第二章对偶理论与灵敏度分析练习题
《运筹学》胡运权 第4版 第二章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析
b2 bm
x1, x2 , , xn 0
对 称 形 式 的
的 定 义
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m 对
s.t.
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 y1 c1
am2 y2 amn ym
c2 cn
偶 问 题
y1, y2 , , ym 0
a23 x3 a33 x3
b2 b3
x1 0， x2 0， x3无 约 束
（2.4a） （2.4b） （2.4c） （2.4d）
先转换成对称形式，如下：
的 的一个变量，其每个变量对应于对偶问题 的一个约束。
定
义
m Z a c 1 x 1 x c 2 x 2 c n x n 一
对 偶
a11x1 a12x2 a1n xn (,)b1
a2
1x1
a22x2
a2n xn
(, )b2
般 线 性
问 题 的 定 义
am1x1 am2 x2 amnxn (,)bm xj 0( 0,或符号不限) j 1 ~ n
问题。
对
对偶问题是对原问题从另一角度进
偶
行的描述，其最优解与原问题的最 优解有着密切的联系，在求得一个
原
线性规划最优解的同时也就得到对 偶线性规划的最优解，反之亦然。
理
对偶理论就是研究线性规划及其对 偶问题的理论，是线性规划理论的
重要内容之一。
问 题 的 导 出
例2-1
我们引用第一章中美佳公司的例子，如表1
的
x1, x2, , xn 0
对
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m
运筹学——2对偶理论和灵敏度分析
则上述问 题变为：
Min W =2u1+u2+2u3 u1+u2+2u3 ≥1
s.t. u1 -u2+ u3 ≤2 -u1+u2+ u3 =1 u1≥0, u3≤0 ,u2无约束
8
Max Z = x1+2x2+x3
Min W =2u1+u2+2u3
(L)
x1+x2-x3 ≤2
s.t. x1 -x2+x3 = 1 2x1+x2+x3 ≥2
所以 X(0)TATY(0) ≥X(0)TC = CTX(0)
(2)
由（1），（2）得：
CTX(0) ≤ bTY(0)
13
推论1 若LP问题有无界解，则其对偶问题无可行解； 若LP问题无可行解，则对偶问题或有无界解或无可行解。
推论2 极大化问题的任何一个可行解所对应的目标 函数值都是其对偶问题目标函数值的下界。
限额 600 400 300 200
y1 y2 y3 y4
假设工厂考虑不进行生产而把 全部资源都转让，问如何定价 这些资源，既能使其获利不低 于安排生产所获得的收益，又 能使资源租让具有竞争力。
Max Z = 2000x1+4000x2+3000x3
s.t. 3x1+4x2+2x3≤600 2x1+ x2+2x3≤400 x1+3x2+3x3≤300 x1+2x2+4x3≤200 x1, x2, x3≥0
CB XB b
2 x1
4
0 x5
4
3 x2
2
-14
23 0 0 0
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
x1
x2
xj
xn 0
减少一件产品可以节省的资源
机会成本a1jy1+ a2jy2+ …… aijyi+ ……amjym
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
4、产品的差额成本（Reduced Cost）
机会成本
差额成本
利润
min w b1y1 b2 y2 bm ym
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
min w=YTb
ATY ≥ CT st.
