2014-2015学年高中数学 第3章 独立性检验同步练习 北师大版选修2-3
北师大版数学【选修2-3】练习：3.2 独立性检验(含答案)
第三章 §2一、选择题1．独立性检验显示：有90%的把握认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是( )A ．在100个男性中约有90个人爱喝酒B ．若某人爱喝酒，那么此人为男性的可能性为90%C ．判断出错的可能性为10%D ．有90%的把握认为10个男性中有9个人爱喝酒 [答案] C2．提出统计假设H 0，计算出χ2的值，即拒绝H 0的是( ) A ．χ2＝6.635 B ．χ2＝2.63 C ．χ2＝0.725 D ．χ2＝1.832[答案] A[解析] 依据独立性检验的思想及其结论的应用，应选A.3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] C[解析] 根据独立性检验的思想方法，正确选项为C. 二、填空题4．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是____________________________________．[答案] 男正教授人数，副教授人数；女正教授人数，副教授人数．5．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表．能以________的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.[答案] 90%[解析] 由列联表可以看出a ＝24，b ＝31，c ＝8，d ＝26，a ＋b ＝55，c ＋d ＝34，a ＋c ＝32，b ＋d ＝57，n ＝a ＋b ＋c ＋d ＝89，代入公式χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )得χ2＝89×(24×26－31×8)255×34×32×57≈3.689，由于χ2≈3.689>2.706，∴我们有90%的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系． 三、解答题6．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：[分析] 先计算χ2的数值，然后比较χ2与3.841及6.635的大小，进而得出是否有关的结论．[解析] 由公式得χ2＝540(60×200－260×20)2320×220×80×460＝540(12 000－5 200)22 590 720 000＝2 496 960259 072≈9.638.∴9.638>6.635，∴有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．[点评]本题利用χ2公式计算出χ2的值，再利用临界性的大小关系来判断假设是否成立，解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，要准确进行比较与判断.一、选择题1．(2014·江西理，6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()A．成绩B．视力C．智商D．阅读量[答案] D[解析]根据χ2计算公式可知，阅读量与性别相关数据较大，所以选D.2．在一次独立性检验中，其把握性超过99%，则随机变量χ2的一个可能的值为() A．6.635 B．5.024C．7.897 D．3.841[答案] C[解析]若有99%把握，则χ2＞6.635，只有C满足条件．3．分类变量X和Y的列联表如下，则()A.ad－bcB．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强C ．(ad －bc )2越大，说明X 与Y 的关系越强D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强 [答案] C[解析] 由统计量χ2的计算公式计算χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )可知(ad －bc )2越大，则计算出的统计量的值也越大，而统计量越大，说明(ad －bc )2越大，故选C.4．根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有( )A.90% C ．97.5% D ．99.9%[答案] D[解析] 由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )得其观测值k ＝9 965×(7 775×49－2 099×42)27 817×2 148×9 874×91≈56.632>10.828.故有99.9%的把握认为患肝病与嗜酒有关系，答案选D.5．为了研究性格和血型的关系，抽查80人实验，血型和性格情况如下：O 型或A 型者是内向型的有18人，外向型的有22人，B 型或AB 型是内向型的有12人，是外向型的有28人，则有多大的把握认为性格与血型有关系( )A.99.9% B ．99%C ．没有充分的证据显示有关D ．1% [答案] C [解析]χ2＝n (n 11n 22－12n 21)50×30×40×40＝80×(22×12－28×18)50×30×40×40≈1.92<2.706，∴没有充分的证据显示有关．二、填空题6．在一次打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算得χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是____________的．填(“有关”或“无关”)[答案] 有关[解析] ∵27.63＞6.635∴打鼾与患心脏病有关的可能性很大，我们可以有99%的把握这么认为．7．为了了解小学生是否喜欢吃零食与性别之间的关系，调查者随机调查了89名小学生的情况，得到的数据如下表(单位：人)：[答案] 3.689[解析] χ2＝89×(24×26－31×8)255×34×32×57≈3.689.三、解答题8．在某医院，因为患心脏病而住院的655名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中，有175人秃顶．根据以上数据判断男性病人的秃顶是否与患心脏病有关．[解析] 问题是判断男性病人的秃顶是否与患心脏病有关．计算得到下表(单位：人)由公式计算得χ2＝1437×(214×597－175×451)389×1048×665×772≈16.373.因为16.373>6.635，所以有99%以上的把握认为男性病人的秃顶与患心脏病有关．9．为检验回答一个问题的对错是否和性别有关，有人作了一个调查，其中女生人数是男生人数的12，男生答对人数占男生人数的56，女生答错人数占女生人数的23.(1)若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至少有多少人？ (2)若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有多少人？ [分析] 若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，说明χ2>6.635；没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，说明χ2≤2.706.设出男生人数，并且它分别表示各类别人数，代入χ2的计算公式，建立不等式求解即可．[解析] 设男生人数为x ，依题意可得2×2列联表如下：(1)若有99%， 由χ2＝3x 2·(5x 6·x 3－x 6·x 6)2x ·x 2·x 2·x ＝3x 8>6.635，解得x >17.693.因为x 2，x 6，x3为整数，所以若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至少有18人．(2)没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则χ2≤3.841. 由χ2＝3x 2·(5x 6·x 3－x 6·x 6)2x ·x 2·x 2·x ＝3x8≤2.706，解得x ≤7.216.因为x 2，x 3，x6为整数，所以若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有6人．[点评] 本题是逆向型思维问题，即将根据已知数据判断相关性问题变式为了一道由已知相关性求表中的字母数据问题，同时也是一个独立性检验和不等式的综合问题，解答时要注意理解“至少”“至多”的含义，充分建立不等式(组)来解决．10．为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .(1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；(2)下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表②完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：附：χ2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)[解析]2×2列联表等统计学知识．解题思路是(1)古典概型的概率公式的应用，需用到组合数公式．(2)绘制频率分布直方图，并从图中观察出中位数进行比较，(3)从频率分布表中读取数值填制2×2列联表并计算χ2与临界值比较，说明是否有关．解：(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为p ＝2C 99198C 100200＝100199.(2)①可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数．②表3：χ2＝200×(70×65－35×30)100×100×105×95≈24.56，由于χ2>10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．[点评] 本题比较新颖，将统计学与古典概型、组合联系在一起，难度不大，但考查知识全面，而且还需要一定的识图表能力，是今年命题一热点方向．。
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第三章§2一、选择题1.独立性检验显示：有90%的把握认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是( )A．在100 个男性中约有90 个人爱喝酒B．若某人爱喝酒，那么此人为男性的可能性为90%C．判断出错的可能性为10%D．有90%的把握认为10 个男性中有9 个人爱喝酒[答案] C2.提出统计假设H0，计算出χ2 的值，即拒绝H0的是( )A．χ2＝6.635 B．χ2＝2.63C．χ2＝0.725 D．χ2＝1.832[答案] A[解析] 依据独立性检验的思想及其结论的应用，应选A.3.通过随机询问110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110n(ad－bc)2 110 × (40 × 30－20 × 20)2由K2＝算得，K2＝≈7.8.(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) 60 × 50 × 60 × 50 附表：A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”[答案] C[解析] 根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.二、填空题4.某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是．[答案] 男正教授人数，副教授人数；女正教授人数，副教授人数．5.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表．能以的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.[答案] 90%[解析] 由列联表可以看出a＝24，b＝31，c＝8，d＝26，a＋b＝55，c＋d＝34，a＋c＝32，b＋d＝57，n＝a＋b＋c＋d＝89，n(ad－bc)2代入公式χ2＝得(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)89 × (24 × 26－31 × 8)2χ2＝55 × 34 × 32 × 57≈3.689，由于χ2≈3.689>2.706，∴我们有90%的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系．三、解答题6.为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540 名40 岁以上的人的调查结果如下：[分析] 先计算χ2 的数值，然后比较χ2 与3.841 及6.635 的大小，进而得出是否有关的结论．540(60 × 200－260 × 20)2[解析] 由公式得χ2＝320 × 220 × 80 × 460540(12 000－5 200)2 2 496 960＝2 590 720 000 ＝259 072≈9.638.∴9.638>6.635，∴有99%的把握说40 岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．[点评] 本题利用χ2 公式计算出χ2 的值，再利用临界性的大小关系来判断假设是否成立，解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，要准确进行比较与判断.一、选择题1．(2014·江西理，6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4 个变量之间的关系，随机抽查52 名中学生，得到统计数据如表1 至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )A．成绩B．视力C．智商D．阅读量[答案] D[解析] 根据χ2 计算公式可知，阅读量与性别相关数据较大，所以选 D.2．在一次独立性检验中，其把握性超过99%，则随机变量χ2 的一个可能的值为( )A．6.635 B．5.024C．7.897 D．3.841[答案] C[解析] 若有99%把握，则χ2＞6.635，只有C 满足条件．3.分类变量X 和Y 的列联表如下，则( )Y1Y2总计A.ad－bcB.ad－bc 越大，说明X 与Y 的关系越强C．(ad－bc)2 越大，说明X 与Y 的关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强[答案]Cn(ad－bc)2[解析] 由统计量χ2 的计算公式计算χ2＝可知(ad－bc)2 越大，(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)则计算出的统计量的值也越大，而统计量越大，说明(ad－bc)2 越大，故选C.4.根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有( )A.90%C．97.5% D．99.9%[答案] D[解析] 由K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)得其观测值9 965 × (7 775 × 49－2 099 × 42)2k＝≈56.632>10.828.7 817 × 2 148 × 9 874 × 91故有99.9%的把握认为患肝病与嗜酒有关系，答案选D.5.为了研究性格和血型的关系，抽查80 人实验，血型和性格情况如下：O 型或A 型者是内向型的有18 人，外向型的有22 人，B 型或AB 型是内向型的有12 人，是外向型的有28 人，则有多大的把握认为性格与血型有关系( )A.99.9%B．