05-12高考试题数学文分析
2005年高考.全国卷II.文科数学试题精析详解(黑龙江、吉林、广西、内蒙古、新疆等地区用)
2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（全国2文科卷）试题精析详解一、选择题（5分⨯12=60分）（1）函数f(x)=|sin x+cos x|的最小正周期是(A)4π (B) 2π(C) π (D)2π 【思路点拨】本题考查三角函数的化简和绝对值的概念和数形结合的思想.【正确解答】()|sin cos |)|f x x x x ϕ=+=+，f(x)的最小正周期为π. 选C【解后反思】三角函数的周期可以从图象上进行判断，但是一个周期函数加绝对值后的周期不一定减半.如tan y x =的最小正周期为π，但是，|tan |y x =的最小正周期也是π，因此，对函数的性质的运用必须从定义出发，要学会用定义来研究问题.(2)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点.那么，正方体的过P 、Q 、R 截面图形是(A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形【思路点拨】本题考查平面的作法和空间想象能力，根据公理1可从P 、Q 在面内作直线，根据公理2，得到面与各棱的交点，与棱相交必与棱所在的两个面都有交线段.【正确解答】画图分析.作直线PQ 交CB 的延长线于E ，交CD 的延长F ，作直线ER 交1CC 的延长线于G ，交1BB 于S ，作直线GF 交1DD 于H ，交11C D H ，连结PS,RT,HQ ，则过P 、Q 、R 的截面图形为六边形PQHTRS ， 故选D.【解后反思】要理解立体几何中的三个公理及3个推论是确定平面的含义，但不必深入研究.. （3）函数y=x 2-1(x ≤0)的反函数是(A)y=1+x (x ≥-1) (B) y=-1+x (x ≥-1) (C) y=1+x (x ≥0) (D) y=-1+x (x ≥0)【思路点拨】本题考查反函数的求法.CC 1【正确解答】解法1：21y x x =-⇒=0x ≤得x =1y ≥-）所以反函数为1)y x =≥- 解法2：分析定义域和值域，用排除法.【解后反思】遇到反函数的选择题考查时，可根据互为反函数的性质，验证定义域和值域即可.（4）已知函数y=tan ωx 在(-2π,2π)内是减函数，则 （A ）0<ω≤1 (B)-1≤ω<0 (C) ω≥1 (D) ω≤-1 【思路点拨】本题考查参数ω对于函数tan y x ω=性质的影响. 【正确解答】由正切函数的性质，正切函数tan y x =在（－2π，2π）上是增函数，而tan y x ω=在（－2π，2π）内是减函数，所以ππω-≥，即10ω-≤<.选B【解法2】可用排除法,∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数,∴排除(A)，(C),又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π,∴tan y x ω=在(,)22ππ-内不连续,在这个区间内不是减函数,这样排除(D),故选(B)。
2005年高考数学试题(湖北等)的分析及评价
2005年高考数学试题(湖北等 )的分析及评价武汉市教育科学研究院 孔峰一、总体评价：2005年高考数学试题（湖北卷）严格依据教育部《数学科考试大纲》的各项要求，在遵循“有利于高校选拔人才、有助于中学实施素质教育、有助于高校扩大办学自主权”原则的基础上，融入了新课程新大纲的理念，试题立意新颖，选材不拘一格。
与2004年全国其他独立命题省市试卷相比，试卷的结构、采用的题型和配备的题量，题型的分值比例等方面保持相对稳定。
与2004年全国新课程卷及2004年湖北卷的结构及考查内容更吻合一些，且比2004年湖北卷对新课程新大纲的整体把握与理解更加成熟，整份试卷从数学知识、思想方法、学科能力出发，多层次多角度地考查了学生的数学素养和学习潜能，对考生能力、知识灵活运用及综合运用提出了比较高的要求，尤其值得注意的是，对新增加内容的知识的考查、知识的灵活运用考查，以及在运用新增加内容知识去处理实际问题的实践能力的考查均提出了较高的要求，因此我们考生在高考复习中需引起足够重视和研究，订做到与时俱进。
二、2005年高考数学试题的特点今年，我省高考数学命题在2004年平稳过渡的基础上，站在新课程评价理念的高度，稳中求新、稳中求活。
在继续深化能力立意、倡导通性通法、坚持数学应用、加大新增知识的考查力度等各个方面又作了进一步的实践、探索、深化与创新。
审视试卷，笔者感悟到白纸黑字间的灵性的跳动，令人回味，试题命题呈现出诸多亮点，对我们高考复习有很多有益的启示。
１、立足基础，突出能力，考查思维的灵活性无论在选择题、填空题，还是解答题中均有许多试题突出对基础知识的考查。
但其中一些基础试题在强调基础知识的同时，试题对能力的考查也十分突出，可以从多方面去思考，体现了思维的灵活性。
不同能力的学生处理方式不同，体现了不同的思维水平和数学思维品质。
例1 （高考理科第7题文科第10题）若sin α+cos α=tan α (0<α<2π),则α∈A.⎪⎭⎫⎝⎛6,0π B. ⎪⎭⎫⎝⎛4,6ππ C. ⎪⎭⎫⎝⎛3,4ππ D. ⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ 本题以方程的形式出现，似乎应该求出角α，但这只是一种表象，透过现象看本质，选择支是角α的范围，于是只需角α的一个三角不等式，由此联想大家熟知的基本结论：当α是锐角时，sin α+cos α>1.于是tan α>1,答案选C 。
数学2005年高考文科试题及解析
2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（文科）第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π 解：T=22π=π,选(B)2．设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()UP C Q ＝( )(A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 解：U C Q ={1,2,},故()UPC Q ={1,2},选(A)3．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( )(A)12 (B)32解：点()1,1-到直线10x y -+=的距离2=,选(D) 4．设()1f x x x =--，则12f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝( ) (A) 12- (B)0 (C)12(D) 1解：1()2f =11|1|||22--=0, 12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=f(0)=1,选(D)5．在()()5611x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是( ) (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10解：()51x -中x 3的系数为10,()61x --中x 3的系数为-20,∴()()5611x x ---的展开式中x 3的系数为-10,选(C)6．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( ) (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.37 解：取到号码为奇数的频率是1356181153100100++++==0.53,选(A)7．设αβ、为两个不同的平面，l m 、为两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题解：命题②有反例,如图中平面α∩平面β=直线n,l ,m αβ⊂⊂ 且l ∥n,m ⊥n,则m ⊥l,显然平面α不垂直平面β 故②是假命题；命题①显然也是假命题, 因此本题选(D)8．已知向量()()5,3,2,a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是( ) (A){}2,3 (B){}1,6- (C) {}2 (D) {}6解：由a b ⊥得a b ⋅=0,即(x-5)·2+3×x=0解得x=2,选(C) 9．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =( )(A)18(B)14 (C)12 (D)1解：由题意,得210ax x -+=有两个等实根,得a=14,选(B) 10．设集合(){},|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )解：由题意可知0010.111x y x y x y x y x y x yx y y x>⎧⎪>⎪⎪-->⎨+>--⎪⎪--+>⎪--+>⎩得102102112x y x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩由此可知A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高考卷05高考文科数学(湖北卷)试题及答案
高考卷05高考文科数学（湖北卷）试题及答案2005年高考文科数学湖北卷试题及答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分考试时间120分钟第I部分（选择题共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，则P+Q中元素的个数是（）A．9B．8C．7D．62．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“”是“”充要条件；②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43．已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超过5，则k的取值范围是（）A．[－4，6]B．[－6，4]C．[－6，2]D．[－2，6]4．函数的图象大致是（）5．木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（）A．60倍B．60倍C．120倍D．120倍6．双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn 的值为（）A．B．C．D．7．在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（）A．0B．1C．2D．38．已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：①若；②若；③若；④若a与b异面，且相交；①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡相应位置上13．函数的定义域是14．的展开式中整理后的常数项等于15．函数的最小正周期与最大值的和为16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费元三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围18．（本小题满分12分）在△ABC中，已知，求△ABC的面积19．（本小题满分12分）设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和Tn20．（本小题满分12分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离21．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）22．（本小题满分14分）设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由2005年高考文科数学湖北卷试题及答案参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分1．B2．B3．C4．D5．C6．A7．B8．A9．D10．C11．D12．D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13．14．3815．16．500三、解答题17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法1：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间（－1，1）上恒成立解法2：依定义的图象是开口向下的抛物线，18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，.故所求面积解法3：同解法1可得c=8.又由余弦定理可得故所求面积19．本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：（1）：当故{an}的通项公式为的等差数列.设{bn}的通项公式为故（II）两式相减得20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH.∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.∴DF=C1H=2.（Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C （0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.∵AEC1F为平行四边形，（II）设为平面AEC1F的法向量，的夹角为a，则∴C到平面AEC1F的距离为21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力解：因为该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.所以寿命为1～2年的概率应为p1-p2. 其分布列为：寿命0～11～22～p1-P1P1-p2P2（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为需要更换2只灯泡的概率为（II）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件的和事件：①在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1-p2。
2005高考数学选择题典型题目分析
2005高考数学选择题典型题目分析一、题目分析1. 题目一：三角函数题目：已知α为第一象限角，sinα = 3/5，cosα = 4/5，求cos2α的值。
分析：这是一道关于三角函数的题目，要求求解cos2α的值。
首先，根据三角函数的定义，可以得到sinα = 3/5，cosα = 4/5。
然后，利用倍角公式cos2α = 2cos^2α - 1，带入已知的cosα的值，即可求得cos2α的值。
2. 题目二：解三角形题目：已知三角形ABC中，∠ABC = 90°，CD ⊥ AB，AD = 3，BC = 4，求CD的长度。
分析：这是一道解三角形的题目，要求求解CD的长度。
根据题目中的已知条件，可以得到∠ABC = 90°，AD = 3，BC = 4。
由此可知，三角形ABC是一个直角三角形。
然后，利用勾股定理，可以得到CD的长度。
3. 题目三：平面几何题目：已知四边形ABCD为矩形，AB = 6，BC = 8，E是边AD上的动点，连接CE交AB于F，若EF = 2，求BE的长度。
分析：这是一道关于平面几何的题目，要求求解BE的长度。
首先，根据题目中的已知条件，可以得到四边形ABCD是一个矩形，AB = 6，BC = 8。
然后，利用相似三角形的性质，可以得到BE的长度。
二、解题思路1. 对于题目一，我们可以利用sinα和cosα的值，带入cos2α的倍角公式，即cos2α = 2cos^2α - 1，计算得到cos2α的值。
2. 对于题目二，我们可以利用勾股定理，根据已知条件求解CD的长度。
根据直角三角形的性质，可以利用勾股定理得到CD的长度。
3. 对于题目三，我们可以利用四边形的性质，以及相似三角形的性质，求解BE的长度。
根据四边形ABCD为矩形的特点，可以利用相似三角形的性质得到BE的长度。
三、解题步骤1. 题目一的解题步骤：Step 1: 利用sinα和cosα的值，带入cos2α的倍角公式cos2α =2cos^2α - 1。
2005年高考数学试题分析与
2005年高考数学试题分析与2006届高考复习建议2005年普通高等学校招生全国统一考试，在2004年高考改革的基础上进一步深入和发展。
全国及部分省市共命制了16套（含文理科）共29种试卷。
这些试卷依据《2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲》或单独命题省市的《2005年高考考试说明》的各项要求，在遵循“数学科考试，要发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学知识掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。
”原则的基础上，进一步加大了改革的力度，凸显了新课程改革的理念，做到了坚持循序渐进，体现适度创新。
我省是继去年以来第二次自主命题，并首次实行网上高考评卷，评卷方式实行了科学的“多评制”，做到了一卷二评、三评甚至四评，最大限度地实现了阅卷公平、公正。
第一部分 试卷整体分析一、全面、综合测试基础知识，重视考查对数学内涵的理解数学基础知识、基本技能和基本数学思想方法是中学数学教学的主要内容，考查学生对基础知识的掌握程度，是数学考试的重要目标之一。
对知识的考查，不仅是知识的简单重现，更注重理解和运用，特别是注重知识的整体性和综合性，在知识网络的交汇点上设计试题，对所学知识融会贯通，理论联系实际，防止单纯性的死记硬背。
1.对数学基础知识的考查全面又突出重点试卷全面考查《考试大纲》要求的知识内容，教材中各章的内容都有涉及，如二项式定理、排列组合、复数、球等教学课时较少的内容，在试卷中都有考查。
在全面考查的前提下，重点考查高中数学知识的主干内容，如函数、不等式、数列、直线与平面、圆锥曲线、平面向量、概率、导数。
例1：（湖南卷文1）设全集U ＝{–2,–1,0,1,2}，A ＝{–2,–1,0}，B ＝{0,1,2}，则(C U A)∩B ＝（C ）(A){0} (B){–2,–1} (C){1,2} (D){0,1,2}例2：（全国1卷理1）设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是（A ）（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I （B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） （C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I （D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）这两题都考查集合概念与运算，是源于课本的基础题目，既可以从集合的基本关系和基本运算入手解答，也可以运用文氏图求解。
2005年高考.上海卷.文科数学试题精析详解
