高中数学必修二课件：3.3.2两点间的距离(共30张PPT)
合集下载
人教版2017高中数学(必修二)3.3.2 两点间的距离PPT课件
5
反思解析几何中的一些距离问题常与方程联系起来,它体现了几何 问题代数化处理的策略.
目标导航
重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
【变式训练1】 已知A(-3,1),B(3,-3),则|AB|=
.
解析:|AB|= 答案: 2 13
(-3-3)2 + (1 + 3)2 = 52 = 2 13.
目标导航
重难聚焦
������ -������ ������ 2
, 2 , ������������的中点F 的坐标是
������ +������ ������ 2
,2 .
目标导航
重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
所以|EF|= 2 |BC|=2|c|. 1 则|EF|= |������������ |.
2
������ -������
原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离为|OP|=
目标导航
重难聚焦
典例透析
题型一题型二Fra bibliotek题型一两点间距离公式的应用
【例 1】 已知 A(a,3)和 B(3,3a+3)间的距离为 5,求 a 的值. 解:∵|AB|= (������-3)2 + (3-3������-3)2 = 5,
即 5a2-3a-8=0, 8 ∴a=-1 或 a= .
利用此公式可以将有关的几何问题转化成代数问题进行 研究. (2)特别地,当 P1P2 平行于坐标轴或在坐标轴上时,有 |P1P2|= |P1P2|= (������2 -������1 )2 = |������2 − ������1|(������1������2⊥y 轴); (������2 -������1 )2 = |������2 − ������1|(������1������2⊥x 轴). ������ 2 + ������ 2 .
反思解析几何中的一些距离问题常与方程联系起来,它体现了几何 问题代数化处理的策略.
目标导航
重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
【变式训练1】 已知A(-3,1),B(3,-3),则|AB|=
.
解析:|AB|= 答案: 2 13
(-3-3)2 + (1 + 3)2 = 52 = 2 13.
目标导航
重难聚焦
������ -������ ������ 2
, 2 , ������������的中点F 的坐标是
������ +������ ������ 2
,2 .
目标导航
重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
所以|EF|= 2 |BC|=2|c|. 1 则|EF|= |������������ |.
2
������ -������
原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离为|OP|=
目标导航
重难聚焦
典例透析
题型一题型二Fra bibliotek题型一两点间距离公式的应用
【例 1】 已知 A(a,3)和 B(3,3a+3)间的距离为 5,求 a 的值. 解:∵|AB|= (������-3)2 + (3-3������-3)2 = 5,
即 5a2-3a-8=0, 8 ∴a=-1 或 a= .
利用此公式可以将有关的几何问题转化成代数问题进行 研究. (2)特别地,当 P1P2 平行于坐标轴或在坐标轴上时,有 |P1P2|= |P1P2|= (������2 -������1 )2 = |������2 − ������1|(������1������2⊥y 轴); (������2 -������1 )2 = |������2 − ������1|(������1������2⊥x 轴). ������ 2 + ������ 2 .
《3.3.2 两点间的距离》PPT课件(广东省市级优课)
|AC|2 +|BD|2 a2 2ab b2 c2 b2 2ab a2 c2
2(a2 b2 c2 ) 所以
|AB|2 +|CD|2 +|AD|2 +|BC|2 =AC|2 +|BD|2
A(0,0)
x
B(a,0)
复习引入 创设问题 启发引导 探究活动 归纳总结
在上题中，你是否还有其他建立坐标系的方法？请同学 们互相交流，你能体会适当建立对证明的重要性吗？
复习引入 创设问题 启发引导 探究活动 归纳总结
坐标法基本步骤：
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.
复习引入 创设问题 启发引导 探究活动 归纳总结
两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )间的距离公式
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
在平面直角坐标系中，已知两点P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ), 如何求P1P2的距离 | P1P2 |？或线段P1P2的长度.
