2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业52
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业68
课时作业(六十八)1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线x 212－y24＝1的一个焦点重合，直线y ＝x －4与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．28B ．32C ．20D ．40答案 B解析 双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)，因此p ＝8，故抛物线方程为y 2＝16x ，易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y 2＝16x ，y ＝x －4，可得x 2－24x ＋16＝0，故x 1＋x 2＝24. 故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝24＋8＝32.2．已知AB 为半圆的直径，P 为半圆上一点，以A 、B 为焦点且过点P 做椭圆，当点P 在半圆上移动时，椭圆的离心率有( )A ．最大值12 B ．最小值12 C ．最大值22 D ．最小值22答案 D解析 椭圆的离心率e ＝|AB ||P A |＋|PB |≥|AB |2|P A |2＋|PB |22＝22，故选D. 3．(2012·武汉调研)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1,0)的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，且满足AF →·BF →＝0，则直线AB 的斜率k ＝( )A. 2B.22 C. 3D.33答案 B解析 依题意，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，x 1x 2＝1.又因为AF →·BF →＝0，所以(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，(x 1－1)(x 2－1)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝0，把⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－2k 2k 2x 1x 2＝1，代入并整理得k 2＝12，又k >0，所以k ＝22，选B.4．已知抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，那么m 的值等于( )A.32B.52 C ．2 D ．3答案 A解析 因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2.因为直线AB 与直线y＝x ＋m 互相垂直，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54.因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32.5．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 A解析 ①斜率不存在时，方程为x ＝1符合． ②设斜率为k ，y －1＝k (x －1)，kx －y －k ＋1＝0.⎩⎨⎧4x 2－y 2＝4，y ＝kx －k ＋1，(4－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －k 2＋2k －5＝0. 当4－k 2＝0，k ＝±2时符合；当4－k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条．6．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.33D.22答案 D解析 根据题意可知双曲线的方程为x 2a 2－b 2－y 2b 2＝1.因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，所以双曲线为等轴双曲线，所以a 2－b 2＝b 2，即a ＝2b ，故椭圆的离心率e ＝a 2－b 2a ＝b a ＝b 2b＝22，故选D.7．已知两点A (1,0)，B (b,0)，若抛物线y 2＝4x 上存在点C 使△ABC 为等边三角形，则b ＝________.答案 5或－13解析 A (1,0)，B (b,0)，且△ABC 为等边三角形，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12，±32(b －1)，代入抛物线方程求得b ＝5或－13，故填5或－13.8．抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0的最短距离________．答案728解析 设与抛物线相切且与直线x －y －2＝0平行的直线为x －y ＋t ＝0，∴⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ＋t ，消y 得x 2－x －t ＝0. Δ＝1＋4t ＝0，∴t ＝－14.∴问题转化为x －y －2＝0与x －y －14＝0的距离． ∴d ＝|－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14|2＝728.9．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，O 为坐标原点，OC 的斜率为22，则ba ＝________.答案 22解析 (点差法)令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，⎩⎨⎧ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1， 作差有 a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝a (x 1＋x 2)－b (y 1＋y 2)＝－1. 又x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，k OC ＝y 0x 0， ∴ax 0by 0＝1，∴a b ＝y 0x 0＝22.10．若抛物线y ＝ax 2－1上恒有关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则a 的取值范围是________．答案 (34，＋∞)解析 设抛物线上的两点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，代入抛物线方程y ＝ax 2－1，得ax 2－x －(b ＋1)＝0，设直线AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝12a ，y 0＝x 0＋b＝12a ＋b .由于M (x 0，y 0)在直线x ＋y ＝0上，故x 0＋y 0＝0，由此解得b ＝－1a ，此时ax 2－x －(b ＋1)＝0可变形为ax 2－x －(－1a ＋1)＝0，由Δ＝1＋4a (－1a ＋1)>0，解得a >34.11．如图所示，已知点H (－3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP →·PM →＝0，PM →＝－32MQ →.(1)求点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹F ；(2)已知圆E ：x 2＋y 2＝2x ，过圆心E 作直线l ，此直线与圆E 和(1)中的轨迹F 共有四个交点，自上而下依次记为A 、B 、C 、D ，如果线段AB 、BC 、CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l 的方程．解析 (1)设M (x ，y )，P (0，y ′)，Q (x ′，0)， ∵PM →＝－32MQ →，HP →·PM →＝0，∴(x ，y －y ′)＝－32(x ′－x ，－y )，(3，y ′)·(x ，y －y ′)＝0. ∴x ′＝13x ，y ′＝－12y,3x ＋yy ′－y ′2＝0.又∵点Q 在x 轴的正半轴上，∴x ′>0，x >0.将y ′＝－12y 代入3x ＋yy ′－y ′2＝0，得y 2＝4x (x >0)．∴动点M 的轨迹F 是以O (0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)． (2)由题知，圆E 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，则其直径为2，圆心为E (1,0)，如图所示．设l 的方程为my ＝x －1， 即x ＝my ＋1， ①将①式代入抛物线方程y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，结合根与系数的关系，得⎩⎨⎧Δ>0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.则(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16(m 2＋1)，|AD |2＝(y 1－y 2)2＋(x 1－x 2)2＝(y 1－y 2)2＋(y 21－y 224)2＝(y 1－y 2)2[1＋(y 1＋y 24)2]＝16(m 2＋1)2.∴|AD |＝4(m 2＋1)．又线段AB 、BC 、CD 的长成等差数列， ∴2|BC |＝|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |.∴|AD |＝3|BC |＝6，∴4(m 2＋1)＝6，m ＝±22， 即直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.12．已知直线x ＋y －1＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一点，AM →＝－BM →，且点M 在直线l ：y ＝12x 上．(1)求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆x 2＋y 2＝1上，求椭圆的方程． 解析 (1)由AM →＝－BM →知M 是AB 的中点，设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0.x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，y 1＋y 2＝－(x 1＋x 2)＋2＝2b 2a 2＋b 2.∴M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2a 2＋b 2，b 2a 2＋b 2.又M 点在直线l 上， ∴a 2a 2＋b 2－2b 2a 2＋b 2＝0. ∴a 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2. ∴e ＝c a ＝22.(2)由(1)知b ＝c ，不妨设椭圆的一个焦点坐标为F (b,0)，设F (b,0)关于直线l ：y ＝12x 的对称点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－b ·12＝－1，x 0＋b 2－2×y 02＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35b ，y 0＝45b .由已知x 20＋y 20＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫35b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45b 2＝1，∴b 2＝1. ∴所求的椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.13．已知椭圆C ：x 2＋y24＝1，过点M (0,3)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B .(1)若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程； (2)设P 为椭圆上一点，且OA →＋OB →＝λOP →(O 为坐标原点)．求当|AB |<3时，实数λ的取值范围．解析 (1)设A (x 1，y 1)，因为A 是MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以y 1＝32.又因为点A (x 1，y 1)在椭圆C 上， 所以x 21＋y 214＝1，即x 21＋916＝1，解得x 1＝±74， 则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，32.所以直线l 的方程为67x －7y ＋21＝0或67x ＋7y －21＝0. (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3或x ＝0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，当AB 的方程为x ＝0时，|AB |＝4>3，与题意不符．当AB 的方程为y ＝kx ＋3时，由题设可得A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 2＋y 24＝1的解，消去y 得(4＋k 2)x 2＋6kx ＋5＝0. 所以Δ＝(6k )2－20(4＋k 2)>0，即k 2>5. 则x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2，x 1·x 2＝54＋k 2， y 1＋y 2＝(kx 1＋3)＋(kx 2＋3)＝244＋k 2. 因为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2<3， 所以1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 4＋k 22－204＋k2<3， 解得－1613<k 2<8，所以5<k 2<8.因为OA →＋OB →＝λOP →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝λ(x 3，y 3)， 所以当λ＝0时，由OA →＋OB →＝0， 得x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2＝0，y 1＋y 2＝244＋k 2＝0， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当λ≠0时，x 3＝x 1＋x 2λ＝－6kλ(4＋k 2)， y 3＝y 1＋y 2λ＝24λ(4＋k 2). 因为点P (x 3，y 3)在椭圆上， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6k λ(4＋k 2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤24λ(4＋k 2)2＝1， 化简得λ2＝364＋k 2. 因为5<k 2<8，所以3<λ2<4. 则λ∈(－2，－3)∪(3，2)．综上，实数λ的取值范围为(－2，－3)∪(3，2)．1．已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过已知抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则(1)抛物线的焦点坐标是____________；(2)梯形PQRF 的面积是____________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 (2)1916解析 抛物线上一点P (1,2)，求得a ＝2，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18；梯形PQRF 的面积是1916.故填(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18；(2)1916.2．AB 弦过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心，F 为焦点，则S △ABF 的最大值是________．答案 b a 2－b 2解析 如图，S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |(|y A |＋|y B |)＝12|OF ||y A －y B | ＝12a 2－b 2|y A －y B |， 而|y A －y B |max ＝2b ， ∴(S △AOF )max ＝b a 2－b 2.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P (4,0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ；(3)在(2)的条件下，设过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM →·ON →的取值范围．解析 (1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2.因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆x 2＋y 2＝b 2，与直线x －y ＋6＝0相切，所以b ＝612＋(－1)2＝3，所以a 2＝4，b 3＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知直线PB 的斜率存在且不为0，则可设直线PB 的方程为y ＝k (x －4)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0. ①设点B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则A (x 1，－y 1)．由题意知直线AE 的斜率存在，则直线AE 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)．令y ＝0，得x ＝x 2－y 2(x 2－x 1)y 2＋y 1，将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入整理得x＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)x 1＋x 2－8. ②由①式利用根与系数的关系得x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，代入②式整理得x ＝1.所以直线AE 与x 轴相交于定点Q (1,0)． (3)当过点Q 的直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝m (x －1)，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m (x －1)，x 24＋y 23＝1，得(4m 2＋3)x 2－8m 2x ＋4m 2－12＝0，易知Δ＝(－8m 2)2－4(4m 2＋3)(4m 2－12)＝144(m 2＋1)>0，由根与系数的关系知x M ＋x N ＝8m 24m 2＋3，x M x N ＝4m 2－124m 2＋3，则y M y N ＝m (x M －1)·m (x N －1)＝m 2[x M x N －(x M ＋x N )＋1]＝－9m 24m 2＋3.则OM →·ON →＝x M x N ＋y M y N ＝－5m 2＋124m 2＋3＝－54－334(4m 2＋3).因为m 2≥0，所以－114≤－334(4m 2＋3)<0.所以－4≤－54－334(4m 2＋3)<－54.所以OM →·ON →∈[－4，－54]．当过点Q 的直线MN 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，代入椭圆方程得y ＝±32，不妨设M (1，32)，N (1，－32)，此时OM →·ON →＝－54.综上所述，OM →·ON →的取值范围是[－4，－54]．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线y 2＝4x 有共同的焦点F ，且两曲线在第一象限的交点为M ，满足|MF |＝53.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线y ＝kx －2与椭圆C 交于A ，B 两点，OP →＝13OA →，ON →＝23OB →，若原点O 在以PN 为直径的圆外，求实数k 的取值范围．解析 (1)由题意知，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.设M (x M ，y N )(x M >0，y M >0)，因为点M 在抛物线上，且|MF |＝53，所以点M 的横坐标x M ＝53－1＝23，从而y 2M ＝4x M ＝83.又点M 也在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，故有⎩⎪⎨⎪⎧49a 2＋83b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3.所以所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2－16kx ＋4＝0.因为直线与椭圆C 有两个交点A ，B ， 所以Δ＝(－16k )2－16(4k 2＋3)>0，即k 2>14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3.因为原点O 在以PN 为直径的圆外，所以∠PON 为锐角．又因为OP →＝13OA →，ON →＝23OB →，所以∠PON 为锐角，所以OA →·OB →>0， 即OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(k 2＋1)·x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(k 2＋1)·44k 2＋3－2k ·16k 4k 2＋3＋4＝－12k 2＋164k 2＋3>0.解得k 2<43.又k 2>14，所以14<k 2<43， 即－233<k <－12或12<k <233.故实数k 的取值范围是(－233，－12)∪(12，233)．5．(2012·长春调研)已知点A (－1,0)、B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|AM →||BM →|cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P 、Q 两点．(1)求|AM →|＋|BM →|的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 的面积和最大值．解析 (1)设M (x ，y )，在△MAB 中，|AB →|＝2，∠AMB ＝2θ，根据余弦定理得|AM →|2＋|BM →|2－2|AM →|·|BM →|cos2θ＝|AB →|2＝4，即(|AM →|＋|BM →|)2－2|AM →|·|BM →|(1＋cos2θ)＝4. 所以(|AM →|＋|BM →|)2－4|AM →|·|BM →|cos 2θ＝4.因为|AM →|·|BM →|cos 2θ＝3，所以(|AM →|＋|BM →|)2－4×3＝4， 所以|AM →|＋|BM →|＝4. 又|AM →|＋|BM →|＝4>2＝|AB →|，因此点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意)． 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则 a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. ① 显然方程①的判别式Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)>0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则S △APQ ＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝48×3m 2＋3(3m 2＋4)2.令t ＝3m 2＋3，则t ≥3，(y 1－y 2)2＝48t ＋1t ＋2，由于函数φ(t )＝t ＋1t 在[3，＋∞)上是增函数，所以t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3m 2＋3＝3，即m ＝0时取等号． 所以(y 1－y 2)2≤48103＋2＝9，即|y 1－y 2|的最大值为3.所以△APQ 的面积的最大值为3，此时直线PQ 的方程为x ＝1.6．设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A 、B 的坐标是方程组⎩⎨⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0的解．由ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，两式相减，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝ab， 即2y C 2x C ＝a b ，y C x C＝a b ＝22，所以b ＝2a .①再由方程组消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 由|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝22， 得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4.②由①、②解得a＝13，b＝23.故所求的椭圆方程为x23＋2y23＝1.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业10
课时作业(十)1．(2012·安徽)(log 29)·(log 34)＝( )A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 D解析 原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4. 2．log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2答案 C解析 log 2sin π12＋log 2cos π12＝log 2(sin π12cos π12)＝log 212sin π6＝log 214＝－2，故选C.3．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 C解析 由x ∈(e －1,1)，得－1<ln x <0，a －b ＝－ln x >0，a >b ，a －c ＝ln x (1－ln 2x )<0，a <c ，因此有b <a <c ，选C.4．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a答案 A解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，∴a ＞b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，∴b ＞c ，故a ＞b ＞c ，选A.5．0＜a ＜1，不等式1log a x ＞1的解是( )A ．x ＞aB ．a ＜x ＜1C ．x ＞1D ．0＜x ＜a答案 B解析 易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1.6．(2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A ．(1a ，b )B ．(10a,1－b )C ．(10a ，b ＋1) D ．(a 2,2b )答案 D解析 当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图像上． 7．若log a (π－3)<log b (π－3)<0，a 、b 是不等于1的正数，则下列不等式中正确的是( )A ．b >a >1B ．a <b <1C ．a >b >1D ．b <a <1答案 A解析 ∵0<π－3<1，log a (π－3)<log b (π－3)<0，∴a ，b ∈(1，＋∞)，且b >a ，∴选A.8．当0<x <1时，下列不等式成立的是( )A ．(12)x ＋1>(12)1－xB ．log (1＋x )(1－x )>1C ．0<1－x 2<1D ．log (1－x )(1＋x )>0答案 C解析 方法一 考察答案A ：∵0<x <1，∴x ＋1>1－x .∴(12)x ＋1<(12)1－x ，故A 不正确；考察答案B ：∵0<x <1，∴1＋x >1,0<1－x <1. ∴log (1＋x )(1－x )<0，故B 不正确；考察答案C ：∵0<x <1，∴0<x 2<1，∴0<1－x 2<1，故C 正确；考察答案D：∵0<1－x<1,1＋x>1.∴log(1－x)(1＋x)<0.故D不正确．方法二(特值法)取x＝12，验证立得答案C.9．若0<a<1，在区间(0,1)上函数f(x)＝log a(x＋1)是() A．增函数且f(x)>0 B．增函数且f(x)<0C．减函数且f(x)>0 D．减函数且f(x)<0答案 D解析∵0<a<1时，y＝log a u为减函数，又u＝x＋1增函数，∴f(x)为减函数；又0<x<1时，x＋1>1，又0<a<1，∴f(x)<0.选D.10．函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数y＝log12f(x)的图像大致是()答案 C解析由y＝f(x)的图像可知，y＝f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则可知，y＝log12f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故选C.11．(2012·上海文)方程4x－2x＋1－3＝0的解是________．答案log23解析原方程可化为(2x)2－2(2x)－3＝0，解得2x＝3或2x＝－1，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log23.故答案为log23.12．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 ∵a 2＋1＞1, log a (a 2＋1)＜0，∴0＜a ＜1. 又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12. ∴实数a 的取值范围是(12，1)．13．若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m ，则m ＝__________.(lg2≈0.301 0) 答案 155解析 由10m －1＜2512＜10m ，得m －1＜512lg2＜m ，∴m －1＜154.12＜m . ∴m ＝155.14．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝________.答案 2解析 f (x )＝log a (x ＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2. 当a >1时，0＝log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋1)≤log a 1＝0，与值域是[0,1]矛盾． 综上，a ＝2.15．作为对数运算法则：lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2.那么，对于所有使lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)成立的a ，b 应满足函数a ＝f (b )表达式为________．答案 a ＝bb －1(b >1) 解析 lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，∴a ＋b ＝ab ，∴a (b －1)＝b . ∴a ＝bb －1(b >1)．16.已知函数y ＝log 2(x 2－ax －a )的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－4]∪[0，＋∞)解析 要使f (x )＝x 2－ax －a 的值能取遍一切正实数，应有Δ＝a 2＋4a ≥0，解之得a ≥0或a ≤－4，即a 的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)．17．设a ，b ∈R ，且a ≠2，若奇函数f (x )＝lg 1＋ax 1＋2x 在区间(－b ，b )上有定义．(1)求a 的值； (2)求b 的取值范围． 解析 (1)f (－x )＝－f (x )，即lg 1－ax 1－2x ＝－lg 1＋ax 1＋2x ，即1－ax 1－2x ＝1＋2x 1＋ax ，整理得1－a 2x 2＝1－4x 2. ∴a ＝±2，又a ≠2，∴a ＝－2.(2)f (x )＝lg 1－2x 1＋2x的定义域是(－12，12)，∴0<b ≤12.18．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值； (2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )<f (1)． 解析 (1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b .由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. ∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2. 又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2. 从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎨⎧(log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2⇒⎧x>2或0<x<1，－1<x<2⇒0<x<1.⎩⎨。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业18