99%C.没有充分的证据显示有关D.1%[答案] C[解析]n(n11n22)χ2＝50 × 30 × 40 × 40＝的证据显示有关．二、填空题50 × 30 × 40 × 40≈1.92<2.706，∴没有充分6.在一次打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671 人，经过计算得χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是的．填(“有关”或“无关”)[答案] 有关[解析] ∵27.63＞6.635∴打鼾与患心脏病有关的可能性很大，我们可以有99%的把握这么认为．7.为了了解小学生是否喜欢吃零食与性别之间的关系，调查者随机调查了89 名小学生的情况，得到的数据如下表(单位：人)：≈.[答案] 3.68989 × (24 × 26－31 × 8)2[解析] χ2＝≈3.689.55 × 34 × 32 × 57三、解答题8.在某医院，因为患心脏病而住院的655 名男性病人中，有214 人秃顶；而另外772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中，有175 人秃顶．根据以上数据判断男性病人的秃顶是否与患心脏病有关．[解析] 问题是判断男性病人的秃顶是否与患心脏病有关．计算得到下表(单位：人)≈16.373.由公式计算得χ2＝389 × 1048 × 665 × 772因为16.373>6.635，所以有99%以上的把握认为男性病人的秃顶与患心脏病有关．9.为检验回答一个问题的对错是否和性别有关，有人作了一个调查，其中女生人数是1 5 2男生人数的，男生答对人数占男生人数的，女生答错人数占女生人数的.2 6 3(1)若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至少有多少人？ (2)若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有多少人？ [分析] 若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，说明 χ2>6.635；没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，说明 χ2≤2.706.设出男生人数，并且它分别表示各类别人数，代入 χ2 的计算公式，建立不等式求解即可．[解析] 设男生人数为 x ，依题意可得 2×2 列联表如下：(1) 若有 99%，3x 2 ·( 5x x ·－ x x · )2 由 χ2＝ 6 3 6 6 x x x · · ·x3x＝ 8 >6.635，解得 x >17.693. 2 2x x x因为 ，， 为整数，所以若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至2 63 少有 18 人．(2) 没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则 χ2≤3.841.3x 2 ·( 5x x ·－ x x · )2 由 χ2＝ 6 3 6 6 x x x · · ·x3x＝ 8 ≤2.706， 2 2解得 x ≤7.216.x x x因为 ，， 为整数，所以若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至2 3 6 多有 6 人．[点评] 本题是逆向型思维问题，即将根据已知数据判断相关性问题变式为了一道由已知相关性求表中的字母数据问题，同时也是一个独立性检验和不等式的综合问题，解答时要注意理解“至少”“至多”的含义，充分建立不等式(组)来解决．10.为了比较注射A，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200 只家兔做实验，将这200 只家兔随机地分成两组，每组100 只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.(1)甲、乙是200 只家兔中的2 只，求甲、乙分在不同组的概率；(2)下表1 和表2 分别是注射药物A 和B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65) [65,70) [70,75) [75,80)频数30 40 20 10疱疹面积[60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 频数10 25 20 30 15②完成下面2×2 列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于70 mm2合计注射药物A a＝b＝注射药物B c＝d＝合计n＝附：χ2＝－(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 [解析] 2×2 列联表等统计学知识．解题思路是(1)古典概型的概率公式的应用，需用到组合数公式．(2)绘制频率分布直方图，并从图中观察出中位数进行比较，(3)从频率分布表中读取数值填制2×2 列联表并计算χ2与临界值比较，说明是否有关．2C19998 100解：(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为p＝1200 ＝.C 199(2)①可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65 至70 之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70 至75 之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数．②表3：χ2＝≈24.56，100 × 100 × 105 × 95由于χ2>10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．[点评] 本题比较新颖，将统计学与古典概型、组合联系在一起，难度不大，但考查知识全面，而且还需要一定的识图表能力，是今年命题一热点方向．。
高中数学 3.2 独立性检验同步练习 北师大版选修23
§2 独立性检验2．1 独立性检验2．2 独立性检验的基本思想2．3 独立性检验的应用双基达标限时20分钟1．在2×2列联表中，两个变量的取值a，b，c，d应是( )．A．任意实数B．正整数C．不小于5的整数D．非负整数解析若两个变量的取值太小，则增大了统计结论的偶然性，因此规定a，b，c，d 一般都是大于5的整数．答案 C2．如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据( )．A．χ2＞3.841 B．χ2＜3.841C．χ2＞6.635 D．χ2＜6.635解析把χ2的值与临界值比较，从而确定A与有关的可信程度，χ2＞3.841有95%的把握认为A与B有关系；χ2＞2.706有90%的把握认为A与B有关系；χ2≤2.706就认为A与B没有关系．答案 A3．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅临界值表来确定断言“X与Y有关系”的可信度，如果χ2＞5.024，那么就推断“X和Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过k( )．A．0.25 B．0.75C．0.025 D．0.975解析通过查表确定临界值k0.χ2＞k0＝5.024时，推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过0.025.答案 C4．在使用独立性检验时，下列说法正确的个数为________．①对事件A与B检验无关联时，即可以认为两个事件互不影响；②事件A与B关系越密切，则χ2就越大；③χ2的大小是判定事件A与B是否相关的根据；④若判定两事件A与B有关，则A发生时B一定发生．解析①正确，A与B无关联即A与B相互独立．②不正确，χ2的值的大小只是用来检验A 与B 是否相互独立．③不正确．χ2的大小只能说明有多少的把握判定变量A 、B 有关联．④不正确．答案 15．某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析．其中设备改造前生产的合格品有36件，不合格品有49件；设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据上面的数据，计算χ2的值约为________．(精确到0.001) 解析 由已知数据得到下表合格情况设备是否改造合格品 不合格品 合计 设备改造后 65 30 95 设备改造前 36 49 85 合计10179180根据公式χ2＝180×65×49－36×30295×85×101×79≈12.379.答案 12.3796．若两个分类变量X 和Y 的2×2列联表为：y 1y 2x 1 5 15 x 24010根据上表数据，你能推断“X 和Y 之间有关系”吗？ 解 χ2＝70×5×10－40×15220×50×45×25≈18.8＞10.828，因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下推断“X 与Y 有关系”．综合提高限时25分钟7．在2×2列联表中，两个比值________相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大 ( )． A.a a ＋b 与c c ＋d B.a c ＋d 与c a ＋b C.aa ＋d 与cb ＋cD.ab ＋d 与ca ＋c解析aa ＋b 与cc ＋d相差越大，说明ad 与bc 相差越大，两个变量有关系的可能性越大．答案 A8．某班主任对全班50名学生进行了认为作业量多少的调查，数据如下表：作业情况是否喜 欢玩电脑游戏 认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏8 15 23 总数262450则认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握大约为( )． A ．99% B ．95% C ．90%D ．无充分依据解析 χ2＝50×18×15－8×9227×23×26×24≈5.059＞3.841，故认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握为95%. 答案 B9．下表是2009届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时想学专业的调查表： 是否知道想学专业 性别知道想 学专业不知道想 学专业总计男生 63 117 180 女生 42 82 124 总计105199304根据表中数据，则下列说法正确的是________． ①性别与是否知道想学专业有关 ②性别与是否知道想学专业无关 ③女生比男生更易知道所学专业 解析 由χ2＝304×63×82－42×1172105×199×180×124≈0.04＜2.706.可知没有充分的证据认为性别与是否知道想学专业有关，即可以认为性别与是否知道想学专业无关． 答案 ②10．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生，具体数据如下表所示，为了判断选修统计专业是否与性别有关系，根据表中数据，得到χ2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，因为4.844＞3.841.所以选修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________.所选专业 性别非统计专业统计专业 男 13 10 女720解析 因为2这种判断出错的可能性为5%. 答案 5%11．在人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动． (1)根据以上数据建立2×2的列联表； (2)判断性别与休闲方式是否有关系． 解 (1)2×2的列联表如下：休闲方式性别看电视 运动 总计 女 43 27 70 男 21 33 54 总计6460124(2)根据χ2＝124×43×33－21×27270×54×64×60≈6.201＞3.841，因此有95%的把握说性别与休闲方式有关．12．(创新拓展)有两个变量x 与y ，其一组观测值如下2×2列联表所示：Yxy 1 y 2x 1 a20－a x 215－a30＋a其中a,15－a x 与y 之间有关系？解 由题意χ2＝65[a 30＋a －20－a 15－a ]220×45×15×50＝6565a －300220×45×15×50＝1313a －6025 400.∵有95%的把握认为x 与y 之间有关系， ∴χ2＞3.841， ∴1313a －6025 400＞3.841，a ＞7.7或a ＜1.5，又a ＞5,15－a ＞5， ∴7.7＜a ＜10，又a ∈N ， ∴a ＝8或a ＝9.。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-3第三章《统计案例》检测题(有答案解析)
一、选择题1．已知两个统计案例如下：①为了探究患肺炎与吸烟的关系，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表：②为了解某地母亲与女儿身高的关系，随机测得10对母女的身高如下表：则对这些数据的处理所应用的统计方法是（）A．①回归分析，②取平均值B．①独立性检验，②回归分析C．①回归分析，②独立性检验D．①独立性检验，②取平均值2．某中学采取分层抽样的方法从高二学生中按照性别抽出20名学生，其选报文科、理科的情况如下表所示，参考公式和数据：22()()()()()n ad bcKa cb d a bc d-=++++，其中n a b c d=+++．则以下判断正确的是A．至少有97.5%的把握认为学生选报文理科与性别有关B．至多有97.5%的把握认为学生选报文理科与性别有关C．至少有95%的把握认为学生选报文理科与性别有关D．至多有95%的把握认为学生选报文理科与性别有关3．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表：若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过（）附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++A．0.01 B．0.025 C．0.10 D．0.054．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是( )A．l1和l2有交点(s，t)B．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)C．l1与l2必定平行D．l1与l2必定重合5．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3 000人，计算发现k2＝6．023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是()P(K2≥k)…0．250．150．100．0250．0100．005…k…1．3232．0722．7065．0246．6357．879…A．90% B．95% C．97．5% D．99．5%6．以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数R2的值判断拟合的效果，R2越大，模型的拟合效果越好；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1； ③若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为1，则2x 1,2x 2,2x 3，…，2x n 的方差为2；④对分类变量x 与y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是（ ）A ．