[精品]2019高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念预习导航学案新人教A版必修28
高中数学必修四 第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
则点������, ������, ������, ������必在同一条直线上; ⑤有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中说法错误的个数是( )
专题突破
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 向量的有关概念
【例 1】 下列说法正确的是( ) A. ������������ ∥ ������������就是������������所在的直线平行于������������所在的直线 B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量的长度等于 0 D.共线向量是在同一条直线上的向量 解析: ������������ ∥ ������������包含������������所在的直线与������������ 所在的直线平行和重合两种情况,故 A 项错;相等向量不仅要求长度 相等,还要求方向相同,故 B 项错;按定义,零向量的长度等于 0,故 C 项正确;共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互 相平行的向量,故 D 项错. 答案:C
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.对向量有关概念的理解要全面、准确,要注意相等向量、 共线向量之间的区别和联系.
2.共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同 或相反,向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义 不同于平面几何中“共线”的含义.
3.零向量是与任一向量共线的,因此,向量共线不具有传递性.
题型一 题型二 题型三 题型四
解:以 A 为原点,正东方向为 x 轴正方向,正北方向为 y 轴正方向 建立直角坐标系.
2.1-平面向量的实际背景及基本概念
AC 表示Ａ地至C地的
位移，且 AC 264k m
4、向量间的关系
（1）相等向量： 长度相等且方向相同的向量
叫做相等向量. 向量 a 与 b 相等，记作：a b
•向量不能比较大小，但可以说相等不相等
（2）平行向量： 方向 相同或相反的非零向量 叫平行向量，也叫共线向量. a b 记作：∥ 注：零向量与任意向量平行.
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无 关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同 的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起 点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向 线段.
即有向线段是固定的线段，而向量是可 以平移的.
4、向量的模及两个特殊向量 （1）向量的模:向量的大小就是向量的长 度，即向量的模.记作： | AB | （2）零向量: 长度为0的向量叫做零向量， 记作： 0 （3）单位向量： 长度（模）为1个单位长度 的向量叫单位向量.
引例
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉 克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信 息导弹是否能击中目标？
1200公里
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里
力：重力 ，浮力，弹力等
12N 5N f 1kg 5N f
许多物理量都有这样的性质．．．
注：①所有零向量都相等，且零向量的方向 是任意的. ②如果把所有单位向量的起点平移到同 一点上，那么终点都在同一个单位圆上.
例1 如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分 别用有向线段表示A地至B、C两地的位移,并求出A地至B、 C两地的距离（精确到1km).
2.7CM 3.3CM
2.1平面向量的实际背景及基本概念
（2）直角坐标平面内的x轴，y轴是向量。 （3）如果两个向量所在的直线互相平行，那么这 两个向量是平行向量。
（4）平行向量所在的直线一定互相平行。 （5）单位向量都相等。
二、课堂互动讲练
（6）不相等的向量一定不平行。 （7）若 | a | > | b | 则 a > b 。
二、课堂互动讲练
（三）解决问题
3、掌握平行向量、相等向量、共线向量的概念。 重、难点 重点：理解并掌握向量、向量的模、零向量、单
位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念。 难点：向量的方向、相等向量、共线向量。
一、课前自主探究 1、什么是位移？ 2、什么是向量？你还能从物理学中举 出一些这样的量吗？
3、什么是数量？生活中哪些量是数量
？ 4、什么是有向线段？怎样表示？它的 长度怎样表示？它由哪几个要素组成？
5、向量的大小（或称模），怎样表示?
一、课前自主探究 6、对比线段的表示方法，向量怎样表 示？ 7、你知道两个特殊向量吗？它们是？ 8、什么是平行向量？ 9、什么是相等向量？ 10、什么是共线向量?