复习引入 创设问题 启发引导 探究活动 归纳总结
(1) x1 x2 , y1 y2
y
P1
P1Байду номын сангаас
O
P2
x
(2) x1 x2 , y1 y2
y
P2
P1
x
1、求下列两点间的距离
(1)A(6,0), B(2,0) (3)C(0, 4), D(0, 1)
解 ：(1)| AB||6(2)|8
(2)M(2,1), N(5,1) (4)O(0,0), P(3, 4)
(2)|MN| (25)2 [1(1)]2 13
人教A版高中数学必修二 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.2.2 两点间的距离 课件 (共33张PPT)
所以 A B 2 C D 2 A D 2 B C 2 2 ( a 2 b 2 c 2 ) ，
A C 2B D 22(a2b2c2)，
所以 A B2C D 2A D 2B C2AC 2 BD2 . 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和.
1.若直线l1:y=kx+k+2与l2:y=-2x+4的交点在第
因此， ③ , ④ 可以化成同一个方程，表示同一直线， l 1 , l 2 重合.
方法二： 由于 3 4 5 ，
6 8 10
所以 l 1 , l 2 重合.
3.两点间的距离公式
探究4：
（1）如果A，B是x 轴上两点，C，D是 y 轴上两点，
它们的坐标分别是（
x
，
A
0
），（ x
B
，0
）（，0，
l 1 :3 x 4 y 2 0 ,l2 :2 x y 2 0 .
解：解方程组
3x 4y 2 0, 2x y 2 0,
得
x
y
2, 2,
所以l1与l2的交点为
M（-2，2）.(如图所示)
M
l1 l2
探究2：当λ 变化时，方程3x+4y-2+λ (2x+y+2)=0 表示何图形?图形有何特点？
y
C）（，0，
y
D），
那么|AB|，|CD|怎样求？
AB=xA-xB,CD=yC-yD
(2)已知 P1(x1,y1),P2(x2,y2)，试求两点间的距离.
若 y1 y2
y
P1 ( x1 , y1 )
P2 (x2 , y2 )
人教版数学必修二课件3.3.2两点间的距离(共34张PPT)
教学重难点
重点
➢两点间距离公式的应用。
难点
➢两点间距离公式的推导过程。
思考
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)， 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?总结得出两点 间的距离公式。
（1）x1≠x2, y1=y2
y
P1
P2
o
x
| P1P2 || x2 x1 |
（2） x1 = x2, y1 ≠ y2
y
A(a,b)
B(-c,0) o
C(c,0) x
| AB | (a c)2 b2 ,| AC | (a c)2 b2 | AO | a2 b2 ,| OC | c. | AB |2 | AC |2 2(a2 b2 c2 ), | AO |2 | OC |2 a2 b2 c2 . | AB |2 | AC |2 2(| AO |2 | OC |2 )
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
2、坐标法证明简单平面几何问题的步骤： 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系。
随堂练习
1、求下列两点间的距离： (1)A(6，0),B(-2，0) (2)C(0，-4),D(0，-1）
习题答案
1. (1) | AB | 8; (2) | CD | 3; (3) | PQ | 2 10; (4) | MN | 13。
2. a=±8。
y
P2
P1
o
x