Y ≥0
1,若原问题目标是求极大化，则对偶问题的目标是 极小化，反之亦然。
特对 点偶
问 题 的
2,原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约束系数矩 阵互为转置矩阵。
3,极大化问题的每个约束对应于极小化问题的一个 变量，其每个变量对应于对偶问题的一个约束。
6 y2 + y3 ≥2
题对 偶
St. 5y1 + 2y2 + y3 ≥1
问
y1、y2 、y3 ≥0
最终表
210 0
CB 基 b x1 x2 x3 x4
0 x3 15/2 0 0 1 5/4 2 x1 7/2 1 0 0 1/4 1 x2 3/2 0 1 0 -1/4
cj－zj
0 0 0 -1/4
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
≤
≥
约束条件
≥
≤
变量
=
无约束
≥
≥
变量
≤
≤
无约束
=
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
约束条件
§2.2 对偶问题的基本性质
性质1 弱对偶性
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
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18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
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12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
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第二章线性规划的对偶理论和灵敏度分析自测题key
i i ii第二章 线性规划的对偶理论和灵敏度分析自测题1. 判断下述说法是否正确(1) 任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题。
(2) 线性规划原问题的对偶问题的对偶是原问题本身。
(3) 原问题的任一可行解对应的目标函数值都不超过其对偶问题的任一可行解对应的目标函数值。
(4) 已知对偶问题的最优解中， y * > 0 ，则原问题中在资源最优配置下，第i 种资源已完全消 耗殆尽。
(5) 已知对偶问题的最优解中， y * = 0 ，则原问题中在资源最优配置下，第 i 种资源一定未 完全消耗。
(6) 影子价格就是市场价格。
(7) 若第 i 种资源的影子价格为 y * > 0 ，则在保持原问题中其它条件不变时，在资源最优配置下，当第i 种资源增加10个单位时，最优值将一定增加10 y * .(8) 在应用对偶单纯形法计算时，若在某一个单纯形表中，出现某行除该行对应的基变量值小于0外，该行其余元素全部大于或等于0，则可以判断该线性规划问题无最优解。
(9) 在应用对偶单纯形法计算时，若在某一个单纯形表中，出现某行除该行对应的基变量值小于0外，该行其余元素全部小于或等于0，则可以判断该线性规划问题的对偶问题无最优解。
(10)线性规划的原问题和其对偶问题的最优值如果存在，则必然相等。
(11)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅某一非基变量在目标函数中的系数变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(12)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一基变量在目标函数中的系数变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(13)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一非基变量在系数矩阵中的列变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(14)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一基变量在系数矩阵中的列变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(15)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某种资源的数量变化时，线性规划问题的最优值一定改变。
线性规划问题及其数学模型(最新整理)
试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界。
7. 给出线性规划问题
2
max z 2x1 4x2 x3 x4
2xx12x13xxx322xx64 468
x1
x2
x3
9
x j 0 ( j 1,,4)
要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为 X*=(2,2,4,0)，试根据
每捆原稿纸用白坯纸 3 1 kg, 每打日记本用白坯纸 13 1 kg, 每箱练习本用白坯纸
3
3
26 2 kg。 已知生产各种产品的赢利为：每捆原稿纸 1 元，每打日记本 2 元，每箱练 3
习本 3 元。试决定：（1）在现有生产条件下使该厂赢利最大的方案；（2）如白坯纸
供应量不变，而工人数量不足时可从市场上招收临时工，临时工费用为每人每天 15
(4)
n
aij x j
bi
(i 1,, m1 m)
j1
n
aij x j
bi
(i m1 1, m2 2,, m)
j1
x
j
0无约束
( j 1,, n1,, n)
2. 判断下列说法是否正确，为什么?
(1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；
(2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；
变；
（3）约束条件右端项由
13
变为
2 3
；
（4）增加一个新的变量 x6 , P6 11, c6 7 ；
4
(5)增添一个新的约束 x1+2x2+x3≤4。 13. 分析下列线性规划问题中，当且变化时最优解的变化，并画出 z(λ)对 λ 的 变化关系图。
第二章 对偶问题和灵敏度分析1
1
1 2
2
y1 y3
x 2x 2 可直接寫出此問題的對偶問題如下：
1 2
7 x1 6 x2 42 y2
x1 0, x2 0
D：Max y0 32 y1 42 y2 2 y3 可直接寫出此問題的對偶問題如下： ：Max y x 32 s.t. 4 y1 7 y2 y3 D10 1 y 42 y 2 y
W = 30y1 + 60 y2 + 24y3
根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此 此问题可归结为以下数学模型：
目标函数 Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 约束条件 s.t y1 , y2 , y3 0 原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题， y1 , y2 , y3 称为影子价格
y,,v v))是 行解， ， ((y 是D D的可行解。 的可行解。 这两个 x,,s s) )是 令 令((x 是P P 的可 的可行解 这两个 可行 且只当 只当 可行解均为 解均为最佳 最佳解当 解当且 0 ii yi sii 0
x jjv jj 0 0 jj
原始问题的变量
极个别（B）
第2章对偶理论与灵敏度分析
五.互补松弛性（松紧定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束
条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变
量一定为零。也即：
n
若yˆi 0, 则有 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0
n
j 1
若 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0, 则有yˆi 0
minW=bTy
bT (12 8 16 12 )
y1 y2 y3
4x1 16 4x2 12
x1 x2 0
minW=12y1+8y2 +16y3+12y4
y4
ATy CT
AT 2140
2204
y1
CT
y2 y3
2 3
y4
2y1 +y2 +4y3 2 2y1 +2y2 +y4 3 y1 … y4 0
x (0,5,0)
对于对偶问题的可行解y (5,0)
有 80.