二、课堂互动讲练
（一）选择
1、下列物理量不是向量的是（ ① ⑥ ⑦
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④
）
力
⑤
加速度 ⑥
路程
⑦
密度
2、下列说法中错误的是（ A ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为零 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任 意的
二、课堂互动讲练
（二）辨析
（1）温度含零上和零下温度，所以温度是向量。
（1）与零向量相等的向量必定是什么向量？
零向量 （2）与任意向量都平行的向量是什么向量？ 零向量
（3）平行向量是否一定方向相同？ 不一定
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念说课稿 新人教A版必修4
平面向量的实际背景及基本概念各位同仁，大家好！我说课的内容是《平面向量的实际背景及基本概念》，选自人教A版数学《必修4》第二章第一节.下面我将从课标要求、教材分析、学情分析、教学目标、教学理念、教学方法和教学过程这七个方面来进行说课。
一、课标要求通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
二、教材分析（一）本节的地位和作用向量是近代数学最重要的和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的桥梁，是解决几何问题的有力工具，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。
向量有着丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。
向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念。
向量集数与形于一身，是数形结合的重要体现。
向量作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活的问题，因此它在整个高中数学学习过程中占有特别重要的地位。
本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。
本节课重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。
（二）本节的主要内容向量就是从物理背景中抽象概括出来的数学概念，因此把本节课的主要内容确定为向量的概念和向量的表示方法。
（三）教学重点、难点分析掌握向量的概念，要抓住向量的本质——大小和方向.尽管学生有着相对比较丰富的物理素材，但对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以平面向量的概念是本节课的重点也是难点，同时，向量的几何表示也是本节课的重点。
教学重点：向量的概念及向量的表示方法.教学难点：向量的概念和向量与有向线段的区别.三、学情分析从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性。
还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备。
高中数学《第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.3...》123PPT课件 一等奖名师
－2b)，则 λ 的值等于
()
1 A.2
1 B.3
C．1
D．2
uuur uuur (2)已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断 AB与CD
是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
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结束
[解析] (1)：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝ 2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得 2(1＋2λ) －4(2－2λ)＝0，解得 λ＝12.
结束
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三、课堂评估
结束
1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面
内A所．有e向1＝量(0的,0)基，底e2的＝是(1，( －B2))
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝
2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( C
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
结束
学习目标：
1.熟练掌握平面向量共线的定义。 2.灵活应用平面向量共线的条件。 3.掌握求线段定比分点坐标的方法。
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一、提要检测
结束
1.平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0
结论 当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量 a、b(b≠0)共线
A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
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2.1平面向量的实际背景及基本概念
向量的几何表示 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
a
b
记作 a ∥ b ∥c
c
规定: 零向量与任一向量平行, 即对于任意向量a,都有0∥a
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
a
b
记作: a = b
共线向量 任一组平行向量都可以移动到 同一直线上 a 平行向量也叫做共线向量。
b c
l
C
o B A
比较大小的，因此向量不能比较大小。
友情链接：物理中向量与数量分别叫做
矢量、标量
判断题
1.身高是一个向量（ ）
）
2.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是(
)
Hale Waihona Puke 2.1.2向量的几何表示 由于实数与数轴上的点一一对应,所以 数量常常用数轴上的一个点表示。 如：3,2,-1,…而且不同的点表示不同 的数量.
B
（知道了有向线段的起点、方向和长度， 它的终点就可以唯一确定.）
A
向量的几何表示：用有向线段表示。 向量AB的大小,也就是向量AB的长度（或 称模）,记作|AB|.
长度为0的向量叫做零向量（方向任意）。 记作0. |0|=0.
长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. 向量的字母表示：（1）a、b、c.... （2）用表示向量的有向线段的起点和终 点字母表示，例如，AB，CD
思考：有向线段就是向量，向量就是有 向线段？ 有向线段只是一个几何图形，是 向量直观表示
例1 如图,试根据图中的比例尺以及三地 的位置,在图中分别用有向线段表示A地 至B、C两地的位移(精确到1km).
解:
AB表示A地至B地的位移,且
平面向量的实际背景及基本概念
一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
提示：圆
P
相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 相等，记作：
b
a b.
A1
a
A3A2
在实数中，我们有：若
=
b
A4, =
，则 B=1
B2
B3
，在向量中，你能提出类似的问题吗？结论怎样？
c
向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量AB 或a 的大小,
记作：AB 或 a .
注：向量的模是可以比较大小的.
数量中有很特殊的数“0”，“1”，向量中有
没有类似的特殊向量？
零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
零向量的方向是任意的！
单位向量——长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
O
C
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C
F
OC AB ED FO
D
E
变式练习:
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个？
2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向
相反的向量？
3.与向量OA 共线的向量有哪些？
2.1平面向量的实际背景
及基本概念
向量的概念
向量：既有大小又有方向的量叫向量.
向量的两要素：大小、方向.
数量：只有大小没有方向的量.
数量可以比较大小,向量不能比较大小!
友情链接：物理中常把向量与数量分别叫做 矢量、标量.
2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教A版必修4
2．下列说法正确的是( ) A．向量A→B∥C→D就是A→B所在的直线平行于C→D所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 解析：选 C.向量A→B∥C→D包含A→B所在的直线与C→D所在的直线平 行和重合两种情况，故 A 错；相等向量不仅要求长度相等，还 要求方向相同，故 B 错；C 显然正确；共线向量可以是在一条 直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故 D 错．
(2)由于点 B 在点 A 正东方向上，且|A→B|＝4，所以在坐标纸上 点 B 距点 A 的横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于是点 B 的位置可以确定，画出向量A→B，如图所示． (3)由于点 C 在点 B 北偏东 30°方向上，且|B→C|＝6，依据勾股 定理可得，在坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3，纵向 小方格数为 3 3≈5.2，于是点 C 的位置可以确定，画出向量B→C， 如图所示．
解：(1)由题意，作出向量A→B，B→C，C→D，D→A，如图所示．
(2)依题意知，三角形 ABC 为正三角形，所以 AC＝2 000 km. 又因为∠ACD＝45°，CD＝1 000 2，所以△ACD 为等腰直角 三角形，即 AD＝1 000 2 km，∠CAD＝45°，所以 D 地在 A 地的东南方向，距来自A 地 1 000 2 km.