课时作业(十八)1．已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值． 解析 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6. 又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)．即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0. 即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x ，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.2．(2013·衡水调研)设函数f (x )＝x 2＋2x －2ln(1＋x )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈[1e －1，e －1]时，是否存在整数m ，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立？若存在，求整数m 的值；若不存在，则说明理由．解析 (1)由1＋x >0，得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)． f ′(x )＝2x ＋2－2x ＋1＝2x (x ＋2)x ＋1. 由f ′(x )>0，得x >0；由f ′(x )<0，得－1<x <0.∴函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1,0)．(2)由(1)知，f (x )在[1e －1,0]上单调递减，在[0，e －1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝0.又f (1e －1)＝1e 2＋1，f (e －1)＝e 2－e ，且e 2－3>1e 2＋1， ∴x ∈[1e －1，e －1]时，f (x )max ＝e 2－e. ∵不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立，∴⎩⎨⎧－m 2＋2m ＋e 2≥f (x )max ，m <f (x )min .即⎩⎨⎧－m 2＋2m ＋e 2≥e 2－3，m <0⇒⎩⎨⎧m 2－2m －3≤0，m <0⇒ ⎩⎨⎧－1≤m ≤3，m <0⇒－1≤m <0. ∵m 是整数，∴m ＝－1.∴存在整数m ＝－1，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立．3．已知函数f (x )＝ax －ln(－x )，x ∈[－e,0)，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a ＝－1时，确定f (x )的单调性和极值； (2)当a ＝－1时，证明：f (x )＋ln (－x )x >12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解析 (1)∵f (x )＝－x －ln(－x )，f ′(x )＝－1－1x ＝－x ＋1x ，∴当－e ≤x <－1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当－1<x <0时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (－1)＝1.(2)由(1)知f(x)在区间[－e,0)上有唯一的极小值1，即f(x)在区间[－e,0)上的最小值为1，即f(x)min＝1.所证不等式即f(x)>12－ln(－x)x.令h(x)＝12－ln(－x)x，则h′(x)＝ln(－x)－1x2.当－e≤x<0时，h′(x)≤0，故h(x)在[－e,0)上单调递减．∴h(x)max＝h(－e)＝1e＋12<12＋12＝1＝f(x)min.∴当a＝－1时，f(x)＋ln(－x)x>12.(3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln(－x)的最小值为3.f′(x)＝a－1x(x∈[－e,0))．①若a≥－1e，由于x∈[－e,0)，则f′(x)＝a－1x≥0.∴函数f(x)＝ax－ln(－x)在[－e,0)上是增函数．∴f(x)min＝f(－e)＝－a e－1＝3，解得a＝－4e<－1e，与a≥－1e矛盾，舍去．②若a<－1e，则当－e≤x<1a时，f′(x)＝a－1x<0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是减函数．当1a<x<0时，f′(x)＝a－1x>0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是增函数．∴f(x)min＝f(1a)＝1－ln(－1a)＝3，解得a＝－e2.由①②知，存在实数a＝－e2，使f(x)的最小值为3.4．(2013·山东济宁一模)已知函数f(x)＝x－ln x，g(x)＝ln x x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意的m，n∈(0，e]，都有f(m)－g(n)>12.(注：e≈2.718 28…是自然对数的底数．)解析 (1)∵f (x )＝x －ln x (x >0)，∴f ′(x )＝1－1x ＝x －1x (x >0)． 由f (x )>0，得x >1，由f (x )<0，得0<x <1.∴f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．(2)由(1)知，当x ∈(0，e]时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，e]上单调递增． ∴当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝1.∵g (x )＝ln xx (x >0)，∴g ′(x )＝1－ln x x 2(x >0)．当x ∈(0，e]时，g (x )≥0，∴g (x )在(0，e]上单调递增． ∴当x ∈(0，e]时，[g (x )]max ＝g (e)＝1e .对任意的m ，n ∈(0，e]，f (m )－g (n )≥[f (m )]min －[g (n )]max ＝1－1e >12. 即证得，对任意的m ，n ∈(0，e]，都有f (m )－g (n )>12.5．(2013·汕头质量测评)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(a 2－1)x ，其中a >0. (1)若函数y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，求a 的值；(2)已知函数f (x )有3个不同的零点，分别为0、x 1、x 2，且x 1<x 2，若对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )>f (1)恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋(a 2－1)，因为y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝0. 即－(－1)2＋2(－1)＋(a 2－1)＝0. 解得a ＝±2.经检验得a ＝2.(2)由题意得f (x )＝x (－13x 2＋x ＋a 2－1)＝－13x (x －x 1)(x －x 2)． 所以方程－13x 2＋x ＋a 2－1＝0有两个相异的实根x 1，x 2. 故Δ＝1＋43(a 2－1)>0，解得a <－12(舍去)或a >12 且x 1＋x 2＝3.又因为x 1<x 2，所以2x 2>x 1＋x 2＝3，故x 2>32>1.①若x1≤1<x2，则f(1)＝－13(1－x1)(1－x2)≥0，而f(x1)＝0不符合题意．②若1<x1<x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x－x1≥0，x－x2≤0，所以f(x)＝－13x(x－x1)(x－x2)≥0.又f(x1)＝0，所以f(x)在[x1，x2]上的最小值为0.于是对任意的x∈[x1，x2]，f(x)>f(1)恒成立的充要条件为f(1)＝a2－13<0，解得－33<a<33.综上得12<a<33，即a的取值范围为(12，33)．6．(2013·西安市质检)设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))点处的切线的方程；(2)求函数f(x)的单调区间与极值；(3)已知函数g(x)＝f(x)＋13有三个互不相同的零点，求m的取值范围．解析(1)当m＝1时，f(x)＝－13x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.切线方程为3x－3y－1＝0.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1，令f′(x)＝0，得到x＝1－m或x＝1＋m. 因为m>0，所以1＋m>1－m.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m3＋m2－13.函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m3＋m2－13.(3)由(2)知，函数g (x )在x ＝1＋m 处取得极大值g (1＋m )＝f (1＋m )＋13， 且g (1＋m )＝23m 3＋m 2.函数g (x )在x ＝1－m 处取得极小值g (1－m )＝f (1－m )＋13， 且g (1－m )＝－23m 3＋m 2.根据三次函数的图像与性质，函数g (x )＝f (x )＋13有三个互不相同的零点，只需要⎩⎪⎨⎪⎧g (1＋m )＝23m 3＋m 2>0，g (1－m )＝－23m 3＋m 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m >32.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.7．(2013·沧州七校联考)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.解析 (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x故f f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )． (2)设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R . 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.8．(2013·西北五校)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ，若对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解析 f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x (x >0)． (1)由f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23. (2)f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x(x >0)．①当a ≤0时，x >0，ax －1<0，在区间(0,2)上f ′(x )>0；在区间(2，＋∞)上f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)． ②当0<a <12时，1a >2，在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)和(1a ，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a .③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x ， 故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)． ④当a >12时，0<1a <2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2.(3)由已知，在(0,2]上有f (x )max <g (x )max . 由已知，g (x )max ＝0，由(2)可知， ①当a ≤12时，f (x )在(0,2]上单调递增，故f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln2＝－2a －2＋2ln2. 所以，－2a －2＋2ln2<0，解得a >ln2－1. 故ln2－1<a ≤12.②当a >12时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上单调递减，故f (x )max ＝f (1a )＝－2－12a －2ln a .由a >12可知ln a >ln 12>ln 1e ＝－1,2ln a >－2，－2ln a <2. 所以，－2－2ln a <0，f (x )max <0. 综上所述，a >ln2－1.1．(2011·天津文)已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R . (1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当t ≠0时，求f (x )的单调区间；(3)证明：对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．解析 (1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.因为t ≠0，以下分两种情况讨论：①若t <0，则t2<－t .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，t2)，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(t2，－t )．②若t >0，则－t <t2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，(t2，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(－t ，t 2)．(3)由(2)可知，当t >0时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，＋∞)内单调递增．以下分两种情况讨论：①当t2≥1，即t ≥2时，f (x )在(0,1)内单调递减．f (0)＝t －1>0， f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.所以对任意t ∈[2，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．②当0<t 2<1，即0<t <2时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，1)内单调递增．若t ∈(0,1]，f (t 2)＝－74t 3＋t －1≤－74t 3<0，f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≥－6t ＋4t ＋3＝－2t ＋3>0. 所以f (x )在(t2，1)内存在零点．若t ∈(1,2)，f (t 2)＝－74t 3＋(t －1)<－74t 3＋1<0，f (0)＝t －1>0.所以f (x )在(0，t2)内存在零点．所以，对任意t ∈(0,2)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 综上，对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 2．(2011·江西文)设f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx .(1)如果g (x )＝f ′(x )－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f (x )的解析式； (2)如果m ＋n <10(m ，n ∈N *)，f (x )的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(a ，b )的长度为b －a )．解析 (1)由题得g (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋(n －3)＝(x ＋m －1)2＋(n －3)－(m －1)2，已知g (x )在x ＝－2处取得最小值－5，所以⎩⎨⎧m －1＝2，(n －3)－(m －1)2＝－5，即m ＝3，n ＝2. 即得所要求的解析式为f (x )＝13x 3＋3x 2＋2x .(2)因为f ′(x )＝x 2＋2mx ＋n ，且f (x )的单调递减区间的长度为正整数，故f ′(x )＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m 2－4n >0，即m 2>n .不妨设为x 1，x 2，则|x 2－x 1|＝2m 2－n 为正整数． 故m ≥2时才可能有符合条件的m ，n ， 当m ＝2时，只有n ＝3符合要求， 当m ＝3时，只有n ＝5符合要求， 当m ≥4时，没有符合要求的n .综上所述，只有m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5满足上述要求． 3．已知函数f (x )＝e x ＋ax ，g (x )＝e x ln x .(e ≈2.718 28…)．(1)设曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与直线x ＋(e －1)y ＝1垂直，求a 的值； (2)若对于任意实数x ≥0，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围； (3)当a ＝－1时，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线C ：y ＝g (x )－f (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解析 (1)由题知，f ′(x )＝e x ＋a .因此曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的斜率为e＋a，又直线x＋(e－1)y＝1的斜率为11－e，∴(e＋a)11－e＝－1.∴a＝－1.(2)∵当x≥0时，f(x)＝e x＋ax>0恒成立，∴若x＝0，a为任意实数，f(x)＝e x＋ax>0恒成立．若x>0，f(x)＝e x＋ax>0恒成立，即当x>0时，a>－e xx恒成立．设Q(x)＝－e xx.Q′(x)＝－e x x－e xx2＝(1－x)e xx2.当x∈(0,1)时，Q′(x)>0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，Q′(x)<0，则Q(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴当x＝1时，Q(x)取得最大值．Q(x)max＝Q(1)＝－e.∴要使x≥0时，f(x)>0恒成立，a的取值范围为(－e，＋∞)．(3)依题意，曲线C的方程为y＝e x ln x－e x＋x.令M(x)＝e x ln x－e x＋x，∴M′(x)＝e xx＋ex ln x－e x＋1＝(1x＋ln x－1)ex＋1.设h(x)＝1x＋ln x－1，则h′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2.当x∈[1，e]时，h′(x)≥0.故h(x)在[1，e]上为增函数，因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为h(1)＝ln1＝0.所以h(x)＝1x＋ln x－1≥0.当x0∈[1，e]时，.∴.曲线y＝e x ln x－e x＋x在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程M′(x0)＝0在x∈[1，e]上有实数解．而M′(x0)>0，即方程M′(x0)＝0无实数解．故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝M(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直．4．已知x>12，函数f(x)＝x2，h(x)＝2eln x(e为自然常数)．(1)求证：f(x)≥h(x)；(2)若f(x)≥h(x)且g(x)≤h(x)恒成立，则称函数h(x)的图像为函数f(x)，g(x)的“边界”．已知函数g(x)＝－4x2＋px＋q(p，q∈R)，试判断“函数f(x)，g(x)以函数h(x)的图像为边界”和“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．解析(1)证明：记u(x)＝f(x)－h(x)＝x2－2eln x，则u′(x)＝2x－2e x，令u′(x)>0，因为x>12，所以x> e.所以函数u(x)在(12，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．u(x)min＝u(e)＝f(e)－h(e)＝e－e＝0，即u(x)≥0，所以f(x)≥h(x)．(2)由(1)知，f(x)≥h(x)对x>12恒成立，当且仅当x＝e时等号成立．记v(x)＝h(x)－g(x)＝2eln x＋4x2－px－q，则“v(x)≥0恒成立”与“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”同时成立，即v(x)≥0对x>12恒成立，当且仅当x＝e时等号成立．所以函数v(x)在x＝e时取极小值．注意到v′(x)＝2ex＋8x－p＝8x2－px＋2ex，由v′(e)＝0，解得p＝10 e.此时v′(x)＝8(x－e)(x－e4)x，由x>12知，函数v(x)在(12，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，即v(x)min＝v(e)＝h(e)－g(e)＝－5e－q＝0，q＝－5e，综上，两个条件能同时成立，此时p＝10e，q＝－5e.5．(2012·山东卷)已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.解析(1)由f(x)＝ln x＋k e x，得f′(x)＝1－kx－x ln xx e x，x∈(0，＋∞)．由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x)＝1x e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.又e x>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)，所以g(x)＝x＋1e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－x ln x<e xx＋1(1＋e－2)．由(2)中h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2.故1－x－x ln x≤1＋e－2.设φ(x)＝e x－(x＋1)．因为φ′(x)＝e x－1＝e x－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0.故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)>0，即e xx＋1>1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2<e xx＋1(1＋e－2)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2.6．(2011·山东文)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建筑费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝43(20r2－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(20r2－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8π(c－2)r2(r3－20c－2)，0<r<2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m>0.所以y′＝8π(c－2)r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2即c>92时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2)时，y′>0.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3<c≤92时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时r＝320c－2.7．(2013·江南十校)设M是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)－x＝0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.”(1)若函数f(x)为集合M中的任一元素，试证明方程f(x)－x＝0只有一个实根；(2)判断函数g(x)＝x2－ln x2＋3(x>1)是否是集合M中的元素，并说明理由；(3)“对于(2)中函数g(x)定义域内的任一区间[m，n]，都存在x0∈[m，n]，使得g(n)－g(m)＝(n－m)g′(x0)”，请利用函数y＝ln x的图像说明这一结论．解析(1)令h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝f′(x)－1<0，即h(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．所以，使h(x)＝0，即f(x)－x＝0成立的x至多有一解．又由题设①知方程f(x)－x ＝0有实数根， 所以，方程f(x)－x ＝0只有一个实数根．(2)由题意知，g ′(x)＝12－12x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12⊂(0,1)，满足条件．令F(x)＝g(x)－x ＝－x 2－ln x2＋3(x>1)，则F(e )＝－e 2＋52>0，F(e 2)＝－e22＋2<0.又F(x)在区间[e ，e 2]上连续，所以F(x)在[e ，e 2]上存在零点x 0，即方程g(x)－x ＝0有实数根x 0∈[e ，e 2]，故g(x)满足条件①.综上可知，g(x)∈M.(3)由(1)知：g(n)－g(m)＝12(n －m)－12(ln n －ln m)， 而(n －m)g ′(x 0)＝(n －m)(12－12x 0)，所以原式等价于ln n －ln m n －m ＝1x 0.该等式说明函数y ＝ln x(x>1)上任意两点A(m ，ln m)和B(n ，ln n)的连线段AB(如图所示)，在曲线y ＝ln x(m ≤x ≤n)上都一定存在一点P(x 0，ln x 0)，使得该点处的切线平行于AB ，根据y ＝ln x(x>1)图像知该等式一定成立．8．(2013·郑州质检)已知函数f(x)＝x －ln (x ＋a)在x ＝1处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f(x)＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．答案 (1)0 (2)54＋ln 2≤b<2 解析 (1)对f(x)求导，得f ′(x)＝1－1x ＋a. 由题意，得f ′(1)＝0，即1－11＋a＝0，∴a ＝0. (2)由(1)得f(x)＝x －ln x.∴f(x)＋2x ＝x 2＋b ，即x 2－3x ＋ln x ＋b ＝0.设g(x)＝x 2－3x ＋ln x ＋b(x>0)，则g ′(x)＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x.令g ′(x)＝0，得x 1＝12，x 2＝1.当x 变化时，g ′(x)、g(x)的变化情况如下表：又g(12)＝b －54－ln 2，g(2)＝b －2＋ln 2.∵方程f(x)＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g (12)≥0，g (1)<0，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧b －54－ln 2≥0，b －2<0，b －2＋ln 2≥0，解得54＋ln 2≤b<2.9．已知函数f(x)＝ax 2－2x ＋1，g(x)＝ln (x ＋1)． (1)求函数y ＝g(x)－x 在[0,1]上的最小值；(2)当a ≥12时，函数t(x)＝f(x)＋g(x)的图像记为曲线C ，曲线C 在点(0,1)处的切线为l ，是否存在a 使l 与曲线C 有且仅有一个公共点？若存在，求出所有a 的值；否则，说明理由．(3)当x ≥0时，g(x)≥－12f(x)＋12恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)y ′＝1x ＋1－1，因为0≤x ≤1，所以y ′≤0. 所以y ＝g(x)－x 在[0,1]上单调递减． 当x ＝1时，y 取最小值为ln 2－1. 故y ＝g(x)－x 在[0,1]的最小值为ln 2－1.(2)函数t(x)的定义域为(－1，＋∞)，t ′(x)＝2ax －2＋1x ＋1，t ′(0)＝－1.所以在切点P(0,1)处的切线l 的斜率为－1. 因此切线方程为y ＝－x ＋1.因此切线l 与曲线C 有唯一的公共点，所以，方程ax 2－x ＋ln (x ＋1)＝0有且只有一个实数解．显然，x ＝0是方程的一个解．令φ(x)＝ax 2－x ＋ln (x ＋1)，则φ′(x)＝2ax －1＋1x ＋1＝2ax ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1x ＋1.当a ＝12时，φ′(x)＝x 2x ＋1≥0，于是，φ(x)在(－1，＋∞)上单调递增，即x＝0是方程唯一的实数解．当a>12时，由φ′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝12a －1∈(－1,0)． 在区间(－1，x 2)上，φ′(x)>0，在区间(x 2,0)上，φ′(x)<0. 所以，函数φ(x)在x 2处有极大值φ(x 2)，且φ(x 2)>φ(0)＝0.而当x →－1时，φ(x)→－∞，因此，φ(x)＝0在(－1，x 2)内也有一个解，矛盾．综上，得a ＝12.(3)令h(x)＝g(x)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12f (x )＋12＝ln (x ＋1)＋12ax 2－x ，h ′(x)＝1x ＋1＋ax －1＝ax 2＋(a －1)x x ＋1＝x[ax ＋(a －1)]x ＋1(x>－1)．若a ＝0，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝0，不合题意；若a ≥1，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≥0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，符合题意；若0<a<1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1－a a 时，h ′(x)≤0，则h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1－a a 单调递减，故h(1－aa )<h(0)＝0，不合题意；若a<0，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)单调递减，故h(1)<h(0)＝0，不合题意．综上：a的取值范围是a≥1.。