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（上海文史类）试题精析详解一、填空题（4分⨯12=48分）1、函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f -=__________.【思路点拨】本题考查了互为反函数的概念，只要根据求反函数的三步曲即可.【正确解答】4log (1)y x =+，41y x =+，得41yx =-（1x >-）.所求反函数为：1()41x f x -=-（x R ∈）.【解后反思】要会求一个函数的反函数，并注意定义域.2、方程4220x x+-=的解是__________.【思路点拨】本题考查了指数方程的求法，通过换元法求解.【正确解答】令2(0)x t t =>，原方程化为：220t t +-=，得1t =或2t =-（舍）.由此可得0x =.解法2：0120)22)(12(0224=⇒=⇒=+-⇒=-+x xx x x x【解后反思】用换元的方法时，注意定义域的变化，求出解后要进行验证，以免出错. 3、若y x ,满足条件⎩⎨⎧≤≤+x y y x 23，则y x z 43+=的最大值是__________. 【思路点拨】本题考查线性规划的基础知识，画出可行域，寻求目标函数的最大值.【正确解答】求y x z 43+=的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值，为11【解后反思】线性规划是直线方程的应用，是新增的教学内容.要了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的定义，会求在线性约束条件下的目标函数的最优解.4、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙，则点P 的轨迹方程是__________.【思路点拨】本题考查了数量积的坐标表示，可根据其定义来解.【正确解答】设(,)P x y ，由数量积公式及4=∙知04242=-+⇒=+y x y x 为所求轨迹方程.【解后反思】一般地11(,)A x y ，22(,)B x y 则2121(,)AB x x y y =--，11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ∙==+.5、函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________.【思路点拨】本题考查二倍角公式等基础知识和变换能力，角的差异（由异角化同角）在同角的条件下，利用三角恒等式化成正弦函数，就可求出最小正周期.【正确解答】1cos 2sin cos cos 2sin 2)22y x x x x x x ϕ=+=+=+，得最小正周期为π【解后反思】三角函数的变换要注意变换的方向，消除差异，达到转化.6、若71cos =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πα=__________. 【思路点拨本题考查两个角和的余弦的求法.熟记公式结构，根据条件求出运用公式必需值，再考虑三角函数的符号.【正确解答】⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，∴sin α== 11cos cos cos sin sin 33314πππααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭. 【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题.7、若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.【思路点拨】本题考查椭圆的基础知识，数形的等价转换是解决此类型的关键.【正确解答】由题意可知，2ab =，c =又222a b c =+，解得2280,20a b ==， 所求椭圆的标准方程为2218020x y +=. 【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题..8、某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）【思路点拨】本题考查了等可能事件的概率的求法.可直接根据定义，找到基本事件数代入公式便得. 【正确解答】11153525037C C P C == 解法2：734915503549355015=⨯+⨯ 【解后反思】要了解等可能事件概率的定义，会用排列、组合的基本公式计算的一些等可能事件的概率.9、直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是__________. 【思路点拨】本题考查一条直线关于已知直线对称的直线方程，可取两个特殊点求出关于直线的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程即可. 【正确解答】直线x y 21=上的点（0，0）关于1=x 对称的点是（2，0），且所求方程的斜率为－12，因此，直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是： 1(2)2y x =--，整理后得220x y +-=. 解法2设所求直线上任意点(,)P x y '''关于直线x=1对称点为(,)P x y 则22x x x x y y y y''+==-⎧⎧⇒⎨⎨''==⎩⎩∵12y x ''=∴1(2)2y x =-即x+2y-2=0 【解后反思】解法2是通法，要会求某一点关于一已知点成中心对称的坐标，和已知直线成轴对称的坐标.如点(,)P x y 关于点(,)M a b 对称的坐标为(2,2)P a x b y '--；，由点的可推广到曲线关于某一点的对称.如曲线(,)0f x y =关于点(,)M a b 对称的曲线为(2,2)0f a x b y --=，类似地，点(,)P x y 关于直线x m =对称的点的坐标为(2,)P a x y '-，曲线(,)0f x y =关于直线x m =对称的曲线为(2,)0f m x y -=.更一般地，利用定义可解决有关对称问题.10、在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则AC=__________.【思路点拨】本题主要考查解斜三角形的相关知识和运算能力.可画出草图，设法求出AC.【正确解答】由余弦定理︒⨯⨯-+=120cos 2222AC BC AC BC AB解得8AC =-（舍）或AC=3，因此ABC ∆的面积4315120sin 21S =︒⨯⨯⨯=AC AB 【解后反思】要注意正、余弦定理的灵活运用.本题可视为关于AC 的方程，求出AC 的目的，在于求ABC ∆的面积，若利用正弦定理求AC 就较繁了.最优解总是我们追求的目标.11、函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________.【思路点拨】本题考查区间上的三角函数的图象和性质，考查数形结合的能力.可通过[]0,2π正弦值的符号写出分段函数，再通过数形结分析出k 的取值范围.【正确解答】3sin [0,]()sin 2|sin |sin (,2]x x f x x x x x πππ∈⎧=+=⎨-∈⎩，从图象可以看出于直线k y =有且仅有两个不同的交点时, 31<<k【解后反思】要熟悉含有绝对值的函数图象的作法.即由函数()y f x =的图象作出(),()y f x y f x ==的图象.12、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.【思路点拨】借助棱柱的拼接的可能性考查学生的分析问题和解决问题的能力，而拼接中底面积不变是关键，只要考虑侧面积的可能情形中最小的一种图形即可.【正确解答】显然，直三棱柱底面为直角三角形，面积为26a ，每个侧面的面积分别为6，8，10，拼接后每个三棱柱或四棱柱底面积是相同的，只需要比较侧面积.拼接为三棱柱的可能的总侧面积为32或36，拼接为四棱柱后可能的总侧面积为28解法2：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为a 5的边重合在一起，表面积为242a +28三棱柱有两种，边长为a 4的边重合在一起，表面积为242a +32边长为a 3的边重合在一起，表面积为242a +36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为122a +48最小的是一个四棱柱，这说明 201248122824222<⇒+<+a a a 3150<<⇒a 【解后反思】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力和动手能力的实验题，具有开放性，不确定性等特点，是培养创新能力的好题，也是研究性学习成果的展示题.二、选择题（4分⨯4=16分）13、若函数121)(+=x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值【思路点拨】本题是考查复合函数性质，只要理清构成复合的各个函数的性质就不难解决.【正确解答】21x y =+为增函数，1y x =在(1,)+∞上是减函数，因此121)(+=x x f 是减函数，没有最大值和最小值，选A.【解后反思】函数的图象和性质是高考的一个重点，通过复合可考多个知识点，达到考一查多的功能，要注意复合函数的定义域的变化，教材中的练习题要理解，把握基础，发展能力.14、已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（ ）A ．{}Z x x x ∈≤<,30|B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|【思路点拨】本题是考查具有绝对值不等式的解法和集合的运算.【正确解答】{}R x x x M ∈≤≤-=,31|， {}Z x x x P ∈≤≤=,40| P M ={}Z x x x ∈≤≤,30|，选B【解后反思】可采用直接法化简各个集合并注意10x +>的隐含条件.在计算P 时，注意10x +>的提示作用.，如果去分母时忽视了10x +>，就会造成错误，而求交集时可用数轴标或文氏图求解.15、条件甲：“1a >”是条件乙：“a >”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【思路点拨】本题考查了充要条件的定义及其判定只要判断甲⇒乙和乙⇒甲的真假性，利用充要条件将条件乙进行化简是解决这类问题的关键.【正确解答】解法1：甲⇒乙：11a a >⇒>⇒>，乙⇒甲：1)0101a a >⇒>⇒><⇒>因此是充要条件，选B解法2：∵201a a a a a >⎧>⇔⇔>⎨>⎩，∴选B【解后反思】对命题的充要条件、必要条件可以从三个方面理解：①定义法，②等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒，B A ⇒与A B ⌝⌝⇒的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题一般采用等价法，③利用集合间的包含关系判断：若A B ⊆则A 是B 的充分条件或B 是A 必要条件；若A B =则A 是B 的充要条件，另外，对于确定条件的不充分性或不必要性往往用构造反例的方法来说明.16、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ 等于（ ）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720【思路点拨】本题借助数阵考查学生的观察能力和运算能力，要抓住逐项特征：第一行的和相等，探索其规律，符号因子()1n -的处理是一难点.【正确解答】由题意可知，每一行的和为相等的 12312312312312312312!11121312122232!1!2!3!1121!11222!212!1121!1(23(1))(23(1))(23(1))()2()(1)()(123(1))()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b a a a na a a a na a a a na a a a a a a n a a a n a a a +++=-+-++-+-+-++-++-+-++-=-+++++++++-+++=-+-++-+++=1111(1)(221(1)()()22n n n n n n n A n n n n n A n ----+⎧⨯⨯⎪⎪⎨-+⎪-⨯⨯⎪⎩为偶数）为奇数 5n =时，412120456310802b b b A ⨯+++=-⨯⨯=-. 解法2：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，1080360536043603360236012021-=⨯-⨯+⨯-⨯+-=+++b b b【解后反思】数学学习中的数感很重要，变化中不变的探索与发现是当今高考的一个方向，它是培养创新人才的一个重要载体，在学习中要留心，遇到此类问题时要细心品味.三、解答题（本大题满分86分）17、（本题满分12分）已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，D B 1与平面ABCD 所成角的大小为︒60，求异面直线D B 1与MN 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【思路点拨】本题考查直四棱柱的性质和异面直线所成角的求法，考查空间想象能力和运算能力，可根据定义找出异面直线所成角，转化到平面图形解决，而本题的图形结构，具有空间向量处理的特点，故还可利用空间向量的数量积来解决.【正确解答】联结B 1C,由M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,得B 1C ∥MN,∴∠DB 1C 就是异面直线B 1D 与MN 所成的角.联结BD,在Rt △ABD 中,可得BD=25,又BB 1⊥平面ABCD,∠B 1DB 是B 1D 与平面ABCD 所成的角, ∴∠B 1DB=60°.在Rt △B 1BD 中, B 1B=BDtan60°=215,又DC ⊥平面BB 1C 1C, ∴DC ⊥B 1C,在Rt △DB 1C 中, tan ∠DB 1C=212121=+=BB BC DC C B DC ,∴∠DB 1C=arctan 21. 即异面直线B 1D 与MN 所成角的大小为arctan21. 【解后反思】求异面直线所成角的一般步骤是：①利用定义构造问题，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某一特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，②证明所作出的角（或补角）即为所的求角，③利用解三角形求角.异面范围是(0,]2π.若能建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线所成的角的大小是十分快捷方便的.18、（本题满分12分）在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）. 【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力，可根据复数的代数形式进行处理. 【正确解答】原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i,∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23, ∴原方程的解是z=-21±23i. 【解后反思】近几年看，高考中常见与复数相关问题难度有下降的趋势，仅以中档题为主，侧重于复数的代数运算，而复数问题实数化的最佳形式是它的代数形式表示.19、（本题满分14分）已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，22+=（,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2--=x x x g . （1）求b k ,的值；（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)(1)(x f x g +的最小值. 【思路点拨】本题是以向量为背景，解析法为手段，考查解析思想的运用和处理函数性质的方法，考查运算能力和运用数学模型的能力.【正确解答】 (1)由已知得A(k b -,0),B(0,b),则AB ={k b ,b},于是kb =2,b=2. ∴k=1,b=2. (2)由f(x)> g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,)(1)(x f x g +=252+--x x x =x+2+21+x -5 由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 ∴)(1)(x f x g +的最小值是-3. 【解后反思】要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法.如1(0)y x x x=+≠型. 20、（本题满分14分）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？【正确解答】[解] (1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列,其中a 1=250,d=50,则S n =250n+502)1(⨯-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列,其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【解后反思】数学应用问题是近几年高考的热点之一，似乎是每年的必考题，平时要注意数学应用意识的培养，碰到这类问题时不要被繁琐的数据和冗长的文字说明所惧，应“取其精华”读通读懂题目，即解题的归宿应该在回答实际问题上.21、（本题满分16分）已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.【思路点拨】本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运用解析几何的方法分析问和解决问题的能力.第（1）（2）问是定量分析，难度不大，而解决（3）的常规方法之一就是利用点M 到直线AK 的距离d 与圆的半径比较为宜.【正确解答】 (1) 抛物线y 2=2px 的准线为x=-2p ,于是4+2p =5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y 2=4x.(2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0), ∴k FA =34;MN ⊥FA, ∴k MN =-43, 则FA 的方程为y=34(x-1),MN 的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54, ∴N 的坐标(58,54). (1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m=4时, 直线AK 的方程为x=4,此时,直线AK 与圆M 相离.当m ≠4时, 直线AK 的方程为y=m-44(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 圆心M(0,2)到直线AK 的距离d=2)4(1682-++m m ,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK 与圆M 相离;当m=1时, AK 与圆M 相切;当m<1时, AK 与圆M 相交.【解后反思】解答圆锥这部分试题需准确地把握数与形的语言转换能力，推理能力，本题计算量并不大，但步步等价转换的意识要准确无误.22、（本题满分18分）对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(.（1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式； （2）求问题（1）中函数)(x h 的值域；（3）若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα,0∈，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个α的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明.【思路点拨】本题通过自定义函数考查学生如何理解函数，如何在给出具体函数下处理相关函数性质的能力，只要遵循其规则，借助给定函数的性质即可解决.【正确解答】（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时 若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立，若,4)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立，∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h（3）[解法一]令,4,2cos 2sin )(πα=+=x x x f 则,2sin 2cos )4(2cos )4(2sin )()(x x x x x f x g -=+++=+=ππα 于是.4cos )2sin 2)(cos 2cos 2(sin )()()(x x x x x x f x f x h =-+=+⋅=α[解法二]令2,2sin 21)(πα=+=x x f ， 则,2sin 21)2(2sin 21)()(x x x f x g -=++=+=πα 于是.4cos 2sin 21)2sin 21)(2sin 21()()()(2x x x x x f x f x h =-=-+=+⋅=α【解后反思】自定义函数是近年高考常见题型，必须深刻理解其定义的含义就不难解决.。
2005年高考.天津卷.文科数学试题精析详解
个事件恰好发生 k 次的概率为： Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1, 2, , n) .