量，记作 a＝b.
■名师点拨 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量也较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( ) (5)向量A→B与向量B→A是相等向量．( ) (6)两 个 向 量 平 行 时 ， 表 示 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 一 定 平 行．( ) (7)零向量是最小的向量．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)×
高中数学 第二章 平面向量 21平面向量的实际背景及基
【分析】 要准确判断本题，必须对向量的有关概念，有 准确清晰的理解和把握，向量不同于数量，向量不仅有大小， 还有方向；向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
【解】 (1)不正确，因为温度只有大小而没有方向．
(2)不正确，0表示的是向量，而0表示的数量，二者有本
质上的区别．
(3)正确．
(4)不正确，|a|＝|b|表示的仅仅是两个向量的模相等，但方
二 向量的几何表示
【例2】 某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变 方向按东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向 向西走了10米到达D点
(1)作出向量A→B，B→C，C→D； (2)求A→D的模．
【解】 (1)作出向量A→B，B→C，C→D如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°， BC＝10 2米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角 形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝
(4)方向________的非零向量叫做平行向量，如果向量a， b平行，记作________．
规定：零向量与任意向量平行． 3．相等向量与共线向量 (1)________且________的向量叫做相等向量． (2)任一组________向量都可以移动到同一直线上，因 此，平行向量也叫做________.
解 (1)不正确．两个向量起点相同，终点相同，则这两 个向量必相等，反之，两个向量相等，却不一定有相同的起止 点．
(2)不正确．两向量虽然有公共终点，但方向不一定相同 或相反，故不一定是共线向量．
(3)不正确．数轴是一条具有方向的直线，而没有大小． (4)不正确．规定零向量与任一向量平行．
(5)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个 因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故 不正确．
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本
考点类析
新课导入
[导入二] 我们已经学过了哪些既有大小又有方向的量？正弦线、余弦线、正切线是怎样的量？ 答：位移、力、速度、加速度等都是既有大小又有方向的量．正弦线、余弦线、正切 线也都是既有大小又有方概念 1．既有___大小_____，又有___方_向____的量叫作向量． 2．只有___大小_____，没有___方_向____的量叫作数量．
考点类析
[答案] (1)D (2)A [解析] (1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故 A，B 不正确；向量的大 小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故 C 不正确；向量的模是 一个数量，可以比较大小，故 D 正确． (2)①正确，因为单位向量的长度为 1，零向量的长度为 0. ②正确，因为零向量与任一向量平行． ③错误，平行向量所在的直线可能不共线． ④错误，平行向量的平行关系不具有传递性． ⑤错误，平行向量不一定是相等向量．
预习探究
知识点三 向量的有关概念 1．_长_度_相_等_且_方向_相_同_的_向_量_______________叫作相等向量，如向量 a 与 b 相等，记作 a＝b. 2．方向_相_同_或_相_反_的_非_零_向量______________叫作平行向量，如 a 与 b 平行，记作__a_∥_b ____，零 向量与任一向量平行． 3．任一组_平_行_向_量______都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫作_共_线_向_量______．
重点难点
[重点] 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会 表示向量．
[难点] 向量的概念和共线向量的概念，共线向量(平行向量)和相等向量的区别 和联系．
教学建议
对教材处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题 去阅读课本，最后由教师总结，并对概念进行辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽 学生的视野，突破本节课的难点，充分发挥学生的主导作用．
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本
3．向量的表示：
二、有向线段表示向量 1．向量的模(长度)：向量A→B的 大小 ，记作： |A→B| . 2．零向量：长度为 0 的向量，记作 0. 3．单位向量：长度等于1 个单位 的向量． 三、两个向量间的关系 1．平行向量：方向相同 或 相反 的非零向量，又叫作 共线向量 ．若 a，b 是
量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形
中这些相关的概念.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、向量的概念及表示 1．概念：既有 大小 ，又有 方向 的量． 2．有向线段：(1)定义：带有方向的线段． (2)三个要素： 起点 、 方向 、 长度 ． (3)表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以 A 为起点、B 为终点的 有向线段记作 A→B . (4)长度：线段 AB 的长度也叫作有向线段A→B的长度，记作 |A→B|.
