JHY第六章 代数系统64学时

如果eL= eR 的幺元。
=e，对任何x∈X，有ex=xe=x,
eRቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S
称e是相对 RAL
对加法+，幺元是0， 对乘法×，幺元是1， 对并运算∪，幺元是Φ， 对交运算∩，幺元是全集E，
eL S S R A L RRALS AALS R L LSRA
从运算表找左幺元eL ： eL所在行的各元素均与上表头元
可见运算“-”、“~”、“+” “×”就是个映射。
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1.定义：设X是个集合，f:XnY是个映射，则称f 是X上 的n元运算。(Xn =X×X×...×X --n个X的笛卡尔积)，
n个
如果YX，则称运算f 在X上是封闭的。
f:XY 是个一元运算。前面的-、~是一元运算。 f:X2Y 是个二元运算。+×÷∧∨∪∩是二元运算。
从运算表看幂等元、幂等性：看主对角线的元素与上 表头(或左表头)元素相同。请看上述∩的运算表，∩有 幂等性。
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四.幺元(单位元、恒等元)
设是X上的二元运算，如果有eL∈X，使得对任何x∈X，
有eLx=x，则称eL是相对的左幺元。如果有eR∈X，使
得对任何x∈X，有xeR=x ，则称eR是相对的右幺元。
运算的运算规律。 例如令E={a,b} P(E)上的∩
运算表如图所示。
左表头元素
运算 上 表 头 元 素
∩ Φ {a} {b} {a,b}
ΦΦ Φ Φ Φ {a} Φ {a} Φ {a} {b} Φ Φ {b} {b} {a,b} Φ {a} {b} {a,b}
再如令X={S,R,A,L}其中 S表示开始时的位置； R表示“向右转”； A表示“向后转”； L表示“向左转”； “ ”表示转动的复合运算；
素相同。如S行，所以S是eL 。
从运算表找右幺元eR ： eR所在列的各元素均与左表头元
素相同。如S列，所以S是eR 。
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定理6-2.1.设是X上的二元运算，如果有左幺元 eL∈X ，
也有右幺元 eR∈X，则 eL= eR =e ，且幺元 e 是唯一的。 证明：因为 eL是左幺元，又eR∈X，所以 eLeR=eR
因为eR是右幺元，又 eL ∈X，所以 eLeR= eL 于是 eL= eR =e 。 下面证明幺元的唯一性。 假设有两个幺元e1、e2，
因为e1是幺元，又e2∈X，所以 e1e2=e2 因为e2是幺元，又 e1 ∈X，所以 e1e2= e1 则 e1= e2 =e 。所以幺元是唯一的。
作业 第178页 （2）
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6-2 二元运算的性质*
这一节是重要的一节。因为就是根据运算的性质将代 数系统分成半群、独异点、群、交换群、环、域、格、 布尔代数等，这些性质多数是大家所熟悉的。 一. 封闭性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y∈X,有xy∈X,则 称在X上封闭。
例如在N上加法+和乘法×封闭，而减法不封闭。 从运算表可以很容易看出运算是否封闭。 二.交换性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y∈X,有xy=yx, 则称是可交换的。 大家都知道：加法、乘法、交、并、对称差是可交换。
JHY第六章 代数系统64 学时
2020年4月22日星期三
第六章 代数系统(抽象代数)
问题的提出：
集合代数与命题代数,尽管研究的对象不同,但是它们 的性质完全一样，都有对合律、交换律、结合律、分配 律、吸收律、底-摩根定律、同一律、零律、互补律等。
这些促使我们将代数的研究引导到更高的层次—即抛 开具体对象的代数。 抽象代数—研究抽象对象的抽象运算的代数的共性。
例如上边的X={S,R,A,L}，<X， >是个有限代数系统。 3. 同类型代数系统：给定两个代数系统 U=<X, f1,f2,…fm> ，V=<Y, g1,g2,…gm> 如对应的运算fi和 gi的元数相同(i=1,2,3,…,m),则称U与V是同类型代数系统。
例如<P(E)，~,∩,∪> <{T,F}， ,∧,∨>
其运算表如图所示。
SRAL
S SRAL RRALS AALS R L LSRA
从运算表除了可以看清运算的规律外，可以很容易地
看出运算的性质。
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二.代数系统的概念
1.代数系统的定义：X是非空集合，X上的m个运算 f1,f2,…fm, 构成代数系统U,记作U=<X, f1,f2,…fm> ( m≥1) 注意：这m个运算f1,f2,…fm的元数可能各不相同, 比如f1 是一元运算，f2是二元运算,…,fm是k元运算。 例如 <N,+,×>，<I, -,+,－,×>，<P(E), ~,∪,∩,> 2.有限代数系统： U=<X, f1,f2,…fm> 是个代数系统，如果 X是个有限集合，则称U是个有限代数系统。
{b} 。 。{b}
{a,b} 。 。{a,b}
...
N2 + <0,0>。 <0,1>。 <0,2>。 <1,0>。 <1,1>。
。。N01 。2 。3
N2 × <0,0>。 <0,1>。 <0,2>。
。。N01 。2
...
<1,0>。 。3
<1,1>。
...
<1,2>。
<1,2>。
...
...
...
思考题：下面说法是否正确？
减法－是N上封闭的二元运算。
除法÷是整数 I上的二元运算。
除法÷是实数 R上的二元运算。
这里我们主要讨论二元运算。
通常用、、• 、、、、 、+、×等表示抽象 的
二元运算。 如果用“”表示二元运算f 时，
通常将 f(<x,y>)=z 写成 xy=z 。
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2.二元运算的运算表 有时用一个表来表示二元
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6-1 代数结构(系统)的概念
代数结构(系统) 是一个运算对象的集合和若干个运算 构成的系统。
一.n元运算
例子：整数集合I上取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 和N上的“+、×”
...
...
I－ --12012。。。。。
...
...
I 。。。。。20--112
P(E) Φ。
~
P(。EΦ)
{a} 。 。{a}
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∩ Φ {a} {b} {a,b}
ΦΦ Φ Φ Φ {a} Φ {a} Φ {a} {b} Φ Φ {b} {b} {a,b} Φ {a} {b} {a,b}
SRAL
S SRAL RRALS AALS R L LSRA
从运算表看交换性：是个以主对角线为对称的表。
三.幂等元、幂等性 设是X上的二元运算，如果有a∈X，aa=a, 则称a是 幂等元，如果对任何x∈X,都有xx=x,则称有幂等性。