2014年全国高考理科数学试题详解-(新课标1规范精校版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试 全国课标1理科数学解析（规范精校版）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2}，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）答案：A解析：),3[]1,(+∞--∞= A ，)2,2[-=B ]1,2[--=B A2. 32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --答案： D解析：32(1)(1)i i +-i i i i i i i --=+=+-++=12)1()2()1()1()1()1(2222233. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数答案：C解析：()()f x f x -=-，)()(x g x g =-|)(|)(|)(|)(x g x f x g x f -=--⇒⇒C4. 已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .B .3CD .3m答案：A解析：13333,322+=+=+=⇒==m m b a c b m a ，渐近线为0=-±y m x令)0,13(+m F ，则点F 到C 的一条渐近线的距离为31|013|=+-+mm 故选A5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78答案：D解析：4为同学分为两组的分法：734!222243314=+=+C C C C ，则872274=⨯ 6. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 答案：C解析：依题意设x POA =∠，],0[π∈x 则|sin |||)(|,cos |||x OM x f x OM ==|2sin |21|sin ||cos |x x x == 所以函数()f x |2sin |21x =的图像为C7. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .158答案：D 解析：A B C D8. 设(0,)2α∈，(0,)2β∈，且tan cos αβ=，则 A .32παβ-=B .32παβ+=C .22παβ-=D .22παβ+=答案：C解析：依题设得：1sin tan cos βαβ+==⇒ααcos sin 1sin cos ββ+)2sin()sin(απβα-=-⇒ ⇒22παβ-=，故选C9. 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，2pC . 1p ，4pD .1p ，3P答案：B 解析：124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集D 是如图所示的阴影部分的点集，D 内的任一点全在直线21x y +=-和直线22x y +=-的上方，即(,),21x y D x y ∀∈+≤-和(,),22x y D x y ∀∈+≥-；D 内存在一点在直线22x y +=和直线23x y +=上下方或在其直线上，即有(,),22x y D x y ∃∈+≥和(,)x y D ∃∈，23x y +≤之说法，和题意比较知：其中真命题是B10. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .3 C . 52D .2 答案：B22y =x +2x y +解析：依题意可作图，如图所示，其中l QH ⊥，H 为垂足，l交x 轴于A ，由抛物线 意义和性质可知：||||QF QH =， 由题意知：4||==p FA ，||4||FP FQ =，||3||QF PQ =， 显然PHQ ∆～PAF ∆，所以||||||||PF PG AF HQ =，即 ||4||34||QF QF HQ =，所以3||||==QF QH ，即||3QF =，故选B 11. 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（1，+∞）C .（-∞，-2）D .（-∞，-1）答案：C解析：0063)(2=⇒=-='x x ax x f 或)0(2≠=a ax （1）当0=a 时，13)(2+-=x x f ，有两个零点， （2）当0>a 时，()f x 至少有一个小于0的零点（3）当0<a 时，()f x 至少有一个大于0的零点，依题意要求，必有0)2(>af ，（如所示）解之：2-<a ，故选C 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为A. B .6 C. D .4答案：B解析：由三视图的概念，及题意可知该多面体为四面体BCD A - 如图所示，其中，AC AD AE BD ===,4，平面ADC ⊥ 平面BDC ， 090=∠BDC ，显然AB 最长，并可求 6=AB ，故选B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业5 第2章 函数2含解析
课时作业（五)1．(2012·山东)函数f（x）＝错误!＋错误!的定义域为A．[－2，0）∪（0,2] B．（－1,0)∪（0，2］C．［－2,2］D．(－1,2]答案B解析由错误!得错误!所以f（x）的定义域为(－1,0）∪（0，2]．2．下表表示y是x的函数,则函数的值域是（A。
［2，5］C．（0，20] D．｛2，3，4,5｝答案D解析由表知函数值只有2,3，4，5四个数，故值域为{2,3,4，5}．3．若函数y＝f(x）的值域是[1，3］，则函数F(x）＝1－2f(x＋3）的值域是( )A．［－5，－1] B．［－2，0］C．［－6,－2] D．［1,3]答案A解析∵1≤f（x)≤3，∴1≤f（x＋3)≤3.∴－6≤－2f（x＋3)≤－2，∴－5≤F（x)≤－1.4．若函数y＝错误!x2－2x＋4的定义域、值域都是[2,2b］（b>1)，则（)A．b＝2 B．b≥2C．b∈（1,2）D．b∈(2,＋∞）答案A解析∵函数y＝12x2－2x＋4＝错误!（x－2）2＋2,其图像的对称轴为直线x＝2,∴在定义域[2,2b]上，y为增函数．当x＝2时，y＝2；当x＝2b时，y＝2b.故2b＝错误!×（2b)2－2×2b＋4，即b2－3b＋2＝0,得b1＝2，b2＝1.又∵b>1，∴b＝2.5．若函数y＝f（x）的定义域是[0，2］，则函数g(x)＝错误!的定义域是( ）A．[0,1] B．［0,1）C．［0，1)∪（1,4] D．（0，1)答案B解析∵y＝f（x）的定义域为［0，2］,∴g(x）的定义域需满足错误!解得0≤x〈1,故选B。
6．函数y＝错误!(x〉0)的值域是( A．（0，＋∞）B．(0，错误!）C．（0，错误!] D．［错误!,＋∞）答案C解析由y＝错误!（x〉0），得0〈y＝错误!＝错误!≤错误!＝错误!，因此该函数的值域是(0，错误!］，选C.7．函数f(x)＝a x＋log a(x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值的和为a，则a的值是( ）A。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业27
课时作业(二十七)1．(2013·北京西城期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则A等于() A．150°B．90°C．60°D．30°答案 D解析由正弦定理，得1sin A＝2sin45°，得sin A＝12.又a<b，∴A<B＝45°.∴A＝30°，故选D.2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于() A．1 B．2C.3－1D. 3答案 B解析由正弦定理asin A＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B.∴sin B＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，得∠A>∠B，∴∠B＝30°.故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A＝() A．60°B．45°C．120°D．30°答案 C解析cos A＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，∴∠A＝120°.4．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝()A．－223 B.223C．－63 D.63答案 D解析根据正弦定理asin A＝bsin B，可得15sin60°＝10sin B，解得sin B＝33，又因为b<a，则B<A，故B为锐角，所以cos B＝1－sin2B＝63，故D正确．5．(2012·天津理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝()A.725B．－725C．±725 D.24 25答案 A解析因为8b＝5c，则由C＝2B，得sin C＝sin2B＝2sin B cos B，由正弦定理，得cos B＝sin C2sin B＝c2b＝45，所以cos C＝cos2B＝2cos2B－1＝2×(45)2－1＝725，故选A.6．(2012·湖南文)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62 D.3＋394答案 B解析由余弦定理，得(7)2＝22＋AB2－2×2AB cos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是AB sin60°＝332.选B.7．(2012·陕西理)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()A.32 B.22C.12D．－12答案 C解析 由余弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.所以选C.8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23答案 B解析 ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.9．在△ABC 中，cos2B >cos2A 是a >b 的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由cos2B >cos2A ，得sin 2A >sin 2B . ∵sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B . ∴a 2R >b2R ，∴a >b . 又上述过程可逆，故选C.10．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．5答案 D解析 本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理， 由tan C ＝43，得sin C ＝45.则2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.11．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.34或32答案 D解析 如图，由正弦定理，得 sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ， ∴C ＝60°或C ＝120°. ∴A ＝90°或A ＝30°. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.12．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形 答案 A解析 ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°. 又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B ，得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac .∴a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等边三角形．13．(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________.答案255210解析因为△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，且sin Acos A＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sin A＝255，再由正弦定理，得asin A＝bsin B，代入数据解得a＝210.14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则角A的大小为________．答案π6解析因为sin C＝23sin B，所以c＝23b.于是cos A＝b2＋c2－a22bc＝c2－3bc2bc＝32.又A是三角形的内角，所以A＝π6.15．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上) 答案③解析①sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝π2，即△ABC是直角三角形．故①不对．②sin A＝cos B，∴A－B＝π2或A＋B＝π2.∴△ABC不一定是直角三角形．③sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2<c2.∴△ABC为钝角三角形．16．(2012·福建理)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．答案－2 4解析依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为a2＋(2a)2－(2a)22a·2a＝－24.17．(2012·北京理)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－14，则b＝________.答案 4解析由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－14)，解得b＝4.18．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝10，cos C＝25 5.(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．答案(1)32(2)13解析(1)由cos C＝255，得sin C＝55.sin A＝sin(180°－45°－C)＝22(cos C＋sin C)＝31010.由正弦定理知BC＝ACsin B·sin A＝1022·31010＝3 2.(2)AB＝ACsin B·sin C＝1022·55＝2.BD＝12AB＝1.由余弦定理知CD＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos B＝1＋18－2·1·32·22＝13.讲评 解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理a sin A ＝bsin B 求B 时，应对解的个数进行讨论；已知a ，b ，A ，求c 时，除用正弦定理a sin A ＝csin C 外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解．19．(2012·安徽文)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解析 (1)方法一 由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.方法二 由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)方法一 因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD→|＝72，从而AD ＝72. 方法二 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3， 所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.20．(2012·浙江理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解析 (1)因为0<A <π，cos A ＝23，得 sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝ 3. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．(2011·安徽理)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．答案 15 3解析 不妨设角A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin120°＝15 3.2．(2012·陕西文)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.答案 2解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，解得b ＝2.3．(2012·大纲全国)△ABC 中B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 最大值________． 答案 27解析 ∵2R ＝3sin60°＝332＝2，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin C ＋4sin(2π3－C ) ＝27sin(C ＋φ)． ∴最大值为27.4．(2012·浙江文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解析 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得 sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.5．(2012·天津文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.(1)求sin C 和b 的值； (2)求cos(2A ＋π3)的值．解析 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144.又由asin A＝csin C及a＝2，c＝2，可得sin C＝74.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋b－2＝0. 因为b>0，故解得b＝1.所以sin C＝74，b＝1.(2)由cos A＝－24，sin A＝144，得cos2A＝2cos2A－1＝－34，sin2A＝2sin A cos A＝－7 4.所以cos(2A＋π3)＝cos2A cosπ3－sin2A sinπ3＝－3＋218.6. (2011·江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sin(A＋π6)＝2cos A，求A的值；(2)若cos A＝13，b＝3c，求sin C的值．答案(1)π3(2)13解析(1)由题设知sin A cos π6＋cos A sinπ6＝2cos A.从而sin A＝3cos A，所以cos A≠0，tanA＝ 3.因为0<A<π，所以A＝π3.(2)由cos A＝13，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝π2.所以sin C＝cos A＝13.7．△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＋bc＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，求S△ABC的最大值；(3)求a sin(30°－C)b－c的值．分析(1)由b2＋c2－a2＋bc＝0的结构形式，可联想余弦定理，求出cos A，从而求出A的值．(2)由a＝3及b2＋c2－a2＋bc＝0，可求出关于b，c的关系式，利用不等式，即可求出bc的最大值，进而求出S△ABC的最大值．(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能，从而达到化简求值的目的．答案(1)120°(2)34(3)12解析(1)∵cos A＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，∴A＝120°.(2)由a＝3，得b2＋c2＝3－bc.又∵b2＋c2≥2bc(当且仅当c＝b时取等号)，∴3－bc≥2bc(当且仅当c＝b时取等号)．即当且仅当c＝b＝1时，bc取得最大值为1.∴S△ABC ＝12bc sin A≤34.∴S△ABC 的最大值为34.(3)由正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C＝2R.∴a sin(30°－C)b－c＝2R sin A sin(30°－C)2R sin B－2R sin C＝sin A sin(30°－C) sin B－sin C＝32⎝⎛⎭⎪⎫12cos C－32sin Csin(60°－C)－sin C＝34cos C－34sin C32cos C－32sin C＝12.8．(2011·山东理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A－2cos Ccos B＝2c－a b.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，b＝2，求△ABC的面积S.答案(1)2(2)15 4解析 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B. 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin C sin A ＝2.(2)由sin C sin A ＝2，得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14，解得a ＝1，从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.9．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．答案 (1)π3 (2) 3解析 (1)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B 2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－ 3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)已知b ＝2，由余弦定理，得4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.10．已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解析 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，则sin(2C －π6)＝1.∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<116π.∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， ∴12＝sin A sin B . 由正弦定理，得a b ＝12.①由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②，解得a ＝1，b ＝2.11．(2011·大纲全国文)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解析 (1)由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°.(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6 4.故a＝b×sin Asin B＝2＋62＝1＋3，c＝b×sin Csin B＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.12．(2011·辽宁文)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.解析(1)由正弦定理，得sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A．即sin B(sin2A ＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B>0，故cos B＝22，所以B＝45°.13．(2011·江西文)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3a cos A＝c cos B＋b cos C.(1)求cos A的值；(2)若a＝1，cos B＋cos C＝233，求边c的值．解析(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C，有c cos B＋b cos C＝a，代入已知条件得3a cos A＝a，即cos A＝1 3.(2)由cos A＝13，得sin A＝223.则cos B＝－cos(A＋C)＝－13cos C＋223sin C.代入cos B＋cos C＝233，得cos C＋2sin C＝ 3.从而得sin(C＋φ)＝1.其中sinφ＝33，cosφ＝63，0<φ<π2，则C＋φ＝π2.于是sin C＝63，由正弦定理，得c＝a sin Csin A＝32.。
2014版高考数学(理)(人教A版,浙江省专用)一轮作业手册第52讲圆锥曲线的热点问题(基础热身+能力提升+
课时作业(五十二)A [第52讲 圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[教材改编试题] 过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )A ．－2B ．－12C ．－4D ．－1162．圆x 2＋y 2＋ax ＋ay ＝0经过的定点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．43．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A ．(1，2) B ．(0，0) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，4)4．已知椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标x 0的取值范围是________．能力提升5．若直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a ＝1有且只有一公共点，则( )A ．a ∈(0，1]，k ∈⎝⎛⎭⎫－12，12B ．a ∈(0，1)，k ∈⎝⎛⎭⎫－12，12C ．a ∈(0，1]，k ∈⎣⎡⎦⎤－12，12D ．a ∈(0，1)，k ∈⎣⎡⎦⎤－12，12 6．[2012·德化一中模拟] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(1，3)D ．(1，5)7．已知椭圆C 1：x 2m ＋2＋y 2n＝1与双曲线C 2：x 2m －y 2n ＝1共焦点，则椭圆C 1的离心率e的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎝⎛⎭⎫0，22C ．(0，1) D.⎝⎛⎭⎫0，12 8．过点P (－3，0)的直线l 与双曲线x 216－y 29＝1交于点A ，B ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，弦AB 的中点为M ，OM 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，则k 1·k 2＝( )A.916B.34C.169D ．16 9．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A ．6B ．12C ．24D ．4810．若A 为抛物线y ＝14x 2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B ，C 两点，则AB →·AC→等于________．11．[2012·江西六校联考] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋eb的最小值为________．12．[2012·咸阳三模] 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的中心、右焦点、右顶点依次分别为O ，F ，G ，且直线x ＝a 2c 与x 轴相交于点H ，则|FG ||OH |最大时椭圆的离心率为________．13．已知曲线x 2a －y 2b＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．14．(10分)[2012·西安质检] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设P (4，0)是x 轴上一点，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q .15．(13分)已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．难点突破16．(12分)[2012·佛山二模] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1(－3，0)，而且过点H ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的上下顶点分别为A 1，A 2，P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，直线P A 1，P A 2分别交x 轴于点N ，M ，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值．图K52－1课时作业(五十二)B [第52讲 圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．已知椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两个焦点的距离之积是m ，则m 的最大值是( )A ．25B ．34C ．9D ．162．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞) D ．(0，1)3．在椭圆x 216＋y 24＝1中，以点(1，1)为中点的弦的斜率是( )A ．4B ．－4 C.14 D ．－144．[2012·济宁模拟] 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交于不同两点，则y 0的取值范围是( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)能力提升5．已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1，4)B ．[1，＋∞)C ．[1，4)∪(4，＋∞) B ．(4，＋∞) 6．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a ，0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2] C ．[0，2]D ．(0，2)7．[2012·哈尔滨六中三模] 过椭圆x 29＋y 24＝1上一点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，点A ，B 为切点．过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为( )A.12B.23 C ．1 D.438．[2012·黄冈模拟] 若点O 和点F (－2，0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 9．