涉及平面向量的有关概念的命题真假判断的题目，在解题过程中准确把握概念是 关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
1．判断下列说法是否正确： (1)若向量 a＝A→B，b＝B→A，则|a|＝|b|； (2)若 a 是单位向量，b 也是单位向量，则 a 与 b 的方向相同或相反； (3)若向量A→B是单位向量，则B→A也是单位向量； (4)以坐标平面上的定点 A 为始点，所有单位向量的终点 P 的集合是以 A 为圆心的 单位圆．
探究二 向量的表示 [典例 2] 如图的方格由若干个边长为 1 的小正方形并在 一起组成，方格纸中有定点 A，点 C 为小正方形的顶点， 且|A→C|＝ 5，画出所有的向量A→C. 已知飞机从 A 地按北偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 B 地，再从 B 地按南偏东 30 °的方向飞行 2 000 km 到达 C 地， 再从 C 地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达 D 地． (1)作出向量A→B，B→C，C→D，D→A； (2)问 D 地在 A 地的什么方向？D 地距 A 地多远？
说课第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
200km .
AC 表示A地至C地的位移，且
280km .
25
平行向量：
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
26
讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
（三）情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程，提高自主探究能力，进
一步提高学习数学的乐趣，由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
（四）学科核心素养 a. 数学抽象：平面向量的概念 b. 逻辑推理：共线向量的判断 c. 数学运算：向量相等 d. 直观想象：向量的几何表示 e.数学建模：向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a
b
方向相同
a
b
30
思 （1）相等向量一定是平行向量？
考
a
：
是
b
（2）平行向量一定是相等向量？
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作: AB
有向线段的三要素：起点、，它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法：
(1)几何表示法：用有向线段表示
2.1平面向量的实际背景及基本概念
12.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标一、知识与技能1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示.2. 掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.3. 并会区分平行向量、相等向量和共线向量．二、过程与方法本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念．三、情感、态度与价值观1. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．2. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力．教学重点、难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教学关键：向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量概念的理解．教学突破方法：本节课内容简单，可让学生仔细阅读课本，并合作探究，得出结论．最后老师画龙点睛． 教法与学法导航教学方法：启发诱导，探究合作．学习方法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．教学准备教师准备：多媒体、投影仪.学生准备：练习本.教学过程一、创设情境，导入新课如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了．分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线B D 实际上都是有方向、有长短的量．引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 由此引出新课.二、主题探究，合作交流提出问题①在物理课中，我们学过力的概念．请回顾一下力的表示方式是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢？这些量的共同特征是什么？你能否给出准确的定义呢？②数量与向量的区别在哪里？师生互动：教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨论列举与位移一样的一些量．物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量．A B C D2至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量．显然数量和向量的区别就在于方向问题．提出问题1. 如何表示向量？2. 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？3. 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？4. 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？5. 有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？6. 如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？师生互动：教师指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论以上问题．1. 向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母a 、b （黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |．2. 有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度．向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．3. 零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0． 0的方向是任意的．注意0与0的含义与书写区别．②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量．说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小．4. 平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行．说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a 、ｂ、ｃ平行，记作a ∥ｂ∥ｃ．5. 相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．说明：（1）向量a 与b 相等，记作a=b ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点．．．．．．．．无关．．． 6. 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．）．又如上图，a 、b 、c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分A(起点)B （终点）a3别作出OA ＝a ，OB =b ，OC =c ．这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．三、拓展创新，应用提高例1 如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用有向线段表示A 地至B 、C 两地的位移．（精确到1 k m ）分析：本例是一个简单的实际问题，要求画出有向线段表示位移，目的在于巩固向量概念及其几何表示． 解：AB 表示A 地至B 地的位移，且|AB |≈232 km ；（AB 长度×8 000 000÷100 000）AC 表示A 地至C 地的位移，且|AC |≈296 km ．（AC 长度×8 000 000÷100 000） 点评：位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如上图，由A 点确定B 点、C 点的位置．例2 如图，设O 是正六边形ABC D EF 的中心.分别写出图中所示向量与OA OB OC 、、相等的量． 解：OA =CB =DO ;OB =DC =EO ;OC =AB =ED =FO ．点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同．四、小结1. 本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手，利用类比的方法，介绍了向量的两种表示方法：几何表示和字母表示，几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示则利于向量的运算；2. 介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．五、课堂作业1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…，a n ，则这n 个向量 （ ）.A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等2．如右图所示，在△ABC 中，D E ∥BC ，则其中共线向量有（ ）.4A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组3．若命题p 为a =b ，命题q 为|a |=|b |，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要又不充分条件4．如下图所示，在四边形ABC D 中，若AB DC ，则下列各组向量相等的是（ ）.A ．AD 与CB B ．OA 与OC C ．AC 与DBD ．DO 与OB5．已知a ，b 是任意两个向量，有下列条件：①|a |=|b |；②a =b ；③a 与b 的方向相反；④a =0或b =0；⑤a 与b 都是单位向量．其中是向量a 与b 共线的充分不必要条件的为．_________（把你认为正确的序号全都填上）6．如图所示，四边形ABC D 和AB D E 都是平行四边形．（1）写出与ED 相等的向量；（2）若|AB |=3，求向量EC 的模．参考答案：1．D 2．C 3．A 4．D 5．②③④6．（1）与ED 相等的向量有DC 和AB ，因为四边形ABC D 和AB D E 都是平行四边形，故AB =ED =DC ．（2）向量EC 的模|EC |=6．。
2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.1平面向量的实际背景及基本概念1.精讲优练课型2.1
【解析】1.选B.加速度是既有大小又有方向的量,是向 量.而时间、面积、长度是只有大小的量,是数量. 2.由零向量的方向是任意的,知①错误,③正确;由零向 量的定义知②正确;由单位向量的模是1,知④正确. 答案:②③④
【方法技巧】 1.判断一个量是否为向量的两个关键条件 关键看它是否具备向量的两要素: (1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.
