线性代数课件_第二章_矩阵及其运算——3
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线性代数教学课件第二章矩阵第三节逆矩阵
| (3A)1 2 A | 的值. (其中 A 为 A 的伴随矩阵）
解 A | A | A1 1 A1 ,
2
| (3A)1 2A | | 1 A1 A1 | | 2 A1 |
3
3
(
2 )3 3
|
A1
|
8 | 27
A |1
8 2 27
16 27
.
18
(5) 设 A, B,C 为同阶方阵, AB AC .若 A 可逆,则B C .
对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立.
(6) 若A可逆,则有 | A1 | | A |1 . 证 AA1 E , | A | | A1 | 1 , 因此 | A1 | | A |1 .
17
例9 设 A 为 3 阶方阵，且| A | 1 , 求行列式 2
14
2a c 1,
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0, 1 01 2 1 2 1 0 0 1
所以
A1 0 1. 1 2
15
三、逆矩阵的运算性质
(1) 若A可逆,则A1亦可逆,且( A1 )1 A . (2) 若A可逆,数k 0,则kA可逆,且 (kA)1 1 A1.
可逆时,
求 A1
解 A 可逆的充分必要条件是 A ad bc 0
又
A*
A11 A12
A21 A22
d c
ab
所以当 A ad bc 0 时,
对角元互换位置, 非对角元变号
A1
1 A
A*
ad
解 A | A | A1 1 A1 ,
2
| (3A)1 2A | | 1 A1 A1 | | 2 A1 |
3
3
(
2 )3 3
|
A1
|
8 | 27
A |1
8 2 27
16 27
.
18
(5) 设 A, B,C 为同阶方阵, AB AC .若 A 可逆,则B C .
对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立.
(6) 若A可逆,则有 | A1 | | A |1 . 证 AA1 E , | A | | A1 | 1 , 因此 | A1 | | A |1 .
17
例9 设 A 为 3 阶方阵，且| A | 1 , 求行列式 2
14
2a c 1,
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0, 1 01 2 1 2 1 0 0 1
所以
A1 0 1. 1 2
15
三、逆矩阵的运算性质
(1) 若A可逆,则A1亦可逆,且( A1 )1 A . (2) 若A可逆,数k 0,则kA可逆,且 (kA)1 1 A1.
可逆时,
求 A1
解 A 可逆的充分必要条件是 A ad bc 0
又
A*
A11 A12
A21 A22
d c
ab
所以当 A ad bc 0 时,
对角元互换位置, 非对角元变号
A1
1 A
A*
ad
线性代数课件第2章矩阵
于乘法中的数1． 课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB； （2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则
线性代数矩阵及其运算 ppt课件
1 2 2 .5 8 3 1 3 0 .5 89
1 2 4 .5 9 3 6 3 .5
83
22
三、 矩阵的乘法
定义1.5 (P5)
设矩阵A=(aij)ml的列数与矩阵B=(bij)ln的行数相等, 则由元素
C
2
8
4
求AB、BA和BC
解 AB 816 1362
BA
0 0
0 0
BC
0 0
0 0
AB≠BA , BA=BC
(1) AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2) 两个非零矩阵相乘可能是零矩阵 (3) BA=BC,但A≠C,可见，矩阵乘法不满足消去率
那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B
16
判断下列各组矩阵是否相等
(1)
8
(3)2
5 2 0
s9in61
2 2 2.5 0.5
9 0 8
(2)
0 0
0 0
0 0
00
0 0
1 0 0
(3)
0
0
1 0
0 1
(1 )
am1x1am2x 2 amn xn bm
m个方程 ，
n个未知数
a11 a12
a
21
a 22
a m 1 a m 2
a1n
a2n
a m n
a11 a12
a21
a22
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
线性代数培训课件2-矩阵及其运算培训
线性代数培训课件-矩阵及其运算培训
第一节 矩阵
4
主要内容
矩阵的定义 几种常用的特殊矩阵 矩阵的应用举例
线性代数培训课件-矩阵及其运算培训
第一节 矩阵
5
一、矩阵的定义
定义 1 由 m n 个数 aij (i = 1, 2, ···, m; j = 1,
2, ···, n) 排成的 m 行 n 列的数表
((22)) 求求 CC 的的负负矩矩阵阵..