男、女人患色盲的频率分别为0.038,0.006B ．男、女人患色盲的概率分别为，C ．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的D ．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关8．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（ ） A ．平均数与方差 B ．回归分析 C ．独立性检验 D ．概率 9．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+必过(),x y ；④在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则有99%以上的把握认为这两个变量间有关系．其中错误．．的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．310．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( ) A ．25B ．25C ．35D ．321011．由某个22⨯列联表数据计算得随机变量2K 的观测值k 6.879=，则下列说法正确的是 ( )0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．两个分类变量之间有很强的相关关系B ．有99%的把握认为两个分类变量没有关系C ．在犯错误的概率不超过1.0%的前提下认为这两个变量间有关系D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为这两个变量间有关系 12．某商场为了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温()x C 之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： )C（件）由表中数据算出线性回归方程ˆybx a =+中的2b =-，气象部门預测下个月的平均气温约为6C ,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）件. A ．46B ．40C ．38D ．58二、填空题13．针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的13，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23.若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，求男生至少有______人.14．以下结论正确．．的序号有_________ （1）根据22⨯列联表中的数据计算得出2K ≥6.635, 而P （2K ≥6.635）≈0.01，则有99% 的把握认为两个分类变量有关系.（2）在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关.（3）在线性回归分析中，相关系数为r ，r 越接近于1，相关程度越大；r 越小，相关程度越小.（4）在回归直线0.585y x =-中，变量200x =时，变量y 的值一定是15.15．某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表： 专业 性别非统计专业统计专业男生1310女生720为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据得到随机变量K 2的观测值为.因为k ＞3.841，所以确认“主修统计专业与性别有关系”，这种判断出现错误的可能性为________．16．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．由表中数据得线性方程=+x 中=﹣2，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为_____．17．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③某项测量结果ξ服从正态分布()21,σN ，()50.81ξP ≤=，则()30.19ξP ≤-=；④对于两个分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为___________．18．从某高校在校大学生中随机选取5名女大学生，由她们身高和体重的数据得到的回归直线方程为ˆ0.7973.56yx =-，数据列表是：则其中的数据a =__________．19．以下4个命题中，正确命题的序号为_________．①“两个分类变量的独立性检验”是指利用随机变量2K 来确定是否能以给定的把握认为“两个分类变量有关系”的统计方法；②将参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ是参数，[]0,θπ∈）化为普通方程，即为221x y +=；③极坐标系中，22,3A π⎛⎫⎪⎝⎭与()3,0B 的距离是19； ④推理：“因为所有边长相等的凸多边形都是正多边形，而菱形是所有边长都相等的凸多边形，所以菱形是正多边形”，推理错误在于“大前提”错误. 20．下列说法：①线性回归方程y bx a =+必过(),x y ；②命题“21,34x x ∀≥+≥”的否定是“21,34x x ∃<+<” ③相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个22⨯列联表中，由计算得28.079K =，则有99%的把握认为这两个变量间有关系；其中正确．．的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上） 本题可参考独立性检验临界值表：三、解答题21．网购是当前人们购物的新方式，某公司为了改进营销方式，随机调查了100名市民，统计了不同年龄的人群网购的人数如下表： 年龄段（岁） ()0,20[)20,40[)40,60[)60100,网购人数 2632348 男性人数1510 105（1）若把年龄在[2060,的人称为“网购迷”，否则称为“非网购迷”，请完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为网购与性别有关？网购迷 非网购迷 总计男性 女性 总计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. ()20P K k ≥0.10 0.05 0.01 0.001两人年龄都小于20岁的概率.22．为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：与使用手机有关；（2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为X，试求X的分布列与数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：23．第十八届中国国际农产品交易会于11月27日在重庆国际博览中心开幕，我市全面推广“遂宁红薯”及“遂宁鲜”农产品区域公用品牌，并组织了100家企业、1000个产品进行展示展销，扩大优质特色农产品市场的占有率和影响力，提升遂宁特色农产品的社会认知度和美誉度，让来自世界各地的与会者和消费者更深入了解遂宁，某记者对本次农交会进行了跟踪报道和实际调查，对某特产的最满意度()%x和对应的销售额y(万元)进行了调查得到以下数据：关系数r的绝对值在0.95以上(含0.95)是线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.请你对线性相关性强弱作出判断，并给出理由；（2）如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制(即销售额最少的那一天不作为计算数据)，并求在剔除“末位淘汰”的那一天后的销量额y 关于最满意度x 的线性回归方程（系数精确到0.1）. 参考数据：24x =，81y =，52215146ii xx =-=∑， 52215176i i y y =-=∑，515151i ii x y xy =-=∑13.27≈≈.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅.其回归直线方程 ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆ·ni ii n ii x y nx y bxnx ==-=-∑∑，ˆa y bx=-，线性相关系数·ni ix y nx y r -=∑24．某实验学校为提高学习效率，开展学习方式创新活动，提出了完成某项学习任务的两种新的学习方式.为比较两种学习方式的效率，选取40名学生，将他们随机分成两组，每组20人，第一组学生用第一种学习方式，第二组学生用第二种学习方式.40名学生完成学习任务所需时间的中位数40min m =，并将完成学习任务所需时间超过min m 和不超过min m 的学生人数得到下面的列联表：（Ⅰ）估计第一种学习方式且不超过m 的概率、第二种学习方式且不超过m 的概率； （Ⅱ）能否有99%的把握认为两种学习方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，25．为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？（1）是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？（2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望()E X．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++26．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，P(K2≥k)0.050 0.010 0.001k 3.841 6.63510.828【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据独立性检验和回归分析的概念，即可作出判定，得到答案．【详解】由题意，独立性检验通常是研究两个分类变量之间是否有关系，所以①采用独立性检验，回归分析通常是研究两个具有相关关系的变量的相关程度，②采用回归分析，综上可知①是独立性检验，②是回归分析，故选B．【点睛】本题主要考查了独立性检验和回归分析的概念及其判定，其中解答中熟记独立性检验和回归分析的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．2．C解析：C【解析】由题易得22⨯列联表如下：则2K的观测值为()220235104.432 3.841128713k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以至少有95%的把握认为学生选报文理科与性别有关，故选:C．【解题必备】（1）独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．独立性检验的结论只能是有多大的把握认为两个分类变量有关系，而不能是两个分类变量一定有关系或没有关系．（2）列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，因此，需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体．即独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释． （3）独立性检验的具体做法：①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α， 然后查下表确定临界值0k ； ②利用公式()()()()()22n ad bc K a c b d a b c d -=++++，计算随机变量2K 的观测值k ；③如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X 与Y 有关系”．说明：通常认为 2.706k ≤时，样本数据就没有充分的证据显示“X 与Y 有关系”．3．B解析：B 【解析】分析：根据表格中所给数据，代入公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，求出观测值，把所求的观测值同临界值进行比较，从而可得结果. 详解：根据表中数据得到()2250181589 5.059 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以，若推断“学生的性别与认为作业量大有关”， 则这种推断犯错误的概率不超过0.025，故选B.点睛：本题主要考查独立性检验的应用，解题的关键是正确求出这组数据的观测值，计算过程一定要细心，避免出现计算错误，属于基础题.4．A解析：A 【解析】回归直线方程过样本中心点,过A 选项正确.5．C解析：C 【详解】∵2 6.023 5.024K=>∴可断言市民收入增减与旅游欲望有关的把握为97.5%.故选C.点睛：本题主要考查独立性检验的实际应用.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，计算出2K的值；（3）查表比较2K与临界值的大小关系，作统计判断.6．B解析：B【解析】由题意得，若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1,2x2,2x3，…，2x n的方差为4，所以③不正确；对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“x与y 有关系”的把握程度越小，所以④不正确．其中①、②是正确的，故选B.7．C解析：C【解析】男人中患色盲的比例为，要比女人中患色盲的比例大，其差值为，差值较大，所以认为患色盲与性别是有关的．考点：独立性检验.8．C解析：C【解析】判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C.考点：独立性检验的意义.9．B解析：B【解析】一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程y35x=-，当x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程y= b x+a必过点(),x y，③正确；因为213.079 6.635K=>，故有0099以上的把握认为这两个变量间有关系，④正确，即错误的个数为1，故选B. 10．B解析：B【解析】∵直线0x y a ++=与圆()()22122x y -+=+有公共点，∴≤13a -≤≤，∴在区间[55]-，内任取一个实数a ，使直线0x y a ++=与圆()()22122x y -+=+有公共点的概率为312555+=+，故选B. 点睛：本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题；利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的a ，最后根据几何概型的概率公式可求出所求.11．C解析：C 【解析】由22⨯列联表数据计算得随机变量2K 的观测值是 6.879 6.635k =>，通过对照表中数据得，在犯错误的概率不超过1.0%的前提下，认为这两个变量间有关系，故选C.12．A解析：A 【解析】试题分析：根据题意，样本中心点的坐标为()10,38，所以38210,58a a =-⨯+∴=，因此回归直线方程为2ˆ58yx =-+，所以当6x =时，估计该商场下个月毛衣销售量约为26ˆ5846y=-⨯+=，故选A. 考点：回归直线方程．二、填空题13．