② AB CD.
③ AB CD. 以上结论中正确的个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分后,共 有16个交点,从中选取两个交点作为向量,则与 AC 平行 且长度为2 2 的向量个数有________个.
世纪金榜导学号77476049
素养 本题主要考查相等向量与共线向量的概念, 立意 突出考查数学直观的核心素养.
2.给出下列说法: 世纪金榜导学号77476048 ①零向量是没有方向的; ②零向量的长度为0; ③零向量的方向是任意的; ④单位向量的模都相等, 其中正确的是________(填上序号).
【思路导引】1.既有_大__小__又有_方__向__的量是向量. 2.长度为_0_的向量是零向量.长度为_1_的向量是单位向 量.零向量的方向是_任__意__的.
【思维脉图】
【自主预习】 1.向量的定义及表示 (1)定义:既有_大__小__,又有_方__向__的量.
(2)表示: ①有向线段:带有_方__向__的线段,它包含三个要素: _起__点__、方向、长度;
②向量的表示:
长度 | AB |
a，b，c
2.特殊向量 (1)零向量:长度为_0_的向量叫做零向量,记作_0_. (2)单位向量:长度等于_1_个单位的向量叫做单位向量. (3)相等向量:长度_相__等__且方向_相__同__的向量叫做相等 向量.
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教A版必修4 (1)
一
二
三
四
3.我们曾经用单位圆中的有向线段定义了三角函数线,那么线段与有 向线段相同吗?有向线段有哪几个要素? 提示:线段与有向线段是不同的,有向线段有长度、方向、端点等要素. 4.填空:(1)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点 指向终点.以A为起点、B为终点的有向线段记作 ������������ (如图所示),线段AB 的长度也叫做有向线段 ������������ 的长度,记作 |������������|书写有向线段时,起点写在 终点的前面,上面标上箭头.
一
二
三
四
一、向量的概念 【问题思考】 1.在物理中,位移与距离是同一个概念吗?现实世界中有各种各样 的量,如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等,怎 样正确区分这些量呢? 提示:位移与距离不是同一个概念;这些量中有些只有大小,没有 方向,但有些既有大小又有方向,因此应该从大小和方向两个方面 对这些量进行区分. 2.填空:(1)向量:数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量. (2)数量:把那些只有大小,没有方向的量,称为数量.
一
二
三
四
3.如果两个向量所在的直线互相平行,那么这两个向量的方向有 什么关系? 提示:方向相同或相反. 4.填空:平行向量 (1)定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量a与b平 行,通常记作a∥b. (2)规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量a,都有0∥a. (3)共线向量:任意一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此 平行向量也叫做共线向量.