（4）将直线 2x y 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位，所得直线与圆 x2 y2 2x 4y 0
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相切，则实数 的值为
（）
（A）－3 或 7
（B）－2 或 8
（C）0 或 10
（D）1 或 11
【思路点拨】本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系，只要正确理解平移公式和直线与
圆相切的充要条件就可解决.
【正确解答】由题意可知：直线 2x y 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位后的直线 l 为：
2(x 1) y 0 .已知圆的圆心为 O(1, 2) ，半径为 5 .
混淆，如双曲线的一条渐近线的斜率是短轴长和实轴长的比，或由
x2 a2
y2 b2
1中渐近线
方程式为 y b x . a
直线 2(x 1) y 0 上，解得 3 或 7.
选A 【解后反思】直线与圆的位置关系历来是高考的重点.作为圆与圆锥曲线中的特殊图形，具有 一般曲线的解决方法外（解法 2）还有特别的解法，引起重视理解和掌握.
（5）设 , , 为平面， m, n,l 为直线，则 m 的一个充分条件是
2005 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（天津文科卷）试题精析详解
一、选择题（5 分 10=50 分） （1） 集合 A {x | 0 x 3且x N} 的真子集个数是
（）
（A）16
（B）8
（C）7
（D）4
【思路点拨】本题考查集合、真子集的基本概念，可采用直接法求集合 A
【正确解答】用列举法， A {0,1, 2} ，A 的真子集有： ,{0},{1},{2},{0,1},{0, 2},{1, 2} ，
2005年高考数学试题_山东卷_评析
学 基 础 知 识 的 考 查 既 全 面 又 重 点 突 方 法 我 们 就 窥 视 到 学 生 思 维 品 质 的 差 （２１）、（２２） 在 不 同 程 度 上 集 中 了 多 个 知
出 ， 对 支 撑 学 科 知 识 体 系 的 重 点 内 容 异 以 及 思 维 方 式 的 区 别 。 理 科 、 文 科 识 点 ， 使 函 数 、数 列 、三 角 、向 量 结 合 在
考
中的作用， 做到基础知识和基本训练常抓不懈。 ２．重点知识重点复习， 作好知识间的融会贯通
命
函 数 、三 角 、数 列 、不 等 式 、立 体 几 何 、解 析 几 何 、
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向 量 、导 数 、概 率 等 知 识 既 是 高 中 数 学 教 学 的 重 要 内 容 ， 又 是 高 考 的 重 点 ， 而 且 常 考 常 新 ， 经 久 不 衰 。因 此 ，
让 考 题 锦 上 添 花 ， 如 理 科 （２１）题 ， 单 从
题目来看， 该题只考查了函数的有关
知识， 事实上， 随着解题的深入我们就
会发现该题是知识和思想方法的碰撞
点， 涉及的思想方法有： 函数方程思
想 、等 价 转 化 思 想 、数 形 结 合 思 想 、分
类讨论思想， 从考查数学思想的角度
学科本位的观念
次上。另外， 在复习中， 还应充分重视解题回顾， 借助
义务教育阶段的物理课程应以提高全体学生的科学素养为
于 解 题 之 后 的 反 思 、总 结 、引 申 和 提 炼 来 深 化 学 生 知 识的理解和方法的领悟。
主要目标， 而非精英教育， 所以应满足每个学生发展的基本需 求。从国际上科学教育的发展历程可以看到， 过分强调学科本
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2005年高考.重庆卷.文科数学试题精析详解
2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）A ．5)2(22=+-y x B ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x解：∵圆5)2(22=++y x 的圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),∴圆5)2(22=++y x 关于原点对称的圆为(x-2)2+y 2=5,选(A). 2．=+-)12sin12)(cos12sin12(cosππππ（ ）A ．23-B ．21-C ．21 D ．23解：(cossin)(cossin)cos1212121262πππππ-+==,选(D) 3．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)(=x f ，则使得 x x f 的0)(<的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．（－2，2）解：∵函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ,∴f(-2)=0, 在]0,(-∞上0)(<x f 的x 的取值范围是(2,0]-,又由对称性[0,)+∞,∴在R 上fx)<0仰x的取值范围为(-2,2),选(D)4．设向量a =（－1，2），b =（2，－1），则（a ·b ）（a +b ）等于 （ ） A ．（1，1） B ．（－4，－4） C ．－4 D ．（－2，－2） 解：（a ·b ）（a +b ）=[-2+(-2)](1,1)=(-4,-4),选(B)5．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为 （ ）A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(解∵|x-2|<2的解集为(0,4),log 2(x 2-1)>1的解集为)(,+∞⋃-∞,∴不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集)4,3(,选(C) 6．已知βα,均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵由α、β均为锐角，:,2q παβ+<得0<α<α+β<2π∴sin(α+β)>sin α,但α、β均为锐角，sin α<sin(α+β),不一定能推出α+β<2π,如α=6π,β=3π就是一个反例,选(C)7．对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：命题①③是真命题,选(B)8．若n x )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于 （ ）A ．5B ．7C ．9D ．11解：3x 的项的系数为332n C ,x 的项的系数为12n C ,由题意得332n C =812n C 解之得n=5,选(A)一了9．若动点),(y x 在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b b b bC ．442+bD ．b 2解：由题意可设x=2cos α,y=bsin α,则x 2+2y=4cos 2α+2bsin α=-4sin 2α+2bsin α+4=-2(sin 2α-bsin α-2)=-2(sin α-2b )2+4+22b ,∴22x y +的最大值为2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩,选(A)10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解：k 层塔形的各层立方体的边长,增加的表面积以及k 层塔形的 表面积一览表如下：由上表可以看出要使塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是6层,选(C)第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．若集合}0)5)(2(|{},034|{2<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A .解：∵A=(-4,3),B=(2,5),∴A ∩B={x|2<x<3}12．曲线3x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 解：∵y '=3x 2,∵在(1,1)处切线为y-1=3(x-1),令y=0,得切线与x 轴交点(2,03),切线与直线x=2交于(2,4),∴曲线3(1,1)y x =在点处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为S=1416842363⋅⋅==.. 13．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 . 解：由已知得1-tan αtan β=tan α-tan β,∴tan α=1tan 11tan ββ+=+.14．若y x y x -=+则,422的最大值是 . 解：令x=2cos α,y=2sin α,则x-y=2cos α-2sin α=2sin(4πα-)≤2,∴若y x y x -=+则,422的最大值是15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .解；P=1128222101745C C C C ⋅+= 16．已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平 分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 . 解：由题意可知,动点P 的轨迹是椭圆,这个椭圆的焦点是A(-12,0)和F(12,0),定长2a=圆F 的半径2,因而动点P 的轨迹方程为13422=+y x 三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2π+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a 的值.解：)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )4sin()2()4sin()4sin(222πππ++=+++=x a x a x因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1，则,3222+=+a所以,3±=a 18．（本小题满分13分）加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87，且各道工序互不影响. （Ⅰ）求该种零件的合格率；（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.（Ⅰ）解：1078798109=⨯⨯=P ； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)103(13=-解法二：恰好取到一件合格品的概率为189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)107(103)107()103(107333223213=+⋅+⋅⋅C C C19．（本小题满分13分）设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R . （1）若3)(=x x f 在处取得极值，求常数a 的值； （2）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）).1)((66)1(66)(2--=++-='x a x a x a x x f因3)(=x x f 在取得极值， 所以.0)13)(3(6)3(=--='a f 解得.3=a 经检验知当)(3,3x f x a 为时==为极值点.（Ⅱ）令.1,0)1)((6)(21===--='x a x x a x x f 得当),()(,0)(),,1(),(,1a x f x f a x a -∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增 函数，故当)0,()(,10-∞<≤在时x f a 上为增函数.当),()1,()(,0)(),,()1,(,1+∞-∞>'+∞-∞∈≥a x f x f a x a 和在所以则若时 上为增函 数，从而]0,()(-∞在x f 上也为增函数.综上所述，当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时x f a 上为增函数.20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC. 已知,21,2,2===AE CD PD 求 （Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离；（Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小.解法一：（Ⅰ）因PD ⊥底面，故PD ⊥DE ，又因EC ⊥PE ，且DE 是PE 在面ABCD 内的射影，由三垂直线定理的逆定理知 EC ⊥DE ，因此DE 是异面直线PD 与EC 的公垂线.设DE=x ，因△DAE ∽△CED ，故1,1,2±===x x xCD AE x 即（负根舍去）. 从而DE=1，即异面直线PD 与EC 的距离为1.（Ⅱ）过E 作EG ⊥CD 交CD 于G ，作GH ⊥PC 交PC 于H ，连接EH. 因PD ⊥底面， 故PD ⊥EG ，从而EG ⊥面PCD.因GH ⊥PC ，且GH 是EH 在面PDC 内的射影，由三垂线定理知EH ⊥PC. 因此∠EHG 为二面角的平面角.在面PDC 中，PD=2，CD=2，GC=,23212=-因△PDC ∽△GHC ，故23=⋅=PC CG PD GH ，又,23)21(12222=-=-=DG DE EG故在,4,,π=∠=∆EHG EG GH EHG Rt 因此中即二面角E —PC —D 的大小为.4π 解法二：（Ⅰ）以D 为原点，DA 、、DP 分别为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x CE x PE x E 由0=⋅⊥CE PE 得，即.23,0432==-x x 故 由CE DE CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(，又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=，故异面直线PD 、 CE 的距离为1.（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，y ，z ）.由0=⋅得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y 即),2,1,0(,2==y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，m ，n ）， 则).,21,23(n m EF --= 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得， 又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=n m m n 故 因,,⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量与的夹角.故,4,22cos πθθ===即二面角E —PC —D 的大小为.4π21．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A BA B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 22．（本小题满分12分）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S 解法一：（I ）;22111,111=-==b a 故.320,2013;421431,43;3821871,87443322===-===-==b a b a b a 故故故（II ）因231)34(3832)34)(34(=⨯=--b b ，2231222)34()34)(34(,)34()34(-=--=-b b b b故猜想.2,32}34{的等比数列公比是首项为=-q b n因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）,034,3436162038212)34(2,36162034368163421134).1(8162511111≠--=--=--=---=---=--=-≥-+=++++b b a a a b a a a a a b n a aa n n n n n n n n n n n n n 因故故2|34|=-q b n 确是公比为的等比数列. n n b b 23134,32341⋅=-=-故因, )1(34231≥+⋅=n b n n ,12121+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故)152(313521)21(31)(2121-+=+--=++++=n nn b b b n n n 解法二： （Ⅰ）由,052168,21121111=++-+=-=++n n n n n n n n a a a a b a a b 代入递推关系得 整理得,342,0364111-==+-+++n n n n n n b b b b b b 即 .320,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由（Ⅱ）由,03234),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n所以故的等比数列公比是首项为,2,32}34{=-q b n).152(313521)21(31)(21,121211).1(34231,23134212211-+=+--=++++=+++=+=-=≥+⋅=⋅=-n nn b b b b a b a b a S b b a a b n b b n n n nn n n n n n n n n n n 故得由即解法三：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）2342312)34(3832,38,34,32=⨯=-=-=-b b b b b b 因此故又因的等比数列公比是首项为猜想).1(81625,2231,2,32}{111≥-+=≠⋅=-=-+++n a a a a b b q b b nnn n nn n n n1222181625121121111----+=---=-++n n n n n n n a a a a a b b ;3681036636816--=----=n n n n n a a a a a 3681636816211211111212-----=---=-++++++n n n n n n n n a a a a a a b b ).(2361620368163624361n n n n n n n n b b a a a a a a -=--=-----=+ ,231,2}{,0321112n n n n n b b q b b b b ⋅=-=-≠=-++的等比数列是公比因 从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---nn n n n n n n n n n n b a b a b a S b b a a b n +++=+=-=≥+⋅=+-=++++=-- 2211121,121211).1(342312)22(312)222(31故得由。
2005年高考.山东卷.文科数学试题精析详解