| P1P2 || y2 y1 |
（3）x1≠x2,y1≠y2
y P1(x1,y1)
Q (x2,y1)
P2(x2,y2)
人教版高中数学必修二3.3.2两点间距离公式课件
)2 (
)2
于是我们就得到了平面内任意两点间的距离公式：
如果P1x1, y1，P2 x2, 是y2 坐标平面上任意两点，那么它
们的距离为：
注：
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
1、公式可表述为“对应坐标之差的平方和，再开算术平方根。”
(1)P1(3,6), P2 (8,18)
(2)P1(-2,-5), P2 (2,0)
解： P1(3,6), P2 (8,18)
P1P2 ( 8 - 3 )2 ( 18 - 6 )2 52 122
169
13
解： P1(-2,-5), P2 (2,0)
P1P2 [ 2 - (-2)]2 [ 0 - (-5)]2 42 52 41
(70)2 (25)2
5 221
如果P1x1, y1，P2 x2, 是y2 坐标平面上任意两点，那么它
们的距离为：
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
1、教材P106，练习 2、教材P110，习题3.3A组第6、7题 3、练习册3.3.2节1，2，3题
例1：在平面直角坐标系中P1(1,5) P，2 (-2,1) P2之间的距离为多少？
解： P1(1,5), P2 (-2,1)
P1P2 ( - 2-1 )2 ( 1- 5 )2
(3)2 (4)2
25
5
，则P1与
练习1：已知在平面直角坐标系中P1，P2的坐标如下所 示，求P1与P2之间的距离为多少？
例2：在平面直角坐标系中P1(1, a) P，2 (-2,1)
且a
，求 的值？
解： P1(1, a), P2 (-2,1)
高一数学两点间的距离PPT课件
; 小学作文加盟 ；
其不可七矣。且楚唯毋强，六国复桡而从之，陛下焉得而臣之。其不可八矣。诚用此谋，陛下事去矣”汉王辍食吐哺，骂曰“竖儒，几败乃公事”令趣销印。后韩信破齐欲自立为齐王，汉王怒。良说汉王，汉王使良授齐王信印。语在《信传》。五年冬，汉王追楚至阳夏南，战不利，壁固 陵，诸侯期不至。良说汉王，汉王用其计，诸侯皆至。语在《高纪》。汉六年，封功臣。良未尝有战斗功，高帝曰“运筹策帷幄中，决胜千里外，子房功也。自择齐三万户”良曰“始臣起下邳，与上会留，此天以臣授陛下。陛下用臣计，幸而时中，臣愿封留足矣，不敢当三万户”乃封良 为留侯，与萧何等俱封。上已封大功臣二十馀人，其馀日夜争功而不决，未得行封。上居雒阳南宫，从复道望见诸将往往数人偶语。上曰“此何语”良曰“陛下不知乎。此谋反耳”上曰“天下属安定，何故而反”良曰“陛下起布衣，与此属取天下，今陛下已为天子，而所封皆萧、曹故人 所亲爱，而所诛者皆平生仇怨。今军吏计功，天下不足以遍封，此属畏陛下不能尽封，又恐见疑过失及诛，故相聚而谋反耳”上乃忧曰“为将奈何”良曰“上平生所憎，群臣所共知，谁最甚者”上曰“雍齿与我有故怨，数窘辱我，我欲杀之，为功多，不忍”良曰“今急先封雍齿，以示群 臣，群臣见雍齿先封，则人人自坚矣”於是上置酒，封雍齿为什方侯，而急趣丞相、御史定功行封。群臣罢酒，皆喜曰“雍齿且侯，我属无患矣”刘敬说上都关中，上疑之。左右大臣皆山东人，多劝上都雒阳“雒阳东有成皋，西有殽、黾，背河乡雒，其固亦足恃”良曰“雒阳虽有此固， 其中小，不过数百里，田地薄，四面受敌，此非用武之国。夫关中左殽、函，右陇、蜀，沃野千里，南有巴、蜀之饶，北有胡苑之利，阻三面而固守，独以一面东制诸侯。诸侯安定，河、渭漕挽天下，西给京师。诸侯有变，顺流而下，足以委输。此所谓金城千里，天府之国。刘敬说是也” 於是上即日驾，西都关中。良从入关。性多疾，即道引不食谷，闭门不出岁馀。上欲废太子，立戚夫人子赵王如意。大臣多争，未能得坚决也。吕后恐，不知所为。