已知双曲线x 29－y216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56C.54D.58 10．[2012·日照二模] 过双曲线的左焦点F 1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若在双曲线虚轴所在直线上存在一点C ，使AC →·BC →＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．11．若直线l ：tx －y ＋6＝0与曲线C ：x 2－y 2＝2有两个不同交点，则实数t 的取值范围是________．12．[2012·镇海模拟] 若点P 在曲线C 1：y 2＝8x 上，点Q 在曲线C 2：(x －2)2＋y 2＝1上，点O 为坐标原点，则|PO ||PQ |的最大值是________．13．过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线m 的倾斜角θ≥π4，m 交抛物线于A ，B 两点，且A 点在x 轴上方，则|F A |的取值范围是________．14．(10分)[2012·北京西城区二模] 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．15．(13分)[2012·东北四校一模] 已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若M 的一个顶点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 的离心率e ＝12，过M 的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l ，交M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设点N (t ，0)是一个动点，且(NA →＋NB →)⊥AB →，求实数t 的取值范围．难点突破 16．(12分)[2012·北京朝阳区二模] 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－2，0)，B (2，0)，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为－12.(1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设过点F (1，0)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ，若点P 在y 轴上，且|PM |＝|PN |，求点P 的坐标的取值范围．课时作业(五十二)A【基础热身】1．D [解析] 抛物线的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋18，代入抛物线方程得2x 2－kx －18＝0，根据韦达定理得x 1x 2＝－116.2．B [解析] 方程x 2＋y 2＋ax ＋ay ＝0化为a (x ＋y )＋(x 2＋y 2)＝0，令x ＋y ＝0且x 2＋y 2＝0，得x ＝y ＝0，即圆x 2＋y 2＋ax ＋ay ＝0经过定点(0，0)．3．C [解析] 抛物线上的点到直线y ＝4x －5的距离是d ＝|4x －y －5|17＝|4x －4x 2－5|17＝4⎝⎛⎭⎫x －122＋417，显然这个函数当x ＝12时取得最小值，此时y ＝1.4．－355<x 0<355[解析] 方法一：以c ＝5为半径，O 为圆心的圆为x 2＋y 2＝5，求得该圆与椭圆的交点横坐标为x ＝±35，易知当∠F 1PF 2为钝角时，对应点的横坐标满足条件－355<x 0<355.方法二：设P (x 0，y 0)，已知a 2＝9，b 2＝4，∴c ＝5，|PF 1|＝a －ex 0＝3－53x 0，|PF 2|＝3＋53x 0，由余弦定理，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝59x 20－19－59x 20，∵∠F 1PF 2是钝角，∴－1＜cos ∠F 1PF 2＜0，即－1<59x 20－19－59x 20<0，解得－35<x 0<35.【能力提升】5．A [解析] 直线过定点(0，－1)知a ∈(0，1]，椭圆的左、右顶点是(±2，0)，结合图形可知k ∈⎝⎛⎭⎫－12，12. 6．D [解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于点(1，2)在上区域，故2>ba，所以e＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2< 5.又e >1，所以所求的范围是(1，5)．7．A [解析] 根据已知只能m >0，n >0，且m ＋2－n ＝m ＋n ，即n ＝1，所以椭圆的离心率为e ＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2，由于m >0，所以1－1m ＋2>12，所以22<e <1.8．A [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的中点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，AB的斜率k 1＝y 2－y 1x 2－x 1，OM 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2，故k 1·k 2＝y 22－y 21x 22－x 21，根据双曲线方程y 2＝916(x 2－16)，故y 22－y 21＝916(x 21－x 22)，故k 1·k 2＝916.正确选项A. 9．B [解析] 设AB 的方程为x ＝my ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得16m 2y 2＋25y 2＝400⇒y 1，2＝±2016m 2＋25，S △ABF 1＝12c |y 1－y 2|＝32·22016m 2＋25≤3×4＝12. 10．－3 [解析] 抛物线方程为x 2＝4y ，其顶点是坐标原点，焦点坐标是(0，1)，设直线BC 的方程为y ＝kx ＋1，代入抛物线方程整理得x 2－4kx －4＝0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则AB →·AC →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，根据韦达定理代入得结果是－3.11.263 [解析] 由已知得b a ＝3，此时b ＝3a 且双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，所以a 2＋e b ＝a 2＋23a ≥22a 3a＝263，等号当且仅当a ＝2时成立．12.12[解析] 根据已知O (0，0)，F (c ，0)，G (a ，0)，H ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0，所以|FG ||OH |＝a －c a 2c＝ac －c 2a 2＝e －e 2＝－⎝⎛⎭⎫e －122＋14≤14，所以当|FG ||OH |最大时e ＝12.13．2 [解析] 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1得，(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2aa －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2a a －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2.14．解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2.又∵b ＝61＋1＝3，∴a 2＝4，b 2＝3.故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.① 设点B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则A (x 1，－y 1)．直线AE 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)．令y ＝0，得x ＝x 2－y 2（x 2－x 1）y 2＋y 1.将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入整理，得 x ＝2x 1x 2－4（x 1＋x 2）x 1＋x 2－8.②由①得x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3代入②整理，得x ＝1.∴直线AE 与x 轴相交于定点Q (1，0)．15．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2·b 2a＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故所求的椭圆方程为y 24＋x 2＝1.(2)不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y '|x ＝t＝2t ，直线MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h ，将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以x 1＋x 2＝yt （t 2－h ）1＋t2Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0. 设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t （t 2－h ）2（1＋t 2）.设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意得x 3＝x 4，即有t 2＋(1＋h )t ＋1＝0，其中Δ2＝(1＋h )2－4≥0，∴h ≥1或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0，4－h 2<0，因此不等式Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0不成立，因此h ≥1.当h ＝1时，代入方程t 2＋(1＋h )t ＋1＝0得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0成立，因此h 的最小值为1.【难点突破】16．解：(1)方法一：由题意得a 2－b 2＝3，3a 2＋14b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x24＋y 2＝1.方法二：椭圆的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由椭圆的定义可得2a ＝|HF 1|＋|HF 2|＝72＋12＝4，所以a ＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x24＋y 2＝1.(2)方法一：由(1)可知A 1(0，1)，A 2(0，－1)，设P (x 0，y 0)，直线P A 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1；直线P A 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0，得x M ＝x 0y 0＋1.设圆G 的圆心为⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1－x 0y 0－1，h ，则r 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1－x 0y 0－1－x 0y 0＋12＋h 2＝14⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1＋x 0y 0－12＋h 2，|OG 2|＝14⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1－x 0y 0－12＋h 2，|OT |2＝|OG |2－r 2＝14⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1－x 0y 0－12＋h 2－14⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1＋x 0y 0－12－h 2＝x 201－y 20. 而x 204＋y 20＝1，所以x 20＝4(1－y 20)，所以|OT |2＝4（1－y 20）1－y 20＝4， 所以|OT |＝2，即线段OT 的长度为定值2.方法二：由(1)可知A 1(0，1)，A 2(0，－1)，设P (x 0，y 0)，直线P A 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1；直线P A 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0，得x M ＝x 0y 0＋1；则|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 0y 0－1·x 0y 0＋1＝⎪⎪⎪⎪x 20y 20－1，而x 204＋y 20＝1，所以x 20＝4(1－y 20)， 所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪x 20y 20－1＝4，由切割线定理得|OT |2＝|OM |·|ON |＝4，所以|OT |＝2，即线段OT 的长度为定值2.课时作业(五十二)B【基础热身】1．A [解析] 设椭圆焦点为F 1，F 2，则|PF 1|＋|PF 2|＝10，故m ＝|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25.2．D [解析] 原方程可变为x 22＋y 22k＝1，因为是焦点在y 轴的椭圆，所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k >2，解得0<k <1，因而选D.3．D [解析] 设弦的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，作差得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－14. 4．C [解析] 圆心到准线的距离为4，由题意只要|FM |>4即可，而|FM |＝y 0＋2，∴y 0>2. 【能力提升】5．C [解析] 直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.6．B [解析] 设点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由|PQ |≥|a |，得y 20＋⎝⎛⎭⎫y 204－a 2≥a 2，整理，得y 20(y 20＋16－8a )≥0.∵y 20≥0，∴y 20＋16－8a ≥0，即a ≤2＋y 208恒成立．而2＋y 208的最小值为2，所以a ≤2.选B.7．B [解析] 设M (x 0，y 0)，根据圆的切线知识可得过A ，B 的直线l 的方程为x 0x ＋y 0y＝2，由此得P ⎝⎛⎭⎫2x 0，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，2y 0，故△POQ 的面积为12×⎪⎪⎪⎪2x 0·⎪⎪⎪⎪2y 0＝2|x 0y 0|.点M 在椭圆上，所以x 209＋y 204＝1≥2⎪⎪⎪⎪x 03·⎪⎪⎪⎪y 02，由此得|x 0y 0|≤3，所以2|x 0y 0|≥23，等号当且仅当|x 0|3＝|y 0|2时成立． 8．B [解析] 因为F (－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 23－1(x 0≥3)．因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－34.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值，为43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，选B.9．B [解析] 右焦点F 的坐标是(5，0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋5，代入双曲线方程得(16m 2－9)y 2＋160my ＋162＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－160m16m 2－9，y 1y2＝16216m 2－9， 则|PQ |＝1＋m 2⎝⎛⎭⎫160m 16m 2－92－4·16216m 2－9＝96（1＋m 2）|16m 2－9|. 设PQ 的中点N (x 0，y 0)，则y 0＝－80m 16m 2－9，x 0＝－80m 216m 2－9＋5＝－4516m 2－9. 设M (t ，0)，则y 0x 0－t ＝－m ，即t ＝y 0m ＋x 0＝－12516m 2－9，故|MF |＝|t －5|＝⎪⎪⎪⎪－12516m 2－9－5＝80（1＋m 2）|16m 2－9|. 所以|MF ||PQ |＝8096＝56.10.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5＋12，＋∞ [解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，C (0，t )，由AC →·BC →＝0，得t 2＝b 4a 2－c 2≥0，e ≥5＋12.11．(－2，－1)∪(－1，1)∪(1，2) [解析] 消掉y 得(1－t 2)x 2－26tx －8＝0，直线与双曲线交于不同两点的充要条件是1－t 2≠0且(26t )2－4(1－t 2)×(－8)>0，解得t 2<2且t 2≠1.12.477[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫t 28，t ，则|PO |＝⎝⎛⎭⎫t 282＋t 2，|PQ |＝t 28＋2－1＝t 28＋1.|PO ||PQ |＝⎝⎛⎭⎫t 282＋t 2t 28＋1＝t 2＋t 282⎝⎛⎭⎫1＋t 282 ＝m 2＋8m （1＋m ）2＝（1＋m ）2＋6（1＋m ）－7（1＋m ）2＝－7（1＋m ）2＋6（1＋m ）＋1 ＝－7⎝⎛⎭⎫11＋m －472＋167≤167＝477其中m ＝t 28>0.13.⎝⎛⎦⎤14，1＋22 [解析] 取值范围的左端点是p 2＝14，右端点是当直线的倾斜角等于π4时，此时直线方程是y ＝x －14，代入抛物线方程得x 2－32x ＋116＝0，根据题意点A 的横坐标是x＝32＋⎝⎛⎭⎫322－142＝34＋22，根据抛物线定义该点到焦点的距离等于其到准线的距离，故这个距离是34＋22＋14＝1＋22.14．解：(1)依题意F (1，0)，设直线AB 方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.①因为AF →＝2FB →， 所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.15．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．抛物线焦点坐标(2，0)，所以a ＝2，c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆M 的标准方程为x 24＋y23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设l ：x ＝my ＋1(m ∈R ，m ≠0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1⇒(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 由韦达定理得y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4.①(NA →＋NB →)⊥AB →⇒|NA |＝|NB |⇒(x 1－t )2＋y 21＝(x 2－t )2＋y 22⇒(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2t )＋(y 21－y 22)＝0，将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入上式整理得(y 1－y 2)[(m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )]＝0，由y 1≠y 2知 (m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )＝0，将①代入得t ＝13m 2＋4所以实数t ∈⎝⎛⎭⎫0，14 【难点突破】16．解：(1)设动点E 的坐标为(x ，y )，依题意可知y x ＋2·y x －2＝－12， 整理得x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．所以动点E 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1并整理得， (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.Δ＝8k 2＋8>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1. 设MN 的中点为Q ，则x Q ＝2k 22k 2＋1，y Q ＝k (x Q －1)＝－k 2k 2＋1， 所以Q ⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1. 由题意可知k ≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y ＋k 2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 22k 2＋1. 令x ＝0，解得y P ＝k 2k 2＋1＝12k ＋1k. 当k >0时，因为2k ＋1k ≥22，所以0<y P ≤122＝24； 当k <0时，因为2k ＋1k ≤－22，所以0>y P ≥－122＝－24. 综上所述，点P 纵坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤－24，24.。
2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业52 第8章 立体几何8含解析
课时作业(五十二)1．已知不同直线m、n及不重合平面α、β，给出下列结论：①m⊂α,n⊂β，m⊥n⇒α⊥β②m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β③m⊂α，n⊂α，m∥n⇒α∥β④m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β其中的假命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析①为假命题，m不一定与平面β垂直，所以平面α与β不一定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③没有任何实质意义．只有④是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．2．(2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β,b⊥m，则根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α。
又因为a⊂α，所以a⊥b;反过来，当a ∥m时,因为b⊥m,一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3．已知m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是（)A．若α⊥γ，α⊥β,则γ∥βB．若m∥n，m⊂α,n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若m∥n，m⊥α,n⊥β，则α∥β答案D解析对于选项A，两平面β、γ同垂直于平面α,平面β与平面γ可能平行，也可能相交；对于选项B,平面α、β可能平行，也可能相交;对于选项C，直线n可能与平面α平行，也可能在平面α内；对于选项D，由m∥n,m⊥α，∴n⊥α.又n⊥β，∴α∥β，故选D.4．（2011·浙江理）下列命题中错误的是A．如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案D解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．5．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（)A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α,则m∥n C．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β答案B解析对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面；对于选项C，α与β也可能相交;对于选项D，α与β也可能相交．故选B.6．如图，在正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点,现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H,那么,在四面体A－EFH 中必有（)A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面答案A解析∵AD⊥DF,AB⊥BE,又∵B、C、D重合记为H，∴AH⊥HF,AH⊥HE。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学 解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+2．设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ） （A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）9455．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 （ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=6．如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??．则所有正确结论的序号是 （ ）7．设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的 （ ）（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要又不必要条件 【答案】C ．【解析】第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共12小题，共110分．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60．【解析】试题分析：应从一年级抽取4604556300?+++名．考点：等概型抽样中的分层抽样方法．10．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m ．俯视图侧视图正视图【答案】203p． 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为22120142233pp p 鬃+鬃=（3m ）． 考点：1．立体几何三视图；2．几何体体积的计算．11．设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________． 【答案】12-． 【解析】试题分析：依题意得2214S S S =，∴()()21112146a a a -=-，解得112a =-页眉页脚换．考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n 项和公式． 12．在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______． 【答案】14-． 【解析】试题分析：∵32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =\=\=代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得()f x 与()g x 图象恰有四个交点．当()1y a x =-与23y x x =+（或()1y a x =--与23y x x =--）相切时，()f x 与()g x 图象恰有三个交点．把()1y a x =-代入23y x x =+，得()231x x a x +=-，即()230x a x a +-+=，由0D =，得()2340a a --=，解得1a =或9a =．又当0a =时，()f x 与()g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．（方法二）显然1a ¹，∴231x x a x +=-．令1t x =-，则45a t t=++．∵(][),,444t t ???++，∴(][)45,19,t t?ゥ+++．结合图象可得01a <<或9a >．考点：方程的根与函数的零点．三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．22T pp ==． （Ⅱ）∵()f x 在区间,412pp轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数，144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫，∴函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．16．（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．()()3463100,1,2,3,k k C C P x k k C -×===\随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()12362103050E X ??=+??． 考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．互斥事件；3．离散型随机变量的分布列与数学期望．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．公式121211cos ,n n n n n n ×=×来求二面角F AB P --的余弦值．综合法：先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角F AB P --的平面角，再利用解三角形的有关知识求其余弦值． 试题解析：（方法一）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．C（方法二）（Ⅰ）如图，取PD 中点M ，连结EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC =，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，∴//BE AM ．∵PA ^底面ABCD ，故PA CD ^，而CD DA ^，从而CD ^平面PAD ，∵AM Ì平面PAD ，于是CD AM ^，又//BE AM ，∴BE CD ^．（Ⅱ）连结BM ，由（Ⅰ）有CD ^平面PAD ，得CD PD ^，而//EM CD ，故PD EM ^．又∵AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ^，可得PD BE ^，∴PD ^平面BEM ，故平面BEM ^平面PBD ．∴直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ^，可得EBM Ð为锐角，故EBM Ð为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD =，而M 为PD 中点，可得AM =，进而BE =．故在直角三角形BEM中，tan EM AB EBMBEBE ?==，因此in s EMB ?，∴直线BE 与平面PBD 所C18．（本小题满分13分）设椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的左、右焦点为12,F F，右顶点为A，上顶点为B．已知12AB F=．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【答案】（Ⅰ）e=；（Ⅱ）直线l的斜率为4+或4-．标为4,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫．设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323ccy c +==，进而圆的半径r ==．设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =．由l r，整理得2810kk -+=，解得4k=?l的斜率为4+或4-．考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线和圆的方程；3．直线和圆的位置关系． 19．（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合{}0,1,2,1,q M =-，集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M in -+?==++．（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中,,1,2,,.i i a b M in ?证明：若n n a b <，则s t <．20．（本小题满分14分） 已知函数()xf x x ae=-()a R Î，x R Î．已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <．（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明21x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明12x x +随着a 的减小而增大．（2）0a >时，由()0f x ¢=，得ln x a =-．当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -?；单调递减区间是()ln ,a -+¥．∴()121ln 1t tx x t ++=-． ①令()()1ln 1x xh x x +=-，()1,x ??，则()()212ln 1x x xh x x -+-¢=-．令()12ln u x x x x=-+-，得()21x u x x 骣-÷ç¢=÷ç÷ç桫．当()1,x ??时，()0u x ¢>．因此，()u x 在()1,+¥上单调递增，故对于任意的()1,x ??，()()10u x u >=，由此可得()0h x ¢>，故()h x 在()1,+¥上单调递增，因此，由①可得12x x +随着t 的增大而增大，而由（Ⅱ），t 随着a 的减小而增大，∴12x x +随着a 的减小而增大．考点：1．函数的零点；2．导数的运算；3.．利页眉页脚换用导数研究函数的性质．。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业32