2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（山东文科类）试题精析详解一.选择题（5分⨯12=60分）(1){}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 【思路点拨】本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出.【正确解答】1(1)13(1)2005n a a n d n =+-=+-=，解得669n =，选C【解后反思】等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题. （2）下列大小关系正确的是（A ）30.440.43log 0.3<< （B ）30.440.4log 0.33<< （C ）30.44log 0.30.43<< （D ）0.434log 0.330.4<<【思路点拨】本题考查指数函数，对数函数的对称性质.实数的大小可用特殊值比较，如0，1等，也可用数形结合的思想作出相应函数的图象，从图象上观察得到. 【正确解答】解法1：4log 0.30<，0.431>，300.41<<，故30.44log 0.30.43<<，选C.解法2：在同一坐标系中分别得出40.4,3,log x xy y y x ===的图象，分别求出当自变量x 取3，0.4，0.3时的函数值， 得到30.44log 0.30.43<<.故选C.【解后反思】掌握特殊与一般的关系构造模型函数，利用图象 的性质较为便捷，要有数形结合的意识. （3）函数1(0)xy x x-=≠的反函数的图象大致是 （A ） （B ） （C ） （D ）【思路点拨】本题考查反函数的概念及函数的图象。
利用互为反函数图象间的关系，考查识图（或作图）能力，可采用直接法，即求出原函数的反函数，并画出图象. 【正确解答】1(0)x y x x -=≠的反函数为1(1)1y x x =≠-+它的图象是将函数1y x=的图象向左平移1个单位后得到的 .，选B.【解后反思】函数与图象的性质是历年高考的重点，要深刻理解灵活运用函数的性质，本题也可从互为反函数的性质：互为反函数的定义域与值域互换进行分析可选C. （4）已知函数sin()cos()1212y x x ππ=--，则下列判断正确的是（A ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)12π（B ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)12π（C ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)6π（D ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)6π【思路点拨】本题考查三角函数的二倍角公式及图象和性质，化简函数解析式再利用图象的性质即可解决. 【正确解答】1sin()cos()sin(2)121226y x x x πππ=--=-，最小正周期为π，对称中心的横坐标为x =212k ππ+, 当k =0时,其图象的一个对称中心是(,0)12π，选B【解后反思】一般地，sin()(0)y A x ωϕω=+>的对称中心为1((),0)k πϕω-，对称轴方程为1()()2x k k Z ππϕω=+-∈，本题在求对称中心时也可用验证法，也就是在函数中取一个恰当的x 值使y=0.（5）下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是 （A ）()sin f x x = （B ）()|1|f x x =-+（C ）1()()2x x f x a a -=+ （D ）2()ln2xf x x-=+ 【思路点拨】本题考查函数的奇偶性和增减性，可根据其定义逐个淘汰. 【正确解答】选项A ：1()()()2xx f x a a f x --=+=，是偶函数，排除； 选项B ：()|1|f x x -=--+，是非奇非偶函数，排除；选项C ：()sin()sin ()f x x x f x -=-=-=-，是奇函数，在[1,1]-上单调递增，排除； 选项D ：1222()ln ln()ln ()222x x xf x f x x x x-+---===-=--++，是奇函数，且在[1,1]-上单调递减，故选D.【解后反思】解决函数问题时，必须理解从初等函数的图象入手，联想其相关性质，也就是说要有数形结合的意识. （6）如果(3n x 的展开式中各项系数之和为128，在展开式中31x 的系数是 （A ）7 （B ）－7 （C ）21 （D ）－21【思路点拨】本题主要考查二项展开式及通项公式的应用，凡是求二项式展开式中的特殊项或系数，常用其通项公式列出方程，求出n 或.r【正确解答】令1x =，则2128n=，解得7n =，展开式的一般项为77(3)(ttt C x -，31x的系数是11673(1)21C ⋅⋅-=.故选C. 【解后反思】熟练掌握1r T +的表达式及解方程的思想，这里二项式中“-”必须留心，并要注意二项式系数、多项式系数的和与指定项的系数的区别与联系.（7）函数21sin(), 10(), 0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(1)()2f f a +=，则a 的所以可能值为（A ）1 （B ）1，2-（C ）2- （D ）1，2【思路点拨】函数解析式是高考的一个难点，本题考查分段函数的应用，函数的值域等，必须对a 的范围进行分类讨论.【正确解答】0(1)1f e ==，所以()1f a =， 当0a ≥时，1a =；当10a -<<时，2sin()1a π=，2a =-. 选C.【解后反思】因为(1)1f =，故()1f a =，本题实质上求方程()1f a =的解，而分段函数必须分段求，要注意各段函数定义域的范围，恰当地舍取和验证.（8）已知向量,a b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D【思路点拨】本题考查向量的基础知识和运算能力，理解和掌握两个向量共线和三点共线的充要条件是解决本题的关键.【正确解答】24BC CD BD a b +==+，因为2AB a b =+，且有一个共点B 所以A 、B 、D 三点共线.选A【解后反思】一般地，,a b （0b ≠），共线的充要条件是存在唯一实数λ，使a b λ=.因此寻找恰当的λ，注意共线向量与三点共线之间的区别与联系（9）设地球半径为R ，若甲地位于北纬45︒，东经120︒，乙地位于南纬75︒，东经120︒，则甲、乙两地的距离为 （A（B ）6R π （C ）56R π（D ）23R π 【思路点拨】本量考查球的性质，球面距离的运算.，空间想象能力，可结合关于地球的经、纬度等知识、球的性质，求出球心与这两点所成的圆心角的大小、利用弧长公式解决. 【正确解答】∠A O B =120°，∴ A 、B 两点间的球面距离为120223603d R R ππ︒=⋅=︒.选D 【解后反思】本题是求同一经度上，两点间的球面距离，比较简单，而求在同一纬度上的点A 、B 间的球面距离必须构建基本图形：三棱锥1O AO B -，其中1OO ⊥纬度面AOB ，AO ＝OB ＝R （R 为地球的半径），11O AO O BO ∠=∠是北纬度角，1AO B ∠是A 、B 两点所在经度的夹角（劣弧），AOB ∠即是要所求A 、B 两点间的球面距离的大圆的圆心角θ（小于0180），则A 、B 间的球面距离为R θ，这里，θ是解决此类型问题的关键，也是难点.BO1（10）10张奖卷中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是 （A ）310 （B ）112 （C ）12 （D ）1112【思路点拨】本题是考查概率的基础知识、概率的基本运算和应用能力，将“至少”问题转化为对立事件可简化为计算.【正确解答】10张奖卷中抽取5张可能的情况有510C 种， 5人中没有人中奖的情况有57C 中，先求没有1人中奖的概率，57510112C P C ==，至少有1人中奖的概率是5751011112C P C =-=，选D【解后反思】概率与统计这部分内容要求不高，关键是掌握概念公式并能在具体问题中正确应用.（11）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则AB 是()U C A B U =的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不必要也不充分条件【思路点拨】本题考查集合的基本概念和基本运算，及充要条件的判断能力.抽象的两个集合，可用特殊值法，列举法或画出图进行分析. 【正确解答】由AB 可推出()UC A B U =，反之，()U C A B U =不一定要满足A B ，因此为充分不必要条件，选A【解后反思】要熟练掌握数学符号语言的等价转化，它是解决数学问题的必要条件，也是是否具有数学素养的一个重要标志.（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【思路点拨】本题考查直线和椭圆的位置关系的判定及相关性质，可用直接法求得结果或数形给合的方法.【正确解答】由题意得l '：220x y +-=，解不等式组2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得(0,2)A ，(1,0)B，||AB =，设(,)P x y, 111||222PAB S AB d ∆=⋅⋅==，得|22|1x y +-=，2214230y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩ （1）或2214210y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩（2） 方程组（1）无实数解，方程组（2）有两个不同的实数解，故满足条件的点P 的个数为2，选B.解法2：直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '：2x +y －2=0，该直线与椭圆相交于A (1, 0)和B (0, 2)，P 为椭圆上的点，且PAB ∆的面积为12，则点P 到直线l ’的距离为5，直线的上方，与2x +y －2=0平行且与椭圆相切的直线，切点为Q (22, 2)，该点到直线P 点. 【解后反思】本题属于直线和圆锥曲线的小综合题，几何与代数之间的等价转化是解决这类问题的重要方法.二、填空题（4分⨯4=16分）13 某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人，为了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是 . 【思路点拨】本题是考查统计的基础知识，理解分层抽样的基本概念和方法不难解决. 【正确解答】设不到40岁的教师中应抽取的人数为x 人，则35014070xx=-，解得50x =.【解后反思】抽样是统计学的基础，统计的基本思想是用样本估计总体，因此，要理解常用的三种样本抽样方法：当总体的个数较少时，用随机抽样方法；当总体的个数较多时，用系统抽样方法；当总体中的个体个部分明显差异时，用分层抽样法.随着高考的内容设置的逐步提高，高考试题必然会愈来愈多地设置具有现实意义的应用题，要正确地处理从实际中比较三种抽样的方法.14 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率e = .【思路点拨】本题是考查双曲线的几何性质，可根据对称性来分析，只可能是PFQ ∠为直角，由a 、b 、c 的关系不难解决.【正确解答】由PQF ∆是直角三角形,根据图形的对称性，必有2a ab PF FQ c a b c c c ⊥∴-=⇒=∴=即双曲线的离心率ce a==解法2：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F (c , 0)，右准线l 与两条渐近线交于P (2,a ab c c )、Q (2,a ab c c -)两点，∵ FP ⊥FQ ，∴ 22221ab aba c c a a bc c c c-⋅=-=---，∴ a =b , 即双曲线的离心率e =2.【解后反思】解决本题的障碍是对Rt PQF ∆的直角的确定，要深刻理解几何图形的特征是解决这类题型的关键.15 设x 、y 满足约束条件532120304x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)x y 是 .【思路点拨】本题主要考查简单线性规划的基本知识，分二步，第一步是作出二元一次不等式表示的平面区域.，第二步从图形分析求z 最大值时点的坐标.【正确解答】画出题中所给不等式组所表示的区域.当x=0时y=0, 650z x y =+=，点（0，0）在直线0:650l x y +=上，作一组直线0l 的平行直线:65()l x y t t R +=∈，要求使得z 最大的点，即要求使直线65z x y =+截距最大，由图可知，当直线过5x y +=和3212x y +=的交点(2,3)M 时，z 有最大值27.【解后反思】正确画出平面区域和直线0l 是解决这类问题的关键. 16 已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题： ①若//m α，则m 平行于平面α内的任意一条直线 ②若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ③若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ ④若//αβ，m α⊂，则//m β上面命题中，真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）[答案] ③④【思路点拨】本题考查立体几何中直线与平面的位置关系.本题是线线、线面和面面平行，线面垂直的判断题，可借助图形进行判断.【正确解答】如图所示，①中m 、n 可能异面，②中αβ，可能相交，③中,//m m n n αα⊥∴⊥同理可证：//n βαβ⊥∴即③是真命题，④中可过平面αβ，外任一点P 作直线,m n ''使//,//,m m n n m n ''异面∴,m n ''必相交，设由,m n ''确定的平面为γ，////m m αα'∴，同理可证：////n ααγ'∴，同理可证：////βγαβ∴.即④是真命题，综上所述，真命题的序号是③、④.【解后反思】要否定一个命题，只需要一反例即可.要熟悉掌握线线平行、平面平行、面面平行的关系和转化.即线线平行⇔平面平行⇔面面平行，其中线面平行起了桥梁作用，而②③的实质是两个平面平行的推论. 三、解答题（84分）17．已知向量(cos ,sin )m θθ=和2sin ,cos )n θθ=，(,2)θππ∈，且82||5m n +=，求cos()28θπ+的值. 【思路点拨】本题从向量及模的概念出发，考查三角变换能力和运算能力，通过82m n +=，构建θ的三角函数关系式，再由此关系式与所求θ进行比较，消除角或函数的差异，达到转化. 【正确解答】解法一：(cos sin 2,cos sin ),m n θθθθ+=-+22(cos sin 2)(cos sin )m n θθθθ+=-+++ 422(cos sin )θθ=+-44cos()4πθ=++21cos()4πθ=++由已知825m n +=，得7cos()425πθ+= 又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+-所以 216cos ()2825θπ+=∵592,8288πθπππθπ<<∴<+<∴ cos()285θπ+=解法二：2222m n m m n n +=+⋅+22||||2m n mn =++⋅222[cos sin )sin cos ]θθθθ=+++4sin )θθ=+-4(1cos())4πθ=++28cos ()28θπ=+由已知825m n +=，得 4|cos()|285θπ+=∵ 5928288πθπππθπ<<∴<+<，∴ cos()028θπ+<， ∴ cos()285θπ+=【解后反思】三角函数的求值问题，关键是角和函数的变换，难点是三角函数符号的确定，在解题过程中，两者必须都要兼顾到，不能顾此失彼.18 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即中止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （1）球袋中原有的白球个数； （2）求取球2次终止的概率； （3）求甲取到白球的概率.【思路点拨】本题考查了离散型随机变量的分布列和等可能事件概率的求法，可根据两者定义直接求得.【正确解答】（１）设袋中原有n 个白球，由题意知：2271(1)(1).767762n C n n n n C --===⨯⨯ 所以(1)6n n -=，解得3(n =舍去2)n =-，即袋中原有３个白球（Ⅱ）由题意，ξ的可能始值为１,2,3,4,5.3(1)7p ξ==: 432(2)767p ξ⨯===⨯: 4336(3)76535p ξ⨯⨯===⨯⨯ 43233(4)765435p ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯: 432131(5)7654335p ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯所以,取球次数ξ的分布列为：（Ⅲ）因为甲先取,所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为A ，则 ()p A P =（“1ξ=”，或“3ξ=”，或“5ξ=”）. 因为事件“1ξ=”、“3ξ=”、“5ξ=”两两互斥，所以 36122()(1)(3)(5)7353535P A P P P ξξξ==+=+==++=【解后反思】离散型随机变量的基础则概率的计算，如古典概率、互斥事件概率和相互独立事件同时发生的概率，n 次独立重复试验有k 次发生的概率等，同时往往离散型随机变量的分布列上具有的性质.（如0,1,2,3,i p i ≥=，121p p ++=）要理解地记忆，便于掌握.19 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,m n R ∈，0m ≠.（1）求m 与n 的关系表达式； （2）求()f x 的单调区间. 见理19【思路点拨】此题考查了可导函数的导数求法，极值的定义，以及可导函数的极值点的必要条件和充分条件（导函数在极值点两侧异号），含参不等式恒成立的求解问题，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力. 【正确解答】（Ⅰ）解：2()36(1)f x mx m x n '=-++.因为1x =是()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=. 所以3n m =+（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知22()36(1)363(1)(1)f x mx m x m m x x m ⎡⎤'=-+++=--+⎢⎥⎣⎦当0m <时,有211>+,当x 变化时()f x 与()f x '的变化如下表: 由上表知,当0m <时,()f x 在(,1)m -∞+单调递减,在(1,1)m+单调递增, 在(1,)+∞单调递减【解后反思】要深刻理解和熟练掌握数学思想和方法，本题中运用了数形结合法、分离变量法、换元法等多种数学思想和方法.因此，在解答问题的过程中要领悟和体验这些方法，积累经验，必定能提高解决综合问题的能力.20 如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30︒，AE 垂直BD 于E ，F 为11A B 的中点. （1）求异面直线AE 于BF 所成的角；（2）求平面BDF 于平面1AA B 所成的二面角（锐角）的大小； （3）求点A 到平面BDF 的距离.【思路点拨】 本题考查了长方体的概念，异面直线、二面角、点到平面的距离的求法.考查逻辑推理能力，空间想象能力和运算能力，可根据长方体的特征，用定义或平面向量的知识是不难解决的.【正确解答】解法一：（向量法）在长方体1111ABCD A B C D -中，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系如图．由已知12,1AB AA ==，可得(0,0,0),(2,0,0),(1,0,1)A B F ．