由弱对偶性,最优目标函数值z* *有上.下界。 25 z* * 80
互补松弛定理: 在线性规划问 题的最优解中，
一 . 对称性 ：
对偶问题的对偶是原问题
二. 弱对偶性：
若x′是原问题的可行解，y′是对偶问题的可行 解。则有 cx′≤y′b
弱对偶性的三个推论
推论(1)： 原问题任一可行解的目A标≦函Z数=W值是≦其B对偶
问题目标函数值的下界，反之对偶问题任一可行解的 目标函数值是其原问题目标函数值的上界。
推论(2)： 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对 偶问题（原问题）无可行解。注 ： 其逆不成立。
由此y1，y2，y3的取值应满足:
线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题
线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题1第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。
(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++++=无约束321321321321321,0,534332243422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0,0,837435522365max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束(3)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=====∑∑∑∑====),,1;,,1(0),,1(),,1(min 1111n j m i x n j b x m i a x x c z ij mi j ij nj i ij m i ijnj ij2(4)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++==<=<=∑∑∑===),,,,1(0),,2,1(),,1(min 1211111n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j nj i j ij nj i j ij nj jj 无约束2. 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；(2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；(4)任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。
3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
3 2 2 0 0 03C B 基 B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 60 x 4 (b) 11 1 1 0 02 x 5 15 (a) 1 2 0 1 0 1 x 6 202 (c )1 0 01jj z c -0 2 0 0 00 x 4 5/4 0 0(d ) (l ) -1/4 -1/4 3 x 125/410 (e ) 0 3/4 (i ) 2 x 2 5/2 01 (f ) 0 (h ) 1/2 jj z c --1(k) (g)-5/4(j)4. 给出线性规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=≥-≤+-+-≥++++++=)4,,1(0322326532min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶4问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
运筹学：对偶理论与灵敏度分析习题与答案
一、填空题1、对偶问题的对偶问题是（）。
正确答案：原问题2、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y﹡b。
正确答案：=3、若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX（）Yb。
正确答案：<=4、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y*b。
正确答案：=5、设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为（）。
正确答案：min=Yb YA>=c Y>=06、影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的（）的数量表现。
正确答案：对偶变量7、线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为（）。