【分析】设男生人数为依题意填写列联表计算观测值列出不等式求出的取值范围再根据题意求出男生的人数【详解】设男生人数为由题意可得列联表如下： 喜欢韩剧 不喜欢韩剧 总计 男生 女生 总 解析：18【分析】设男生人数为x ，依题意填写列联表，计算观测值，列出不等式求出x 的取值范围，再根据题意求出男生的人数. 【详解】设男生人数为x ，由题意可得列联表如下：则 3.841k>，即2452()3636969 3.84171711931818x x x x xxkx x xx⋅-⋅==>⋅⋅⋅，解得12.697x>.因为各部分人数均为整数，所以若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有18人.故答案为：18.【点睛】本题考查独立性检验的应用，解题关键是列出列联表，然后进行计算，属于常考题. 14．(1)(3)【解析】分析：根据独立性检验残差图相关系数回归分析的定义及性质逐一分析四个答案的真假即可详解：对于（1）根据2×2列联表中的数据计算得出≥6635而P（≥6635）≈001则有99的把握解析：(1)(3).【解析】分析：根据独立性检验、残差图、相关系数、回归分析的定义及性质，逐一分析四个答案的真假即可．详解：对于（1），根据2×2列联表中的数据计算得出2K≥6.635, 而P（2K≥6.635）≈0.01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系，故（1）正确．对于（2），根据残差图的意义可得，当带状区域的宽度较小时，说明选用的模型比价合适，而当带状区域的宽度较大时，说明选用的模型不合适，故（2）不正确．对于（3），在线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，则相关程度越大；|r|越接近于0，则相关程度越小．故（3）正确．对于（4），在回归直线y=0.5x−85中，当x=200时，y=15，但实际观测值可能不是15，故（4）不正确．综上可得（1）（3）正确．点睛：本题考查回归分析和独立性检验的基本知识，属于基础类题目，解题的关键是熟记相关的的概念和性质．15．5【解析】因为随机变量K2的观测值k＞3841所以在犯错误的概率不超过005的前提下认为主修统计专业与性别有关系故这种判断出现错误的可能性为5考点：独立性检验思想解析：5% 【解析】因为随机变量K 2的观测值k ＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“主修统计专业与性别有关系”．故这种判断出现错误的可能性为5%. 考点：独立性检验思想.16．40【解析】试题分析：根据所给的表格做出本组数据的样本中心点根据样本中心点在线性回归直线上利用待定系数法做出a 的值现在方程是一个确定的方程根据所给的x 的值代入线性回归方程预报要销售的件数解：由表格得解析：40 【解析】试题分析：根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a 的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x 的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．解：由表格得=（14+12+8+6）÷4=10，=（22+26+34+38）÷4=30 即样本中心点的坐标为：（10，40）， 又∵样本中心点（10，40）在回归方程 上且b=﹣2∴30=10×（﹣2）+a ， 解得：a=50， ∴当x=5时，y=﹣2×（5）+50=40． 故答案为40．考点：回归分析的初步应用．17．【解析】试题分析：对于①从匀速传递的新产品生产流水线上质检员每20分钟抽取一件新产品进行某项指标检测这样的抽样是系统抽样而不是分层抽样故①错；对于②两个随机变量的相关性知识可知②正确；对于③变量所以 解析：2【解析】试题分析：对于①，从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每20分钟抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，而不是分层抽样，故①错；对于②，两个随机变量的相关性知识可知②正确；对于③变量2(1,)N ξσ~，所以()()30.191510.810.19ξξP ≤-==-P ≤=-=，故③正确；对于④，随机变量2K 观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故④错，所以真命题有2个. 考点：1. 回归分析的基本思想及其应用初步;2.统计与概率.18．163【解析】由根据回归直线经过样本中心即得由得故答案为解析：163 【解析】由4953565864565y ++++==，根据回归直线经过样本中心(),x y ，即560.7973.56x =⨯-，得164x =，由1551611671741645a x ++++==，得163a =，故答案为163.19．①③④【解析】①是独立性检验的应用①对②中由于所以显然是半个圆②错③中由极坐标中两点距离公式=③对④中所有边长相等的凸多边形都是正多边形为大前提是错误的因为只需要正多边形挤压变形使之仍为凸多边形即可解析：①③④ 【解析】①是独立性检验的应用，①对．②中由于[]0,θπ∈，所以01y ≤≤，显然是半个圆，②错．③中，由极坐标中两点距离公式2221212212cos()AB ρρρρθθ=+--=14912()19,2+-⨯-=AB ③对．④中“所有边长相等的凸多边形都是正多边形”为大前提，是错误的，因为只需要正多边形挤压变形，使之仍为凸多边形即可．④对．所以填①③④．20．①④【解析】分析：根据性回归方程独立性检验相关关系以及命题的否定等知识选出正确的得到结果详解：线性回归方程必过样本中心点故①正确命题的否定是故②错误③相关系数r 绝对值越小表明两个变量相关性越弱故不正解析：①④ 【解析】分析：根据性回归方程，独立性检验，相关关系，以及命题的否定等知识，选出正确的，得到结果．详解：线性回归方程ˆˆˆy bx a =+必过样本中心点(),x y ，故①正确．命题“21,34x x ∀≥+≥”的否定是“21,34x x ∃≥+<” 故②错误 ③相关系数r 绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；④在一个22⨯列联表中，由计算得28.079K =，则有99%的把握认为这两个变量间有关系，正确. 故答案为①④.点睛：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、命题的否定、独立性检验、回归直线方程等知识点，属于中档题．三、解答题21．（1）列联表答案见解析，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为网购与性别有关；（2）310.【分析】（1）根据表格中的数据可题中信息可完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）计算得出年龄段()0,20应抽取3人，分别记为1、2、3；年龄段[)20,40应抽取2人，分别记为a 、b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽的两人年龄都小于20岁”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）由题中信息可完善22⨯列联表如下表所示：计算得()2100201446207.605 6.63566344060K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为网购与性别有关；（2）年龄在()0,20、[)20,40网购男性分别有15人、10人.按分层抽样的方法随机抽取5人，年龄段()0,20应抽取3人，分别记为1、2、3；年龄段[)20,40应抽取2人，分别记为a 、b .从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件共10个：()1,2、()1,3、()1,a 、()1,b 、()2,3、()2,a 、()2,b 、()3,a 、()3,b 、(),a b .用A 表示“两人年龄都小于20岁”这一事件，则事件A 由3个基本事件组成：()1,2、()1,3、()2,3.故事件A 的概率为()310P A =. 【点睛】方法点睛：求解古典概型的概率方法如下： （1）列举法； （2）列表法； （3）树状图法； （4）排列、组合数的应用.22．（1）没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）分布列见解析，()2E X =.【分析】（1）根据表格中数据和题中信息可完善22⨯列联表，计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望值. 【详解】（1）22⨯列联表如下表所示：()22505102015258.33310.828203025253χ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以，没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）9人中学习成绩优秀的人有209630⨯=人，学习成绩一般的有109330⨯=人， X 可能的取值有0、1、2、3，()3911084P X C ===，()1263393114C C P X C ===，()21633915228C C P X C ===，()363953?21C P X C ===.所以，随机变量X 的分布列为()1232142821E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.23．（1）0.94r ≈，线性相关性较弱；（2） +77.3ˆyx =。
高中数学选修2-3 北师大版 第3章 §2.1独立性检验 作业(含答案)
第三章§2一、选择题1．下列说法正确的个数是()①对事件A与B的检验无关时，即两个事件互不影响②事件A与B关系越密切，则χ2就越大③χ2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据④若判定两个事件A与B有关，则A发生B一定发生A．1B．2C．3 D．4解析：对于①，事件A与B的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定两事件互不影响，故①错；②是正确的；对于③，判断A与B是否相关的方式很多，可以用图表，也可以借助于概率运算，故③错；对于④，两事件A与B有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A发生B一定发生，故④错．答案： A2．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是() A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有解析：本题主要考查对独立性检验的结果与实际问题的差异的理解，独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的．答案： D3．下面是一个2×2列联表则表中a、b处的值分别是()A．94,96 B．52,50C ．52,72D ．54,52解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋21＝73b ＋46＝73＋45，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝72.答案： C4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 解析： K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8＞6.635，所以我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”． 答案： C 二、填空题5．为了考查长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查301名女性，得到如下列联表，试根据表格中已有数据填空.则空格中的数据应分别为：①________________；②________________；③______________；④______________.解析： 最右侧的合计是对应的行上的两个数据的和，由此可求出①和②；而最下面的合计是相应的列上两个数据的和，由①②的结果可求得③④.答案： ①86 ②180 ③229 ④3016．计算得到χ2的值______________时，才能以95%的把握认为两个分类变量之间相关． 解析： 可以查临界值表，1－95%＝0.05，因为0.05对应的值为3.841，所以当χ2的值大于3.841时，才能有95%的把握认为两个分类变量之间相关．答案： 大于3.841 三、解答题7．在大连—烟台的某次航运中，出现了恶劣气候．随机调查男、女乘客在船上晕船的情况如表所示：据此资料，你能否认为在恶劣气候中航行时，男性比女性更容易晕船？ 解析： χ2＝150×(30×62－18×40)280×70×48×102≈7.110.因为7.110＞6.635，所以有99%的把握说，晕船与否跟男女性别有关，说明在海上旅游中男性比女性更容易晕船．8．为了研究患慢性气管炎与吸烟量的关系调查了228人．其中每天的吸烟支数在10支以上20支以下的调查者中，患者人数有98人，非患者人数有89人；每天的吸烟支数在20支以上的调查者中，患者人数有25人，非患者人数有16人．试问患慢性气管炎是否与吸烟量相互独立？解析： 由已知条件可列出2×2列联表：由公式得：χ2＝228×(98×16－89×25)2123×105×187×41≈0.994，由于0.994＜2.706，所以没有理由认为患慢性气管炎与吸烟量有关，即认为患慢性气管炎与吸烟量无关，是相互独立的．。
高中数学第三章2独立性检验教学案北师大版选修22