又AD ⊥平面11AA B B ，从面BD 与平面11AA B B 所成的角即为030DBA <=又2,,1,3AB AE BD AE AD =⊥==从而易得1(,(0,223E D （Ⅰ）13(,,0),(22AE BF ==-cos ,AE BF AE BFAE BF∴<>=14-==即异面直线AE 、BF 所成的角为4（Ⅱ）易知平面1AA B 的一个法向量m =设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量．(2,3BD =- 由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n BF n BD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ 020x x xy -+=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩x zy =⎧⎪⇒= 取(1,3,1)n =∴3cos ,15m n m n m n <>===⨯即平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）大小为5（Ⅲ）点A 到平面BDF 的距离，即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值所以距离||cos ,d AB AB n =<>||||||AB n AB AB n=||||5AB n n ===所以点A 到平面BDF 5解法二：(几何法)（Ⅰ）连结11B D ，过F 作11B D 的垂线，垂足为K ，∵1BB 与两底面ABCD ，1111A B C D 都垂直，∴11111111FB BB FK B D FB B B D BB B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD 又111AE BB AE BD AE B BB BD B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD 因此//FK AE <∴BFK <为异面直线BF 与AE 所成的角连结BK ，由FK ⊥面11BDD B 得FK BK ⊥， 从而 BKF ∆为Rt在 1Rt B KF ∆和111Rt B D A ∆中，由11111A D FK B F B D =得111111122ADAB A DB F FK B D BD====又BF = ∴cos FK BFK BK <== ∴异面直线BF 与AE 所成的角为（Ⅱ）由于AD ⊥面t AA B 由A 作BF 的垂线AG ，垂足为G ，连结DG ，由三垂线定理知BG ⊥∴AGD <即为平面BDF 与平面1AA B 所成二面角的平面角且90DAG <=，在平面1AA B 中，延长BF 与1AA ；交于点S∵F 为11A B 的中点1111//,,22A F AB A F AB =， 1B 1∴1A 、F 分别为SA 、SB 的中点即122SA A A AB ===，∴Rt BAS ∆为等腰直角三角形，垂足G 点实为斜边SB 的中点F ，即F 、G 重合易得12AG AF SB ===Rt BAS ∆中，AD =∴tan 3AD AGD AG <===∴arctan 3AGD <=即平面BDF 于平面1AAB 所成二面角（锐角）的大小为arctan3（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面AFD 是平面BDF 与平面1AA B 所成二面角的平面角所在的平面 ∴面AFD BDF ⊥面在Rt ADF ∆中，由Ａ作AH ⊥DF 于H ，则AH 即为点A 到平面BDF 的距离 由AH DF=AD AF ，得2AD AFAH DF===所以点A 到平面BDF 【解后反思】立几中求角和距离的问题一般要具备作、证、算三步.本题中也可用等积变换求距离.空间向量的引入，给本题解答提供了新思路，关键是点的坐标和向量的正确，否则以全错而告终.21 已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++（n N +∈）（1）证明数列{1}n a +是等比数列；（2）令212()n n f x a x a x a x =++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f 'B 1【思路点拨】本题主要考查数列的通项，等比数列的前n 项和以及导数的概念，考查灵活运用数学知识分析和解决问题的能力.知道数列的递推公式求数列的通项时，可直接代入求解，由n S 与n a 间的关系求数列的通项公式时，只要利用1(2)n n n a S S n -=-≥即可.对数的大小比较的常用方法是作差法，其差值可转化为关于n 的函数，再利用函数的性质作出判断.【正确解答】解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时,21215S S =++，所以2112a a a +=+又15a =所以211a =，从而(21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈ 又115,10a a =+≠，从而1121n n a a ++=+,即数列{}1n a +是以()116a +=为首项，2为公比的等比数列；（II ）由（I ）知321nn a =⨯- 因为212()n n f x a x a x a x =+++所以112()2n n f x a a x na x -'=+++从而12(1)2n f a a na '=+++=()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯- =()232222n n +⨯++⨯-()12n +++=()1(1)31262n n n n ++-⋅-+. 【解后反思】1、由数列前n 项和和定义12n n S a a a =+++可知n S 和n a 之间的关系11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩要注意的是，n a ＝n S －1n S -仅局限在2n ≥的一切真整数，因此在n S 求n a 时，应分类讨论，只有当1a ＝1S 满足n a ＝n S －1n S -时通项公式才只有一个式子，否则就是分段函数.2、对一个指数或多项式大小比较时，必须采取放缩的技巧，而放缩的技巧是在需选择目标和确定放缩的程度，应恰到好处，放缩的方法还常有：去掉式子中的某些数，应用不等式的5个性质，应用正、余弦的有界性等等. (22) （本小题满分14分）已知动圆过定点(,0)2p ，且与直线2px =-相切，其中0p > （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且4παβ+=，证明直线AB 恒过顶点，并求出该顶点的坐标.【思路点拨】本题考查直线的有关概念、直线与圆的性质，抛物线及三角函数的基础知识，考查运用数学知识解决综合问题的能力，第（I ）问可由圆的切线性质和抛物线的定义得到.第（II ）问必须借助解析的思想和两角和的正切转化为坐标处理. 【正确解答】（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2px =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>； （II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,0x x ≠， 又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4παβ+=，故0,4παβ<<，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为π从而设AB 方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p==， 将y kx b =+与22(0)y px p =>联立消去x ，得2220ky py pb -+= 由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=① 由4παβ+=，得1＝tantan()4παβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+- 将①式代入上式整理化简可得：212pb pk=-，所以22b p pk =+，此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--= 所以直线AB 恒过定点()2,2p p -.【解后反思】1、解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联系方程解，消元得一元二次方程，利用韦达定理处理.2、求某一角的三角函数值时注意其定义域，必须分类讨论由特殊到一般的思想，可猜测一般结论的正确性.3、研究直线y=kx+b 过一定点问题时，要建立k 、b 关系，而之个关系的建立必须借助αβθ+=为定值入手.。
2005年高考.全国卷III.文科数学试题精析详解(四川、陕西、云南、甘肃等地区用)
n2005 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 III ）文科数学试题（必修+选修Ⅰ）精析详解本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟.第 I 卷参考公式：如果事件 A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P(A)+P(B)如果事件 A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P(A)·P(B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率P n (k)=C k P k(1－P)n －k一、选择题：每小题 5 分，共 60 分. α球的表面积公式S=4πR 2其中 R 表示球的半径， 球的体积公式V=4πR 3 ，3其中 R 表示球的半径1．已知α为第三象限角，则2所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【思路点拨】本题考查任意角的表示方法及讨论整数的奇偶性.【正确解答】解法(1)因为α为第三象限角，所以α∈ (2k π-π, 2k π-π)(k ∈ Z ) ，2α ππα所以 ∈ (k π-, k π-)(k ∈ Z ) ，即 所在的象限是 224 2第二或第四象限.选 D解法 2：用图象法类似角分线，由图象可以轻易得到答案.选 D解法 3：用特值法令 α= -1350和α= 2250,也可以得到答案 D 23π 解法 4：α第三象限，即 2k π+π<α< 2k π+2k ∈ Z ,πα3π∴kπ+<<kπ+ k ∈Z ,可知α在第二象限或第四象限,选(D)2 2 4 2【解后反思】熟悉角的终边在坐标系内的画法,可以求任意角简单分割后的终边所在象限.α如何求任意角经复杂分割后的终边所在象限如n(3)再分成n 类情况讨论可完成.(1)先写出α范围(2)再求出除以n 的范围2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0 平行，则m 的值为（）A．0 B．－8 C．2 D．10【思路点拨】本题考查直线方程中系数与直线几何性质的关系.4 -m【正确解答】解法(1)两直线平行，则斜率相等，因此有选B. m +2=-2 ，得m =-8 .解法2：直线2x+y-1=0 的一个方向向量为a =(1,-2), AB = (m + 2, 4 -m) ,由AB∥a即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)解法3：可用特值法逐个代入,与条件相匹配.也能得到答案B.【解后反思】掌握直线方程五种形式的相互转化及其参数对几何性质的影响.即把相应条件变成等式,从平行等重要条件入手.3．在(x -1)(x +1)8 的展开式中x5 的系数是（）A．－14 B．14 C．－28 D．28【思路点拨】本题考查二项式定理通项公式的应用.【正确解答】(x -1)(x +1)8 =x(x +1)8 - (x +1)8 ， 5 的系数为C 4 -C5 = 14 .选B.x 8 8解法2：(x+1)8 展开式中x4,x5 的系数分别为C 4 , C5 ,∴(x-1)(x+1)8 展开式中x5 的系数为8 8C 4 -C5 = 14 ,选(B)8 811 V V V 【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽 量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令 x = 0 .在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.4．设三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 的体积为 V ，P 、Q 分别是侧棱 AA 1、CC 1 上的点，且 PA=QC 1，则四棱锥 B-APQC 的体积为 （ ）A ． 1VB ． 1 VC ． 1VD ． 1V6 43 2【思路点拨】本题考查几何体的分解后求体积的方法（化整为零）及考查棱锥,棱柱体积 公式的运用.【正确解答】解法 1：可以假设三棱柱为直三棱柱，则四棱锥 B-APQC 的高h 等于底面三角形 AC 边上的高.所以V 四棱锥B - APQC = 1 S 3APQC⋅h = 1 ⋅ [1 AC ⋅ (PA + QC )]⋅h = 1 ⋅ [1 AC ⋅ AA 1]⋅h = 1⋅3 2 3 2 1 1 1 V[ AC ⋅ h ] ⋅ AA 1 = S ABC ⋅ AA 1 = V 三棱柱ABC - A B C =3 2 3 3 1 1 1 3解法 2：设三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 为正三棱柱，P 、Q 、R 分别为侧棱 AA 1、CC 1、BB 1 上的 中点，则 V 三棱锥B-PQR = 3 V 三棱柱ABC -PRQ = 6V ，进而有V 四棱锥B - APQC = 2 - 6 = 3.选 C.解法 3：如图，V A - ABC = V B - A B C = V B - AC Q = 1 V ABC - A B CV B -PCQA= V B -CQA 1 1 1 1 1 3 +V B -PCA ,∵AF=QC 1,1 1 1111∴APQC 1,APQC 都是平行四边形,1 ∴V B -PCQA = V B -CQA +V B -PCA = 2(V B -CQA +V B -PCA )11111= 1 ⋅ 2V= 1V,选(C)2 3 ABC - A 1B 1C 1 3 ABC - A 1B 1C 1【解后反思】掌握特殊化方法和分解几何体的基本原则.在求这一类的问题中,如果题目中没有对几何体作任何规定时,可将几何体进行特殊化,变成有规律的几何体,不但不影响我们求解,相反会给我们解题带来柳暗花明又一村的感觉. 5．设3x= 1 ，则（）7A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1【思路点拨】本题考查指数函数的性质.【解答】特殊值代入法.显然 x < 0 ， 3-1= 1, 3-2= 1, 3-3= 13 9 273-2 < 1< 3-1 , -2 < x < -1,故选 A.7【解后反思】观察法结合代入法，可以使问题得到简化.我们也可以用数形结合的方法,画出它的图形进行大致估猜. 6．若 a =ln 2 ,b = ln 3 ,c = ln 5，则 （ ）2 3 5A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c【思路点拨】本题考查对数函数单调性和分数比较法则.ln 215 ln 310 ln 56 6 15 10【正确解答】 a = ,b = ,c = ， 5 < 2 < 3 ，∴ c < a < b .30 30 30选 C解法 2：由题意得 a= ln 30 215,b= ln 30 310,c= ln 30 56,∵ 56= (52 )3< (25 )3= 215= (23 )5< (32 )5= 310,∴c<a<b,选(C)【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和 1 比较大小；(2)找中间量,往往是 1,在这些数中,有的比 1 大,有的比 1 小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.7．设0 ≤ x ≤ 2π,且= sin x - cos x ,则 （）A ． 0 ≤ x ≤ π π 7π πB ． ≤ x ≤C ． 5ππ≤ x ≤D ． ≤ x ≤3π4 4 4 4 22【思路点拨】本题考查在确定范围内,利用三角函数公式.来求解三角函数方程.【正确解答】解法 1= sin x - cos x 得|sinx-cosx|=sinx-cosx, 因此sin x ≥ cos x ， 又0 ≤ x < 2π,由正弦、余弦函数的图象可知∴ π ≤ x ≤5π,选(C)4 4π7π 解法 2：用特值法,先取 x = 验证成立,则答案为 A 、B 、C,再分别取 x = 0 和 x =,44排除答案 A 、B,最后我们可以轻易得到正确答案 C.【解后反思】在求有关函数问题过程中,优先考虑函数的取值范围或函数存在条件是解决问题 的重要手段之一,同时我们也注意到函数有很强的规律性,再加上选择题的答案必在四个选项中,所以做此类题目可从局部入手,利用特值方法,也可得到正确答案,且简单易行,所以对于函 数选择题,利用特值法求解是做此类题目的一个亮点.2 sin 2α 8． ⋅ 1 + cos 2α cos 2 α cos 2α=（ ）A ． tan αB ． tan 2αC ．1D ．12【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及三角公式的熟练运用2 sin 2α cos 2 α 2 s in 2α cos 2 α【正确解答】解法(1)⋅ = ⋅ = tan 2α.选 B 1+ cos 2α cos 2α 2 cos 2α cos 2απ解法(2) 可以用特殊值验证（令α= ）得之.选 B.6【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看” 即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相2 332x = ,y =近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子, 看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称, 就可以使用.9．已知双曲线 x 2- y 2= 1的焦点为 F 1、F 2，点 M 在双曲线上且 MF 1 ⋅ MF 2 = 0,则点 M 到 x 轴的距离为（）4 5 A ．B ．33C ．2 3 D ． 3【思路点拨】本题主要考查向量垂直的等价条件，要求会根据双曲线方程求出其几何性质.【正确解答】设 M (x , y ) ， x > 0, y > 0 ， F 1 (- 3, 0), F 2 ( 3, 0) ，则 MF 1 = (x + 3, y ), MF 2 = (x - 3, y )由 MF 1 ⋅ MF 2 = 0,，则(x + 3)(x - 3) + y 2= 0 ，又因为点 M 在双曲线上，x -所以 y =.选 C y = 1，2解法 2：由 MF 1 ⋅ MF 2 = 0 ,得 MF 1⊥MF 2,不妨设 M(x,y)上在双曲线右支上，且在 x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2，即(ex)2+a 2=2c 2,∵a=1,b= ,c=,e= ,得 2 5 22 ,由此可 33知 M 点到 x 轴的距离是3,选(C)【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是 高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既32 3 3 2 32 222 F 1F 2PF 1 + PF 2 1+ 23 4要注意它们联系,也要注意它们的区别.