课时作业(三十二)1．已知△ABC 中，(AB →·BC →)∶(BC →·CA →)∶(CA →·AB →)＝1∶2∶3，则△ABC 的形状为( )A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．非等腰锐角三角形答案 D解析 设AB →·BC →＝－a 2＋c 2－b 22＝k ，故a 2＋c 2－b 2＝－2k ，同理可得a 2＋b 2－c 2＝－4k ， b 2＋c 2－a 2＝－6k 联立解得 a 2＝－3k ，b 2＝－5k ，c 2＝－4k . 故最大角的余弦cos B ＝36>0，故选D.2．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是 ( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 答案 D解析 由已知，AB →2＝AB →·AC →－AB →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →＋CB →)＋CA →·CB →＝AB →2＋CA →·CB →，∴CA →·CB →＝0.3．设O 点在三角形ABC 内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则三角形ABC 的面积与三角形AOC 的面积之比( )A ．2 B.32 C ．3 D.53答案 C解析 联想三角形ABC 重心满足GA →＋GB →＋GC →＝0可延长OB 至E 使OE →＝2OB →延长OC 至F 使OF →＝3OC →，则O 为三角形AEF 的重心从而S △AOC ＝13S △AOF ＝19S △AEF ， S △AOB ＝12S △AOE ＝16S △AEF ， S △BOC ＝13S △BOF ＝118S △AEF .∴S △ABC ＝S △AOC ＋S △AOB ＋S △BOC ＝618S △AEF .4．(2010·湖南卷改编)已知A ，B 是圆心为C 半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．0 D.532答案 A解析 本题考查向量的数量积的运算．由于弦长|AB |＝5与半径相同，则∠ACB ＝60°⇒AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →|·|CB →|·cos ∠ACB ＝－5·5·cos60°＝－52.5．已知a ，b 是两个非零向量，给定命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|＝|a ||b |， ∴θ＝0°或180°，即a ，b 共线． ∴∃t ∈R ，使得a ＝t b 成立． ∴p 是q 的充分条件．若∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则a ，b 共线． ∴|a ·b |＝|a ||b |.∴p 是q 的必要条件． 综上可知，p 是q 的充要条件．6．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案 B解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|⇒|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2⇒AB →·AC →＝0，∴三角形为直角三角形，故选B.7．已知两个非零向量a ＝(m －1，n －1)，b ＝(m －3，n －3)，且a 与b 的夹角是钝角或直角，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[2，32]B ．[2,6]C ．(2，32)D ．(2,6)答案 B解析 根据a 与b 的夹角是钝角或直角得a·b ≤0，即(m －1)(m －3)＋(n －1)(n －3)≤0.整理得(m －2)2＋(n －2)2≤2.所以点(m ，n )在以(2,2)为圆心，2为半径的圆上或圆内．令m ＋n ＝z ，n ＝－m ＋z 表示斜率为－1，在纵坐标轴上的截距为z 的直线，根据线性规划知识得2≤m ＋n ≤6.8．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32]，则AB →与BC →夹角的取值范围是( )A ．[π4，π3] B ．[π6，π4] C ．[π6，π3] D ．[π3，π2]答案 B解析 设〈AB →，BC →〉＝α，因为AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos α＝3⇒|AB →|·|BC →|＝3cos α，又S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－α)＝12·3cos α·sin(π－α)＝32tan α，而32≤S ≤32⇒32≤32tan α≤32⇒33≤tan α≤1⇒π6≤α≤π4.故选B.9．如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，若(AB →＋BC →)·(BA →＋AD →)＝0，则四边形EFGH 是( )A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 答案 B解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，BA →＋AD →＝BD →， 且(AB →＋BC →)·(BA →＋AD →)＝0， ∴AC →·BD →＝0，即AC →⊥BD →.又∵E 、F 、G 、H 为四边形ABCD 四边的中点， ∴EH →∥BD →∥FG →，EF →∥AC →∥HG →.故四边形EFGH 为平行四边形且EH →⊥EF →，即为矩形．10．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形答案 D分析 本题可先由条件的几何意义得出AB ＝AC ，再求得A ＝π3，即可得出答案．解析 因为非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D.11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π3，π] C ．[π3，2π3] D ．[π6，π]答案 B解析 |a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，设向量a ·b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈[π3，π]．12．已知坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于________．答案 －34解析 设A (y 212，y 1)，B (y 222，y 2)， 则OA →＝(y 212，y 1)，OB →＝(y 222，y 2)． 又由y 1y 2＝－p 2＝－1，∴OA →·OB →＝(y 212，y 1)·(y 222，y 2)＝14y 21y 22＋y 1y 2 ＝14－1＝－34.13．已知向量i 和j 为互相垂直的单位向量，向量a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(－2，12)解析 ∵0<〈a ，b 〉<π2，∴0<cos 〈a ，b 〉<1，∴0<a ·b|a |·|b |<1，即0<1－2λ5·1＋λ2<1，解得λ<12且λ≠－2，∴λ的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，12)．14．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解析 (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω1＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件．其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件， 则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω2＝{(x ，y )|⎩⎨⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1}，B ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y}，如图所示，则P (B )＝＝12×(12＋32)×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13. 15．(2013·烟台调研)已知向量m ＝(a ＋c ，b )，n ＝(a －c ，b －a )，且m·n ＝0，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．(1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的取值范围． 解 (1)由m·n ＝0，得(a ＋c )(a －c )＋b (b －a )＝0⇒a 2＋b 2－c 2＝ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12. ∵0<C <π，∴C ＝π3. (2)∵C ＝π3，∴A ＋B ＝2π3. ∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(2π3－A ) ＝sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3(32sin A ＋12cos A ) ＝3sin(A ＋π6)．∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6. ∴12<sin(A ＋π6)≤1.∴32<3sin(A ＋π6)≤3，即32<sin A ＋sin B ≤ 3.16．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值． 解析 (1)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，∴(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 即2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴2sin A cos B ＝sin A . ∵0<A <π，∴sin A ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)m ·n ＝4k sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1，A ∈(0，2π3)， 设sin A ＝t ，则t ∈(0,1]．则m ·n ＝－2t 2＋4kt ＋1＝－2(t －k )2＋1＋2k 2，t ∈(0,1]． ∵k >1，∴t ＝1时，m ·n 取最大值． 依题意得(m ·n )max ＝－2＋4k ＋1＝5，∴k ＝32.1．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则当(a ＋b )2＝(a －b )2时，该平行四边形为( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．以上都不正确答案 B解析 数形结合，在平行四边形中， a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →，a －b ＝AB →－AD →＝DB →，由|a ＋b |＝|a －b |，∴|AC →|＝|DB →|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.2．(2013·唐山统考)在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝xBA →，CE →＝yCA →，x >0，y >0，且x ＋y ＝1，则CD →·BE →的最大值为( )A ．－58 B ．－34 C ．－32 D ．－38答案 D解析 建立如图所示的直角坐标系，则A (－12，0)，B (12，0)，C (0，32)，设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝xBA →，∴(x 1－12，0)＝x (－1,0)，∴x 1＝－x ＋12. ∵CE →＝yCA →，∴(x 2，y 2－32)＝y (－12，－32)． ∴x 2＝－12y ，y 2＝32－32y .∴CD →·BE →＝(x 1，－32)·(x 2－12，y 2)＝(x 1，－32)·(－12y －12，32－32y )＝(－x ＋12，－32)·(－1＋x 2，32x )＝－12(x 2－x ＋1)＝－12(x －12)2－38.∵0<x <1，∴当x ＝12时，CD →·BE →取得最大值－38.故选D.3．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋5在实数集R 上单调递增，则向量a ，b 的夹角的取值范围是( )A ．[0，π6] B ．[0，π3] C ．(0，π3] D ．[π3，π]答案 B解析 f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ，由Δ＝36|a |2－4×6×6|a |·|b |cos 〈a ，b 〉≤0， 且|a |＝2|b |≠0.得cos 〈a ，b 〉≥12，故选B.4．设G 是△ABC 的重心，且(56sin A )GA →＋(40sin B )GB →＋(35sin C )GC →＝0，则B 的大小为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°答案 D解析 ∵G 为△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0.∴56sin A ＝40sin B ＝35sin C ，结合正弦定理有56a ＝40b ＝35c ，∴a ＝57b ，c ＝87b ，由余弦定理有cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴B ＝60°.5．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0答案 B解析 根据向量加法的几何意义BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.6．设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b ＝ ( )A ．(32，－12)或(－32，12)B ．(32，12)C ．(－32，－12)D ．(32，12)或(－32，－12) 答案 D解析 设b ＝(x ，y )，由a ∥b 可得3y －3x ＝0.又x 2＋y 2＝1，得b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)，故选D.7．已知三点A (2,3)，B (－1，－1)，C (6，k )，其中k 为常数．若|AB →|＝|AC →|，则AB →与AC →的夹角的余弦值为( ) A ．－2425B ．0或2425C.2425 D ．0或－2425答案 D解析 由|AB →|＝|AC →|解得k ＝0或6，当k ＝0时，AB →与AC →的夹角为π2，其余弦值为0；当k ＝6时，AB →与AC →的夹角余弦值为－2425.8．已知a ＝(－12，32)，b ＝(1，3)，则|a ＋t b |(t ∈R )的最小值等于( ) A ．1 B.32 C.12 D.22答案 B解析 方法一 ∵a ＋t b ＝(－12＋t ，32＋3t )，∴|a ＋t b |2＝(－12＋t )2＋(32＋3t )2＝4t 2＋2t ＋1＝4(t ＋14)2＋34.∴当t ＝－14时，|a ＋t b |2取得最小值34，即|a ＋t b |取得最小值32.故选B. 方法二 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，在OB 上任取一点T ，使得OT →＝－t b (t <0)，则|a ＋t b |＝|TA →|，显然，当AT ⊥OB 时，取最小值．由TA →·OB →＝(a ＋t b )·b ＝a ·b ＋t b 2＝0，得t ＝－14. ∴当t ＝－14时，|a ＋t b |取得最小值32.9．(2011·浙江理)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 [π6，5π6]解析 对于以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S ＝12|α||β|·sin 〈α，β〉×2＝|β|sin 〈α，β〉＝12，因此sin 〈α，β〉＝12|β|∈[12，1]，因此α与β的夹角θ的取值范围是[π6，5π6]．10．(2011·江西理)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．答案 π3解析 由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，得a ·b ＝2·cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°.11．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解析 ∵a 与a ＋λb 均不是零向量，夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0,3λ>－5，λ>－53. 当a 与a ＋λb 共线时，a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)．∴由⎩⎨⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，得λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线．∴λ≠0.故λ>－53且λ≠0.12．已知△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0.(1)求数量积OA →·OB →，OB →·OC →，OC →·OA →； (2)求△ABC 的面积．解析 (1)∵|OA |＝|OB |＝|OC |＝1， 由条件可得3OA →＋4OB →＝－5OC →，两边平方得9|OA →|2＋24OA →·OB →＋16|OB →|2＝25|OC →|2.∴OA →·OB →＝0.同理可得OB →·OC →＝－45，OC →·OA →＝－35. (2)由OA →·OB →＝0，可得OA →⊥OB →. ∴S △AOB ＝12|OA →||OB →|＝12.由OB →·OC →＝－45，得cos ∠BOC ＝－45. ∴sin ∠BOC ＝35.∴S △BOC ＝12|OB →||OC →|sin ∠BOC ＝310.由OC →·OA →＝－35，得cos ∠COA ＝－35，∴sin ∠COA ＝45. ∴S △AOC ＝12|OA →||OC →|sin ∠COA ＝25，即可得S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △COA ＝12＋310＋25＝65.小结 由a 与a ＋λb 的夹角为锐角，可得a ·(a ＋λb )>0，但由a ·(a ＋λb )>0，并不能推得a 与a ＋λb 的夹角为锐角，如λ＝0时，a ·(a ·λb )>0，但此时夹角为0，所以a ·(a ＋λb )>0仅是a 与a ＋λb 夹角为锐角的必要条件，而不是充分条件．三角形的“心”的向量表示及应用1．三角形各心的概念介绍 重心：三角形的三条中线的交点； 垂心：三角形的三条高线的交点；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； 外心：三角形的三边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． 根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．2．三角形各心的向量表示(1)O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0； (2)O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)O 是△ABC 的内心⇔OA →·(AB →|AB →|－AC →|AC →|)＝OB →·(BA →|BA →|－BC →|BC →|)＝OC →·(CA →|CA →|－CB→|CB →|)＝0.注意 向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)1．将平面向量与三角形内心结合考查例1 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】 因为AB→|AB →|是向量AB →的单位向量，设AB →与AC →方向上的单位向量分别为e 1和e 2，又OP →－OA →＝AP →，则原式可化为AP →＝λ(e 1＋e 2)，由菱形的基本性质可知AP 平分∠BAC ，那么在△ABC 中，AP 平分∠BAC ，故选B.【答案】 B2．将平面向量与三角形垂心结合考查例2 点P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】 由P A →·PB →＝PB →·PC →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝0，即PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，则PB ⊥CA .同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，所以P 为△ABC 的垂心．故选D.【讲评】 本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关知识．将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．【答案】 D3．将平面向量与三角形重心结合考查例3 点P 是△ABC 所在平面内任一点．G 是△ABC 的重心⇔PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)．【证明】 PG →＝P A →＋AG →＝PB →＋BG →＝PC →＋CG →⇒3PG →＝(AG →＋BG →＋CG →)＋(P A →＋PB →＋PC →)．∵点G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0⇒AG →＋BG →＋CG →＝0，即3PG →＝P A →＋PB →＋PC →，由此得PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)．反之亦然(证略)．4．将平面向量与三角形外心结合考查例4 若O 为△ABC 内一点，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心D ．重心【解析】 由向量模的定义知O 到△ABC 的三顶点距离相等，故O 是△ABC的外心，故选B.【答案】 B5．将平面向量与三角形四心结合考查例5 已知向量OP 1→，OP 2→，OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．【证明】 由已知条件可得OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，两边平方得OP 1→·OP 2→＝－12. 同理OP 2→·OP 3→＝OP 3→·OP 1→＝－12. ∴|P 1P 2→|＝|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3. 从而△P 1P 2P 3是正三角形．1．O 为空间中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 D2．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13(12OA →＋12OB →＋2OC →)，则点P 一定为三角形ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点 答案 B解析 取AB 边中点M ，则OA →＋OB →＝2OM →.由OP →＝13(12OA →＋12OB →＋2OC →)，可得3OP →＝3OM →＋2MC →，∴MP →＝23MC →，即点P 为△ABC 中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.3．在同一个平面上有△ABC 及一点O 满足关系式：OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2＝OC →2＋AB →2，则点O 为△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 D解析 由OA →2－OB →2＝CA →2－BC →2，得(OA →＋OB →)(OA →－OB →)＝(CA →－BC →)(CA →＋BC →)，即(OA →＋OB →)·BA →＝(CA →＋CB →)·BA →，∴BA →·(OA →＋OB →－CA →－CB →)＝2BA →·OC →＝0，∴BA →⊥OC →.同理OB →⊥CA →，OA →⊥CB →，故选D.4．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 C解析 设BC 边中点为D ，则有OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ·2AD →＝2λAD →，∴AP →过△ABC 的重心，故选C.5．在△ABC 中，动点P 满足CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 A解析 2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0，∴以BP →，AP→为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，∴点P 在线段AB 的中垂线上，故选A.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A.49 B.43 C ．－43 D ．－49答案 D解析 由AP →＝2PM →知，P 为△ABC 的重心，根据向量的加法，PB →＋PC →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM →＝P A →·AP →＝－(P A →)2＝－(23MA →)2＝－49，故选D.7．已知非零向量AB →，AC →满足(AB →|AB →|cos B ＋AC→|AC →|cos C)·BC →＝AB →·AC →，则△ABC为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形答案 C解析 要注意到向量的数量积是满足分配律的，则左边＝|AB →||BC →|(－cos B )|AB →|cos B ＋|AC →||BC →|cos C |AC →|cos C ＝0，所以有AB →·AC →＝0，则∠A ＝π2，是直角三角形，如图所示，选C.8．△ABC 外接圆的圆心为O ，两条边上高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.答案 1解析 特殊法，设△ABC 为Rt △，则O 为斜边BC 的中点，H 与A 重合，∴OA →＝m ·OA →，∴m ＝1.。
2014年高考真题——理科数学(新课标Ⅱ)解析版