§2 独立性检验[对应学生用书P40]1．2×2列联表设A，B为两个变量，每个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝A－1；变量B：B1，B2＝B－1，用下表表示抽样数据BAB1B2总计A1 a b a＋bA2 c d c＋d总计a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d并将此表称为2×2列联表．2．χ2的计算公式χ2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.3．独立性判断的方法(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．(1)独立性检验是一种假设检验，在对总体的估计中，通过抽取样本，构造合适的统计量，对假设的正确性进行判断．(2)使用χ2统计量作2×2列联表的独立性检验时，一般要求表中的4个数据都大于5，数据越大，越能说明结果的普遍性．[对应学生用书P41]2×2列联表[例1] 在调查的6名患有色盲，试作出性别与色盲的列联表．[思路点拨] 在2×2列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然后出相应的数据，列表即可．[精解详析] 根据题目所给的数据作出如下的列联表：色盲患色盲不患色盲性别男38442女6514[一点通] 分清类别是作列联表的关键步骤，对所给数据要明确属于那一类．1．下面是一个2×2列联表：则表中a，b处的值分别为( )y1y2总计x1 a 2153x282533总计 b 46A.32,40C．74,82 D．64,72解析：a＝53－21＝32，b＝a＋8＝40.答案：A2．某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中在考前心情紧张的有213人．试作出2×2列联表．解：列联表如下：性格情况考前心情是否紧张性格内向性格外向总计考前心情紧张332213545考前心情不紧张94381475总计426594 1 020独立性检验的应用[例2] (8分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？[思路点拨] 解答本题先分析列联表数，后计算χ2，再与临界值比较，判断两个变量是否相互独立．[精解详析] (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500×100%＝14%. (4分)(2)χ2＝500×40×270－30×1602200×300×70×430≈9.967. (6分) 因为9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．(8分) [一点通] 这类问题的解决方法为先确定a，b，c，d，n的值并求出χ2的值，再与临界值相比较，作出判断，解题时注意正确运用公式，代入数据准确计算．3．在一个2×2列联表中，通过数据计算χ2＝8.325，则这两个变量间有关系的可能性为________．答案：99%4．某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生的一些情况，具体数据如下表：非统计专业统计专业男1310女720则χ2≈________，有________的把握判定主修统计专业与性别有关．解析：χ2＝50×13×20－10×7220×30×23×27≈4.844>3.841，故有95%的把握认为主修统计专业与性别有关．答案：4.844 95%5．(福建高考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率．(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？P(χ2≥k)0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828附：χ2＝n ad bca＋b c＋d a＋c b＋d解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)．从中随机抽取2名工人，记至少抽到一名25周岁以下组工人的事件为A ，故P (A )＝1－C 23C 25＝710，故所求概率为710. (2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：生产能手 非生产能手合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组15 25 40 合计3070100所以得χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝100×15×25－15×45260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．独立性检验的基本步骤： 1．列出2×2列联表． 2．求出χ2＝n ad －bc 2a ＋ca ＋b b ＋dc ＋d.3．判断是否有关联，得出事件有关的可能性大小．[对应课时跟踪训练十七]1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到下表：男 女 总计 爱好402060不爱好203050 总计6050110由χ2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d算得，χ2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828A．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”解析：因为χ2＝7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为有关．答案：C2．下面是2×2列联表：Yxy1y2总计x1 a 2173x222527总计 b 46100则表中a，bA．94、96 B．52、50C．52、54 D．54、52解析：a＝73－21＝52，b＝100－46＝54，故选C.答案：C3．高二第二学期期中考试，对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表，则随机变量χ2的值为( )班级与成绩统计表优秀 不优秀 总计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计1971 90A ．0.600B ．0.828C ．2.712D ．6.004解析：随机变量χ2＝90×11×37－34×8219×71×45×45≈0.600，故选A.答案：A4．(江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1成绩 性别 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 总计16 3652视力 性别好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计163652智商 性别偏高正常总计男 8 12 20 女 8 24 32 总计16 3652表4阅读量性别丰富 不丰富 总计 男 14 6 20 女 2 30 32 总计163652A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量 解析：因为χ21＝52×6×22－14×10216×36×32×20＝52×8216×36×32×20， χ22＝52×4×20－16×12216×36×32×20＝52×112216×36×32×20， χ23＝52×8×24－12×8216×36×32×20＝52×96216×36×32×20， χ24＝52×14×30－6×2216×36×32×20＝52×408216×36×32×20， 则有χ24>χ22>χ23>χ21，所以阅读量与性别关联的可能性最大．答案：D5．在独立性检验中，统计量χ2有两个临界值：3.841和6.635.当χ2>3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当χ2>6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当χ2≤3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病关系的调查中，共调查了2 000人，经计算得χ2＝20.87，根据这一数据分析，下列关于打鼾与患心脏病之间关系的说法，正确的是________．①有95%的把握认为两者有关； ②约有95%的打鼾者患心脏病； ③有99%的把握认为两者有关； ④约有99%的打鼾者患心脏病．解析：χ2＝20.87>6.635，有99%的把握说明两个事件有关，但只是估计，不能肯定什么． 答案：③6．为探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示：死亡 存活 总计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 总计203050在研究小白鼠的死亡与剂量是否有关时，根据以上数据求得χ2＝________. 解析：χ2＝5014×19－6×11220×30×25×25≈5.333.答案：5.3337．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：成绩优秀 成绩较差 总计 兴趣浓厚的 64 30 94 兴趣不浓厚的22 73 95 总计86103189解：由公式求得χ2＝189×64×73－22×30286×103×94×95≈38.459.∵38.459>6.635，∴有99%的把握认为数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣有关．8．现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对“楼市限购政策”的赞成人数如下表： 月收入 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数48125215 500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度有差异；月收入不低于 5500元 月收入低于5500元 总计 赞成 不赞成 总计(2)若从月收入在[55,65)的被调查对象中随机选取两人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率．解：(1)由题意得2×2列联表：月收入不低于5 500元月收入低于5 500元总计 赞成 3 29 32 不赞成 7 11 18 总计104050异，根据列联表中的数据，得到：χ2＝50×3×11－7×29210×40×32×18≈6.272<6.635，所以没有99%的把握认为当月收入以5 500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度有差异．(2)已知在收入[55,65)中共有5人，2人赞成，3人不赞成，设至少有一个不赞成楼市限购政策为事件A ，则P (A )＝1－C 22C 25＝910.故所求概率为910.。
高中数学 基础知识篇 3.2独立性检验同步练测 北师大版必修23
§2 独立性检验同步练测（数学北京师大版选修2-3）一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分）1.统计假设H0：P(AB)＝P(A)·P(B)成立时，有以下判断：①P(A B)＝P(A)P(B)；②P(A B)＝P(A)P(B)；③P(A B)＝P(A)P(B).其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.02.在对吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )A.若随机变量2χ>6.635，我们有99%的把握说明吸烟与患肺病有关，即若某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病B.若由随机变量求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99个人患有肺病C.若由随机变量求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，那么有5%的可能性使得推断错误D.以上说法均不正确3.对两个分类变量A、B的下列说法中正确的个数为( )①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则2χ的值就越大；③2χ的大小是判定A与B是否相关的唯一依据.A.1B.2C.3D.44.以下关于独立性检验的说法中，错误的是( )A.独立性检验依据小概率原理B.独立性检验得到的结论一定正确C.样本不同，独立性检验的结论可能有差异D.独立性检验不是判定两分类变量是否相关的唯一方法5.根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有( )C.100%D.99%二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）6.吃零食是中学生中普遍存在的现象.吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长.下表给出性别与吃零食的列联表:“没有”)____________.7.根据下表，计算出2χ≈________.(保留两位小数)8.假设有两个分类变量和，它们的可能取值分别为{，}和{，}，其2×2列联表如100对于以下数据，对同一样本能说明与有关的小题，共5病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示响别人休息，而且可能与患§2 独立性检验同步练测（数学北京师大版选修2-3）答题纸得分：一、选择题6. 7. 8.三、计算题9.10.11.12.13.14.§2 独立性检验同步练测（数学北京师大版选修2-3）答案一、选择题1. Cχ的意义与概率不能混淆.2. C 解析：23.A 解析：①正确，A与B无关即A与B相互独立；χ的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；②不正确，2③不正确，例如借助三维柱形图、二维条形图等.故选A.4.B 解析：独立性检验得到的结论不一定正确，如我们得出有90%的把握认为A与B有关，只是说这种判断的正确性为90%，具体问题中A与B可能有关，可能无关，故答案选B.5.D 解析：由2χ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得2χ＝9965×(7775×49－2099×42)27817×2148×9874×91≈56.6>6.635.故有99%的把握认为患肝病与嗜酒有关系，答案选D. 二、填空题6. 有 解析： 2χ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝85(140－480)217×68×45×40＝98260002080800≈4.722＞3.841.故约有95%的把握认为“吃零食与性别”有关.7. 1.78 解析：2χ＝392×(39×167－157×29)2196×196×68×324≈1.78.8. ② 解析：对于同一样本, 2χ越小，说明X 与Y 之间相关的可能性越小，2χ越大，说明与之间相关的可能性越大. 三、计算题9.解：根据列联表的数据，得到2χ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝339×(43×121－162×13)2205×56×283×1347.469＞6.635.所以有99%的把握认为吸烟与患慢性气管炎病有关.10. 解：根据列联表中的数据，得到2χ=.76.101038695943240-63541892=⨯⨯⨯⨯⨯⨯）（因为，所以有99%的把握说：员工“工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．11.解：由公式得，2χ＝460×(26×200－184×50)2210×250×76×384≈4.804.由于4.804＞3.841，所以我们有95%的把握认为种子是否灭菌与有无黑穗病是有关系的.12.解：由2χ= 2.7060.1821862340014007290005238454518）25-2790（0（2<==⨯⨯⨯⨯⨯可知，没有充分证据说明“成绩与班级有关系”，即成绩的“优秀与不优秀”与班级是相互独立的.13.解：2χ＝1633×(30×1355－224×24)21379×254×54×1579≈68.03.因为68.03>6.635，所以有99%的把握说，每一晚都打鼾与患心脏病有关.14.解：2χ=.08.0343749221025-2412712≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯）（因为0.08 2.706<，所以我们没有理由说晕船与男女性别有关．。
2014-2015学年北师大版数学【选修2-3】：第3章《统计案例》综合测试(含答案)