圆锥曲线的性质也是高考重要知识点之一,不仅要注意它们的第一定义,同时对于第二定义(圆锥曲线上的点到一定点的距离比此点到一定直线的距离为一常数,此常数是圆锥曲线的离心率)也要作深入了解,第二定义对解决关于圆锥曲线的最 值等问题有很强的运用.10．设椭圆的两个焦点分别为 F 1、、F 2，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ，若△F 1PF 2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A ． 22B ． 2 -12C ． 2 -D ． -1【思路点拨】重点知识，重点考查,本题考查椭圆各相关参数的几何意义及其求法.【正确解答】设 F 1 (-c , 0) ， F 2 (c , 0) ， 由题意易知， PF 2 = F 1F 2 = 2c , PF 1 = 2 2c ，2c1 ∴e = = = = 2a2 - 1，选 D.b 2 解法 2：由题意可得 a = 2c ,∵b 2=a 2-c 2e= c a,得 e 2+2e-1=0,∵e>1,解得 e= -1,选(D)【解后反思】本题有很强有隐蔽性,本题提到的重点是椭圆,那椭圆的性质也在可用范围之列. 这一点往往是同学所忽略.巧用圆锥曲线的几何性质来解决有关解析几何有关问题是一个好 的方法, 本题目是一道综合题,综合运用所学的知识,能简化数学问题. 11．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）A ．3 个B ．4 个C ．6 个D ．7【思路点拨】本题考查分类思想的运用和立体几何的基本性质.【正确解答】由题意可知，四个点不可能都在平面α的同侧.只要考虑将四个平面分成两组，C 1 + C 2/ 2.共有 7 种可能.选 D 解法 2：共有 7 个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个 中垂面；四面体的四条高的四个中垂面，选(D)【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础2方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的.12．计算机中常用十六进制是逢16 进1 的计数制，采用数字0～9 和字母A～F 共16 个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：A．6E B．72 C．5F D．B0【思路点拨】本题考查计数法则和进位规则.【正确解答】E +D = 14 +13 = 27 = 1⨯16 +11 = 1B ，∵A=10,B=11, A⨯B = 10 ⨯11 = 110 = 6 ⨯16 +14 = 6E . ∴在16 进制中A×B=6E,选A 【解后反思】这是一道新型题目,让学生体会各种进制之间的异形同质.不管哪一种进制都是十进制的一种拓展,类比一下十进制,我们可以轻易解决这一系列问题,当然我们如果对计算机的进制有一个了解,解决这个问题会变得非常简单,高考每年都有一到二道新型题目,解决胜这些问题,不仅仅需要数学,其他知识也是一个重要的补充,所以在平时请同学们要多多进行知识积累.第Ⅱ卷二．填空题：每小题4 分，共（16 分）13．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12 人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5 位“喜欢”摄影的同学、1 位“不喜欢”摄影的同学和3 位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人. 【思路点拨】本题考查分层抽样方法的定义.【解答】按分层抽样方法抽取的学生比例与总的比例是相同的，设对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度的学生人数分别为x, y, z ，则⎩ ⎪z = 18⎧z - y = 12 ⎧x = 30 ⎪⎨x : y : z = 5 :1: 3 ⇒ ⎨ y = 6 ，⎩因此全班人数为 54，“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 3 人.解法 2：设执“不喜欢”的学生为 x 人，则执“一般”的学生为(x+12)人， x 由题意得= 1 ,x=6,x +12 3∴执“喜欢”的学生有 30 人,全班共有人数为 12+6+6+30=54(人),∴全班学生中“喜欢” 摄影的比全班人数的一半还多 3 人。
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析（湖北卷.文）
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析（湖北卷.文）绝密★启用前2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I 部分（选择题共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若 }6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6解：集合P 中和集合Q 中各选一个元素可组成的组合数为11339C C ?=其对应的和有一个重复：0+6=1+5, 故P+Q 中的元素有8个,选(B)2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：①是假命题,∵由ac=bc 推不出a=b ；②是真命题；③是假命题；④是真命题,∵“a <3”?“a <5”,选(B) 3．已知向量a =（－2，2），b =（5，k ）.若|a +b |不超过5，则k 的取值范围是（）A ．[－4，6] B ．[－6，4] C ．[－6，2] D ．[－2，6]解：∵22222||28252(102)134a b a b ab k k k k +=++=+++-+=++ ,由题意得k 2+4k+-12≤0,解得-6≤k ≤2,即k 的取值范围为[-6,2],选(C) 4．函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（）解：|1|||ln --=x e y x =111,1101,x x x x x x-+=≥-+<5．木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（）A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍解：设木星的半径为r 1,地球的半径为r 2由题意得3132r r =,则木星的表面积∶地球的表面积=2311223221120r r r r r r =?===,选(C) 6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 解：抛物线x y 42=的焦点为(1,0),∴1,2,m n ?+=?=得m=14,n=34,∴mn=316,选(A)7．在x y x y x y y x 2c o s ,,l o g,222====这四个函数中，当1021<<<="">)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3解：∵当1021<<<="">,121222log log 22x x x x++>∴>即当1021<<<="" 2x,="" bdsfid="180" p="" x="" 时,使log="">()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立,其它3个函数都可以举出反例当1021<<<="">)()()2(2121x f x f x x f +>+不成立(这里略),选(B) 8．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若b a b a //,,//则ββ?；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：①③④⑤是假命题,②是真命题,选(A)9．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 解：本题主要关键是抓连续编号的2张电影票的情况,可分四种情况：情况一：连续的编号的电影票为1,2;3,4;5,6,这时分法种数为222432C P P 情况二：连续的编号的电影票为1,2；4,5,这时分法种数为222422C P P 情况三：连续的编号的电影票为2,3;4,5;这时分法种数为222422C P P 情况四：连续的编号的电影票为2,3;5,6,这时分法种数为222422C P P综上, 把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张,且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是222432C P P +3222422C P P =144(种) 10．若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin（）A ．)60(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ解：∵sin α+cos α)4πα+∈),∴排除(A),(B),当α=4π时,tan α=1,sin α+cos α,这时sin α+cos α≠tan α,∴选(C) 11．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．0解：y '=3x 2-8,由题意得0<3x 2-8<13x <<或3x -<<,其中整x 的可取值为0个,选(D) 12．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样解：①②不是系统抽样,可能为分层抽样; ③可能为系统抽样,也可能为分层抽样：④既非系统抽样也不是分层抽样,综上选(D)第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上. 13．函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 . 解：x 必须满足402030x x x ->??-≥??-≠?解之得,∴函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是{x|3<x<4或2≤x<3}< bdsfid="271" p=""></x<4或2≤x<3}<>14．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 .解: 342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r rr T C x C x x --+=-=-,令12-4r=0,r=3,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=-32, 81()x x+的通项公式为8821881()k k k k kk T C x C x x --+==,令8-2k=0,k=4,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70,∴843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于3815．函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 .解: 函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期为2π,∵1sin 2sin 02|sin |cos 1sin 2sin 02x x x x x x ?≥??=?-的最大值为12,∴1cos |sin |-=x x y 的最大值为12-,∴1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为122π-. 16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费元. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量x f t x x x ?=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围. 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知63,31cos ,3tan ===AC C B ，求△ABC 的面积.19．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n . 20．（本小题满分12分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.21．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）. 22．（本小题满分14分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．)4,3()3,2[? 14．38 15．212-π 16．500 三、解答题17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥?≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立?.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，.21cos ,23sin ,60,3tan ==∴==B B B B 得由应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=-=C C 8232263sin sin =?==B C b c ..3263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=?+?=+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 21+==A bc S ABC 解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得.64,,364,32321236330sin sin sin sin ,sin sin .12030,900,60.64,64.0108,21826454,cos 222122222+=<-=>=?=?>?==<<∴<<=-=+==+-∴??-+=-+=a a B b A B b a B b A a A C B a a a a a a B ac c a b 故舍去而得由所得即故所求面积.3826sin 21+==B ac S ABC 19．本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则故.42}{,4121111---=?-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即（II ）,4)12(422411---=-==n n nn nn n b a c]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴-- 两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. 又∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH.∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF=C 1H=2..6222=+=∴DF BD BF（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ，则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ，且AG ?面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到平面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+==∴=?===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0）， C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）. ∵AEC 1F 为平行四边形，62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为平面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然=+?+?-=+?+=?=?02020140,0,011y x y x n n 得由 ??-==∴=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则.333341161133cos 1111=++==α ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=?==αCC d 21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,5 1p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C -（II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为415p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为.34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=??+=∴=?+===-+=p p p p p p C p p22．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=?∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得 .3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+?>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-?-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-?+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆?△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ?=?).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=.212-λ由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由（II ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,2122,4,321-±-=-±-λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλ计算可得0=?，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）。
2005年高考.湖南卷.文科数学试题精析详解
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（湖南文史类）试题精析详解一、选择题（5分⨯10=50分）1．设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（ C U A ）∩B= （ ）A ．{0}B ．{－2，－1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}[评述]:本题考查集合有关概念，补集，交集等知识点。