或谓吕后曰“留侯善画计，上信用之”吕后乃使建成侯吕泽劫良，曰“君常为上谋臣，今上日欲易太子，君安得高枕而卧” 良曰“始上数在急困之中，幸用臣策。今天下安定，以爱欲易太子，骨肉之间，虽臣等百人何益”吕泽强要曰“为我画计”良曰“此难以口舌争也。顾上有所不能致者四人。四人年老矣，皆以上嫚娒士，故逃匿山中，义不为汉臣。然上高此四人。今公诚能毋爱金玉璧帛，今太子为书，卑 辞安车，因使辩士固请，宜来。来，以为客，时从入朝，令上见之，则一助也”於是吕后令吕泽使人奉太子书，卑辞厚礼，迎此四人。四人至，客建成侯所。汉十一年，黥布反，上疾，欲使太子往击之。四人相谓曰“凡来者，将以存太子。太子将兵，事危矣”乃说建成侯曰“太子将兵， 有功即位不益，无功则从此受祸。且太子所与俱诸将，皆与上定天下枭将也，今乃使太子将之，此无异使羊将狼，皆不肯为用，其无功必矣。臣闻母爱者子抱，今戚夫人日夜侍御，赵王常居前，上曰终不使不肖子居爱子上，明其代太子位必矣。君何不急请吕后承间为上泣言：黥布，天下 猛将，善用兵，今诸将皆陛下故等夷，乃令太子将，此属莫肯为用，且布闻之，鼓行而西耳。上虽疾，强载辎车，卧而护之，诸将不敢不尽力。上虽苦，强为妻子计。”於是吕泽夜见吕后。吕后承间为上泣而言，如四人意。上曰“吾惟之，竖子固不足遣，乃公自行耳”於是上自将而东， 群臣居守，皆送至霸上。良疾，强起至曲邮，见上曰“臣宜从，疾甚。楚人剽疾，愿上慎毋与楚争锋”因说上令太子为将军监关中兵。上谓“子房虽疾，强卧傅太子”。是时，叔孙通已为太傅，良行少傅事。汉十二年，上从破布归，疾益甚，愈欲易太子。良谏不听，因疾不视事。叔孙太 傅称说引古，以死争太子。上阳许之，犹欲易之。及晏，置酒，太子侍。四人者从太子，年皆八十有馀，须眉皓白，衣冠甚伟。上怪，问曰“何为者”四人前对，各言其姓名。上乃惊曰“吾求公，避逃我，今公何自从吾儿游乎”四人曰“陛下轻士善骂，臣等义不辱，故恐而亡匿。今闻太 子仁孝，恭敬爱士，天下莫不延颈愿为太子死者，故臣等来”上曰“烦公幸卒调护太子”四人为寿已毕，趋去。上目送之，召戚夫人指视曰“我欲易之，彼四人为之辅，羽翼已成，难动矣。吕氏真乃主矣”戚夫人泣涕，上曰“为我楚舞，吾为若楚歌”歌曰“鸿鹄高飞，一举千里。羽翼以 就，横绝四海。横绝四海，又可奈何。虽有矰缴，尚安所施”歌数阕，戚夫人歔欷流涕。上起去，罢酒。竟不易太子者，良本招此四人之力也。良从上击代，出奇计下马邑，及立萧相国，所与从容言天下事甚众，非天下所以存亡，故不著。良乃称曰“家世相韩，及韩灭，不爱万金之资， 为韩报仇强秦，天下震动。今以三寸舌为帝者师，封万户，位列侯，此布衣之极，於良足矣。愿弃人间事，欲从赤松子游耳”乃学道，欲轻举。高帝崩，吕后德良，乃强食之，曰“人生一世间，如白驹之过隙，何自苦如此”良不得已，强听食。后六岁薨。谥曰文成侯。良始所见下邳圯上 老父与书者，后十三岁从高帝过济北，果得谷城山下黄石，取而宝祠之。及良死，并葬黄石。每上冢伏腊祠黄石。子不疑嗣侯。孝文三年坐不敬，国除。陈平，阳武户牖乡人也。少时家贫，好读书，治黄帝、老子之术。有田三十亩，与兄伯居。伯常耕田，纵平使游学。平为人长大美色， 人或谓平“贫何食而肥若是”其嫂疾平之不亲家生产，曰“亦食糠覈耳。有叔如此，不如无有”伯闻之，逐其妇弃之。及平长，可取妇，富人莫与者，贫者平亦愧之。久之，户牖富人张负有女孙，五嫁夫辄死，人莫敢取，平欲得之。邑中有大丧，平家贫侍丧，以先往后罢为助。张负既见 之丧所，独视伟平，平亦以故后去。负随平至其家，家乃负郭穷巷，以席为门，然门外多长者车辙。张负归，谓其子仲曰“吾欲以女孙予陈平”仲曰“平贫不事事，一县中尽笑其所为，独奈何予之女”负曰“固有美如陈平长贫者乎”卒与女。为平贫，乃假贷币以聘，予酒肉之资以内妇。 负戒其孙曰“毋以贫故，事人不谨。事兄伯如事乃父，事嫂如事乃母”平既取张氏女，资用益饶，游道日广。里中社，平为宰，分肉甚均。里父老曰“善，陈孺子之为宰”平曰“嗟乎，使平得宰天下，亦如此肉矣”陈涉起王，使周市略地，立魏咎为魏王，与秦军相攻於临济。