2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(二十二)圆的一般方程北师大版必修2

课时跟踪检测（二十二） 圆的一般方程
一、基本能力达标
1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )
A ．(1，－1)
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1
C ．(－1,2)
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－1 解析：选D 将圆的方程化为标准方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－1. 2．已知圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( )
A ．(1,1)
B ．(1，－1)
C ．(－1,0)
D ．(0，－1) 解析：选D 由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0得
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＋34k 2－1＝0， 即⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2. 若表示圆，则r 2＝1－34
k 2>0， ∴当k 2
＝0，r 最大为1，此时圆的面积最大．此时圆心为(0，－1)．
3．如果过A (2,1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，则l 的方程为( )
A ．x ＋y －3＝0
B ．x ＋2y －4＝0
C ．x －y －1＝0
D ．x －2y ＝0 解析：选A 由题意知直线l 过圆心(1,2)，由两点式可得直线方程为x ＋y －3＝0.
4．若圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为
22
，则a 的值为( ) A ．－2或2
B ．12或32
C ．2或0
D ．－2或0 解析：选C 由圆的方程得圆心坐标为(3,4)．再由点到直线的距离公式得|3－4＋a |2
＝22，解得a ＝2或a ＝0.
5．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2
＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，那么l 的方程是( )
A ．x ＋y ＝0
B ．x ＋y －2＝0
C ．x －y －2＝0
D ．x －y ＋2＝0 解析：选D l 为两圆圆心的垂直平分线，两圆圆心为(0,0)和(－2,2)，其中点为(－1,1)，
垂直平分线斜率为1，方程为y －1＝x ＋1即x －y ＋2＝0.
6．若方程x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.
解析：由题意，知D ＝－4，E ＝8，r ＝(－4)2＋82－4F 2
＝4，∴F ＝4. 答案：4
7．若使圆x 2＋y 2＋2x ＋ay －a －12＝0(a 为实数)的面积最小，则a ＝________.
解析：圆的半径r ＝12 4＋a 2－4(－a －12)＝12 a 2＋4a ＋52＝12
(a ＋2)2＋48，∴当a ＝－2时，r 最小，从而圆面积最小．
答案：－2
8．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则直线PQ 的斜率k PQ ＝________.
解析：由题意知，圆心(－1,3)在直线kx ＋2y －4＝0上，所以k ＝2，即直线kx ＋2y －4＝0的斜率为－k
2
＝－1，所以k PQ ＝1. 答案：1
9．已知圆心为C 的圆经过点A (1,0)，B (2,1)，且圆心C 在y 轴上，求此圆的一般方程． 解：法一：设圆心C 的坐标为(0，b )，由
|CA |＝|CB |得 1＋b 2＝22＋(b －1)2，
解得b ＝2.
∴C 点坐标为(0,2)．
∴圆C 的半径r ＝|CA |＝ 5.
∴圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝5，
即x 2＋y 2－4y －1＝0. 法二：AB 的中点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12.中垂线的斜率k ＝－1， ∴AB 的中垂线的方程为y －12＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －32， 令x ＝0，得y ＝2，即圆心为(0,2)．
∴圆C 的半径r ＝|CA |＝ 5，
∴圆的方程：x 2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2
－4y －1＝0.
10．某海滨城市的气象台测得附近海面有台风，根据监测，当前台风中心位于该市正南方向300 km 处，若台风以40 km/h 的速度向东北方向移动，距台风中心250 km 以内的区域都受到台风的影响，问从现在起，大约多长时间后，该市将受到台风的影响？该市持续受台风影响将长达多少小时？
解：以该市为原点，东西方向为x 轴建立平面直角坐标系，如
图，由题意知，当台风中心进入圆x 2＋y 2＝2502
内时，该市将受到
台风的影响，根据监测，台风中心正沿直线x －y ＝300向东北方向
移动．
设直线x －y ＝300与x 轴，y 轴的交点为A ，B ，交圆x 2＋y 2＝2502于C ，D 两点，作OE ⊥AB ，垂足为E ，
则在Rt △DOE 中，|OE |＝150 2，|OD |＝250，
∴|DE |＝2502－(150 2)2＝50 7.
在Rt△BOE 中，|BE |＝150 2，
∴|BD |＝|BE |－|DE |＝1502－507，
|CD |＝2|DE |＝1007.
∴t 1＝1502－50740≈2，t 2＝100740
≈6.6. 故从现在起，大约2 h 后该市受到台风的影响，持续时间大约为6.6 h.
二、综合能力提升
1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的标准方程为( )
A ．(x －2)2＋(y －3)2＝16
B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝16
C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝16
D ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝16
解析：选C 将x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0配方，易得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16.
2．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的圆与x 轴相切，则有( )
A ．D 2－4F ＝0
B ．D 2
－4E ＝0 C ．D ＝E D ．D 2＋4F ＝0 解析：选A 由于圆与x 轴相切，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－E 2＝12
D 2＋
E 2－4
F ，整理得D 2－4F ＝0. 3．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )
A. 5
B ．3＋ 5
C ．14－6 5
D ．14＋6 5 解析：选D 由题知点(x ，y )在圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，即(x ＋2)2＋(y －1)2＝9上．又
圆心(－2,1)到原点的距离为22＋12＝5，故x 2＋y 2的最大值为(5＋3)2
＝14＋6 5.
4．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为( )
A ．(－∞，2)
B ．(－∞，－1)
C ．(1，＋∞)
D ．(2，＋∞)
解析：选D 由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0，得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为(－
a,2a )，半径为2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －a <0，a >0，|－a |>2，
2a >2，
解得a >2，故选D. 5．关于方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，下列叙述中：①圆心在直线y ＝－x 上；②
其圆心在x 轴上；③过原点；④半径为2a .其中叙述正确的是________(要求写出所有正确命题的序号)．
解析：将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a ，a )，半径为2|a |，故①③正确． 答案：①③
6．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．
解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.
答案：(－∞，1)
7．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．
解：圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2
，－E 2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2，①
又r ＝
D 2＋
E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20，②
由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝2.
又圆心在第二象限，∴－D 2
＜0，即D ＞0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4，
∴圆的方程为x 2
＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.
探究应用题
8．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，及点Q (－2,3)．
(1)点P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；
(2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值．
解：(1)∵点P (a ，a ＋1)在圆上，
∴a 2＋(a ＋1)2
－4a －14(a ＋1)＋45＝0， ∴a ＝4，P (4,5)，
∴|PQ |＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210， k PQ ＝3－5－2－4＝13
. (2) ∵圆心C 坐标为(2,7)，
∴|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42， 圆的半径是22，点Q 在圆外， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.。