【思路点拨】本题涉及集合的简单运算.【正确解答】由题意得：{}{}2,1)(,2,1=⋂=B CuA CuA 则,故选C. 【解后反思】这是一道考查集合的简单题目,可用画出它的韦恩图,用数形结合的方法解答.2．tan600°的值是 （ ）A ．33-B ．33C ．3-D ．3[评述]:本题考查三角函数化简，求值等知识.【思路点拨】本题涉及任意角的三角的函数值. 【正确解答】360tan 240tan 600tan 000===,故选D.tan 600tan(3602120)tan(120)tan 60︒=︒⨯-︒=-︒=︒=.选D.【解后反思】这是一道求值题,运用数学思想中的化归方法,将一个未知的角转化成一个特殊角,达到解决的目的,即将一个未知的知识转化成已知的知识的过程,这种方法在许多题目中都有所涉及.3．函数f (x )＝x 21-的定义域是（ ） A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．（－∞，0） D ．（－∞，＋∞）[评述]：本题考查函数的定义域，指数函数的性质等到知识点。
【思路点拨】本题涉及是函数的定义域问题即函数存在的条件问题.【正确解答】解法1：由题意得：]0(,0.12021，x ，xx -∞≤∴≤≥-即即,故选A. 解法2：用特值法令0x =,得A 、B 、D 再令1x =,去掉B 、D ，可以轻易得到答案. 选A.【解后反思】函数的定义域的问题是高考数学的一个热点,关于函数的定义域的常规问题有如下几种情况(1)分母不能为零(2)开偶次根的因式要大于或等于零，注意偶次根号下的因式是可以等于零（3）对数函数的真数要大于零,底数要大于零且不等于1(4)指数函数的底也要大于零且不等于1,如果碰到多种情况,应求它们的交集.此外用特殊值法代入也是解决关于复杂的定义域的选择题是一种比较好的方法.4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1 的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ）A ．23 B ．22 C ．21 D ． 33 [评述]：本题考查点面距离，可转化为线面距离求解.【思路点拨】本题目涉及立体几何的点面距离及正方体中线面角的若干关系.【正确解答】因为在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1平行于平面ABC 1D 1。
2005年高考文科数学(全国卷Ⅰ)试题及答案
2005年高考文科数学(全国卷Ⅰ)试题及答案（河北、河南、安徽、山西、海南）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页第Ⅱ卷3到10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题（1）设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（A ）1±（B ）21±（C ）33±（D ）3±（2）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I （B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） （C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（4）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5（5）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCFADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（A ）32（B ）33（C ）34（D ）23（6）已知双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（A ）23 （B ）23 （C ）26 （D ）332 （7）当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A ）2（B ）32（C ）4（D ）34（8）)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是（A ）)11( 112≤≤--+=x x y （B ）)10( 112≤≤-+=x x y（C ）)11( 112≤≤---=x x y （D ）)10( 112≤≤--=x x y（9）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞ （C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a（10）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2（B ）23（C ）223 （D ）2（11）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③（12）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共10小题，共90分二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（13）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = )3010.02≈（14）8)1(xx -的展开式中，常数项为 （用数字作答）（15）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有 种（16）在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本大题满分12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像（18）（本大题满分12分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小（19）（本大题满分12分）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为3,1(（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围（20）（本大题满分12分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率（精确到01.0） （21）（本大题满分12分） 设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且)12(21020103010=++-S S S （Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T（22）（本大题满分14分） 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与(3,1)a =-共线（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值2005年高考文科数学（全国卷Ⅰ）试题参考答案（河北、河南、安徽、山西、海南）一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分13．155 14．70 15．100 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为 （Ⅲ）由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD. 因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN.在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角 ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM.在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21.（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC由此得AC 与PB 所成的角为.510arccos（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ= 要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.19．本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f.3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=①由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得 ②因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ，即 .511.01452-===--a a a a 或解得由于51.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式（Ⅱ）由aa a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-= 及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得 由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或 故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞ 20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.087811==-（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)81(87213=⨯⨯C （Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3)87(， 所以有坑需要补种的概率为 .330.0)87(13=-解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C 恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.087)81(223=⨯⨯C 3个坑都需要补种的概率为 .002.0)87()81(0333=⨯⨯C所以有坑需要补种的概率为 .330.0002.0041.0287.0=++21．本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=- 即,)(220121*********a a a a a a +++=+++ 可得.)(220121*********10a a a a a a q +++=+++⋅因为0>n a ，所以 ,121010=q 解得21=q ，因而 .,2,1,2111 ===-n q a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列，故则数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2n n nn T +++-+++=前两式相减，得122)212121()21(212+++++-+++=n n n n n T 12211)211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n nn n n T 22．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分14分（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，即232222cba c a =+，所以36.32222ab ac b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ 22239322c c c =-+=0 又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1。
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(全国卷Ⅲ.文)(四川,陕西,云南)
2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：每小题5分，共60分. 1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解：α第三象限，即3222k k k Z πππαπ+<<+∈,∴3224k k k Z παπππ+<<+∈,可知2α在第二象限或第四象限,选D 2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．－8C ．2D ．10 解：直线2x+y-1=0的一个方向向量为a =(1,-2),(2,4)AB m m =+-,由AB a 即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选B 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是 （ ）A ．－14B ．14C ．－28D ．28解：(x+1)8展开式中x 4,x 5的系数分别为48C ,58C ,∴(x-1)(x+1)8展开式中x 5的系数为 458814C C -=,选B4．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V解：如图，1111111113A ABCB A BC B AC Q ABC A B C V V V V ----===111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+,∵AF=QC 1,∴APQC 1,APQC 都是平行四边形, ∴111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+=12(11B CQA B PCA V V --+) =1111223ABC A B C V -⋅=11113ABC A B C V -,选C 5．设713=x，则（ ）A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1解：211337--<<,21x -<<-,选A 6．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c解：由题意得a=lnln ln ∵62353153525105(5)(2)2(2)(3)3=<==<=,∴c<a<b,选C7．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 （ ）A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤ D ．322x ππ≤≤sin cos x x =-得|sinx-cosx|=sinx-cosx,又02x π≤<, ∴544x ππ≤≤,选C 8．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =（ ）A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．12解：22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+222sin 2cos tan 22cos cos 2ααααα⋅=,选B9．已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到 x 轴的距离为 （ ）A ．43 B ．53C D 解：由120MF MF ⋅=,得MF 1⊥MF 2,不妨设M(x,y)上在双曲线右支上，且在x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2，即(ex)2+a 2=2c 2,∵得x 2=53,y 2=23,由此可知M 点到x 选C 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A ．2 B C ．2 D 1解：由题意可得22b c a=,∵b 2=a 2-c 2e=c a ,得e 2+2e-1=0,∵e>1,解得1,选D 11．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．6个D ．7解：共有7个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；四面体的四条高的四个中垂面，选D12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B= （ ） A ．6E B ．72 C ．5F D ．B0解：∵A=10,B=11,又A ×B=10×11=110=16×6+14,∴在16进制中A ×B=6E,∴选A第Ⅱ卷二．填空题：每小题4分，共（16分）13．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座 谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一 般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人.解：设执“不喜欢”的学生为x 人，则执“一般”的学生为(x+12)人，由题意得1123x x =+,x=6,∴执“喜欢”的学生有30人,全班共有人数为12+6+6+30=54(人),∴全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多3人。
2005年高考.北京卷.文科数学试题精析详解
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷 1至2页，第II 卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）设全集U =R ，集合M ={x | x >1}，P ={x | x 2>1}，则下列关系中正确的是 A ．M=P B ．P M C ．M P （ D ）M P R =I 【答案】C【详解】{|1P x x =>或1}x <- {|1}M x x =>易得M P【名师指津】 集合与集合之间关系的题目经常借助图象来观察. （2）为了得到函数321x y -=-的图象，只需把函数2xy =上所有点 （A ）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 （B ）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 （C ）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 （D ）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 【答案】A【详解】把函数2x y =图像上所有点向右平移3个单位长度就得到函数3x 2y -=的图像；再把函数3x 2y -=的图像向下平移1个单位长度，即得到函数321x y -=-的图象。
【名师指津】要牢记图像的平移规律：（对x 来说）正左移，负右移；（对y 来说）正上移，负下移；平移规律可用简单的口诀来记忆：左右，上下，加减。