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B 为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．解答：解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．解答：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π．切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8C．3D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．解答：解：由y2=3x，得2p=3，p=，则F（）．∴过A，B的直线方程为y=，即．联立，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∴==．故选：D．点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解答：解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．点评：本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．解答：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．解答：解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．考点：三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．解答：解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．解答：解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：画出图形即可得到结果．解答：解：由题意画出图形如图：∵点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，∴圆心到MN的距离为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，图中M′显然不满足题意，当MN垂直x轴时，满足题意，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．解答：证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+1+…+==＜．∴对n∈N+时，++…+＜．点评：本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．解答：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AF=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．点评： 本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析： （Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b 的值，再求出a 的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．解答：解：（Ⅰ）由题意，=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3， ∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y 关于t 的线性回归方程为=0.5t+2.3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得： =0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．点评： 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F 1，F 2分别是C ：+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F 1N|，求a ，b ．考点： 椭圆的应用．专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．分析： （1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为，建立关于a ，c 的方程即可求C 的离心率； （2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及|MN|=5|F 1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．解答： 解：（1）∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c ，当x=c 时，y=，即M （c ，），若直线MN 的斜率为， 即tan ∠MF 1F 2=，即b 2==a 2﹣c 2， 即c 2﹣﹣a 2=0， 则， 解得e=． （Ⅱ）由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D （0，2）是线段MF 1的中点， 故=4，即b 2=4a ，由|MN|=5|F 1N|，解得|DF 1|=2|F 1N|，设N （x 1，y 1），由题意知y 1＜0，则，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．点评：本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数发是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g'（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．解答：解：（Ⅰ）由f（x）得f'（x）=e x+e﹣x﹣2，即f'（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f'（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g'（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x﹣2b+2）．①∵e x+e﹣x≥2，e x+e﹣x+2≥4，∴当2b≤4，即b≤2时，g'（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即时，g'（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，．当b=2时，由，得；当时，有，由，得．所以ln2的近似值为0.693．点评：1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC 的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．考点：参数方程化成普通方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．解答：解：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，注意参数的范围，属于基础题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜≤3．综上可得，a的取值范围（，）．点评：本题主要考查绝对值三角不等时，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业51
课时作业(五十一)1．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是() A．l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α答案 B解析l1⊥α且l2⊥α⇒l1∥l2.2．(2012·四川)下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，那么经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确．3．设α，β表示平面，m，n表示直线，则m∥α的一个充分不必要条件是() A．α⊥β且m⊥βB．α∩β＝n且m∥nC．m∥n且n∥αD．α∥β且m⊂β答案 D解析若两个平面平行，其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面，故选D.4．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB 的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为() A．10 B．20C．8 D．4答案 B解析设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.5．(2013·衡水调研卷)已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( )A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内 答案 C解析 由直线l 与点P 可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内，选C.6．下列命题中，是假命题的是( )A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B ．平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥aC ．α∥β，γ∥δ，α、β分别与γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥dD ．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 答案 D解析 D 错误．当两个平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面．如下图，α⊥β，直线AB 与α、β都成45°角，但α∩β＝l .7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1. ∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D . ∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .8．设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的是________． 答案 ③④解析 ①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m 、n 相交时才有α∥β，此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l ∥γ，β∩γ＝m ，l ⊂β，∴l ∥m .又α∩β＝l ，且m ⊂β，∴m ∥α.又m ⊂γ且γ∩α＝n ，∴m ∥n ，故④对．9．如图所示，四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案 ①③10. 棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．答案 平行解析 取PD 的中点F ，连接EF .在△PCD 中，EF 綊12CD .又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF ＝12CD 且CD ＝2AB . ∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF . 又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .11. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案223a解析 如图，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD .∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC .又∵AP ＝a 3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23. ∴PQ ＝23AC ＝232a ＝223a .12．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎬⎫m ⊂αl ∥m⇒l ∥α；②⎭⎬⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α；③⎭⎬⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.13．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 和平面ABD解析 连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .14．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案 6解析 过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE 1，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．15. 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H是B 1C 1的中点．(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . 解析 (1)连接FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2. ∴BG 綊A 1E ，∴A 1G ∥BE . 又∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形，∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB . 故E 、B 、F 、D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点， ∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1， ∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF .∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB . 又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F . 16.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?解析 方法一 如图，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ， ∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC . ∴OM ⊥底面ABC . 又∵EC ＝2FB ， ∴OM ∥FB 綊12EC . ∴四边形OMBF 为矩形． ∴BM ∥OF .又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二 如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ 、PB 、BQ . ∴PQ ∥AE .∵EC ＝2FB ， ∴PE 綊BF ，PB ∥EF .∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF . 又PQ ∩PB ＝P ， ∴平面PBQ ∥平面AEF . 又∵BQ ⊂面PQB ， ∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点． 17.如图，在底面是平行四边形的四棱锥P —ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．解析 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC . 证明：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点． 连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ， 则O 为BD 的中点，连接OE ， 所以BM ∥OE .②由①，②知，平面BFM ∥平面AEC . 又BF ⊂平面BFM ，所以BF ∥平面AEC . 18.(2012·山东)如图，几何体E —ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 解析(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC.因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)方法一如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN ∥平面BEC . 又DM ⊂平面DMN ， 所以DM ∥平面BEC .方法二 如图，延长AD ，BC 交于点F ，连接EF .因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°， 所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°. 因此∠AFB ＝30°. 所以AB ＝12AF . 又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由于点M 是线段AE 的中点， 因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .1．设x ，y ，z 为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x ⊥z ，y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的序号有________．(把所有的真命题全填上)①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 都为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y ，z 都为直线，⑤x ，y 为平面，z 为直线．答案 ③⑤解析 ①直线x 可能在平面y 内；②平面x 与y 可能相交；④直线x 与y 可能相交，也可能异面，故③⑤正确．2．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面P AD .证明 方法一 取CD 中点E ，连接NE 、ME .∵M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∴NE ∥PD ，ME ∥AD .∴NE ∥平面P AD ，ME ∥平面P AD .又NE ∩ME ＝E ，∴平面MNE ∥平面P AD .又MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面P AD .方法二 取PD 中点F ，连接AF 、NF .∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∴NF 綊12CD ，AM 綊12CD .∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形．∴MN ∥AF .又AF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . 3.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D .(1)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)设E 是B 1C 1上的一点，当B 1E EC 1的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．解析 (1)在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥CC 1. 又AD ⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1，且CC 1和C 1D 都在平面BCC 1B 1内，∴AD ⊥平面BCC 1B 1.(2)由(1)得AD ⊥BC .在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点． 当B 1E EC 1＝1，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，∴B 1B ∥DE ，B 1B ＝DE .又B 1B ∥AA 1，且B 1B ＝AA 1，∴DE ∥AA 1，且DE ＝AA 1.∴四边形ADEA 1为平行四边形，∴A 1E ∥AD .而A 1E ⊄平面ADC 1，故A 1E ∥平面ADC 1.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业48
课时作业(四十八)1．下列命题中，正确的是 ( )A ．若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体B ．若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体C ．若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体D ．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台 答案 C解析 A 错，如球．B 错，如平放的圆柱．C 正确．D 错．如正四棱台．2．(2012·新课标全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案 B解析 由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB ＝6，CD ＝3，PC ＝3，CD 垂直平分AB ，且PC ⊥平面ACB ，故所求几何体的体积为13×(12×6×3)×3＝9.3．(2011·新课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为 ( )答案 D解析 根据分析，只能是选项D 中的视图．故选D.4．(2013·衡水调研)一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．1 C.23D.13答案 C解析 由三视图知，该几何体是一棱锥，其底面四边形的对角线互相垂直，且长都为2，棱锥高为1，所以，该几何体的体积为V ＝13×2×12×2×1＝23.5．(2011·江西文)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 ( )答案 D解析 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D 符合．6. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如右图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )答案 C解析 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图可能是C.7．一个空间几何体的三视图如图所示，其主(正)视图是正三角形，边长为1，左(侧)视图是直角三角形，两直角边分别为32 和12，俯视图是等腰直角三角形，斜边为1，则此几何体的体积为 ( )A.32B.33C.312D.324答案 D解析 根据三视图可知此空间几何体为三棱锥，其底面面积为S ＝12×1×12＝14，三棱锥的高为h ＝32，所以几何体的体积为V ＝13Sh ＝13×14×32＝324.8．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是 ( )答案 A解析由作法规则可知O′A′＝2，在原图形中OA＝22，O′C′∥A′B′，OC∥AB，选A.9.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱答案 C10．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是()答案 C解析选项A得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除1；而选项B、D所得几何体的体积都与π有关，排除B、D；易知选项C符合．11．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为()答案 B解析 这个空间几何体的直观图如图所示，由题知，这个空间几何体的侧视图的底面一边长是3，故其侧视图只可能是选项B 中的图形．12．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四面体中，自身三视图完全一样的几何体的序号是________．答案 ②④解析 正方体的三视图都是正方形，球的三视图都是圆．13．下面是长方体积木堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块积木堆成．答案 414．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．答案 22解析 ∵OE ＝(2)2－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24.∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.15．已知一几何体的三视图如下，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号)________．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案 ①③④⑤解析 由三视图知，几何体是正四棱柱．所以从该几何体上任意选择4个顶点，它们所构成的几何图形只可能是：①③④⑤.16．(2012·辽宁)已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若P A ＝26，则△OAB 的面积为________．答案 3 3解析 如图所示，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AC .故可知PC 为球O 直径，则PC 的中点为O ，取AC 的中点为O ′，则OO ′＝12P A ＝ 6.又∵AC ＝(23)2＋(23)2＝26，P A ＝26，∴PC ＝(26)2＋(26)2＝4 3.∴球半径R ＝23，故OC ＝OA ＝OB ＝2 3.又∵AB ＝23，∴△OAB 为等边三角形．∴S △OAB ＝12×23×23×sin60°＝3 3.17.如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．解析 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图，如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，则AD ＝3a .所以该平面图形(侧视图)的面积为S ＝12×3a ×3a ＝32a 2.18．如图是某几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解析 (1)该几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体．由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)(cm 2)．所以几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．1．(2012·安徽)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 答案 ②④⑤解析如图所示，四面体ABCD 中，AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则△ABC ≌△CDA ≌△DCB ≌△BAD ，故②正确；∵△ABC ≌△CDA ≌△BAD ，∴∠BAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB.∴∠BAC＋∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，故③错；取AB，BC，CD，DA的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，PQ，MQ，由此得，MN＝QP＝12AC，NP＝MQ＝12BD.∵BD＝AC，∴MN＝QP＝MQ＝NP.∴四边形MNPQ为菱形．∴对角线相互垂直平分，故④正确，①错误；而⑤正确，如AB，AC，AD 可作为△ABC的三边．2．(2010·北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案 C解析结合正视图和侧视图可知，该空间几何体如图所示，故其俯视图为选项C中的图形．3. (2011·山东文)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0答案 A解析把直三棱柱的一个侧面放在水平面上，当这个直三棱柱的底面三角形的高等于放在水平面上的侧面的宽度就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上即可满足要求，故命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，故命题③是真命题．4．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是() A．①②B．②③C．③④D．①④答案 B解析根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．5．(2013·杭州模拟)如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．①②B．①③C ．②③D ．①④答案 C 6．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是 ( )答案 D解析 通过分析正视图和侧视图，结合该几何体的体积为13，可知该几何体的底面积应为1，因此符合底面积为1的选项仅有D 选项，故该几何体为一个四棱锥，其俯视图为D.7．(2012·合肥调研)已知某一几何体的主视图与左视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 ( )A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④答案 D解析 因几何体的主视图和左视图一样，所以易判断出其俯视图可能为①②③④.8.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，则所截得的图形可能是下图中的________．(把所有可能的图的序号都填上)答案 ①③9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图(或称正视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V －ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64；(2)该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋(82)2＝4 2.另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋(62)2＝5，因此S 侧＝2(12×6×42＋12×8×5)＝40＋24 2.10．已知正三棱锥V －ABC 的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．解析 (1)如右图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴左视图中VA ＝42－(23×32×23)2＝2 3.∴S △VBC ＝12×23×23＝6.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业51