解 (1) A 与 B 能进行加法运算; 而 A 与 C,
B 与 C 不能进行加法运算, 因为它们不是同型矩
线性代数培训课件-矩阵及其运算培训
第二节 矩阵的运算
21
二、数与矩阵相乘
1. 定义
定义 3 设 A = ( aij )m×n , k 是一个数, 则
的列数等于 B 的行数, 所以矩阵 A 与 B 可以相乘, 其乘积 AB = C 是一个 2×3 矩阵, 由矩阵乘积的 定义有
线性代数培训课件-矩阵及其运算培训
第二节 矩阵的运算
28
例例 55 求 求矩矩阵阵
2 4
2 4
A 1 2 , B 3 6
的乘积 AB 及 BA.
解 由定义有
法模型之：AAB2 2
线性代数培训课件-矩阵及其运算培训
当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.
第一节 矩阵
16
三、矩阵的应用举例
例 1 产品发送量矩阵
某 例厂2向邻三个接商矩店阵发送四种产品的数量可列成 矩阵例四个3城线市间性的变单换向的航矩线阵如图 2. 1 所示. 若令 ··则·, 图ymn例 设例之2a个.i有间j145变=可线的量用性二关线A10x矩， ，方系次性 1 ,阵从 从程式aaa曲x方1322表1组11ii,线程市 市·示·aaa·的组1到 到 32,为222x矩n的jj与aaa市 市132阵矩333有 没m阵aaa有个1132444条变单单量向向航y1航线, y线2，,， 线性代数培其训课中件-二a矩i阵j次2为及y其y曲工21运算线a厂a0培2aa111的训向21xx11111xx一第11 a1般a2i21aa22店方1xx212222xx发程22送为第 aa12jnnaa种x1x12nnnn产xxnnb品b,1,2 ,的, 数量4(I.)
第一节 矩阵
4
主要内容
矩阵的定义 几种常用的特殊矩阵 矩阵的应用举例
线性代数培训课件-矩阵及其运算培训
第一节 矩阵
5
一、矩阵的定义
定义 1 由 m n 个数 aij (i = 1, 2, ···, m; j = 1,
2, ···, n) 排成的 m 行 n 列的数表
((22)) 求求 CC 的的负负矩矩阵阵..
解 (1) A 与 B 能进行加法运算; 而 A 与 C,
B 与 C 不能进行加法运算, 因为它们不是同型矩
线性代数培训课件-矩阵及其运算培训
第二节 矩阵的运算
21
二、数与矩阵相乘
1. 定义
定义 3 设 A = ( aij )m×n , k 是一个数, 则
的列数等于 B 的行数, 所以矩阵 A 与 B 可以相乘, 其乘积 AB = C 是一个 2×3 矩阵, 由矩阵乘积的 定义有
线性代数培训课件-矩阵及其运算培训
第二节 矩阵的运算
28
例例 55 求 求矩矩阵阵
2 4
2 4
A 1 2 , B 3 6
的乘积 AB 及 BA.
解 由定义有
法模型之：AAB2 2
线性代数培训课件-矩阵及其运算培训
当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.
第一节 矩阵
16
三、矩阵的应用举例
例 1 产品发送量矩阵
某 例厂2向邻三个接商矩店阵发送四种产品的数量可列成 矩阵例四个3城线市间性的变单换向的航矩线阵如图 2. 1 所示. 若令 ··则·, 图ymn例 设例之2a个.i有间j145变=可线的量用性二关线A10x矩， ，方系次性 1 ,阵从 从程式aaa曲x方1322表1组11ii,线程市 市·示·aaa·的组1到 到 32,为222x矩n的jj与aaa市 市132阵矩333有 没m阵aaa有个1132444条变单单量向向航y1航线, y线2，,， 线性代数培其训课中件-二a矩i阵j次2为及y其y曲工21运算线a厂a0培2aa111的训向21xx11111xx一第11 a1般a2i21aa22店方1xx212222xx发程22送为第 aa12jnnaa种x1x12nnnn产xxnnb品b,1,2 ,的, 数量4(I.)
线性代数 矩阵及其运算PPT精品文档67页
10
22
1 1
3
6
注意: 这里BA无意义.
例3 设矩阵
Aai1 ai2 ... ain ,
求AB和BA. 解
b1j
B
b.2..j
bnj
b1jai1 b1jai2 L b1jain
n
AB aikbkj k 1
,
BA
b2
jai1 M
bnjai1
b2 jai2 M
bnjai2
L O L
行数和列数相等的矩阵称为方阵. nn阶矩阵称为n阶
方阵. 和行列式相同, 主对角线以外的元素全是零的方阵也
两个矩阵相等, 是指两个矩阵完全一样, 即阶数相同 而且对应的元素完全相等.
