖析：要判断一个多面体是不是棱台,首先看两个底面是否平行,其次把侧棱延长看是否相交于一点，这两条都满足的几何体才是棱台.题型一识别简单的空间几何体【例1】下列几何体是棱柱的有( ).A.５个Ｂ.4个 C.3个Ｄ.2个反思：本题容易错认为几何体②也是棱柱,其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征,避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比,并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图形，看到图形就想到文字叙述.题型二概念的理解和应用【例２】一个棱柱是正四棱柱的条件是( ）.Ａ．底面是正方形,有两个侧面是矩形B．底面是正方形,有两个侧面垂直于底面Ｃ.底面是菱形，且有一个顶点处的两条棱互相垂直D.底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形反思:在本题的解答过程中易出现选B的情况,导致此种错误的原因是两个侧面垂直于底面，并不能保证侧棱一定垂直于底面，只有是两个相邻的侧面才可以．题型三有关柱、锥、台的计算问题【例3】正四棱台的上、下底面面积分别为4，1６,一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长.反思：本题由正四棱台的性质可知：上,下底面都是正方形,侧面是全等的等腰梯形，即可得出上、下底边及斜高的长;再由两个直角梯形便可计算出侧棱、斜高、高．故解题时应注意优先分析几何图形的关系,减少盲目性.【例4】如图所示,直平行六面体AC1的侧棱长为100 ｃm，底面两邻边的长分别是23 ｃm 和1１cm,底面的两条对角线的比为2∶３，求它的两个对角面的面积（过相对侧棱的截面叫对角面)．分析:直平行六面体的对角面是矩形,因此只要求出该对角面矩形相邻的两边,就可求出其面积.反思：截面问题首先应弄清截面的形状、位置、性质，然后才能进行下一步的计算．在本题中还要注意积累平行四边形中的一个恒等式，即BD２+AC2=2(AB２＋AＤ2)．题型四立体图形的展开与平面图形的折叠问题【例5】如图，在正三棱柱ＡBC-A1Ｂ1C１中,AB＝3,ＡA１＝4。
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空间几何体的结构
④．一个平面长是3 cm，宽4 cm；（）
⑤．两个平面重叠在一起，比一个平面厚；（）
⑥．直线的平行移动一定形成平面；（）
⑦．直线绕定直线旋转形成柱面；（）
例3。
观察你的教室
（1）举例说明两条直线的位置关系（2）举例说明直线与平面的位置关系（3）如何求天花板上一点到地板的距离？（4）举例说明两个不重合平面的位置关系
（5）说明两相对墙面之间的距离。
P练习A
三、学生练习：
5
四、小结：
五、作业：
P练习B
1。
手工作业
5
2．下面关于平面的说法中正确的是（）
A.平行四边形是一个平面；
B.平面是有边界线的；
C.平面有的厚有的薄；
D.平面是无限延展的。
3.下面关于空间的说法中正确的是（）
A.一个点运动形成直线.
B.直线平行移动形成平面或曲面。
C.矩形上各点沿同一方向移动形成长方体.
D.一个平面移动形成体。
4.一条直线平行移动，生成的面一定是（ ）
A.平面
B.曲面
C.平面或曲面
D.锥面
5.三个平面最多可将空间分成几个部分（ ）
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
6。
如图几何体为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 ，完成下面的填空：
C 1
C
A
（1）直线AB 与直线C 1D 1 的位置关系是
（2）直线AB 与直线BC 的位置关系是
（3）直线AB 与直线C C 1的位置关系是
（4）直线AB 与平面A 1B 1C 1D 1 的位置关系是
（5）直线AB 与平面ABCD 的位置关系是
（6）直线AB 与平面BC C 1 B 1的位置关系是
（7）平面ABCD 与平面A 1B 1C 1D 1的位置关系是
（8）平面ABCD 与平面BC C 1 B 1的位置关系是
7.取两张长方形的纸，根据下图分别演示两个平面的位置关系：
②
α β
⑥。