课时作业(五十一)1．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是() A．l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α答案 B解析l1⊥α且l2⊥α⇒l1∥l2.2．(2012·四川)下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，那么经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确．3．设α，β表示平面，m，n表示直线，则m∥α的一个充分不必要条件是() A．α⊥β且m⊥βB．α∩β＝n且m∥nC．m∥n且n∥αD．α∥β且m⊂β答案 D解析若两个平面平行，其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面，故选D.4．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB 的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为() A．10 B．20C．8 D．4答案 B解析设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.5．(2013·衡水调研卷)已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( )A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内 答案 C解析 由直线l 与点P 可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内，选C.6．下列命题中，是假命题的是( )A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B ．平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥aC ．α∥β，γ∥δ，α、β分别与γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥dD ．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 答案 D解析 D 错误．当两个平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面．如下图，α⊥β，直线AB 与α、β都成45°角，但α∩β＝l .7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1. ∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D .∴面MNP∥面BB1C1C，∴MN∥面BB1C1C.8．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的是________．答案③④解析①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m、n相交时才有α∥β，此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l∥γ，β∩γ＝m，l⊂β，∴l∥m.又α∩β＝l，且m⊂β，∴m∥α.又m⊂γ且γ∩α＝n，∴m∥n，故④对．9．如图所示，四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③10. 棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，P A⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面P AD的位置关系为________．答案平行解析取PD的中点F，连接EF.在△PCD中，EF綊12CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF＝12CD且CD＝2AB.∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF. 又∵EB⊄平面P AD，AF⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.11. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案223a解析 如图，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD .∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . 又∵AP ＝a 3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23.∴PQ ＝23AC ＝232a ＝223a .12．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎬⎫m ⊂αl ∥m⇒l ∥α；②⎭⎬⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α；③⎭⎬⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.13．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 和平面ABD解析 连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .14．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案 6解析过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，EF1，EE1，FF1，E1F，E1F1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．15. 如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.解析(1)连接FG.∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.∴BG綊A1E，∴A1G∥BE.又∵C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG綊C1B1綊D1A1.∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綊D1F，∴D1F綊EB.故E、B、F、D1四点共面．(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝32.又B1G＝1，∴B1GB1H＝23.又FCBC＝23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF.∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB. 又由(1)知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.16.如图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?解析方法一如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC.∴OM⊥底面ABC.又∵EC＝2FB，∴OM∥FB綊12EC.∴四边形OMBF为矩形．∴BM∥OF.又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．方法二如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ.∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綊BF，PB∥EF.∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF.又∵BQ⊂面PQB，∴BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．17.如图，在底面是平行四边形的四棱锥P—ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．解析当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC. 证明：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.①由EM＝12PE＝ED，知E是MD的中点．连接BM，BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，所以BM∥OE.②由①，②知，平面BFM∥平面AEC.又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC.18.(2012·山东)如图，几何体E—ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.解析(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC.因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)方法一如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.方法二如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°.因此∠AFB＝30°.所以AB＝12AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.1．设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有________．(把所有的真命题全填上)①x为直线，y，z为平面；②x，y，z都为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y，z都为直线，⑤x，y为平面，z为直线．答案③⑤解析①直线x可能在平面y内；②平面x与y可能相交；④直线x与y可能相交，也可能异面，故③⑤正确．2．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面P AD.证明方法一取CD中点E，连接NE、ME.∵M、N分别是AB、PC的中点，∴NE∥PD，ME∥AD.∴NE∥平面P AD，ME∥平面P AD.又NE∩ME＝E，∴平面MNE∥平面P AD.又MN⊂平面MNE，∴MN∥平面P AD.方法二取PD中点F，连接AF、NF.∵M、N分别为AB、PC的中点，∴NF綊12CD，AM綊12CD.∴AM綊NF.∴四边形AMNF为平行四边形．∴MN∥AF.又AF⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.3.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D.(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)设E是B1C1上的一点，当B1EEC1的值为多少时，A1E∥平面ADC1？请给出证明．解析(1)在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1.又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在平面BCC1B1内，∴AD ⊥平面BCC1B1.(2)由(1)得AD⊥BC.在正三角形ABC中，D是BC的中点．当B1EEC1＝1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，∴B1B∥DE，B1B＝DE.又B1B∥AA1，且B1B＝AA1，∴DE∥AA1，且DE＝AA1.∴四边形ADEA1为平行四边形，∴A1E∥AD.而A1E⊄平面ADC1，故A1E∥平面ADC1.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业25
课时作业(二十五)1．f (x )＝(1－3tan x )cos x ＋2的最小正周期为 ( )A ．2π B.3π2 C ．π D.π2答案 A解析 f (x )＝(1－3sin xcos x )cos x ＋2 ＝cos x －3sin x ＋2＝2cos(x ＋π3)＋2， ∴T ＝2π.2．函数y ＝2cos 2x 的一个单调增区间是 ( )A ．(－π4，π4) B ．(0，π2) C ．(π4，3π4) D ．(π2，π)答案 D解析 y ＝2cos 2x ＝1＋cos2x ， ∴递增区间为2k π＋π≤2x ≤2k π＋2π. ∴k π＋π2≤x ≤k π＋π. ∴k ＝0时，π2≤x ≤π.选D.3．(2013·西城区期末)下列函数中，即为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝tan|x |B ．y ＝cos(－x )C ．y ＝sin(x －π2)D ．y ＝－cos2x 答案 C4．(2013·衡水调研卷)已知f (x )＝sin 2(x ＋π4)．若a ＝f (lg5)，b ＝f (lg 15)，则( ) A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1答案 C解析 利用降幂公式化简f (x )，再利用对数的性质计算a ＋b 或a －b .因为f (x )＝sin 2(x ＋π4)＝1－cos (2x ＋π2)2＝1＋sin2x 2，令lg5＝t ，则lg 15＝－t ，所以a ＝f (lg5)＝1＋sin2t 2，b ＝f (lg 15)＝1－sin2t2，所以a ＋b ＝1，故应选C.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在x ＝π4处取得最小值，则( ) A ．f (x ＋π4)一定是偶函数 B ．f (x ＋π4)一定是奇函数 C ．f (x －π4)一定是偶函数 D ．f (x －π4)一定是奇函数答案 A解析 f (x ＋π4)是f (x )向左平移π4个单位得到的，f (x )图像关于x ＝π4对称，则f (x ＋π4)图像关于x ＝0对称，故f (x ＋π4)为偶函数．6．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈[－π2，0)时，f (x )＝sin x ，则f (－5π3)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 D解析 据题意，由函数的周期性及奇偶性知：f (－5π3)＝f (－5π3＋2π)＝f (π3)＝－f (－π3)＝－sin(－π3)＝32.7．函数y ＝－x cos x 的部分图像是( )答案 D解析 方法一 由函数y ＝－x cos x 是奇函数，知图像关于原点对称．又由当x ∈[0，π2]时，cos x ≥0，有－x cos x ≤0. 当x ∈[－π2，0]时，cos x ≥0，有－x cos x ≥0.∴应选D. 方法二 特殊值法，由f (±π2)＝0， ∵f (π4)＝－π4·cos π4<0，由图像可排除A 、B ， 又∵f (－π4)＝π4·cos π4>0，排除C ，故选D. 8．关于x 的函数f (x )＝sin(πx ＋φ)有以下命题： ①∀φ∈R ，f (x ＋2π)＝f (x )； ②∃φ∈R ，f (x ＋1)＝f (x )； ③∀φ∈R ，f (x )都不是偶函数； ④∃φ∈R ，使f (x )是奇函数． 其中假命题的序号是 ( )A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③答案 A解析 对命题①，取φ＝π时，f (x ＋2π)≠f (x )，命题①错误；如取φ＝2π，则f (x ＋1)＝f (x )，命题②正确；对于命题③，φ＝π2时f (x )＝f (－x )，则命题③错误；如取φ＝π，则f (x )＝sin(πx ＋π)＝－sinπx ，命题④正确．9．(2011·全国课标理)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在(0，π2)单调递减 B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减 C ．f (x )在(0，π2)单调递增 D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增 答案 A解析 y ＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，由最小正周期为π，得ω＝2，又由f (－x )＝f (x )可知f (x )为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π4，所以y ＝2cos2x ，在(0，π2)单调递减．10．已知函数y ＝sin w x 在[－π3，π3]上是减函数，则w 的取值范围是( ) A ．[－32，0) B ．[－3,0) C ．(0，32] D ．(0,3]答案 A解析 由题意可知，ω<0，且有⎪⎪⎪⎪⎪⎪π3ω≤π2.∴－32≤ω<0.11．函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M 答案 C解析 方法一(特值法)：取M ＝2，w ＝1，φ＝0画图像即得答案． 方法二：T ＝2πw ，g (x )＝M cos(w x ＋φ)＝M ·sin(w x ＋φ＋π2)＝M ·sin[w (x ＋π2w )＋φ]，∴g (x )的图像是由f (x )的图像向左平移π2w (即T4)得到的由b －a ＝T2，可知，g (x )的图像由f (x )的图像向左平移b －a 2得到的． ∴得到g (x )图像如图所示．选C.12．设f (x )＝x sin x ，若x 1、x 2∈[－π2，π2]，且f (x 1)>f (x 2)，则下列结论中，必成立的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2>0C ．x 1<x 2D ．x 21>x 22答案 D13．(2012·衡水调研卷)将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是( )A ．(π2，0) B ．(π4，0) C ．(π9，0) D ．(π16，0)答案 A解析 将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数y ＝sin(2x ＋π4)的图像，再向右平移π8个单位，得到函数f (x )＝sin[2(x －π8)＋π4]＝sin2x 的图像，而f (π2)＝0，故选A.14．(2011·山东文)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝( )A.23 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 由于函数f (x )＝sin ωx 的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像可知，π3为这个函数的四分之一周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.15．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－(－2π3)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.16．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的初相是________．答案 23π解析 f ′(x )＝cos x －a sin x ，∵x ＝5π3为函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的一条对称轴， ∴f ′(5π3)＝cos 5π3－a sin 5π3＝0，解得a ＝－33. ∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233(－12sin x ＋32cos x ) ＝233sin(x ＋2π3)．17．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的周期、对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调增区间．答案 (1)T ＝π，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) (2)[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )解析 f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)． (1)f (x )的周期T ＝π，函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． (2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得kx －π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． ∴函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． 18．已知f (x )＝2sin(x ＋θ2)·cos(x ＋θ2)＋23cos 2(x ＋θ2)－ 3.(1)化简f (x )的解析式，并求其最小正周期； (2)若0≤θ≤π，求θ，使函数f (x )为偶函数；(3)在(2)成立的条件下，求满足f (x )＝1，x ∈[－π，π]的x 的集合． 解析 (1)f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin(2x ＋θ＋π3)， ∴T ＝2πω＝2π2＝π.(2)由于θ∈[0，π]要使f (x )为偶函数， ∴θ＋π3＝π2，∴θ＝π6.(3)在(2)成立的条件下，f (x )＝2cos2x . 由2cos2x ＝1，∴cos2x ＝12，∵x ∈[－π，π]， ∴x ＝－π6或x ＝π6.∴x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，π6.19．(2012·北京)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．解析 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )． 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x ＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．1．(2013·东北四校模拟)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( )A ．[－π8，3π8]B ．[5π8，9π8]C ．[－3π8，π8] D ．[π8，5π8]答案 D解析 f (π8)＝－2， ∴－2sin(2×π8＋φ)＝－2， 即sin(π4＋φ)＝1. ∵|φ|<π，∴φ＝π4. ∴f (x )＝－2sin(2x ＋π4)． 由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，得 k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )． 当k ＝0时，π8≤x ≤5π8.2．已知函数y ＝2sin(w x ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y ＝2的某两个交点横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．w ＝2，θ＝π2 B ．w ＝－12，θ＝π2 C ．w ＝12，θ＝π4D ．w ＝2，θ＝π4答案 A解析 ∵y ＝2sin(w x ＋θ)为偶函数，∴θ＝π2. ∵图像与直线y ＝2的两个交点横坐标为 x 1，x 2，|x 2－x 1|min ＝π，即T ＝π.3．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C 解析 周期T ＝2ππ3＝6.由题意，T ＋T4≤t ，得t ≥7.5.故选C. 4．函数g (x )＝sin 22x 的单调递增区间是 ( )A ．[k π2，k π2＋π4](k ∈Z ) B ．[k π，k π＋π4](k ∈Z ) C ．[k π2＋π4，k π2＋π2](k ∈Z ) D ．[k π＋π4，k π＋π2](k ∈Z ) 答案 A5．(2012·冀州中学模拟)如果关于x 的不等式f (x )<0和g (x )<0的解集分别为(a ，b )，(1b ，1a )，那么称这两个不等式为“对偶不等式”，如果不等式x 2－43x ·cos2θ＋2<0与不等式2x 2＋4x sin2θ＋1<0为“对偶不等式”，且θ∈(π2，π)，那么θ＝________.答案 5π6解析 设x 2－43x cos2θ＋2<0解集为(a ，b )， 则2x 2＋4x sin2θ＋1<0解集为(1b ，1a )．∴a ＋b ＝43cos2θ，ab ＝2， 1a ＋1b ＝－2sin2θ.又1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝43cos2θ2＝23cos2θ， ∴23cos2θ＝－2sin2θ. ∴tan2θ＝－ 3.又θ∈(π2，π)，∴2θ∈(π，2π)． ∴2θ＝5π3，θ＝5π6.6．已知函数f (x )＝m sin x ＋n cos x ，且f (π4)是它的最大值(其中m ，n 为常数且mn ≠0)，给出下列命题：①f (x ＋π4)为偶函数；②函数f (x )的图像关于点(7π4，0)对称； ③f (－3π4)是函数f (x )的最小值； ④函数f (x )的图像在y 轴右侧与直线y ＝m2的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，…，则|P 2P 4|＝π；⑤m n ＝1.其中真命题是________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ①②③⑤解析 由题意得f (x )＝m sin x ＋n cos x ＝m 2＋n 2sin(x ＋φ)(tan φ＝nm )． 因为f (π4)是它的最大值，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π4. 所以f (x )＝m 2＋n 2sin(x ＋2k π＋π4)＝m 2＋n 2sin(x ＋π4)． 且tan φ＝n m ＝tan(2k π＋π4)＝1，即n m ＝1.故f (x )＝2|m |sin(x ＋π4)．①f (x ＋π4)＝2|m |sin(x ＋π4＋π4)＝2|m |cos x ，为偶函数，①正确；②当x ＝7π4时，f (7π4)＝2|m |sin(π4＋7π4) ＝2|m |sin2π＝0，所以f (x )的图像关于点(7π4，0)对称，②正确；③f (－3π4)＝2|m |sin(π4－3π4)＝－2|m |sin π2 ＝－2|m |，取得最小值，③正确；④根据f (x )＝2|m |sin(x ＋π4)可得其周期为2π，由题意可得P 2与P 4相差一个周期2π，即|P 2P 4|＝2π，④错误；⑤m n ＝1，显然成立，⑤正确．7．已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，f (x )－3≥m 恒成立，试确定m 的取值范围．答案 (1)π [π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z ) (2)(－∞，－3]解析 (1)f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ＋1＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1.因此函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递减区间为[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．(2)当x ∈[－π6，π3]时，2x ＋π6∈[－π6，5π6]，所以－1≤2sin(2x ＋π6)≤2，因此0≤f (x )≤3.因为f (x )－3≥m 恒成立，所以m ≤f (x )min －3＝0－3＝－3.故m 的取值范围是(－∞，－3]．8．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．解析 (1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos2x －sin2x＝－2sin(2x ＋π3)，∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈[－π3，π3]，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1.∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin(2x ＋π3)单调递减时，f (x )单调递增， ∴π2≤2x ＋π3≤π，即π12≤x ≤π3.故f (x )的单调递增区间为[π12，π3]．9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像(如下图)．(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g (x )＝f (x )－cos2x ，求函数g (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解析 (1)由题图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2.所以T ＝π.所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin(2×π6＋φ)＝1.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.所以f (x )的解析式为f (x )＝sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝f (x )－cos2x ＝sin(2x ＋π6)－cos2x＝sin2x cos π6＋cos2x sin π6－cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)．因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2π－π6≤5π6.当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，g (x )有最大值，最大值为1；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，g (x )有最小值，最小值为－12. 10．已知函数f (x )＝sin x cos φ＋cos x sin φ(其中x ∈R,0<φ<π)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (2x ＋π4)的图像关于直线x ＝π6对称，求φ的值．解析 (1)∵f (x )＝sin(x ＋φ)，∴函数f (x )的最小正周期为2π.(2)函数y ＝f (2x ＋π4)＝sin(2x ＋π4＋φ)，y ＝sin x 的图像的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，令2x ＋π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，将x ＝π6代入上式，得φ＝k π－π12(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝11π12.11．(2011·浙江文)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2.y ＝f (x )的部分图像如图所示，P ，Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解析 (1)由题意，得T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图像上， 所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )．由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．如图，连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理，得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)2A ·9＋A2＝－12，解得A 2＝3. 又A >0，所以A ＝ 3.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业20