正确答案：AT8、在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0(j=1，2，…n)，则原问题（）。
正确答案：无解二、选择题1、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A. “≥”B. “≤”C. “>”D. “=”正确答案：A2、如果z*是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w﹡满足（）。
A.W﹡=Z﹡B.W﹡≠Z﹡C.W﹡≤Z﹡D.W﹡≥Z﹡正确答案：A3、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B4、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A.≥B.≤C. >D. =正确答案：A5、对偶单纯形法的迭代是从（）开始的。
A.正则解B.最优解C.可行解D.可行解正确答案：A6、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B7、线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对（）的影响。
对偶理论及灵敏度分析习题
对偶理论及灵敏度分析习题1. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划中的一种方法，它是将一个线性规划问题转化为另一个等价的线性规划问题。
这个等价问题被称为原问题的对偶问题，原问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系。
2. 什么是灵敏度分析？灵敏度分析是一种方法，用于评估一个线性规划问题的解对输入数据的变化的敏感程度。
它涉及到对线性规划问题的目标函数系数、约束条件常数、以及右手边向量的变化进行分析，以确定线性规划问题在输入数据变化下的解的变化情况。
3. 对偶问题和原问题之间有什么关系？对偶问题和原问题之间存在着一种对偶关系，即两个问题中的变量和约束条件互相对应。
对原问题的对偶问题的目标函数系数就是原问题的约束条件系数，而对原问题的每个变量的约束条件对应着对偶问题的每个变量的目标函数系数。
4. 什么是原问题？原问题是一个线性规划问题，它包括在一组约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数的问题。
原问题通常表示为标准形式或规范形式。
5. 什么是对偶问题？对偶问题是一个等价的线性规划问题，它与原问题共享相同的约束条件，但目标函数和约束条件的系数经过了转换。
对偶问题可以用来评估原问题的最优解并提供其他信息，如原问题的灵敏度分析和可行性分析。
6. 什么是灵敏度分析中的“影响范围”？灵敏度分析中的“影响范围”指输入参数发生变化时，该变化对解决方案的影响的程度范围。
影响范围可以用来确定哪些输入参数对问题的解决非常敏感，以及如何调整这些参数以最大程度地减少对解决方案的影响。
7. 在灵敏度分析中，什么是“松弛变量”的作用？在灵敏度分析中，“松弛变量”用于评估一个约束条件的“松弛度”，即约束条件与等式相差多少。
这个信息可以用来确定输入参数值的变化可以多少，以使某个约束条件的松弛度保持不变。
8. 什么是敏感性分析？敏感性分析是一种评估线性规划问题解决方案的稳定性的方法。
它涉及到对输入参数的变化进行分析，以确定对线性规划问题最优解的影响程度。
第2章对偶问答
第二章 对偶问题 一、选择1. 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定具有最优解，且有（A ）。
A maxZ=minW B maxZ<minW C maxZ>minW D maxZ 与minW 无关2. 影子价格B c Y B 1*-=是（C ）A 、对偶可行解B 、对偶基本可行解C 、对偶最优解D 无可行解3．原问题有可行解，其对偶问题有非可行解，则目标函数值（ B ）A 、最优B 、z <zmax C 、z >zmax D无可行解4. 影子价格是一种（C ）A 、实际价格B 、市场价格C 、边际价格D 产品价格5. 资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖于（c ），是未知 数A 市场的定价B 买卖的多少C 资源的利用情况D 购买力6. 如果原问题（对偶问题）具有无界解，则其对偶问题（原问题）（D ）。
A 唯一最优解B 无穷多最优解C 无界解D 无可行解 7. 影子价格是一种边际价格，实际上又是一种（A ）。