解析:有向线段 ������������和有向线段������������ 的起点与终点互换,其方向 相反,长度相等,故D项正确. 答案:D
[推荐学习]高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念预习导航学案
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念预习导航1．向量的概念(1)向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：把那些只有大小，没有方向的量，称为数量．(3)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB (如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作|AB|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定了．思考1两个向量可以比较大小吗？提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．2．向量的表示法(1)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就是向量的长度(或称模)，如向量AB的长度记作|AB|.(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量．书写时，可写成带箭头的小写字母a，b，c，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为AB.特别提醒(1)向量的书写要规范，如向量a不能写成a；(2)向量的起点、终点要搞清，如AB与BA的起点与终点正好相反．3．有关概念思考2单位向量都相等吗？提示：不一定，单位向量的模相等，都等于1，但方向不一定相同．思考3表示相等向量的有向线段一定重合吗？提示：不一定，也可以平行，或在一条直线上．思考4共线向量与相等向量有什么关系？提示：相等向量一定共线，而共线向量不一定相等．特别提醒(1)零向量表示为0，而不是数字0；零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量是共线向量．(2)注意向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能是同一条直线．。
2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 第1节 平面向量的实际背景及基本概念教案(含解
2.1平面向量的实际背景及基本概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 74～P 76的内容，回答下列问题．(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？ 提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．(2)对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？提示：用有向线段．(3)若向量a 与向量b 相等，则它们应具备什么条件？提示：长度相等且方向相同．2．归纳总结，核心必记(1)向量的概念数学中，我们把像力、位移等这种既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)有向线段带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．(3)向量的表示方法①向量可以用有向线段表示．向量AB u u u r 的大小，也就是向量AB u u u r 的长度(或称模)，记作| AB u u u r |.②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c ，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a r ，b r ，c r ，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB u u u r ， CD uuu r .(4)几种特殊的向量①零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.②单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量．③相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a 和b 平行，记作a ∥b ；规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a .[问题思考](1)两个向量能比较大小吗？提示：不能．因为向量是具有方向的量．(2)向量就是有向线段，这种说法对吗？提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．(3)“若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法对吗？提示：不对，若b＝0，则a、c均可以是任意向量，所以a、c不一定平行．平面几何中平行的传递性：a∥b，且b∥c，则a∥c，在向量的平行中并不适用．解题时我们也要充分考虑0的特殊性．[课前反思](1)向量的概念：；(2)有向线段：；(3)向量的表示方法：；(4)零向量：；(5)单位向量：；(6)相等向量：；(7)平行向量(共线向量)： .向量的有关概念知识点1讲一讲1．(1)下列说法中正确的是( )A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小(2)下列说法中正确的有( )①单位向量的长度大于零向量的长度；②零向量与任一单位向量平行；③因为平行向量也叫作共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；⑤因为相等向量一定是平行向量，所以平行向量也一定是相等向量．A．①②B．①②④ C．①③⑤ D．①②③[尝试解答] (1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确．(2)①正确，因为单位向量的长度为1，零向量的长度为0.②正确．③错误，平行向量所在的直线可能不共线．④错误，平行向量的平行关系不具有传递性．⑤错误，平行向量不一定是相等向量．答案：(1)D (2)A类题·通法解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．练一练1．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号)(1)两个单位向量不可能平行；(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.解析：(1)错误，单位向量也可以平行；(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；(3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．答案：(1)(2)(3)向量的表示知识点2讲一讲2．(1)如图，B ，C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA u u u r ，使|OA u u u r |＝42，点A 在点O 北偏东45°； ②AB u u u r ，使| AB u u u r |＝4，点B 在点A 正东；③BC u u u r ，使|BC u u u r |＝6，点C 在点B 北偏东30°.[尝试解答] (1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是AB u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BC u u u r ，BD u u u r ，CD uuu r ，BA u u u r ，CA u u u r ，DA u u u r ，CB u u u r ，DB u u u r ， DC u u u r .(2)①由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA u u u r |＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA u u u r 如图所示．②由于点B 在点A 正东方向处，且| AB u u u r |＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB u u u r 如图所示．③由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC u u u r |＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC u u u r 如图所示．答案：(1)12类题·通法用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．练一练2．