二、加法
设A=(aij)m×n, B=(bij)m×n, 则矩阵C=(cij)m×n (其中cij
=aij+bij , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) 称为A与B的和记作A+B.
即
a11b11 a12b12 ... a1nb1n
（ ⅲ ）数的结合律：k(AB)=(kA)B=A( kB);
五 矩阵的转置
设矩阵A=(aij)m×n, 则矩阵B=(bij)n×m(其中bij =aji , i=1,2,…,n, j=1,2,…,m) 称为A的转置, 记作B=AT,或A, 即
a11 a12 ... a1n
A
a21
a22
...
a2n
解
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 3 3 31 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 3 3 3 ( ( ( 1 1 1 1 ) ) )1 1 1 ( ( ( 1 1 1 ) ) ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 0 0 0 A A A B B B 4 1 5 0 6 34 0 5 1 6 ( 1 )4 ( 1 ) 5 2 6 0
第二章 矩阵及其运算 《工程数学线性代数》课件PPT
0
x
§2 矩阵的运算
例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示：
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．
c11 c12 c13 c14 c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
det(aij )
(aij )mn
三、特殊的矩阵
1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 An.
2. 只有一行的矩阵 A (a1, a2 ,L , an ) 称为行矩阵(或行向量) .
a1
只有一列的矩阵
B
a2
M
称为列矩阵(或列向量)
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
( )A A A (A B) A B
备 注
矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33
a12 a22
a13 a23
a14 a24
线性代数第2章 矩阵PPT课件
行矩阵(Row Matrix):
只有一行的矩阵 A a 1 ,a 2 , ,a n ,
称为行矩阵(或行向量).
列矩阵(Column Matrix):
a 1
只有一列的矩阵
B
a2
,
称为列矩阵(或列向量).
a n
暨大珠院
方阵(Square Matrix):
n 行数与列数都等于 的矩阵，称为 n阶方阵.也可记作 An .
排成m的 行n列的数表，
称为 m行n列矩. 阵 简m 称 n矩.阵
a11
记作A
a21
a12 a22
a1n a2n
暨大珠院
am1 am2 amn
简记为
Aa ijm n
或 Amn
实矩阵: 元素是实数;复矩阵:元素是复数.
规定:
Aa a 11
例如： 1 0 3 5 是一个 24
9 6 4 3
1
En
1
1 nn
暨大珠院
数量矩阵(Scalar Matrix):
方阵，主对角元素全为非零常数k，
其余元素全为零的矩阵。
k
kEn
k
k nn
暨大珠院
二. 矩阵的基本运算 1. 矩阵相等.
同型矩阵： 两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 设 矩 阵 A m n 与 B m n 是 同 型
33 62 81 6 8 9
暨大珠院
负矩阵：称- A 为矩阵 Aaij 的负矩阵。
a11
A
a 21
a12
a 22
a1n
a 2n
aij
am1
am1
am
n
减法: A B A ( B )
线性代数课件--03 矩阵及其运算
B.
6
二、矩阵举例
例2 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
a11 A a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33 a14 a 24 a 34
其中 a ij 为工厂向第 i 店发送第 j 种产品的数量. 这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x , 2 21 1 22 2 2n n ym am1 x1 am 2 x2 amn xn ,
(1)
称为从变量 x1 , x2 ,, xn到变量y1 , y2 ,, ym的线性变换. 线性变换 (1)的系数 a ij构成矩阵 A (aij ) mn ; 称为线性变换的系数矩阵，线性变换与矩阵是一一 对应的.
3
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2n amn
这 m n 个数称为矩阵 A的元素，简称为元，数 a ij 位于矩阵的第 i 行第 j 列，称为矩阵的 ( i , j )元. 以 数 a ij 为 ( i , j ) 元的矩阵可简记作 ( a ij )或 ( a ij ) m n . m n 矩阵 A也记作Amn .
冰箱 29``彩电 25``彩电
16
22
30
30Leabharlann 1820 30 16 B 22 18
40 30 30 20
问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量 分别是多少？
24
30 20 50 20 A 0 7 10 0 50 40 50 50
线性代数 矩阵及其运算优秀PPT
排成的m行n列的数表
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
称m行n列矩阵，简称 m×n矩阵。记作
am1 am2 ... amn
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
am1 am2 ... amn3
由于方阵Ak、Am、E对乘法是可交换的，所
以矩阵A的多项式的乘法也是可交换的，即
f (A)g(A) g(A)f (A)
从而A的多项式可以象数x的多项式分解因式.