A 机会成本B 实际成本 C 市场价格 D 产品价格9.如果),,1(n j x j K =-是原问题的可行解，),,1(m j y iK =-是其对偶问题的可行解，则恒有（ A ）A ∑∑=-=-≤mi ii nj j j y b x c 11B ∑∑=-=-=mi ii nj j j y b x c 11C∑∑=-=-≥mi iin j jjy b x c 11D 无法确定10. 如果),,1(n j x j K =∧是原问题的可行解，),,1(m j y iK =∧是其对偶问题的可行解，且有（ B ），则),,1(n j x j K =∧是原问题的最优解，),,1(m j y iK =∧是其对偶问题的最优解A ∑∑=∧=∧≤mi ii nj j j y b x c 11B ∑∑=∧=∧=mi ii nj j j y b x c 11C∑∑=∧=∧≥mi iin j jjy b x c 11D ∧∧=y xij11.如果∑=∧∧=>n j i j ij ib x a y 1,0则，其符合（D ）定理A 强对偶性B 弱对偶性C 最优性D 互补松弛性 12.如果有0,1=>∧=∧∑x c y a j mi j iij 则，其符合（D ）定理A 强对偶性B 弱对偶性C 最优性D 互补松弛性 13. 如果∑=∧∧=>mi j iij j c y a x 1,0则，其符合（D ）定理A 强对偶性B 弱对偶性C 最优性D 互补松弛性14. 如果有0,1=<∧=∧∑y b x a in j i j ij 则，其符合（D ）定理A 强对偶性B 弱对偶性C 最优性D 互补松弛性15.在单纯形法中，最终单纯形表，原问题的变量对应着对偶问题的（ A ） A 松弛变量B 剩余变量C 变量D 最优解16. 在单纯形法中，最终单纯形表，原问题的松弛变量对应着对偶问题的（C ） A 松弛变量B 剩余变量C 变量D 最优解17. 在单纯形法中，最终单纯形表中，对偶问题的最优解由（B ）的值组成。
《运筹学》第二章 对偶问题和灵敏度分析jssk1
2.1 线性规划的对偶理论
解：写出该问题的对偶问题
min W 20 y1 20 y2 y1 2 y2 1 2y y 2 2 1 2 y1 3 y2 3 3 y 2 y 4 2 1 y1 , y2 0
根据互补松弛性，可得： X3*=4>0 则 2y1+3y2=3
s.t. AX ≤b X≥0 s.t. YA ≥ C Y≥0
2.1 线性规划的对偶理论
二、原问题和对偶问题的关系
1、原问题目标函数求最大值，对偶问题求最小值； 2、原问题目标函数的系数是对偶问题约束条件的右端项，原问 题中的右端项是对偶问题目标函数的系数； 3、原问题约束条件为“≤”，则在其对偶问题中决策变量为 “≥”；原问题中决策变量为“≥”，则在其对偶问题中的约束条 件为“≥”； 4、原问题中的约束条件个数等于它的对偶问题中的变量个数， 原问题中的变量个数等于它的对偶问题中的约束条件个数；
YA ≥ C
Y≥0
在单纯形法的每一步迭代中，目标函数取值 Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N)XN ，当非基变量XN=0时有 Z=CBB-1b和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1， 那么Y的经济意义是什么？
2.1 线性规划的对偶理论
Y=CBB-1=(y1,y2,…,ym)，则得
Z CB B b Yb bi yi
2.1 线性规划的对偶理论
三、对偶问题的基本定理
1、对称性：对偶问题的对偶是原问题。
2、弱对偶定理：若X(0)是原问题的可行解，Y(0)是对偶 问题的可行解，则一定有CX(0) ≤ Y(0)b
max Z=CX 证明：设原问题是 AX ≤b X≥0
则对偶问题是
第二章 对偶问题与灵敏度分析(修改版)
（4）最优性。
□如果 xj (j=1,…,n) 是原问题的可行解，yi (i= 1,…,m)是其
第二节 对偶问题的基本性质
单纯形法计算的矩阵描述 对偶问题的基本性质
1
复习线性规划问题的标准化
加 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 ................................................... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 ,..., xn 0
1 2
2 3 1 2 3 1 2 3
厂 家
3
对 偶 问 题
18
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
原问题 的变量
原问题松弛变量
化为极小问题
x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 （c j z） 0 j y4
对偶问题 剩余变量
x2 0 0 1 0 y5
x3 1 0 0 0 y1
cj xB b
x4 x5
σj
3 -1 2 0 0 x1 x3 x2 x4 x5
1 0 0 1
量为XB时，此过程相当
于用B-1（基B的逆矩阵）
左乘增广矩阵。 1 1 6 2 -2 4 1 0 × 1 -1 2 3 0 1 1/2 1
6 2 -2 4 1 -1 2 3 7 4
x1 x3
σj
3 2 -1 0 0 1 0 7 1 1 0 1 5 1/2 1 0 0 -32 -4 -5
XB = B-1· b
第2章 对偶理论和灵敏度分析-习题
理解原问题与对偶问题的关系. 论述对偶问题的基本性质并证明. 掌握对偶单纯形法. 掌握灵敏度分析及参数线性规划.