第三章综合测试时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·哈师大附中高二期中)下列说法正确的有几个( ) (1)回归直线过样本点的中心(x －，y －)；(2)线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；(3)在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高； (4)在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] 由回归分析的概念知①④正确，②③错误． 2．变量y 对x 的回归方程的意义是( ) A ．表示y 与x 之间的函数关系 B ．表示y 与x 之间的线性关系 C ．反映y 与x 之间的真实关系D ．反映y 与x 之间的真实关系达到最大限度的吻合 [答案] D[解析] 用回归方程预测变量y 对x 的不确定关系，反映的不是真实关系，而是真实关系达到最大限度的吻合．3．在列联表中，两个比值( )相差越大，两个分类变量之间的关系越强．( ) A.a a ＋b 与c c ＋d B.a c ＋d 与c a ＋b C.a a ＋b 与c b ＋c D.a b ＋d 与c a ＋c[答案] A [解析] a a ＋b 与c c ＋d相差越大，说明ad 与bc 相差越大，两个分类变量之间的关系越强．故选A.4．若回归直线方程中的回归系数b ＝0时，则相关系数r 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．无法确定[答案] C[解析] 若b ＝0，则∑i ＝1nx i y i －n x y ＝0，∴r ＝0.5．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：A ．99%B ．95%C ．90%D ．无充分依据[答案] B[解析] 由表中数据得χ2＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059>3.841，所以约有95%的把握认为两变量之间有关系．6．(2014·淄博市、临淄区学分认定考试)观测两个相关变量，得到如下数据：A.y ^＝0.5x －1 B.y ^＝x C.y ^＝2x ＋0.3 D.y ^＝x ＋1[答案] B[解析] 因为x －＝0，y －＝－0.9－2－3.1－3.9－5.1＋5＋4.1＋2.9＋2.1＋0.910＝0，根据回归直线方程必经过样本中心点(x －，y －)可知，回归直线方程过点(0,0)，所以选B.7．(2014·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高三期中联考)由变量x 与y 相对应的一组数据(1，y 1)，(5，y 2)，(7，y 3)，(13，y 4)，(19，y 5)得到的线性回归方程为y ^＝2x ＋45，则y －＝( )A ．135B ．90C ．67D ．63[答案] D[解析] ∵x －＝15(1＋5＋7＋13＋19)＝9，y －＝2x －＋45，∴y －＝2×9＋45＝63，故选D.8．为了表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度，我们表示它常用( ) A.∑i ＝1n(y i －y ′i )B.∑i ＝1n(y ′i －y i )C.∑i ＝1n(y i －y ′i )2D.∑i ＝1n(y 2i －y ′2i ) [答案] C[解析] 离差的平方和最小的时候，点均匀分布在直线两侧．9．下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表：则χ2的值为( ) A ．0.559 B ．0.456 C ．0.443 D ．0.4[答案] A[解析] χ2＝90(12×36－9×33)245×45×21×69≈0.559.10．给出下列四个命题，其中真命题是( ) A ．∀x ∈R ，cos x ＝sin(x ＋π3)＋sin(x ＋π6)一定不成立B ．今年初某医疗研究所为了检验“达菲(药物)”对甲型H1N1流感病毒是否有抑制作用，把墨西哥的患者数据库中的500名使用达菲的人与另外500名未用达菲的人一段时间内患甲型H1N1流感的疗效记录作比较，提出假设H 0：“达菲不能起到抑制甲型H1N1流感病毒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查对临界值表知P (χ2≥3.841)≈0.05，说明达菲抑制甲型H1N1流感病毒的有效率为95%C ．|a·b|＝|a||b|是|λa ＋μb |＝|λ||a |＋|μ||b |成立的充要条件D ．如图的茎叶图是某班学生一次测验时的成绩；可断定：男生成绩比较集中，整体水平稍高的女生[答案] C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．有下列关系：(1)人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系；(3)苹果的产量与气候之间的关系；(4)森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；(5)学生与他(她)的学号之间的关系，其中有相关关系的是______．[答案] (3)(4)12．如果χ2的值为8.654，可以认为“A 与B 无关”的可信度是____________． [答案] 1%[解析] ∵8.654＞6.635，∴我们认为A 与B 有关的把握为99%，故“A 与B 无关”的可信度为1%. 13．根据下表计算χ2＝________.[答案] 1.779[解析] χ2＝392×(39×167－157×29)2196×196×68×324≈1.779.14．已知在某种实践运动中获得一组数据：其中不慎将数据y 2y ＝0.5x ＋a ，则y 2与a 的近似值为________．[答案] 8，－0.7[解析] 由题意，得x ＝19.5，y ＝28.2＋y 24.代入∑i ＝14(x i －x )(y i －y )∑i ＝14(x i －x )2＝0.5中，得y 2≈8.所以y ＝9.05，a ＝y －b x ≈9.05－0.5×19.5＝－0.7.15．某种产品的业务费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：则变量y 与x [答案] 0.92 [解析] 列表如下：由表中数据计算得x ＝5，y ＝50，则相关系数r ＝1380－5×5×50145－5×52×13500－5×502≈0.92.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．男性更容易患色盲吗？某机构随机调查了1000人，调查结果如下表(单位：人)：[解析] 问题是判断患色盲是否与性别有关，由题目所给数据得到如下列联表(单位：人)：由公式计算得χ2＝1000×(442×6－514×38)956×44×480×520≈27.139.由于27.139>6.635，所以有99%以上的把握认为患色盲与性别有关．17．下表是随机抽取的8对母女的身高数据，试根据这些数据求出女儿身高y 对母亲身高x 的线性回归方程，并预测母亲身高为165cm 时女儿的身高.由图可知两个变量呈现出近似的线性关系，可以建立女儿身高y 对母亲身高x 的线性回归方程．将数据列成下表.由此可得x ＝b x ≈－53.191，故y 对x 的线性回归方程为y ＝－53.191＋1.345x .当母亲身高为165cm 时，女儿身高的估计值为 －53.191＋1.345×165＝168.734≈169(cm)．18．(2013·云南玉溪一中高三月考)为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：2只，未患病数为η，工作人员曾计算过P (ξ＝0)＝389P (η＝0)．(1)求出列联表中数据x ，y ，M ，N 的值；(2)求ξ与η的均值(期望)并比较大小，请解释所得结论的实际含义； (3)能够以99%的把握认为药物有效吗？ 参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).①当K 2≥3.841时有95%的把握认为ξ、η有关联； ②当K 2≥6.635时有99%的把握认为ξ、η有关联． [分析] (1)从已知P (ξ＝0)＝389P (η＝0)出发，结合2×2列联表可求． (2)求出ξ、η的分布列，再利用期望定义式求E (ξ)和E (η)即可． (3)利用公式算出K 2，结合参考数据可以判断． [解析] (1)∵P (ξ＝0)＝C 220C 250，P (η＝0)＝C 2xC 250，∴C 220C 250＝389×C 2xC 250，∴x ＝10. ∴y ＝40，∴M ＝30，N ＝70. (2)ξ取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 220C 250＝38245，P (ξ＝1)＝C 120C 130C 250＝120245，P (ξ＝2)＝C 230C 250＝87245.∴E (ξ)＝294245.P (η＝0)＝C 210C 250＝9245.P (η＝1)＝C 110C 140C 250＝80245.P (η＝2)＝C 240C 250＝156245.∴E (η)＝392245.∴E (ξ)<E (η)，即说明药物有效． (3)∵K 2＝100×(800－300)230×70×50×50≈4.76.∵4.76<6.635，∴不能够有99%的把握认为药物有效．19．某商场经营一批进价为30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下关系：(1)画出散点图，并判断(2)求日销售量y 对销售单价x 的线性回归方程；(3)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(2)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单位价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．[分析] 两个变量呈现近似的线性关系，可通过公式计算出其线性回归方程，并根据方程求出其预测值．[解析] (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．(2)∵x ＝14×(35＋40＋45＋50)＝42.5，y ＝14×(56＋41＋28＋11)＝34，∑i ＝14x i y i ＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410，∑i ＝14x 2i ＝352＋402＋452＋502＝7 350，∴b ＝∑i ＝14x i y i －4x ·y ∑i ＝14x 2i －4x2＝5 410－4×42.5×347 350－4×42.52＝－370125＝－2.96.∴a ＝y －b x ＝34－(－2.96)×42.5＝159.8.∴y ＝－2.96x ＋159.8.(3)依题意有P ＝(－2.96x ＋159.8)(x －30) ＝－2.96x 2＋248.6x －4 794，∴当x ＝248.62×2.96≈42时，P 有最大值，约为426，即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．[点评] 该类题属于线性回归线问题，解答本类题目的关键是首先通过散点图(或相关性检验求相关系数r )来分析两变量间的关系是否相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．20．为考察高中生是否喜欢数学课程与性别之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：性别与喜欢数学课程列联表么？[解析] 可以有95%的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．作出这种判断的依据是独立性检验的基本思想，具体过程如下：分别用a ，b ，c ，d 表示样本中喜欢数学课的男生人数，不喜欢数学课的男生人数，喜欢数学课的女生人数，不喜欢数学课的女生人数．如果性别与是否喜欢数学课有关系，则男生中喜欢数学课的比例a a ＋b 与女生中喜欢数学课的人数比例c c ＋d应该相差很多，即|a a ＋b －cc ＋d |＝|ad －bc (a ＋b )(c ＋d )|应很大．将上式等号右边的式子乘以常数(a ＋b ＋c ＋d )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，然后平方得χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .因此χ2越大，“性别与喜欢数学课之间有关系”成立的可能性越大．另一方面，假设“性别与喜欢数学课之间没有关系”为事件A ，由于事件A ＝{χ2>3.841}的概率为P (χ2>3.841)≈0.05，因此事件A 是一个小概率事件．而由样本数据计算得χ2＝4.514，这表明小概率事件A 发生．根据假设检验的基本原理，我们应该断定“性别与喜欢数学课之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.所以，约有95%的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．21．(2014·安徽程集中学期中)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)[解析](1)体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030>2.706，所以我们有90名的把握认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的集合为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}其中a i表示男性，i＝1,2,3，b j表示女性，j＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝7 10.。
北师大版高中数学选修2-3独立性检验同步练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作独立性检验 同步练习【选择题】1、事件A 、B 是相互独立的，下列有四个式子：①P(AB)=P(A)P(B);②)()()(B P A P B A P ⋅=③)()()(B P A P B A P ⋅=④)()()(B P A P B A P ⋅=⋅.其中正确的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、温州市正在全面普及数字电视，某住宅小区有2万住户，从中随机抽取200户，调查是否安装数字电视，调查结果如下表，则该住宅小区已经安装数字电视的用户数为 （ ）数字电视 老住户 新住户 已安装 30 50 未安装 65 55A 、8 000B 、5 000C 、5 500D 、9 500【填空题】3、设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：21,A A ,1A =变量B ：21,B B ,1B =BA1B 2B 总计 1Aa b a+b 2A cd c+d 总计a+c b+d n=a+b+c+d若有式子nd b n b a n b +⋅+=，则认为____________________独立. 4、为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）；吸烟与患肺癌列联表不患肺癌 患肺癌 总计不吸烟者 7775 42 7817吸烟 2099 49 2148总计 9874 91 9965在不吸烟者中，有0.54%患有肺癌，在吸烟者中，有2.28%患有肺癌，由此可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在着差异你可以进一步得到什么结论_____________________【解答题】5、为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）；吸烟与患肺癌列联表不患肺癌 患肺癌 总计不吸烟者 4567 23 4590吸烟 1932 56 1988总计 6499 79 6578通过计算说明，患肺癌与吸烟是有关系的.参考答案1、D2、A3、1A 2B4、患肺癌与吸烟是有关系的5、解：在不吸烟者中，有0.50%患有肺癌，在吸烟者中，有2.82%患有肺癌，即：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在着差异.。