平已前谢兄 伯，从少年往事魏王咎，为太仆。说魏王，王不听。人或谗之，平亡去。项羽略地至河上，平往归之，从入破秦，赐爵卿。项羽之东王彭城也，汉王还定三秦而东。殷王反楚，项羽乃以平为信武君，将魏王客在楚者往击，殷降而还。项王使项悍拜平为都尉，赐金二十溢。居无何，汉攻下 殷。项王怒，将诛定殷者。平惧诛，乃封其金与印，使使归项王，而平身间行杖剑亡。度河，船人见其美丈夫，独行，疑其亡将，要下当有宝器金玉，目之，欲杀平。平心恐，乃解衣裸而佐刺船。船人知其无有，乃止。平遂至修武降汉，因魏无知求见汉王，汉王召入。是时，万石君石奋 为中涓，受平谒。平等十人俱进，赐食。王曰“罢，就舍矣”平曰“臣为事来，所言不可以过今日”於是汉王与语而说之，问曰“子居楚何官”平曰“为都尉”是日拜平为都尉，使参乘，典护军。诸将尽讙，曰“大王一日得楚之亡卒，未知高下，而即与共载，使监护长者”汉王闻之，愈 益幸平，遂与东伐项王。至彭城，为楚所败，引师而还。收散兵至荥阳，以平为亚将，属韩王信，军广武。绛、灌等或谗平曰“平虽美丈夫，如冠玉耳，其中未必有也。闻平居家时盗其嫂。事魏王不容，亡而归楚。归楚不中，又亡归汉。今大王尊官之，令护军。臣闻平使诸将，金多者得 善处，金少者得恶处。平，反复乱臣也，愿王察之”汉王疑之，以让无知，问曰“有之乎”无知曰“有”汉王曰“公言其贤人何也”对曰“臣之所言者，能也。陛下所问者，行也。今有尾生、孝已之行，而无益於胜败之数，陛下何暇用之乎。令楚、汉相距，臣进奇谋之士，顾其计诚足以 利国家耳。盗嫂、受金又安足疑乎”汉王召平而问曰“吾闻先生事魏不遂，事楚而去，今又从吾游，信者固多心乎”平曰“
【数学】3.3.2《两点间的距离》课件(新人教A版必修2)
3.3.2《两点间的距离》
教学目标
• 使学生掌握两点间距离公式的推导，能 记住公式，会熟练应用公式解决问题， 会建立直角坐标系来解决几何问题，学 会用代数方法证明几何题。 • 教学重点：两点间距离公式及其应用。 • 教学难点：例4的教学是难点。
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
(4)、M(2，1),N(5，-1)
(5)、O(0, 0),P(3, 4)
2.已知点A(a, -5)与B(0, 10)间的距离是17,求a的值.
练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
例题分析
例 3 已知点 A ( 1, 2 ), B ( 2 , 7 ), 在 x 轴上求一点 P,使 得 | PA | | PB |, 并求 | PA | 的值 .
| P P | 1 2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2 2
特别地 , 原点 O 与任一点 P ( x , y )的距离 : | OP | x y
2 2
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
(2)、C(0，-4),D(0，-1)
| PA | (1 1) (0示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
| PA | | PB | (x 1) (0 2) (x 2) (0
2 2 2
x 2x 5 x 4x 11
2
教学目标
• 使学生掌握两点间距离公式的推导，能 记住公式，会熟练应用公式解决问题， 会建立直角坐标系来解决几何问题，学 会用代数方法证明几何题。 • 教学重点：两点间距离公式及其应用。 • 教学难点：例4的教学是难点。
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
(4)、M(2，1),N(5，-1)
(5)、O(0, 0),P(3, 4)
2.已知点A(a, -5)与B(0, 10)间的距离是17,求a的值.