应用灵敏度分析原理讨论管理实践中的经 济决策问题.
1 写出下列线性规划问题的对偶问题
max Z = 5 x1 + 6 x 2 + 3x 3 x1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 5 x1 + 5 x 2 x3 ≥ 3 s.t. 4 x1 + 7 x 2 + 3x 3 ≤ 8 x1无约束,x 2 ≥ 0, x3 ≤ 0
b
1 2
x1 1 0 0
-3-2+λ -5+-4λ -1+λ-
σ j′ = (c j z j )′ = C j′ C B′ B 1 Pj
= C j ′ C B ′ P j′
3 2 5 + 1 +λ
令=0
+λ
≤0 ≤0
4λ ≤ 0
-5/4≤λ≤1, 故 3/4≤c1≤3
令λ=0 -1≤≤5, 故 2≤c2≤8
b
1/3 2
X 故最优解为: * = (0, 2, 0, 0, 0,1/ 3)
(5) 增添一个新的约束 x1+2x2+x3 ≤4
Cj CB 2 3 0 XB x1 x2 x6 b
1 2 4
2 x1 1 0 1 0
3 x2 0 1 2 0
1 x3 -1 2 1 -3
0 x4 4 -1 0 -5
0 x5 -1 1 0 -1
(1)求线性规划的最优解.(20分) (2)写出对偶问题并求出对偶问题的最优解.( 5分) (3)当△b3=-150时最优基是否发生变化?为什 么?(5分) (4)求c2的灵敏度变化范围.(5分) (5)如果x3的系数由[1,3,5]变化到[1,3,2]最 优基是否改变?若改变求新的最优解.(5分)
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第二章.对偶理论与灵敏度分析1. 已知线性规划问题：332211m a xx c x c x c z ++= ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡)5,,1(01001.2154323132221212111 j x b b x x x a a x a a x a a st j 用单纯形法求解得最终单纯形表如下表所示： （a ） 求232221131211,,,,,a a a a a a 和21,b b321,,c c c 8,4,7,5,8,2,4,1,1,2/5,2/932121231322122111===========c c c b b a a a a a a2. 已知矩阵A 及其逆矩阵1-A 如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=104020012A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11202/1004/12/11A试根据改进单纯形法中求逆矩阵的方法原理求下述矩阵B 的逆矩阵1-B，已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144210152B答：先设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144010052C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-∙-72/14/114151A∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--16201002/52/1114002002/11111A C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144210152B 有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙-1322/111211C∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--26/226/1226/426/426/226/826/1126/126/913/10013/21026/110111C B3. 已知线性规划的原问题与对偶问题分别为：（P ）原问题：CX z =max (D)对偶问题：Yb w =min⎩⎨⎧≥≤0.X b AX st ⎩⎨⎧≥≥0Y C YA st若*Y 为对偶问题最优解，又原问题约束条件右端项用b 替换之后其最优解为X ，试证明有b Y X C *≤证明：原问题右端项b 用b 替换后，新的原问题'P 及对偶问题'D 为：:'P ⎩⎨⎧≥≤=0.'m a x Z b AZ st CZz :'D ⎩⎨⎧≥≤=0.min 'Y C YA st bY w设'D 的最优解为Y ，因有b Y Z C =，有*Y 是'D 的可行解，故有b Y b Y *≤，由此b Y Z C *≤4. 已知下表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为松弛变量，问题的约束(b) 直接由表写出对偶问题的最优解。
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第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题
1．判断下列说法是否正确：
(a) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；
(b) 对偶问题的对偶问题一定是原问题；
(c) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；
(d) 设j ˆx ，i ˆy 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*j x ，*i y 分别为其最优解，则恒
有n n m m
**j j j j i i i i j 1j 1i 1i 1ˆˆc x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑； (e) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解； (f) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；
(g) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；
(h) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；
(i) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；
(j) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；
(k) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。
2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。
要求：(1)
(3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。
(4)若以单价2.5购入第一种资源是否值得，为什么？若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么？。