北师大版高中数学选修(2-3)-3.2同步检测：独立性检验2
独立性检验一、选择题1．下列说法正确的有（）①最小二乘法指的是把各个离差加起来作为总离差，并使之达到最小值的方法；②最小二乘法是指把各离差的平方和作为总离差，并使之达到最小值的方法；③线性回归就是由样本点去寻找一条直线，贴近这些样本点的数学方法；④因为由任何一观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验．A．1个B．2个C．3个D．4个2．设有一个回归直线方程2 1.5=-，则变量x增加1个单位时（）y xA．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位3．线性回归直线方程y a bx=+必过定点（）A．(00)，B．(0)x y，x，C．(0)y，D．()4．下列变量关系是相关关系的是（）①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①②B．①③C．②③D．②④5．下列变量关系是函数关系的是（）A．三角形的边长与面积之间的关系B．等边三角形的边长与面积之间的关系C．四边形的边长与面积之间的关系D．菱形的边长与面积之间的关系二、填空题6．线性回归模型y bx a e=++中，b=，a=．7．我们可用相关指数2R来刻画回归的效果，其计算公式为．8．我们常利用随机变量2K来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验，其思想类似于数学上的．9．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为．10．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表根据列联表数据，求得2K=．三、解答题11．在7块面积相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）（1）试求y对x的线性回归方程；（2）当施化肥量28x=kg时，预测水稻产量．12．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示:对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？13．某10名同学的数学、物理、语文成绩如下表：试分别研究他们的数学成绩与物理成绩的关系、数学成绩与语文成绩的关系，你能发现什么规律？参考答案一、 1-5 BCDAB 二、 6. 答案：121()()()nii i nii xx y y xx ==---∑∑，y bx -7. 答案：22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑8. 答案：反证法 9. 答案：正相关 10答案：7.469 三、11. 解：（1） 4.75256.79y x =+； （2）389.79kg12. 解：根据列联表中的数据，得到22189(54634032)10.76949586103K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯．因10.767.879>，所以有99.5%的把握说：员工“工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．13. 解：可求出物理成绩与数学成绩的相关系数0.870.75r ≈>，从而认为物理成绩与数学成绩之间具有很强的线性相关关系．而由语文成绩与数学成绩的相关系数0.092r ≈远小于0．75，说明语文成绩与数学成绩不具有线性相关关系．因此，数学成绩好的同学，一般来说物理成绩也较好，它们之间的联系较紧密，而数学成绩好的同学，语文成绩也可能好，也可能差，它们之间的关系不大．。
高中数学北师大版选修2-3学业分层测评 第3章 2.1 独立性检验 2.2 独立性检验的基本思想 2.3 独立性检验的应
学业分层测评(建议用时：分钟)一、选择题．有两个分类变量与的一组数据，由其列联表计算得χ≈，则认为“与有关系”犯错误的概率为( )．．．．【解析】χ≈＞.这表明认为“与有关系”是错误的可能性约为，即认为“与有关系”犯错误的概率为.【答案】．在调查中发现名男人中有名患有色盲，名女人中有名患有色盲．下列说法正确的是( )．男、女患色盲的频率分别为．男、女患色盲的概率分别为，．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关【解析】男人中患色盲的比例为，要比女人中患色盲的比例大，其差值为≈ ，差值较大．【答案】．为了探究中学生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的名学习时间较长的中学生中有名学习成绩比较好，名学习时间较短的中学生中有名学习成绩比较好，那么你认为中学生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为( )．．．．都不正确【解析】计算出χ与两个临界值比较，χ＝－×××)≈ ＞.所以有的把握说中学生的学习成绩与学习时间长短有关，故选.【答案】．某卫生机构对人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有人，不发病的有人；阴性家族史者糖尿病发病的有人，不发病的有人，有的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( )【导学号：】．．．．【解析】可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表χ＝≈＞.故我们有的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．【答案】．假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为{，}和{，}，其×列联表为：( ) ．＝，＝，＝，＝．＝，＝，＝，＝．＝，＝，＝，＝．＝，＝，＝，＝【解析】比较.选项中，＝；选项中，＝；选项中，＝；选项中，＝.故选.【答案】二、填空题．调查者通过随机询问名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名) 性别与喜欢文科还是理科列联表。
高中数学北师大版选修2-3教师用书第3章 2.1 独立性检验 2.2 独立性检验的基本思想 2.3 独立性检验的应用 Wo
§独立性检验独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用．了解独立性检验的基本思想方法．(重点)．了解独立性检验的初步应用．(难点)教材整理独立性检验阅读教材～，完成下列问题．设，为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量：，＝；变量：，＝，有下面×列联表：且变量取时的数据；表示变量取，且变量取时的数据．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了名电视观众，相关的数据如下表所示：【解析】因为在至岁的名观众中有名观众收看新闻节目，而大于岁的名观众中有名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．【答案】是教材整理独立性检验的基本思想阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题．在×列联表中，令χ＝.当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断．()当χ≤时，没有充分的证据判定变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；()当χ>时，有的把握判定变量，有关联；()当χ>时，有的把握判定变量，有关联；()当χ>时，有的把握判定变量，有关联．对分类变量与的统计量χ的值说法正确的是( ) 【导学号：】．χ越大，“与有关系”的把握性越小．χ越小，“与有关系”的把握性越小．χ越接近于，“与无关系”的把握性越小．χ越接近于，“与无关系”的把握性越大【解析】χ越大，与越不独立，所以关联越大；相反，χ越小，关联越小．【答案】预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：。
高中数学 第3章 独立性检验的基本思想同步练习 北师大版选修23
独立性检验的基本思想 同步练习【选择题】1、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是( ) A 、100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B 、1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌C 、在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D 、在100个吸烟者中可能没有一个患肺癌的人2、经过对2χ的统计量的研究，得到了若干个临界值，当2χ706.2≤时，我们认为事件A 与B （ ）A 、有95%的把握认为A 与B 有关系B 、有99%的把握认为A 与B 有关系C 、没有充分理由说明A 与B 有关系D 、不能确定A 、879.72≈χ B 、564.32≈χ C 、706.22<χ D 、722.42≈χ4、如果根据性别与是否爱好物理的列联表，得到841.3843.32>≈χ，所以判断性别与物理有关，那么这种判断出错的可能性为（ ）A 、5%B 、15%C 、20%D 、25% 【填空题】5、在0H 成立时，若,40.0)(2=≥k P χ则k =_____________.6、随机抽样340人，性别与喜欢韩剧列联表如下表，则性别与喜欢韩剧有关的频率约为______________________________【解答题】7、在500名患者身上试验某种血清治疗SARS 的作用，与另外500名未用血清的患者进行比8、恋上网吧是中学生中普遍存在的一种现象,恋上网吧对学生的学业，身体健康都有不良的试判断性别与恋上网吧是否有关.参考答案1、D2、C3、D4、A5、0.7086、0.757、因为841.38522.32>≈χ，所以我们有95%的把握认为这种血清能起到治疗SARS 的作用。
8、性别与恋上网吧有关。
2014高中数学 事件的相互独立性同步检测 北师大版选修2-3
2.2.2事件的相互独立性基础训练1．已知下列各对事件：（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生.今从甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动.“从甲组中选出一名男生”与“从乙组中选出一名女生”；（2）一盒内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球.“从8个球中任取1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取1个，取出的仍是白球”；（3）一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任取1个，取出的是苹果”与“取出第一个后放回筐内，再取1个是梨”；其中为相互独立事件的有【】A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)D.(2)(3)2．两个气象台同时作天气预报，如果他们与预报准确的概率分别为0.8与0.9，那么在一次预报中，两个气象台都没预报准确的概率为【】A.0.72B.0.3C.0.02D.0.033．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是【】A.320B.15C.25D.9204．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于【】A.2个球都是白球的概率B.2个球都不是白球的概率C,2个球不都是白球的概率 D,2个球中恰好有1个是白球的概率5．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是【】A.0.128B.0.096 C,0.104 D,0.3846．某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是【】A.35192B.25192C,35576D,651927．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 .8． 甲乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为31和41，求两人破译时以下事件发生的概率：（1）两人都能破译的概率； （2）恰有一人能破译的概率； （3）至多有一人能译出的概率.9． 设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为91,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同,则事件A 发生的概率P (A )是多少？10．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.拓展训练1．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是【 】A .21p pB .)1()1(1221p p p p -+-C .211p p -D .)1)(1(121p p ---2. 从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为51，身体关节构造合格的概率为41.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）【 】A .2013 B .51C .41D .523．如下图，用A 、B 、C 、D 表示四类不同的元件连接成系统M .当元件A 、B 至少有一个正常工作且元件C 、D 至少有一个正常工作时，系统M 正常工作已知元件A 、B 、C 、D 正常工作的概率依次为0.5、0.6、0.7、0.8，元件连接成的系统M 正常工作的概率)(M P = .4．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为5．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？6．在某次知识抢答赛的预赛中，甲乙两位同学分在同一小组，主持人给每个小组出四个必答题，每次只可由一位选手作答，每个小组只有答对不少于三道题才有资格进入决赛.已知对每道题，甲同学回答正确的概率为32，乙同学回答正确的概率为21.比赛规则规定可任选一位同学答第一题，如果回答正确，则仍由他继续回答下一题，如果答错，则下一题由另一位同学回答.每个同学答题行为是相互独立的.甲乙两人决定先由甲回答第一题.（1）以X 表示甲乙两同学所在小组答对题目的个数，求X 的分布列； （2）甲乙两同学所在小组晋级决赛的概率是多少？参考答案 基础训练1 .B2 .C 3. C 4. C 5 B 6. A 7. 0.24 0.768 设“甲能译出”为事件A ，“乙能译出”为事件B ,由题意，A 、B 相互独立.所以 （1）P (AB )=P (A )P (B )=1214131=⨯.(2) 11115()()()(1)(1)343412P AB AB P AB P AB +=+=⨯-+-⨯=.（3）)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P B A B A B A P ++=++1211)411)(311(41)311()411(31=--+⨯-+-⨯=.9．设P (A )=m ,P (B )=n 由题意，91)1)(1()(=--=n m B A P ,)()(B A P B A P =,即n m n m )1()1(-=-解得m =n =32，即P (A ) =32. 10． P =220.790.810.404⨯≈.拓展训练1. B2.D 3 0.752 4.0.01 , 0.16 5.216．（1）X 的可能取值为0，1，2，3，4.36121312131)0(=⨯⨯⨯==X P ，3121213131213132)1(⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==X P 5472131213131322131=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+ ， 2121313221313232)2(⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==X P 322121312121213132213132⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+ 8332322131=⨯⨯⨯+， 2131323231323232)3(⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==X P 6481752121213121213132=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+，811632323232)4(=⨯⨯⨯==X P . 所以X 的分布列为(2)2161018116648175)4()3(=+==+=X P X P。