练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
例题分析
例 3 已知点 A ( 1, 2 ), B ( 2 , 7 ), 在 x 轴上求一点 P,使 得 | PA | | PB |, 并求 | PA | 的值 .
| P P | 1 2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2 2
特别地 , 原点 O 与任一点 P ( x , y )的距离 : | OP | x y
2 2
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
(2)、C(0，-4),D(0，-1)
| PA | (1 1) (0示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
| PA | | PB | (x 1) (0 2) (x 2) (0
2 2 2
x 2x 5 x 4x 11
2
高中数学人教A版必修二 课件：3.3.2两点间的距离
想一想 2.已知点P(x, y), 问x2＋y2表示的几何意义是 什么？ 提示: x2＋y2表示|OP|2, 即点P到坐标原点距 离的平方.
做一做 3.已知点P1(5,1), P2(2, －2), 则|P1P2|＝_____.
解析: |P1P2|＝ 5－2 2＋1＋22＝3 2.
答案: 3 2
【名师点评】
把要证明的问题转化为代
数计算, 即是一个代数验证的过程.
互动探究
2. 在上述△ABC 中, 若 M 为 BC 的中点. 1 求证: |AM|＝ |BC|. 2 证明: 设点 M 的坐标为 (x, y),
∵点 M 为 BC 的中点 , 3 ＋1 － 3＋ 7 ∴ x＝ ＝ 2, y＝ ＝ 2, 2 2
程组有唯一解 14 y＝ 3 .
10 x＝－ ， 3
所以两直线相交 ,
10 14 且交点坐标为 － 3 ， 3 .
2x－ 6y＋ 3＝ 0，① (2)解方程组 1 1 y ＝ x ＋ ，② 3 2 ②×6 得 2x－ 6y＋ 3＝ 0, 因此①和②可以化成同一个方程 , 即方程组 有无数组解 , 所以两直线重合 .
(2)l关于点A的对称直线l′的方程.
【思路点拨】 (1)设A′(a, b)→求A′A中点代入
l→kAA′＝－1→解方程组得a, b.
(2)设l′方程→在l′上任取点
求对称点→代入.
【解】
(1)设 A′ (a, b),
a＋1 b＋1 则 A′ A 的中点 M 为( , ), 2 2 a＋1 b＋1 在 l 上, ∴ － － 2＝0, ① 2 分 2 2 b－1 又∵kAA′ ＝ , 直线 AA′与 l 垂直 , a－1 b－1 ∴ ＝－1, ② 4 分 a－1 ∴由①②得 a＝3, b＝－1,
人教A版高中数学必修2课件3.3.2两点间的距离公式课件
知识点—— 两点间的距离公式
两点间的距离公式
【两点间的距离公式】
P1 P2
x2 x2 y2 y1
2
2
两点间的距离公式
【公式推导】 已知平面上的两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ， 如何求 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的距离P1P2 . 由图易知 P1Q N 1 N 2 x2 x1 P2Q M 1 M 2 y2 y1 ∴ P P 2 PQ 2 P Q 2 P P x x 2 y y 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
两点间的距离公式
【变式训练】 根据两点的距离公式 |PM|2 =(a-5)2+(2a-8)2=52, 即 5a2-42a+64=0， 32 解得 a=2或 a . 32 645 P , P(2,4)或 5 5 . y8 x5 所以直线PM的方程为 4 8 2 5 或 即4x-3y+4=0或 24x-7y-64=0.
两点间的距离公式
【典型例题】
以知点A（-1，2），B（2， 7 ），在x轴上求 一点，使 |PA|=|PB| ,并求|PA|的值. 解法一：设所求点P（x，0），于是有 由|PA|=|PB|得 x 2 2 x 5 x 2 4 x 11 解得 x=1. 所以，所求点P（1，0）且
所以所求点P的坐标为（1，0）.因此
PA
1 2 0 2
2
2
2 2
两点间的距离公式
【变式训练】 在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点 M(5，8) 的距离为5，并求直线PM 的方程.