如： A2 3A 2E ( A 2E)( A E)
( A E)3 A3 3A2 3A E
22
5.矩阵的转置
定义2.6 A的转置矩阵，记作AT，是将A的行列互换后所 得矩阵如果 A是一个 m×n 阶矩阵， AT 是一个 n×m 阶矩阵。
而b1i，b2i，…，bsi 正好是 BT的第 i 行，aj1,aj2,…,ajs 正
好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT的第 i 行第 j 列的元 素。故
( AB )T = AT BT
24
6. 对称矩阵与反对称矩阵
设 A为 n 阶方阵， 若 AT = A，
即
aij = aji (i,j=1,2,…,n)，
32
§2.3 逆矩阵
1、可逆矩阵的定义（定义2.8）
设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 A B = B A = E 恒成立，则称矩阵 A 可逆或满秩矩阵, 或非奇异矩阵；B 称为 A 的逆矩阵，记为 A－1 = B 。
2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质
大学线性代数矩阵教学最全课件
B
1 4 2
7 2 0
1 31, 求(AB)T.
AB
2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
311
0 17
14 13
130,
所以
AB
T
0 14 3
111703.
解法2:
1
(AB)T=BTAT
0 Biblioteka 1 的方阵, 称为单位矩阵，
其中主对角线上的元素都是1，其他元素都是0。记作: En 或 E
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
(6) 形如
1
0
0
0
2
0
0
0
n
的方阵,
称为对角矩阵(或对角阵),
其中1, 2, ···, n不全为零.记作 A=diag(1, 2, ···, n)
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵 §5 矩阵的初等变换 §6 矩阵的秩
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义 定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排
成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
4
5
6
7 8 9 7 8 9
11 2 2 33 2 4 6
4
4
55
6
6
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A 1 A A 1A E ,
则矩阵 A1称为 A的可逆矩阵或逆阵.
2020/4/25
课件
4
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n阶矩阵 A，如果有一个n阶矩阵B
,使得
A B B A E ,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B称为A的逆矩阵. A的逆矩阵记A作 1. 例 设 A 11 ,B 12 12 ,
得
A
2 3
6 6
4 5 ,
2 2 2
故
2
A1
1 A
A
1 2
3 2
6 6 2
54 2
1 3 1
2
3 3 1
2 5 2. 1
2020/4/25
课件
17
例2 下列 A ,B 矩 是阵 否 ?若 可可 ,求 逆逆 出其
矩.阵
1 2 3 A 2 1 2,
1 3 3
2 3 1 B 1 3 5 .
证明 由 A 2A 2E 0 ,
A1
2020/4/25
得 A A E 2 E AAEE
2
AAE 1A0, 故A可逆 . 2
课件
23
A11AE.
2
又 A 2 A 由 2 E 0
A 2 E A 3 E 4 E 0
A2E 1 4A3E E A2E1
A2E1A3E1, 故 A2E可.逆
4
且 A 2E 11A 3E 3E A.
4
4
2020/4/25
课件
24
例5 解矩 1 阵 1 5 方 X 3程 2 ;
14 14
2X11
1 1
1 1 02
2 0
3 4;
2 1 1 0 1 5
31 1
1 1
1 1 0X1
1 1
1 4 00
2 1
3 5.
2 1 1 3 2 1 2 1 1
3 4 3
123 解 A 2 2 1 0, A1存在.
343
21
A11 4
2, 3
21
A123
3, 3
2020/4/25
课件
16
同理可得 A 1 2 3 ,A 2 6 1 ,A 2 2 6 ,A 2 2 3 , A 3 1 4 ,A 3 2 5 ,A 3 3 2 ,
6 0 3 0 6 0 1 3 0 0 2 0 .
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
2020/4/25
课件
31
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
例7 已知A0 0 3 0 0 求A1.
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5
解 因 A5!0, 故A1存在 .
由伴随矩阵法得 A1A A,
1 3 14 2 31 3 1 13 75 30 12 10 1512 1 9 52 21.
15 22 1 115 2 21 120 47
2020/4/25
课件
29
例6 设三阶 A,B矩 满阵 足:关系
o 12
A1BA 6AB,A 且 A 14 求B.
o
17
解 A 1 B B A 6 A A
课件
11
推论 若 A E 或 B B E , 则 A B A 1 .
证明 ABE1, 故A0,
因而 A1存在 , 于是
BE BA 1ABA1AB
A EA .
1
1
证毕
逆矩阵的运算性质
1 若 A 可 ,则 A 1 亦 逆 ,且 A 可 1 1 A .逆
2020/4/25
课件
12
2 若 A 可 ,数 逆 0 ,则 A 可 ,且 逆
A1 1A1.