高中数学 第三章 统计案例 2 独立性检验学案 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
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§2独立性检验学习目标重点难点1。
通过对典型案例的探究，了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想．2．会求χ2，及利用χ2判断两个变量的把握程度(两个变量是否有关系）。
重点:独立性检验的基本思想．难点：利用χ2判断两个变量的关联程度。
独立性检验设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值,变量A：A1，A2＝错误!；变量B:B1,B2＝错误!.其中，a表示变量A取A1,且变量B取B1时的数据，b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据,c表示变量A取A2，变量B取B1时的数据，d表示变量A取A2,变量B取B2时的数据．设n＝a＋b＋c＋d,χ2＝错误!.（1)χ2≤2。
706时，没有充分证据判定变量A，B有关联；(2）χ2＞2。
706时，有90%的把握判定变量A,B有关联；（3）χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；（4）χ2＞6。
635时，有99％的把握判定变量A，B有关联．预习交流独立性检验的基本思想是什么？提示：把假设检验的基本思想具体化到独立性检验中，就可以通过随机变量χ2把两个分类变量的独立性检验的基本思想表述为:χ2＝错误!(n＝a＋b＋c＋d)．独立性检验的基本思想为观察药物A，B治疗某病的疗效,某医生将100例该病病人随机地分成两组，一组40人,服用A药;另一组60人，服用B药，结果发现：服用A药的40人中有30人治愈；服用B药的60人中有11人治愈，问A，B两种药对该病的治愈率是否有显著差别?思路分析：首先应考查该资料取自什么样的试验设计，由于100个病人完全随机地被分成两组，而且，事先不知道任何一个病人的治疗结果是治愈还是不能治愈，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求．解：为了便于将数据代入公式计算,先列出2×2列联表：由公式得：χ2＝错误!≈31。
高中数学第三章统计案例2独立性检验课后巩固提升北师大版选修2_3
2 独立性检验[A组基础巩固]1．如果有99%的把握认为“X与Y有关系”，那么具体算出的数据满足( ) A．χ2>6.635 B．χ2>5.024C．χ2>4.879 D．χ2>3.841解析：当χ2>6.635时，有99%的把握认为“X与Y有关系”．答案：A2．分类变量X和Y的列联表如下：A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强解析：因为χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)，当(ad－bc)2越大时，χ2越大，说明X与Y 关系越强．答案：C3．下列关于χ2的说法正确的是( )A．χ2在任何问题中都可以用来检验两个变量有关还是无关B．χ2的值越大，两个分类变量的相关性就越大C．χ2是用来判断两个变量是否有关系的随机变量，当χ2的值很小时可以判定两个分类变量不相关D．χ2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解析：χ2只适用于2×2列联表问题，故A错；χ2只能判断两个变量相关，不能判断两个分类变量不相关，故C错；选项D中公式错误，分子应为n(ad－bc)2.故选B.答案：B4．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到χ2≈3.852>3.841，所以判断性别与运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过( )A ．2.5 %B ．0.5 %C ．1 %D ．5 %解析：∵χ2>3.841，∴有95 %的把握认为性别与运动有关，这种判断犯错的可能性不超过5 %.答案：D5．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由列联表中数据可求得随机变量χ2＝992×(700×32－60×200)2760×232×900×92≈7.349>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”．因此②③正确，故选C.答案：C6．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么在犯错误的概率不超过________的前提下认为两个变量之间有关系．解析：因χ2＝4.013＞3.841，因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为两个变量之间有关系．答案：0.057．某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生的一些情况，具体数据如下表：则χ2＝________，有________的把握判定主修统计专业与性别有关．解析：χ2＝50×(13×20－10×7)220×30×23×27≈4.844>3.841，故有95%的把握认为主修统计专业与性别有关． 答案：4.844 95%8．为探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示：________. 解析：χ2＝50×(14×19－6×11)220×30×25×25≈5.333.答案：5.3339．某教育机构为了研究人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度的关系，随机抽取了392名成年人进行调查，所得数据如下表所示：解析：由公式得χ2＝392×(39×167－157×29)2196×196×68×324≈1.78，∵1.78<2.706，∴我们没有充分的理由说人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革的态度有关．10．动物园对某种动物进行接种试验，预防传染病，经试验得到如下数据：解析：由已知数据得2×2列联表如下：则χ2＝86×86×24×148≈6.973，∵6.973>6.635，∴有99%的把握认为“接种”与“染病”有关．又设A 为接种未染病，B 为未接种未染病，则由数据得P (A )＝8086≈0.930 2，P (B )＝6886≈0.790 7.∴我们有99%的把握认为接种能够更有效地预防传染病．[B 组 能力提升]1．下列说法正确的个数为( )①对事件A 与B 的检验无关时，即两个事件互不影响；②事件A 与B 关系越密切，则χ2就越大；③χ2的大小是判定事件A 与B 是否相关的唯一根据；④若判定两事件A 与B 有关，则A 发生B 一定发生．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于①，对事件A 与B 的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定是两事件互不影响，故①错；②是正确的；对于③，判断A 与B 是否相关的方式很多，可以用图表，也可以借助于概率运算，故③错；对于④，两事件A 与B 有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A 发生B 一定发生，故④错．答案：A2．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量解析：因为χ21＝52×(6×22－14×10)216×36×32×20＝52×8216×36×32×20，χ22＝52×(4×20－16×12)216×36×32×20＝52×112216×36×32×20，χ23＝52×(8×24－12×8)216×36×32×20＝52×96216×36×32×20，χ24＝52×(14×30－6×2)216×36×32×20＝52×408216×36×32×20，则有χ24>χ22＞χ23>χ21，所以阅读量与性别关联的可能性最大．答案：D3．某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析．其中设备改造前生产的合格品有36件，不合格品有49件；设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据上面的数据，计算χ2的值约为________．(精确到0.001)解析：由已知数据得到下表：根据公式χ2＝95×85×101×79≈12.379.答案：12.3794．某卫生机构对366人进行健康体检，有阳性家族史者糖尿病发病的有16例，不发病的有93例，阴性家族史者糖尿病发病的有17例，不发病的有240例，那么，在犯错误的概率不超过________的前提下认为糖尿病患者与遗传有关系．解析：列出2×2列联表：所以χ2＝366×(109×257×33×333≈6.067＞3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为糖尿病患者与遗传有关． 答案：0.055．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值大于或等于98且小于106的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表(2)由以上统计数据填写2×2列联表，问是否有90%的把握认为“A 配方与B 配方的质量有差异”？解析：(1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为42＋22100＝64100＝0.64，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.64.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为42＋32100＝74100＝0.74，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.74.(2)2×2列联表：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝200×(64×26－74×36)2138×62×100×100≈2.3375.由于2.3375<2.706，所以没有90%的把握认为“A 配方与B 配方的质量有差异”． 6．某学校发现有大批学生不进行正常午休，于是开始对学生进行正确教育，并施行了一些奖罚措施，但是仍有些学生不能正常午休，教师进行谈话教育时这些学生总能找到许多理由，如“不午休不影响我的学习，不午休是我多年的习惯，我下午、晚上精力仍然很充沛”等等，使教师的说服教育效果很差，于是一位数学老师就对一次数学考试成绩进行了如下的统计(数据如下表)：那么请你利用这些数据统计分析来说明午休与学习的关系．解析：首先我们可以把考试成绩分成两个方面，及格与不及格．完成列联表：这时通过表格会发现午休学生的及格率P 1＝80180＝49，不午休学生的及格率P 2＝65200＝1340，显然P 1>P 2，那么我们有多大的把握承认这个结论？于是进行χ2检验．计算得χ2＝380×(80×135－65×100)2180×200×145×235≈5.727 8>3.841.所以我们有95%的把握认为：午休可以提高你的成绩．因此我们的结论是：适当午休有助于保持我们良好的学习状态，提高我们的学习成绩．。
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独立性检验 同步练习
【选择题】
1、事件A 、B 是相互独立的，下列有四个式子：①P(AB)=P(A)P(B);②)()()(B P A P B A P ⋅=③)()()(B P A P B A P ⋅=④)()()(B P A P B A P ⋅=⋅.其中正确的有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2、温州市正在全面普及数字电视，某住宅小区有2万住户，从中随机抽取200户，调查是否安装数字电视，调查结果如下表，则该住宅小区已经安装数字电视的用户数为 （ ）
A 、8 000
B 、5 000
C 、5 500
D 、9 500
【填空题】
3、设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，
变量A ：21,A A ,1A =
变量B ：21,B B ,1B =
若有式子n
d b n b a n b +⋅+=，则认为____________________独立. 4、为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）；
吸烟与患肺癌列联表
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟者 7775 42 7817
吸烟 2099 49 2148
总计 9874 91 9965
在不吸烟者中，有0.54%患有肺癌，
在吸烟者中，有2.28%患有肺癌，
由此可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在着差异
你可以进一步得到什么结论_____________________
【解答题】
5、为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）；
吸烟与患肺癌列联表
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟者 4567 23 4590
吸烟 1932 56 1988
总计 6499 79 6578
通过计算说明，患肺癌与吸烟是有关系的.
参考答案
1、D
2、A
3、1A 2B
4、患肺癌与吸烟是有关系的
5、解：在不吸烟者中，有0.50%患有肺癌，
在吸烟者中，有2.82%患有肺癌，
即：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在着差异.。