思路点拨： 求点的坐标，需要把点的坐标设出来，利用 两点间的距离公式进行计算.
两点间的距离公式
【两点间的距离公式】
P1 P2
x2 x2 y2 y1
2
2
两点间的距离公式
【公式推导】 已知平面上的两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ， 如何求 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的距离P1P2 . 由图易知 P1Q N 1 N 2 x2 x1 P2Q M 1 M 2 y2 y1 ∴ P P 2 PQ 2 P Q 2 P P x x 2 y y 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
两点间的距离公式
【变式训练】 根据两点的距离公式 |PM|2 =(a-5)2+(2a-8)2=52, 即 5a2-42a+64=0， 32 解得 a=2或 a . 32 645 P , P(2,4)或 5 5 . y8 x5 所以直线PM的方程为 4 8 2 5 或 即4x-3y+4=0或 24x-7y-64=0.
两点间的距离公式
【典型例题】
以知点A（-1，2），B（2， 7 ），在x轴上求 一点，使 |PA|=|PB| ,并求|PA|的值. 解法一：设所求点P（x，0），于是有 由|PA|=|PB|得 x 2 2 x 5 x 2 4 x 11 解得 x=1. 所以，所求点P（1，0）且
所以所求点P的坐标为（1，0）.因此
PA
1 2 0 2
2
2
2 2
两点间的距离公式
【变式训练】 在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点 M(5，8) 的距离为5，并求直线PM 的方程.
思路点拨： 求点的坐标，需要把点的坐标设出来，利用 两点间的距离公式进行计算.
高中数学必修二课件：3.3.2两点间距离
问题提出
1.在平面直角坐标系中，根据直线 的方程可以确定两直线平行、垂直等位 置关系，以及求两相交直线的交点坐标， 我们同样可以根据点的坐标确定点与点 之间的相对位置关系. 2.平面上点与点之间的相对位置关 系一般通过什么数量关系来反映？
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？ |P1P2|=|x1-x2|
3.3.2两点间距离
三维目标 • 知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐 标法证明简单的几何问题。 • 过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更 充分体会数形结合的优越性。 • 情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用 代数方法解决几何问题
重点:两点间距离公式的推导。
难点:应用两点间距离公式证明几何问题。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
课堂小结
主要是两点间距离公式的推导，以及应 用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建 立直角坐标系的重要性。
课后练习
1.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离 相等 2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成 一个等边三角形。 3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距 离是——
2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？ y P2 P1 P2
o
P1
x
思考7:特别地，点P(x，y)与坐标原点的 距离是什么？ 2 2
| OP | x y
知识探究（二）：距离公式的变式探究
思考1:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形？
高中数学：3.3.2《两点间的距离》课件(新人教A版必修2)
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
O
x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y 1)2
两点间距离公式
y
|x|
P (x,y)
|y|
O(0,0)
x
| OP | x2 y2
数形结合
练习
▪ 1.已知A(3,4),B(-1,7),求|AB| |AB|=5
▪ 2.已知O(0,0),B(6,-8),求|OP| |OP|=10
第D一(b步,c):建立C(坐a+b,c) 标系，用坐标表 示有关的量。
| AB |2 a2 | CD |2 a2
A (0,0)
x B (a,0)
坐标法 | AD |2 b2 c2 | BC |2 b2 c2 第二步:进行有
| AC |2 (a b)2 c2 | BD |2 (b a关)2代 数c2运算
练习
▪ P116 练习 1
(1) | AB | 8 (2) | CD | 3 (3) | PQ | 2 10
(4) | MN | 13
P115 例3
练习
▪ P116 练习 2
a 8
例4.证明平行四边形四条边的平方和和等于两条
对角线的平方和。 证明：以A为原点，AB为x轴
建立直角坐标系。 y 则四个顶点坐标分别为 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)
解析几何
3.3.两点间距离公式
两点间距离公式
y
y2
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
y1 P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
O x1
x2
x
| P1Q || x2 x1 |
人教版高中数学必修二 3.3.2两点间的距离课件
PA (x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5
PB (x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
PA PB x2 2x 5 x2 4x 11
解得：x 1 所以所求点为 P(1, 0)
PA (11)2 (0 2)2 2 2
例 线2的:证平明方平和行。四边形四条边的平方和y 等于两条对角
AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 ) AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )
AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2
所以，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、A(0，-4),B(0，-1) (3)、A(6，0),B(0，-2) (4)、A(2，1),B(5，-1)
例题分析
例 1:已知点A(1, 2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA || PB |,并求 | PA |的值.