课时作业(二十)1．下列命题为真命题的是()A．角α＝kπ＋π3(k∈Z)是第一象限角B．若sinα＝sin π7，则α＝π7C．－300°角与60°角的终边相同D．若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则A＝B答案 C2．与－463°终边相同的角的集合是() A．{α|α＝k·360°＋463°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋103°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋257°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－257°，k∈Z}答案 C解析显然当k＝－2时，k·360°＋257°＝－463°，故选C.3．若600°角的终边上有一点P(－4，a)，则a的值为() A．43B．－4 3C．±4 3 D. 3答案 B解析tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3＝a－4，∴a＝－4 3.4．sin 2·cos 3·tan 4的值() A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案 A解析∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是() A．2 B．2sin1C.2sin1D．sin2答案 C解析∵2R sin1＝2，∴R＝1sin1，l＝|α|R＝2sin1，故选C.6．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C<0，则△ABC的形状是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定答案 B解析∵△ABC中每个角都在(0，π)内，∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.若B，C同为锐角，则cos B·tan C>0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B.7．已知点P(sin 3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.π4 B.3π4C.5π4 D.7π4答案 D解析由sin 3π4>0，cos3π4<0知角θ在第四象限，∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.8．(2013·临沂模拟)若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析∵A、B是锐角△ABC的两个内角，∴A＋B>90°，即A>90°－B.∴sin A>sin(90°－B)＝cos B，cos A<cos(90°－B)＝sin B.∴cos B－sin A<0，sin B－cos A>0.∴点P在第二象限．故选B.9．下列三角函数值结果为正的是() A．cos100°B．sin700°C．tan(－2π3) D．sin(－9π4)答案 C解析100°为第二象限角，cos100°<0；700°＝2×360°－20°，为第四象限角，∴sin700°<0；－2π3为第三象限角，tan(－2π3)>0；－9π4＝－2π－π4为第四象限角．∴sin(－9π4)<0.10．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是()A．sinθ>cosθ>tanθB．cosθ>tanθ>sinθC．sinθ>tanθ>cosθD．tanθ>sinθ>cosθ答案 D解析∵π4<θ<π2，∴tanθ>1，sinθ－cosθ＝2sin(θ－π4)．∵π4<θ<π2，0<θ－π4<π4，∴sin(θ－π4)>0，∴sinθ>cosθ.11．给出四个命题①若α∈(0，π2)，则sinα<α；②若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1；③若α、β为第一象限角且α>β，则sinα>sinβ；④cos2>0.以上命题为真命题的有________．答案①②12．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．答案25π，910π，75π，1910π解析由已知θ＝2kπ＋8π5(k∈Z)．∴θ4＝kπ2＋2π5(k∈Z)．由0≤kπ2＋2π5≤2π，得－45≤k≤165.∵k∈Z，∴k＝0,1,2,3.∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π.13．若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝34，则a的值为________．答案－43或－43 3解析方法一依题意可知角α的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝34，易得tanα＝3或33，则a＝－43或－433.方法二∵sinα·cosα＝34>0，∴sinα·cosα同号．∴角α在第三象限，即P(－4，a)在第三象限，∴a<0.根据三角函数的定义a16＋a2·－416＋a2＝34，解得a＝－43或a＝－43 3.14．如果θ是第二象限角，且cos θ2－sin θ2＝1－sinθ，那么θ2所在象限为第________象限．答案三解析∵cos θ2－sinθ2＝1－sinθ＝|cosθ2－sinθ2|，∴cos θ2≥sinθ2，∴2kπ－3π4≤θ2≤2kπ＋π4，k∈Z.又∵2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋π4＜θ2＜kπ＋π2，∴2kπ＋5π4＜θ2＜2kπ＋3π2.故θ2为第三象限角．15．若0<α<β<π2，则下列不等式正确的是________．①sinα＋sinβ<α＋β②α＋sinβ<sinα＋β③α·sinα<β·sinβ④β·sinα<α·sinβ答案①②③解析由已知得sinα<α，sinβ<β，0<sinα<sinβ，因此sinα＋sinβ<α＋β，即选项①正确．α·sinα<β·sinβ，即选项③正确．构造函数f(x)＝x－sin x(其中x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，因此函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f(α)<f(β)，即α－sinα<β－sinβ，α＋sinβ<sinα＋β，选项②正确．对于选项D，当α＝π6，β＝π3时，β·sinα＝π6>π6·32＝α·sinβ，选项④不正确．16．扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．答案7＋439解析设内切圆的半径为r，扇形半径为R，则(R－r)sin60°＝r.∴R＝(1＋23)r.∴S扇形S圆＝12·2π3R2πr2＝13(Rr)2＝13(1＋23)2＝7＋439.17．(教材习题改编)若α的终边落在x＋y＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.答案 －225°，－45°，135°，315°解析 若角α终边落在Ⅱ象限，∴{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }． 若角α的终边落在Ⅳ象限内，∴{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }． ∴α终边落在x ＋y ＝0上角的集合为{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }∪{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z } ＝{α|α＝3π4＋k π，k ∈Z }．令－360°≤135°＋k ·180°≤360°，∴k ＝{－2，－1,0,1}． ∴相应的角－225°，－45°，135°，315°.18．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．求sin(α＋π6)的值．答案1＋266解析 由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13. 故sin(α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.1．已知θ是第一象限的角，且|sin θ2|＝－sin θ2，则θ2是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C解析 θ是第一象限的角，∴2k π<θ <π2＋2k π(k ∈Z )． ∴k π<θ2<π4＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第一象限的角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， π＋2n π<θ2<5π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第三象限的角； 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，所以sin θ2≤0. 在θ2是第一象限角和第三象限角中只有第三象限角满足sin θ2≤0.故选C. 2．已知－360°≤β＜0°且β与α＝70°的终边关于直线y ＝x 对称，则β＝________.答案 －340°3．已知tan θ<0，且角θ终边上一点为(－1，y )，且cos θ＝－12，则y ＝________. 答案3解析 ∵cos θ＝－12<0，tan θ<0， ∴θ为第二象限角，则y >0. ∴由－11＋y 2＝－12，得y ＝ 3. 4．表盘上零点时，时针与分针重合，再次重合时时针和分针各转过了多少弧度？答案 分针转过了－24π11弧度，时针转过了－2π11弧度 解析 设经过t 小时两针再重合，∵分针每小时转－2π弧度，时针每小时转－π6弧度， ∴－π6t －2π＝－2πt ，解得t ＝1211.∴分针转过了－24π11弧度，时针转过了－2π11弧度．5．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，试判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值． 解析 依题意，P 到原点O 的距离为|PO |＝(－3)2＋y 2， ∴sin α＝y r ＝y 3＋y 2＝34y .∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16，∴y 2＝73，y ＝±213. ∴点P 在第二或第三象限．当P 在第二象限时，y ＝213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝－73.当P 在第三象限时，y ＝－213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝736．点P 为圆x 2＋y 2＝4与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周顺时针旋转至点P ′，当转过的弧长为2π3时，求点P ′的坐标．答案 P ′(1，－3)解析 点P 所转过的角POP ′的弧度数为α＝－2π32＝－π3.又|OP ′|＝2， ∴点P ′的横坐标x ＝2· cos(－π3)＝1，纵坐标y ＝2·sin(－π3)＝－3，∴P ′(1，－3)．7．(1)如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限． (2)若θ是第二象限角，试判断sin (cos θ)cos (sin2θ)的符号是什么？思路 (1)由点P 所在的象限，可知sin θ、cos θ的符号，进而判断θ所在的象限．(2)由θ可判断cos θ，sin2θ的范围，把cos θ，sin2θ看作一个角，再判断sin(cos θ)，cos(sin2θ)的符号．解析 (1)因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ<0.所以θ为第二象限角． (2)∵2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴－1<cos θ<0,4k π＋π<2θ<4k π＋2π，－1≤sin2θ<0. ∴sin(cos θ)<0，cos(sin2θ)>0.sin c osθcos s in2θ<0.∴sin c osθcos s in2θ的符号是负号．∴。
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课时作业(五十二)1．已知不同直线m、n及不重合平面α、β，给出下列结论：①m⊂α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β②m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β③m⊂α，n⊂α，m∥n⇒α∥β④m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β其中的假命题有() A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析①为假命题，m不一定与平面β垂直，所以平面α与β不一定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③没有任何实质意义．只有④是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．2．(2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，则根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α.又因为a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β答案 D解析对于选项A，两平面β、γ同垂直于平面α，平面β与平面γ可能平行，也可能相交；对于选项B，平面α、β可能平行，也可能相交；对于选项C，直线n可能与平面α平行，也可能在平面α内；对于选项D，由m∥n，m⊥α，∴n⊥α.又n⊥β，∴α∥β，故选D.4．(2011·浙江理)下列命题中错误的是() A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案 D解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．5．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β答案 B解析对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面；对于选项C，α与β也可能相交；对于选项D，α与β也可能相交．故选B.6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A－EFH中必有()A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D ．HG ⊥△AEF 所在平面 答案 A解析 ∵AD ⊥DF ，AB ⊥BE ， 又∵B 、C 、D 重合记为H ， ∴AH ⊥HF ，AH ⊥HE . ∴AH ⊥面EFH .7．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13 答案 B解析 取BD 的中点O ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴A ′O ⊥平面BCD .∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD ，假设A ′C ⊥BD ，∵OC 为A ′C 在平面BCD 内的射影，∴OC ⊥BD ，矛盾，∴A ′C 不垂直于BD .A 错误；∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，A ′C 在平面A ′BD 内的射影为A ′D ，∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，A ′B ⊥A ′C ，B 正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误；V A ′－BCD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，D 错误，故选B.8. 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的距离为( )A.63aB.66aC.22aD.12a答案 A解析 设点C 到平面A 1DM 的距离为h ，则由已知得 DM ＝A 1M ＝a 2＋(a 2)2＝52a ，A 1D ＝2a ，S △A 1DM ＝12×2a ×(52a )2－(22a )2＝64a 2，连接CM ，S △CDM ＝12a 2，由VC －A 1DM ＝VA 1－CDM ，得 13S △A 1DM ·h ＝13S △CDM ·a ，即64a 2·h ＝12a 2·a . 所以h ＝63a ，即点C 到平面A 1DM 的距离为63a ，选A.9. 如图所示，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的正投影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC . 其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 由题意知P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC . 又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC . ∴AF ⊥PB ，AF ⊥BC .又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF .∴PB ⊥EF .故①②③正确．10．四面体ABCD 中，AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝22AC ，∠BDC ＝90°.求证：BD ⊥平面ACD . 证明如图所示，取CD 的中点G ，连接EG 、FG 、EF . ∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点， ∴EG 綊12AC ，FG 綊12BD . 又AC ＝BD ，∴FG ＝12AC .∴在△EFG 中，EG 2＋FG 2＝12AC 2＝EF 2. ∴EG ⊥FG .∴BD ⊥AC .又∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ， ∴BD ⊥平面ACD .11. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AB ⊥BB 1，AC ＝BC ＝BB 1＝2，D 为AB 的中点，且CD ⊥DA 1.(1)求证：BB 1⊥平面ABC ； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D ； (3)求三棱锥B 1－A 1DC 的体积．解析 (1)证明：∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点， ∴CD ⊥AB .又∵CD ⊥DA 1， ∴CD ⊥平面ABB 1A 1. ∴CD ⊥BB 1.又BB 1⊥AB ，AB ∩CD ＝D ， ∴BB 1⊥平面ABC .(2)证明：连接BC 1，连接AC 1交CA 1于E ，连接DE ，易知E 是AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，则DE ∥BC 1. 又DE ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .(3)由(1)知CD ⊥平面AA 1B 1B ， 故CD 是三棱锥C －A 1B 1D 的高， 在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝2， ∴AB ＝22，CD ＝ 2.又BB 1＝2，∴VB 1－A 1DC ＝VC －A 1B 1D ＝13S △A 1B 1D ·CD ＝16A 1B 1×B 1B ×CD ＝16×22×2×2＝43.12. (2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .证明 (1)因为ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点， 所以A 1F ⊥B 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F .又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .13. (2012·新课标)如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 解析 (1)证明：由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC . 由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°， 所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC . 又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC . 又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC . (2)设棱锥B —DACC 1的体积为V 1，AC ＝1. 由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12. 又三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积V ＝1， 所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.14．(2012·江西)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG .(1)求证：平面DEG ⊥平面CFG ； (2)求多面体CDEFG 的体积．解析 (1)证明：因为DE ⊥EF ，CF ⊥EF ， 所以四边形CDEF 为矩形．由GD ＝5，DE ＝4，得 GE ＝GD 2－DE 2＝3. 由GC ＝42，CF ＝4，得 FG ＝GC 2－CF 2＝4. 所以EF ＝5.在△EFG 中，有EF 2＝GE 2＋FG 2， 所以EG ⊥GF .又因为CF ⊥EF ，CF ⊥FG ，所以CF ⊥平面EFG . 所以CF ⊥EG .所以EG ⊥平面CFG ，即平面DEG ⊥平面CFG . (2)在平面EGF 中，过点G 作GH ⊥EF 于点H ， 则GH ＝EG ·GF EF ＝125.因为平面CDEF ⊥平面EFG ，所以GH ⊥平面CDEF . 所以V CDEFG ＝13S CDEF ·GH ＝16.15．(2012·广东)如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E —BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .解析 (1)由于AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， 故AB ⊥PH .又∵PH 为△P AD 中AD 边上的高， 故AD ⊥PH .∵AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PH ⊥平面ABCD .(2)由于PH ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点，PH ＝1，故E 到平面ABCD 的距离h ＝12PH ＝12.又因为AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥CD . 故S △BFC ＝12·CF ·AD ＝12×1×2＝22. 因此V E －BCF ＝13S △BCF ·h ＝13×22×12＝212. (3)证明：过E 作EG ∥AB 交P A 于G ，连接DG . 由于E 为PB 的中点，所以G 为P A 的中点．因为DA ＝DP ，故△DP A 为等腰三角形，所以DG ⊥P A .∵AB ⊥平面P AD ，DG ⊂平面P AD ， ∴AB ⊥DG .又∵AB ∩P A ＝A ，AB ⊂平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴DG ⊥平面P AB .又∵GE 綊12AB ，DF 綊12AB ，∴GE 綊DF .∴四边形DFEG 为平行四边形．故DG ∥EF ，于是EF ⊥平面P AB .1. 如图，已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 证明 (1)连接AC ，∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥AC ，在Rt △P AC 中，N 为PC 中点． ∴AN ＝12PC .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC . 又BC ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥PB .从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12PC .∴AN ＝BN ，∴△ABN 为等腰三角形．又M 为底边的中点，∴MN ⊥AB ，又AB ∥CD ，∴MN ⊥CD . (2)∵∠PDA ＝45°，P A ⊥AD ，∴AP ＝AD . ∵ABCD 为矩形．∴AD ＝BC ，∴P A ＝BC . 又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM .而∠P AM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM，又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由(1)知MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.2. 如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB 于E，过E作EF⊥SC交SC于F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.证明(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC且SA∩AB＝A.∴BC⊥平面SAB.又∵AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE且SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC.又∵SC⊂平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC且AE∩EF＝E，∴SC⊥平面AEF.又∵AF⊂平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD.又AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC.又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD.3. (2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB ＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.解析(1)在△P AD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面P AD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面P AD.4．直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？证明你的结论．解析(1)证明：∵直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，∴AC ＝2，∠CAB ＝45°.∴BC ＝ 2.∵BC 2＋AC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC . 又BB 1∩BC ＝B ，BB 1⊂平面BB 1C 1C ， BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C . (2)存在点P ，P 为A 1B 1的中点．由P 为A 1B 1的中点，有PB 1∥AB ，且PB 1＝12AB . 又∵DC ∥AB ，DC ＝12AB ， ∴DC ⊥PB 1，且DC ＝PB 1.∴DCB 1P 为平行四边形，从而CB 1∥DP . 又CB 1⊂平面ACB 1，DP ⊄平面ACB 1， ∴DP ∥平面ACB 1. 同理，DP ∥平面BCB 1.5. (2011·安徽理)如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形．(1)证明：直线BC ∥EF ； (2)求棱锥F －OBED 的体积．解析 (1)(综合法)设G 是线段DA 与线段EB 延长线的交点，由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以OB 綊12DE ，OG ＝OD ＝2.同理，设G ′是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有OG ′＝OD ＝2.又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上，所以G 与G ′重合．在△GED 和△GFD 中，由OB 綊12DE 和OC 綊12DF ，可知B ，C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF .(向量法)过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，连接QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，QE →为x 轴正向，QD →为y 轴正向，QF →为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系．由条件E (3，0,0)，F (0,0，3)， B (32，－32，0)，C (0，－32，32)． 则有BC →＝(－32，0，32)， EF →＝(－3，0，3)． 所以EF →＝2BC →，即得BC ∥EF .(2)由OB ＝1，OE ＝2，∠EOB ＝60°，知S EOB ＝32，而△OED 是边长为2的正三角形，故S OED ＝3，所以S OBED ＝S EOB ＋S OED ＝332.过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F －OBED 的高，且FQ ＝3，所以V F －OBED ＝13FQ ·S OBED ＝32.6. (2011·辽宁文)如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值． 解析 (1)由条件知PDAQ 为直角梯形．因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC .在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD . 又DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ .(2)设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高，而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.7. (2012·潍坊质量抽测)已知三棱锥S －ABC 中，平面ASC ⊥平面ABC ，O 、D 分别为AC 、AB 的中点，AS ＝CS ＝CD ＝AD ＝22AC .(1)求证：平面ASC ⊥平面BCS ； (2)设AC ＝2，求三棱锥S －BCD 的体积．解析 (1)证明：连接SO ，OD ，因为AS ＝CS ＝CD ＝AD ＝22AC ，O 为AC 的中点，所以SO ⊥AC ，OD ⊥AC .又D 为AB 的中点，∴OD ∥BC .∴BC ⊥AC .又平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC ， 所以SO ⊥平面ABC .所以SO ⊥BC . 又SO ∩AC ＝O ，故BC ⊥平面SAC .又BC ⊂平面BCS ，所以平面ASC ⊥平面BCS . (2)由(1)知，SO 为三棱锥S －BCD 的高．因为AC ＝2，所以AS ＝SC ＝2，AO ＝12AC ＝1，AB ＝2AD ＝2AC ＝22，所以BC ＝AB 2－AC 2＝2，SO ＝AS 2－AO 2＝(2)2－12＝1.∴S △BCD ＝12S △ABC ＝12·12AC ·BC ＝14×2×2＝1， ∴V S －BCD ＝13·S △BCD ·SO ＝13×1×1＝13.8．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 、G 分别是AB 、DF 的中点．(1)求证：CM ⊥平面FDM ；(2)在线段AD 上(含A 、D 端点)确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明；(3)一只小飞虫在几何体ADF —BCE 内自由飞，求它飞入几何体F —AMCD 内的概率．解析 由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF ，DF ＝AD .(1)证明：∵FD ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ， ∴FD ⊥CM .在矩形ABCD 中，CD ＝2a ，AD ＝a ，M 为AB 中点，DM ＝CM ＝2a . ∴CM ⊥DM .∵FD ∩DM ＝D ， ∴CM ⊥平面FDM . (2)点P 在A 点处．方法一 取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA . ∵G 是DF 的中点，GS ∥FC ，AS ∥CM ， ∴面GSA ∥面FMC .而GA ⊂平面GSA ， ∴GA ∥平面FMC .方法二 取FC 中点N ，连接AG 、GN 、NM ，由GN 綊12DC . 又AM 綊12DC ，∴AM 綊GN .∴四边形AGNM 为平行四边形．∴AG ∥NM . 又NM ⊂面FMC ，故AG ∥平面FMC . (3)V F －AMCD ＝13S AMCD ×DF ＝12a 3， V ADF －BCE ＝a 3，∴概率为V F －AMCD V ADF －BCE ＝12.。