一辆汽车从A 出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB u u u r 、BC u u u r 、CD uuu r ；(2)求汽车从A 点到D 点的位移大小|AD u u u r|. 解：(1)向量AB u u u r 、BC u u u r 、CD uuu r 如图所示．(2)由题意，易知AB u u u r 与CD uuu r 方向相反，故AB u u u r 与CD uuu r 共线．又| AB u u u r |＝|CD uuu r |，所以在四边形ABCD 中，AB 綊CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以|AD u u u r |＝|BC u u u r |＝200 km. 知识点3相等向量与共线向量[思考1] 两个向量相等的条件是什么？提示：方向相同，模相等．[思考2] 两个向量共线的条件是什么？名师指津：两个非零向量的方向相同或相反，则这两个向量为平行向量，也叫做共线向量.0与任意向量共线．讲一讲3．如图所示，已知点O 为正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．(1)与AO u u u r 相等的向量有________，与BO u u u r 相等的向量有________；(2)与AO u u u r 共线的向量有____________________；(3)与AO u u u r 的模相等的向量有____________________．[尝试解答] (1)根据相等向量定义可知 AO u u u r ＝BF u u u r ，BO u u u r ＝AE u u u r .(2)根据共线向量的定义可知，与AO u u u r 共线的向量为BF u u u r ， CO u u u r ， DE u u u r .(3)易知|AO u u u r |＝|CO u u u r |＝|DO u u u r |＝|BO u u u r |＝|BF u u u r |＝|CF u u u r |＝|AE u u u r |＝|DE u u u r |.答案：(1) BF u u u r AE u u u r (2) BF u u u r ，CO u u u r ，DE u u u r (3) CO u u u r ，DO u u u r ，BO u u u r ，BF u u u r ，CF uuu r ，AE u u u r ，DE u u u r类题·通法寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量．练一练3．如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH u u u r 相等的向量有________；(2)与向量GH u u u r 共线，且模相等的向量有________；(3)与向量EA u u u r 共线，且模相等的向量有________．解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．答案：(1) 'LB u u u r ，HC u u u r(2) 'EC u u u u r ，LE u u u r ，'LB u u u r ，GB uuu r ，HC u u u r(3) EF u u u r ，FB u u u r ，'HA u u u u r ，HK u u u r ，'KB u u u u r[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．2．要重点掌握向量的三个问题(1)向量有关概念的辨析，见讲1；(2)向量的表示，见讲2；(3)相等向量与共线向量的应用，见讲3.3．本节课要注意两个区别(1)向量与数量①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．②数量可以比较大小，向量不能比较大小．(2)向量与有向线段①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．课下能力提升(十三)[学业水平达标练]题组1 向量的有关概念1．汽车以120 km/h 的速度向西走了2 h ，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h ，则下列命题中正确的是( )A ．汽车的速度大于摩托车的速度B ．汽车的位移大于摩托车的位移C ．汽车走的路程大于摩托车走的路程D ．以上都不对解析：选C 速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A ，B 错；汽车走的路程为240 km ，摩托车走的路程为90 km ，故C 正确．2.如图，在圆O 中，向量OB uuu r ， OC u u u r ，AO u u u r 是( )A ．有相同起点的向量B ．单位向量C ．模相等的向量D ．相等的向量解析：选C 由题图可知三向量方向不同，但长度相等．3．下列命题：①若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反；②若向量AB u u u r 是单位向量，则向量BA u u u r 也是单位向量；③以坐标平面上的定点A 为起点，所有单位向量的终点P 的集合是以A 为圆心的单位圆． 其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确．因为| AB u u u r |＝|BA u u u r |，所以当AB u u u r 是单位向量时，BA u u u r 也是单位向量，故②正确．因为向量AP u u u r 是单位向量，故|AP u u u r |＝1，所以点P 是以A 为圆心的单位圆上的一点；反过来，若点P 是以A 为圆心的单位圆上的任意一点，则因为|AP u u u r |＝1，所以向量AP u u u r 是单位向量，故③正确．题组2 向量的表示4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共( )A ．向东行进了8千米B ．向东行进了2千米C ．向东行进了5千米D ．向西行进了3千米解析：选B 记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．5．如图，在矩形ABCD 中，可以用一条有向线段表示的向量是( )A ．DA u u u r 和BC u u u rB ．DC u u u r 和AB u u u rC ．DC u u u r 和BC u u u rD ．DC u u u r 和DA u u u r解析：选B DC u u u r 和AB u u u r 方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表示．6.在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)| OA u u u r |＝3，点A 在点O 的正西方向；(2)| OB uuu r |＝32，点B 在点O 北偏西45°方向；(3)求出|AB u u u r |的值．解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．(3)由图知，△AOB 是等腰直角三角形，所以| AB u u u r |＝|OB ―→|2－|OA ―→|2＝3.题组3 相等向量与共线向量7．在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则如图所示的向量中，相等向量有( )A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE u u u r ＝EA u u u r .8．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量OA u u u r 共线的向量共有( )A ．2个B ．3个C ．6个D ．9个解析：选D 与向量OA u u u r 共线的向量有AO u u u r ， OD u u u r ，DO u u u r ，BC u u u r ，CB u u u r ，EF u u u r ，FE u u u r ，AD u u u r ，DA u u u r ，共9个．9．如图，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，那么以图中各点为起点或终点的向量中：(1)与AB u u u r 共线的向量有_____________________________________________；(2)与AB u u u r 相等的向量有_____________________________________________；(3)与AB u u u r 模相等的向量有___________________________________________．解析：(1)与已知向量在同一直线上或平行的向量都是它的共线向量，根据题意，与ABu u u r 共线的向量有BA u u u r ， BE u u u r ，EB u u u r ，AE u u u r ，EA u u u r ，DC u u u r ，CD uuu r .(2)与已知向量相等的向量与已知向量方向相同、长度相等，于是与AB u u u r 相等的向量有BE u u u r ，DC u u u r .