解：设所求点为P（x，0），则
证明：以顶点A为原点，AB边所
D(b,c) C(a+b,c)
在直线为x 轴，如图建
立平面直角坐标系，则A（0，0）
设 B(a,0), D(b,c)
o A(0,0) B(a,0) x
由平行四边形性质则C(a b, c)
AB 2 CD 2 a2, AD 2 BC 2 b2 c2
AC 2 (a b)2 c2, BD 2 (b a)2 c2
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别的：
(1) x1≠x2, y1=y2 | P1P2 || x2 x1 |
PB (x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
PA PB x2 2x 5 x2 4x 11
解得：x 1 所以所求点为 P(1, 0)
PA (11)2 (0 2)2 2 2
例 线2的:证平明方平和行。四边形四条边的平方和y 等于两条对角
AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 ) AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )
AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2
所以，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、A(0，-4),B(0，-1) (3)、A(6，0),B(0，-2) (4)、A(2，1),B(5，-1)
例题分析
例 1:已知点A(1, 2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA || PB |,并求 | PA |的值.
解：设所求点为P（x，0），则
证明：以顶点A为原点，AB边所
D(b,c) C(a+b,c)
在直线为x 轴，如图建
立平面直角坐标系，则A（0，0）
设 B(a,0), D(b,c)
o A(0,0) B(a,0) x
由平行四边形性质则C(a b, c)
AB 2 CD 2 a2, AD 2 BC 2 b2 c2
AC 2 (a b)2 c2, BD 2 (b a)2 c2
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别的：
(1) x1≠x2, y1=y2 | P1P2 || x2 x1 |
人教A版必修二第三章3.33.3.2两点间的距离配套课件.pptx
∴ [a－－2]2＋[a＋4－－4]2 ＝ a－42＋a＋4－62， ∴a＝－32，∴P－32，52.
2－1.已知点 M(x，－4)与 N(2,3)间的距离为 7 2，求 x 的 值．
解：由|MN|＝7 2，得 x－22＋－4－32＝7 2，整理
得x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5， 故所求x值为9或－5.
4－1.若A(－2，－3)，B(1,1)，点P(a,2)是AB的垂直平分线 上一点，则a＝__－__92___.
3．3.2两点间的距离
1．已知 A(1，a)，B(2,3)，且|AB|＝ 10，a＝( D ) AB．．60 CD．．30或6 2．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是
( C)
A．x－y－1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋1＝0
3．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程 是( B )
|AO|＝ a2＋b2，|OC|＝c.
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AO|2＋|OC|2＝a2＋b2＋c2.
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
图1
3－1.△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B、C不重合)， 且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.用解析法证明：△ABC为等腰三角形．
解：如图33，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x
轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系．
设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，
所以b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，
所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．
2－1.已知点 M(x，－4)与 N(2,3)间的距离为 7 2，求 x 的 值．
解：由|MN|＝7 2，得 x－22＋－4－32＝7 2，整理
得x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5， 故所求x值为9或－5.
4－1.若A(－2，－3)，B(1,1)，点P(a,2)是AB的垂直平分线 上一点，则a＝__－__92___.
3．3.2两点间的距离
1．已知 A(1，a)，B(2,3)，且|AB|＝ 10，a＝( D ) AB．．60 CD．．30或6 2．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是
( C)
A．x－y－1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋1＝0
3．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程 是( B )
|AO|＝ a2＋b2，|OC|＝c.
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AO|2＋|OC|2＝a2＋b2＋c2.
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
图1
3－1.△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B、C不重合)， 且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.用解析法证明：△ABC为等腰三角形．
解：如图33，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x
轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系．
设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，
所以b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，
所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．