（3）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 （A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【详解】当12m =时两直线斜率乘积为1-从而可得两直线垂直,当2m =-时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此12m =是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件.【名师指津】对于两条直线垂直的充要条件①12,k k 都存在时12.1k k =-②12,k k 中有一个不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略.（4）若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° 【答案】C【详解】设所求两向量的夹角为θc a b c a →→→→→=+⊥Q 2.()..0c a a b a a a b →→→→→→→→∴=+=+=2||||||cos a a b θ→→→∴=- 即：2||||1cos 2||||||a a ab b θ→→→→→-==-=-所以120.oθ=【名师指津】 对于.||||cos a b a b θ→→→→=这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握.（5）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 （A ）6π （B ）3π （C ）2π（D ）32π 【答案】B 【详解】 将圆的方程配方得：22(6)9x y +-=圆心在(0,6)半径为3,如图： 在图中Rt PAO ∆中,62OP PA ==,从而得到30oAOP ∠=,即60.oAOB ∠=所以两条切线的夹角的大小为3π. 【名师指津】 以数形结合的思想解决此类题,抓图中直角三角形中边角关系. （6）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<co sα＋cosβ 【答案】D 【详解】当30o αβ==时可排除A 、B 选项,当15oαβ==时代入C 选项中,即：0cos302sin15oo<< 两边平方234sin 154o<1cos304230.2682o -=⨯=-≈矛盾故选D 【名师指津】 特殊值反代入的解题思想在高考选择题的解决过程中经常用到.本题只是简单的两组特殊角代入即可解决问题.特殊值解选择题关键是恰到好处地选取特殊值如：数值类经常考虑110,1,,23±。
【解析版】2005年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学 Word版含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（１）数111-++-=ii z ．在复平面内，z 所对应的点在 （ ）（Ａ）第一象限（Ｂ）其次象限（Ｃ）第三象限（Ｄ）第四象限（２）极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的 （ ）（Ａ）充分而不必要的条件 （Ｂ）必要而不充分的条件 （Ｃ）充要条件（Ｄ）既不充分也不必要的条件（３）设袋中有80个红球，20个白球．若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（Ａ）10100610480C C C ⋅ （Ｂ）10100410680C C C ⋅ （Ｃ）10100620480C C C ⋅ （Ｄ）10100420680C C C ⋅ 【答案】D（４）已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：①若α⊥m ，β⊥m ，则βα//； ②若γα⊥，γβ⊥，则βα//；③若α⊂m ，β⊂n ，n m //，则βα//；④若m 、n 是异面直线，α⊂m ，β//m ，β⊂n ，α//n ，则βα//， 其中真命题是（Ａ）①和②（Ｂ）①和③（Ｃ）③和④（Ｄ）①和④（５）函数)1ln(2++=x x y 的反函数是（Ａ）2x x e e y -+= （Ｂ）2x x e e y -+-= （Ｃ）2x x e e y --= （Ｄ）2xx e e y ---=（６）若011log 22<++a a a，则a 的取值范围是 （Ａ）),21(∞+ （Ｂ）),1(∞+ （Ｃ）)1,21(（Ｄ）)21,0(（７）在Ｒ上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（Ａ）11<<-a（Ｂ）20<<a（Ｃ）2321<<-a （Ｄ）2123<<-a（８）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长的比值为m ，则m 的范围是（Ａ）)2,1(（Ｂ）),2(∞+ （Ｃ）),3[∞+（Ｄ）),3(∞+（９）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为 （Ａ）８或－２（Ｂ）６或－４（Ｃ）４或－６（Ｄ）２或－８（10）已知)(x f y =是定义在Ｒ上的单调函数，实数21x x ≠，1-≠λ，λλα++=121x x ，λλβ++=112x x ．若，则（Ａ）0<λ（Ｂ）0=λ（Ｃ）10<<λ（Ｄ）1≥λ（11）已知双曲线的中心在原点，离心率为3．若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则 该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是（Ａ）632+（Ｂ）21 （Ｃ）21218+（Ｄ）21（12）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)N (*1∈>+n a a n n ，则该函数的图象是11y xO11yxO11yxO11yx（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）（13）62121)2(--xx 的开放式中常数项是______________．（14）如图，正方体的棱长为１，Ｃ、Ｄ分别是两条棱的中点，Ａ、Ｂ、Ｍ是顶点，那么点Ｍ到截面ABCD 的距离是_____________．（15）用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不．相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）（16）ω是正实数，设})](cos[)(|{是奇函数θωθω+==x x f S ，若对每个实数a ，ωS ∩)1,(+a a 的元素不超过２个，且有a 使ωS ∩)1,(+a a 含有２个元素，则ω的取值范围是___________．【点拨】通过数轴得出ωS ∩)1,(+a a 元素个数与两点间距离的关系再求解．三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本小题共12分）。
2005年高考.江西卷.文科数学试题精析详解
2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（江西文科卷）试题精析详解一、选择题（5分⨯12=60分）1．设集合{|||3,},{1,2},{2,1,2}I x x x Z A B =<∈==--，则()I A C B =（ ）A ．{1}B ．{1，2}C ．{2}D ．{0，1，2}【思路点拨】本题考察集合的逻辑运算,可直接求得.【正确解答】{|3003}I x x x =-<<<<或，{0}I C B =，(){0,1,2}I AC B =.选D.【解后反思】集合主要有三种逻辑运算：交集,并集,补集,运算时要留意集合元素的性质,元素确定性,互异性,无序性,要注意补集的运算是离不开全集的,在化简集合时,经常用到两种工具：数轴和韦恩图. 2．已知==ααcos ,32tan 则（ ）A ．54 B ．－54 C ．154 D ．－53 【思路点拨】本题涉及三角函数的有关公式.【正确解答】由二倍角公式可知，221tan 42cos 51tan 2ααα-==-+，选B 【解后反思】教材已经给我们提供了一个好的问题情境，并通过“会话”、“协作”初步建构了二倍角公式的概念.我们完全有可能通过进一步的“会话”、协作”，深化对二倍角公式的意义建构，引导学生用学到的“活的思想”去诠释新教材中的新问题.如此去领会、贯彻新教材的构思.3．123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识. 【正确解答】123)(x x +的展开式为12412236121212t t t t t tt tC C xC x-++-==，因此含x 的正整数次幂的项共有3项.选B【解后反思】在二项式展开式中,要注意二项式定理的变形,要掌握二项展开式中的系数与二项式系数的区别. 4．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ）A ．（1，2）∪（2，3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1，3）D ．[1，3]【思路点拨】本题涉及求函数定义域的若干知识.在本题中,求定义域要注意两个方面(1)因式有分母,注意分母不能为零,(2)因式有对数,要对数有意义.【正确解答】由题意可知，222log (43)0213430x x x x x x ⎧-+-≠≠⎧⎪⇒⎨⎨<<-+->⎪⎩⎩，选A 【解后反思】本题是求定义域的一道常规题目, 函数的定义域（或变量的允许取值范围）看似非常简单,然而在解决问题中若不加以注意,常常会误入歧途,导致失误.此外在用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响. 5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为 （ ）A ．周期函数，最小正周期为32πB ．周期函数，最小正周期为3πC ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数【思路点拨】本题考查三角函数的周期,首先应将f(x)化简,尽可能地化成形如sin()(0)y A x ωϕω=+≠然后再判断.【正确解答】222sin 3 333()2220 3333x k x k f x k x k πππππππ⎧<<+⎪⎪=⎨⎪+<<+⎪⎩()k Z ∈，因此()f x 为周期函数，且最小正周期为32π.选B. 【解后反思】本题也可根据三角函数周期定义进行检验,将A 、 B 、C 、D 中的周期都代入,验证后,可得答案B,另外记住一些常用结论是必要的，例如sin()(0)y A x ωϕω=+≠的最小正周期2||T πω=,tan()(0)y A x ωϕω=+≠最小正周期||T πω=. 6．已知向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--= （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【思路点拨】本题考查平面向量的运算及向量的夹角公式.【正确解答】设(,)c x y =，则5()(1,2)(,)22a b c x y x y +⋅=--⋅=--=，又 ||5c =，所以2||||cos a c x y a c α⋅=+=⋅⋅，得1cos 2α=-，120α=︒，选C.【解后反思】设,a b 的夹角为θ,则]cos ,0,||||a ba b θθπ⎡=∈⎣,(1)当θ为锐角,有0a b 且1a b ≠(2) 当θ为钝角,有0a b且1a b ≠-(3)当0θ=,,a b 共线且方向相同.(4)当2πθ=时, 0a b =.7．将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）A ．70B ．140C ．280D ．840【思路点拨】本题涉及组合的平均分组问题.【正确解答】要使甲、乙分在同一组，即将剩下的7人分成三组，其中两组有三个人，一组只有一个人，所以要求的概率为132763/270P C C C =⋅⋅=，选A【解后反思】对于平均分组问题,由于各组地位均等,所以平均分成几组,就一定要除以nn A 8．在△ABC 中，设命题,sin sin sin :AcC b B a p ==命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【思路点拨】本题主要考查三角形形状的判断及充要条件.【正确解答】q p ⇒，由△ABC 是等边三角形，则,a b c A B C ====，显然成立.p q ⇒：由三角形的性质可知：sin sin sin b c a B C A ==，又已知，sin sin sin a b cB C A==两式相除得：b c a a b c ==，令b c at a b c===，则,,a ct b at c bt ===， 所以，3abc abct =，得1t =，因此a b c ==，即△ABC 是等边三角形. 因此p 是q 的充分必要条件，选C【解后反思】判断三角形形状,主要根据正弦定理,余弦定理及三角形内角和为π,化简有两个方向,(1) 角化边,(2)边化角.9．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ）A ．π12125 B ．π9125C ．π6125D ．π3125【思路点拨】本题主要考查图形的翻折问题,利用球心到球面的距离均相等,找出球心是解本题的关健. 【正确解答】连接矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，则AO ＝BO ＝CO ＝DO ，则O 为四面体ABCD的外接球的圆心，因此四面体ABCD 的外接球的半径为52，体积为345125()326ππ=.选C. 【解后反思】对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,另外,球和正方体,长方体,三棱锥的组合问题,应引起高度重视,而且有些问题也可以通过补形法转化成球内接正方体或内接长方体问题. 10．已知实数a 、b 满足等式,)31()21(ba=下列五个关系式： ①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b 其中不可能成立的关系式有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】本题涉及指数函数的若干知识.【正确解答】,a b 均大于零时，要满足等式，必有a b >；,a b 均小于零时，要满足等式，必有a b <；0a b ==时，显然等式成立.因此不可能成立的关系式为③④，选B【解后反思】根据函数图形来解客观题,快速而且准确,这就要求对函数的图形要相当了解. 11．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【思路点拨】运用图形,根据图形表示ABC ∆的面积,将实际问题转化成数学问题. 【正确解答】1111sin cos (1cos )(1sin )222ABC S θθθθ∆=----- 11sin cos 22θθ=-11sin 224θ=- 当2θπ=即2πθ=时,面积最大.【解后反思】运用三角函数解决相应的实际问题，首先应根据题目的要求将面积的表达式写出来，然后在表达式中，根据自变量的取值范围，最终求出答案，所要注意的是，解决此类问题时不能仅凭函数的表达式，应考虑实际情况，例如，在函数的自变量中，可以取负数，而如果在实际题目中，自变量表示的是天数，那么这相自变量必须为正数，且为整数等等. 12．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（ ）A ．0,27,78B ．0,27,83C ．2.7,78D ．2.7,83【思路点拨】本题涉及数理统计的若干知识.【正确解答】由图象可知，前4组的公比为3，最大频率40.130.10.27a =⨯⨯=，设后六组公差为d ，则560.010.030.090.27612d ⨯+++⨯+=，解得：0.05d =-， 后四组公差为－0.05， 所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为（0.27＋0.22＋0.17＋0.12）×100＝78（人）.选A.【解后反思】本题是一道数理统计图象题,关于统计一般可分为三步,第一步抽样,第二步根据抽样所得结果,画成图形,第三步根据图形,分析结论.本题是统计的第二步,在此类问题中,可画成两种图形,一个是频率分布直方图,另一个是频率分布条形图,两者有很大的不同,前者是以面积表示频数,频率分布条形图是以高度表示频数.。
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2005年-2011年全国卷Ⅰ（数学文）题型、知识点分布分析
二、近几年数学卷得分分析
全省2008年理科平均分：68.04（选择题平均37.23分） 及格率：21.13% 全省2008年文科平均分：59.67（选择题平均34.48分） 及格率：19.67%
三、答题技巧分析
（一）选择题（12个共60分，占总分40％） 2000～2010年共11年内：
理科选择题中共出现 文科选择题中共出现
一般每年考试选择题答案中每个选项至少出现二次，至多出现四次，相对比较平均，（B ）（C ）占比例较大，约占60％，由于每年选择题中有8-9个题比较容易，在此基础上，对难题可猜测一下，一般可选择已解答的选项中出现较少而理论上分析又可能出现较多的选项，以上方法我们称为宏观分析，微观选择，有一定的效果。
一般计算量比较大的，可用选项去验证条件或结论，选A 的可能性较大；一般难度较大且内容新颖，平时未见过的题型，选D 的可能性较大；其他方法可用图解法、特殊值法、排除法及分析计算法。
二、考点预测
（一）三角函数类
<1> 在三角形内利用正弦定理、余弦定理建立边角之间关系及函数表达式求其定义域，化同一函数求最大最小值问题，可参考2007年文理科试题。
<2> 利用正弦定理、余弦定理、等差数列、等比数列、诱导公式、和角倍角公式求三角函数的值及三角形边的值，为一类综合题型，可参考2005年、2006年、2008年、2009年及2010年试题。
<3> 利用三角函数的图形求函数的周期、平移或放大缩小求函数的最大小值，用三角函数的性质求特殊角，半特殊角的值或用值求其角度，利用三角函数图形判定其增减性，正负性等。
（二）数列类
<1> 证明等比数列（直接证或同时减一个常数或同时减一个含n 的函数）。
证明等差数列（直接证或同时除以一个常数或同时除以一个含n 的函数）。
<2> 利用通项和部份和之间的关系及等比、等差数列的性质求数列的通项，并证明其通项公式，证明一类不等式。
<3> 由给出的已知条件、利用通项公式及部份和公式联立方程组求首项、公差、公比和某项及部份和。
以上各种题型可参考近5年文理科试题。
（三）立体几何类
<1> 证明空间立体边与边、角与角、线与面、面与面之间关系，用传统方法及向量代数的方法求线与面、面与面之间的夹角及特别是含有未知参数时的综合题，可参考2009年及2010年试题。
<2> 求点到线、点到面、线到线、面与面的距离。
<3> 对空间立体作截面化为平面几何求面积、表面积、全面积及体积问题。
以上可参考近3年文理科试题。
（四）概率统计类
<1> 产品抽样拒收、接收的分列，分层抽样的方法，离散型随机变量的数学期望、方差。
<2> 古典概型中概率的计算，利用和事件、交事件、对立事件及事件的独立性求事件发生的概率，二项分布的分布列及数学期望与方差、正态分布、标准正态分布的特性。
<3> 概率应用使期望收益、期望利润、最大期望成本、费用最省等。
如保险公司最低保费问题、电路正常工作等问题。
可参考近2008、2009、2010年文、理科试题。
（五）解析几何类
<1> 利用双曲线、抛物线、椭圆的定义、焦点、准线及性质、数量积、数列的综合应用求解一类题型。
<2> 利用曲线的性质求离心率、线段长度之和、长度之比、围成平面图形的面积等。
<3> 动点的轨迹问题，讨论参数取值确定曲线形式及直线方程。
参考近三年选择、填空及解答证明题。
(六)函数及导数应用类
<1> 求函数的单调区间、极值、切线的斜率、切线方程、比较大小等。
<2> 利用极值、辅助函数、单调性证明不等式，结合线性规划求函数的取值范围。
<3> 讨论参数证明不等式及函数的取值范围。
可参考近5年的文理科试题。
专题一、集合与简易逻辑分值5分，一般以选择题形式出现，属容易题. 具体情况见下表。