3 若A, B为同阶方阵且均可,则 逆AB亦可逆,且 AB 1 B 1 A 1
证明 A B 1 A B 1 A B 1 A 1 B
AE1AAA 1E,
A 1 B B 1 A 1 .
2020/4/25
1 1
1 4 00
2 1
3 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1
1 1 1 1
给方程两端左乘矩阵
1
1
0 ,
3 2 1
2020/4/25
课件
28
给方程两端右乘矩阵
1 1
1 1
1 1 0 ,
3 2 1
1 1 114 2 31 1 11
得
X1 1 0 0 1 51 1 0
3 2 1 2 1 13 2 1
A 3 24 ,A 3 3 3 .
2020/4/25
课件
19
A1AA A1AAA111321
A21 A22 A23
A31 A32 A33
1 4
3 4 5
3 0 1
1 4 . 3
2 3 1 由于B 1 3 5 0,
1 5 11
2020/4/25
课件
故B不可逆 .
20
例3
设
1 A2
3
2 2 4
A
O
O
A
A
,
A
2020/4/25
课件
10
AA A AAEAA AAE, AA
按逆矩阵的定义得
A 1
A .
A
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A0 时 ,A 称为奇 ,当 A 异 0 时 ,A 称 矩为 阵 非奇. 异矩阵
由此A 可 是得 可逆阵的A 充 为要 非条 奇件 .异
2020/4/25
2020/4/25
课件
32
2345 0
0
0
0
1
0 0
1345 0 0 1245
0 0
0 0
5!
0
0
0 1235 0
0
0
0
0 1234
1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0
0 0 1 3 0
0 .
0 0 0 1 4 0
0 0 0 0 1 5
2020/4/25
课件
33
四、小结
2020/4/25
课件
6
例
设
A 2 1
1, 0
求A的逆阵 .
解
设利用B待定 a系数b 法 c d
是
A的逆矩阵,
则 AB 2 1a b 1 0 1 0c d 0 1
2ac 2bd1 0 a b 0 1
2020/4/25
课件
7
2a c 1,
2 b d 0 ,
a 0,
b 1 ,
课件
13
推 A1 A 2 广 Am 1 Am 1 A 2 1 A1 . 1
4 若 A 可 , 则 A T 亦 逆 , 且 A 可 T 1 A 1 T.逆 证明 A TA 1T A 1 A T ET E,
A T 1A 1T .
另,外 当 A0时 ,定义
课件
35
思考题解答
答 是的 .这是由 A1的 于唯一性.决定的
2020/4/25
课件
36
26
2X11
1 1
1 1 02
2 0
3 4
2 1 1 0 1 5
给方程两端右乘矩阵
1 1 1 1
1 1 0 ,
2 1 1
1 2 31 1 11
得
X2 0 4 1 1 0
0 1 5 2 1 1
2020/4/25
课件
27
2 9 5 2 8 6 .
4 14 9
31 1
1 1
1 1 0X1
2020/4/25
课件
25
解
1 1 5 X 32
1 4 14
给方程两端左乘矩阵 1
51 ,
E
1 4
得 1 5 1 1 5 X 1 5 1 32 14 14 1414
X1
513
24
53
217
28.
1 4 1 4 1 11 4 4 6
2020/4/25
课件
A0E, AkA1k.
k为正整 数
2020/4/25
课件
14
当 A0,,为整,有 数时
A A A , AA.
5 若 A 可 ,则 逆 A 1 有 A 1 .
证明
A1 A E AA1 1
因此 A1 A1.
2020/4/25
课件
15
三、逆矩阵的求法
例1
求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
1 5 11
123 1 2 3
解
A 2 1 2 0 3 4
133 0 1 0
2020/4/25
课件
18
12 3
0Байду номын сангаас
3
3 4
4 4 0, 所以 A可逆 .
10
01 0
12
A113
3, 3
22
A121
4, 3
21
A13 1
5, 3
同理 A 2 1 可 3 ,A 2 20 求 ,A 2 3 1 得 ,A 3 11 ,
A 1 E B 6 A A A 1 E B 6 E
B 6 A 1 E 1 .
2020/4/25
课件
30
B 6A 1E 1
6002
0 4 0
0 1 00 7 0
0 1 0
01 10
6
1 0 0
0 3 0
0 1
0 6
1 0 0 1
1
0
0 6 0 0
逆矩阵的概念及运算性质.