(3)向量的模相等，只需长度相等，与方向无关，根据正方形和等腰直角三角形的性质，可知与AB u u u r 模相等的向量有BA u u u r ，BE u u u r ，EB u u u r ，DC u u u r ，CD uuu r ，AD u u u r ，DA u u u r ，BC u u u r ，CB u u u r .答案：(1) BA u u u r ，BE u u u r ，EB u u u r ，AE u u u r ，EA u u u r ，DC u u u r ，CD uuu r (2) BE u u u r ，DC u u u r(3) BA u u u r ，BE u u u r ，EB u u u r ，DC u u u r ，CD uuu r ，AD u u u r ，DA u u u r ，BC u u u r ，CB u u u r10．如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量AB u u u r 平行且模为2的向量共有几个？与向量AB u u u r 方向相同且模为32的向量共有几个？解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和AB u u u r 平行且模为 2.因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．(2)易知与向量AB u u u r 方向相同且模为32的向量共有2个．[能力提升综合练]1．如图所示，在正三角形ABC 中，P 、Q 、R 分别是AB 、BC 、AC 的中点，则与向量PQ uuu r 相等的向量是( )A ．PR u u u r 与QR uuu rB ．AR u u u r 与RC uuu rC ．RA u u u r 与CR u u u rD ．RA u u u r 与QR uuu r解析：选B 向量相等要求模相等，方向相同，因此AR u u u r 与RC uuu r 都是和PQ uuu r 相等的向量．2．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD u u u r |＝( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 3解析：选D 易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO u u u r |＝3，则|BD u u u r |＝2|BO u u u r |＝2 3.故选D.3．下列说法中正确的是( )A ．| AB u u u r |与线段BA 的长度不相等B ．对任一向量a ，|a |>0总是成立的C ．| AB u u u r |＝|BA u u u r |D ．若a ∥b ，且|a |＝1 005，|b |＝1 013，则|a ＋b |＝2 018解析：选C | AB u u u r |，|BA u u u r |分别与线段AB ，BA 的长度相等，所以A 不正确，C 正确；|0|＝0，对任一向量a ，|a |≥0总成立，所以B 不正确；对于D ，当a 与b 方向相反时，|a ＋b |＝8，故D 不正确．4．给出下列命题：①若|a |＝0，则 a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a∥b ，则|a|＝|b |.其中，正确的命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A ①忽略了0与0的区别，a ＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．5．设a 0，b 0分别是a ，b 的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0.解析：因为a 0，b 0是单位向量，|a 0|＝1，|b 0|＝1，所以|a 0|＋|b 0|＝2.答案：③6.如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)与向量ED u u u r 相等的向量有________；(2)若| AB u u u r |＝3，则|EC uuu r |＝________.解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，可知与向量ED u u u r 相等的向量有AB u u u r ，DC u u u r .(2)因为| AB u u u r |＝3，|EC uuu r |＝2| AB u u u r |，所以|EC uuu r |＝6.答案：(1) AB u u u r ，DC u u u r (2)67．有下列说法：①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB u u u r ＝DC u u u r ，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点；③在▱ABCD 中，一定有AD u u u r ＝BC u u u r ；④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑤共线向量是在一条直线上的向量．其中，正确的说法是________．解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a 与b 有共线的可能，故①不正确；对于②，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故②不正确；对于③，在▱ABCD 中，|AD u u u r |＝|BC u u u r |，AD u u u r 与BC u u u r 平行且方向相同，所以AD u u u r ＝BC u u u r ，故③正确；对于④，a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，所以a 与c 方向相同且模相等，故a ＝c ，故④正确；对于⑤，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确．答案：③④8．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方络纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC u u u r |＝ 5.(1)画出所有的向量AC u u u r ；(2)求|BC u u u r |的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC u u u r，如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C 位于点C 1或C 2时，|BC u u u r |取得最小值12＋22＝5； ②当点C 位于点C 5或C 6时，|BC u u u r |取得最大值42＋52＝41，∴|BC u u u r |的最大值为41，最小值为 5.。
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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1．向量的概念
(1)向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．
(2)数量：把那些只有大小，没有方向的量，称为数量．
(3)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB (如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作|AB|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．
(4)有向线段的三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定了．
思考1两个向量可以比较大小吗？
提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．
2．向量的表示法
(1)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就是向量的长度(或称模)，如向量AB的长度记作|AB|.
(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量．书写时，可写成带箭头的小写字母a，b，c，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为AB.
特别提醒(1)向量的书写要规范，如向量a不能写成a；
(2)向量的起点、终点要搞清，如AB与BA的起点与终点正好相反．
3．有关概念
思考2单位向量都相等吗？
提示：不一定，单位向量的模相等，都等于1，但方向不一定相同．
思考3表示相等向量的有向线段一定重合吗？
提示：不一定，也可以平行，或在一条直线上．
思考4共线向量与相等向量有什么关系？
提示：相等向量一定共线，而共线向量不一定相等．
特别提醒(1)零向量表示为0，而不是数字0；零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量是共线向量．(2)注意向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能是同一条直线．。